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UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economia

Análise de Dados e Probabilidade

1º Semestre 2006/2007

EXERCÍCIOS DE EXAMES ANTERIORES

1. A Associação do Sector de Vestuário do país “Roupalândia” pretende estudar como

se distribuem as suas 200 associadas relativamente à produção semanal de peças de

vestuário.

Considerando X como a variável que designa o número de peças produzidas

semanalmente, observe a seguinte tabela de frequências:

Xj

(Produção de peças semanal) nj

0-50 20 50-100 a

100-200 65 200-350 30 350-500 b

200

5

1

=∑=

jj

n

a) Sabendo que a média quadrática de X é igual a 207.327, obtenha os valores de a e

b. Qual a interpretação do valor a?

b) Qual o volume de produção de vestuário semanal mais frequente?

c) A Associação pretende premiar as empresas com maiores níveis de produção

semanal. As associadas defendem que se devem premiar os 50% das empresas com

maior volume de produção, enquanto que o Presidente defende que só os 25% mais

elevados devem ser contemplados. Para as duas posições, a partir de que volume de

produção estariam as empresas contempladas? Justifique.

d) Considerando que o momento de ordem 3 em relação à média é igual a 1764438

conclua sobre o sinal da assimetria da distribuição. Sabendo que a variância da

distribuição é igual a 14718 confirme o resultado calculando o coeficiente de Fisher.

e) Analise o grau de concentração na repartição dos níveis de produção semanal

pelas empresas.

2

2. Considere o seguinte polígono integral, referente à distribuição de 100 empresas segundo as horas gastas em formação do seu pessoal, por ano (variável X)

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 3 4 7 9Xi

Fi*

a) Apresente a tabela de frequências.

b) Calcule a média, mediana e moda (pela Fórmula de King) da variável “horas de

formação por ano”

c) Interprete um dos valores das frequências absolutas (à sua escolha) e a mediana

d) Se se considerar que as empresas com horas de formação por ano

compreendidas no intervalo sX ± (sendo s o desvio padrão) são empresas com

níveis de formação aceitáveis, quantas das 100 empresas mereceriam tal

classificação?

e) Comente:

“Se uma variável tem média zero, então tem valores positivos e valores negativos

com iguais frequências relativas”.

3.

Seja Xi o salário numa empresa de informática

Xi ni 0-100 25

100-200 50 200-300 90 300-400 100 400-600 35

a) Construa a tabela de frequências.

b) Calcule a média, mediana, moda (pela fórmula de King) e o intervalo inter-

quartis.

3

c) Calcule a variância.

d) Usando a informação obtida anteriormente sobre a mediana e os quartis da

distribuição, que conclusão pode retirar sobre a assimetria da distribuição?

4. Foram inquiridos 300 trabalhadores sobre as suas horas semanais de trabalho. Os resultados foram os seguintes:

Xj (horas) Xj’ (horas) nj fj Si Fi

*

a - 20 15 4 i 4 0.0133 20 – 35 27.5 f 0.05 19 p 35 – 40 e 101 0.3367 120 q 40 – b 45 g j n 0.8

50 – 60 55 50 l o r c - d 65 h m 300 1

∑=

6

1jjn =300 ∑

=

6

1jjf =1

a) Descubra a informação em falta (valores correspondentes às letras a,b,c,..,r).

b) Represente graficamente a distribuição, através do histograma e do polígono de

frequências.

c) Calcule as medidas de localização ( para a moda, utilize a Fórmula de King). O que

pode concluir sobre a assimetria?

d) Utilizando o Grau de Assimetria de Pearson, verifique se a sua conclusão anterior

se mantém.

5. Numa dada empresa, a média aritmética, a mediana e a moda dos salários pagos

são, respectivamente, 600 , 620 e 630 Euros mensais.

Visando a actualização salarial para o próximo ano a administração da empresa

apresenta aos trabalhadores as duas seguintes alternativas:

(i) - aumento de 18 Euros por mês a todos os trabalhadores;

(ii) - aumento de 3% no salário mensal de todos os trabalhadores.

a) Os trabalhadores decidem proceder a uma votação para escolha da alternativa que

mais lhes convém. Se o objectivo dos trabalhadores for maximizar o aumento do seu

salário mensal, qual será a alternativa vencedora? Justifique a sua resposta.

b) Como classificaria a distribuição dos salários relativamente à simetria?

c) Se uma política de actualização salarial do tipo da adoptada em a) viesse a

verificar-se em anos sucessivos como evoluiria o índice de Gini de concentração

4

dos salários? Aumentaria, diminuiria ou ficaria inalterado? Justifique a sua

resposta.

6. No sector agro-alimentar, realizou-se um inquérito a 200 trabalhadores

relativamente aos seus salários mensais.

Salários (euros) Trabalhadores

0-500 70 500-1000 58

1000-1750 40 1750-2500 20 2500-4000 12

a) Comente, quantificando, a seguinte afirmação: “No sector agro-alimentar detecta-se

uma distribuição igualitária dos salários pelos trabalhadores”.

b) Calcule o desvio absoluto médio.

c) “No sector agro-alimentar 25% dos trabalhadores recebem um salário superior a

1350 euros.” Concorda com a afirmação? Justifique, quantificando.

7. No mês de Janeiro, um inquérito relativo aos salários (em euros) no sector da

metalomecânica deu a conhecer a seguinte informação:

800X = 780Mediana = 750Mod = 2 1500s =

desvio absoluto médio (d) = 32 0.6G = Sabendo que no mês de Fevereiro cada trabalhador vai beneficiar de um aumento

salarial de 2%:

a) Indique, demonstrando, qual o novo desvio absoluto médio no sector.

b) Qual a nova variância? Justifique.

c) O que acontece à dispersão no mês de Fevereiro? Justifique.

d) Qual a nova moda e mediana?

e) O que pode concluir em relação à concentração? Aumenta, diminui ou mantém-se?

Justifique.

5

8. Considere o seguinte quadro:

Índice de preços base 1996

Índice de preços base 1999

Despesa a preços correntes

1997 0.63 500 1998 0.75 662 1999 0.88 1 759 2000 1.24 1324 2001 1.46 1457 2002 1.52 1572

a) Calcule um índice de despesa a preços constantes de 2000, com base em 2002.

b) Que tipo de índice é mais utilizado para cálculo de índices de preços, o de

Laspeyres ou o de Paasche? Explique porquê.

9. Uma fábrica de conservas compra 3 produtos (atum, sardinha e caviar):

ANO 0 ANO 1

P Q P Q

Atum 5 10 6 10

Sardinha 6 12 8 8

Caviar x 20 Y 12

a) Descubra os valores em falta na tabela, sabendo que o índice de Paasche de

quantidades para o ano 1 com base em 0 é de 0,67 e que o índice de despesa

para o ano 1 com base em 0 é de 0,97.

b) Calcule o índice de Laspeyres de preços e o índice Paasche de preços. Que

relação se verifica neste caso entre os índices de Laspeyres e Paasche de

preços? Justifique a existência dessa relação neste caso.

c) Suponha que o economista da empresa decide utilizar um índice de preços que

consiste na média geométrica dos índices de Laspeyres de preços e de Paasche

de preços. Verifique se o índice assim construído respeita a circularidade.

10.

6

A evolução dos preços de cada um dos três bens (A, B, C) é traduzida através dos

índices do quadro abaixo, onde se indicam também as respectivas despesas em 1994

e 1995

Índice de preços

(todos com a mesma base) Despesa

1993 1994 1995 1994 1995 A 240 300 360 500 590 B 210 250 275 200 230 C 320 400 420 300 370

a) Calcule um índice do tipo Laspeyres, de 1995 com base em 1994, que sintetize a

evolução global dos preços dos três bens.

b) Admitindo que o índice atrás é um índice de preços no consumidor e tendo o salário

nominal de um trabalhador aumentado de 220.000$00 para 244.200$00 , no

mesmo período, qual foi a evolução real no seu poder de compra? Quantifique.

c) Comente a afirmação: O índice de quantidades de Laspeyres requer informação

completa de preços e quantidades, para os períodos em estudo.

11.

Considere a seguinte informação:

Índice de Preços das Vendas Anos Valor das Vendas

(preços constantes de 95) Base 1993=1 Base 1998=1

1995 1180 1.2

1996 1750 1.35

1997 1800 1.4

1998 1950 1.55 1

1999 1990 1.18

2000 2100 1.25

2001 2150 1.37

a) Obtenha um índice de preços das vendas com base em 1995.

b) Qual o valor das vendas a preços correntes para o conjunto dos anos analisados?

7

12.

A evolução dos preços de três produtos A, B e C para os anos 2002 e 2003 é

apresentada na tabela seguinte:

Índices de preços

(calculados na mesma base)

Produtos 2002 2003

A 1.6 2.0 B 1.2 1.5 C 2.0 3.0

Sendo as despesas nesses produtos nos anos 2002 e 2003: A B C

2002 1300 1000 1200 2003 1500 1200 1300

a) Calcule um índice do tipo Paasche, de 2003 com base em 2002, que sintetize a

evolução global dos preços dos três produtos.

b) Sabendo que os índices simples de quantidades para os produtos A e B, para 2003

com base em 2002, foram 0.75 e 0.80, respectivamente. Determine o índice simples

de quantidades do produto C, para 2003 com base em 2002.

13. Para acorrer às dificuldades económicas dos trabalhadores do sector Metalomecânico

do distrito de Setúbal, o Governo pediu um inquérito ao Ministério do Trabalho acerca

dos vencimentos auferidos. Uma primeira informação foi que os salários líquidos

mensais seguiam uma lei normal com 50=µ e 2252 =σ (em certas unidades

monetárias).

O Governo decidiu atribuir um subsídio unitário de 5 u.m. a todos os trabalhadores que

auferem menos de 35 u.m. mas também lança uma taxa de 2 u.m. sobre cada um dos

8

8% mais bem pagos do sector; qual o encargo líquido esperado se o plano envolver

5000 trabalhadores?

14. Três máquinas M1, M2, M3, funcionam independentemente produzindo certo tipo

de componente electrónico. A máquina M3 garante, só por si, metade da produção.

Cada uma delas produz componentes defeituosas nas seguintes proporções:

M1: 8% M2: 8% M3: 2%

Calcule a proporção de componentes defeituosas produzidas pelas 3 máquinas em conjunto. 15. Seja a experiência aleatória assim definida: “lança-se um dado equilibrado até que

surjam duas saídas pares consecutivas, seguidas de duas saídas ímpares

consecutivas”.

a) Qual o número mínimo de lances que deve ser feito?

b) Qual o cardinal dos espaço dos acontecimentos?

c) Escreva os acontecimentos que necessitam de 4, 5 ou 6 lances para se

realizarem.

16.

Seja a função de probabilidade de X:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

2,41

1,21

0,41

)(

x

x

x

xf

Seja a variável aleatória Y=X+3

a) Calcule )(XEX =µ e )(2 XVX =σ ;

b) Desenhe a função de densidade da variável aleatória Y;

c) Diga, recorrendo apenas às propriedades de )X(E qual o valor de

)(YEY =µ ; justifique.

9

17. Considere agora a variável aleatória Z que designa o número de certas

ocorrências verificadas em 5 minutos. Sabendo que segue uma distribuição de

Poisson, e que 6)Z(E 2 = :

Qual a probabilidade de se verificarem 8 ocorrências num período de 10 minutos?

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Análise de Dados e Probabilidade

1º Semestre 2006/2007

EXERCÍCIOS DE EXAMES ANTERIORES RESOLVIDOS

1. a)

Xj nj Xj´ fj fj/hj F*j 0-50 20 25 0.1 0.002 0.1

50-100 a = 60 75 0.3 0.006 0.4 100-200 65 150 0.325 0.00325 0.725 200-350 30 275 0.15 0.001 0.875 350-500 b = 25 425 0.125 0.00083 1

5

1200j

jn

=

=∑ 1

Sabendo que a média quadrática de X é igual a 207.327 e que 5

1

200jj

n=

=∑ :

2 2 2 2 225 .20 75 . 150 .65 275 .30 425 .207.327

20020 65 30 200

a b

a b

⎧ + + + +⎪ =⎨⎪ + + + + =⎩

3743750 5625. 180625.207.327200

85

a b

a b

⎧ + +=⎪

⎨⎪ = −⎩

8596900 4221875 175000b= +⎧⎨−⎩

2560

ba=⎧

⎨ =⎩

60 empresas da Associação do Sector de Vestuário produzem entre 50 a 100 peças de vestuário semanalmente. b) Determinar a moda: Classe modal: ] ]50 100−

Mod k = 50 + 50 * 0.00325

0.00325 0.002+= 80.95 (volume de produção de vestuário semanal

mais frequente)

c) Pretende-se obter a mediana e o 3º quartil: i) Mediana : Classe ] ]100 200−

0.725 0.4 0.5 0.4 130,77200 100 100

MedMed

− −= ⇔ =

− −

50% das empresas têm um volume de produção semanal superior a 130.77 peças de vestuário. ii) Terceiro quartil: classe ] ]200 350− 0.875 0.725 0.75 0.725 225

350 200 200Fu

Fu− −

= ⇔ =− −

Acima de um volume produção igual a 225 peças de vestuário semanais contemplam-se os 25% das empresas com maiores volumes de produção. d)

33/ 2 3/ 2

2

17644381 0.998 > 0 ( ) (14718)

mgm

= = = Assimétrica Positiva

e)

nj fj pj tj qj pj-qj

0-50 20 0.1 0.1 500 0.01 0.09 50-100 60 0.3 0.4 4500 0.15 0.25

100-200 65 0.325 0.725 9750 0.44 0.29 200-350 30 0.15 0.875 8250 0.68 0.19 350-500 25 0.125 1 10625 1.00 -

200 1 33625

Gini =

4

14

1

( )0.814 0.388

2.1

i ii

ii

p q

p

=

=

−= =

∑

∑

O grau de concentração não é muito elevado.

2. a) A partir do gráfico apresentado no exame, podíamos chegar à seguinte tabela de frequências:

Xj Xj’ nj fj Si Fi

* aj 0 – 1 0.5 5 0.05 5 0.05 0.05 1 – 3 2 20 0.2 25 0.25 0.1 3 – 4 3.5 20 0.2 45 0.45 0.2 4 – 7 5.5 45 0.45 90 0.9 0.15 7 - 9 8 10 0.1 100 1 0.05

∑=

=5

1100

jjn ∑

=

=5

11

jjf

b) Média

4.48*1.0...2*2.05.0*05.0*5

1

' =+++== ∑=j

jj XfX

Mediana: classe mediana 4 – 7 (porque a classe anterior ainda não acumulou 50% das observações) Por interpolação linear:

3333.44

)4()(47

)4()7(=⇔

−−

=−− Med

MedFMedFFF

Moda: classe modal 3 – 4 (porque é a classe que tem maior densidade de frequência aj) Pela Fórmula de King:

Mod= 6.3)1.015.0

15.0(*13 =+

+

c) Vamos interpretar a frequência absoluta correspondente à 4ª classe: 45 das 100 empresas gastam entre 4 e 7 horas em formação do seu pessoal Interpretação da mediana: 50% das empresas gastam em formação do seu pessoal até 4 horas e 20 minutos

d) Para podermos responder a esta pergunta temos, primeiro que tudo, calcular o desvio-padrão. Comecemos pela variância:

915.3* 25

1

'2 2

=−= ∑=

XXfsj

jj

9786.12 == ss

Assim, o que queremos saber é quantas empresas estão no intervalo [4.4-1.9786; 4.4+1.9786], ou seja, no intervalo [2.4214; 6.3786]. Para sabermos isto, temos de calcular as frequências relativas acumuladas destes dois valores, usando interpolação linear. Para o limite inferior do intervalo:

19614.0)4214.2(14214.2

)1()4214.2(13

)1()3(=⇔

−−

=−− FFFFF

Para o limite superior do intervalo:

80679.0)3786.6(43786.6

)4()3786.6(47

)4()7(=⇔

−−

=−− FFFFF

A quantidade de empresas com um nível de formação aceitável é: 0.80679 – 0.19614 = 0.61065 = 61 empresas e) A afirmação é falsa. Para que a média seja 0, a variável tem de assumir valores positivos e negativos mas estes não precisam de ter iguais frequências relativas. Exemplo: Se uma variável assumir os valores 10, 5, 5, -9, -8, -3, a sua média é igual a 0 e, no entanto, as frequências relativas de cada um dos valores assumidos não são iguais porque o valor 5 tem duas ocorrências. 3.

a) Xi Xi

’ ni fi Ni Fi ai = fi / hi 0-100 50 25 0.0833 25 0.0833 0.00083

100-200 150 50 0.1667 75 0.25 0.0017 200-300 250 90 0.3 165 0.55 0.003 300-400 350 100 0.3333 265 0.8833 0.00333 400-600 500 35 0.1167 300 1 0.00058

Σni = 300 Σfi = 1

b)

Média: 1667.279*

1

´'

==∑=

−

N

xnX

m

iii

Mediana: classe mediana: 200 - 300 Por interpolação linear:

3333.28320025.05.0

10025.055.0

200)200()(

200300)200()300(

=⇔−−

=−

⇔−−

=−− med

medmedFmedFFF

Moda: classe modal: 300 – 400 Fórmula de King:

2011.316)003.000058.0

00058.0(*100300 =⇔+

+= ModMod

Fl: classe de Fl: 100 – 200 Como F(200) = 0.25 ⇔ Fl = 200 Fu: classe de Fu: 300 – 400

Por interpolação linear:

006.360300

55.075.0100

55.08833.0300

)300()(300400

)300()400(=⇔

−−

=−

⇔−−

=−−

uuu

u FFF

FFFFF

Intervalo inter-quartis dF = Fu – Fl = 360.006 – 200 = 160.006

c) 2869.14774* 222'

1

2 =⇔−=−

=∑ xi

m

iiX xxf σσ

d) Como os quartis não estão à mesma distância da mediana, esta distribuição é assimétrica. Como o primeiro quartil está mais longe da mediana do que o terceiro quartil, a distribuição será assimétrica negativa ou enviesada à direita 4. Foram inquiridos 300 trabalhadores sobre as suas horas semanais de trabalho. Os resultados foram os seguintes:

Xj (horas) Xj

’ (horas) nj fj Si Fi* aj

a - 20 15 4 i 4 0.0133 0.00133 20 – 35 27.5 f 0.05 19 p 0.00333 35 – 40 e 101 0.3367 120 q 0.06734 40 – b 45 g j n 0.8 0.04

50 – 60 55 50 l o r 0.01667 c - d 65 h m 300 1 0.00333

∑=

6

1jjn =300 ∑

=

6

1jjf =1

a) 1022015 =⇔

+= aa

502

4045 =⇔+

= bb

60=c

702

6065 =⇔+

= dd

5.372

4035=⇔

+= ee

9667.01667.08.0

0333.030010

1667.030050

290103001050120101154300

240120120120300*4.0

4.04.08.04.03367.00633.0

0633.005.00133.0

0133.0300

415419

=+=

==

==

=−==−−−−−=

=+====−=

=+==+=

==

=−=

r

m

l

ohngjqp

i

f

b) Representação gráfica da distribuição

c) Medidas de localização • Média

x = 5333,43300

10*65....15*5,274*15=

+++

• Moda Classe modal: classe com maior densidade de frequência (aj): 35 – 40 Pela fórmula de King:

6157.3900333.004.0

04.0*535 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=Mod

• Mediana Classe mediana: aquela que inclui 50% das observações: 40 – 50 Por interpolação linear:

5.4240

)40()(4050

)40()50(=⇔

−−

=−− med

medFmedFFF

Mod<Med< x : a distribuição é enviesada à esquerda ou assimétrica positiva. d) Grau de Assimetria de Pearson

4551.06081.8

6157.395333.43=

−=

−=

sModxg

s2 = 0989.74300

)5333.4365(*10....)5333.435.27(*15)5333.4315(*4 222

=−++−+−

s = 6081.80989.74 = A medida de assimetria confirma que a distribuição é assimétrica positiva. 5. a) Os trabalhadores que auferem um salário mensal superior a 600 Euros preferem a

alternativa ii), enquanto que os que auferem um salário mensal inferior a 600 Euros preferem a alternativa i). Como a mediana da distribuição é 620 Euros a alternativa vencedora é a ii), uma vez que mais de 50% dos trabalhadores tem um salário mensal superior a 600 Euros.

b) A distribuição é assimétrica negativa ou enviesada à direita. c) O índice de Gini não se alteraria. Ora vejamos, o índice de Gini é definido como

( ),1

1

1

1

∑

∑−

=

−

=

−= m

ii

m

iii

p

qpG

em que m designa o número de classes e pi e qi são definidos como

. e , '

1

1

1jjjm

jj

i

jj

i

i

jji nxt

t

tqfp ===

∑

∑∑

=

=

=

Note-se que fj, nj, x’j são, respectivamente, a frequência relativa simples, a frequência absoluta simples e o ponto médio da classe j.

De uma forma mais geral considere-se uma variável y definida como y=ax. O

índice de Gini mantém-se inalterado, uma vez que o pi e qi da variável y são iguais aos da variável x. Ou seja,

• O pi não se altera, pois é definido como a frequência relativa acumulada e o número de ocorrências em cada classe não se altera.

• O qi também não se vai alterar, dado que

. e

1

'

1

'

1

'

1

'

1

1'' xim

jjj

i

jjj

m

jjj

i

jjj

m

j

yj

i

j

yj

yijjjj

yj q

nax

nax

nax

nax

t

tqnaxnyt ======

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

No caso em questão, se for a alternativa ii) a adoptada a=1.03 e o índice de Gini mantém-se inalterado. 6. a) Para quantificar a afirmação é necessário calcular o índice de Gini.

Xj X’j nj fj pj tj=nj*X´j qj pj-qj

0-500 250 70 0.35 0.35 17500 0.0886 0.2614

500-1000 750 58 0.29 0.64 43500 0.3089 0.3311

1000-1750 1375 40 0.2 0.84 55000 0.5873 0.2527

1750-2500 2125 20 0.1 0.94 42500 0.8025 0.1375

2500-4000 3250 12 0.06 1 39000 1 -

200 1 197500 0.9827

1

11

1

( )0.9827 0.3548

2.77

m

j jj

m

jj

p qG

p

−

=−

=

−= = =∑

∑

O valor obtido para o índice de Gini revela que apesar da concentração não ser muito

elevada, não existe no sector agro-alimentar uma distribuição igualitária dos salários

pelos trabalhadores, dado que para que tal acontecesse o valor do índice de Gini teria

que ser 0.

b) 1

' 987.5N

j jj

X X f=

= =∑

1

'250 987.5 70 ... 3250 987.5 12

654200

N

j jj

X X nd

N=

−− + + −

= = =∑

c)

A afirmação só será verdadeira se o terceiro quartil for igual a 1350 (caso

contrário essa percentagem é sempre ou inferior ou superior a 25%). Pretende-se,

então, calcular o terceiro quartil.

Para verificar se no sector agro-alimentar 25% dos trabalhadores recebem um salário

superior a 1350 euros é necessário calcular o valor do terceiro quartil. Olhando para a

classe das frequências relativas acumuladas podemos verificar que o terceiro quartil

pertence à classe 1000-1750. Usando a interpolação linear:

(1750) (1000) 0.75 (1000)

1750 1000 10000.84 0.64 0.75 0.64

750 10001412

F F FFu

FuFu

− −=

− −− −

=−

A afirmação é falsa dado que 25% dos trabalhadores recebem um salário superior a

1412 euros. Isto é, 1412 euros é o salário acima do qual existem 25% dos

trabalhadores, e não o salário 1350 euros.

7. a) Designando por A a situação inicial e por B a nova situação:

1 1 1 1

1.02 1.02 1.021.02 1.02

N N N NB B A A A A A A

j j j jj j j j A

B

X X X X X X X Xd d

N N N N= = = =

− − − −= = = = =∑ ∑ ∑ ∑

b)

2( ) 1500As = sA=38.7298 1.02B As s= =39.5044 Então, a nova variância: 2 2( ) (39.5044) 1560.6Bs = = Ou:

2 2 2 2 2

( ) (1.02 ) (1.02) ( ) (1.02) 1500 1560.6B A As s s= = = × = c)

1.021.02

B A AA

B A A

S S SCD CDX X X

= = = =

Como o coeficiente de dispersão não se altera, a dispersão mantém-se. d) Nova Moda =1.02*750=765

Nova Mediana=1.02*780=795.6

e) A concentração mantém-se uma vez que o índice de Gini não se altera. O índice de Gini é definido como:

1

11

1

( )m

i ii

m

ii

p qG

p

−

=−

=

−=∑

∑

• O pi não se altera porque diz respeito às frequências relativas acumuladas dos

trabalhadores e o número de ocorrências em cada classe não se altera;

• O qi diz respeito às frequências relativas acumuladas dos salários e também não

se vai alterar, dado que:

(representando por B a nova situação e por A a situação inicial)

´ ´1.02B B Aj j j j jt x n x n= =

´ ´

1 1 1

´ ´

1 1 1

1.02 1.02

1.02 1.02

i i iBj j j j j

j j jB Ai im m m

Bj j j j j

j j j

t x n x nq q

t x n x n

= = =

= = =

= = = =∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

8.

Anos IPt/96 IPt/99 Despesa

a preços correntes

IPt/99 IPt/00 Despesa a preços

constantes de 2000

Índice de despesa

base 2002

1997 0,63 500 0,7159 0,5773 866,1008 0,6754 1998 0,75 662 0,8523 0,6873 963,1893 0,7511 1999 0,88 1 759 1 0,8065 941,103 0,7338 2000 1,24 1324 1,24 1 1324 1,0324 2001 1,46 1457 1,46 1,1774 1237,4724 0,9649 2002 1,52 1572 1,52 1,2258 1282,4278 1

a) Os passos para resolver este exercício são:

1. Calcular o índice de preços com base em 1999 ou 1996, fazendo conciliação de índices (na tabela só está apresentado o índice com base em 1999);

Para obter o índice de preços com base em 1999, só se tem de calcular os dois primeiros valores, para 1997 e 1998, uma vez que todos os outros já estavam na tabela do enunciado. No caso do ano de 1997,

7159,088,075,0*

96/99

96/9799/9799/9696/9799/97 ===⇔= P

PPPPP

II

IIII

A ideia é a mesma para o ano de 1998. 2. Passar a base do índice de preços de 1999 (ou 1996) para 2000, usando as

propriedades da circularidade e reversibilidade no tempo;

5773,024,1

8523,0*99/00

99/9700/9700/9999/9700/97 ===⇔= P

PPPPP

II

IIII

Os cálculos são similares para os restantes anos. 3. Deflacionar a despesa a preços correntes pelo índice de preços com base

2000;

Para o ano de 1997,

despesa a preços constantes de 2000= 1008,8665773,0500

2000==

eçosbaseíndicedepresçoscorrentdespesapre

Os restantes anos estão apresentados na tabela. 4. Calcular um índice simples da despesa obtida no ponto anterior, com base em

2002.

Para o ano de 1997,

6754,04278,1282

1008,86602/97 ==despesaI

b) O tipo de índice mais usado é o de Laspeyres pois, uma vez que pondera a evolução dos preços pelas quantidades do período base, informação essa que está disponível mais depressa do que a informação sobre as quantidades do período para o qual estamos a calcular o índice, como é o caso do índice de Paasche. 9.

a) Sabendo que o índice de Paasche de quantidades entre o ano 1 e o ano 0 é de

0,67, podemos efectuar o seguinte cálculo:

yy

pqpqpqpqpqpq

pqpqP CCSSAA

CCSSAA

Q

×+×+××+×+×

=++

++==

∑∑= 20812610

1288610

101010

111111

10

110|167,0

Daqui, conclui-se, resolvendo em ordem a y, que

9,13≈y Utilizando agora a informação de que o índice da despesa é de 0,97, pode calcular-se x de forma análoga, sabendo y.

20126105129,1388106

000000

111111

00

110|197,0 ×+×+×

×+×+×=

++

++==

∑∑= xqpqpqp

qpqpqpqpqpV CCSSAA

CCSSAA

Daqui conclui-se que

9,8≈x

b) Pode calcular-se o índice de Laspeyres de preços da forma habitual,

209,8126105209,13128106

000000

010101

00

010|1 ×+×+×

×+×+×=

++

++==

∑∑

qpqpqpqpqpqp

qpqp

L CCSSAA

CCSSAA

P

Alternativamente, podemos aplicar a propriedade da reversão de factores:

VPL QP

0|10|10|1 =⋅ A conclusão é a mesma pelas duas vias:

447,10|1 ≈L P Para calcular o índice de Paasche de preços, basta fazer:

42,1101010

111111

10

110|1 ≈

++

++==

∑∑

qpqpqpqpqpqp

qpqp

P CCSSAA

CCSSAA

P

Neste caso, 42,1447,1 0|10|1 =>= PL PP , relação que se justifica pela existência de substituibilidade entre os vários tipos de pescado, pois, neste caso, os preços e quantidades encontram-se negativamente correlacionados.

c) O que se refere no enunciado é a fórmula de Fisher.

Teríamos, então, como índice de preços, ( )PLF Pt

Pt

Pt 0|0|

2/1

0| =

Se se verificar a propriedade da circularidade, terá que acontecer que

FFF Pt

Pt

Ptt 0|0'|'| =

onde t’ é um momento arbitrário entre 0 e t. Desenvolvendo, vem

Fqpqp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

PLPLFF

Pt

t

ttt

t

ttt

tt

tt

tt

ttPt

Pt

Ptt

Ptt

Pt

Ptt

0|

000

0

'0

''

00

0'

'''

'0'|0'|'|'|0'|'|

=⋅≠

≠⋅⋅⋅=⋅=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

Ou seja, o índice construído como sendo a média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche não respeita a propriedade da circularidade.

10.

a) Para calcularmos o índice de Laspeyres pedido no enunciado, precisamos de calcular os ponderadores da despesa e os índices de preço para 1994, com base em 1995, para cada produto. Como os índices de preços apresentados têm todos a mesma base, basta dividir o valor do índice no ano de 1995 pelo do ano de 1994 para cada produto para obter o índice de preços para 1994, com base em 1995. Quanto à fórmula dos ponderadores, esta é:

aldespesatotdespesa

w ii =

Despesa wi iI 94/95

A 500 0,5 1,2 B 200 0,2 1,1

C 300 0,3 1,05 ∑= 1000

135.105.1*3.01.1*2.02.1*5.0* 94/9594/95 =++== P

iP IwL

b) Entre 1994 e 1995, o salário nominal de um determinado trabalhador aumentou 11% (244200/220000) e o índice de preços no consumidor aumentou 13,5%. Assim, é possível ver que o seu poder de compra diminuiu neste período. Quantificando: 1,135/1,11=1.02, ou seja diminuiu 2%. c) A afirmação é falsa, uma vez que é possível calcular o índice de quantidades de Laspeyres sem sabermos os valores dos preços no período para o qual estamos a calcular o índice.

11. a)

Indice base 98

Indice base 95

95 0.774 1 96 0.87 1.124 97 0.903 1.167 98 1 1.292 99 1.18 1.525 00 1.25 1.615 01 1.37 1.77

Aplicando a propriedade da circularidade é possível completar a série para o índice com base em 98, para em seguida se proceder a uma mudança de base para o ano 95.

95/98 95/93 93/9898/93

96 /98 96 /93 93/9898/93

99 /98

1 1.21.2 0.7741.55

1 1.351.35 0.871.55

1.18

I I II

I I II

I

= × = × = =

= × = × = =

=

b) Considerando que Vendas p correntes = Vendas p constantes 95 * I base 95, então:

Vendas p correntes

95 1180 96 1967 97 2100.6 98 2519.4 99 3034.75 00 3391.5 01 3805.5

12. a) O índice de preços do tipo Paasche pode ser escrito do seguinte modo:

∑α=

02/03i

P02/03

I1

1P onde,

Ponderador αA= (1500/4000) = 0.375

Ponderador αB= (1200/4000) = 0.3

Ponderador αC= (1300/4000) = 0.325

Aplicando a propriedade da circularidade e a propriedade de reversão quanto ao

tempo é possível calcular os índices de preços simples de cada produto, em 2003 com

base em 2002:

25.16.10.2

I1IIII A

b/02

Ab/03

A02/b

Ab/03

A02/03 ==×=×=

25.12.15.1

I1IIII B

b/02

Bb/03

B02/b

Bb/03

B02/03 ==×=×=

322.1

5.11325.0

25.113.0

25.11375.0

1PP02/03 =

×+×+×=

b)

143.1)120010001300()130012001500(

QPQP

V0202

030302/03 =

++++

==∑∑ logo,

Q02/03

P02/0302/03 LPV ×= ⇔ Q

02/03L322.1143.1 ×= ⇔ 865.0LQ02/03 =

Como o índice de quantidades do tipo Laspeyres pode ser escrito:

∑ω= 02/03iQ

02/03 IL onde,

Ponderador ωA= (1300/3500) = 0.37

Ponderador ωB= (1000/3500) = 0.29

Ponderador ωC= (1200/3500) = 0.34

75.0IQA02/03 = e 80.0IQB

02/03 =

QC02/03I34.080.029.075.037.0865.0 ×+×+×= ⇔ 046.1IQC

02/03 =

5.10.20.3

I1IIII C

b/02

Cb/03

C02/b

Cb/03

C02/03 ==×=×=

13.

1587,0)1´(15

5035)35X(P =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≤ ΦΦ

Encargo líquido: .m.u5,31678005,39672*08,0*50005*1587,0*5000 =−=−

14. Teorema da Probabilidade Total Máq. P(•) P(D/ •) P(•∩D)

M1 α 0,08 0,08 α M2 0,5- α 0,08 0,04-0,08 α M3 0,5 0,02 0,01 P(D)=0,05 15. a) O número mínimo de lances é 4. b) { }...,n...,,6,5,4S = O cardinal é, pois, infinito numerável. c) 4 lances: PPII 5 lances: IPPII; PPPII 6 lances: IIPPII; PPPPII; PIPPII; IPPPII

16. a)

[ ] 5.0141.2

21.1

41.01)x(f.x)X(E)X(E)X(Var

141.2

21.1

41.0)x(f.x)X(E

22222

0ii

2i

22

2

0iii

=−++=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

=++==

∑

∑

=

=

b)

Y 3 4 5 X 0 1 2

f(x) 1/4 1/2 1/4

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

5y41

4y21

3y41

)y(f

c)

( ) ( 3) ( ) 3 1 3 4E Y E X E X= + = + = + =

17.

[ ]

0298.0!84.)8()8(

)4(".min10"

)2(,)(232

066)()()(:6)(

.)()(,

?)("min5"

84

22222

====

=∩=

=∩−=⇒−=∨=⇔

⇔=−+⇔−=⇔−==

==

=∩=

−efWP

PWutosemsverificadasocorrênciadeNúmeroW

PZqueseconcluirpodeformaDestapositivovalor

ZEZEZVZEComo

ZVZEPoissondeãodistribuiçaSendo

PZutosemsverificadasocorrênciadeNúmeroZ

λ

λλλλλλλλ

λ

λ