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16 - Séries Temporais: Processos MA e Processos AR

EstacionariedadeUm processo estocástico yt é dito estacionário de 2a. ordem se

Ergodicidade

Ergodicidade na média

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Ergodicidade de 2a. ordem

Função de Autocorrelação (FAC)

Representa uma medida de associação linear entre o processo e o seu passado, ou seja, uma medida da “memória” do processo.

Formalmente

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A FAC de um processo estocástico é como se fosse uma “marca registrada” deste processo.

Processos de uma mesma “família” geram FAC’s do mesmo tipo.Portanto, a FAC pode ser utilizada como um procedimento para identificar o processo estocástico que gera uma série temporal.

Propriedades da FAC

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A FAC estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é

Função de Autocorrelação Parcial (FACP)

Complementa a idéia da FAC.A FACP é a correlação entre duas observações seriais yt e yt-k , eliminando-se a dependência dos termos intermediários.

Formalmente

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A FACP de ordem k estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é o valor estimado docoeficiente (k) na regressão

O Ruído Branco

Um processo estocástico é chamado de ruído branco se

Em geral, considera-se também que

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O processo é chamado de ruído branco Gaussiano se

Exemplo: Uma realização (série temporal) de um processo estocástico do tipo ruído branco Gaussiano com variância 1.

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Qual a FAC de um ruído branco?

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Qual a FACP de um ruído branco?

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O Processo Média Móvel (MA)

Um processo estocástico {yt} é chamado de processo média móvel de ordem q, MA(q), se para cada instante de tempo t, yt segue a equação

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Exemplo: uma realização de um processo MA(1) com 100 observações

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O Processo MA(1)

O processo MA(1) e definido por

Algumas questões importantes

• Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo MA(1)?• Qual a média de yt ?• Qual a variância de yt ?• E a FAC e FACP?

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Qual a condição de estacionariedade de um processo MA(1)?

• Todo processo MA(1) é estacionário!• Qual a média de um processo MA(1)?

• Qual a variância?

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• Qual a FAC de um processo MA(1)?

• E a FACP?Um processo MA pode ser escrito como um somatório infinito de valores defasados de yt .

Desta forma, a FACP de um processo MA(1) terá a forma da FACP de um processo auto-regressivo de ordem infinita.

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O Processo Auto-Regressivo

Um processo estocástico {yt } é chamado de processo auto-regressivo de ordem p, AR(p),se para cada instante de tempo t, yt segue a equação

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Exemplo: uma realização de um processo AR(1)

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O processo AR(1) é definido por

Algumas questões importantes

• Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo AR(1)?• Qual a média de yt ?• Qual a variância de yt ?• E a FAC e FACP?

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• Qual a condição de estacionariedade de um processo AR(1)?

• Um processo AR(1) pode ser escrito da seguinte forma

onde y0 é um valor inicial.

Portanto, para um processo AR(1) ser estacionário

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• Qual a média de um processo AR(1)?

• Se o processo for estacionário

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• Qual a variância do processo AR(1)?•A variância de um processo AR(1) é dada por

• Qual a FAC de um processo AR(1)?• A FAC de um processo AR(1) decai exponencialmente.• A autocorrelação de k-ésima ordem é dada por

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• Qual a FACP do processo AR(1)?

• Pela própria definição, para um processo AR(1) a FACP é dada por