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Triângulos / Pontos Notáveis 1ºANO – MATEMÁTICA – PROF. DIEGO
Questão 01 - (UFSC)
No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja
logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Se os pontos A, B e C dividem a
circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a 2cm 327 , determine a
medida do raio desta circunferência em centímetros.
TEXTO: 1 - Comum à questão: 2
Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos
seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4).
Todas as unidades são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x, y), de modo que as distâncias entre o
depósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC.
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de
acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e
a quantidade vendida.
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A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma
caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576
cm3.
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 3/4 do
custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$ 0,10 o centímetro quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários
mensais dos três, em dezembro de 2011, era de R$ 5 000,00.
Questão 02 - (FGV )
Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado o depósito da distribuidora de materiais
escolares. Aproxime a resposta para um número inteiro de quilômetros.
Questão 03 - (FUVEST SP)
Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de tais que
é a bissetriz relativa ao ângulo e é a altura relativa ao lado .
Determinar o comprimento de .
Questão 04 - (PUC RJ)
Seja ABC um triângulo eqüilátero de lado 1 cm em que O é o ponto de encontro das alturas. Quanto mede o
segmento AO?
Quadriláteros Notáveis / Principais Quadriláteros
Questão 05 - (FGV )
Marta quer comprar um tecido para forrar uma superfície de 10m2. Quantos metros, aproximadamente, ela deve
comprar de uma peça que tem 1,5m de largura e que, ao lavar, encolhe cerca de 4% na largura e 8% no
comprimento?
16030,00 R$6020,00 R$
27013,50 R$8015,00 R$
20024,00 R$10010,00 R$
Quantidadeagenda uma
de PreçoQuantidade
lapiseira uma
de Preço
AB CM
BCA CN AB
MN
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Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo.
Questão 06 - (UFRJ)
Os 18 retângulos que compõem o quadrado a seguir são todos congruentes.
Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm2, determine o perímetro de cada retângulo.
Questão 07 - (UFG GO)
A figura abaixo representa uma região, na forma de um trapézio isósceles, de base menor SR medindo b e base
maior PQ medindo 100 m, cujo perímetro total é 250 m.
De acordo com estes dados, calcule:
a) as medidas de a e b, considerando θ = 60º;
b) a área A, da região delimitada pelo trapézio PQRS, em função de a.
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Questão 08 - (UFPE)
Um retângulo ABCD é dividido em nove retângulos, e o perímetro de cada um de três destes retângulos, está
indicado está indicado em seu interior, como ilustrado na figura abaixo.
Qual o perímetro do retângulo ABCD?
Questão 09 - (FUVEST SP)
No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado ; N está sobre o lado e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos
quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.
Questão 10 - (UFPE)
No trapézio ABCD, calcule a altura IE do triângulo ABI, sabendo que a altura do trapézio é 8 e que seus lados
paralelos medem 6 e 10.
AD BC
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Questão 11 - (UFMA)
Na figura abaixo, A, B, C e D são quadrados. O perímetro do quadrado A vale 16 m e o perímetro o quadrado B
vale 24 m. Calcule o perímetro do quadrado D.
Questão 12 - (FGV )
No antigo Egito, quando o rio Nilo voltava ao seu leito normal após a cheia anual, os terrenos das margens eram
novamente remarcados. Cada terreno tinha a forma de um quadrilátero e o lavrador que o ocupava deveria pagar
um imposto que era proporcional à área do terreno. Para obter a área de um quadrilátero, os egípcios calculavam
o produto das médias aritméticas dos lados opostos, método que não é exato, a menos que o quadrilátero seja
um retângulo.
A figura abaixo mostra um terreno com a forma do quadrilátero ABCD, onde o ângulo de vértice A é reto e, numa
unidade adequada (u), os lados medem AB = 12, BC = 14, CD = 14 e DA = 16.
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a) Calcule a área do quadrilátero ABCD.
Use as aproximações: 414,12 , 732,13 , 450,26 .
b) Determine a área do quadrilátero ABCD pelo método egípcio.
Questão 13 - (FGV )
A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a
R$ 1 800,00 o metro quadrado.
Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo.
a) As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: , , e são diretamente proporcionais
aos números 10, 20, 15 e 15, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um
trapézio retângulo?
b) Os médicos pagaram R$ 777 600,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana?
Uma escala, por exemplo 1:1 000, expressa que 1 centímetro na representação plana corresponde a 1 000
centímetros na realidade.
Questão 14 - (UFRRJ)
O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quatro quadrados, como mostra a figura.
Calcule o valor da razão b/a.
Questão 15 - (UFMS)
A B C D
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Sobre os vértices opostos de um quadrado de lado medindo 26(2 + ) cm , foram colocados dois insetos que, de
imediato, começam a caminhar sobre os lados do quadrado, com a mesma velocidade, em direção a um mesmo
vértice, conforme ilustração abaixo.
Num dado momento, a distância percorrida por cada um desses insetos é igual à distância que os separa.
Determine, em centímetros, o quanto cada inseto caminhou até esse momento.
Questão 16 - (UNICAMP SP)
Um trapézio retangular é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo e um
ângulo obtuso . Suponha que, em um tal trapézio, a medida de seja igual a cinco vezes a media de .
a) Calcule a medida de , em graus
b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de e é reto.
GABARITO:
1) Gab: 06
2) Gab: 3
2
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3) Gab:
4) Gab:
5) Gab: 8 metros
6) Gab: O perímetro do retângulo é .
7) Gab:
a) a=50m b=50m
b)
8) Gab:
98
9) Gab: 20
10) Gab: 3
11) Gab: 64m
12) Gab:
a) No triângulo ABD, retângulo em A o teorema de
Pitágoras fornece BD = 20.
Sendo M o ponto médio de BD temos que MC é perpendicular a DB porque CD = CB. Assim, no triângulo
retângulo DMC calculamos
30
11M N
cm 3
1
cm32x6
252)125(5A aa
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A área do quadrilátero ABCD é
b) Pelo método egípcio a área do quadrilátero ABCD é
13) Gab:
A banca responsável pela elaboração da prova de Matemática Aplicada cometeu um engano no enunciado dessa
questão: os dados apresentados são incompatíveis com o enunciado do problema.
Preocupados, em primeiro lugar, com ressalvar a responsabilidade dos candidatos que se submeteram a essa
prova, os membros da banca assumem a responsabilidade pelo erro cometido e decidem considerar corretas as
duas resoluções da referida questão.
Essa decisão baseia-se no fato de que, embora a segunda resolução não seja a correta, seu enunciado, tal como
chegou ao candidato, pode, como ocorreu em alguns casos, induzi-lo a erro.
Julgam, assim, fazer justiça àqueles que prestaram a prova de Matemática Aplicada.
a)
1ª Resolução:
A soma das medidas dos quatro ângulos do quadrilátero ABCD é igual a 360º:
10k + 20k + 15k + 15 = 360º k = 6º
O ângulo  mede 10(6º) = 60º
No entanto, o triângulo ABB' é retângulo e isósceles.
Portanto: m(Â) = 45º
b) Não existe a representação plana sugerida pelos dados apresentados e a parte B não tem significado.
8,945,2464961014MC 22
2u 19498962
8,920
2
1612S
2
e u 19513152
1412
2
1416S
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2ª Resolução:
a)
; ;
A representação plana é um trapézio retângulo.
b)
192k2 = 432 k2 = 2,25 k = 1,5
O lado de 20 cm, por exemplo, corresponde a 201,5 = 30 metros.
A representação plana foi feita na escala 1:150.
14) Gab:
b/a = 3/5
15) Gab: 52
16) Gab:
a) = 30°
b) = 90°
º660
º360
15
D
15
C
20
B
10
A
º60A º120B º90DC
77760018002
k16)k4k20(
