1D HEAT TRANSFER: UM SOFTWARE PARA … · giancarlo de f. aguiar, bÁrbara de cÁssia x. c. aguiar e volmir e. wilhelm da vinci , curitiba, v. 3 , n. 1, p. 157-170, 2006 171171171

GIANCARLO DE F. AGUIAR, BÁRBARA DE CÁSSIA X. C. AGUIAR E VOLMIR E. WILHELM

da Vinci , Curitiba, v. 3 , n. 1, p. 157-170, 2006 171171171171171

1D HEAT TRANSFER: UM SOFTWARE PARASIMULAÇÕES DE PROBLEMAS DIFUSIVOS-

CONVECTIVOS UNIDIMENSIONAIS TRANSIENTES

WILTON PEREIRA DA SILVAProfessor - Departamento de Física - Universidade Federal de Campina Grande/CCT

[email protected]

CLEITON DINIZ PEREIRA DA SILVA E SILVADoutorando - Engenharia Eletrônica, Sistemas e Controle - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

[email protected]

ANTONIO GILSON BARBOSA DE LIMAProfessor - Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade Federal de Campina Grande/CCT

[email protected]

1D HEAT TRANSFER: UM SOFTWARE PARA SIMULAÇÕES DE PROBLEMAS ...

da Vinci , Curitiba, v. 3 , n. 1, p. 171-186, 2006172172172172172

RESUMO

Este artigo visa comunicar o desenvolvimento do software 1D Heat Transfer, destinadoao estudo de problemas difusivos-convectivos de transferência de calor em uma dimensão(paredes e cilindros infinitos e esferas). O software, desenvolvido em Visual Fortran, possibilitasimular vários tipos de problemas por facultar ao usuário a definição de funções que caracte-rizam tanto as condições iniciais quanto parâmetros variáveis do processo. A equaçãogovernante do problema de difusão e convecção de calor unidimensional é resolvida numeri-camente utilizando o método dos volumes finitos com uma formulação totalmente implícita.Com a finalidade de validar o produto desenvolvido, vários problemas foram simulados e osresultados obtidos são coerentes com as respectivas soluções analíticas. Problemas que nãopossuem solução analítica também foram simulados e os resultados obtidos estão em totalacordo com os de outros softwares disponíveis no mercado.

Palavras-chave: software, difusão, convecção, unidimensional, volumes finitos

ABSTRACT

This paper seeks to communicate the development of the software 1D Heat Transferfor the study of problems involving heat transfer with diffusion and convection in onedimension (infinite walls, cylinders and spheres). The software, developed in Visual Fortran,facilitates the simulation several types of problems for allowing the user the definition offunctions that characterize variable parameters (initial conditions and domain parameters).The diffusion-convection equation of a single dimension heat transfer is solved through animplicit formulation of the finite volumes method. For purposes of validating of the developedproduct, several problems were simulated and the obtained results were coherent with therespective analytic solutions. Problems which don’t possess analytic solution were also simulatedand the obtained results are in agreement with the results from available softwares.

Key words: software, diffusion, convection, one-dimension, finite volumes


WILTON PEREIRA DA SILVA, CLEITON D. PEREIRA DA SILVA E SILVA E ANTONIO G. BARBOSA DE LIMA

1 INTRODUÇÃO

Uma área importante no ensino de vários ramos de engenharia é aquela referenteà transferência de calor. Com relação a esta área, em particular, existe no mercado umafarta oferta de livros-texto de preço acessível. Dentre estes, podem ser citados (BEJAN,1993), (BEJAN, 1995), (KREITH e BOHN, 2001), (INCROPERA e DeWITT, 2002) e(KAVIANY, 2002). Em contraste com a ampla disponibilidade de livros-texto na área detransferência de calor, escassos são os softwares destinados ao ensino desta matéria. Ospoucos pacotes disponíveis no mercado, como o CFX (<http://www-waterloo.ansys.com/cfx>), são muito caros e relativamente complicados, inviabilizando o seu uso por partede alunos iniciantes no tema. Repetidas buscas na Internet possibilitam afirmar que pra-ticamente inexistem softwares destinados ao ensino de transferência de calor. Duas “exce-ções a essa regra” são o Transcal Versão 1.1 desenvolvido por (MALISKA, 1998) e oCFD Sinflow (PIERITZ et al., 2002) e (PIERITZ et al., 2003), destinados ao estudobidimensional de condução de calor e escoamento. Uma dentre as várias característicasfavoráveis do Transcal é a facilidade de uso, o que o torna num poderoso aliado de alunosno estudo de disciplinas ligadas à transferência de calor. Conforme os autores, “ele éutilizado para induzir o raciocínio investigativo sobre os fenômenos físicos envolvidosatravés da simulação e visualização de fenômenos simples e educativos”. Por resolverproblemas de condução de calor bidimensionais transientes (ou em regime permanente),com (ou sem) geração de calor e em domínios arbitrários, “praticamente todos os proble-mas que se discutem em sala de aula podem ser resolvidos e investigados com o auxiliodo software”. Embora seja um software poderoso para os fins a que se destina, o Transcal,em sua versão atual, não possibilita que problemas difusivos-convectivos sejam simula-dos, e isso é um fator que limita o seu uso. Quanto ao CFD Sinflow, o software possibilitasimulações de condução de calor e também de escoamento com (e sem) transferência decalor. Entretanto, tais simulações pressupõem termos fonte e propriedades do meio cons-tantes.

Este artigo visa a apresentar o software 1D Heat Transfer, desenvolvido com o obje-tivo de contribuir para o enriquecimento do pequeno acervo de softwares didáticos sobretransferência de calor disponíveis no mercado. O software possibilita simular problemasunidimensionais tanto difusivos como também difusivos-convectivos, com propriedadesdo meio e termo fonte constantes ou variáveis, que podem ser facilmente implementadospelo usuário.

1D HEAT TRANSFER: UM SOFTWARE PARASIMULAÇÕES DE PROBLEMAS DIFUSIVOS-CONVECTIVOS

UNIDIMENSIONAIS TRANSIENTESWILTON PEREIRA DA SILVA / CLEITON D. PEREIRA DA SILVA E SILVA / ANTONIO G. BARBOSA DE LIMA



2 O SOFTWARE 1D HEAT TRANSFER: CONCEPÇÕES GERAIS

Embora seja unidimensional, o software foi concebido para simular uma larga gama deproblemas. Basicamente o 1D Heat Transfer, que tem opções de uso em Português e em Inglês,simula problemas em regime permanente e transiente resolvendo a seguinte equação diferen-cial parcial:

(1)

em que

ρ é a densidade do meio;cp é o calor específico do meio;T é a temperatura em uma dada posição do meio;u é a velocidade do meio;k é a condutividade do meio;S é o termo fonte.

A equação (1) pode ser entendida mais facilmente por estudantes através de um prévioestudo sobre fenômenos de transporte, o que pode ser feito, por exemplo, em (BIRD et al., 1960),seguido de um estudo específico sobre transferência de calor e métodos numéricos, tema disponí-vel, por exemplo, em (VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995) e em (MALISKA, 2004). No1D Heat Transfer a equação (1) é discretizada e resolvida numericamente usando o método dosvolumes finitos através de uma formulação totalmente implícita.

Durante a concepção do 1D Heat Transfer ficou estabelecido que o software deveria serusado para resolver problemas envolvendo transferência de calor unidimensional (paredes, cilin-dros e esferas). Devido ao propósito de torná-lo o mais versátil possível, ficou estabelecido aindaque, nas simulações, as propriedades do meio poderiam ser implementadas tanto como constantesquanto como variáveis; requisito imposto também ao termo fonte. Por isso, houve a necessidadedo desenvolvimento de um function parser, isto é, um avaliador de funções em Fortran 95, que foi alinguagem usada em todo o pacote. Detalhes sobre o parser estão disponíveis em (SILVA et al.,2005). Detalhes sobre a linguagem de programação Fortran para Windows podem ser obtidos em(SILVA et al., 2002).

Com o objetivo de se extrair o máximo de informações de um problema, durante a suasimulação em regime transiente, um “gráfico dinâmico” deveria ser gerado, mostrando a distribui-ção de temperatura no domínio a cada intervalo de tempo. Além disso, ao final da execução deveriaser plotado o gráfico da temperatura em função do tempo para um volume de controle estipuladopelo usuário. Já para o caso de problemas em regime permanente, no final da simulação deveria serplotado um gráfico com o perfil de temperatura.

No caso de problemas difusivos-convectivos o usuário deveria ter a opção entre dois es-quemas de interpolação: CDS e upwind. O próprio software deveria sugerir a melhor opção entre osdois esquemas baseada no cálculo do número de Peclet. Quanto à solução do sistema de equaçõeslineares, gerado a partir da discretização da equação diferencial parcial, ficou estabelecido que ousuário deveria ter a possibilidade de optar por um dos métodos: tabela LU ou Gauss-Sidel.



3 APRESENTAÇÃO DO 1D HEAT TRANSFER AO USUÁRIO

O software foi concebido para ser usado por alunos iniciantes no estudo de transferên-cia de calor e, portanto, deveria ser simples e de fácil uso. A plataforma escolhida para odesenvolvimento do software foi Windows, embora ele possa ser executado na plataforma Linuxcom o auxílio de programas como o Winehq (<www.winehq.com>). A seguir, serão apresen-tadas algumas das características do software.

3.1 O Menu Arquivo

O menu “Arquivo” é usado para a definição de novos arquivos de dados e tambémpara a abertura daqueles anteriormente definidos, bem como para fechar o software, confor-me pode ser visto na Figura 1.

Figura 1 - O menu “Arquivo”.

O menu “Arquivo” é composto pelos itens “Novo”, “Abrir” e “Sair”. Selecionando oitem “Novo” (ou “Abrir”) aparece um conjunto de caixas de diálogos para a informação (oucorreção) dos dados referentes à simulação.

A primeira caixa de diálogo tem o objetivo de adquirir dados gerais comuns tanto aoregime permanente como ao transiente, e pode ser vista na Figura 2.

Figura 2 - Aquisição de dados comuns ao regime permanente e transiente.



Nesta caixa, inicialmente deve ser informada a distância com pequeno Biot, Lx (paraparedes infinitas, Lx é a largura; para cilindros infinitos, Lx é a metade do raio; para esferas, Lxé um terço do raio – com fluxo zero no centro – e para paredes semi-infinitas, Lx deve serbem maior que a posição a ser estudada). Na seqüência, deve ser informado o número N devolumes de controle em que o corpo será subdividido (de 3 até 1000). Seguem-se as informa-ções: a condutividade k do meio e os termos Sc e Sp do termo fonte na sua forma linearizada.Para estes três últimos dados podem-se informar tanto valores constantes como variáveis(funções da temperatura T). Para problemas de difusão pura basta fazer a velocidade u domeio igual a zero. Deve-se informar, ainda, o regime a ser simulado (permanente ou transiente)e o método para a solução do sistema de equações lineares oriundo da discretização da equa-ção diferencial parcial: o default é tabela LU mas, marcando-se a caixa de checagem, o métodopassa a ser o de Gauss-Sidel.

Caso a simulação seja relativa a um regime transiente, após selecionar o botão “Passo2” aparece uma caixa de diálogo para a aquisição de dados necessários à simulação deste tipode regime, o que pode ser visto na Figura 3.

Figura 3 - Aquisição de dados relativos ao regime transiente.

Nesta caixa deve-se informar, na ordem, a temperatura inicial (constante oufunção da posição x), a densidade e o calor específico do meio (constantes ou funçõesda temperatura T). Deve-se informar, ainda, o intervalo de tempo e o número de pas-sos no tempo, que é o número de avanços (incrementos) do intervalo de tempo estipu-lado. Por último, deve-se estipular um nó (volume de controle) para que seja acompa-nhado o seu regime transiente. Além deste volume estipulado dois outros pontos domeio têm o seu regime transiente acompanhado: os contornos oeste e leste.

Para fins de informação de dados na caixa de diálogo recém mencionada, se emum problema forem dadas a condutividade e a difusividade térmica, pode-se atribuirum valor arbitrário, por exemplo, para a densidade do meio, e determinar o correspon-dente calor específico.

A próxima caixa de diálogo visa a adquirir a condição de contorno oeste, con-forme pode ser visto na Figura 4.



Figura 4 - Condição de contorno oeste.

Existem três condições de contorno disponíveis: temperatura, fluxo e convecção. Nocaso da condição de contorno ser o fluxo, deve-se tomar o cuidado com a seguinte conven-ção: fluxo entrando no volume de controle é positivo e saindo é negativo. Informando umadestas três condições, as demais caixas de edição ficam indisponíveis e deve-se passar para acaixa seguinte, que visa a adquirir a condição de contorno leste. A condição de contorno lesteé obtida na quarta caixa de diálogo, vista na Figura 5.

Figura 5 - Condição de contorno leste.



Esta caixa obedece às mesmas observações da caixa de diálogo para a aquisição dacondição de contorno oeste.

3.2 O Menu Resultados

Após a simulação de um problema, o menu “Resultados”, que inicialmente estavadesabilitado, passa a ter a aparência mostrada na Figura 6.

Figura 6 - O menu “Resultados”.

Este menu possibilita selecionar e depois copiar os gráficos traçados durante asimulação. Possibilita, ainda, inspecionar o conjunto de dados relativos à simulação re-cém concluída, através do item “Conjunto de Dados”. Selecionando-se o item “Fluxosnos Volumes de Controle” é aberto um arquivo destacando os volumes de controle e osfluxos oeste e leste de cada um destes volumes (relativo ao regime permanente ou aoúltimo passo de tempo do regime transiente). Já o item “Fluxo versus Posição” abre umarquivo que contém dados do fluxo em função da posição, e pode ser utilizado paradeterminar os parâmetros de uma função que dá o fluxo final em função de x, através deajuste de curvas. Os dados contidos neste arquivo são relativos ao regime permanente ouao último passo de tempo do regime transiente. O item “Regime Transiente” abre umarquivo com a informação sobre a temperatura em função do tempo referente ao nóestipulado pelo usuário. O arquivo pode ser usado para se determinar os parâmetros deuma função que dá a temperatura T em função do tempo t, por ajuste de curvas. Estaúltima informação pode ser estendida para os itens “Contorno Oeste” e “Contorno Les-te”. Já o item “Regime Permanente” abre um arquivo que contém dados da temperaturafinal em função da posição e ele também pode ser usado para fins de ajuste de curvas.Com relação ao regime transiente, caso o usuário opte por não incluir informações rela-tivas ao regime permanente, as informações sobre o último passo de tempo são coloca-das nesse arquivo. O último item, “Imprimir Tela”, é usado para a impressão dos gráficostraçados durante a simulação.



Figura 7 - O menu “Preferências”.

3.3 O Menu Preferências

Este menu possibilita mudar a cor dos gráficos a serem traçados durante a simulaçãoe também a escolha de um dos dois idiomas disponíveis para a interface com o usuário:Português e Inglês. Além disso, o usuário pode estipular uma tolerância para a solução dossistemas de equações lineares, via Gauss-Sidel, diferente da tolerância default, que é 10-8. Ositens relativos a este menu podem ser vistos na Figura 7.

3.4 O Menu Informações

O menu “Informações” possibilita ao usuário o acesso à “Ajuda” do software e a outrositens informativos conforme pode ser visto na Figura 8.

Figura 8 - O menu “Informações”.

4 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS TÍPICOS

Para validar o software, vários problemas de solução conhecida foram simulados, ealguns destes problemas podem ser acessados clicando-se no item “Abrir” do menu “Arqui-vo”. Neste artigo, três problemas serão considerados: um deles é referente à difusão pura decalor (velocidade u do meio igual a zero); o segundo envolve tanto difusão quanto convecçãode calor e no terceiro problema o software é utilizado também na simulação de difusão deágua em compósitos poliéster. Uma visualização para os problemas a serem simulados podeser obtida através do esquema mostrado na Figura 9.



4.1 Condução Unidimensional Transiente de Calor

A simulação que será apresentada é proposta por (MALISKA, 2004) e, no 1D HeatTransfer, os dados estão em um arquivo denominado “Maliska S_10_5_2 (initial T is f(x)).txt”.O problema envolve a distribuição inicial de temperatura em uma placa de espessura L, dadacomo segue:

(2)

No instante t=0 o corpo passa a sofrer um processo transiente em que as temperatu-ras oeste e leste são mantidas em zero. Este problema tem solução analítica e tal solução édada através da equação a seguir:

(3)

onde e

Para o conjunto de dados disponível,u = 0 m/s, com as temperaturas T = 0ºC em x=0 eT = 0ºC em x = L. Para tal conjunto de dados tem-seainda ρ = 1000kg/m3, c

P= 800J/kgK, k = 10W/mK,

T(x,0) = 400sen(50πx)ºC e L = 0,02m. Utilizando o1D Heat Transfer, a evolução do perfil de temperaturano tempo pode ser analisada através da Figura 10, gera-da pelo software, para um intervalo de tempo de 1 s,durante 50 s, com o corpo subdividido em 51 volumesde controle.

Por outro lado, o volume de controle central docorpo, escolhido para ter o seu transiente acompanha-do, tem a sua temperatura variando ao longo do tempoconforme pode ser visto na Figura 11.

Figura 10 - Evolução da distribuição de temperaturado corpo resfriado ao longo do tempo.

Figura 9 - Esquema para a visu-alização da transferência unidimensional de calor.



Após a simulação, selecionando-se o item “Regi-me Permanente” do menu “Resultados”, obtém-se um ar-quivo de dados que dá a temperatura de cada volume decontrole. Nesta simulação, este arquivo apresenta o valorzero para todos os volumes de controle, como é fisica-mente esperado para este problema após um intervalo detempo suficientemente grande.

4.2 Convecção e Difusão Unidimensional Permanentede Calor

A simulação a ser apresentada é abordada por(VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995) e envolve omovimento do meio com uma velocidade constante u =2,5 m/s, com as temperaturas adimensionais T = 1 em x = 0 e T = 0 em x = L, sendo ρ =1kg/m3, k = 0,1W / mK e L = 1m. Este problema possui solução analítica que é dada por

(4)

No 1D Heat Transfer, o arquivo de dados para este problema foi denominado “TheFinite Volume Method Ex 5_1 Case 3.txt”. Para tal arquivo de dados, a solução analítica é

(5)

Figura 12 - Soluções analítica (linha contínua) e numérica (pon-tos) usando CDS.

Figura 11 - Temperatura T do volume de con-trole central do corpo em função do tempo t.



4.3 Difusão Transiente de Massa

Embora a ênfase do 1D Heat Transfer seja na simulação de problemas relativos à trans-ferência de calor, o software pode também ser usado na simulação de difusão de massa emum determinado meio. Para exemplificar como isto pode ser feito, o conjunto de dados expe-rimentais obtidos e analisados por (CAVALCANTI et al., 2005) foi utilizado. Tal conjunto dedados refere-se à absorção de água por amostras de juta-vidro recobertas por resina poliésterinsaturada, previamente desidratadas e posteriormente imersas em água destilada à tempera-tura ambiente. Em tempos t pré-determinados o teor de água M das amostras foi medido, oque gerou uma tabela (t;M). A simulação de (CAVALCANTI et al., 2005) para a difusão deágua considerou a forma tridimensional das amostras mas, como as suas dimensões são20,00x20,00x2,82 mm3, na simulação a ser realizada neste artigo parece ser aceitável a suposi-ção de difusão unidimensional, posto que a espessura é muito menor que as outras dimen-sões. Para tal, na Equação (1), devem ser feitas as seguintes considerações, que devem serlevadas em conta durante a informação de dados ao software: T = M, ρ = 1, c

p=1, u = 0, k =

D (onde D é a difusividade do meio) e S = 0. Assim, a equação diferencial a ser resolvida passaa ser:

(6)

Neste caso, estabelecendo, com o auxílio da Figura 9, T0 = M

0 = 1 e T

L = M

L = 1 em

que M0 e M

L são os teores de água adimensionais a oeste (x = 0) e a leste (x = L), com L =

0,00282 m, é necessário apenas conhecer a difusividade D para se realizar a simulação. Para ascondições de contorno estipuladas, uma estimativa inicial da difusividade pode ser feita atra-vés da expressão (CRANK, 1956)

(7)

que é válida apenas para os primeiros instantes do processo de difusão unidimensional. Nopresente artigo foram utilizados os 5 primeiros dados experimentais para o estabelecimentode uma relação inicial entre D e M. Então, com a Equação (7), é possível montar a Tabela 1 eusar os dados desta tabela para ajustar a expressão sugerida por (CAVALCANTI et al., 2005)para a difusividade D em função do teor de água M das amostras:

(8)

Tabela 1 - Difusividade D em função do teor de água adimensional M



Utilizando-se o software LAB Fit (SILVA et al., 2004) e (SILVA e SILVA, 2005) obtém-sea = 5,5x10-12 m2/s e b = -2,9, mas deve ser lembrado de que não há garantias de que a Equação (7)seja válida para os tempos utilizados. Mesmo assim, a Equação (6) deve ser resolvida pelo 1D HeatTransfer, informando-se a Equação (8) quando o software solicitar a expressão para a condutividadek. Entretanto, ao realizar-se as simulações, correções nos valores de “a” e “b” devem ser feitasvisando a minimizar o erro entre os dados experimentais e os valores simulados. Em cada tempot de uma dada simulação o teor de água é obtido através da expressão

(9)

em que os valores de M, obtidos na simulação, indicam os teores de água nas posições x dosvolumes de controle, e a integração numérica deve ser feita em todo o domínio (de x igual a zeroaté L). Após algumas análises, tendo o domínio sido dividido em 100 volumes de controle, chega-se à expressão:

(10)

Para a difusividade dada pela Equa-ção (10) pode-se observar a Figura 13, quemostra os dados experimentais (pontos) e oresultado da simulação (linha contínua).

5 CONCLUSÕES

Diante do exposto pode-se concluirque o software apresentado é bastante versá-til, podendo ser usado tanto no ensino comoem pesquisas com ênfase nas áreas de trans-ferência de calor e massa e de escoamentode fluidos. Vislumbrando a possibilidade decolocar o produto desenvolvido à disposi-ção da comunidade científica, várias altera-ções foram feitas buscando tornar o softwareao mesmo tempo simples, confiável e geralpara problemas unidimensionais. Devido aisso, um grande número de simulações foi realizado no produto final, envolvendo várias possibili-dades de condições de contorno e de situações físicas, com resultados compatíveis tanto comsoluções analíticas quanto com os de outros softwares disponíveis no mercado. Naturalmente, o 1DHeat Transfer é um projeto em aberto, que será modificado à medida que possibilidades de melho-ramento forem sendo detectadas. Conforme já foi mencionado o software, desenvolvido para Windows,também pode ser executado na plataforma Linux. Assim, a perspectiva é melhorar a versão do 1DHeat Transfer para Windows, ao invés da criação de uma versão específica para Linux porque, destaforma, os usuários das duas plataformas serão beneficiados.

Figura 13 - Teor de água simulado (linha contínua) e dados experi-mentais (pontos) em função do tempo de difusão da água nasamostras de juta-vidro.



Embora seja intenção dos autores manter a versão em Inglês do software como umshareware, a versão em Português é um freeware. Para que estudantes e pesquisadores tenhamacesso à chave de desbloqueio definitivo, após 40 execuções experimentais livres, basta enviar,a partir do próprio software, um email formalizando o pedido. Quanto ao acesso ao 1D HeatTransfer, o software está disponível em inúmeros sites de download em várias partes do mundo, etambém em sua página oficial: <http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/ht.htm>.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPESP, CNPq, FINEP e ANP pelo auxílio financeiro parao desenvolvimento deste software, bem como aos autores referenciados que, com suas pesqui-sas, contribuíram para o melhoramento deste trabalho. Agradecem, também, ao pareceristapelas suas sugestões, que possibilitaram uma melhor formatação e clareza do texto.



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