1 Lista de Exercícios de Vetores e Geometria Analítica

CEFET/RJ - Uned Petrópoliso

Professor Leandro Tavares

1-

a) Justifique a seguinte regra para determinar o vetor −→x = −→u +−→v +−→w :toma-se representantesconsecutivos, isto e, a origem de cada um coincidindo com a extremidade do anterior, e“fecha-se o polıgono”

b) Mostre que a regra do item (a) vale para quatro e para cinco parcelas.

c) determine a soma dos vetores indicados em cada caso na Figura 1.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

D

AB

C

E

F

G

H

Figura 1:

2- Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da figura 2.

(a) ABCDEFGH e um paralelepıpedo.

(b) ABCDEFGH e EFGHIJLM sao cubos de arestas congruentes.

(c) O cubo ABCDEFGH tem centro O e esta divido em oito cubos congruentes or planosparalelos as faces.

Figura 2:

3- Utilize o paralelepıpedo da figura 2-2(a) para determinar o vetor −→x em cada caso:

(a) −→x =−−→

GH −

−−→

HE −

−→

FE +−→

AE +−→

AB

(b) −→x =−−→

HD −

−→

CF +−−→

DG+−−→

BC +−→

AF −

−−→

BE

1

Figura 3:

(c) −→x =−→

AB +−−→

HG+−→

AC +−−→

DF +−−→

CE +−−→

BD

4- Na figura 3, os hexagonos sao regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indi-cados.

5- Calcule a soma dos seis vetores que tem por representantes segmentos orientados com origemem cada um dos vertices, e extremidade no centro de um mesmo hexagono regular.

6- Quais sao as origem e extremidades de um representante do vetor−−→

BC+−−→

GH−

−→

FA−

−→

GC+−−→

FB?Voce nao vai precisar de nenhuma figura para chegar a resposta certa.

7- Na figura 2(a), sejam −→u =−→

AB, −→v =−−→

AH , −→w =−→

AC. Obtenha representantes dos ve-

tores −→x e −→y tais que −→u +−→v +−→x =−→0 e −→u +−→v +−→w +−→y =

−→0 . Quais propriedades estudadas

ate aqui voce utilizou?

8- Sendo −→u , −→v e −→w representados na figura 8-4, represente −→x = 2−→u −−→v +

5

4−→w por uma flexa

de origem O.

Figura 4:

9- Na figura 9(a) representa-se um hexagono regular ABCDEF . Determine X , sabendo que−−→

CX = −3−→u + 2−→v +3

2−→w .

10- Na figura 9(b) esta representado um paralelepıpedo. Sendo M tal que−−→

BM =1

2

−−→

BG,

indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor1

2

−−→

HB +1

3

−→

AB −

1

6

−−→

CD.

2

Figura 5:

11- O hexagono ABCDEF e regular, de centro O. Prove que−→

AB+−→

AC+−−→

AD+−→

AE+−→

AF = 6−→

AO

12- Sem usar coordenadas, explique o significado das seguintes afirmacoes: (a)os vetores u

e v sao ortogonais;(b)o vetor v e ortogonal a reta r;(c) o vetor v e ortogonal ao plano Π;(d) osvetores u, v e w sao coplanares.

13- Mostre que se os vetores u e v tem o mesmo comprimento entao u + v e u − v sao or-togonais. E a recıproca?

3