1 Lista de exerccios de Equaes diferenciais ordinriasProfessor: Otoniel Santanna Vaillante-mail: otonielvaillant@ceunes.ufes.bri) As equaes a seguir so separveis, resolva-as.1) (1 + x)dy ydx = 02) xey sinxdx ydy = 03) dydx = xy , y(4) = 34) xy4dx+ (y2 + 2)e3xdy = 05) dydx = y

2 4, y(0) = 26) dydx = sin 5x7) dydx = (x+ 1)

2

8) dx+ e3xdy = 09) dx x2dy = 010) (x+ 1) dydx = (x+ 6)11) ex dydx = 2x12) xy = 4y13) dydx + 2xy = 014) dydx =

y3

x2

15) dydx =y+1x

16) dydx =x2y2

1+x

17) dydx =1+2y2

y sin x

18) dydx = e3x+2y

19) dPdt = P P 220) dQdt = k(Q 70)21) dSdr = kS22) dNdt +N = Nte

t+2

23) 2 dydx 1y = 2xy24) (ex + ex) dydx = y

2

25) dydx = (2y+34x+5 )

2

26) yxdydx = (1 + x

2)12 (1 + y2)

12

27) (y yx2) dydx = (y + 1)228) dydx =

xy+3xy3xy2x+4y8

29) y(4 x2) 12 dy = (4 + y2) 1230) 2y(x+ 1)dy = xdxii) Resolva as equaes a seguir pelo mtodo do fator integrante e, quando

houver, resolva-as utilizando o problema de valor inicial.1) y + 12y =

12e

3t

2) dydt 2y = 4 t3) ty + 2y = 4t2, y(1) = 24) 2y + ty = 2, y(0) = 15)y + 3y = t+ e2t6) y 2y = t2e2t

1

7) y + y = tet + 18) y + 1t y = 3 cos(2t t > 09) y 2y = 3et10) ty + 2y = sin t t > 011) (1 + t2)y + 4ty = (1 + t2)212) 2y + y = 3t13) ty y = t2et t > 014) y + y = 5 sin(2t)15) 2y + y = 3t216) y y = 2te2t, y(0)=117) y + 2y = te2t, y(1)=018) y 2y = t2 t+ 1, y(1) = 12 t > 019) ty + 2y = sin t y(pi2 ) = 1, t > 020) ty + (t+ 1)y = t, y(ln 2) = 1, t > 021) t3y + 4t2y = et, y(1) = 0 t < 0iii) Verifique se as equaes so exatas ou no. Lembre-se que M(x, y)dx+

N(x, y)dy = 0 e para que uma equao seja exata, necessrio que: My =Nx .

Caso seja exata, resolva.1) 2xydx+ (x2 1)dy = 02) (e2y y cos(xy))dx+ (2xe2y x cos(xy) + 2y)dy = 03) (2x 1)dx+ (3y + 7)dy = 04)(2x y)dx (x+ 6y)dy = 05) (5x+ 4y)dx+ (4x 8y3)dy = 06) (sin y y sinx)dx+ (cosx+ x cos(y) y)dy = 07) (2y2x 3)dx+ (2yx2 + 4)dy = 08) 2xy dx x

2

y2 dy = 0

9) (5y 2x)y 2y = 010) (4x3y 15x2 y)dx+ (x4 + 3y2 x)dy = 011) (1 2x2 2y) dydx = 4x3 + 4xy12) (x2y3 11+9x2 )dxdy + x3y2 = 0iv) Os exercicios a seguir so a respeito de Modelagem com equaes de 1

ordem.1) Quando um bolo retirado do forno, sua temperatura de 300 F. Trs

minutos depois, sua temperatura passa para 200 F. Quanto tempo levar parasua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em queele foi colocado for de exatamente 70 F.

2) A populao de bactrias em uma cultura cresce a uma taxa proporcionalao nmero de bactrias presentes em qualquer tempo. Aps 3 horas, observa-seque h 400 bactrias presentes. Aps 10 horas, existem 2000 bactrias presentes.Qual era o nmero inicial de bactrias?

3) Um tanque contm 500 litros de gua pura. Uma soluo salina contendo2 g de sal por litro bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litrospor minuto. A mistura drenada mesma taxa. Encontre a quantidade degramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante.

2

4) Um tanque est parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10g de sal so dissolvidos. Uma soluo salina contendo 0,5 g de sal por litro bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura ento drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramasde sal haver no tanque aps 30 minutos.

5) Uma bebida contendo 6% de lcool por litro bombeada em um tonelque inicialmente contm 400 litros de bebida com 3% de lcool. A taxa debombeamento de 3 litros por minuto, enquanto o lquido misturado drenadoa uma taxa de 4 litros por minuto. Encontre quantos litros de lcool A(t) h notanque em qualquer instante. Qual a porcentagem de lcool no tanque aps60 minutos? Quando o tanque estar vazio?

6) Dois compostos qumicos A e B so combinados para formar um terceirocomposto C. A taxa ou velocidade da reao proporcional quantidade in-stantnea de A e B no convertida em C. Inicialmente, h 40 gramas de A e 50gramas de B, e para cada grama de B, 2 gramas de A so usados. observadoque 10 gramas de C so formados em 5 minutos. Quanto formado em 20 min-utos? Qual a quantidade limite de C aps um longo perodo de tempo? Qual quantidade remanescente de A e B depois de um longo perodo de tempo?

7) Resolva o problema anterior se 100 gramas de A esto presentes inicial-mente. Quando temos a metade do composto C formada?

8) Obtenha uma soluo para a equaodXdt = k(X)( X)que governa as reaes de segunda ordem nos dois casos: 6= e = .9) Ar contendo 0,06% de dixido de carbono bombeado em um salo cujo

volume de 8000m3. A taxa na qual o ar bombeado de 2000cm3/min e o arcirculante ento bombeado para fora a uma mesma taxa. Se havia inicialmenteuma concentrao de 0,2 % de dixido de carbono, determine a quantidadesubsequente no salo em qualquer instante. Qual ser a concentrao em 10minutos? Qual a concentrao estacionria (ou de equilbrio) de dixido decarbono?

v) Resolva os seguintes problemas de valor inicial .1) dydx = 2x+ 3, y(1) = 22) dydx = 2x+ 1, y(0) = 33) dydx = (x 2)2, y(2) = 14) dydx =

x, y(4) = 0

5) dydx =1x2 , y(1) = 5

6) dydx =1x+2

, y(2) = 17) dydx = frac10x

2 + 1, y(0) = 08) dydx = cos 2x, y(0) = 19) dydx = xe

x, y(0) = 110) dydx =

11x2 , y(0) = 0

vi) Verifique que as funes y1(x) = ex e y1(x) = xex so solues da equaodiferencial y2y+y = 0 e encontre a soluo satisfazendo as condies iniciaisy(0)=3, y(0)=1.

3

vii) Considere a equao diferencial 2y7y+3y = g(t). Obtenha a soluogeral para cada uma das equaes abaixo, considerando g(t) especificado nositens de 1 a 10.

1) g(t) = t2 + 2t 12) g(t) = e2t cos t3) g(t) = 2 cos t4)g(t) = 7t+ 45) g(t) = e2t + t2 + 2t+ 16) g(t) = et(3t2 t)7) g(t) = e4t cos 2t8)g(t) = cos 3t+ sin 2tviii) Resolva as equaes a seguir utilizando o mtodo de coeficientes a de-

terminar e compare com o mtodo de variao de parmetros.(Obs: Obter asoluo geral).

1) y + 2y + y = 6e2x2)y 9y = cos 3x3) y + y 6y = exx24)y + 36y = x 45)y 10y + 25y = e2x sinx6) y + 6y + 13y = sin 2x+ cosx7) y 8y + 16y = x2 + 58) 3y + y 2y = 4 sin 2xix) Para as equaes de Euler-Cauchy, obtenha apenas a soluo da equao

homognea. Elas j esto da forma homognea, obviamente.1) x2y + 2xy 6y = 02) x2y xy + y = 03) x2y + xy + y = 04) x2y + 2xy 2y = 05) x2y 4xy + 5y = 06) x2y 7xy + 3y = 07) x2y xy + 10y = 08) x2y 5xy + y = 0x) Para os problemas de 1 a 4, utilize o mtodo de variao de parmetros. Se

possvel, compare o resultado obtido com o mtodo de coeficientes a determinar.1) y 5y + 6y = 2et2) y y 2y = 2et3) y + 2y + y = 3et4)4y 4y + y = 16e t25) y + y = tan t, 0 < t < pi26) y + 4y + 4y = t2e2t t > 0

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