13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales

8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales

1/142

Módulo 7Modelos Actuariales

Diplomado Ciencias Actuariales

Julio 2013


2/142

Modelos Actuariales

CURSOMODULO 7 - MODELO AC!UA"#ALE

PROFESOR"AUL A$UMADA $ADDAD

CO"%DA

!' 2 ((0 330)

ra*umada+corp,ida'cl

CLASESLunes0.07 1/30 21/30 *rs

Mircoles 10.07 1/30 21/30 *rsMircoles 17.07 1/30 21/30 *rs

Lunes22.07 1/30 21/30 *rs

mailto:[email protected]:[email protected]


3/142

Modelos Actuariales

CONTENIDO

1' #ntroducción

2' Modelos de ore,i,encia

3' euros de &ida

4' "entas

5' %rima 6eta

(' "eser,as

7' Modelos Compuestos

EVALUACIONControl escrito


4/142

Modelos Actuariales

BIBLIOGRAFIA• Lie #nsurance Mat*ematics8 $ans U' 9erer

• Actuarial Mat*ematics or Lie Continent "is:8 Da,idC'M' Dic:son8 Mar; "' $ard;8 $o


5/142

Modelos de "ieso #ndi,idual

Diplomado #nenier?a Actuarial

Julio 2013


6/142


• Distriución de%roailidades de la prdida

del aseurador @B

• &alor Esperado de

• &alor Esperado de 2

• &ariana de

INTRODUCCIÓNuponamos un seuro ue paa un enecio b sólo si el e,entocuierto ocurre dentro del per?odo de un aFo' uponamostamin ue la proailidad anual de ocurrencia del siniestro es q

==−==

=qb X

q X x f

)Pr(

)1()0Pr()(

bqqbq X E =+−= )1(0)(

( )( )qqbqbqb X Var

X E X E X Var

−=−=−=

1)(

)()()(2222

22

qb X E 22 )( =


7/142


• Distriución de%roailidades de la prdida

del aseurador @B

• &alor Esperado de

• &alor Esperado de 2

• &ariana de

INTRODUCCIÓNuponamos un seuro ue paa un enecio b sólo si el e,entocuierto ocurre dentro del per?odo de un aFo' uponamostamin ue la proailidad anual de ocurrencia del siniestro es q

==−==

=qb X

q X x f

)Pr(

)1()0Pr()(

bqqbq X E =+−= )1(0)(

( )( )qqbqbqb X Var

X E X E X Var −=−=

−=1)(

)()()(2222

22

qb X E 22 )( =


8/142

Modelos de ore,i,encia

Diplomado #nenier?a Actuarial

Julio 2013


9/142

Modelos de ore,i,encia

• !emas

– !iempo de ore,ida

– Gunción de ore,i,encia

– Guera de Mortalidad

– Le;es Anal?ticas de Mortalidad

–

El Modelo Discreto – !alas de Mortalidad

– Gracciones de AFos


10/142

!iempo de ore,ida

Consideremos una persona de edad H aFos8 la ue

denotaremos como @HB'

Llamaremos !@HB8 o simplemente !8 a los aFos uetranscurrirIn *asta su allecimiento @sore,i,encia uturaB'

As?8 la edad de allecimiento de la persona serI H !

El tiempo de sore,i,encia ! es una ,ariale aleatoria conunción de distriución de proailidades/

La unción 9@tB representa la proailidad ue una personade edad H muera dentro de los t próHimos aFos8 paracualuier t Ko'

0,)(Pr )( ≥≤= t t T t G


11/142

!iempo de ore,ida

%ara el desarrollo del modelo se asume ue/

• La distriución de proailidades G(t) es conocida

• G(t) es continua ; tiene una unción de densidad de

proailidades g(t)=G’(t)' De este modo/

• Esta ltima eHpresión se puede interpretar como la

proailidad ue la muerte de @HB ocurra en elinter,alo innitesimal entre t ; t+dt

)Pr()( dt t T t dt t g +


12/142

!iempo de ore,ida

Para una persona de edad x

• %roailidad ue allecadentro de los próHimos t aFos/

•

%roailidad ue sore,i,a alos próHimos t aFos/

• %roailidad ue sore,i,a los

próHimos u aFos ; lueoalleca dentro de lossiuientes t aFos/

xt qt Gt T ==≤ )()(Pr

xt pt Gt T =−=> )(1)(Pr

xt u q

uGt uGt uT u

|

)()()(Pr

=

−+=+≤<


13/142

!iempo de ore,ida


que sobre!"!e u a#os

• %roailidad ue allecadentro de los próHimos t aFos/

• %roailidad ue sore,i,a alos próHimos t aFos/

( )

u xt

xu

xt u p p

p

uG

t uGuT t uT

+

+==

−

+−=>+>

)(1

)(1/Pr

u xt

xu

xt u q p

q

uG

uGt uGuT t uT

+==

−−+=>+≤

/

)(1

)()()/(Pr


14/142

!iempo de ore,ida

Dos re$a%"ones "&por'an'es

• La proailidad ue una persona de edad x sore,i,a u aFos ; alleca dentro delos próHimos t aFos8 es iual a la proailidad ue sore,i,a u aFos multiplicadapor la proailidad ue8 *aiendo cumplido x(u aFos8 alleca dentro de lospróHimos ' aFos'

u xt xu xt u q pq +=|

• La proailidad ue una persona de edad x sore,i,a u(' aFos8 es iuala la proailidad ue sore,i,a u aFos multiplicada por la proailidadue8 *aiendo cumplido x(u aFos8 sore,i,a ' aFos adicionales'

u xt xu xt u p p p ++ =


15/142

!iempo de ore,ida

Esperana de ,ida de una persona de edad x /

En trminos de 9@tB/

∫ ∞

==0

ο

)()( dt t g t x E e x

( ) ∫ ∫ ∞∞

=−=00

ο

)(1 dt pdt t Ge xt x


16/142

!iempo de ore,ida

• E)e&p$o *Dada la siuiente eHpresión para la proailidad de

sore,i,encia/

xt y xcon x

t x p xt −


17/142

!iempo de ore,ida

B La proailidad ue una persona de 47 aFos

alleca antes de cumplir 50 aFos

cB La proailidad ue una persona de 47 aFossore,i,a 1 aFo

dB La proailidad ue una persona de 47 aFossore,i,a 30 aFos


18/142

!iempo de ore,ida

eB La proailidad ue una persona de 47 aFos

sore,i,a 30 aFos ; muera dentro de los siuientes 5aFos

B La eHpectati,a de ,ida de una persona de 47 aFos


19/142

Gunción de ore,i,encia

En el caso especial de un recin nacido8 donde x = 08 se

tiene ue la edad al allecer coincide con !

A la proailidad ue un recin nacido alcance la edad x sele denomina unción de sore,i,encia ; se denota por s(x)'De este modo/

0)( 0 ≥= xcon p x s x


20/142


%ara representar el patrón t?pico de mortalidad8 la unción

s(x) se supone continua ; decreciente con la edad x 8 cons(0) = 1 ; s(∞) = 0


21/142


Las proailidades de allecimiento ; sore,i,encia a

cualuier edad H se pueden eHpresar en trminos de launción de sore,i,encia/

)(

)(

0

0

x s

t x s

p

p p

x

t x xt

+== +

)(

)()(

x s

t x s x sq xt

+−=

xt xt x p p p 00 =+

xt xt pq −=1


22/142


• E)e&p$o +Dada la siuiente unción de sore,i,encia/

Calcule la proailidad ue una persona de 21 aFosmuera despus de cumplir 40 aFos8 pero antes decumplir 57 aFos

( ) 1210121)( 5.0


23/142

Guera de Mortalidad

La uera de mortalidad de @ x B a la edad x+t se dene

como/

En trminos de la uera de mortalidad8 la proailidad ueuna persona de edad x alleca en el inter,alo entre t ;t+dt serI:

La proailidad ue una persona de x aFos sore,i,a t aFos/

( ))(1ln)(1

)(t G

dt

d

t G

t g t x −−=−=+ µ

dt pdt t T t t x xt +=+


24/142

Guera de Mortalidad

%or lo tanto8 la esperana de ,ida de una persona de edad

x:

∫ ∞

+=0

ο

dt pt e t x xt x µ


25/142

Guera de Mortalidad

• E)e&p$o ,Dada la siuiente órmula para la uera de mortalidad/

Calcular 20pH

850105

3

85

1


26/142

Le;es Anal?ticas

Diremos ue G(t) es una distriución de proailidades

anal?tica o NmatemItica si puede ser eHpresada medianteuna órmula simple'

A pesar de ue en la actualidad la tendencia es a deri,ar ladistriución G(t) a partir de oser,aciones8 mediantetcnicas estad?sticas de raduación8 las unciones

anal?ticas siuen siendo de inters teórico ; prIctico'


27/142

Le;es Anal?ticas

Le- de De .o"!re /*0+12%ostula la eHistencia de una edad mIHima P para losseres *umanos ; asume ue T estI uniormementedistriuida entre las edades H ; ω

xt x

t x

p xt −


28/142

Le;es Anal?ticas

Le- de Go&per'3 /*4+12

%ostula ue la uera de mortalidad creceeHponencialmente con la edad lo cual reQeKa el procesode en,eKecimiento meKor ue la le; de De Moi,re ;adicionalmente elimina el supuesto de una edadmIHima ω

0>= ++ t con Bc t x

t x µ

( )( )c

Bmconcmc p t x xt

ln1exp =−−=


29/142

Le;es Anal?ticas

Le- de .a5e6a& /*4782

Es una eneraliación de la le; de 9ompert' Areauna constante AR0 independiente de la edad alcrecimiento eHponencial de la uera de mortalidad'

0>+=

+

+ t con Bc A

t x

t x µ

( )( )c

Bmconcmc At p t x xt

ln1exp =−−−=


30/142

Le;es Anal?ticas

Le- de 9e"bu$$ /*:,:2

uiere ue la uera de mortalidad crece como unapotencia de t 8 en ,e de eHponencialmente'

( ) 00 >>+=+ n yk cont xk n

t x µ

( )[ ]

−+

+−= ++ 11

1exp n

n

xt xt xn

k p


31/142

Le;es Anal?ticas

• E)e&p$o 1i la mortalidad siue la le; de Moi,re con PS'Calcular E@!@1(BB ; &ar@!@1(BB


32/142

El Modelo Discreto

Denimos la ,ariale aleatoria K=K(t) como el nmero

entero de aFos ue ,i,irI @HB' La distriución deproailidades de K estI dada por/

%ara k S 081828T'

En este caso8 la eHpresión para la esperana de ,idacorresponde al ,alor esperado de K ; se denota por e x

( ) k x xk q pk T k k K +=+


33/142

El Modelo Discreto

Es posile relacionar la esperana de ,ida del Modelo

Discreto con la del el Modelo Continuo *aciendo alunossupuestos

i representa la racción de aFo durante la cual @ x B estI,i,o en el aFo de su allecimiento8 entonces/

En este caso8 si es una ,ariale aleatoria con unadistriución continua entre 0 ; 18 entonces E@B S

%or lo tanto/

S K T +=

2

1ο += x x ee

)()()( S E K E T E +=


34/142

!alas de Mortalidad

En la prIctica la distriución de proailidades del tiempo

uturo de ,ida de una persona de edad x se puedeconstruir a partir de talas de mortalidad'

Una tala de mortalidad es esencialmente una tala deproailidades de muerte a un aFo @q x B8 para cada edad

entera8 la cual dene totalmente la distriución de V'Comnmente8 una tala de mortalidad presenta doscolumnas con ,alores denominados l x ; d x 8 los cuales

tienen la siuiente denición en trminos de la unción desore,i,encia s(x)/

)(0 x sl l x =1+−= x x x l l d


35/142

!alas de Mortalidad

El ,alor de l0 se elie en orma aritraria ; se puede

interpretar como Nel nmero de ,idas iniciales'

El ,alor de cada l x se puede interpretar como Nel nmero

de sore,i,ientes a la edad x '

%or lo tanto8 la interpretación de d x

ser?a el nmero de

muertes entre las edades x ; x+1'

Las proailidades de muerte ; sore,i,encia se puedenotener directamente de las columnas l x ; d x de la tala de

mortalidad/


36/142

!alas de Mortalidad


• %roailidad ue una personade edad x sore,i,a 1 aFo/

•

%roailidad ue una personade edad x sore,i,a ' aFos /

• %roailidad ue una persona

de edad x

alleca dentro deun aFo /

x

x x

l

l p 1+=

x

t x xt

l

l p +=

x

x

x

x x x

l

d

l

l l q =

−= +1


37/142

!iempo de ore,ida


• %roailidad ue una personade edad x alleca dentro delos siuientes t aFos/

• %roailidad ue una personade edad x sore,i,a lospróHimos u aFos ; lueoalleca dentro de lossiuientes t aFos/

∑−+

=

+ =−=11 t x

x y

y

x x

t x x xt d

l l

l l q

x

t u xu x xt ul

l l q +++ −=|


38/142

!alas de Mortalidad

i ien au? se *a denido la tala de mortalidad en

trminos de la unción de sore,i,encia8 en la prIcticaestas talas se constru;en en orma emp?rica utiliandodatos estad?sticos ; tcnicas ue in,olucran estimación8raduación ; eHtrapolación'

Las talas se constru;en para polaciones espec?cas8dierenciadas por actores tales como seHo8 tipo de seuro8eneración8 etc'

i a iualdad de condiciones las talas ,ar?an sólo con laedad8 se les denomina Ntalas areadas'

i las talas toman en cuenta el *ec*o ue personas de lamisma edad pueden tener distinta proailidad de allecer8dependiendo del tiempo transcurrido desde la emisión dela pólia @momento en ue ue e,aluado el estado de saluddel aseuradoB8 se les denomina Ntalas selectas'


39/142

!alas de Mortalidad

• E)e&p$o ;Considere la siuiente tala de mortalidad/

x qx (‰)

30 0.660

31 0.713

32 0.770

33 0.834

34 0.903

35 0.979

Calcular/aB Una columna con el nmero de ,i,os a cada edad@lHB8 asumiendo l30 S 1'000


40/142

!alas de Mortalidad

B La proailidad ue una persona de 30 aFos alleca

antes de cumplir 35 aFos

cB La proailidad ue una persona de 33 aFos

sore,i,a 2 aFos

dB La proailidad ue una persona de 30 aFos

sore,i,a 4 aFos ; muera dentro del siuiente aFo


41/142

Gracciones de AFo

Es posile otener la distriución de proailidades de T a

partir de la tala de mortalidad por interpolación8 para locual es necesario realiar un supuesto sore la e,oluciónde las proailidades de muerte @uq x B o la uera de

mortalidad @ µ x+uB entre dos edades enteras consecuti,as

@con 0WuW1B

A continuación se presentan dos de los supuestoscomnmente usados'


42/142

Gracciones de AFo

L"nea$"dad de $a probab"$"dad de &uer'e

i se asume ue uq x es una unción lineal de u8interpolando entre uS0 ; uS1 se tiene

De lo anterior se puede deducir ue/

x xu quq =

x xu qu p −=1

x

x

u x uq

q

−=+ 1 µ


43/142

Gracciones de AFo

Fuer3a de &or'a$"dad %ons'an'e

i se asume ue la uera de mortalidad µ x+u esconstante sore cada inter,alo unitario con un ,alorue llamaremos µ x+8 se tiene/

x x pln2/1 −=+ µ

( ) u xu

xu pe p x == +− 2/1 µ


44/142

euros de &ida


Julio 2013


45/142

euros de &ida

• !emas

– !ipos >Isicos de euros de &ida – %aos al Gallecimiento

– !ipos 9enerales de euros

– Górmulas "ecursi,as


46/142

euros de &ida

En un contrato de seuro de ,ida el enecio consiste

en el pao nico de la suma aseurada en un tiempouturo'

En el caso eneral8 tanto el momento del pao como sumonto serIn ,ariales aleatorias ue se puedeneHpresar como unción de la ,ariale aleatoria T @aFosde sore,idaB'

El ,alor presente del pao del enecio se denomina Z ; es calculado en ase a una tasa de inters Ka i8llamada tasa de inters tcnica'

El ,alor esperado del pao E(Z) serI entonces la primanica del contrato'


47/142

euros de &ida

• &alor %resente de los>enecios

• Distriución de%roailidades

• %rima del euro

• &ariana

,...2,1,01 == + k parav Z K

k x xk

k

q pk K v Z ++

==== )Pr()(Pr 1

x

k

k x xk

k Aq pv Z E ==∑∞

=+

+

0

1)(

( ) 22 )()( x

A Z E Z Var

−=

VIDA ENTERACure toda la ,ida del aseurado ; paa un capital de 1 unidad

al nal del aFo de allecimiento'


48/142

euros de &ida


• Distriución de %roailidades

• %rima del euro

• &ariana

k x xk

k q pk K v Z ++ ==== )Pr()(Pr 1

TE.PORAL%aa un capital de 1 unidad al nal del aFo de allecimiento8 solo

si la muerte ocurre dentro de un plao de n aFos'

+=−=

=+

....,1,0

1,..,1,01

nnk para

nk parav Z

K

1

:

1

0

1)(n x

n

k

k x xk

k Aq pv Z E ==∑−

=+

+

( ) 21:2 )()( n x A Z E Z Var −=


49/142

euros de &ida



•

%rima del euro

• &ariana

DOTAL PUROUn dotal puro de plao n considera el pao del capital sólo si el

aseurado se encuentra ,i,o al nal del aFo n'

( ) 21:

2 )()(n x

A Z E Z Var −=

≥−=

=nk parav

nk para Z

n

1,..,1,00

xn

n

xn

pn K v Z

qn K Z

=≥===


50/142

euros de &ida



•

%rima del euro

• &ariana

DOTALEs una cominación de un seuro temporal ; un dotal puro' De este

modo8 un seuro dotal paa el capital al nal del aFo deallecimiento si la muerte ocurre dentro de n aFos8 de lo contrariopaa el mismo monto al nal del aFo n'

+=−=

=+

....,1,

1,..,1,01

nnk parav

nk parav Z

n

K

n xn xn x A A A Z E

:

1

:

1

:)( =+=

nk para pv Z

nk paraq pv Z

xn

n

k x xk

k

≥==


51/142

euros de &ida



• %rima del euro

• &ariana

TIPOS GENERALES DE SEGUROSConsideremos un seuro de ,ida entera con enecios ,ariales

de aFo en aFo @c B ; con suma aseurada paadera al nal delaFo de allecimiento'

1

1

++= k

k vc Z

k x xk

k

q pv Z ++

== )(Pr 1

∑∞

=+

++=

0

1

1)(k

k x xk

k

k q pvc Z E

( )

( )

2

0

12

1

2

)()( Z E q pvc Z Var k k x xk

k

k −=∑

∞

= +

+

+


52/142

Górmulas "ecursi,as

Las órmulas recursi,as relacionan las primas nicas de

dos edades consecuti,as' Estas órmulas son tiles paraescriir aloritmos8 pero tamin tienen interesantesinterpretaciones teóricas'

Considerando un seuro de ,ida entera ue paa unaunidad al nal del aFo de muerte ; recordando ue/

e puede otener la siuiente relación/

11 +−=

x x xk

p p pk

x x x x pvAvq A 1++=


53/142

%aos al Momento de Gallecer

$asta au? *emos asumido ue los siniestros se paan

al nal del aFo de allecimiento'

i ien esto tiene la ,entaKa de ue los cIlculos sepueden realiar directamente utiliando talas demortalidad8 no reQeKa la realidad en orma realista'

i8 en el eHtremo8 se considera ue los siniestros sepaan en el instante del allecimiento8 deemos usarnue,amente la ,ariale continua T!


54/142

euros de &ida



• %rima del euro

• &ariana

VIDA ENTERA CON PAGOS AL .O.ENTO DE FALLECERConsideremos un seuro de ,ida entera con suma aseurada de

1 unidad paadera al momento del allecimiento'

t x xt pt g += µ )(

T v Z =

∫ ∞

+==0

)( dt pv A Z E t x xt t

x µ

( )2

0

2

)( xt x xt t

Adt pv Z Var −= ∫ ∞

+ µ


55/142

%aos al Ginal del Mes de Gallecimiento

En la prIctica es comn asumir ue los siniestros se

paan al nal del mes de allecimiento' En este caso laprima nica se denota

uponiendo una distriución uniorme de los

allecimientos en el aFo de muerte8 se puede demostrarue/

Donde i es la tasa tcnica anual ; i(") corresponde a/

)12( x A

x x A

A

)12(

)12( =

( )

−+= 1112 12

1)12(


56/142

"entas


Julio 2013


57/142

"entas

• !emas

– !ipos de "entas – %aos Graccionados

– Górmulas "ecursi,as


58/142

"entas

Una renta ,italicia consiste en una serie de paos ue

se realian mientras un aseurado de edad inicial H est,i,o'

As?8 la renta puede ser representada como unaanualidad cierta ue se reciirI por un periodo de

tiempo ! @tiempo de sore,idaB ; su ,alor presente esuna ,ariale aleatoria ue se denota X'


59/142

!ipos de "entas


•

Distriución de%roailidades

• %rima del euro

• &ariana

RENTA VITALICIA"enta &italicia anticipada con paos anuales eui,alentes a 1

unidad

1

2...1 +=++++= K

K !vvv"

k x xk K q p!"

++== )(Pr

1

x

k

k x xk K !q p!" E ==∑

∞

=++

01

)(

( )

d con

A A

d

" Var x x

+=

−=

1

1)( 22

2


60/142

!ipos de "entas

%or otra parte8 una renta ,italicia tamin puede ser

pensada como una serie de paos de una unidadsólo en caso de sore,i,encia del aseurado/

De este modo tenemos dos eHpresioneseui,alentes para la prima nica de una renta,italicia anticipada' En la primera tomamos cadaanualidad como una unidad' En camio en laseunda pensamos una renta ,italicia como unaserie de dotales puros'

∑∞

=

=0k

xk k

x pv!


61/142

!ipos de "entas

!amin podemos eHpresar la prima nica de una

renta ,italicia en trminos de la prima neta de unseuro de ,ida entera'

%ara esto descomponemos X como la resta de unaanualidad perpetua menos una anualidad dierida en

:1/

!omando el ,alor presente de X

d Z

d vv

d d "

k

K −=−=−=

+

+ 1111 1

1

d

A

! x

x

−=1


62/142

!ipos de "entas

Apro,ec*ando esta orma de X8 podemos calcular

directamente su ,ariana/

Al seundo momento de Z se le denomina # A x 8 por lo

ue podemos escriir/

( )2222

)()(1)(

)( Z E Z E d d

Z Var " Var −==

( )222

1)( x x A A

d " Var −=


63/142

!ipos de "entas

• Ren'a Te&pora$

El ,alor presente de una renta temporal anticipadapor n aFos es/

En orma similar a una renta ,italicia8 la prima nicase puede eHpresar de cualuiera de las siuientesormas/

+=−=

= +....,1,

1,..,1,01

nn K para!

n K para!"

n

K

xn

n

k nk x xk K n x

p!q p!! ∑−

=++ +=

1

01:

∑−

==

1

0:

n

k

xk k

n x pv!


64/142

!ipos de "entas

!amin se pueden deducir ue/

En este caso la ,ariana serI/

d

A!

n x

n x

:

:

1−=

( )2::

2

2

1)(

n xn x A A

d " Var −=

i d


65/142

!ipos de "entas

• Ren'a D"


66/142

!ipos de "entas

• Ren'as Ven%"das

A dierencia de las rentas anticipadas8 ue entreanlos paos al inicio de cada aFo8 las rentas ,encidaslo *acen al n de cada per?odo/

Las respecti,as ,ariales aleatorias X dieren sóloen el primer pao de 1 unidad8 por lo tanto la primanica de una renta ,italicia ,encida serI/

K

K avvv" =+++= ...2

1−= x x !a

!i d " t


67/142

!ipos de "entas

!amin se puede eHpresar este resultado en

trminos de la prima nica de un seuro de ,idaentera reemplaando YH por/

X recordando ue/

e otiene/

d

+

=1

d

A! x x

−=1

( )( )1

11−

−+=

Aa x x

A Aa x x x −−+−=

1

( ) Aa x x +−= 11

% G i d


68/142

%aos Graccionados

Consideremos el caso donde se realian m paos

anuales por un monto de 1.m cada uno8 en los per?odos08 1.m8 2.m8T8 mientras el aseurado est ,i,o'

AnIloamente a las órmulas anteriores8 podemosescriir la siuiente relación para la prima nica/

)(

)(

)(

)( 1m

m

x

m

m

xd

A

d ! −=

% G i d


69/142

%aos Graccionados

%ara otener una eHpresión en trminos de YH *acemos

uso del supuesto ue los allecimientos se distriu;enuniormemente en el aFo ; son independientes delper?odo V' %or lo tanto podemos reemplaar/

Entonces/

xm

m

x A

A

)(

)( =

)()()(

)( 1mm

x

m

m

x

d

A

d ! −=

% G i d


70/142

%aos Graccionados

AdemIs reemplaado/

e otiene/

Desarrollando ; arupando/

Deiniendo Z@mB ; [@mB en orma con,eniente8 seotiene la eHpresión/

x x d! A −=1

( ))()()(

)( 11mm

x

m

m

x

d

d!

d !

−−=

)()(

)(

)()(

)(

mm

m

xmm

m

xd

!

d

d!

−−=

)()()( m!m! xm

x β α −=

% G i d


71/142

%aos Graccionados

Una aproHimación *aitual es suponer ue/

Lo ue se puede ,ericar oteniendo la serie de !a;lorde amas unciones ; considerar sólo el primer trmino'

Ginalmente8 en la prIctica podemos utiliar laaproHimación/

mmm ym2

1)(1)( −≈≈ β α

m

m!! x

m

x2

1)( −−=

Gó l " i


72/142


Considerando la prima nica de una renta ,italicia

anticipada con pao anual de una unidad/

eparando el primer trmino de la sumatoria/

"eemplaando en la sumatoria k $ x por $ x k%1 $ x+1

∑∞

=

=0k

xk k

x pv!

∑∞

=+= 11 k xk

k

x pv!

11

1

1

11

1

11 +−

∞

=

−+−

∞

=

∑∑ +=+= xk k

k

x xk

k

x

k

x pv pv p pv!

Górmulas "ecursi as


73/142


"ealiando el camio de ,ariale =k%1

e otiene la siuiente relación entre las rentas a lasedades x ; x+1

Una relación eui,alente se otiene reemplaando $ x

por @1-q x B

1

0

1 +∞

=∑+= x # #

#

x x pv pv!

11 ++= x x x ! pv!

111 ++ −+= x x x x !qv!v!



74/142


Otra relación interesante se consiue reemplaando &

por 1%d en esta ltima ecuación

Donde se oser,a ue el inters anado es necesariopara nanciar la dierencia entre la pensión ; la

lieración de reser,as'

11)1(1 ++ −−+= x x x x !qv!d !

1111 +++ −−+= x x x x x !qv!d !!

111 )(1 +++ −−+= x x x x x !qv!!!d


75/142

%rimas 6etas


Julio 2013

%rimas 6etas


76/142

%rimas 6etas

• !emas

– !ipos >Isicos de euros – !ipos 9enerales de euros

euros de &ida


77/142

euros de &ida

Los seuros pueden considerar un pao nico de prima

o paos periódicos por un plao determinado'

%ara una pólia de seuro podemos denir la prdidatotal ' del aseurador como la dierencia entre el ,alorpresente de los enecios ; el ,alor presente del paode primas'

%ara una prima dada8 la ,ariale aleatoria ' podrI tomar,alores positi,os o neati,os'

Las primas se denominan primas netas si cumplen conel llamado N%rincipio de Eui,alencia8 esto es ue el

,alor presente esperado de las primas paadas iuale al,alor presente esperado de los enecios entreadospor la pólia'

!ipos >Isicos de euros


78/142


V"da En'era

Consideremos un seuro de ,ida entera de 1 unidad decapital paadero al nal del aFo de allecimiento8nanciado con una prima neta anual x

La prdida del reaseurador serI/

!omando el ,alor esperado de ' ; aplicando el principiode eui,alencia se tiene/

1

1

+

+

−= K x K

! $ v %

x

x

k

xk

k

k

k x xk

k

x!

A

pv

q pv

$ ==∑

∑∞

=

∞

=

++

0

0

1



79/142


i se eHpresan los paos de primas como la dierencia

de dos perpetuidades8 una empeando en el momento 0; otra en el momento K 18 L se puede reescriir como/

De este modo se puede otener la siuiente eHpresiónpara la ,ariana/

d

$ v

d

$ % x K x −

+= +11

)(1)( 12

+

+= K x vVar

d

$ %Var



80/142


Te&pora$

Consideremos un seuro temporal de duración n8 por 1unidad de capital paadero al nal del aFo deallecimiento'

La prdida del reaseurador serI/

La prima neta anual es/

≥−

−=−= +

+

n K para! $

n K para! $ v %

nn x

K n x

K

1

:

1

1

:

1 1,..,1,0

n x

n x

n

k

xk

k

n

k

k x xk

k

n x !

A

pv

q pv

$ :

1

:

1

0

1

0

1

1

: == ∑

∑−

=

−

=+

+



81/142


Do'a$ Puro

En un dotal puro de capital 1 unidad ; duración nla prdida del reaseurador serI/

La prima neta anual es/

≥−

−=−= +

n K para! $ v

n K para! $ %

nn x

n

K n x

1

:

1

1

: 1,..,1,0

n x

n x

n

k

xk

k

xn

n

n x !

A

pv

pv $

:

1

:

1

0

1

: ==

∑−

=


82/142

!ipos 9enerales de euros


83/142


Considerando el tipo eneral de seuro de ,ida del

cap?tulo anterior' Asumimos ue el seuro se nanciacon primas anuales anticipadas Π0, Π1, Π2, …, Πk .

La prdida del aseurador serI/

%or el principio de eui,alencia las primas netascumplirIn con/

i las primas son iuales a @prima ni,eladaB8

entonces /

∑=

++ Π−=

K

k

k

k

K

K vvc %0

1

1

∑∑ ∞

=

∞

=+

++ Π=

00

1

1

k

xk

k

k

k

k x xk

k

k pvq pvc

∑∑ ∞

=

∞

=

+

+

+

=

0

0

1

1

k

xk

k

k

k x xk

k

k

pv

q pvc

$


84/142

"eser,a de %rimas 6etas


Julio 2013

"eser,as de %rimas 6etas


85/142


• !emas

– !ipos >Isicos de euros – !ipos 9enerales de euros

– Górmula "ecursi,a

– "elaciones



86/142


Consideremos un seuro nanciado por primas netas' Al

momento de la emisión el ,alor presente esperado delas primas uturas serI iual al ,alor presente esperadode los enecios uturos @principio de eui,alenciaB8*aciendo ue la prdida esperada del reaseurador seacero'

Esta eui,alencia entre primas uturas ; eneciosuturos en eneral no se cumplirI durante la ,iencia dela pólia en los aFos posteriores a la emisión'

La reser,a en cualuier momento t @denominada t B

serI entonces la dierencia ue se produce entre el,alor presente esperado de los enecios uturos ; el,alor presente esperado de las primas por reciir'



87/142


V"da En'era

Consideremos un seuro de ,ida entera de 1 unidad decapital paadero al nal del aFo de allecimiento8nanciado con una prima neta anual x

La reser,a al nal del aFo : serI/

En orma eui,alente/

k x xk x xk ! $ AV ++ −=

∑∑

∞

=+

∞

=+++

+ −=00

1

#

k x #

#

x

#

#k xk x #

#

xk pv $ q pvV



88/142


Te&pora$

Consideremos un seuro temporal de duración n8 por 1unidad de capital paadero al nal del aFo deallecimiento' La reser,a al nal del aFo : serI/

En orma eui,alente/

k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= :

1

:

1

:

1

:

∑∑ −−

=+

−−

=+++

+ −=1

0

1

:

1

0

11

:

k n

#

k x #

#

n x

k n

#

#k xk x #

#

n xk pv $ q pvV



89/142


Do'a$ Puro

En un dotal puro de capital 1 unidad ; duración n8 lareser,a de prima neta al nal del aFo : serI/

En orma eui,alente/

k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= :

1

:

1

:

1

:

∑−−

=++−

− −=1

0

1

:

1

:

k n

#

k x #

#

n xk xk n

k n

n xk pv $ pvV



90/142


Do'a$

Consideremos un seuro dotal ue paa el capital alnal del aFo de allecimiento si la muerte ocurre dentrode n aFos8 de lo contrario paa el mismo monto al naldel aFo n' La reser,a al nal del aFo k serI/

En orma eui,alente/

k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= ::::

∑∑ −−

=

++−−

−−

=

++++ −+=

1

0

:

1

0

1

:

k n

#

k x #

#

n xk xk n

k nk n

#

#k xk x #

#

n xk pv $ pvq pvV



91/142


E)e&p$o

Consideremos los siuientes seuros/



92/142


Calculando las reser,as anuales8 se otiene/



93/142




94/142


Considerando el tipo eneral de seuro de ,ida descrito

anteriormente8 la reser,a de prima neta al nal del aFok se puede eHpresar como/

∑∑ ∞

=++

∞

=+++

+++ Π−=

00

1

1

#

k x #

#

#k

#

#k xk x #

#

#k k pvq pvcV

Górmula "ecursi,a


95/142

Górmula "ecursi,a

En el seuro eneral8 la órmula ue relaciona las

reser,as en : ; :* es la siuiente/

i el aseurado llea ,i,o al n del aFo k 8 entonces la

reser,a de prima neta mIs el ,alor presente esperadode las primas de los próHimos * aFos serI sucientepara paar un seuro de ,ida por esos aFos mIs undotal puro por la cantidad k+* al nal del aFo k+*'

V v pq pvc pvV &k &

k x&

&

#

#k xk x #

#

#k

&

#

k x #

#

#k k ++

−

=+++

+++

−

=++ +=Π+ ∑∑

1

0

1

1

1

0

Górmula "ecursi,a


96/142

ó u a ecu s a

$aciendo * S 18 otenemos una relación entre las

reser,as de prima neta de dos per?odos consecuti,os/

Lo ue nos indica ue la reser,a de prima neta sepuede calcular recursi,amente en dos direcciones/

– Calcular sucesi,amente 1 # 8T8 partiendo del,alor inicial 0 S0

– Calcular n%1 n%# 8T8 en ese orden partiendo de un

,alor conocido de n

[ ]k xk k xk k k pV qcvV ++++ +=Π+ 11


97/142


98/142

Górmula "ecursi,a


99/142

%or su parte/

es la prima de rieso8 eui,alente a la prima de unseuro temporal a un aFo para curir el capital neto enrieso'

( ) k xk k r k qV cv +++ −=Π 11

Górmula "ecursi,a


100/142

Escriiendo la prima de a*orro desde : S 0 *asta : S K-

18 multiplicando cada ecuación por @1iB-:

; sumando8se otiene/

en este resultado8 la reser,a en el tiempo K es el,alor acumulado de las primas de a*orro paadas desdela emisión de la pólia8 capitaliadas a la tasa de intersi

∑−

=

− Π+=1

0

)1( #

k

s

k

k #

# V

Górmula "ecursi,a


101/142

%or otra parte8 podemos encontrar una interesante

relación entre la reser,a en el tiempo : ; en :1'%artiendo por la relación/

"eemplaando & S @1iB-1 ; desarrollando se puede

escriir/

( ) ( ) k xk k k k k k k qV cV V V ++++ −−Π++Π+= 111

( )[ ]k xk k k k k qV cV vV ++++ −+=Π+ 111

Górmula "ecursi,a


102/142

Esta ltima ecuación nos indica ue la reser,a nal serI

iual a la suma de la reser,a inicial8 mIs la primapaada del mes8 mIs el inters anado sore los ondosiniciales8 menos el capital en rieso paado a laspersonas allecidas en el per?odo'

En esta relación se asa la determinación del ,alor delondo de los seuros uni,ersales entre dos per?odosconsecuti,os'

"elaciones


103/142

Es posile otener di,ersas eHpresiones para k x

considerando la ecuación de la reser,a del seuro de,ida entera desarrollado anteriormente/

@1B

Junto con las siuientes relaciones/

@2B

@3B

k x xk x xk ! $ AV ++ −=

d

A! k xk x

++

−=1

k xk xk x ! $ A +++ =

"elaciones


104/142

• k x en unción de x 8 Y x+k ; d

DespeKando A x+k de la relación @2B/

"eemplaando en la relación @1B8 se otiene/

( ) k x x xk !d $ V ++−=1

k xk x d! A ++ −=1

"elaciones


105/142

• k x en unción de Y x ; Y x+k

"eemplaando A x S Y x x en la relación @2B para :S0 se

otiene/

"eemplaando en la relación anterior/

x

x!

d $ 1=+

x

k x xk

!

!V +−=1

"elaciones


106/142

• k x en unción de A x ; A x+k

Utiliando la relación @2B para las edades H ; H:/

"eemplaando en la relación anterior/

d

A! y

d

A! k xk x

x x

++

−=

−=

11

x

xk x xk

A

A AV

−−

= +1

"elaciones


107/142

• k x en unción de x 8 x+k ; A x+k

A partir de la relación @3B se otiene/

"eemplaando este resultado en la relación @1B/

k x

k xk x

$

A!

+

++ =

k x

k x

x xk A

$

$ V +

+

−= 1

"elaciones


108/142

• k x en unción de x 8 x+k ; d

Cominando las relaciones @2B ; @3B se otiene/

"eemplaando en la eHpresión anterior/

( )d $ !

k x

k x +=

++

1

d $

$ $ V

k x

xk x xk +

−=

+

+

"elaciones


109/142

• k x en unción de x 8 x+k ; d

Cominando las relaciones @2B ; @3B se otiene/

"eemplaando en la eHpresión anterior/

( )d $ !

k x

k x +=

++

1

d $

$ $ V

k x

xk x xk +

−=

+

+


110/142

Modelos Compuestos


Julio 2013

Modelos Compuestos


111/142

• !emas

–

&alor Esperado de – &ariana de

– Distriución de

Modelos Compuestos


112/142

En un modelo compuesto8 o modelo de rieso colecti,o8

el concepto Isico es el de un proceso aleatorio ueenera siniestros para un portaolio dado de pólias'

Este proceso se caracteria en trminos del portaoliocomo un todo8 mIs ue en trminos de las pólias

indi,iduales ue lo componen'

Modelos Compuestos


113/142

La ormulación matemItica de estos modelos es lasiuiente/

– ea , el nmero de siniestros ocurridos en un per?ododado' ea - 1 el monto del primer siniestro8 - 2 el

monto del seundo siniestro ; as? sucesi,amente'Entonces8 el monto total de los siniestros eneradospor el portaolio en estudio serI/

– El nmero de siniestros 68 es una ,ariale aleatoria ;estI asociado con la recuencia de los siniestros'

Adicionalmente8 los montos indi,iduales de lossiniestros - 18 - 28 T 8 - 68 tamin son ,ariales

aleatorias relacionadas con la se,eridad de lossiniestros'

' X X X S +++= ...21

Modelos Compuestos


114/142

%ara *acer el modelo maneKale8 se realian los

siuientes supuestos/

• - 18 - 28 T son ,ariales aleatorias idnticamente

distriuidas

• Las ,ariales aleatorias ,8 - 18 - 28 T son mutuamenteindependientes

Modelos Compuestos


115/142

Las distriuciones de , ; de los - i se pueden calcular

emp?ricamente mediante oser,aciones o se puedenestimar eliiendo aluna unción anal?tica adecuada'

En este ltimo caso8 para , es usual eleir unadistriución de %oisson o una inomial neati,a8 uepresentan interesantes propiedades'

Los -i8 en camio8 a menudo se modelan mediante unadistriución 6ormal o una 9amma'

Modelos Compuestos


116/142

Cuando se utilia una distriución %oisson para modelar

el nmero de siniestros se dice ue tiene unaNdistriución %oisson compuesta'

%or su parte8 si se utilia una inomial neati,a8 se diceue tiene una Ndistriución inomial neati,acompuesta'

En esta sección nos enocaremos en el estudio de ladistriución de en trminos de las distriuciones de , ; de los -i8 suponiendo ue amas son conocidas

&alor Esperado de


117/142

El ,alor esperado ; la ,ariana de pueden ser

eHpresados en trminos de las distriuciones Isicas de, ; de los -i8 considerando las eHpresiones para laesperana condicional ; para la ,ariana condicional/

Aplicando la eHpresión de la esperana condicional

( ) ( )( ) ' S E E S E /=

( ) ( )( ) ' X X X E E S E +++= ...21

&alor Esperado de


118/142

Dado ue todos los i tiene la misma distriución/

Ginalmente se otiene/

Este resultado indica ue el ,alor esperado de lossiniestros totales serI iual al producto entre ,aloresperado del nmero de siniestros ; el ,alor esperadodel monto de los siniestros'

( ) ( )( ) X 'E E S E =

( ) ( ) ( ) X E ' E S E =

&ariana de


119/142

Aplicando la eHpresión de la ,ariana condicional/

Dado ue todos los i tiene la misma distriución/

( ) ( )( ) ( )( ) ' S Var E ' S E Var S Var // +=

( ) ( )( ) ( )( ) ' X X X Var E X 'E Var S Var ++++= ...21

( ) ( ) ( ) ( )( ) X 'Var E ' Var X E S Var += 2

&ariana de


120/142

Ginalmente se otiene/

As?8 se oser,a ue la ,ariana de los siniestros totaleses la suma de dos componentes8 uno asociado a la,ariana del nmero de casos ; el otro asociado a la

,ariana del monto de los siniestros'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Var ' E ' Var X E S Var += 2

Distriución de


121/142

En este cap?tulo sólo se mencionarIn los principales

mtodos disponiles para la determinación de la unciónde distriución del monto total de siniestros @.)'

El desarrollo eHtensi,o de estos mtodos ueda ueradel alcance de este curso'

Distriución de


122/142

• Con!o$u%"=n

La distriución del monto total de siniestros dependerIdel ,alor ue tome la ,ariale 6' %or lo tanto8eHpresado utiliando la proailidad total8 se tiene/

La %r@ - 1 - #'' - , \ x B puede ser determinada

calculando en orma sucesi,a las distriuciones de - 1 - 28 - 1 - 2 - 38 - 1 - 2 - 3 - 48 etc'8 mediante las

órmulas de con,olución'

∑∞

=

==≤=≤=0

)Pr()/Pr()Pr()(n

n ' n ' xS xS x (

∑∞

=

=≤+++=0

21 )Pr()...Pr()(n

n n ' x X X X x (

Distriución de


123/142

• Fun%"=n Generadora de .o&en'os

Este mtodo se asa en la relación nica ue seestalece entre una distriución de proailidades ;su unción eneradora de momentos'

La unción eneradora de momentos del monto totalde siniestros @/s(t)Bse puede deducir de las

correspondientes distriuciones de , ; - 8 de lasiuiente orma/

%or denición/)()( tS s e E t ) =

Distriución de


124/142

Aplicando la eHpresión de la esperana condicional/

Considerando ue todos los -i son independientes ;tienen la misma distriución/

)/)(()( ' e E E t ) ts s =))(()(

)..( 21 ' X X X t

s e E E t ) +++=

))...(()( 21 ' tX tX tX

s eee E E t ) =

))()...()(()( 21 ' tX tX tX

s e E e E e E E t ) =

))(()(

' tX

s e E E t ) =

))(()( ' x s t ) E t ) =

Distriución de


125/142

"eemplaando / x (t) por

Lo ue nalmente se puede eHpresar como/

Otenida una eHpresión para /s(t) se puede uscar

la distriución relacionada entre las mltiplesidenticadas en la literatura especialiada'

))(log( t ) xe

)()( ))(log( t ) '

s xe E t ) =

))((log)( t ) ) t ) x ' s =

Distriución de


126/142

• AproHimación 6ormal

%ara un portaolio rande @con un nmero desiniestros 6 esperados randeB parece raonaleaproHimar la distriución de por una distriuciónnormal con parImetros =E(.) ; #=23(.)

in emaro8 la calidad de la aproHimacióndependerI no sólo del tamaFo de la cartera enestudio8 sino de ue tan *omonea sea' Eneneral8 los resultados de esta estimación sonmeKores para ,alores de cercanos a la media

@E@BB ; menos satisactoria en los eHtremos de ladistriución'

Distriución de


127/142

%or su parte8 si presenta una distriución %oissoncompuesta o inomial neati,a compuesta ; elnmero esperado de siniestros es rande8 entoncesse puede demostrar ue la ,ariale estandariada/

tiene aproHimadamente una distriución normalestIndar @6@081BB'

)(

)(

S Var

S E S −


128/142

AneHoGunciones Conmutati,as


Julio 2013

Gunciones Conmutati,as


129/142

• !emas

–

El Modelo Determin?stico – "entas &italicias

– euros de &ida

– %rimas 6etas

– "eser,as de %rimas 6etas

Gunciones Conmutati,as


130/142

En el pasado8 las unciones conmutati,as oaron deran popularidad deido principalmente a ue pod?anser tauladas8 simplicando as? los cIlculos numricosasociados al cIlculo de primas ; reser,as'

AdemIs8 las órmulas de ,alores esperados tales comoprimas nicas pod?an ser deri,adas de un modelo

determin?stico8 ?ntimamente relacionado a las uncionesconmutati,as'

En la actualidad8 el Icil acceso a computadores conran capacidad de cIlculo ; la creciente aceptación delos modelos asados en la teor?a de las proailidades

ue permiten un entendimiento mIs completo de losmecanismos del seuro8 *an *ec*o disminuir el uso delas unciones conmutati,as' in emaro stas siuensiendo de inters ;a ue permiten una aproHimaciónmIs intuiti,a a muc*as de las unciones actuariales'

El Modelo Determin?stico


131/142

#mainemos un rupo de ,idas de la misma edad al cualoser,amos durante el tiempo' En cada cumpleaFosreistramos como l

x al nmero de personas ue an

estIn ,i,as'

As?8 d x = l x 4 l x+1 es el nmero de muertos entre las

edadesx; x+1'

Con esto8 las proailidades ; los ,alores esperados sepueden calcular como simples proporciones ;promedios'



132/142

%or eKemplo8 la proailidad ue una persona de edad x sore,i,a t aFos se eHpresa como/

La proailidad ue una persona de edad x alleca

dentro de un aFo serI/

x

t x xt

l

l p +=

x

x

x

x x x

l

d

l

l l q =

−= +1



133/142

La proailidad ue una persona de edad x sore,i,alos próHimos u aFos ; lueo alleca dentro de lossiuientes t aFos/

La eHpectati,a de ,ida a la edad x serI/

x

t u xu x xt u

l

l l q +++

−=|

∑∑ ∞

=

+∞

=

==11 k x

k x

k

xk xl

l pe

"entas &italicias


134/142

Consideremos una renta ,italicia de paos anualesanticipados de 1 unidad' La prima nica de la rentaserI/

Multiplicando el numerador ; el denominador por & x 8tenemos/

∑∑ ∞

=

+∞

=

==00 k x

k xk

k

xk

k

xl

l v pv!

∑∞

=

+

+

=0k x

x

k x

k x

xl v

l v!

"entas &italicias


135/142

Deniendo las siuientes unciones conmutati,as/

%odemos ,ol,er a escriir

∑∞

=+=

=

0k

k x x

x x

x

* '

l v *

x

x x

*

' ! =

"entas &italicias


136/142

En orma similar se puede otener la órmula de laprima nica de una renta temporal por n aFos/

x

n x x

n x *

' ' ! +

−=

:

euros de &ida


137/142

Adicionalmente se denen las siuientes uncionesconmutati,as/

La ecuación de la prima nica de un seuro de ,idaentera de 1 unidad de capital se puede eHpresar como/

∑∞

=+

+

=

=

0

1

k

k x x

x x x

+ )

d v+

∑∑∑ ∞

=

+++∞

=

++∞

=+

+ ===0

1

0

1

0

1

k x

x

k x

xk

k x

k xk

k

k x xk

k

xl v

d v

l

d vq pv A

euros de &ida


138/142

%or lo tanto8 para un seuro de ,ida entera/

%ara un seuro temporal/

%ara un seuro dotal/

x

x x

* ) A =

x

n x x

n x *

) ) A +

−=1

:

x

n xn x x

n x *

* ) ) A ++

+−=:

%rimas 6etas


139/142

La prima neta se deduce aplicando el principio deeui,alencia' %ara un seuro de ,ida entera serI/

Entonces/

De la misma orma se otienen las primas netas de unseuro temporal/

x

x

x

x x

*

)

*

' $ =

x

x

x '

) $

=

x

n x x

n x

'

) ) $ +

−=1

:

%rimas 6etas


140/142

X de un seuro dotal/

x

n xn x x

n x ' * ) ) $ ++ +−=

:



141/142

%ara un seuro de ,ida entera la reser,a de prima netaal nal del aFo : serI/

%ara un seuro temporal/

k x

k x xk xk x xk x xk

*

' $ ) ! $ AV

+

++++

−=−=

( ) ( )

k x

n xk xn xn xk x

n xk *

' ' $ ) ) V

+

++++ −−−=

1

:1

:



142/142

%ara un seuro dotal/

( ) ( )

k x

n xk xn xn xn xk x

n xk *

' ' $ * ) ) V

+

+++++ −−+−= ::

Documents

13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales