81

PROGRESSÕES

1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Vamos considerar as seqüências numéricas a) (2, 4, 6, 8, 10, 12). Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é

constante: a2 - a1 = 4 - 2= 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2; a5 - a4 = 10 - 8 = 2; a6 - a5 = 12 - 10 = 2

b) (2, 3/2, 1, 1/2, 0, -1/2) a2 - a1 = 3/2 - 2= -1/2; a3 - a2 = 1 - 3/2 =-1/2; a5 - a4 = 0 - 1/2 = -1/2; a6 - a5 = -1/2 - 0 = -1/2

Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o

nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).

Obs.: r = 0 => P.A. é constante.

r > 0 => P.A. é crescente. r < 0 => P.A. é decrescente.

De um modo geral temos: Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a

diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é: Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r

1.1 – FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razão r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos: a2 + a3+ a4+...+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n - 1).r Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.:

an = a1 + (n - 1).r

Oliveira Nota Importante: Quando procuramos uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil. • Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r) • Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y = r/2 • Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

Prof. Júlio Oliveira 1.2 – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma P.A. de k+2

termos, cujos os extremos são a1 e an. Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.

Exemplo 1.1 Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde: Solução:

82

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos. an = a1 + (n-1).r => r = 1 a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

1.3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.(Sn)

Vamos considerar a P.A. (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1). Agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os

membros de (2), já que são iguais. Somando (1) + (2), vem: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

Observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da P.A. , portanto representa a soma

de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an) 2Sn = (a1 + an) . n

=> que é a soma dos n termos de uma P.A.

Exemplo 1.2: Calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.A. ( 3, 7, 11,...). Solução:

a1 = 3; r = 4 =>

[ ]

Exemplo 1.3: Calcule o 17: termo da P.A. ( ,31 ,8 ,3 )

Solução: Temos que:

31 a e 5r

Logo,

83516316117 1117 raraa

Exemplo 1.4: Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares.

Solução: Temos então:

( ,5 ,3 ,1 )

Donde,

11 a e 2r , logo

23211111112 1112 raraa

144

2

12231

2

1212112

aaS

Exemplo 1.5: No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas dessas filas seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas?

83

Fig. 1.2 Solução: Temos uma P.A. representada por

( ,3 ,2 ,1 )

onde, 11 a e 1r

Desejamos saber o n para o qual temos 171nS .

Sabemos que:

2

12

2

1

2

1111 nrnanrnaanaaS n

n

Substituindo valores,

0342

,342

,1342

,12342

,2

1112171

2

2

nn

nn

nn

nn

nn

que é uma equação do 2º grau para a qual 1a , 1b e 342c .

Assim sendo,

19

18

2

371

2

13691

12

3421411

2

4

"

'

22

n

n

a

acbbn

Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico.

2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a1, a2, a3, a4, ..., an,...), então se ela for uma P.G. _an = an-1 . q , com n ≥ 2 e n ϵ IN, onde:

84

2.1 – CLASSIFICAÇÃO DAS P.G'S.

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

2.2 – FÓRMULA DO TERMO GERAL

Vamos considerar uma P.G. (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Pela definição temos:

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem: an = a1.q.q.q....q.q => (n-1 fatores q) Termo Geral da P.G.

2.3 – INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2 elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G.

85

2.4 – SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an...), de razão q ≠ 0 e q ≠ 1 e a soma Sn de seus n termos pode ser expressa por:

Sn = a1+a2+a3+a4... +an (Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem: q.Sn = (a1+a2+a3+a4... +an).q q.Sn = a1.q+a2.q+a3 +.. +an.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1), temos:

ou

com q ≠ 1

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:

Sn = a1+ a1+ a1+ ...a1 = n. a1

2.5 – SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Dada a P.G. infinita: (a1, a2, a3, a4, ...), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

1. Se a1= 0 => S = 0, pois an = 0 2. Se q < –1 ou q > 1, isto é |q| > 1 e a1 ≠ 0, S tende a −∞ ou + ∞ . Neste caso é impossível calcular a

soma S dos termos da P.G. 3. Se –1< q < 1, isto é, |q| < 1 e a1 ≠ 0, S converge para um valor finito. Assim a partir da fórmula da

soma dos n termos de uma P.G. , vem: Quando n tende a + ∞ , q

n tende a zero, logo:

que é a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Infinita.

Obs.: S nada mais é do que o limite da Soma dos termos da P.G., quando n tende para + ∞ é representada desta forma:

Exemplo 2.1: Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , )

Solução:

11 a e 2q

Logo,

5122 199

1

110

110 qaqaa

Exemplo 2.2: Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. (22

, 12,

02 , )

Solução: Temos:

4

1

2

12

2

2

1 a e

Logo,

21

214

1

1

120

20

120

q

qaS

75,143 262

2222

2 2121

2

1

q

86

Exemplo 2.3: Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de

armas pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio.

Solução:

mi 65

v2

v

0x

Fig. 1.3

Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido

milhas, uma

vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer também

milhas. Quando o

barco tiver percorrido estas últimas

milhas, o navio terá percorrido

milhas, e assim por diante, de modo que

a distância total a ser percorrida pelo barco é:

mi 4

65 mi

2

65 mi 65bx .

Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 651 a mi e

. Logo,

130

2

11

mi 65

1

1

q

axb

mi.

Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos métodos da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau?

Sim, é claro! Senão vejamos: As equações horárias dos movimentos são:

Barco vtxb

Navio tv

xn2

65

No encontro nb xx

e

tv

vt2

65 ,

652

vtvt ,

652

vt

e o tempo de encontro é:

vt

130 .

Voltando à equação do barco, temos então:

130130

v

vvtxb mi

e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio. Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método?

87

A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos de uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores.

3 - Trigonometria

3.1 Introdução

Historicamente, existem vestígios de um estudo de Trigonometria entre os babilônios, que a usavam

para resolver problemas práticos de navegação, de Astronomia e de Agrimensura. As correspondências entre relações das medidas dos lados de um triângulo retângulo e da medida dos

seus ângulos foram, sistematicamente, empregadas, pela primeira vez, pelo astrônomo grego Hiparco, por volta do ano 140 a.C.

A Trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Sua aplicação hoje em dia se estende, por exemplo, à Análise, à Eletricidade, à Mecânica, à Acústica, à Topografia, etc. Do ponto de vista etimológico, a palavra Trigonometria significa “medida dos triângulos”, sendo formada por três radicais gregos tri = três, gonos = ângulo e metron = medir.

3.2 Ângulos

Um ângulo no plano é uma região delimitada por duas semi-retas de origem no mesmo ponto. Na

figura, α é a menor região delimitada pelas semi-retas. Outro ângulo definido pelas semi-retas é o ângulo β, que

é uma região de abertura visivelmente maior que a o ângulo α.

Os ângulos α e β na figura ao lado dizem respeito a ângulos no plano (Existem os chamados ângulos

sólidos, definidos no espaço, mas estão fora do âmbito deste estudo).

No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura ao

lado está indicado o sentido de crescimento de um ângulo. O ângulo α aumenta se a abertura aumentar no

sentido indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-reta ̅̅ ̅̅ movendo-se no sentido horário.

3.2.1 Medida de Ângulos

O grau é a unidade de medida de ângulo obtida ao dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais. Denotaremos a medida desta parte como sendo um grau ( ). Usualmente, utiliza-se o grau como unidade de medida de ângulos, porém, a unidade de ângulo

adotada pelo Sistema Internacional (SI) é o radiano. Ele é definido de tal forma que um ângulo de π radianos

é igual a : π radianos = , em que π é o número irracional 3,141592654..., definido pelo quociente entre

o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Assim teremos, por exemplo, que

. Para

ângulos em unidades de grau de arco, é necessário indicar o símbolo “◦” para distinguir da unidade radiano.

Existem, além destas, outras medidas utilizadas. Por exemplo, o grado, que é obtido de forma análoga

ao grau; porém, a divisão é feita por 400. Podemos estabelecer, portanto, que = 100 grad. Esta última

unidade é muito pouco utilizada.

3.2.2 Mudança de Unidades

Considere x a medida em radianos de um ângulo que corresponde a α graus. A relação entre estas

88

medidas é obtida pela seguinte proporção:

π rad ——

x rad ——

Isso permite que façamos a conversão da medida de uma unidade para a outra através de uma regra de três simples. Podemos estabelecer a seguinte tabela de medidas de ângulos:

Da tabela acima podemos notar que medidas em graus e em radianos de um arco de circunferência são

diretamente proporcionais, isto é,

Exemplo 3.1: Converta 126◦ em radianos.

Solução: Temos

—— π rad

—— x

Então,

Exemplo 3.2: Converter 2π/5rad em graus.

Exemplo 3.3: Exprimir 300

o em radianos.

3.2.3 Classificação de Ângulos

(i) quanto à abertura:

1. Ângulo nulo: α = .

2. Ângulo agudo: < α < .

3. Ângulo reto: α = .

4. Ângulo obtuso: < α < .

5. Ângulo raso: α = .

6. Ângulo giro: α = .

(ii) quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos):

1. Ângulos complementares: α+β = . Diz-se que α e β são complementares se a soma α+β for um

ângulo reto. Neste caso, diz-se também que 90◦ − α é o complementar ou o complemento de α, e vice-versa.

Naturalmente, < α <

e < β < , com 0 < α + β < .

89

2. Ângulos suplementares: α + β = . Diz-se que α e β são suplementares se a soma α + β for um

ângulo raso. Neste caso, diz-se também que −α é o suplementar ou o suplemento de α, e vice-versa.

Naturalmente, < α <

e 0 < β < , com 0 < α + β < .

3. Ângulos replementares: α + β = . Diz-se que α e β são replementares se a soma α + β for um

ângulo giro. Neste caso, diz-se também que − α é o replementar ou o replemento de α, e vice-versa.

Naturalmente, < α <

e < β < , com 0 < α + β < .

4. Ângulos explementares: α + β = 72 . Diz-se que α e β são explementares se a soma α + β for um

ângulo de dois giros. Neste caso, diz-se também que 72 − α é o explementar ou o explemento de α, e vice-

versa. Naturalmente, 0◦ < α < 72 e 0◦ < β < 72 , com 0 < α+β < 72 .

Exemplo 3.4: O complemento do suplemento do triplo de um ângulo mede 30◦. Classifique este ângulo

quanto a abertura.

Solução: O triplo de um ângulo: 3x. O suplemento do triplo de um ângulo: 18 −3x, e o complemento

do suplemento do triplo de um ângulo: 9 −(18 −3x). Este último é igual a 3 , ou seja, 9 −(18 −3x) = 3 .

Resolvendo-se esta equação encontramos x = 4 . Logo, o ângulo é agudo.

3.3 A Circunferência Trigonométrica

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Essa circunferência será denominada ciclo ou circunferência trigonométrica. O ponto A = (1, 0), interseção da circunferência com o semi-eixo positivo OX, será chamado origem do ciclo. Os pontos A, B, C e D, interseções do ciclo com os eixos coordenados, dividem o ciclo em quatro partes congruentes denominadas quadrantes. Os quadrantes são numerados, a partir de A, no sentido anti-horário (de A para B para C), conforme indicamos na figura abaixo. Convencionamos que o ponto divisor de dois quadrantes está em ambos; assim, por exemplo, B está no

quadrante e também no (ele é o ponto final do

e o ponto inicial do

quadrante).

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

Já sabemos associar os números reais aos pontos de uma reta. Veremos agora como associar a cada número real x a um ponto na circunferência trigonométrica. Sabemos também que ao número x = 0 está correspondido o ponto A, que é a origem do ciclo. Se x ≠ 0, associamos a x o ponto final do seguinte percurso realizado sobre a circunferência:

• partimos de A;

• se x > 0, percorremos o ciclo no sentido anti-horário;

90

• se x < 0, percorremos o ciclo no sentido horário;

• o comprimento de percurso é |x|.

O ponto associado ao número x é denominado imagem de x no ciclo.

OBS. *Esses percursos podem ter mais do que uma volta na circunferência. Mesmo assim vamos chamá-los

de arcos.

*Como a circunferência tem raio 1, o seu comprimento é l = 2π · 1 = 2π. Nessa circunferência o

comprimento de qualquer arco é numericamente igual à sua medida em radianos. Isso significa que fazer um percurso de comprimento x é percorrer um arco de x rad.

3.3.1 Ângulo Trigonométrico

Vimos que um ângulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-reta que determina o ângulo (com outra semi-reta, fixa, de referência) completa uma volta após 36 , duas voltas após 720◦, etc., ou

uma volta no sentido contrário e, nesse caso, diz-se que descreveu um ângulo de −36 . O menor ângulo α

descrito pela semi-reta é o ângulo trigonométrico, ou primeira determinação positiva, e para o ângulo ϕ descrito pela semi-reta tem-se:

ϕ = α + k · 36 , k ∈ Z.

O ângulo α é o de maior interesse em trigonometria, em particular, no que toca às funções

trigonométricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = α+m·36 e y = α+n·36

(m e n números

inteiros), para igualar os ângulos x e y é necessário que m = 0 e n = 0 (por exemplo), uma condição trivial. A razão para a existência desta periodicidade para ângulos prende-se com o caráter das funções trigonométricas, o qual será discutido adiante. No entanto, é necessário definir univocamente a aplicação que determina o ângulo definido por duas retas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ângulos num

domínio que vai de a 36

(ou, o que é equivalente, de 0 a 2π radianos).

3.3.2 Números Congruentes

Os números x e x + 2π têm representação no mesmo ponto da circunferência trigonométrica. Nesse

mesmo ponto são representados, de fato, todos os seguintes números,

x, x ± 2π, x ± 4π, x ± 6π, x ± 8π, ..., etc,

que denominamos números congruentes (ou côngruos) a x. Podemos notar que cada número congruente a x

se escreve na forma x +( número par )π e, portanto, pode ser representado por x +2kπ, em que k ∈ Z.

Assim, o conjunto dos números congruentes a x é {x + 2kπ; k ∈ Z}.

3.4 Trigonometria e as Relações no Triângulo Retângulo

A partir da sua criação pelos matemáticos gregos, quando a trigonometria dizia respeito exclusivamente à medição de triângulos, e tal como as funções e relações trigonométricas apresentadas a seguir, era aplicada ao estudo de triângulos retângulos. Porém, as funções trigonométricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicações mais vastas e de maior riqueza noutras áreas como a Física (por exemplo, no estudo de fenômenos periódicos) ou a Engenharia. Teorias mais elaboradas como a dos números complexos, a das funções trigonométricas hiperbólicas e do desenvolvimento em série de Taylor de funções trigonométricas, dependem do estudo da trigonometria. Nos limitaremos à trigonometria no plano.

Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa; os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos.

3.4.1 O Teorema de Pitágoras

91

O geômetra grego Pitágoras (570−501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e

que relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo.

Teorema (de Pitágoras). A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa, ou seja, se a e b são os comprimentos dos dois catetos e c o comprimento da hipotenusa, temos

.

3.4.2 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Boa parte das aplicações trigonométricas estão relacionadas com comprimentos dos lados e com os ângulos de um triângulo. Devemos, no entanto, apresentar algumas definições das relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Definição. Considere um triângulo ABC retângulo em B, cujos lados medem ̅̅ ̅̅ = a, ̅̅̅̅̅ = b e ̅̅ ̅̅ = c e

seja α o ângulo oposto ao cateto ̅̅ ̅̅ . Então,

Exemplo 3.5: Encontre, para o ângulo α, as relações trigonométricas no

triângulo da figura.

Exercícios Propostos 1.12 até 1.18 no final da apostila.

3.5 Funções Trigonométricas

3.5.1 As Funções e as Relações Trigonométricas Fundamentais

Recorrendo-se à circunferência trigonométrica, podemos estender o valor das razões trigonométricas

no triângulo retângulo para quaisquer valores, além dos ângulos de medida entre zero e noventa.

92

Considere o ponto P(xP, yP) sobre a circunferência trigonométrica e cujo centro coincide com o sistema

cartesiano ortogonal. O triângulo ΔOMP é retângulo e ̅̅ ̅̅ = 1. Assim sendo,

Como na circunferência trigonométrica o raio ̅̅ ̅̅ é unitário, temos que as coordenadas do ponto P são

(xP, yP) = (cos(x), sen(x)). Assim, se P é um ponto de coordenadas (xP, yP) na circunferência trigonométrica, então:

Desta forma, definimos o seno e o cosseno do ângulo para quaisquer valores de x, e não somente para

aqueles entre (ou 0 radianos) e 9

(ou π/2 radianos), como anteriormente. Enunciemos a definição,

portanto, destas funções.

Definição. A função que associa cada x ∈ R à abscissa do ponto P da circunferência trigonométrica,

denomina-se função cosseno, ou seja,

Definição. A função que associa cada x ∈ R à ordenada do ponto P da circunferência trigonométrica,

denomina-se função seno, ou seja,

De acordo com a definição e observando a figura, podemos ver que

93

Pode-se observar ainda que, por P pertencer à circunferência trigonométrica, −1 ≤ cos(x) ≤ 1 e −1 ≤

sen(x) ≤ 1. Assim, o conjunto imagem das funções cosseno e seno estão limitadas ao intervalo [−1, 1], ou seja,

f(x) =cos(x) e g(x) = sen(x). Então,

A definição de tangente de um ângulo num triângulo retângulo nos diz que:

e, de acordo com a figura, os triângulosΔOPM e ΔOP’A são retângulos e o ângulo em O é comum. Logo, eles

são semelhantes. Assim,

ou seja,

Segue, da primeira igualdade, que

94

e, da segunda,

A tangente de x é, portanto, também assinalada pela ordenada do ponto P′, ou seja, o ponto P′ tem

coordenadas P′(x, y) = (1, tg(x)).

Definição. A função que associa cada x ∈ R à ordenada do ponto P′, obtido da interseção do

prolongamento do segmento OP com a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A, denomina-se função tangente, ou seja,

h : {x ∈ R; x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} R

x h(x) = tg(x) = yP’

Definição. A função que associa a cada x, em que cos(x) ≠ 0, ao inverso multiplicativo do seu cosseno, denomina-se função secante, ou seja,

h : {x ∈ R; x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} R

x

Observe que estamos definindo a secante do ângulo x como o inverso multiplicativo do cosseno deste mesmo ângulo. Sendo assim,

O mesmo se passa para as funções cotangente e cossecante. O valor da cotangente de um ângulo

corresponde à abscissa do ponto P′′, situado sobre a reta horizontal tangente à circunferência no ponto (0, 1),

ou seja, o ponto P′′ tem coordenadas P′(x, y) = (cotg(x), 1). De fato, são semelhantes os triângulos ΔOPM e ΔP′′

OB. Assim,

ou seja,

Segue, da segunda igualdade, que

e, da primeira, que

Quanto maior for a abscissa do ponto P, menor será o ângulo x, e a semi-reta definida pelo ângulo com

o eixo X se aproxima deste. Logo, cotg(x) aumenta, bem como a abscissa do ponto P′′.

Definição. A função que associa cada x ∈ R à abscissa do ponto P′′, obtido da interseção do

prolongamento do segmento OP com a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto B, denomina-se função cotangente, ou seja,

Definição. A função que associa a cada x, em que sen(x) ≠ 0, ao inverso multiplicativo do seu seno, denomina-se função cossecante, ou seja,

95

Observe que estamos definindo a cossecante do ângulo x como o inverso multiplicativo do seno deste

mesmo ângulo. Sendo assim,

Por se tratar de triângulos retângulos, podemos escrever para ΔOPM, ΔOP′A e ΔP′OB as seguintes

relações:

3.5.2 As Funções Trigonométricas e os Números Trigonométricos

Nas aplicações são bastantes usados o seno e o cosseno das medidas de arcos dadas em graus, que são respectivamente iguais ao seno e ao cosseno dos números reais que se obtém transformando as medidas em radianos. Podemos formar a tabela abaixo.

96

Dois números congruentes tem imagens coincidentes no ciclo trigonométrico e por isso possuem senos iguais e cossenos iguais.

Para todo x real e para todo inteiro k, temos

Exercícios Propostos 1.19 até 1.33 no final da apostila.

3.5.4 Paridade das Funções Trigonométricas

Nesta seção serão apresentadas algumas propriedades importantes das funções trigonométricas seno,

cosseno, tangente e cotangente, nomeadamente: paridade, sinal, monotonia, periodicidade, e o resultado da redução ao primeiro quadrante.

Das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante), todas têm uma paridade bem definida.

Proposição. A função seno é ímpar e a cosseno é par.

Proposição. As funções tangente, cotangente e secante são ímpares e a função secante é par.

3.5.5 Sinal das Funções Trigonométricas

Seja P(cos(α), sen(α)) um ponto da circunferência trigonométrica.

Em suma, temos o seguinte quadro

97

3.5.7 Reduções ao Primeiro Quadrante

A circunferência trigonométrica fica dividida em quatro partes quando, por exemplo, sua origem coincide com o sistema cartesiano ortogonal, como indicado na figura ao lado. Cada partes é denominada quadrante e são indicados conforme o sentido do crescimento dos ângulos.

Vimos que existem alguns ângulos, no primeiro quadrante, para os quais podemos determinar facilmente os valores das razões trigonométricas, e que convém ter sempre presente.

A aplicação da redução ao primeiro quadrante nos auxilia, por exemplo, a encontrar o valor de cada uma das funções trigonométricas para outros ângulos, entender o comportamento destas nos quadrantes restantes e na simplificação de expressões e de equações.

Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então

Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,

98

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,

Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante

Apesar desta redução poder ser demonstrada da mesma maneira que as anteriores, a faremos de outro modo mais simples.

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então

Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então

Os resultados obtidos para a redução de quadrantes encontram-se resumidos no seguinte quadro:

em que α é um ângulo do quadrante e β é um ângulo a converter.

3.5.8 Periodicidade das Funções Trigonométricas

Definição. Uma função y = f (x), definida no domínio D, é chamada função periódica se existe um

número positivo p que satisfaz a igualdade, f (x + p) = f (x), para todo x ∈ D. O menor valor positivo de p que

satisfaz essa condição é chamado período da função. Verifica-se que para este valor p, f (x + k · p) = f (x), para

todo k ∈ Z.

O período de uma função é o comprimento do intervalo no qual esta função passa por um ciclo completo de variação. Graficamente, o gráfico da função periódica apresenta um elemento de curva que se repete.

Proposição. O período das funções f (x) = cos(x) e g(x) = sen(x) é 2π.

99

3.5.9 Resumo das Propriedades das Principais Funções Trigonométricas

A Função Cosseno

Denominamos função cosseno à função que a cada número real x faz corresponder o número y =

cos(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = cos(x), construímos o gráfico da função cosseno

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

Propriedades

• O domínio da função y = cos(x) é o conjunto dos números reais R.

• Imagem: Im = {y ∈ R;−1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1] (∃x; cos(x) = y ⇔ −1 ≤ y ≤ 1).

O valor máximo de cos(x) é 1, enquanto o valor mínimo é −1.

• Período: p = 2π, pois, x temos cos(x + 2π) = cos(x).

A Função Seno

Denominamos função seno à função que a cada número real x faz corresponder o número y = sen(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = sen(x), construímos o gráfico da função cosseno

100

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

Propriedades

• O domínio da função y = sen(x) é o conjunto dos números reais R.

• Imagem: Im = {y ∈ R;−1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1] (∃x; sen(x) = y ⇔ −1 ≤ y ≤ 1).

O valor máximo de sen(x) é 1, enquanto o valor mínimo é −1.

• Período: p = 2π, pois, x temos sen(x + 2π) = sen(x).

A Função Tangente

Denominamos função tangente à função que a cada número real x ≠ π/2+kπ, k ∈ Z, faz corresponder o

número y = tg(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = tg(x), construímos o gráfico da função

tangente no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

101

Propriedades

• O domínio da função y = tg(x) é o conjunto dos números {x ∈ R; x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

• Imagem: Im = R (∃x; tg(x) = y ⇔ y ∈ R).

• Período: p = π, pois, ∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, temos tg(x + π) = tg(x).

A Função Cotangente

Denominamos função cotangente à função que a cada número real x ≠ kπ, k ∈ Z, faz corresponder o

número y = cotg(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = cotg(x), construímos o gráfico da

função cotangente no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

102

Propriedades

• O domínio da função y = cotg(x) é o conjunto dos números {x ∈ R; x ≠ kπ, k ∈ Z}.

• Imagem: Im = R (∃x; cotg(x) = y ⇔ y ∈ R).

• Período: p = π, pois, ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, temos cotg(x + π) = cotg(x).

A Função Secante

Denominamos função secante à função que a cada número x ∈ R; x ≠ π/2+kπ, k ∈ Z, faz corresponder o

número y = sec(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = sec(x), construímos o gráfico da

função secante no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

103

Propriedades

• O domínio da função y = sec(x) é o conjunto dos números {x ∈ R; x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

• Imagem: Im = R \ (−1, 1) (∃x; sec(x) = y ⇔ y ∈] −∞,−1] ∪ [1,+∞[).

• Período: p = 2π, pois, ∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, temos sec(x + 2π) = sec(x).

A Função Cossecante

Denominamos função cossecante à função que a cada número x ∈ R; x ≠ kπ, k ∈ Z, faz corresponder o

número y = cossec(x). Utilizando os pares (x, y) da tabela abaixo, em que y = cossec(x), construímos o gráfico

da função secante no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

104

Propriedades

• O domínio da função y = cossec(x) é o conjunto dos números {x ∈ R; x ≠ kπ, k ∈ Z}.

• Imagem: Im = R \ (−1, 1) (∃x; cossec(x) = y ⇔ y ∈] −∞,−1] ∪ [1,+∞[).

• Período: p = 2π, pois, ∀ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, temos cossec(x + 2π) = cossec(x).

Exercícios Propostos 1.34 até 1.46 no final da apostila.

3.6 Relações Importantes das Funções Trigonométricas

Em muitos casos é previsto a utilização de relações que envolvem funções trigonométricas diferentes

das que temos visto até aqui. Algumas destas podem envolver, por exemplo, funções trigonométricas da adição de ângulos ou determinadas funções que envolvem funções trigonométricas de um ângulo, e cuja escrita pode ser simplificada.

3.6.1 Fórmulas de Adição e Subtração

105

Considere dois arcos α e β com extremidades, respectivamente, nos pontos A e B, que estão sobre o

ciclo trigonométrico com centro na origem do sistema cartesiano ortogonal (ver figura abaixo). Pela lei dos cossenos temos que:

Teorema. Considere α e β dois ângulos quaisquer. Então,

O cálculo de tg(β ± α) decorre, naturalmente, dividindo-se sen(β ± α) por cos(β ± α). Portanto,

exceto π/2, 3π/2 e seus côngruos.

3.6.2 Fórmulas de Duplicação

Teorema. Seja α um ângulo qualquer. Então,

Teorema. Seja α 6= π/2 + kπ e α 6= π/4 + kπ/2, k ∈ Z, um ângulo. Então,

3.6.3 Fórmulas de Bissecção

Teorema. Seja α um ângulo qualquer. Então,

Teorema. Seja α ≠ kπ, k ∈ Z, um ângulo. Então,

3.6.4 Fórmulas de Transformações da Adição em Produto

106

Teorema. Sejam α e β dois ângulos quaisquer. Então,

Os resultados obtidos nesta seção estão resumidos na seguinte tabela:

Exercícios Propostos 1.47 até 1.53 no final da apostila.

3.7 Funções Trigonométricas Inversas

Uma função f está devidamente caracterizada quando temos expresso quem é o seu domínio,

contradomínio e a lei de correspondência y = f (x). Quando uma dada relação entre números reais y = f (x) é

dita uma função, fica subentendido que o domínio D desta é o maior subconjunto de R que a define como tal.

Se dada uma função y = f (x), alterarmos seu domínio para um subconjunto D′ de D, dizemos que esta função

está restrita a D′ e a denotamos por . Por um abuso de notação, utiliza-se f tanto para a função original

quanto para sua restrição. A relação (y) = x é função se f é uma função bijetora. Notoriamente, a classe das funções

trigonométricas não é bijetora. Neste caso, para determinar cada elemento que compõe a classe das funções trigonométricas inversas trabalharemos com a classe das funções resultante de restrições impostas a cada função trigonométrica.

Devido à periodicidade das funções trigonométricas, existem muitos intervalos nos quais cada restrição a um destes define uma outra função bijetora. No entanto, usualmente é escolhido um intervalo de comprimento máximo no qual o elemento zero é o ponto médio dos extremos deste ou é o extremo inferior.

3.7.1 Arco Cosseno

107

A função f : R → R definida por f (x) = cos(x) é não bijetora. Isto é facilmente constatado pelo seu

gráfico.

Pelo que foi dito anteriormente, a inversa da função cosseno será obtida de uma restrição de f tal que

ela seja bijetora. Por convenção, utiliza-se o intervalo [0; π] como o novo domínio, e, para que a função seja

sobrejetora, tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o argumento de f , ou seja, o

intervalo [−1; 1].

Desta forma, a função inversa do cosseno (x) = arccos(x) pode ser estabelecida e, por definição de

função inversa, tem-se para esta função que o domínio é [−1; 1] e o contradomínio é [0; π].

Definição. Definimos a função arco cosseno y = arccos(x) à função que associa cada número real do

intervalo [−1, 1] ao ângulo y, 0 ≤ y ≤ π. Simbolicamente,

3.7.2 Arco Seno

Podemos facilmente verificar que a função f : R → R definida por f (x) = sen(x) não é bijetora através do

seu gráfico.

A inversa da função seno é obtida se restringirmos f (x) = sen(x) de tal modo que ela seja bijetora. Por

convenção, utiliza-se o intervalo [−π/2; π/2] como o novo domínio, e, para que a função seja sobrejetora,

tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o argumento de f , ou seja, o intervalo [−

1; 1]. Desta forma, a função inversa do seno (x) = arcsen(x) pode ser estabelecida e, por definição de função

inversa, tem-se para esta função que o domínio é [−1; 1] e o contradomínio é [−π/2; π/2].

108

Definição. Definimos a função arco seno y = arcsen(x) à função que associa cada número real do

intervalo [−1, 1] ao ângulo y, −π/2 ≤ y ≤ π/2. Simbolicamente

3.7.3 Arco Tangente

Podemos facilmente verificar que a função

definida por f (x) = tg(x) não é bijetora através do seu gráfico.

A inversa da função tangente é obtida se restringirmos f (x) = tg(x) de tal modo que ela seja bijetora. Por

convenção, utiliza-se o intervalo ] − π/2; π/2[ como domínio, e, para que a função seja sobrejetora, tomamos

como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o argumento de f , ou seja, o conjunto dos números reais.

Desta forma, a função inversa da tangente (x) = arctg(x) pode ser estabelecida e, por definição de

função inversa, tem-se para esta função que o domínio é R e o contradomínio é ] − π/2; π/2[. Note que os

extremos do intervalo, −π/2 e π/2, são excluídos, pois, nesses pontos, a tangente não está definida.

Definição. Definimos a função arco tangente y = arctg(x) à função que associa cada número real ao

ângulo y, −π/2 < y < π/2. Simbolicamente

3.7.4 Arco Cotangente

109

Podemos facilmente verificar através do seu gráfico que a função

definida por f (x) = cotg(x) não é bijetora.

A inversa da função cotangente é obtida se restringirmos f (x) = cotg(x) de tal modo que ela seja

bijetora. Por convenção, utiliza-se o intervalo ]0; π[ como domínio, e, para que a função seja sobrejetora,

tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o argumento de f , ou seja, o conjunto dos números reais.

Desta forma, a função inversa da cotangente (x) = arccotg(x) pode ser estabelecida e, por definição

de função inversa, tem-se para esta função que o domínio é R e o contradomínio é ]0; π[. Note que os extremos

do intervalo, 0 e π, são excluídos, pois, nesses pontos, a cotangente não está definida.

Definição. Definimos a função arco cotangente y = arccotg(x) à função que associa cada número real

ao ângulo y, 0 < y < π. Simbolicamente,

3.8 Equações Trigonométricas

Uma grande parte das equações trigonométricas são ou ficamreduzidas a uma das seguintes equações fundamentais:

1. cos(α) = cos(β)

2. sen(α) = sen(β)

3. tg(α) = tg(β)

Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação cos(α) = cos(β) é

Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação sen(α) = sen(β) é

Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação tg(α) = tg(β) é

110

Exercícios Propostos

111

112

113

114