1304 -Análise de Dados e Probabilidade 1 e 2 1º Semestre ...docentes.fe.unl.pt/~pchaves/1304/ficheiros/Analise_de_Dados_e... · Parte da noção de que nas distribuições simétricas

Licenciatura

1304 -Análise de Dados e Probabilidade1 e 2

Clara Costa Duarte1º Semestre 2006/2007

1304- Análise de Dados e Probabilidade

1.1 – IntroduçãoEstatística:é um conjunto de instrumentos que servem para:

RecolherDescrever e explorarInterpretar

Dados numéricos

Estatística Descritiva: Procura sintetizar e representar de forma compreensível a informação contida num conjunto de dados

Inferência Estatística: Pretende a partir de um conjunto restrito de dados caracterizar um conjunto mais amplo


1.2 – Conceitos Básicos

População: Conjunto de elementos com característica(s) comum (s) que pretendemos estudar. (ou o conjunto dos dados que medem essa (s) característica (s)).

Amostra: Subconjunto representativo da população.

Unidade estatística : Elemento pertencente à populaçãoAtributo ou Característica (Variável Estatística): Factor que permite classificar a unidade estatística:

. Qualitativa (várias modalidades)

. Quantitativa (diferentes valores) : pode ser Discreta ou Contínua

Dado Estatístico ou Observação: o registo da característica de uma unidade estatística


1.2 – Conceitos BásicosTerminologia :

• Variável Estatística X

• Colecção de dados com N elementos : Os dados estatísticos resultantes são n valores designados por: x1, x2, ...xi,.... xn,

• Frequência Absoluta (ni) : nº de vezes que a modalidade ou a classe i é observada na base de dados.

• Frequência Relativa (fi) : o mesmo em %

• Frequência Absoluta Acumulada (Si) : nº de vezes que a Variável tem valores ≤ à modalidade ou classe i

• Frequência Relativa Acumulada (Fi) : o mesmo em %


2 – Classificação e Representação dos Dados

. Variáveis Discretas (Exemplo)

Quadro de Frequências

Representação Gráfica

. Distribuição de Frequências (Diagrama de Barras)

. Distribuição de Frequências Acumuladas

Representação Matemática

. Função Cumulativa da Frequência

F(x) = F(li-1) = Fi-1 , li-1≤ x< li


2 – Classificação e Representação dos Dados. Variáveis Contínuas (Exemplo)

Quadro de Frequências

. l0 ≤ Min {xi} e lj ≥ Max {xi}

. Escolha do número de Classes- várias formulas

. Estimar a amplitude e decidir

. Determinar os limites das classes



Representação Gráfica

. Distribuição de Frequências (Histograma; Polígono de Frequências)

. Distribuição de Frequências Acum. (Polígono Integral)

Representação Matemática

. Função Cumulativa da Frequência F(x)

li-1≤ x ≤ li

Em que F(li)=Fi

,1

11)( i

ii

ii f

lllxFxF−

−− −

−+=



Histograma (Diagrama de áreas)- Sucessão de rectângulos tendo por base o intervalo da classe e por altura a respectiva frequência dividida pela amplitude da classe.

. Área de cada rectângulo = ni ou fi

. Área total do Histograma = N ou 1

Caso particular: Todas as classes de igual amplitude é usual tomar-se para altura dos rectângulos - ni ou fi

Polígono de Frequências- Obtêm-se unido os pontos médios dos lados superiores dos rectângulos do Histograma. (+ 2 classes nos extremos com frequência 0)

Área total do Histograma = Área total do Polígono de Frequências


Variável Contínua e População infinitaSe N ∞ e h 0

Histograma de área 1 Curva de Frequência

A área compreendida entre dois pontos x=a e x=b

Frequência relativa Probabilidade

Se N ∞ e h 0

Polígono Integral Função de distribuição

Licenciatura

1304 -Análise de Dados e Probabilidade3



3 – Variáveis Estatísticas UnidimensionaisPrincipais aspectos a considerar no estudo de uma uma colecção de dados são:

. Localização

. Dispersão

. Assimetria

. Achatamento

das correspondentes distribuições de frequência.

Como medir estes aspectos?


3.1– Medidas de Localização Central (Média)

Definição:

Ou para dados classificados

Vantagens: Usa a totalidade das observações, fácil interpretação e cálculo, definição rigorosa

Desvantagens: Muito sensível a valores extremos; pode não ser um valor observado

N

x

Nxxxx

N

ii

N∑==

+++= 121 ...

∑∑

=

= ′=′

=′++′

=j

iii

j

iii

jj xfN

xn

Nxnxn

x1

111 ...


Propriedades da Média:1. A soma dos valores observados é o produto da média pelo número

de observações

2. A soma dos desvios dos valores observados relativamente à média é zero.

3. A soma é mínima quando

4. Se adicionarmos c a todos os valores observados então a média fica adicionada de c

5. Se multiplicarmos por c todos os valores observados então a média fica multiplicada por c

6. Se adicionarmos todos os valores observados de duas colecções dedados então a média da variável soma é igual à soma das médias

7. Quando um conjunto de observações é dividido em j sub-colecções, a média principal é igual à media ponderada das médias dos subconjuntos.

2

1)(∑

=

−n

ii cx xc =


Média Geométrica

Definição:

Ou para dados classificados:

_________________________________________________________

Média Harmónica

Definição:


∏=

==N

i

Ni

NNg xxxxx

1

11

21 )()...(

Nj

i

ni

Nnj

ng

ij xxxx1

1

1

1 )()...( 1 ∏=

′=′′=

∑=

= N

i i

h

x

Nx

1

1

∑= ′

= j

i i

ih

xn

Nx

1


3.1– Medidas de Localização Central (Mediana)Valores ordenados : x(1) ≤ x(2) ≤ ...≤ x(N)

Definição: para N impar

para N par


em que e é a classe da mediana

)2

1(

~+= Nxx

)(5.0~1

11 −

−− −

−+= ee

e

ee ll

fFlx

2~ )

21()

2( ++

=NN xx

x


Propriedade da Mediana:

A soma é mínima quando

Vantagens: Pouco sensível a valores extremos.

Desvantagens:Cálculo mais complexo; pouco significativo em amostras pequenas; maior variabilidade

∑ −=

n

ii cx

1xc ~=


3.1– Medidas de Localização Central (Moda)

Definição: Valor que ocorre com maior frequência no conjunto das observações.

Para dados classificados, quantitativos contínuos, define-se a classe modal, como a classe com maior frequência (apenas se todas as classes forem de igual amplitude).

em que m é a classe modal

Vantagens: Pouco sensível a valores extremos.

Desvantagens: Pouco significativo em amostras pequenas; para variáveis contínuas cálculo mais complexo e de difícil interpretação .

)( 111

11 −

+−

+− −

++= mm

mm

mm ll

ffflModa


3.1– Medidas de Localização Não Central (Quantil)

Para dados discretos ou contínuos não classificados:

Definição: Quantil de ordem α (0< α <1) é

em que k é o maior inteiro menor que (Nα)+1

Para dados classificados, quantitativos e contínuos:

Definição: Quantil de ordem α (0< α <1) é

x tal que

)(kxZ =α

α=)(xF


3.1– Medidas de Localização Não Central (Quantil)Casos Particulares:

Quartil (qk) : Dividir os dados em 4 partes iguais, definem-se 3 quartis.

Quartil de ordem k (k =1,2,3) = Quantil de ordem α=k/4

Decil (dk) : Dividir os dados em 10 partes iguais, definem-se 9 decis.

Decil de ordem k (k =1,2,...,9) = Quantil de ordem α=k/10

Percentil (pk) : Dividir os dados em 100 partes iguais, definem-se 99 percentis.

Percentil de ordem k (k =1,2,...,99) = Quantil de ordem α=k/100

= p50 = d5 = q2

p10 =d1, p20 =d2 ,......

p25 =q1 , p50 =q2 , p75 =q3

x~


3.2– Medidas de Dispersão

Existem 2 tipos de medidas de dispersão:

i) Definidas a partir da relação com um ponto fixo da amostra (Média)

Variância (s2) e desvio padrão (s) ; Desvio absoluto médio (δx)

Coeficiente de dispersão ou de variação (cv)

ii) Definidas a partir das estatísticas ordinais

Amplitude total ( r) ; Amplitude Inter quartil ( rq)

Desvio quartil reduzido


3.2– Medidas de dispersão (Variância e Desvio Padrão)

Definição: Média Aritmética do quadrado dos desvios para a média

Para dados classificados:

Para amostras pequenas é mais correcto dividir por N-1

O Desvio Padrão é a raiz quadrada positiva da VariânciaTem a vantagem de se exprimir nas mesmas unidades que a amostra.

N

xx

Nxxxxxxs

N

ii

N∑ −

=−++−+−

= =1

2222

212

)()(...)()(

N

xxns

j

iii∑ −′

= =1

2

2)(


Propriedades da Variância e do Desvio Padrão:1. A variância e o desvio padrão são sempre valores não negativos.

2. Decomposição da Variância: A variância é igual à média dos quadrados das observações menos o quadrado da média.

3. Seja para todo i, A variável Y tem média de 0 e variância de 1

4. Se adicionarmos c a todos os valores observados a variância e o desvio padrão não se alteram.

5. Se multiplicarmos por c todos os valores observados então a variância fica multiplicada por c2 e o desvio padrão por |c |.

6. Quando um conjunto de observações é dividido em j sub-colecções, a variância principal relaciona-se com as variâncias das sub-colecções pela expressão:

xii sxxy /)( −=

N

xxN

N

sNs

j

kkk

j

kkk ∑∑

==

−+= 1

2

1

2

2)(


3.2– Medidas de dispersão (Desvio Médio)

Definição: Média dos módulos dos desvios para a média

Para dados classificados:

Esta medida pode ser definida em relação a outro valor central

Propriedades1. O desvio médio é mínimo quando tomado em relação à mediana

2. O desvio padrão é maior que o desvio médio

Desvantagem: O cálculo do módulo é mais difícil de tratar em termos informáticos

N

xx

Nxxxxxx

N

ii

Nx

∑ −=

−++−+−= =121 ..

δ

N

xxnj

iii

x

∑ −′= =1δ


3.2– Medidas de dispersão (Coeficiente de variação)

Definição:

Esta é uma medida de dispersão relativa, como não depende das unidades da amostra permite comparar distribuições de variáveis com unidades ou médias diferentes.

Não é definido quando a média é 0, pelo que só deve ser utilizado quando as observações tem todos o mesmo sinal.

xscv =


3.2– Medidas de dispersãoMedidas de dispersão absoluta

Amplitude Total: Diferença entre o maior e o menor valor da amostra

r = x(N) - x(1)

Amplitude Interquartil: rq = q3 – q1

Medida de dispersão relativa

Desvio quartil reduzido: x

qq~

13 −


3.3– Medidas de Assimetria Grau de Assimetria de PearsonParte da noção de que nas distribuições simétricas a Média a Moda e a Mediana

são iguais, e que quanto maior a assimetria da distribuição maior a distância entre elas. Fórmula de Pearson : Média – Moda = 3 (Média – Mediana)

Grau de assimetria de Pearson :

(-3<g<3)

Grau de Assimetria de BowleyParte da noção de que nas distribuições simétricas

e que quanto maior a assimetria da distribuição maior a diferença.

Grau de Assimetria de Bowley :

(-1<g’<1)

sModaxg −

=

13~~ qxxq −=−

qrqxxq

qxxqqxxqg )~()~(

)~()~()~()~(' 13

13

13 −−−=

−+−−−−

=


3.3– Medidas de AssimetriaDefinição de Momento: Momento de ordem r em relação a um valor fixo V é

Se V=0 , Momento simples de ordem r é

Se V= Média, Momento centrado de ordem r é

NVxmN

i

riVr ∑ −=

=1, )(

NxmN

i

rir ∑=

=1'

NxxmN

i

rir ∑ −=

=1)(


3.3– Medidas de Assimetria Partindo da noção de que nas distribuições simétricas todos os momentos de

ordem impar em relação á media são nulos.

Coeficiente de Pearson: b1>0 sempre, não informa sobre o sinal

Coeficiente Assimetria de Fisher: g1 já informa sobre o sinal

32

23

1 )()(

mmb =

33

1 smg =


3.4– Medidas de Achatamento ou Curtose Procura medir o peso das caudas da distribuição. No 4º Momento, os grandes

desvios em relação á média tem mais peso que os pequenos, e divide-se pelo desvio padrão para anular o efeito da dispersão.

Coeficiente de Achatamento:

Sabendo que para a distribuição normal, b2=3, define-se

Excesso ou Kurtosis: g2 = b2 – 3

O sinal de g2 compara o achatamento da distribuição com a distribuição normal.

g2 > 0 diz-se que a distribuição é “leptocúrtica” lepto = estreito, delgado

g2 < 0 diz-se que a distribuição é “platicúrtica” plati exprime a ideia de plano

44

22

42 )( s

mmmb ==


3.5– Medidas de Concentração As medidas de concentração destinam-se a medir a forma como determinado

atributo se distribui pelos elementos de uma dada população. Só faz sentidopara atributos quantitativos com carácter aditivo.

Dada a distribuição de frequências de X, agrupadas em i classes seja

ou

o valor do atributo acumulado na classe i

Defina-se e

Demonstra-se que pi ≥ qi

∑=∈ik

ki xtiii xnt '=

ii Fp =∑

∑=

∑

∑=

=

=

=

=N

ii

i

kk

j

kk

i

kk

ix

t

t

tq

1

1

1

1


3.5– Medidas de Concentração

Índice de Gini :0 ≤ G ≤ 1

G = 0 a concentração é mínima

G = 1 a concentração é máxima

Curva de Lorenz : Representação gráfica dos pontos (pi , qi ) e da recta de igual distribuição (pi = qi )

∑

∑−=

∑

∑ −= −

=

−

=−

=

−

=1

1

1

11

1

1

1 1)(

j

ii

j

ii

j

ii

j

iii

p

q

p

qpG

Licenciatura




4. 1- Números ÍndicesDefinição: Um índice é uma relação entre dois estados ou situações de uma grandeza. Representa o nível em relação ao nível tomado para base.

Permitem uma rápida avaliação da variação relativa do fenómeno em análise.

Índice Simples: Quando traduz a evolução de um só fenómeno (x)

Índice Sintético: Quando traduz a evolução de um conjunto de k fenómenos. (x x’ x’’..)

100.0

0/ xxi t

t =


4.2- Números ÍndicesFormas alternativas de construir índices sintéticos

1- Média dos índices simples

2- Índice das médias (agregativo)

ki

kiiiI tttt

t∑=+′′+′+

= 0/0/0/0/0/

...

∑∑=

+′′+′++′′+′+

=0000

0/ ......

xx

xxxxxxI tttt

t


4.2 - Números Índices ( Índices Ponderados)1- Índice Sintético Ponderado

2- Índice Agregativo Ponderado

∑∑=

+′′+′++′′′′+′′+

=ωω

ωωωωωω 0/0/0/0/

0/ ..... tttt

tiiiiI

∑∑=

+′′′′+′′++′′′′+′′+

=00000000

0/ ......

xx

xxxxxxI tttttttt

t ωω

ωωωωωω


4.2 - Números Índices –Índice de Laspeyres

Consideram-se como ponderadores preços ou quantidades do ano base.

Índice de Preços:

Índice de Quantidades:

∑∑=

00

0t/0L

qpqptP

∑∑=

00

00/ qp

qpL tQ

t


4.2 - Números Índices –Índice de Paasche

Consideram-se como ponderadores preços ou quantidades do ano t.

Índice de Preços:


∑∑=Ρ

t

ttP

qpqp

0t/0

∑∑=Ρ

00/ qp

qp

t

ttQt


4.2 - Números Índices –Índices de Laspeyres e de Paasche

1- O Índice de Preços de Laspeyres pode ser escrito como uma média ponderada de índices de preços simples.

2- O Índice de Preços de Paasche pode ser escrito como uma média ponderada de índices de preços simples, ou alternativamente como a média harmónica de índices de preços simples.

3- O Índice de Quantidades de Laspeyres pode ser escrito como uma média ponderada de índices de quantidades simples.

4- O Índice de Quantidades de Paasche pode ser escrito como uma média ponderada de índices de quantidades simples, ou alternativamente como a média harmónica de índices de quantidades simples.

5- Demonstra-se que, em certas condições, o índice de Laspeyres é superior ao de Paasche tanto para preços como para quantidades.


4.2 - Números Índices –Índice de Fisher

Média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche

Índice de Preços:


∑∑

∑∑=

t

tttp

qpqp

qpqp

F000

0t/0

∑∑

∑∑=

000

0t/0 qp

qpqpqp

Ft

tttq


4.2 - Números Índices –Índices de valor

Índice Simples:

Índice Sintético:

qpttv iiqpqpi t/0t/0

00t/0 ==

pqqpttv PLPLqpqpI t/0t/0t/0t/0

00t/0 .. ===

∑∑


4.2 - Números Índices –Propriedades de um “bom”indíce1- Boa determinação

2- Identidade

3- Homogeneidade

4- Proporcionalidade

5-Reversão dos factores

6- Reversão no tempo

7- Circularidade


4.3 – Índices de Base Móvel. Índices em cadeia.De entre os índices de base móvel tem particular importância:

1) Índices elos, em que a base é sempre constituída pelo período anterior

2) Índices homólogos (mensais ou trimestrais), tomam para base o valor do mês (ou trimestre) homólogo do ano anterior.

“Encadeando” os índices de elos obtêm-se um novo tipo de índice de base fixa chamados índices em cadeia:

1/2/31/20/10/ ...... −= ttct IIIII


4.3 – Mudança de base. Conciliação de ÍndicesSe o índice em causa satisfizer a propriedade da circularidade a

mudança de base é simples:

Na prática, usa-se esta regra para todo o tipo de índices.

0/

0/

0

0/

b

t

b

tbt i

ixxxxi ==

Licenciatura




5.1 – Noções Preliminares • Tipos de fenómenos: Determinísticos e Probabilísticos

•Conceitos de Base:

•Experiência Aleatória; Observação; Espaço Amostral (S); Evento Simples; Evento Composto; Conjunto finito; Conjunto Infinito; Conjunto Contável.

•Definições:

•Complemento de um evento A (em S)

•Intersecção de dois eventos A e B•Eventos mutuamente exclusivos

•Diferença entre dois eventos

•Reunião de dois eventos A e B

•Cardinal de um conjunto Finito - #A

•Partição do Espaço Amostral B1, B2, ,Br

{ }AxSxA ∉∈= :{ }BxAxSxBA ∈∈∈=∩ e :

∅=∩BA{ }BxAxSxBA ∉∈∈=− e :

{ }BxAxSxBA ∈∈∈=∪ ou :

Ur

1i e ji , =

=≠∅=∩ SBBB iji


5.1 – Noções Preliminares ( cont.)

• Diagramas de Venn

•Propriedades das Operações no Espaço AmostralLeis Comutativas

Leis Associativas

Elemento Neutro Elemento Absorvente

Leis Distributivas

Leis de Morgan

SAAAA=∪

∅=∩ABBAABBA

∪=∪∩=∩

)()()()(

CBACBACBACBACBACBA

∪∪=∪∪=∪∪∩∩=∩∩=∩∩

ASAAA

=∩=∅∪

∅=∅∩=∪

ASSA

)()()()()()(

CBCACBACBCACBA

∪∩∪=∪∩∩∪∩=∩∪

BABA

BABA

∩=∪

∪=∩


5.1 – Noções Preliminares

• Métodos de Contagem

•Definições:•Permutação; Factorial; Combinação

•Teoremas•Princípio Fundamental da Contagem

•O número de Permutações de n objectos diferentes é:h

•O número de Permutações de n objectos diferentes escolhendo r objectos de cada vez é:

•O número de Permutações de n objectos diferentes arranjados em círculo é:

)!(!rn

nPnr −=

!nPn =

)!1( −= nPn


5.1 – Noções Preliminares

•Teoremas•O número de Permutações de n objectos de r tipos diferentes em que, n1+ n2 +...+ nr = n , é:

•O número de maneiras diferentes de dividir n objectos em r grupos com ni elementos em cada grupo é:

Caso particular: Combinação

•O número de Combinações de r objectos escolhidos de n objectos é:

!!..!!

,..,, 2121 rr nnnn

nnnn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)!(!!

, rnrn

rn

rnrn

C nr −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=


5.2 – Conceito de Probabilidade

•Axiomas da Probabilidade•Seja A um evento do espaço amostral S. Chama-se Probabilidade de A P(A) o número real que mede a verosimilhança com que A ocorre e que satisfaz os seguintes axiomas:

•Frequência relativa Probabilidade

)()()( então j,i para 0 se

S, de evento um Seja iii)1)( ii)

1)(0 i)

i

jiji

ji

APAPAAPAAA

SPAP

+=∪

≠=∩

=≤≤


5.3 – Teoremas Elementares do Cálculo das Probabilidades

•Teoremas•Sejam A e B dois eventos de S em que

Então:

•Sejam A e B dois eventos quaisquer de S

Então:

•Sejam A , B e C eventos quaisquer de S

Então:

AB ⊆)()()( BPAPBAP −=−

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

)()()()()()()()(

CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪


5.3 – Teoremas Elementares do Cálculo das Probabilidades

•Teoremas•Seja A um evento de S

Então:

•Se

Então:

•Sejam A1 , A2 , ...., An eventos mutuamente exclusivos

Então:

1)()( =+ APAP

AB ⊆

)()( APBP ≤

∑===

n

ii

n

ii APAP

11)()(U


5.4 – Probabilidade Condicional. Independência de Eventos

•Definição: Probabilidade de A dado B:

•Definição: A e B são eventos independentes se e só se:

Teorema: Se A e B são eventos independentes, com probabilidades positivas, então:

0)( se ,)(

)()|( ≠∩

= BPBP

BAPBAP

)( )()( BPAPBAP =∩

)()|(e)()|( BPABPAPBAP ==


5.4 – Probabilidade Condicional. Teoremas

•Teorema: A Probabilidade Conjunta dos eventos A e B é:

A Probabilidade Conjunta dos eventos A1, A2 ,... Ar é:

•Teorema da Probabilidade Total: Se B1, B2 ,... Br forem uma partição de S, então para qualquer evento A :

)|()()|()()( ABPAPBAPBPBAP ==∩

)...|(. )...|( )()...(

121

12121

−∩∩∩=∩∩∩

rr

r

AAAAPAAPAPAAAP

∑==

r

1i)()|()( ii BPBAPAP


5.4 – Probabilidade Condicional. Teorema de Bayes

•Teorema de Bayes:

Se B1, B2 ,... Br forem uma partição de S, então para qualquer evento Aentão :

para k=1,2,...,r

Permite calcular a probabilidade de Bk (uma causa) ocorrer dado que ocorreu o evento A.

∑=

∩=

=

r

1i)()|(

)()|()(

)()|(ii

kkkk

BPBAP

BPBAPAP

ABPABP

1º Semestre 2006/2007


Licenciatura

Clara Costa Duarte


6.1 – Variáveis Aleatórias : Def: Variável Aleatória X(s): é uma função que associa um número real x a cada resultado s do espaço amostral S

•Variável Aleatória Discreta X(s): o conjunto de valores possíveis de X é finito (ou infinito numerável)

•Função de Probabilidade :

Propriedades:

•Função de Distribuição Acumulada:

Propriedades:

)()( xXPxf ==

∑=≤=≤xu

ufxXPxF )()()(

∑ =≥x

xfxf 1)( ii) 0)( i)

1)(lim)( iv)

0)(lim)( iii))()( então , Se ii)

escada em e idadesdescontinu com função uma É i)

==+∞

==−∞≤≤

+∞→

−∞→

xFF

xFFyFxFyx

x

x


6.1 – Variáveis Aleatórias •Variável Aleatória Continua X(s): toma valores de um intervalo ou de um conjunto de intervalos

•Função de Densidade de Probabilidade (f.d.p.) : f(x) tal que

Propriedades:

babadxxfbXaP ba ≤∫ ∈∀=<< :IR, ,)()(

1)( ii)

IR ,0)( i)

=∫

∈∀≥∞+∞- dxxf

xxf


6.1 – Variáveis Aleatórias •Variável Aleatória Continua X(s):

•Função de Distribuição Acumulada :

Propriedades:

∫=≤= ∞−x duufxXxF )()()(

)()()vi)P(a

derivávelfor F se ,)()(v)

1)(lim)( iv)

0)(lim)( iii))()( então , Se ii)

contínua função uma É i)

aFbFbxdx

xdFxf

xFF

xFFyFxFyx

x

x

−=≤≤

=

==+∞

==−∞≤≤

+∞→

−∞→


6.1 – Variáveis Aleatórias - Duas ( ou n) dimensões; x =X(s) e y=Y(s))

•Seja (X,Y) um vector Aleatório Discreto

•Função de Probabilidade Conjunta: fXY (x,y)= P(X = x,Y=y)•Propriedades

•Função de Distribuição Acumulada Conjunta:

∑ ∑=≤≤=≤ ≤xu yv

XYXY vufyYxXPF ),(),(

∑ =∑≥x

XYXY yxfyxf 1),( ii) 0),( i)y


6.1 – Variáveis Aleatórias- Duas ( ou n) dimensões; x =X(s) e y=Y(s))

•Seja (X,Y) um vector Aleatório Contínuo

•Função de Densidade de Probabilidade Conjunta:

Propriedades:

•Função de Distribuição Acumulada Conjunta:

e

∫ ∫∞− ∞−=≤≤=

x y

XYXY dvduvufyYxXPF ),(),(

∫ ∫=∈A

XYXY dxdyyxfAYXPf ),(),( que tal

1),( ii)

IR ,0),( i)

- =∫ ∫

∈∀≥∞+∞

∞+∞ dydxyxf

xyxf

- XY

XY

yxyxFyxf XY

XY ∂∂∂

=),(),(

2


6.1 – Variáveis Aleatórias

•Distribuições Marginais de V.A. Discretas•Funções de Probabilidade Marginal de X e Y:

•Função de Distribuição Acumulada Marginal:

E

∑=∑=x

XYYy

XYX yxfyfyxfxf ),()( e ),()(

∑∑=≤yv x

XYY vxfyF ),()(

∑∑=≤xu y

XYX yufxF ),()(


6.1 – Variáveis Aleatórias (cont)

Distribuições Marginais de V.A. Continuas•Funções de Probabilidade Marginal de X e Y:

•Função de Distribuição Acumulada Marginal de X e Y:

),()( e ),()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−== dxyxfyfdyyxfxf XYYXYX

dudyyufxFx

XYX ∫ ∫∞−+∞

∞−= ),()(

),()( ∫ ∫∞−+∞

∞−=

y

XYY dxdvvxfyF


6.1 – Variáveis Aleatórias (cont)•Distribuições Condicionais

•Funções de Probabilidade Condicional de X dado Y:

•e de Y dado X:

)(),(

)(),()()(

yfyxf

yYPyYxXPyYxXPxf

Y

XYyYX =

===

====

)(),(

)(),()()(

xfyxf

xXPyYxXPxXyYPyf

X

XYxXY =

===

====


6.1 – Variáveis Aleatórias (cont)•Definição de independência de variáveis aleatórias

•Funções de Variáveis Aleatórias Y=g(X)

•Como determinar fY a partir de fX?

•e FY a partir de FX?

IRyxyfxfyxf YXXY ∈∀= , )()(),(

[ ] ∑=

=====yxgx

XY xfyXgPyYPyf)(:

)()()()(

[ ] ∑≤

=≤=≤=yxgx

XY xfyXgPyYPyF)(:

)()()()(


6.2 –Valor Esperado de uma V.A.(Média)•Definição

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

•Teoremas para cálculo de Valores Esperados

•E[g(X)]

•E[g(X,Y)]

•E[ ∑ ai gi (X)]•Se X e Y são V.A. Independentes E(X,Y)=E(X)*E(Y)

∑===x

x xxf )( E(X)μμ

∫+∞

∞===

-)( E(X) dxxxfxμμ


6.2 –Variância, Desvio Padrão,Coeficiente de Variação de uma V.A.•Definições

•Variância :

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

•Var(X) = E(X2)- μ2

•Desvio Padrão:

•Coeficiente de Variação:

∑ −=x

xfx )()( 22 μσ

222 )(Var μσσ −=== XE(X)x

∫+∞

∞−−= dxxfx )()( 22 μσ

2)(Var μσσ −=== XE(X

μσω =


6.2 –Co-variância e Coeficiente de Correlação

•Relação entre 2 V.A.•Co-variância :

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

•Cov(X,Y) = E(XY)- μX μY

•Coeficiente de Correlação:

[ ]))((),( YXXY YXEYXCov μμσ −−==

∑∑ −−x

XYYX yxfYXy

),())(( μμ

∫ ∫ −−+∞∞−

+∞∞− dxdyyxfYX XYYX ),())(( μμ

[ ])()(

))(()()(

),(),(YVarXVar

YXEYVarXVar

YXCovYXCorr YXXY

μμρ −−===


6.2 –Variância e Co-variância

•Teoremas

•Var(X) = E(X2)- μ2

•Cov(X,Y) = E(XY)- μX μY

• ∑∑=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∑

= ==

n

i

n

jjiji

n

iii XXCovaaXaVar

1 11),(


6.2 – Momentos de uma V.A.

•Definições •Momento simples de ordem r:

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

•Momento centrado de ordem r:

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

∑==′x

rrr xfxX )( )E(μ

∫==′ +∞∞− dxxfxX rr

r )( )E(μ

∑ −=−=x

rrr xfxX )()( )E( μμμ

∫ −=−= +∞∞− dxxfxX rr

r )()( )E( μμμ


6.2 – Momentos de uma V.A.

•Definições •Função geradora de momentos da V.A. X:

•V.A.Discreta

•V.A. Continua

•A derivada de ordem r da f.g.m. é o momento de ordem r da V.A.

•Função geradora de momentos conjunta das V.A. X e Y:

∑==x

txtXX xfeetm )( )E()(

∫== +∞∞− dxxfeetm txtX

X )()E()(

Y)(E(),( YXYXXY tXtExpttm +=


6.2 – V.A. Estandardizadas•Definições

Forma estandardizada de X

• Uma variável estandardizada tem Valor esperado 0 e Variância 1

•Desigualdade de Chebyshev : Seja X uma V.A.. com média e variância finita

e k >0

X

XXσμ−

2

11)(k

kXkP −≥<−

<−σμ


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Discretas

Embora exista uma diversidade infinita de possíveis distribuições estatísticas algumas tem um âmbito de aplicação mais generalizado:

•Distribuição Uniforme : X ~ DU(i,j)

Aplica-se à ocorrência aleatória de resultados igualmente prováveis

•Definições:

•Função de Probabilidade;

•Função de Distribuição Acumulada

{ }

{ }⎪⎩

⎪⎨⎧

−+∉

−+∈+−=

jjiix

jjiixijxf

,1,...1, 0

,1,...1, ,1

1)(

⎣ ⎦

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤+−+−

<

=

jx

jxiijix

ix

xF

1

11

0

)(


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Discretas •Distribuição Uniforme : X ~ DU(i,j)

•Parâmetros: Parâmetro de localização i; Parâmetro de escala i-j;

•Gama de valores:

•Propriedades:

E(X) = (i+j)/2

VAR(X) =[ (j-i+1)2 –1]/12

{ }jjii ,1,...,1, −+


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Discretas •Distribuição de Bernoulli : X ~ Bernoulli (p)

•Aplica-se a sequências de n tentativas repetidas independentes com 2 resultados possíveis: sucesso com probabilidade p; insucesso com probabilidade (1-p).

•Definições:

•Função de Probabilidade:

• Função de Distribuição Acumulada:

⎪⎩

⎪⎨

⎧==−=

=casos, outros 0

1 0 1

)( xpxpq

xf

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−=

<=

1 110 1

0 0)(

xxpq

xxF



•Distribuição de Bernoulli : X ~ Bernoulli (p)

•Parâmetros: Parâmetro de localização p

•Gama de valores: {0,1}

•Propriedades:

E(X) = p

VAR(X) = p (1-p)


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Discretas •Distribuição de Binomial: X ~ Bin (n,p)

•X corresponde ao número de sucessos em n tentativas de Bernoulli

•Definições:

• Função de Probabilidade:


{ }

{ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

∉

∈−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

nx

nxppxn

xfxnx

,...,2,1,0 0

,...,2,1,0 )1()(

⎣ ⎦

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤∑ −

<

==

−

nx

nxpp

x

xFx

i

ini

1

0 )1(

0 0

)(0



•Distribuição de Binomial: X ~ Bin (n,p)

•Parâmetros: n, p

•Gama de valores: {0,1,2,....,n}

•Propriedades:

E(X) =n p

VAR(X) = np (1-p)

Se (n+1) p não é inteiro Moda = Int [(n+1) p]

Se (n+1) p é inteiro Bi-Modal em (n+1) p e (n+1)p -1


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Discretas •Distribuição de Poisson: X ~ Poisson (λ)

Um processo de Poisson refere-se ao nº de eventos que ocorrem num intervalo temporal ou numa região espacial, em que λ representa o nºmédio de eventos no referido intervalo.

•Definições:



{ }

{ }⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈=

−

,...2,1,0 0

,...2,1,0 !)(

x

xx

exf

xλλ

⎣ ⎦

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥∑

<=

=

− 0 !

0 0)(

0x

ie

xxF x

i

iλλ



•Distribuição de Poisson: X ~ Poisson (λ)

•Parâmetros: λ

•Gama de valores: {0,1,2,....}

•Propriedades:

E(X) = λ

VAR(X) = λ

Se λ não é inteiro Moda = Int [λ]

Se λ é inteiro Bi-Modal em λ -1 e λ


6.4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Contínuas•Distribuição de Uniforme: X ~ U(a,b)

Aplica-se à ocorrência aleatória no intervalo [a,b] cuja probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo

•Definições:

• Função de Densidade de Probabilidade:


[ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

bax

baxabxf

, 0

, 1)(

[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

∈−−

<

=

bx

baxabax

ax

xF

1

,

0

)(


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Contínuas

•Distribuição de Uniforme: X ~ U(a,b)

•Gama de Valores: [a,b]

•Propriedades:

E(X) = (a+b)/2

VAR(X) = (b-a)2/12

Função Geradora de Momentos

0 ,1)( ≠−

−= t

tee

abtm

atbt

x


6.4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Contínuas•Distribuição Normal: X ~ N(µ, σ2)

•Definições:



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

2 21exp

21)(

σµ

πσxxf

dttxXPxF x∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=≤= ∞−

2

2 21exp

21)()(

σµ

πσ



•Parâmetros: µ,σ2

•Gama de Valores: [-∞, +∞,]

•Propriedades:

E(X) = µ

VAR(X) = σ2

Moda = µFunção Geradora de Momentos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2exp)(

22tttmxσµ



1-

2- Se as variáveis Xi ~ N(µi , σi2) são independentes então:

3- Se as variáveis Xi ~ N(0 , 1) são independentes então:

997.0)33(95.0)22(

68.0)(

≈+<<−≈+<<−

≈+<<−

σµσµσµσµ

σµσµ

XPXP

XP

∑∑∑i

iii

iii

ii aaNXa ),(~ 22σµ

2)(

1

2 ~ n

n

iiX ℵ∑

=



•1-

•2-

•3-

Correcção de continuidade ( x-0.5<X<x+0.5)

)()(

)1,0(~ e ),(~ Se 2

σµ

σµ

σµσµ

−≤≤

−=≤≤

−=

bZaPbXaP

NXZNX

)1,0(~ para converge)1(

granden e),(~ Se

Npnp

npXZ

pnBinX

−−

=

)1,0(~ para converge

grande e)(~Se

NXZ

PoissonX

λλ

λλ−

=



•Distribuição Exponencial –Exp(β): X ~ Exp(β)Aplica-se à ocorrência de eventos a uma taxa constante, num intervalo de tempo ou numa região. X representa o intervalo de tempo entre eventos independentes

Definições:



0 10 0

)( /⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<= − xe

xxf x β

β

⎩⎨⎧

≥−

<=

− 0 10 0

)(/ xe

xxF

x β



•Distribuição Exponencial –Exp(β): X ~ Exp(β)

•Parâmetros: β•Gama de Valores: [0, +∞,]

•Propriedades:

E(X) = β

VAR(X) = β2

Moda = 0

Função Geradora de Momentos

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=t

tmx β11)(



•Distribuição Gama –Gama(α,β): X ~ Gama(α,β)

X representa a soma de α V.A. exponenciais independentes.

Definições:


•Em que


( )

0 10 0

)( 1⎪⎩

⎪⎨⎧

>Γ

≤= −− xex

xxf x

βαα αβ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

≤

=∑−

=

− 1

00

!11

0 0)( α

ββ

i

i

xxi

e

xxF x

∫+∞ −− >=Γ

01 0 )( αα α dxex x


6.3 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Contínuas•Distribuição Gama –Gama(α,β): X ~ Gama(α,β)

•Parâmetros: α,β•Gama de Valores: [0, +∞,]

•Propriedades:

E(X) = α β

VAR(X) = α β2

Moda = (α –1) β

Função Geradora de Momentosα

β⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=t

tmx 11)(



•Distribuição Qui –Quadrado -X2: X ~ X2(v)

Representa V.A.s que sejam o quadrado de V.A.s com distribuição Normal Estandardizada. Permite fazer inferências sobre a variância de uma população.

Definições:


•Função de Distribuição Acumulada:*

*apenas se v for um nº par , se v for impar a função não é definida

( )( ) 0

2

10 0

)( 22

2

1

2⎪⎩

⎪⎨

⎧

>Γ

≤

= −− xex

xxf xν

νν

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≤=

∑−

=

−1

0

22 0

2!11

0 0)( ν

i

i

xxi

e

xxF x



•Distribuição Qui –Quadrado -X2 : X ~ X2(v)

•Parâmetros: v ( graus de liberdade)

•Gama de Valores: [0, +∞,]

•Propriedades:

E(X) = v

VAR(X) = 2 v

Moda = v-2, se v≥2

Função Geradora de Momentos2

211)(

ν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=t

tmx



•Distribuição t-Student - T(v) : X ~ T(v)

Seja : em que Z ~N(0,1) e Y~ X2(v)

Permite fazer inferências sobre a média de uma população a partir de uma amostra.

Definições:


•Função de Distribuição Acumulada: a função não é definida

( )( )

21

2

2

21 1)(

+−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Γ

Γ=

ν

ν

ν

νπνxxf

νYZX =



•Distribuição t-Student - T(v) : X ~ T(v)•Parâmetros: v

•Gama de Valores: [- ∞, + ∞,]

•Propriedades:

E(X) =0 se v>1

VAR(X) = v/(v-2), se v>2

Moda = 0

Função Geradora de Momentos: não existe



•Distribuição F : X ~ F(v1, v2)

•Parâmetros: v1 e v2

•Gama de Valores: [0, + ∞,]

•Propriedades:

E(X) = v2 / v2 -2 se v2 >2

VAR(X) = , se v2 >4

Moda =

Função Geradora de Momentos: não existe

( )( ) ( )42

22

22

21

2122

−−−+

νννννν



•Distribuição F : X ~ F(v1, v2)

Seja : em que X1~ X2(v1) X2 Y~ X2(v2)

Permite comparar variâncias amostrais e fazer inferências sobre as variâncias das populações.

Definições:


•Função de Distribuição Acumulada: a função não é definida

( )( ) ( )

2

2

11

22

2

1

22

2

211

1

21

21

1)(

ννν

ν

νν

νν

νν

νν

+−

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

Γ= xxxf

2

2

1

1

ν

νX

XX =

Documents

1304 -Análise de Dados e Probabilidade 1 e 2 1º Semestre ...docentes.fe.unl.pt/~pchaves/1304/ficheiros/Analise_de_Dados_e... · Parte da noção de que nas distribuições simétricas