1º Trabalho Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre ...docentes.fe.unl.pt/~pchaves/1304/ficheiros/Trabalhos_Analise_de... · Faculdade de Economia da Universidade Nova de

Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 – Análise de Dados e Probabilidades 2º Semestre 2006/2007 Fernando Brito Soares Graça Silva Pedro Chaves

1

1º Trabalho

1. A variável Y representa as exportações mensais (em milhares de euros) de 120 empresas do sector têxtil:

Yj nj fj 0-20 25 20-40 a 0,38 40-60 40 60-70 b

a) Apresente a tabela de frequências (frequências relativas e absolutas e respectivos valores acumulados).

b) Desenhe o histograma de área um e o polígono de frequências.

c) Calcule a média, a mediana e a moda de Y. Interprete os valores obtidos.

d) Calcule a variância e o intervalo inter-quartis.

e) Considere a variável Zi = Yi + 10. Calcule as medidas de localização pedidas em c) para a nova variável.

2. A Escola Primária “Criança Feliz” oferece todos os anos livros às crianças mais desfavorecidas que frequentam o 1º ano.

Ao longo dos 4 últimos anos a escola dispôs de um montante fixo, igual a 150 euros, para aquisição de livros escolares. Suponha que no 1º ano o preço de cada livro foi igual a 5 euros e que nos restantes três anos se verificou um aumento de 10% por ano.

Calcule o preço médio por livro durante os últimos 4 anos.


1

Correcção 1º Trabalho

1. a) Resolvendo as equações 25 + a + 40 + b = 120 e a/120 = 0,38, obtemos a =

46 e b = 9.

Tabela de frequências

Yj X’j hj nj fj Sj F*j(x) fj/hj

0-20 10 20 25 0,2083 25 0,2083 0,0104

20-40 30 20 46 0,3833 71 0,5916 0,0192

40-60 50 20 40 0,3333 111 0,9249 0,0167

60-70 65 10 9 0,0750 120 1 0,0075

b)

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 20 40 60 80

fj/hj

Classes

Polígono de frequências

1304 – Análise de Dados e Probabilidades 2º Semestre 2006/2007

2

c)

Média

Para dados classificados a média aritmética é dada por:

∑∑

=

= ×=×

=m

1j

'jj

m

1j

'jj

xfN

xnx

Assim, para os dados apresentados em a), temos que:

122,350750,0653333,0503833,0302083,010x =×+×+×+×= .

∴ Em média o valor das exportações mensais, das empresas do sector têxtil, é de

35,122 milhares de euros.

Moda

Dado que as classes têm amplitudes diferentes, a classe modal é a classe com maior

fj/hj ⇒ ]20;40]

Pela fórmula de King,

325,320104,00167,0

0167,02020dd

dhlm

1010

10000 =

+×+=

++=

−+

+


3

∴O valor das exportações mensais mais frequente, no conjunto de empresas do

sector têxtil consideradas, é de 32,325 milhares de euros.

Mediana

O segundo quartil, ou mediana, é dado por F*(Q2/4) = 0,5. Através das frequências

relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que

Q2/4 se situa na classe ]20;40]. Por interpolação linear temos que:

220,35Q20Q2083,050,0

202083,05916,0

20Q)20(F)Q(F

2040)20(F)40(F

4/2

4/24/2

*4/2

***

=

⇔−

−=

−⇔

−

−=

−−

∴ 50% das empresas do sector têxtil apresentam um valor de exportações mensais

inferior a 35,220 milhares de euros.

d)

Variância

247,282)122,3565(0750,0)122,3550(3333,0

)122,3530(3833,0)122,3510(2083,0)XX(fs

22

2224

1j

'jj

2

=−×+−×+

+−×+−×=−×=∑=

Quartis

O primeiro quartil é dado por F*(Q1/4) = 0,25. Através das frequências relativas

acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que Q1/4 se

situa na classe ]20;40]. Por interpolação linear temos que:

176,22Q20Q2083,025,0

202083,05916,0

20Q)20(F)Q(F

2040)20(F)40(F

4/1

4/14/1

*4/1

***

=

⇔−

−=

−⇔

−

−=

−−

O terceiro quartil é dado por F*(Q3/4) = 0,75. Através das frequências relativas

acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que Q3/4 se

situa na classe ]40;60]. Por interpolação linear temos que:

505,49Q40Q5916,075,0

205916,09249,0

40Q)40(F)Q(F

4060)40(F)60(F

4/3

4/34/3

*4/3

***

=

⇔−

−=

−⇔

−

−=

−−

Intervalo inter‐quartis = Q3/4 ‐ Q1/4 = 49,505 – 22,176 = 27,329


4

e) 122,4510122,35z =+= ;

Mediana Z = 35,220 + 10 = 45,220; Moda Z = 32,325 + 10 = 43,325

2.

P1 = 5 euros; P2 = 5,5 euros; P3 = 6,05 euros e P4 = 6,655 euros O preço médio por livro durante os últimos 4 anos é dado por:

euros736,5

655,61

05,61

5,51

51

4

P14m 4

1i i

h =+++

==

∑=


1

2º Trabalho

1. Numa dada região, apenas são comercializados três produtos: A, B e C. São conhecidos os seguintes dados referentes ao preço do produto A ao longo de 7 anos:

Ano Preço Índice Base 2000 Índice Base 2002 Índice Elo 2000 - 2001 1,125 2002 2003 1,5 1,2 2004 1,75 2005 1,5 2006 18 1,2

a) Complete a tabela.

b) Sabendo que a média aritmética dos índices de preços dos três produtos de 2006 com base em 2005 é 1 e que os preços do produto B cresceram, de 2005 para 2006, mais

20% do que os do produto C, calcule / e / .

c) Em 2005 e 2006, a despesa total efectuada nesta região foi a mesma, 1000 Euros em

cada ano. Sabendo que / 1, / 2, / 2 e / 1,5, calcule a despesa efectuada com cada um dos produtos, em cada um dos anos (2005 e 2006).

d) Calcule o Índice de Laspeyres e o Índice de Paasche, ambos de preços, para o ano 2006, com base em 2005 (lembre‐se que para calcular estes índices, não precisa directamente dos preços e quantidades e procure modificar as fórmulas originais de forma a utilizar apenas os valores dos índices de preços e percentagens de despesa com cada um dos produtos).

e) Qual o valor do Índice de Fisher de quantidades de 2006, com base em 2005?

2. Existem várias hipóteses para o cálculo de índices sintéticos que representem a evolução conjunta de vários fenómenos. Uma delas é a média geométrica não ponderada

dos índices simples de cada um dos fenómenos, ou seja ∏ / (sendo J o número total

de fenómenos). Verifique quais os critérios de Fisher que este índice respeita, dentro daqueles que lhe são aplicáveis.


1


1.

a)

I /PA PA

PA1; I /

PA PA

PA1; I /

PA I PA 1,125; I /

PA I PA 1,2;

I PA PA

PA1,2

PAPA 15; I /

PA PA

PA1,5

PAPA 10;

I ⁄PA PA

PA1,2 PA PA 12; I /

PA PA

PA1,5

PAPA 8;

I /PA PA

PA1,125 PA PA 9; I /

PA PA

PA1,75 PA PA 14;

I /PA PA

PA1,25; I /

PA PA

PA1,875; I /

PA PA

PA2,25;

I /PA

I /PA ,

0,8; I /PA PA

PA0,9; I /

PA PA

PA1,4;

I /PA PA

PA1,8; I

PA PA

PA1, 1 ; I

PA PA

PA1,1 6 ;

I PA PA

PA1,071.

Ano Preço Índice Base 2000 Índice Base 2002 Índice Elo 2000 8 1 0,8 - 2001 9 1,125 0,9 1,125 2002 10 1,25 1 1,(1) 2003 12 1,5 1,2 1,2 2004 14 1,75 1,4 1,1(6) 2005 15 1,875 1,5 1,071 2006 18 2,25 1,8 1,2

b) I /P A I

P A 1,2

Crescimento preços ⁄B Crescimento preços ⁄

C 0,2 I /P B I /

P C 0,2


2

⁄ 1I ⁄P A I ⁄

P B I ⁄P C

3 11,2 I ⁄

P C 0,2 I ⁄P C

3 1

I /P C 0,8

I /P B I

P C 0,2 0,8 0,2 1

c)

2005:

IC/AD 1

Despesa C

Despesa A 1 Despesa C Despesa A

IA/BD 2

Despesa A

Despesa B 2 Despesa B Despesa A

2

Despesa Total 1000 Despesa A Despesa B Despesa C 1000

Despesa A Despesa A

2 Despesa A 1000 Despesa A 400

Despesa B D A200; Despesa C Despesa A 400

2006:

I /D A

2Despesa A

Despesa A 2 Despesa A Despesa A

24002 200

I /D B

1,5Despesa B

Despesa B 1,5 Despesa B 1,5. Despesa B 1,5.200 300

Despesa Total 1000 Despesa A Despesa B Despesa C 1000

200 300 Despesa C 1000 Despesa C 500

d)

L ⁄∑ p . q∑ p . q

∑ p . q . pp∑ p . q

p . q . pp∑ p . q

p . q∑ p . q

.pp %Despesa . I /

P

4001000 . 1,2

2001000 . 1

4001000 . 0,8 1


3

P ⁄∑ p . q∑ p . q

∑ p . q

∑ p . q . pp

1

∑ p . q . pp∑ p . q

1

∑p . q . pp∑ p . q

1

∑ p . q∑ p . q . 1

pp

1

∑ %DespesaI /P

120010001,2

30010001

50010000,8

0,916

e) O índice de Fisher é reversível quanto aos factores, o que significa que o produto do índice de Fisher de preços pelo índice de Fisher de quantidades, referentes aos mesmos anos, resulta no índice de valor. Logo:

F / . F / I /V L / . P / . F /

Despesa TotalDespesa Total 1.0,916. F /

10001000 0,916. F / 1 F / 1,045

2. G / ∏ I /JJ

∏JJ

1º Critério – Boa determinação: Partindo do princípio que a variável em análise nunca se anula, nem é infinitamente grande ou pequena, o índice nunca se deve anular, ser infinito, ou ser indeterminado:

t, j, x 0 x ∞ 0 ∞ I / 0 I / ∞ ∏ I /J

0 ∏ I /J ∞ ∏ I /

JJ0 ∏ I /

JJ∞ G / 0 G / ∞

2º Critério – Identidade: O índice deve ser unitário quando o ano base e o ano corrente são o mesmo:

G / ∏JJ∏ 1JJ

√1JJ

1

3º Critério – Homogeneidade: O índice deve ser independente de mudanças de medida:

G /. ∏ .

.JJ

∏JJ∏ I /JJ

G /

4º Critério – Proporcionalidade: A variação dos valores da variável em análise no ano corrente deve alterar o índice no mesmo factor:


4

G /. ∏ .JJ

∏ k. I /JJ

∏ kJ .∏ I /JJ

kJ. ∏ I /JJ

k. ∏ I /JJ

k. G /

5º Critério – Reversão quanto aos factores (não totalmente aplicável, por não se tratar especificamente de um índice relativo a preços e quantidades): O produto do índice relativo a preços pelo índice relativo a quantidades deve resultar no índice de valor:

G / . G / ∏JJ. ∏JJ

∏J .∏JJ∏ .

.JJ

∑ .J

∑ .J I /V

6º Critério – Reversão quanto ao tempo: O produto de dois índices em que o ano corrente e o ano base estejam invertidos deve ser unitário:

G / . G / ∏JJ. ∏JJ

∏J .∏JJ∏ .JJ

∏ 1JJ√1JJ

1

7º Critério: Circularidade: O produto de um índice de um ano com base num segundo por outro do segundo ano com base num terceiro deve resultar no índice do primeiro ano com base no terceiro (a mudança de base deve ser possível):

G / . G / ∏JJ. ∏JJ

∏J .∏JJ∏ .JJ

∏JJ∏ I /JJ

G /


1

3º Trabalho

1. Suponha que 6 amigos, o Adruzílio, o Bráulio, o Cílio, a Deotila, a Edéria e a Flamínia, vão jogar um jogo. Primeiro sentam‐se aleatoriamente numa mesa redonda com 6 lugares (não se esqueça que, nestes casos, só interessa a disposição relativa dos lugares). Depois, jogam 1 de 3 jogos, em que a equipa masculina compete com a feminina. Caso as raparigas fiquem todas juntas, um rapaz e uma rapariga jogam ao “Pedra, Papel ou Tesoura”, com o empate a ser considerado vitória das raparigas. Se se sentarem de forma alternada (rapaz‐rapariga), lançam um dado. Se sair um número primo, ganham os rapazes. Caso contrário, ganham as raparigas. Finalmente, se a disposição dos lugares não for nenhuma das anteriores, tiram 3 cartas de um baralho com 52. Se saírem mais cartas de naipes pretos do que encarnados, a vitória é da equipa masculina. Caso contrário, são as raparigas que ganham.

a) Calcule as probabilidades de se jogar cada um dos 3 jogos diferentes.

b) Para cada um dos 3 jogos, calcule a probabilidade de vitória das raparigas e dos rapazes.

c) Qual a probabilidade de a equipa masculina sair vencedora?

d) O jogo foi jogado uma vez e ganharam os rapazes. Qual a probabilidade de se terem sentado de forma alternada (rapaz‐rapariga)?

e) Considere que os lugares estão à mesma distância uns dos outros. Os acontecimentos A: “A Deotila senta‐se à frente da Flamínia” e B: “O jogo “Pedra, Papel ou Tesoura” é jogado” são independentes?

2. No futebol, é normal haver adeptos de mais do que um clube. É o que se passa num grupo de 20 amigos. Sabe‐se que, neste grupo, 2 pessoas não são adeptas de nenhum clube e apenas há adeptos do Sporting, Benfica e Belenenses. 40% (dos 20 amigos) simpatizam com o Benfica e 30% com o Belenenses, sendo que, dos adeptos do Benfica, 25% também são adeptos do Belenenses. Sabe‐se ainda que 20% dos amigos são adeptos do Sporting e do Belenenses, simultaneamente. Obviamente que nenhum dos amigos é adepto do Sporting e do Benfica. Quantos dos amigos são adeptos do Sporting?

Fac1302º SFerGraPed

1.

a) proaco

A: “

B: “

C: “rapa

Numespedeteoutr

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1

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s

r r s

s e e e e é


2

Já no acontecimento B, o raciocínio é ligeiramente diferente. Se nos limitarmos a dizer que os rapazes podem trocar entre si, assim como as raparigas, estamos a ignorar o facto que, se a partir de uma certa disposição de lugares, todos os amigos se deslocarem, por exemplo, um lugar para a esquerda (o que pode se visto como uma permutação dos rapazes e das raparigas), a disposição relativa dos lugares não se altera. Por isso, aqui, é necessário fixar um dos amigos, rapaz, ou rapariga e deixar os outros 2 do mesmo sexo permutar entre si. Para cada um destes casos, os amigos do outro sexo podem permutar entre si. Assim, o número de casos favoráveis aqui é (3‐1 !.3! 2!.3! 2.1.3.2.1 12.

O acontecimento C engloba todos os casos que não estão incluídos nos outros 2, pelo que o número de casos favoráveis que regista é 120‐36‐12 72.

P 1º jogo P A36120

310 ; P 2º jogo P B

12120

110 ; P 3º jogo P C

72120

35

b) 1º jogo: Pedra, Papel ou Tesoura:

Neste jogo, um rapaz e uma rapariga jogam entre si, escolhendo simultaneamente fazer o gesto de uma pedra, papel ou tesoura. A pedra destrói a tesoura, mas é embrulhada pelo papel. A tesoura corta o papel, mas é destruída pela pedra. O papel embrulha a pedra, mas é cortado pela tesoura. Assim, os rapazes ganham quando jogam a pedra e as raparigas a


3

tesoura, quando jogam a tesoura e as raparigas o papel e quando jogam o papel e as raparigas a pedra. As raparigas ganham em todos os outros casos. Aqui é natural que todas as estratégias são jogadas com a mesma probabilidade, porque nenhuma delas torna a vitória mais provável.

P MA P PedraM TesouraF TesouraM PapelF PapelM PedraFP PedraM . P TesouraF P TesouraM . P PapelF P PapelM . P PedraF13 .13

13 .13

13 .13

13

P FA P MA 1 P MA 113

23

2º jogo: Lançamento do dado

Aqui é apenas necessário contabilizar os casos favoráveis à vitória de cada uma das equipas. Considerando um número primo como um número inteiro que apenas quando é dividido por 1 ou por si próprio resulta num número inteiro, verificamos que, o conjunto 1,2,3,4,5,6 , que compreende os resultados possíveis no lançamento de um dado, se divide nos subconjuntos 1,2,3,5 , apenas constituído por números primos e 4,6 , onde apenas figuram números não primos.

P MB46

23

P FB26

13

3º jogo: Extracção de cartas

Neste jogo, basta reparar que, ao serem extraídas 3 cartas, uma de duas coisas têm que acontecer: ou saem mais cartas encarnadas (2 ou 3), ou saem mais cartas pretas (2 ou 3, também). Mais ainda, como o número de cartas encarnadas de um baralho é igual ao número de cartas pretas, as vitórias dos rapazes e das raparigas têm que ser equiprováveis.

P MC P FC 1P MC P FC

P MC12

P FC12

c) A probabilidade deste acontecimento pode ser facilmente calculada, usando o Teorema da Probabilidade Total. De facto, os acontecimentos A, B e C são uma partição do universo, na medida em que um dos jogos vai ser jogado e não pode ser jogado mais do que 1 simultaneamente. A vitória dos rapazes pode acontecer quando se joga o 1º, o 2º, ou o 3º jogo:


4

P M P A M B M C M P A . P M\A P B . P M\B

P C . P M\C P A . P MA P B . P MB P C . P MC310 .

13

110 .

23

35 .12

715

R: A probabilidade de a equipa masculina sair vencedora é .

d) Agora, basta utilizar o Teorema de Bayes. Este jogo desenrola‐se em 2 fases: primeiro, os amigos sentam‐se e depois uma das equipas ganha o jogo que for jogado. O que se pretende saber é qual a probabilidade de uma disposição específica dos lugares ter dado origem à vitória de uma das equipas. Apesar de ser fácil calcular a probabilidade de vitória dos rapazes, sabendo que se jogou um determinado jogo, aqui pede‐se a probabilidade associada ao raciocínio inverso: há várias causas possíveis para a vitória dos rapazes, que veio a acontecer. Qual a probabilidade de a causa ter sido a disposição dos lugares ter sido alternada?

P B\MP B MP M

P B . P M\BP A . P M\A P B . P M\B P C . P M\C

110 .

23

715

115715

17

R: Sabendo que a vitória foi da equipa masculina, a probabilidade de se terem sentado de

forma alternada é .

e) A independência entre acontecimentos é equivalente à igualdade entre a probabilidade da sua intersecção e o produto das suas probabilidades. Aqui é fácil de ver que esta igualdade não se verifica. De facto, o acontecimento A tem probabilidade positiva, já que inclui vários casos. O acontecimento B também é possível, já que para que se registe, basta que as raparigas se sentem todas juntas. No entanto, a intersecção entre os acontecimentos é impossível, já que, se a Deotila se senta em frente da Flamínia, 2 lugares ficam por ocupar entre elas, sendo que pelo menos 1 vai ser ocupado por um rapaz, impossibilitando as raparigas de ficarem juntas. Ou seja, não há nenhum caso em que, simultaneamente, a Deotila e a Flamínia fiquem sentadas em frente uma à outra e as raparigas fiquem todas juntas e, consequentemente, se jogue o jogo Pedra, Papel ou Tesoura. Por outro lado, podemos também olhar para a definição de independência. Dois acontecimentos são independentes se a probabilidade de 1 ocorrer não for afectada pela ocorrência do outro. Mas aqui passa‐se exactamente o contrário. O acontecimento B tem probabilidade positiva, mas quando o acontecimento A tem lugar, a sua probabilidade torna‐se nula.

A B C M

S


5

A B

P A 0; P B 0; A B 0

P A B P A . P BP B P B\A A e B não são independentes

2. Neste problema, estamos perante 3 acontecimentos, com hipótese de se intersectar entre si, a que vamos chamar A, B e C:

A: “Um amigo, escolhido ao acaso, é do Sporting”

B: “Um amigo, escolhido ao acaso, é do Benfica”

C: “Um amigo, escolhido ao acaso é do Belenenses”

A situação pode ser descrita pelo seguinte diagrama de Venn:

Os dados do enunciado são os seguintes:

P A B C220 1 P A B C 0,1 P A B C 0,9

P B 0,4; P C 0,3; P C\B 0,25; P A C 0,2; P A B 0 Daqui facilmente tiramos as seguintes informações:

A B

C

S


6

P B C P B . P C\B 0,4.0,25 0,1 P A B 0 P A B C 0

Com estes dados e conhecendo a reunião de 3 acontecimentos, podemos descobrir a probabilidade de A:

P A B C P A P B P C P A B P A C P B C

P A B C 0,9 P A 0,4 0,3 0 0,2 0,1 0 P A 0,5 Nº adeptos Sporting P A .Nº amigos 0,5.20 10 R: 10 dos amigos são adeptos do Sporting.


1

4º Trabalho

1. O número de aviões da companhia aérea “SETA” que aterram por hora no aeroporto da Horta é uma variável aleatória de Poisson com média 5. Assuma que o aeroporto funciona 18 horas por dia e 7 dias por semana.

a) Qual a probabilidade de em duas horas aterrarem mais de 8 aviões da companhia aérea “SETA” no aeroporto da Horta?

b) Qual o valor médio e a variância da variável aleatória “número de aviões da companhia aérea “SETA” que aterram por dia no aeroporto da Horta”?

c) Qual a distribuição da variável aleatória X: “número de períodos de uma hora num dia em que aterram exactamente 3 aviões da “SETA” no aeroporto da Horta”? Qual o valor médio e a variância desta variável?

2. O tempo de vida em horas de uma lâmpada do tipo 1, fabricada pela empresa PARALUZ, tem distribuição Normal com média 600 horas e desvio padrão 100 horas, enquanto que o de uma lâmpada do tipo 2, fabricada pela empresa PROLUZ, tem distribuição Normal com média 800 horas e desvio padrão 50 horas.

a) Qual a probabilidade de uma lâmpada do tipo 1 durar mais do que 650 horas?

b) Determine a probabilidade de o tempo de vida de uma lâmpada do tipo 2 exceder o de uma lâmpada do tipo 1 em pelo menos 10 horas.

c) Qual a probabilidade de pelo menos uma das lâmpadas durar mais de 850 horas?


1


1.

a) K: “Número de aviões da companhia aérea “SETA” que aterram por hora no aeroporto da Horta”

K~P λ 5

Y: “Número de aviões da companhia aérea “SETA” que aterram por cada duas horas no aeroporto da Horta”

Y~P λ 10

P Y 8 1 P Y 8 1 0,3328 0,6672

b) Z: “Número de aviões da companhia aérea “SETA” que aterram por dia no aeroporto da Horta”

Z K

E Z E K E K 18.5 90 aviões

V Z V K V K 18.5 90 aviões

(Assumindo que o número de aviões que aterram em cada hora é independente do número de aviões que aterra na hora seguinte.)

c) X: “Número de períodos de uma hora num dia em que aterram exactamente 3 aviões da “SETA” no aeroporto da Horta”

p P K 3 0,1404

n 18 X~b 18; 0,1404

A variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n 18 e p 0,1404.

E X n. p 18.0,1404 2,5272 V X n. p. 1 p 18.0,1404.0,8596 2,1724


2

2.

a) Sejam L e L duas variáveis aleatórias definidas da seguinte forma:

L : “Tempo de vida, em horas, de uma lâmpada do tipo 1”

L : “Tempo de vida, em horas, de uma lâmpada do tipo 2”

L ~N µ 600; σ 100

L ~N µ 800; σ 50

P L 650 P Z650 600

100 P Z 0,5 1 P Z 0,5 1 0,69150,3085

b) D L L ~N µ 800 600 200; σ 100 50 12500

P L L 10 P L L 10 P D 10 P Z10 200√12500

P Z 1,6994 P Z 1,6994 0,9554

c) P L 850 L 850 P L 850 P L 850

P P L 850 L 850 P L 850 P L 850 P L 850

. P L 850 P Z850 600

100 P Z850 800

50 P Z850 600

100

. P Z850 800

50 P Z 2,5 P Z 1 P Z 2,5 . P Z 1 1 P Z 2,5

1 P Z 1 1 P Z 2,5 . 1 P Z 1 3 2. P Z 2,5 2. P Z 1

P Z 2,5 . P Z 1 3 2.0,9938 2.0,8413 0,9938.0,8413 0,1659

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1º Trabalho Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre ...docentes.fe.unl.pt/~pchaves/1304/ficheiros/Trabalhos_Analise_de... · Faculdade de Economia da Universidade Nova de