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Nova School of Business and Economics
Álgebra Linear
1
Ficha de Exercícios nº 1
Espaços Vectoriais
1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
b) A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial.
c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços
vectoriais.
d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço
vectorial.
2 Em , qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial?
a) O conjunto de pontos da forma ( ).
b) O conjunto de pontos da forma ( ).
c) O conjunto de pontos da forma ( | |).
d) O conjunto de pontos da forma ( ).
3 Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial?
a) ( * +).
b) .
c) * +.
d) .
4 Em , o plano dado pela equação tem dimensão:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
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Ficha de Exercícios nº 1
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5 Qual o espaço gerado pelos vectores ( ), ( ) e ( )?
a) O plano dado por .
b) .
c) O plano dado por .
d) O plano dado por .
6 Sejam u e v dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo
sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre ⟨ ⟩?
a) É 0.
b) É igual a ‖ ‖.‖ ‖.
c) É 1.
d) Nada.
7 O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço
vectorial de um espaço vectorial V, e , o complemento ortogonal de S?
a) É igual a ∅.
b) É igual a * +.
c) Tem a mesma dimensão que .
d) Pode não ser um subespaço vectorial.
8 Quando é que um vector v, normal a um plano A, de , é ortogonal aos vectores
de A?
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de .
d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A.
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Ficha de Exercícios nº 1
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9 Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de , é um
subespaço vectorial de ?
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de .
d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de .
10 Sejam A e B dois planos de que têm como vectores normais, respectivamente,
( ) e ( ). Qual das seguintes afirmações é garantidamente verdadeira?
a) ∅.
b) ( ) .
c) .
d) É possível que ( ) ( ) .
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Álgebra Linear
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Correcção Ficha de Exercícios nº 1
Espaços Vectoriais
1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
A afirmação é verdadeira, porque um espaço vectorial pode ter apenas um elemento, ou um
número infinito de elementos (se tiver pelo menos 1 elemento não nulo, sendo fechado para
a multiplicação por números reais, tem que ter um número infinito de elementos). Este é um
exemplo de um espaço vectorial constituído por 1 elemento:
* + 1 é ímpar
Não vazio:
Fechado para a soma:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão: A é um espaço vectorial.
b) A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial.
A afirmação é falsa, porque sendo A e B dois espaços vectoriais, são não vazios, fechados
para a soma e fechados para a multiplicação por números reais. A soma directa de A e B,
, é o conjunto de vectores que se obtém ao somar cada elemento de A com cada
elemento de B. Esta é a prova que é também não vazio, fechado para a soma e
fechado para a multiplicação por números reais:
A espaço vectorial; B espaço vectorial;
* +
Não vazio: ( )
Fechado para a soma: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Fechado para a multiplicação por números reais: ( )
( ) ( ) ( )
( )
Conclusão: é um espaço vectorial.
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Correcção Ficha de Exercícios nº 1
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c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços
vectoriais.
A afirmação é falsa, porque, por exemplo, o espaço vectorial contém apenas (excluindo o
próprio ) o subespaço vectorial * +.
d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço
vectorial.
A afirmação é falsa, porque o conjunto de elementos comuns a dois conjuntos que não são
fechados para a soma, ou fechados para a multiplicação (ou ambos), pode ser fechado para
a soma e fechado para a multiplicação. Por exemplo, * + e * + não são
subespaços vectoriais por não serem, por exemplo, fechados para a soma, mas
* + é um espaço vectorial.
Resposta correcta: a)
2 Em , qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial?
a) O conjunto de pontos da forma ( ).
A resposta é correcta:
*( ) +
Não vazio: ( )
Fechado para a soma: ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))
Fechado para a multiplicação por números reais: ( )
( ) ( )
Conclusão: é um espaço vectorial.
b) O conjunto de pontos da forma ( ).
A resposta é incorrecta:
*( ) +
Não vazio: ( )
Inclusão da origem: ( )
Conclusão: não é um espaço vectorial.
c) O conjunto de pontos da forma ( | |).
A resposta é incorrecta:
*( | |) +
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Não vazio: | | ( )
Fechado para a soma: | | ( ) | |
( ) ( ) ( ) ( )
Conclusão: não é um espaço vectorial.
d) O conjunto de pontos da forma ( ).
A resposta é incorrecta:
*( ) +
Não vazio: ( )
Fechado para a soma: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Conclusão: não é um espaço vectorial.
Resposta correcta: a)
3 Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial?
a) ( * +).
A resposta é incorrecta:
( * +)
Não vazio:
Fechado para a soma: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Fechado para a multiplicação por números reais: ( )
( )
Conclusão: é um espaço vectorial.
b) .
A resposta é incorrecta:
Não vazio:
Fechado para a soma:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão: é um espaço vectorial.
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Correcção Ficha de Exercícios nº 1
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c) * +.
A resposta é incorrecta:
* + * +
Não vazio: * +
Fechado para a soma: * +
Fechado para a multiplicação por números reais: * +
Conclusão: * + é um espaço vectorial.
d) .
A resposta é correcta:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão: não é um espaço vectorial.
Resposta correcta: d)
4 Em , o plano dado pela equação tem dimensão:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Vamos encontrar uma base para o plano (que é um subespaço vectorial de ) e identificar a
sua cardinalidade (número de vectores que contém):
Sistema de geradores:
*( ) + *( ) +
* ( ) ( ) ( ) +
*( ) ( ) ( )+
Independência linear:
( ) ( ) ( ) ( )
{
*( ) ( ) ( )+ é linearmente independente
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Base:
{ *( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+ é uma base de A
Dimensão:
( ) *( ) ( ) ( )+
Alternativamente, podemos verificar que A contém todos os vectores de cuja 1ª
coordenada (x) é 0, o que significa que os seus elementos têm 3 variáveis livres: y, z e w, cujo
valor não tem qualquer restrição. A dimensão de A iguala o número de variáveis livres dos
seus elementos sendo, por isso, 3.
Resposta correcta: c)
5 Qual o espaço gerado pelos vectores ( ), ( ) e ( )?
a) O plano dado por .
b) .
c) O plano dado por .
d) O plano dado por .
Os vectores ( ), ( ) e ( ) são geradores de um subespaço vectorial de ,
constituído por todos os vectores que representam uma combinação linear dos 3.
Chamemos a este subespaço vectorial A:
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +
Mas, ainda que gerem A, estes 3 vectores podem ser linearmente dependentes, no sentido
em que algum deles pode ser gerado pelos restantes. Nesse caso, o vector que pode ser
obtido a partir dos outros não contribui para a geração do espaço (também não a impede),
podendo ser removido. Vamos verificar se os vectores são linearmente independentes:
( ) ( ) ( ) ( )
{
{
{
*( ) ( ) ( )+ é linearmente dependente
Sendo os vectores linearmente dependentes e nenhum deles o vector nulo, então qualquer
1 deles pode ser gerado a partir dos outros 2. Vamos verificar se os 2 primeiros são
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linearmente independentes (em caso afirmativo, também geram A, mas desta vez à custa de
um menor número de vectores):
( ) ( ) ( )
{
{
*( ) ( )+ é linearmente dependente
Desta forma, podemos descrever A de forma mais concisa do que se tivessemos recorrido
aos 3 vectores originais:
*( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) +
*( ) ( ) ( ) +
*( ) + *( ) +
Resposta correcta: a)
6 Sejam u e v dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo
sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre ⟨ ⟩?
a) É 0.
b) É igual a ‖ ‖.‖ ‖.
c) É 1.
d) Nada.
Se u e v são dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo sentido, são
paralelos, formando por isso um ângulo de 0º entre si. Aplicando-lhes a fórmula que nos
indica o coseno do ângulo formado entre dois vectores, obtemos:
( ) ⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖ ( )
⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖
⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖ ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖
Resposta correcta: b)
7 O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço
vectorial de um espaço vectorial V, e , o complemento ortogonal de S?
a) É igual a ∅.
A resposta é incorrecta. Se S é um subespaço vectorial, contém a origem de V, . E é
ortogonal a todos os vectores de V, incluindo , pertencendo, por isso, a . Logo:
( ) ∅
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b) É igual a * +.
A resposta é correcta. Já sabemos que contém . Para além deste, não contém
nenhum outro vector. De facto, qualquer vector que pertença a é ortogonal a si
próprio. Contudo, nenhum vector não nulo preenche esta condição. Se u, um vector não
nulo de V, fosse ortogonal a si próprio, ⟨ ⟩ . Mas ⟨ ⟩ ‖ ‖ e ‖ ‖ é sempre
positiva, excepto quando u é o vector nulo. Por isso, sendo u diferente de , ⟨ ⟩ e
não há nenhum vector, excepto , que pertença simultaneamente a e .
c) Tem a mesma dimensão que .
A resposta é incorrecta. pode não ser um subespaço vectorial de V, não tendo por
isso dimensão. Por exemplo:
*( ) + *( )+
( ) ( ) ( ) ⟨( ) ( )⟩
*( ) +
*( ) +
Não vazio: ( ) ( )
Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Conclusão: não é um subespaço vectorial de V
d) Pode não ser um subespaço vectorial.
A resposta é incorrecta. * + e, por isso, é um subespaço vectorial de V.
Resposta correcta: b)
8 Quando é que um vector v, normal a um plano A, de , é ortogonal aos
vectores de A?
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de .
d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A.
v, o vector normal a A, é ortogonal não aos vectores de A (no sentido em que todos os
vectores de têm início na origem), mas aos vectores diferença de A (vectores que
resultam da subtracção entre vectores de A). Assim, em geral, v não é ortogonal aos
vectores de A. Contudo, se A contiver a origem de , então os vectores diferença de A são
também vectores de A e, neste caso, v é ortogonal aos vectores de A. De facto, a equação
normal de A é dada por ⟨( ) ⟩ , sendo x um vector geral de A, a um vector
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específico que pertença a A e v o vector normal a A. a pode ser qualquer vector de A,
nomeadamente a origem de , se esta pertencer a A. Substituindo a por na equação
normal, ficamos com:
⟨( ) ⟩ ⟨ ⟩
Se A não contiver a origem de , nenhum vector diferença de A vai coincidir com qualquer
dos vectores de A e, por isso, v não vai ser ortogonal aos vectores de A. De facto, imagine-se
que , mas que existe um vector de A, b, que é ortogonal a v. Escolhendo b como vector
específico, na equação normal de A, ficamos com ⟨( ) ⟩ . Mas sabemos que todos
os vectores de que satisfazem esta equação pertencem a A e é um deles:
⟨( ) ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
A última igualdade é de facto verdadeira, porque b é ortogonal a v. Logo, se v for
perpendicular a um vector de A, este plano contém necessariamente a origem de .
Resposta correcta: c)
9 Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de , é um
subespaço vectorial de ?
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de .
d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de .
Se um vector é ortogonal a um plano A, de , também o são todos os vectores com a sua
direcção e apenas estes. Por isso, o conjunto de vectores normais a um plano de é
sempre constituído por um vector e pelos seus múltiplos, sendo por isso um subespaço
vectorial de , independentemente do plano A. Chamemos V ao conjunto de vectores
normais a A:
* ⟨( ) ⟩ +
Não vazio: ⟨( ) ⟩
Fechado para a soma: (⟨( ) ⟩ ⟨( ) ⟩ )
⟨( ) ⟩ ⟨( ) ⟩ ⟨( ) ( )⟩
Fechado para a multiplicação por números reais: ⟨( ) ⟩
⟨( ) ⟩ ⟨( ) ⟩
Conclusão: V é um subespaço vectorial de .
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Resposta correcta: a)
10 Sejam A e B dois planos de que têm como vectores normais,
respectivamente, ( ) e ( ). Qual das seguintes afirmações é garantidamente
verdadeira?
a) ∅.
A resposta é incorrecta. Apenas sabemos que A e B têm dois vectores normais paralelos. Se
um vector é normal a um plano, todos os seus múltiplos também o são, pelo que ( ) e
( ) são normais quer a A, quer a B. Sabemos então que A e B paralelos, mas não
sabemos onde se encontram em . É por isso perfeitamente possível que A e B sejam o
mesmo plano e, nesse caso, .
b) ( ) .
A resposta é incorrecta. É possível que um vector normal a um plano pertença ao plano
(tendo em conta que todos os vectores de têm início em ( )). Se A for o plano cuja
equação cartesiana é , então ( ) é não só um vector normal a A (os
coeficientes de x, y e z na equação cartesiana são, respectivamente, 1, 1 e 1), como também
um vector de A ( ).
c) .
A resposta é incorrecta. Sabemos que A e B são paralelos, mas não podemos garantir que
sejam o mesmo plano. De facto, é possível que A e B tenham, por exemplo, como equações
cartesianas, respectivamente, e , não sendo neste caso o mesmo
plano (neste exemplo, o plano B resulta de uma translação do plano A, subindo 1 unidade no
eixo dos zz).
d) É possível que ( ) ( ) .
A resposta é correcta. A e B são planos paralelos, já que os vectores normais a ambos são
todos os vectores com a direcção do vector ( ) (e do ( ) também). Desta forma, o
facto de sabermos que A é ortogonal a ( ) e B a ( ) nada nos indica sobre a distância
a que cada um se encontra da origem de . A norma do vector normal a um plano é
irrelevante, interessando apenas a sua direcção. Assim, se A e B tiverem como equações
cartesianas, respectivamente, e , ficamos com:
Plano A: ( ) ( )
( ) |⟨( ) ( ) ( )⟩
‖( )‖|
|⟨( ) ( )⟩|
√ | |
√ √
Plano B: ( ) ( )
Comparação: ( ) √
( )
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Resposta correcta: d)
