2009 1 Algebra Moderna Apostila

Mogi das Cruzes SP 2000 2009

Ef(E)

G

FH

x

y

z

gof

Notas de AulasNotas de AulasNotas de AulasNotas de Aulas

Prof. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de Morais

Luiz Antonio de Morais

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Notas de aulas de lgebra Moderna - 2000 a 2009Prof. Luiz Antnio de Moraishttp://www.arithimus.com

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LGEBRA MODERNA

Notas de aulas ndice: 3. Nota do autor: 3. Requisitos: 4. Noes sobre conjuntos: 5. Subconjuntos: 5. Conjuntos iguais: 6. Conjunto das partes de um conjunto: 6. Operaes entre conjuntos: 6. Reunio de dois conjuntos: 7. Interseco de dois conjuntos: 7. Diferena de dois conjuntos: 7. Complementar de dois conjuntos: 8. Diferena simtrica: 9. Propriedades das operaes entre conjuntos: 12.Relaes: 12.Conjunto produto: 15.Relao binria: 16.Relaes de equivalncia: 16.Relaes de ordem: 21.Aplicaes: 22.Imagem de uma aplicao: 27.Aplicaes sobrejetoras, injetoras ou bijetoras: 30.Aplicaes inversas: 32.Composio de aplicaes: 35.Leis de composies internas e operaes internas: 38.Propriedades de leis e operaes internas : 46.Homomorfismo e isomorfismo: 48. Grupos: 48. Grupos comutativos, finitos e infinitos:


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Nota do autor:

O texto que segue no contexto deste manual de iniciao a lgebra moderna foi criado para atender as necessidades mnimas dos alunos do curso de licenciatura da Universidade Braz Cubas de Mogi das Cruzes. Pode ser utilizado tambm pelas classes finais do ensino mdio ou de cursos equivalentes. No foi criado para ensino dogmtico e sim como instrumento de trabalho facilitador e agilizador no desenvolvimento dos contedos da lgebra. Sero tratados neste manual, assuntos bsicos que sero o alicerce para um estudo posterior de lgebra porm da maneira mais objetiva possvel. Como este material destinado ao aluno que est iniciando seus estudos de lgebra, os problemas e exerccios no esto resolvidos para que ele possa praticar os conceitos dados nas aulas.

Nada de novo est sendo criado. Todos os conceitos aqui mostrados encontram-se disponveis nos milhares livros e textos de lgebra existentes. Requisitos: Para o desenvolvimento ideal deste curso, o leitor dever ter: Conhecimento de lgebra elementar Conhecimento de Nmeros Conhecimento de funes Conhecimento de grficos de funes Noes de limites de funes Noes de derivadas Noes de aplicaes de derivadas


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Parte 1 - Noes de Conjuntos

No definiremos um conjunto. Trataremos aqui os conjuntos de forma intuitiva utilizando exemplos. Um conjunto (ou coleo) formado de objetos, que chamamos de elementos. Os elementos de um conjunto esto relacionados com o conjunto ao qual pertencem por uma relao denominada relao de pertinncia. Assim, se x um dos elementos do conjunto A, dizemos que x pertence a A e, escrevemos xA . Se, porm, x no um dos elementos do conjunto A, dizemos que x no pertence a A e, escrevemos xA . Um conjunto A fica bem caracterizado quando se d uma regra que permite decidir se um objeto arbitrrio x pertence ou no ao conjunto A . Exemplo:

Seja A o conjunto dos tringulos retngulos. Note que o conjunto A est bem definido, pois um objeto x para pertencer a A tem que ser tringulo e possuir um ngulo reto. Usa-se a notao A = {a, b, c,...} para representar o conjunto A cujos elementos so os objetos a, b, c, etc. Exemplo:

Seja o conjunto A = {,,,}. Os naipes de baralho ,,, so os elementos do conjunto A. Podemos ainda escrever A, A, A, A. Conjuntos numricos so aqueles cujos elementos so somente nmeros. Alguns conjuntos numricos importantes: Conjunto dos nmeros naturais: N = {1,2,3,4,5,...} Conjunto dos nmeros inteiros: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Conjunto dos nmeros racionais: }0q,q,p;q

p{ = ZZQ

Conjunto dos nmeros reais: R = Q {Irracionais} Conjunto dos nmeros complexos: }b,a;biaz:z{ RC +==

Muitos dos conjuntos encontrados na Matemtica no podem ser definidos especificando-se, um a um seus elementos. A maneira geralmente utilizada para descrever um conjunto atravs de uma propriedade caracterstica K comum e exclusiva de seus elementos. Assim, se um objeto xB, porque x goza da propriedade K. Escreve-se

B = {x : x goza da propriedade K}


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Se a propriedade K se refere a elementos de um conjunto universo . Neste caso, escreve-se:

X = {x : x goza da propriedade K} Exemplo: Seja o conjunto B = {xZ : x > 3}. A propriedade K desse conjunto o nmero ser inteiro e maior que 3. Neste caso podemos escrever:

B = {xZ : x > 3} = {4,5,6,7,8,9,...} Quando nenhum elemento do conjunto B goza da propriedade K, o conjunto no possui nenhum elemento. Nesse caso B um conjunto vazio e, neste caso representamos:

B = ou B = { } Exemplo:

Seja o conjunto A = {xZ : 3 < x < 4}. Note que a propriedade K desse conjunto diz que os seus elementos so nmeros inteiros compreendidos entre 3 e 4. Mas, no existe nmero inteiro compreendido entre 3 e 4. Logo A um conjunto vazio.

A = {xZ : 3 < x < 4} = Subconjuntos (Relao de incluso) Dados dois conjuntos A e B. Dizemos que A subconjunto de B quando todo elemento de A tambm elemento de B.

Representamos A B e lemos A est contido em B ou B A que lemos B contm A. A negao de A B A B. Exemplos:

1. Os conjuntos N, Z e Q citados anteriormente satisfazem a relao de incluso N Z Q 2. Sejam: A o conjunto dos quadrados e B o conjunto dos retngulos. Como todo quadrado

retngulo, temos: A B Conjuntos iguais

A relao de incluso pode ser aplicada a conjuntos iguais. E, neste caso sendo A = B, ento teremos A B e B A. Da teoria da lgica clssica tiramos a equivalncia lgica:

)pq()qp(qp

Adaptando esta propriedade da lgica teoria dos conjuntos, podemos escrever: A = B A B e B A


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Conjunto das partes de um conjunto

Dado um conjunto A, indica-se por P(A) o conjunto de todas as partes de A. Este conjunto formado por todos os subconjuntos possveis de A inclusive o vazio e o prprio A.

Exemplo:

Seja A = {1,2,3,4} um conjunto. O conjunto das partes do conjunto A : P(A) = {,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}} Observaes:

i) Afirmar X P(A) afirmar X A ii) P(A) nunca vazio, pois P(A) iii) O nmero de elementos de P(A) determinado por n(A)2 Partio de um conjunto

Seja E um conjunto. Uma partio de E uma coleo de subconjuntos no vazios de E tais que dois a dois so disjuntos e a reunio o prprio conjunto E.

Exemplos:

Seja o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1}, {2, 3}, {4, 5, 6} uma partio de E {1}, {2}, {3}, {4}, {5, 6} tambm uma partio de E Operaes entre conjuntos Reunio de dois conjuntos

A reunio de dois conjuntos A e B o conjunto A B, formado pelos elementos de A mais os elementos de B.

Simbolicamente escrevemos A B = {x : xA ou xB}

Em diagrama temos

AB

A B

A B

A B

ou


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Interseco de dois conjuntos

A interseo de dois conjuntos A e B o conjunto A B, formado pelos elementos que so comuns a A e B.

Simbolicamente escrevemos A B = {x : xA e xB}

Em diagrama temos

A B

A B Nota: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se A B A e A B B. Diferena de dois conjuntos

A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto A - B, formado pelos elementos de A que no pertencem a B.

Simbolicamente escrevemos A - B = {x : xA e xB}

Em diagrama temos

AB

A B- Complementar de um conjunto

Se o conjunto B estiver contido no conjunto A; ou seja, B A, a diferena A - B ser chamada complementar de B em relao a A . Nesse caso, escrevemos

A - B = B

A Em diagrama temos

A

B

A - B = BA


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Em conjuntos comum admitirmos a existncia de um conjunto universo E, que contm todos os conjuntos que ocorrem numa certa discusso. Neste caso, a diferena E - X chamada simplesmente complementar de X e, simbolizada por:

E - X = X

Diferena simtrica

Chama-se diferena simtrica de dois conjuntos A e B e indica-se por A B o conjunto dos elementos que pertencem somente aos conjuntos A e B.

Simbolicamente escrevemos:

BA = )BA(

)BA(

Em diagrama temos:

AB

BA Outra maneira de escrever a diferena simtrica:

A B = (A B) (A B) Exemplos de operaes entre conjuntos:

a) Sejam os conjuntos A = {xN: x 10} e B = { xN: x > 5}. Ento, temos A B = N; A B = {6,7,8,9,10} e A - B = {1,2,3,4,5}.

b) Dados os conjuntos X, Y e Z, determinar: (X Y), (X Z), (X Y), (X Z) e (X Y). X = {xN : x 15} Y = {xN : x 8} Z = {xZ : -3 < x 6}

Soluo:

X Y = {8,9,10,11,12,13,14,15} X Z = {1,2,3,4,5,6} X Y = {1,2,3,4,5,6,7} X Z = {7,8,9,10,11,12,13,14,15}. X Y = {16, 17, 18, 19, 20, ...}


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Propriedades das operaes entre conjuntos

1) A = A 2) A A= A 3) A B = B A 4) (A B) C = A (B C) 5) A (B C) = (A B) (A C) 6) A = 7) A A = A 8) A B = B A 9) A (B C) = (A B) (A C)

= AA10)

AB11) BA A B12) =BA

Exerccios propostos:

1) Representar nos diagramas abaixo os conjuntos: (A C) (A B) e (A B) (C D).

A B

C

A

B

C

D


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2) Sejam os conjuntos: A = {xN : x < 10}, B = {xZ : -2 x 5}, C = {xQ : -3 < x 6}, D = [-1, 4] e E = (1, 4], determinar: a) A B b) C (A B) c) (B A) (C D) d) (A B) (C D) e) D E C


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3) Determinar o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d} 4) Representar o conjunto X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} por uma propriedade caracterstica. 5) Demonstrar as propriedades abaixo:

a) A = A b) A B = B A c) (A B) C = A (B C) d) A (B C) = (A B) (A C)

= AAe)


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Parte 2 - Relaes Par ordenado

Dados os objetos a e b do conjunto E o par ordenado (a, b) fica formado, quando se escolhe o objeto a para ser a primeira coordenada do par e conseqentemente b para ser a segunda coordenada. Assim (a, b) (b, a) e ainda (a, b) = (c, d) a = c e b = d Representaes grficas Para objetos quaisquer podemos utilizar a Tabela de dupla entrada abaixo.

E b a (a, b)

Para objetos ordenados ou ordenveis tais como nmeros, por exemplo, podemos utilizar

tambm o Grfico cartesiano abaixo.

Conjunto produto ou Produto Cartesiano O produto cartesiano dos conjuntos A e B o conjunto A X B cujos elementos so todos os pares ordenados (a, b) onde aA e bB.

Simbolicamente: A X B = {(a, b) : aA e bB} Exemplos: 1) Sejam A = {a, b, c} e B = {x, y}. O conjunto produto ou produto cartesiano de A por B :

Na forma de conjunto:

A X B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}

Na forma de tabela de dupla entrada:

A B

a

b

c

x y

(a, x) (a, y)

(b, x) (b, y)

(c, y)(c, x)


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2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}. O produto cartesiano de A por B :

Na forma de conjunto:

A X B = {(1, 2), (1, 4), (2,2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} Na representao como grfico cartesiano:

1 2 3

4

2

0

y

x Exerccios:

1) Consideremos os seguintes subconjuntos }2x2:Zx{B},4x2:x{A


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2) Consideremos os seguintes subconjuntos: }1x3:x{A


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Relao binria

Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Diz-se que relao binria qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B. Exemplos:

1) Sejam A = N e B = Z. So relaes binrias: R1 = {(1, -1), (2, 0), (3, 1)} R2 = {(a, b) A X B : a

2 = b2 } R3 = R4 = A X B

Representaes grficas de uma relao Podemos representar uma relao de algumas maneiras distintas: Para exemplificar vamos considerar o conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} e a relao R em A X A definida por a2 = b2.

Como conjunto:

R = {(-2, -2), (-2, 2), (-1, -1), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}

Como tabela de dupla entrada:

A -2 -1 0 1 2 -2 x x -1 x x 0 x 1 x x 2 x x

Como diagrama de flechas:

-1-2

0

1 2

A

Se os conjuntos utilizados possuem os elementos ordenados, podemos tambm representar; Como grfico cartesiano como vimos na representao de produtos cartesianos. (Vide Exerccio (2), pgina 11).


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Relao de Equivalncia

Uma relao diz-se relao de equivalncia num conjunto E quando admite as propriedades: Reflexiva, Simtrica e Transitiva.

Podemos simbolizar as propriedades citadas como segue: Reflexiva: xE, x R x Simtrica: x,yE; xR y y R x Transitiva: x,y,zE; xR y e y R z x R z Exemplos:

1) A relao de igualdade em N uma relao de equivalncia

De fato: xN, x = x (Vale a propriedade reflexiva) x,yN; x = y y = x (Vale a propriedade simtrica) x,y,zN; x = y e y = z x = z (Vale a propriedade transitiva)

2) Seja o conjunto E = {-1, 0, 1, 2}. Consideremos em E a relao de divisibilidade R definida por y | x (y divide x). Esta relao no de equivalncia.

De fato:

A relao : R = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2)}

Note que ela no reflexiva, pois: 0 | 0 uma afirmao falsa Note que ela no simtrica, pois: 1 | 0 0 | 1 uma afirmao falsa Note que ela transitiva, pois x,y,zE; x | y e y | z x | z uma afirmao verdadeira.

Relao de Ordem

Definies:

Num conjunto E, chama-se relao de ordem ampla, uma relao que admita as propriedades: reflexiva, anti-simtrica e transitiva.

Costuma-se simbolizar a propriedade anti-simtrica por: x,yE; x R y e y R x x = y Num conjunto E, chama-se relao de ordem estrita, uma relao: no reflexiva, no

simtrica e transitiva.


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Exemplos: 1) Em N, a relao x y uma relao de ordem ampla, pois ela :

Reflexiva: xN, x x uma afirmao verdadeira Anti-simtrica: x,yN; x y e y x x = y uma afirmao verdadeira Transitiva: x,y,zN; x y e y z x z uma afirmao verdadeira. 2) Em N, a relao x > y uma relao de ordem estrita, pois ela :

No reflexiva: xN, x > x uma afirmao falsa No simtrica: x,yN; x > y e y > x x = y uma afirmao falsa Transitiva: x,y,zN; x > y e y > z x > z uma afirmao verdadeira. Nota: Quando uma relao de ordem estrita ou de ordem ampla costuma-se afirmar que ela uma

relao de ordem.

Exerccios:

1) Seja uma relao num conjunto E. Numa tabela de dupla entrada de E X E, os pares ordenados que satisfazem a relao ocupam certas casas. Qual a disposio dessas casas para que se reconhea que a relao : a) Reflexiva? b) Simtrica? c) Transitiva?


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2) Considere um conjunto E constitudo de cinco paraleleppedos, onde cada um deles caracterizado pelas suas dimenses x, y e z. a: x = 2 cm; y = 3 cm e z = 4 cm b: x = 1 cm; y = 3 cm e z = 8 cm c: x = 4 cm; y = 2 cm e z = 6 cm d: x = 2 cm; y = 3 cm e z = 6 cm e: x = 4 cm; y = 4 cm e z = 3 cm

Em E = {a, b, c, d, e} consideremos a relao Ter o mesmo volume. A relao assim definida uma relao de equivalncia? E de ordem?

3) Seja E = {a, b, c, d, e, f} o conjunto das retas da figura abaixo. Consideremos em E a relao de paralelismo x paralela a y se tem a mesma direo de y. Mostre que esta relao de equivalncia, mas no de ordem.

a b

c

de

f


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4) Num conjunto E, define-se que toda relao de equivalncia determina uma partio. Os elementos equivalentes entre si formam subconjuntos chamados classes de equivalncia. Duas classes de equivalncia distintas so disjuntas. A reunio de todas as classes E. Determine as classes de equivalncia do exerccio (3) anterior.

5) No conjunto E = {-2, -1, 0, 1, 2} a relao a2 + a = b2 + b uma relao de equivalncia? E

de ordem? Justifique.


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6) Estudar quanto as propriedades reflexiva, simtrica, transitiva e anti-simtrica, em N, as relaes x mltiplo de y e a relao x divisor de y.

7) Em E = {x : xN e x 10}, estudar as relaes:

a) xy = 12 b) x2 + y2 100 c) mdc(x, y) x

Use este quadriculado para a tabela dupla entrada


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Parte 3 - Aplicaes ou funes

Definio:

Dados dois conjuntos E e F, chama-se aplicao de E em F uma correspondncia f que associa a cada elemento x de E um nico elemento y de F.

Toda aplicao f : E F consta de trs partes:

i) Um conjunto E, chamado o conjunto de partida; ii) Um conjunto F, chamado o conjunto de chegada; e iii) Uma regra que permite associar a cada elemento xE, um nico elemento y = f(x)F,

chamado o valor da aplicao no ponto x.

A natureza da regra deve satisfazer a duas condies:

I) No deve haver excees se E o conjunto de partida da aplicao f, ento a regra deve fornecer y = f(x) para todo x em A.

II) No deve haver ambigidade para cada elemento x de E, ela deve fazer corresponder um nico y = f(x) em F.

Notaes usuais para aplicaes:

Para designar a aplicao f de E em F podemos escrever:

EEouFE:ff

Para indicar que o elemento x de E tem como imagem o elemento y de F, escrevemos:

)x(fyouyxouyx:ff

= Exemplos:

1) Seja P o conjunto dos polgonos e seja R o conjunto dos nmeros reais. Podemos dizer que f : P R a aplicao que associa a cada polgono xP , sua rea y = f(x).

2) Seja Q o conjunto dos nmeros racionais.

f : Q {0} Q tal que x

1)x(f = uma aplicao. Por outro lado,

g: Q Q tal que x

1)x(g = , no uma aplicao, pois no satisfaz I.

3) Sejam T o conjunto dos tringulos do plano e R+ o conjunto dos nmeros reais positivos.

f : R+ T tal que a cada nmero real x > 0 faa corresponder o tringulo f(x) , cuja rea x; no funo pois no satisfaz II.


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Imagem de uma aplicao

Dada uma aplicao f : A B e uma parte X A, chama-se imagem de X pela aplicao f ao conjunto f(X) formado pelos valores f(x) que f assume nos pontos xX. Assim, se f : A B uma aplicao; o seu conjunto imagem ser f(A). Exemplo:

Sejam R o conjunto dos reais e a aplicao 2x)x(f.q.tRR:f =

A imagem de f f(R) = {f(x)R : f(x) 0}. Podemos escrever tambm f(R) = {yR : y 0} OBS: Se no houver dvida pode-se representar f(A) por uma abreviao como If ou Imf. Nota:

Toda aplicao f de um conjunto E num conjunto F determina em E uma relao de equivalncia. Dois elementos x1 e x2 de E so equivalentes se tm a mesma imagem em F. Exemplo:

Sejam os conjuntos E = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, F = N {0} e a regra 2

x|x|yx:f

+= . Os

elementos de E esto repartidos em quatro classes de equivalncia:

}3{C};2{C};1{C};0 1,- 2,- -3,{C 4321 ====

Note que: }3{)C(f};2{)C(f};1{)C(f};0{)C(f 4321 ====

Exerccios: 1) Sejam o conjunto E = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} e a aplicao de E em Z definida por

15x8x14x8xx:f 234 ++ . Quais so as classes de equivalncia induzidas por f em E?


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2) Sejam as aplicaes de Z em Z: 22 )3x(x:ge9xx:f ++ . Determinar as classes

de equivalncia induzidas em Z por f e por g. 3) A todo nmero inteiro x do conjunto Z dos inteiros faamos corresponder seu quadrado y de

Z. Qual o conjunto imagem desta aplicao? 4) Consideremos o conjunto E dos crculos do plano e o conjunto R dos nmeros reais. A todo

crculo c, cE do plano faamos corresponder um nmero real r, o raio do crculo, rR. Pergunta-se: Esta correspondncia uma aplicao de E em R? Justifique.


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5) Dada a aplicao )2x(2

1)x(f que tal:f =QN , determine f(N)

6) Determinar o conjunto imagem da aplicao f : R R t.q. 1x)x(f 2 =


25

7) Determine o conjunto imagem da aplicao 1x

4)x(f onde R}1{R:f

=


26

8) Determine o conjunto imagem da aplicao 1x

x)x(f onde R}1{R:f

2 +=


27

Aplicao sobrejetora ou sobrejetiva

Definio: Chama-se aplicao sobrejetora, uma aplicao de um conjunto E em um conjunto F tal que todo elemento y de F seja imagem de pelo menos um elemento x de E. Em outras palavras, uma funo f : E F sobrejetora se para todo yF existe pelo menos um xE tal que f(x) = y. Aplicao injetora ou injetiva

Definio: Seja uma aplicao f de E em F. Se cada elemento y de f(E) a imagem de um nico elemento x de E, diz-se que a aplicao injetora.

Em outras palavras, uma funo f : E F injetora ou injetiva se dados x e y quaisquer em E, x y f(x) f(y); ou pela contrapositiva da Lgica Clssica, f(x) = f(y) x = y; ou de outro modo, f(x1) = f(x2) x1 = x2. Aplicao bijetora ou bijetiva

Definio: Uma aplicao bijetora se injetora e sobrejetora simultaneamente. Exemplo: Seja f : Z Z definida por 2x)x(f =

f no injetora, pois f(-3) = f(3) embora -3 3 f no sobrejetora, pois no existe xZ tal que 1x 2 =

Exerccios:

Nas questes seguintes N, Z, Q e R so, respectivamente os conjuntos dos nmeros Naturais, Inteiros, Racionais e Reais.

1) Seja f : N Z t. q. 1x3)x(f += . Verifique se f sobrejetora.


28

2) Dada a aplicao f : Q Q definida por f(x) = 5x +3. Mostre que f bijetora. 3) Verifique se a aplicao g : Z Z t. q. 2x)x(g 3 = bijetora.


29

4) Verifique se a aplicao h : Q {2} Q tal que h(x) = 2x

x2

bijetora.


30

Aplicaes inversas Definio: Se f uma aplicao bijetora de E em F tal que f : x y, ento existe uma aplicao tambm bijetora de F em E tal que y x. Esta aplicao a aplicao inversa da aplicao f e, representada por f -1. Exemplo:

Seja a aplicao 1x2)x(fpordefinida:f +=QQ . Vamos determinar a inversa de f. Primeiro, ns vamos verificar se f invertvel; ou seja, verificar se f bijetora.

yxy2x21y21x2)y(f)x(f ==+=+= (f injetora)

Q

===+=2

1yx1yx2y1x2y)x(f (f sobrejetora)

Como f sobrejetora e injetora, ento f bijetora e, portanto possui inversa.

A relao entre x e y da inversa pode ser obtida a partir do processo de verificao da sobrejetora, trocando-se o x pelo y.

Assim a inversa de f : 2

1x)x(f que tal:f 11

= QQ

Exerccios:

1) Determine a inversa da aplicao 2x4)x(f que tal:f =QQ


31

2) Determine, caso exista, a inversa da aplicao 2x)x(gpor definida :g 3 +=RR

3) Dada a aplicao 2x

1x2)x(h que tal}2{:h

+= RR :

i) Verifique se h invertvel ii) Caso no seja invertvel, modifique o conjunto de chegada para que seja iii) Determine a inversa da nova aplicao obtida no item b.


32

Composio de aplicaes

Sejam f : E F e g : G H duas aplicaes. Se f(E) G, pode-se definir uma nova aplicao h de E em H; ou seja, h : E H, compondo-se f e g.

Seja x um elemento de E e seja y a imagem de x por f, tal que G)E(fyeyx:f . Ao elemento y corresponde por g a imagem z em H tal que H)G(gzezy:g . Temos ento: z = g(y) = g[f(x)].

Define-se dessa maneira a aplicao composta de g e f que indicada por h = g f.

Ef(E)

G

FH

x

y

z

gof

Exemplo:

Sejam as aplicaes 1x2)x(g que tal:g e 3x)x(f que tal:f 2 +=+= RRRQ . Como gf composio a ento )(g oQR no uma composio vlida. Dizemos ento que ela no

existe. Por outro lado fg composio a ento )(f oRQ uma composio vlida. Neste caso dizemos que a composio existe e determinamos sua sentena que :

7x2)x(h que tal:h 2 +=RQ Exerccios:

1) Sejam 2x2)x(g que tal:g e 1x)x(f que tal:f 2 =+= ZZZZ , verificar, se existirem as composies: gfefg oo


33

2) Sejam 4x3)x(g que tal:g e 2x)x(f que tal:f 2 +== QQQQ , determinar, se existirem as composies: ggefg;gf;ff oooo


34

3) Determinar, se existirem, as composies gfefg oo sendo f e g as aplicaes:

2x

5)x(g que tal}2{:g e

1x

3)x(f que tal}1{:f

=

= RRRR


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Parte 4 - Leis de Composies e Operaes Internas

Definio:

Chamamos lei de composio interna e representamos por uma lei que faz corresponder a certos pares ordenados (x, y) do conjunto produto EXE um nico elemento z de E. Tal lei uma aplicao de um subconjunto S de EXE em E. Em smbolos temos:

yxzy) (x, tesimplesmenou yxz que talz,S)y,x( == Se S = EXE, dizemos que a lei de composio interna completamente definida. Uma lei de composio completamente definida uma aplicao de EXE em E. E, neste caso, dizemos que a lei de composio interna uma operao interna. Exemplos: 1) Em N, a adio faz corresponder a dois nmeros x e y um terceiro nmero z, chamado a

soma de x e y. A adio uma lei de composio interna e, neste caso a lei completamente definida, pois uma aplicao que faz corresponder a todo par ordenado (x, y) de NXN um elemento z de N. Portanto a adio em N uma operao interna.

2) Em N, a subtrao faz corresponder a dois nmeros x e y um terceiro nmero z, chamado a

diferena de x e y. Neste caso a lei no completamente definida, pois ela faz corresponder a certos pares ordenados (x, y) de NXN um elemento z de N. Portanto a adio em N uma lei de composio interna, mas no operao interna.

3) Em R, a mdia aritmtica uma operao interna. Podemos facilmente verificar que

RRRR +

=+

=2

yxyx)y,x(ou

2

yxyx,)y,x(

4) Em R, a mdia geomtrica uma lei de composio interna, mas no operao interna, pois

RRR == 16)8).(2()8()2( entanto no ,X)8,2(


36

Exerccios: 1) Mostrar que em E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a formao do mximo divisor comum (mdc) uma

operao interna, mas a formao do mnimo mltiplo comum (mmc) no completamente definida.

2) Dado E = {a, b, c}, verificar se em P(E) a interseco, a reunio e a diferena simtrica so

operaes internas.


37

3) Em }Zm,3

m{E = a adio uma operao interna? Justifique.

4) Em }Nn,n2x:x{E == a mdia aritmtica uma operao interna? Justifique. 5) No conjunto dos nmeros inteiros no mltiplos de 5 a multiplicao uma operao

interna? Justifique.


38

Propriedades de leis e operaes internas 1. Comutatividade de uma lei de composio interna

Definio:

Uma lei de composio interna, indicada por , comutativa se tivermos: xyyx =

cada vez que os dois membros da igualdade estiverem definidos. Exemplos:

1) Em R, a adio e a multiplicao so comutativas. De fato: Paratodo par ordenado (x, y) de R, temos: x + y = y + x xy = yx

2) Em R+ a mdia aritmtica comutativa.

2

yx

2

xyxye

2

yxyx

+=

+=

+=

3) Em R a subtrao no comutativa. 2. Associatividade de uma lei de composio interna

Definio:

Uma lei de composio interna, indicada por , associativa se tivermos: )zy(xz)yx( =

cada vez que os dois membros da igualdade estiverem definidos. Exemplos: 1) A adio em R associativa, pois )zy(xz)yx(;R)z,y,x( ++=++ 2) A operao x y = x em R associativa. De fato: (x y) z = x z = x e; x (y z ) = x y = x


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3. Elemento neutro de uma operao interna Definio:

Chamamos elemento neutro de uma operao interna , um elemento e tal que: xxeex,x ==

Exemplos: 1) Em R, munido da adio, o nmero 0 o elemento neutro.

x, x + 0 = 0 + x = x

2) Em R, munido da multiplicao, o nmero 1 o elemento neutro. x, x1 = 1x = x

3) Em P(E), munido da reunio, o conjunto vazio o elemento neutro. X, X = X = X

Unicidade do elemento neutro:

Uma operao interna admite no mximo um elemento neutro.

4. Elemento absorvente de uma operao interna Definio:

Chamamos elemento absorvente de uma operao interna , um elemento tal que: == xx,x

Exemplos

1) Em R, munido da multiplicao, o nmero 0 o elemento absorvente. x, x0 = 0x = 0

2) Em P(E), munido da interseco, o conjunto vazio o elemento absorvente. X, X = X =

Unicidade do elemento absorvente:

Uma operao interna admite no mximo um elemento absorvente.


40

5. Distributividade de uma operao em relao a outra operao interna Definies:

Seja E um conjunto munido de duas operaes internas e .

Dizemos que a operao distributiva esquerda em relao a operao se tivermos: )zy()zx(z)yx(;z,y,x =

Dizemos que a operao interna distributiva direita em relao a operao se: )zx()yx()zy(x;z,y,x =

Dizemos que a operao distributiva em relao operao se ela for distributiva esquerda e direita em relao a . Isto acontece, em particular se for comutativa. Exemplo: Seja Z munido da adio e da operao x y = x. A operao distributiva esquerda em relao adio.

yx)zy()zx(eyx)zy()zx(z)yx( +=++=+=+

Mas a operao no distributiva direita em relao adio. x2xx)zx()yx(ex)zy(x =+=+=+

Da a operao no distributiva em relao adio em Z. Exerccios: 1) Verifique se a lei x y = x + 2y comutativa em Z. 2) Verifique se a lei |yx|yx = comutativa em R.


41

3) Verifique se a lei 22 yxyxyx += comutativa em R.

4) Verifique se a lei 2

y

3

xyx = comutativa em Q.

5) Verifique se a lei x y = 3x + 2y associativa em Q.


42

6) Mostre que a operao interna definida por x y = x + y xy associativa em R.

7) Verifique se a lei xy1

yxyx

+

+= associativa em R.

8) Verifique que a mdia aritmtica em Q no associativa.


43

9) Verifique se a lei 22 yxyx += associativa em R.

10) Verifique se a operao x y = x + y + xy possui elemento neutro.

11) Mostre que para as leis xy1

yxyxexyyxyx

+

+=+= o o elemento neutro o 0.


44

12) Verifique se as leis xy1

yxyxexyyxyx

+

+=+= o tm elementos absorventes.

13) Prove que os elementos neutro e absorvente so nicos.


45

14) Verifique se em Q, a lei y2x2y xlei relao em vadistributi 2

xyyx +==o

15) Verifique se em Q, a lei 1yxy xlei relao em vadistributi xyyx ++==o


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Parte 5 - Homomorfismo e Isomorfismo Definio:

Sejam um conjunto E munido de uma operao interna e um conjunto F munido de uma operao interna o . Uma aplicao f de E em F um homomorfismo se a imagem do composto de dois elementos quaisquer de E for igual ao composto das imagens destes elementos em F.

Assim temos: f um homomorfismo )y(f)x(f)yx(f;y,x o=

Se a aplicao f que estabelece um homomorfismo bijetora, dizemos que f um isomorfismo. Exerccios: 1) Sejam N {0}, munido da adio e o conjunto }}0{n,2{F n = N munido da

multiplicao. A aplicao f de N {0} sobre F um isomorfismo?


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2) Mostre que em R+ munido da multiplicao a aplicao xx:f um isomorfismo de R+ sobre si mesmo.

3) Verifique se R+ munido da multiplicao e da adio a aplicao xln)x(f = um

isomorfismo de R+ sobre si mesmo.


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Parte 6 Grupos Estrutura de grupo

Definio:

Diz-se que um conjunto G munido de uma estrutura de grupo (ou um grupo) se el satisfaz s seguinte condies:

a) Existe uma operao interna b) A operao associativa; ou seja, )zy(xz)yx(;Gz,y,x = c) Existe um elemento neutro em e em G; ou seja, xexxe;Gx == d) Todo elemento x admite um elemento x (inverso ou oposto) tal que e'xxx'x ==

Ao afirmarmos: (G, ) um grupo, estamos dizendo que o conjunto G possui uma operao e a operao associativa, possui elemento neutro e elemento inverso ou oposto. Grupos comutativos ou abelianos

Definio:

Seja um conjunto G e uma operao . Se (G, ) um grupo e se a operao comutativa; ou seja, xyyx;Gy,x = ento diz-se que G um grupo comutativo ou abeliano. Nota:

abeliano em homenagem ao matemtico noruegus Niels Henrik Abel (1802 1829)

Exemplo:

Seja G = {2, 4, 6, 8} e consideremos a operao determinada pela seguinte tbua:

2 4 6 8 2 4 8 2 6 4 8 6 4 2 6 2 4 6 8 8 6 2 8 4

A operao determinada pela tbua define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto G. Grupos finitos ou infinitos

Se (G, ) um grupo e se G finito, diz-se que G um grupo finito, caso contrrio o G um grupo infinito.


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Exerccios: 1) Em R consideremos a operao definida por 3yxyx += . Mostrar que (R, ) um

grupo comutativo. 2) No conjunto 1}x:x{G = R consideremos a operao definida por xyyxyx += .

Mostrar que (R, ) um grupo comutativo.


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Bibliografia 1. MONTEIRO, L. H. J. Elementos de lgebra. Rio de Janeiro. Livros Tcnicos e Cientficos.

1974. 2. AYRES JR, F. lgebra Moderna. So Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 1971. 3. DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G. lgebra Moderna. So Paulo. Atual.1982. 4. ALENCAR F, E. Relaes Binrias. So Paulo. Livraria Nobel S.A. 1984. 5. HEFEZ, A. Curso de lgebra. Vol. 1. Coleo Matemtica Universitria. Instituto de

Matemtica Pura e Aplicada. Rio de Janeiro. 1997.

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2009 1 Algebra Moderna Apostila