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QUESTÕES - GABARITO
Questão 01. Seja o espaço das matrizes de ordem . Sejam
uma matriz fixa e
{ }
um subconjunto de .
(a) Mostrar que é um subespaço vetorial de .
RESOLUÇÃO: Vamos mostrar que é subespaço de . Sejam e .
Temos que:
(i) Logo, .
(ii) Logo, .
Portanto, é subespaço de V.
(b) Seja o espaço das matrizes triangulares superiores. Mostrar que se
(
), então .
RESOLUÇÃO: O espaço das matrizes triangulares superiores é dado por
,(
) - , (
) (
) (
) -
Curso: Engenharia – Ciclo Básico Aluno (a):
Disciplina: Álgebra Linear II Matrícula: Turma: Período:
Professor (a): Semestre: Data: Nota:
ORIENTAÇÕES GERAIS:
1. Leia com atenção a sua prova. Cada questão valerá até ( 2,0 ) pontos.
2. Esta avaliação é INDIVIDUAL E SEM CONSULTA.
3. O aluno só poderá entregar a prova trinta minutos após o início da mesma.
4. As dúvidas de ordem técnica, constantes da prova, só poderão ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primeiros quarenta minutos do início da
prova.
5. É proibido destacar páginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a não ser a entregue pelo(a) professor(a) fiscal, para rascunhos.
6. A avaliação pode ser respondida a lápis, porém o resultado final da questão deverá ser apresentado, obrigatoriamente, em caneta, tinta azul ou preta.
7. É proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicação durante a prova.
8. Todo material é de uso individual, não sendo permitido empréstimo de qualquer material durante a realização da prova.
9. O tempo máximo para a realização da prova é de 100 minutos.
10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnologia, Licenciatura em Informática e
Meteorologia compareça ao local determinado para a realização de prova munido de documento oficial, original, com foto, para apresentação, se solicitado.
*(
) (
) (
)+ Agora observe que se (
) e (
)
então pode ser reescrito como
,(
) (
) (
) (
) (
) (
)-
Daí tem-se
(
) (
) (
) (
) (
)
implicando em
(
) (
) (
)
donde obtemos
(
) (
)
que nos fornece o sistema linear
{
Uma solução deste sistema é e , assim o subespaço ficará
da forma
,(
) - , (
) - *(
)+
Logo, *(
) (
) (
) (
)+ . Note que (
) (
) ,
(
) e (
) são L.I. De fato,
(
) (
) (
) (
) (
)
nos fornece (
) (
) . Assim,
,(
) (
) (
) (
)-
é uma base de . Logo, . Sendo subespaço de e
, então . Esta soma é direta, pois ,
e aplicados a relação
nos fornecem o que implica que { }.
Questão 02. Dados os vetores e , responda:
(a) Os vetores e geram o ? Justifique.
RESOLUÇÃO: Não, pois [ ]
(b) Seja um terceiro vetor de . Quais as condições sobre , para que
{ } seja uma base de ?
RESOLUÇÃO: Basta que { } seja L.I e que [ ] .
(c) Encontre um vetor que complete, junto com e , uma base do .
RESOLUÇÃO: Basta escolher um vetor que seja de e . Por exemplo,
tome (produto vetorial), e teremos que { } é L.I e que
[ ] , pois [ ] e [ ] é subespaço de .
Questão 03. Determine a transformação linear tal que e .
RESOLUÇÃO: Seja . Temos que:
nos fornece ,
donde
e
. Assim,
Daí, aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade acima obtemos
Donde
Questão 04. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.
Determine quais destas transformações são injetivas e quais são sobrejetivas.
(a) , em que , sendo (
).
RESOLUÇÃO: Vamos encontrar o núcleo de . Observe que se (
) então
(
) (
) (
)
Assim, { } ,(
) (
)
(
)- ,(
) - ,(
) -. Logo,
, (
) (
) - *(
) (
)+
Observe que ,(
)-, logo não é injetiva.
Agora vamos encontrar a imagem de . Observe que
,(
) -
, (
) (
) (
) (
)-
*(
) (
) (
) (
)+ *(
) (
)+
Como , concluímos que , isto é,
não é sobrejetiva.
(b) , em que .
RESOLUÇÃO: Temos que
{ }
{ }
Assim, obtemos o sistema
{
Logo, { } e, assim é injetiva. Por fim, veja que
{ }
{ }
Como , isto é, , e ,
concluímos que , isto é, não é sobrejetiva.
Questão 05. Sejam os espaços vetoriais , o espaço dos polinômios
de grau e o espaço das matrizes reais . Considere
e transformações lineares e { } {
} e ,( ) (
)- bases de e , respectivamente. Dadas as matrizes
de e :
[ ] [
] [ ] [
]
Faça o que se pede:
(a) Se , determine .
RESOLUÇÃO: Temos que a matriz de em relação as bases e é
[ ] [ ]
[ ]
Assim,
[ ] [
] [
] [
]
*
+
Seja . Temos que na base é da forma [ ] * +, onde
Assim, {
donde obtemos
e
. Portanto, as coordenadas de em relação à base são
[ ] [ ] [ ]
*
+ [
]
*
+ [
]
[
]
Logo,
( )
( ) (
) (
)
(
)
(b) é invertível? Em caso afirmativo, determine (* +).
RESOLUÇÃO: A aplicação é invertível, pois [ ] [ ]
.
Sabemos que a inversa de tem sua matriz em relação às bases e dada por
[ ] ([ ]
)
*
+ *
+
Assim, para um vetor ( ) temos que [ ] *
+ onde (
) (
) . Daí,
obtemos ( ) (
) que nos fornece
e
. Logo,
* ( )+
[ ] [ ] *
+ [
] [
]
[
] [
]
Portanto, ( )
