2010ME_WagnerQueirozSilva

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

WAGNER QUEIROZ SILVA

Anlise no linear geomtrica do acoplamento solo-estrutura atravs da combinao MEC-MEF

So Carlos

Fevereiro de 2010

WAGNER QUEIROZ SILVA


Dissertao apresentada ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas. rea de Concentrao: Engenharia de Estruturas

Orientador: Prof. Dr. Humberto Breves Coda

So Carlos

Fevereiro de 2010

AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalogrfica preparada pela Seo de Tratamento da Informao do Servio de Biblioteca EESC/USP

Silva, Wagner Queiroz S586a Anlise no linear geomtrica do acoplamento solo-

estrutura atravs da combinao MEC-MEF / Wagner Queiroz Silva ; orientador Humberto Breves Coda. - So Carlos, 2010.

Dissertao (Mestrado-Programa de Ps-Graduao e rea de Concentrao em Engenharia de Estruturas) - Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, 2010.

1. Mtodo dos elementos de contorno. 2. Mtodos dos elementos finitos. 3. Acoplamento MEC/MEF. 4. No linearidade geomtrica. 5. Interao solo-estrutura. I. Ttulo.

DEDICATRIA

Ao meu pai Eucides Batista da Silva, meu maior mestre.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeo a minha famlia pelo apoio e incentivo durante toda a minha

formao profissional. Em especial minha me Vera Mrcia F. de Queiroz Silva e ao meu

pai Eucides Batista da Silva que souberam me orientar para toda vida.

Ao prof. Humberto Breves Coda pela brilhante orientao, pela amizade e por todos os

conhecimentos que me foram passados durante a elaborao deste trabalho.

Ao Departamento de Engenharia de Estruturas da USP So Carlos, incluindo

professores e funcionrios, que disponibilizaram toda a infra-estrutura necessria a elaborao

deste trabalho. E ainda a todos os funcionrios da Escola de Engenharia de So Carlos que

com presteza me auxiliaram na concluso do mesmo.

Ao CNPq pela bolsa de estudos concedida durante os dois anos de mestrado.

A todos os amigos e colegas do programa de ps-graduao do SET, no s pelas

valorosas idias, contribuies e sugestes dadas ao trabalho, mas principalmente pela

amizade e companheirismo durante minha estadia na cidade de So Carlos.

Por ltimo e no menos importante, a minha amada namorada Ana Carla Cruz Pedrosa

pelo apoio, compreenso, amizade, pacincia e pelo carinho.

RESUMO

SILVA, W. Q. (2010). Anlise no linear geomtrica do acoplamento solo-estrutura

atravs da combinao MEC-MEF. Dissertao (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, 2010.

Neste trabalho foi desenvolvida uma formulao alternativa para o acoplamento entre

o mtodo dos elementos de contorno (MEC) e o mtodo dos elementos finitos (MEF) para

anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas ligadas a meios contnuos

bidimensionais heterogneos, aplicado a problemas de interao solo-estrutura. O solo foi

considerado com comportamento elstico linear e modelado via MEC por meio de uma

formulao alternativa clssica tcnica de sub-regio permitindo a considerao de mltiplas

incluses mais ou menos rgidas do que o material padro e de linhas de carga internas aos

domnios. Este cdigo foi ento acoplado ao programa AcadFrame, baseado no MEF

posicional para anlise no linear geomtrica de prticos com considerao de cinemtica

exata. O acoplamento numrico foi realizado por meio de uma formulao algbrica onde a

matriz de rigidez do solo e a fora de contato so condensadas e somadas matriz e ao vetor

de foras internas da estrutura a cada iterao no processo de Newton-Raphson. Em ambos os

programas foi utilizada uma generalizao do grau de aproximao dos elementos atravs dos

polinmios de Lagrange, o que permite a utilizao de elementos curvos de alta ordem. Foi

utilizada ainda a tcnica dos mnimos quadrados para reduzir as oscilaes de foras de

superfcie no contato. Os resultados obtidos de forma geral so bastante satisfatrios e

comprovam a eficincia da formulao. O trabalho permite a anlise de problemas de

edificaes apoiadas sobre solos estratificados com mltiplas incluses e linhas de carga.

Permite tanto a anlise de elementos apoiados diretamente sobre o solo (sapatas, radies)

quanto de elementos internos e em qualquer direo, como no caso de estacas verticais ou

inclinadas. Pode-se inclusive considerar as estacas passando por diferentes camadas de solo.

A aplicao pode ser estendida ainda a outros problemas elsticos, acoplamento entre peas

mecnicas e anlise de materiais compostos.

Palavras chave: MEC, MEF, Acoplamento MEC/MEF, no linearidade geomtrica,

interao solo-estrutura.

ABSTRACT

SILVA, W. Q. (2010). Non linear geometric analysis of soil-structure interaction via

BEM/FEM coupling. M.Sc. Dissertation - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2010.

This work presents an alternative coupling of the boundary element method (BEM)

and the finite element method (FEM) to create a computer program for non linear geometric

analysis of frames coupled to continuous domains, applied to soil-structure interaction. A

linear elastic behavior is considered for the soil, modeled by BEM. An alternative formulation

is adopted for the classic sub-region technique, allowing the consideration of multiple

inclusions and load lines inside the soil domain. The BEM computational code is coupled to

the AcadFrame software, based on positional FEM for non linear geometric analysis of

frames, considering exact kinematics. The numerical coupling is made by an algebraic

formulation where the soil stiffness matrix and contact forces are condensed and added to the

structure matrix and internal forces for each iteration on Newton-Raphson process. On both

programs it is adopted a generalization of the element degree assuming the Lagrange

polynomials, which allows the use of curved high order elements. It was also implemented the

least square method in order to obtains better and smoother results of surface forces in the

contact interface. The obtained results are satisfactory and prove the formulation efficiency.

The program allows the analysis of buildings supported by layered soils with multiples

inclusions and load lines. It considers directly supported elements over the soil (footing

foundations, radies) and internal elements in any direction, like vertical and diagonal piles. It

can also consider piles going through different layers of the soil. This formulation can be

applied to other elastic problems like coupling between mechanic pieces and composite

material analysis.

Key-words: BEM, FEM, BEM/FEM coupling, non linear geometric, soil-structure

interaction.


Sumrio

Captulo 1 ...................................................................................................................... 7Introduo ................................................................................................................... 7Objetivos do trabalho .................................................................................................. 9

Objetivos Especficos ............................................................................................. 9Justificativa ................................................................................................................. 9Comentrio sobre os captulos .................................................................................. 11

Captulo 2 .................................................................................................................... 132. Reviso Bibliogrfica ........................................................................................... 132.1. Sobre interao solo-estrutura ........................................................................... 132.2. Sobre os mtodos numricos ............................................................................. 172.3. Sobre anlise no linear geomtrica .................................................................. 212.4. Trabalhos desenvolvidos no SET ...................................................................... 23

Captulo 3 .................................................................................................................... 273.1. Interao Solo-estrutura ..................................................................................... 273.2. Anlise no linear geomtrica em edificaes ................................................... 31

Captulo 4 .................................................................................................................... 334. O Mtodo dos Elementos de Contorno ................................................................. 33

4.1. Apresentao .................................................................................................. 334.2. Problemas Elsticos ....................................................................................... 344.2.1. Teoria da Elasticidade e outros Conceitos fundamentais ........................... 344.2.2. Soluo fundamental .................................................................................. 374.2.3. Obteno da equao integral ..................................................................... 404.2.4. Montagem do sistema algbrico ................................................................. 434.2.5. Singularidades do Mtodo dos elementos de contorno .............................. 44


4.2.6. Clculo de deslocamentos e tenses em pontos internos ........................... 454.3. Elemento curvo ................................................................................................. 46

4.3.1. Apresentao .............................................................................................. 464.3.2. Polinmios de Lagrange ............................................................................. 48

4.4. Exemplos ........................................................................................................... 504.4.1. Viga em balano ......................................................................................... 504.4.2. Cavidade em meio infinito ......................................................................... 53

Captulo 5 .................................................................................................................... 555. Problemas heterogneos ....................................................................................... 55

5.1. Apresentao ................................................................................................. 555.2. Anlise de Domnios no-homogneos via MEC ......................................... 565.2.1. Tcnica clssica de sub-regio ................................................................... 575.2.2. Tcnica alternativa de sub-regio ............................................................... 585.2.3. Procedimento algbrico .............................................................................. 625.2.5. Tratamento para pontos internos ................................................................ 655.3. Linhas de carga ............................................................................................. 665.5. Exemplos de aplicao e validao ............................................................... 675.5.1. Viga com momento .................................................................................... 685.5.2. Chapa tracionada com ncleo enrijecido ................................................... 70

Captulo 6 .................................................................................................................... 756. O Mtodo dos Elementos Finitos para anlise no linear geomtrica ................. 75

6.1. Apresentao ................................................................................................. 756.2. Anlise no linear geomtrica ....................................................................... 766.2.1. O conceito da no linearidade geomtrica ................................................. 766.2.2. Princpio da mnima energia potencial ....................................................... 776.3. Formulao do MEF posicional para anlise NLG de prticos .................... 796.3.1. Conceito de mudana de forma e medidas de tenso-deformao............. 79


6.3.2. Elementos curvos e Polinmios de Lagrange ............................................. 836.3.3. Mapeamento das configuraes inicial e corrente ...................................... 846.3.4. Mudana de configurao ........................................................................... 876.3.5. Soluo do sistema atravs do processo de Newton-Raphson ................... 89

6.5. Exemplos de aplicao ...................................................................................... 916.5.1. Viga em balano com momento aplicado ................................................... 92

Captulo 7 .................................................................................................................... 957. Acoplamento MEC/MEF ...................................................................................... 95

7.1. Apresentao .................................................................................................. 957.2. A tcnica algbrica de acoplamento .............................................................. 96

7.3. Tcnica de suavizao por mnimos quadrados ............................................... 1017.4. Exemplos de Validao e Aplicao ............................................................... 103

7.4.1. Barra tracionada ........................................................................................ 1037.4.2. Estaca cravada no solo .............................................................................. 1067.4.3. Estaca inclinada ........................................................................................ 1127.4.4. Edifcio acoplado ao solo com heterogeneidade ...................................... 1167.4.5. Mastro esbelto engastado em solo heterogneo ........................................ 123

Captulo 8 .................................................................................................................. 1278.1. Concluses ....................................................................................................... 1278.2. Sugestes para trabalhos futuros ..................................................................... 130

Referncias Bibliogrficas ........................................................................................ 131


7

Captulo 1

IntroduoNeste trabalho ser apresentado um estudo de sistemas estruturais formados por

elementos reticulados acoplados a meios contnuos bidimensionais com nfase na aplicao

em anlise de problemas de interao solo-estrutura. Ser feita uma anlise esttica deste tipo

de problema considerando-se a no linearidade geomtrica com cinemtica exata da estrutura

reticulada e considerando ainda o meio contnuo (solo) como sendo formado por mais de um

material com diferentes mdulos de elasticidade.

A anlise ser realizada numericamente atravs do desenvolvimento de programas

computacionais em ambiente FORTRAN, utilizando-se de mtodos numricos aproximados

para modelagem tanto do meio solo quanto da estrutura edificada. O solo ser modelado via

mtodo dos elementos de contorno (MEC), enquanto que a estrutura atravs de elementos de

prtico via mtodo dos elementos finitos (MEF), acoplando-os por meio de uma formulao

algbrica que considera os deslocamentos e esforos produzidos na interao.

A modelagem do meio contnuo via MEC baseada na soluo fundamental de Kelvin

considerando o comportamento do solo elstico linear. Consideram-se tambm mltiplas

incluses, podendo estas ser mais ou menos rgidas que o material predominante, alm de

linhas de carga internas ao domnio. As incluses sero tratadas por processo alternativo de

sub-regies proposto por VENTURINI (1992) e RIBEIRO & PAIVA (2009) e generalizadas

por estratgia matricial que permita facilitar tambm o acoplamento s matrizes do MEF.

Atravs dos polinmios de Lagrange ser implementado o elemento de contorno curvo de

ordem de aproximao qualquer. As singularidades matemticas presentes nas solues

fundamentais adotadas sero tratadas por tcnica de subtrao de singularidade.

A estrutura reticulada, por sua vez, ser modelada com o uso do programa AcadFrame,

desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas pelo prof. Dr. Humberto Breves

Coda e pelo Dr. Rodrigo Ribeiro Paccola. O programa baseado no MEF com formulao

posicional considerando comportamento no linear geomtrico (NLG) com cinemtica exata,

como apresentado em CODA (2003). A no linearidade baseada em formulao lagrangeana

e a cinemtica de Reissner adotada para considerar a influncia dos esforos cortantes na

deformao do prtico. Tambm se adotam os polinmios de Lagrange como funo


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aproximadora o que permite a adoo de elementos finitos curvos com qualquer ordem,

semelhante ao MEC.

Para o acoplamento, uma matriz semelhante a de rigidez ser montada via MEC para o

solo e ento condensada de maneira a incluir na rigidez do sistema do MEF todas as

condies de contorno ocorridas no meio contnuo. A matriz de rigidez da estrutura

(Hessiana) ser ento alterada a cada iterao no processo de Newton-Raphson da anlise no

linear, somando nesta matriz os termos correspondentes ao solo e ao vetor de foras as foras

de contato apropriadas.

Diversos trabalhos encontrados na literatura tm mostrado que em interfaces de sub-

regies com grandes diferenas de mdulo de elasticidade e em acoplamento MEC/MEF

podem ocorrer oscilaes nos resultados de fora de superfcie devido diferente natureza de

comportamento entre os meios acoplados. No intuito de evitar esse problema ser

implementada tambm a tcnica de suavizao por mnimos quadrados aos elementos de

contorno, de acordo com WUTZOW (2003).

Todo esse processo de anlise pode ser aplicado, como j mencionado, ao estudo da

interao entre o solo de fundao e uma edificao convencional constituda por prticos, ou

ainda em anlise de tneis e dutos no campo da engenharia civil. A formulao, no entanto

bastante abrangente podendo tambm servir anlise de outros problemas elsticos, como no

caso de acoplamento entre peas mecnicas e em anlise de materiais compsitos. Tem,

portanto aplicaes na engenharia civil, mecnica e aeronutica.

A caracterstica comum a estes problemas est no fato de estarem presentes dois ou

mais meios de naturezas distintas, neste caso um meio contnuo e um sistema reticulado. A

complexidade em simular o comportamento de sistemas estruturais acoplados leva ao estudo

do acoplamento de mtodos numricos aproximados, pois somente dessa maneira se torna

possvel a generalizao de uma formulao adequada para o processo de anlise. O

acoplamento entre os diferentes mtodos numricos se apresenta assim como uma soluo

adequada para a anlise de sistemas complexos, fazendo uso dos recursos de cada mtodo

onde o mesmo apresenta maior eficincia. Maiores detalhes sobre cada mtodo e sobre o

acoplamento entre os mesmos sero vistos nos captulos que seguem.

A considerao da no linearidade geomtrica com cinemtica exata e a adoo da

formulao posicional do MEF, por sua vez, enriquecem o trabalho frente ao que j vem

sendo desenvolvido nesta linha de pesquisa no Departamento de Engenharia de Estruturas da

EESC USP e mesmo frente a trabalhos consultados na literatura especializada.


9

ObjetivosdotrabalhoO presente trabalho tem por objetivo principal o desenvolvimento de um programa

computacional para anlise do acoplamento no linear geomtrico solo-estrutura atravs da

combinao entre o MEC e o MEF com uso de formulaes atuais e eficientes.

Objetivos Especficos

Estudar tcnica alternativa para o tratamento de incluses, sub-regies e enrijecedores

imersos em meio contnuo por meio de acoplamento MEC/MEC e MEC/MEF;

Desenvolver um programa de anlise linear de slidos bidimensionais baseado no

mtodo dos elementos de contorno utilizando elementos de ordem de aproximao qualquer

(elementos curvos) e considerando mltiplas incluses e linhas de carga;

Estudar estratgia algbrica de acoplamento do MEC com sistema no linear

geomtrico do MEF de maneira que a matriz do solo condensada atue como condio de

contorno para a estrutura reticulada e contendo, por sua vez, as condies de contorno do

prprio solo;

Avaliar os efeitos do fenmeno da interao solo-estrutura em conjunto com o

comportamento no linear geomtrico de uma edificao, fazendo-se as devidas

consideraes com relao a outras metodologias de anlise desse tipo de problema;

Disponibilizar ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC USP um

programa computacional com formulaes atuais para anlise no linear geomtrica da

interao solo-estrutura, buscando contribuir para o desenvolvimento de pesquisas neste

campo de estudos.

JustificativaO estudo do fenmeno de interao ocorrido entre o solo e a estrutura de um edifcio

no recente. Observa-se, no entanto, cada vez mais a necessidade de se aplicar conceitos

mais modernos da anlise estrutural a esse tipo de problema para acompanhar no s o

desenvolvimento tecnolgico da engenharia, mas tambm os avanos alcanados nas

pesquisas acadmicas, proporcionando assim aos engenheiros e calculistas ferramentas cada

vez mais poderosas e com melhores resultados que possam ser aplicadas anlise estrutural.


10

Por ser um sistema complexo e que envolve uma srie muito grande de fatores,

diferentes tcnicas de anlise tem sido propostas para o estudo da interao solo-estrutura,

buscando sempre aplicar o conhecimento para os diversos casos, gerais ou mais especficos

em problemas de engenharia. Diferentes tipos de solo em camadas sobrepostas, por exemplo,

constituem um problema especfico. Muitos trabalhos tratam o solo como sendo constitudo

por camadas de diferentes propriedades. Mas o solo pode apresentar uma heterogeneidade

tambm na forma de incluses. o caso da presena de material rochoso, detritos ou

mataces imersos em uma camada de solo, ou mesmo concentrao de determinado material,

sem necessariamente formar camadas.

Neste trabalho se aplica ento uma formulao geral que permite a adoo de diversas

camadas de solo com qualquer configurao. Alm disso, a formulao permite a

generalizao quanto ao nmero de incluses mais ou menos rgidas no meio contnuo,

baseado em uma formulao alternativa para a considerao de meios heterogneos no

mtodo dos elementos de contorno.

Inclui ainda o estudo de elementos de ordem qualquer, aplicados no MEC e no MEF

para a utilizao de elementos curvos, melhorando assim a qualidade da aproximao em

problemas que envolvam superfcies ou elementos curvilneos e funes de alta ordem.

A anlise no linear geomtrica aplica-se a diversos casos de engenharia,

especialmente no caso da engenharia civil, em anlise de edifcios altos onde esse

comportamento deve ser verificado. Por serem baseadas em formulaes complexas e por

exigir um longo tempo de processamento dos computadores, o uso de tcnicas mais

elaboradas para anlise no linear foi evitado pelos engenheiros durante dcadas, sendo

prefervel a adoo de mtodos de anlise simplificados. Porm, isso no mais se justifica

frente s atuais configuraes dos computadores. A velocidade de processamento das

mquinas atuais permite que problemas envolvendo grandes nmeros de graus de liberdade e

onde a convergncia de processos iterativos onerosa possam ser mais rapidamente avaliados

do que em dcadas anteriores. Dessa forma, a adoo de uma formulao com cinemtica

exata se torna possvel, fazendo com que a anlise seja mais rica e verossmil. Podem ser

obtidos resultados mais seguros e precisos, contribuindo assim para o desenvolvimento

tecnolgico.

Cita-se tambm como justificativa para a elaborao deste trabalho, a tradio do

Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos em estudos

de acoplamento solo-estrutura via MEC/MEF e em anlise no linear de estruturas. Fica claro


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tambm que este trabalho contribui significativamente com o desenvolvimento relativo ao

acoplamento no linear entre o MEC e o MEF.

ComentriosobreoscaptulosNeste primeiro captulo foi feita uma breve introduo do tema abordado e

apresentao dos objetivos e das justificativas do trabalho. Na seqncia, encontra-se descrita

toda a fundamentao terica e o desenvolvimento do trabalho em si, bem como os resultados

obtidos com exemplos de aplicao para validao da formulao. Pretende-se aqui apenas

comentar de forma resumida o que o leitor deve esperar encontrar em cada um dos prximos

captulos.

No segundo captulo apresentada a reviso bibliogrfica realizada durante a

elaborao deste trabalho. Temas como interao solo-estrutura, no linearidade geomtrica e

mtodos numricos sero abordados apresentando o que se encontra na bibliografia atual e

que servir de base para o desenvolvimento da pesquisa.

O terceiro captulo trata das generalidades do fenmeno de interao solo-estrutura e

da anlise no linear geomtrica em edificaes. Em cada tema so feitos comentrios sobre

as diferentes maneiras de se analisar o problema, comentando ainda sobre as vantagens e

desvantagens de cada uma.

O quarto captulo apresenta o mtodo dos elementos de contorno, que neste trabalho

utilizado como mtodo aproximado para modelagem do meio contnuo. Apresenta-se de

forma resumida a aplicao do MEC para problemas elsticos bidimensionais, bem como a

soluo fundamental utilizada. Destaca-se nesse captulo o desenvolvimento dos elementos

curvos com aproximao qualquer e a tcnica de subtrao de singularidade adotada nas

integrais singulares.

Dando continuidade ao assunto, o quinto captulo trata de problemas heterogneos via

acoplamento MEC/MEC. Apresenta-se o mtodo alternativo de tratamento para sub-regies

que servir de base para a implementao da estratgia algbrica no cdigo desenvolvido. A

estratgia tambm apresentada para ilustrar como o funcionamento bsico do programa.

Destaca-se tambm a descrio das linhas de carga internas aos domnios. Alguns exemplos

de problemas elsticos heterogneos bidimensionais so apresentados para validao do

programa.

O sexto captulo trata do mtodo dos elementos finitos, utilizado na modelagem da

estrutura reticulada. So apresentados os fundamentos da formulao lagrangeana posicional


12

aplicada anlise no linear geomtrica de estruturas, bem como o funcionamento do cdigo

AcadFrame desenvolvido no SET. Comenta-se sobre a importncia da anlise no linear

geomtrica e as diferenas com relao aos mtodos simplificados. Destaca-se o uso de

elementos curvos, tal qual feito no MEC.

No stimo captulo enfim apresentado o acoplamento entre o MEC e o MEF.

Demonstra-se como funciona a estratgia algbrica de acoplamento e as implicaes

numricas ocorridas. A tcnica de suavizao dos mnimos quadrados aplicada ao MEC

descrita neste captulo. Em seguida so apresentados resultados de exemplos onde a resposta

conhecida para validao do programa e, por ltimo, apresenta-se duas aplicaes prticas do

trabalho, sendo um exemplo hipottico de um edifcio apoiado sobre solo heterogneo e um

mastro esbelto engastado em solo heterogneo para avaliao do comportamento no linear

geomtrico associado ao fenmeno interao solo-estrutura.

Para finalizar a dissertao, so feitas concluses finais no oitavo captulo,

comentando sobre os resultados obtidos e comparando estes com outras metodologias de

outros autores, alm das sugestes para trabalhos futuros.


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Captulo 2

2.RevisoBibliogrficaNeste trabalho foram reunidos alguns temas importantes no campo da anlise

estrutural para que fosse ento realizado o desenvolvimento de cdigos computacionais para

anlise do comportamento no linear geomtrico de estruturas reticuladas acoplados a meios

contnuos, no caso de problemas bidimensionais de interao solo-estrutura. Por ser um tema

complexo e que envolve uma grande srie de variveis, observa-se o interesse de

pesquisadores das instituies e universidades mais renomadas por esse assunto. Na verdade,

o estudo da interao solo-estrutura no algo recente e, como na engenharia estrutural de

forma geral, observa-se que a sua evoluo acompanha o avano tecnolgico dos

computadores medida que se tornam possveis a utilizao de modelos matemticos mais

refinados e mtodos de anlise mais complexos e dispendiosos. Cada vez mais a tecnologia

permite a adoo de modelos mais representativos dos problemas reais.

Pode-se dividir a reviso bibliogrfica em trs principais temas distintos que sero

aqui abordados: o estudo da interao solo-estrutura em si, os mtodos numricos que foram

utilizados no desenvolvimento dos cdigos, sendo estes o mtodo dos elementos finitos e o

mtodo dos elementos contorno, e ainda o estudo da no linearidade geomtrica de estruturas,

que tambm tem sido objeto de estudo para diversos pesquisadores em outras linhas. O

presente captulo apresenta alguns trabalhos encontrados na literatura dentro destas linhas de

pesquisa, buscando-se identificar o que j foi desenvolvido e o que ainda h por ser estudado

na rea. Seguindo a diviso proposta, fazem-se primeiramente citaes gerais tanto nacionais

quanto internacionais sobre os diversos temas, e por ltimo so apresentados os trabalhos que

foram desenvolvidos no Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC USP.

2.1.SobreinteraosoloestruturaDiversos autores tm demonstrado que as estruturas civis no podem ser analisadas

somente de forma isolada na determinao de esforos e deslocamentos para o seu correto

dimensionamento. importante que sejam tambm corretamente avaliados os apoios,

principalmente com relao ao processo de interao existente entre o solo e o seu sistema de

fundao inserido no mesmo. COLARES (2006) mostra claramente que devido flexibilidade


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do solo podem ocorrer recalques dos apoios, o que por sua vez tem grande influncia na

redistribuio de esforos ao longo de toda uma edificao. No entanto, os processos de

anlise usuais so realizados de maneira que essa interao no levada em considerao da

forma mais adequada.

Uma das maneiras mais simples de se considerar os sistemas de suporte de uma

edificao atravs de apoios rgidos como engastes ou mesmo apoios simples. Modelos de

edifcios considerados apoiados sobre fundaes rgidas podem ser verificados nos trabalhos

de MANCINI (1973), CARVALHO (1980), CARVALHO (1982), OLIVEIRA (1982) e

mesmo para trabalhos mais recentes, como em MARTINS (2001), SOUZA (2001), SILVA

(2005) e FABRIZZI (2007). Em todos estes, o objetivo do trabalho no contempla o processo

de interao do edifcio com o solo, mas somente anlise do edifcio isolado. Dessa forma, os

engenheiros estruturais determinam uma srie de cargas (reao vertical, horizontal e

momentos fletores) que so os esforos ocasionados nos apoios de fundao. Estes valores

so repassados ento aos engenheiros geotcnicos que os utilizam para dimensionar as

fundaes e verificar recalques admissveis segundo os cdigos normativos.

Este modelo simplificado j foi bastante usual em escritrios de clculo estrutural. No

entanto, um modelo que foge totalmente a realidade frente ao comportamento dos solos

quando submetidos aos esforos provenientes das estruturas, principalmente em edificaes

de grande porte onde os esforos solicitantes so maiores. Nesta metodologia no possvel

considerar que a flexibilidade dos solos ter efeito junto aos elementos estruturais. O que

usualmente pode ser feito para corrigir esse problema adotar recalques diferenciais nos

apoios fixos a partir de clculos realizados separadamente no solo, no entanto essa tcnica

ainda no reproduz de forma adequada o fenmeno da interao, se afastando da realidade

fsica do problema, como afirma SOUZA & REIS (2008). Trabalhos como HOLANDA et al.

(2000), FONTE & FONTE (2003) e REIS & AOKI (2005) destacam a importncia de se

considerar o solo como deformvel ao invs de apoios fixos para a correta determinao dos

esforos solicitantes nos elementos estruturais.

Com relao aos efeitos que podem surgir do fenmeno de interao entre solo e

estrutura, citam-se os trabalhos de MEYERHOF (1947), GOSHY (1978), AOKI (1997),

RAMALHO & CORRA (1991), GUSMO & GUSMO FILHO (1994), GUSMO (1995)

e MOURA (1995). Nestes trabalhos, destaca-se o processo de redistribuio de esforos

ocorrido em estruturas de prticos quando sujeitos a recalques diferenciais e totais. Uma das

observaes mais importantes que os pilares mais carregados transferem carga para os


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pilares menos carregados, ocasionando problemas caso essa sobrecarga no tenha sido

considerada no processo de dimensionamento das peas.

Na verdade, a considerao do solo como deformvel j estudada por engenheiros e

geotcnicos h vrias dcadas. WINKLER em 1867 havia proposto que cargas aplicadas na

superfcie do solo geram deslocamentos somente no ponto de aplicao da mesma, ou seja,

desconsidera-se o efeito da continuidade do meio. Assim, o meio contnuo (solo) pode ser

substitudo por um sistema de molas com rigidez equivalente. Esse modelo ficou conhecido

como modelo de WINKLER, e um mtodo bastante simples de ser aplicado em anlise de

interao solo-estrutura. Determinam-se valores de mdulo de reao para cada tipo de solo e

de sistema de fundao, considerando que para cada direo de deslocamento h uma

flexibilidade diferente que podem ser entendidos como molas.

Em uma grande quantidade de trabalhos encontrados na literatura, as edificaes so

estudadas como sendo apoiadas em sistemas de suportes flexveis baseados no modelo de

WINKLER, adotando valores tabelados geralmente encontrados de forma emprica. Essa

considerao torna a anlise muito mais simplificada e fcil de ser implementada para um

programa computacional. Os trabalhos de CHEUNG & ZIENKIEWICZ (1965), RANDOLPH

& WROTH (1979), LEE (1993), MYLONAKIS & GAZETAS (1998) e WANG et al. (2001)

podem ser citados como exemplos que adotaram essa tcnica.

Porm, a representatividade do modelo bastante fraca e tem sido alvo de crticas por

parte de estudiosos tanto da engenharia como da geotecnia. Alm disso, a determinao dos

valores para os mdulos de reao das molas no algo to simples de ser realizado. Torna-se

complexa sua definio medida que podem existir inmeras possibilidades de combinaes

entre diferentes tipos de solo e sistemas de fundaes. Tambm importante notar que o fato

de no contemplar a continuidade do solo faz com que o modelo seja fracamente

representativo para determinados problemas onde este efeito pode ser determinante, como no

estudo de grupos de estacas ou interao entre prdios vizinhos.

Uma forma mais elaborada de se estudar a interao solo-estrutura atravs da prpria

teoria da elasticidade buscando solues analticas para os problemas. BURMISTER em 1945

desenvolveu uma soluo para solos formados por duas e trs camadas. Alguns trabalhos

como CHAN et al. (1974), GIBSON (1974) e DAVIS & BANERJEE (1978) fazem uso das

solues apresentadas por BURMISTER.

A aplicao de solues analticas, no entanto, estar limitada a um nmero de

problemas especficos, pois as diversas consideraes a serem feitas para o manuseio das

equaes matemticas so muitas vezes nicas, particulares daquele problema. A busca pela


16

soluo analtica tambm uma tcnica que, a depender do problema a ser estudado, pode ser

dispendiosa do ponto de vista do clculo. Para problemas mais complexos, a obteno de uma

soluo dita exata pode ser at mesmo invivel. Torna-se difcil a busca de um processo

generalizado.

Em outros trabalhos, a anlise da interao solo-estrutura realizada considerando-se

o meio contnuo como um macio semi-infinito, onde so consideradas superfcies ditas

indeslocveis. Na verdade, considera-se que a certa distncia dos pontos de aplicao da

carga, seus efeitos no mais sero significativos para o macio e no mais ocorrem

deslocamentos, o que de fato ocorre. Esses trabalhos so geralmente fundamentados na teoria

de MINDLIN (1936), onde apresentada uma soluo fundamental em deslocamento e em

fora para uma carga unitria aplicada no interior de um meio semi-infinito homogneo,

elstico, linear e isotrpico.

Trabalhos como POULOS (1967), POULOS (1968) e POULOS & DAVIS (1968)

utilizam a teoria de MINDLIN assumindo o solo como um meio elstico apoiado sobre uma

base de deslocamento nulo, conforme a figura 2.1.

Figura 2.1 Meio semi-infinito apoiado sobre camada indeslocvel

MATTES & POULOS (1969) partem dos trabalhos de POULOS e se destacam ao

aprimorar a formulao considerando a compressibilidade da estaca no clculo dos


17

deslocamentos verticais. Em seguida, BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) realizam estudo

semelhante considerando dessa vez grupos de estacas.

HOLANDA (1998) fez uso do trabalho de POULOS (1967) para analisar um edifcio

com sistema de fundaes diretas apoiado sobre uma camada de solo homogneo, apoiada por

sua vez sobre uma camada indeslocvel.

Os trabalhos de AOKI & LOPES (1975) e REIS (2000), baseados nessa teoria,

apresentam uma metodologia segundo a qual as cargas transmitidas por um grupo de estacas a

determinado terreno so discretizadas em um sistema estaticamente equivalente de cargas

concentradas, cujos efeitos so superpostos no ponto em estudo.

GUSMO (1990) realizou a anlise bidimensional de um edifcio apoiado sobre solo

estratificado j utilizando a metodologia proposta por AOKY & LOPES (1975). Seguem-se a

partir de ento diversos outros trabalhos de interao solo-estrutura que utilizam essa

metodologia na anlise de edificaes em conjunto com o solo. Citam-se os trabalhos de

MOURA (1995) e ANTUNES & IWAMOTO (2000).

Tal como se observa, a adoo de mtodos aproximados se faz necessria para que se

busquem solues para casos mais complexos, resolvendo assim problemas mais gerais com

maiores consideraes. A simulao computacional hoje alvo de avanadas pesquisas em

engenharia, e isso se deve ao desenvolvimento alcanado no estudo dos mtodos numricos,

conforme ser mencionado no item seguinte. Trabalhos de interao solo-estrutura que

utilizam desses processos sero comentados tambm no prximo item.

2.2.SobreosmtodosnumricosMuito embora a utilizao da teoria da elasticidade tenha resolvido um grande nmero

de problemas elsticos de engenharia, sua aplicao somente vlida para casos mais simples

e muito particulares. Outros problemas maiores e casos mais gerais apresentam dificuldades

excessivas para serem estudados de forma analtica devido complexidade do comportamento

mecnico dos mesmos e o grande nmero de incgnitas envolvidas nos processos. Surgem

ento os mtodos numricos aproximados para serem aplicados na soluo de problemas de

engenharia. Na verdade, as bases para os mtodos numricos j haviam sido estudadas por

matemticos, porm, foram os engenheiros que passaram a aplicar os conceitos anlise de

corpos, dentro do campo da mecnica dos slidos e em problemas de engenharia de forma

geral (ASSAN, 2003). A idia bsica estudar os meios contnuos como sendo formados por


18

diversas partes ligadas entre si atravs de ns discretos onde h transmisso de esforos e

compatibilizao de deslocamentos.

O primeiro mtodo numrico de grande difuso foi o Mtodo das Diferenas Finitas

(MDF). Este mtodo consiste em substituir as equaes diferenciais do problema por

equaes de diferenas finitas. Estas so por sua vez obtidas por meio de expresses

aproximadas utilizando-se convenientes polinmios de interpolao. O mtodo bastante

simples e apresenta adequada convergncia de resultados para alguns problemas de

engenharia.

O MDF tambm pode ser utilizado em anlise de interao solo-estrutura, porm

poucos registros foram encontrados sobre essa aplicao. Cita-se apenas o recente trabalho de

ROSA & PAIVA (2009) em que apresentada uma formulao semelhante de POULOS &

DAVIS (1968) sendo o carregamento de uma estaca representado por uma linha de carga,

discretizada via MDF.

Numa seqncia histrica, surge em seguida o mtodo dos elementos finitos (MEF).

Utilizando o conceito de que os meios contnuos podem ser estudados como sendo

constitudos por diversos elementos de dimenses finitas, o MEF at os dias de hoje muito

utilizado em diversos ramos da engenharia. Enormes contribuies foram sendo

desenvolvidas por pesquisadores ao longo dos anos e inmeros programas computacionais

oferecem recursos de anlise baseados no MEF.

Atualmente o MEF uma poderosa ferramenta numrica que tem sido utilizada com

sucesso em anlise de problemas diversos da mecnica dos slidos, mecnica dos fluidos e

eletromagnetismo. Pela sua generalidade o mtodo est presente nos principais pacotes

comerciais (softwares) de anlise estrutural que esto atualmente disponveis no mercado.

Maiores detalhes sobre a origem e a histria do mtodo podem ser encontrados em SORIANO

(2003).

O uso do MEF em anlise de estruturas , portanto, bastante comum e h uma

infinidade de trabalhos na literatura internacional que poderiam ser citados, como por

exemplo, BATHE (1982), RIOS (1991), OATE (1995) e BEZERRA (1995) onde o MEF

desenvolvido para anlise de edifcios altos.

A aplicao do MEF em problemas de interao solo-estrutura tambm comum. Em

anlise de tneis e escavaes citam-se os trabalhos de YIN & YANG (2000), ZHU et al.

(2003), BAE et al. (2005) e KARAKUS et al. (2007). Na anlise de estruturas de fundao em

conjunto com o solo cita-se OTTAVIANI (1975) e CHOW & TEH (1991).


19

Neste trabalho especificamente, foi adotado o MEF com formulao Lagrangeana

posicional, apresentado por CODA (2003) empregando-se assim a anlise no linear

geomtrica com cinemtica exata. Dessa maneira, o comportamento da edificao ser mais

bem representado e os efeitos da no linearidade podero ser avaliados no processo de

interao solo-estrutura. Citam-se nessa linha os trabalhos de BONET (2000), GRECO &

CODA (2006), CODA & PACCOLA (2007) e CODA & PACCOLA (2008) com relao ao

uso da formulao posicional.

Mais recente e com menor difuso do que o MEF, o mtodo dos elementos de

contorno (MEC) apresenta uma formulao baseada em equaes integrais do problema. O

mtodo prope que os meios contnuos sejam estudados apenas atravs da discretizao de

sua fronteira, diminuindo assim o tamanho do sistema algbrico a ser resolvido em problemas

lineares, se comparado aos mtodos de domnio, onde todo o corpo discretizado. O MEC

oferece outros recursos que apresentam um melhor desempenho para determinadas situaes

de anlise, como no caso da anlise de problemas de concentraes de tenses. Apesar de ser

mais recente e ser menos conhecido do que o MEF observa-se que um assunto que tem

ganhado cada vez mais espao principalmente no meio acadmico.

Sobre o uso de elementos de contorno aplicados a problemas elsticos de engenharia,

podem-se citar os trabalhos pioneiros de CRUSE (1969) e LACHAT (1975) que j realizam

tcnicas de montagem de sistemas lineares de equaes para aproximao de foras e de

deslocamentos utilizando elementos discretos no contorno do problema. Porm, at ento o

processo ainda era conhecido como o mtodo das equaes integrais de contorno.

Foi BREBBIA (1978) quem atribuiu a nomenclatura de Mtodo dos Elementos de

Contorno ao partir da tcnica dos resduos ponderados para chegar s equaes integrais,

dando melhor consistncia e generalidade montagem das equaes. Esta referncia de fato

o primeiro livro publicado sobre o mtodo e comum ser apontado como principal referncia

bibliogrfica em trabalhos relacionados.

Desde ento, o MEC tem sido utilizado com sucesso em diversas aplicaes de

engenharia e no desenvolvimento das mais diferentes linhas de pesquisas. Podemos citar

como exemplos os estudos acerca de no linearidade fsica e geomtrica, plasticidade,

viscoelasticidade, mecnica da fratura e do dano, vibraes, interao solo-estrutura, etc.

No trabalho de BREBBIA & DOMINGUEZ (1992) encontra-se descrita uma

formulao para o estudo de meios heterogneos que ficou conhecida como tcnica de sub-

regies clssica. Atravs das equaes de equilbrio e compatibilidade a tcnica permite o


20

estudo de meios contnuos constitudos por mais de um material com diferentes caractersticas

fsicas.

No mesmo ano, VENTURINI (1992) props uma formulao alternativa tcnica de

sub-regio para problemas bidimensionais potenciais e elsticos, motivado por problemas em

anlise no linear. Neste trabalho, Venturini prope que as aproximaes de fora de

superfcie sejam eliminadas do sistema de equaes por meio da prpria condio de

equilbrio. Assim, o nmero de incgnitas reduzido no sistema algbrico e uma nica

equao integral pode ser escrita para representar todo o domnio em questo, o que implica

em uma melhoria na preciso dos resultados. PAIVA & ALIABADI (2000) e PAIVA E

ALIABADI (2004) utilizam essa formulao alternativa para anlise de placas elsticas e

RIBEIRO & PAIVA (2009) para interao solo-estrutura tridimensional elstica.

Observa-se que, sobre a anlise de estruturas em separado, o MEC costuma ser

bastante aplicado na anlise de elementos laminares como placas e cascas. Citam-se o

trabalho de STERN (1979), BEZINE (1981), OLIVEIRA NETO (1991), CHAVES (1997) e

MENDONA (2002).

O MEC tambm bastante aplicado em anlise de interao solo-estrutura, por reduzir

o tamanho do sistema na modelagem do meio contnuo solo. Sua combinao com o MEF

bastante interessante, tendo sido alvo de pesquisa de diversos autores.

Os primeiros trabalhos onde slidos eram estudados por meio do uso da combinao

entre o MEC e o MEF foram ZIENKIEWICZ et al. (1977), SHAW & FALBY (1977) e

OSIAS et al. (1977).

BREBBIA & DOMINGUEZ (1992) fazem destaque para duas diferentes formas de se

realizar o acoplamento MEC/MEF. Em uma primeira alternativa, o sistema formado pelo

MEF resolvido isoladamente e os resultados so aplicados na forma de condio de

contorno para o sistema do MEC.

A outra maneira montar os sistemas de equaes alterando uma das formulaes,

seja do MEC ou do MEF, atravs de condies de compatibilidade e equilbrio para deix-las

semelhantes e assim resolver um nico sistema acoplado. Nos trabalhos de BREBBIA &

GEORGIOU (1979) altera-se a parcela do MEF para que fique semelhante a do MEC. J nos

trabalhos de SWOBODA et al. (1987) e SINGH et al. (1988) a situao inversa, ou seja,

altera-se a parcela MEC para que fique semelhante ao MEF. Esta ltima apresenta um melhor

desempenho computacional em relao anterior.

possvel encontrar na literatura, vrios outros trabalhos em que utilizado o

chamado Mtodo dos Elementos Infinitos (MEI). Em muitos deles, o MEI usado juntamente


21

com o MEC para o desenvolvimento de outra formulao chamada de Mtodo dos Elementos

de Contorno Infinitos (MECI). Esse mtodo pode apresentar algumas vantagens quando

aplicado em problemas de interao solo-estrutura, porm suas formulaes exigem

tratamentos matemticos mais refinados devido s altas singularidades presente nas equaes.

Citam-se apenas a ttulo de conhecimento os trabalhos de LIANG & LIEW (2001), MOSER

et al. (2004) e RIBEIRO (2009).

Alguns trabalhos mais recentes que utilizam o acoplamento MEC/MEF para estudo de

meios heterogneos e que foram desenvolvidos no prprio Departamento de Engenharia de

Estruturas sero ainda ou novamente citados no item 2.4.

2.3.SobreanlisenolineargeomtricaA anlise no linear geomtrica se aplica ao estudo do comportamento de estruturas

em que ocorrem grandes mudanas de geometria e, devido a isso, no so vlidas as

aproximaes da teoria linear. Sua aplicao pode ser estendida a problemas da engenharia

civil, mecnica, aeronutica e da bioengenharia.

Diversos trabalhos encontrados na literatura utilizam o conceito de anlise de

segunda ordem que uma forma bastante simplificada de se considerar o comportamento

no linear geomtrico de uma estrutura. De fato, a complexidade das formulaes com

cinemtica exata levou diversos autores a adotar tal conceito, principalmente em anlise de

edificaes civis, em que ocorrem pequenos deslocamentos.

Considera-se que, para o estudo do comportamento no linear de estruturas da

construo civil estes trabalhos tenham trazido valorosas contribuies durante as ltimas

dcadas, no entanto, este tipo de metodologia no pode ser aplicado a problemas maiores em

que ocorrem grandes deslocamentos. Mesmo na construo civil, em determinadas situaes a

adoo de tcnicas aproximadas pode no ser a mais adequada, como em edifcios altos e

torres muito esbeltas. Alm disso, no mais se justifica o uso de mtodos aproximados face

aos enormes avanos alcanados tanto na rea de anlise no linear como nos recursos

computacionais disponveis, que facilitam em muito o trabalho de clculo inerente a estes

processos mais elaborados. Problemas que, em dcadas anteriores oneravam em muito o

tempo de processamento computacional, hoje podem ser resolvidos rapidamente e com menor

consumo de memria do computador.

A forma mais elaborada para anlise no linear atravs de solues analticas ou

exatas. Porm, poucas so as solues analticas que podem ser desenvolvidas em anlise no


22

linear geomtrica. Estas solues servem apenas para problemas especficos e que, na maioria

das vezes, so muito simples se comparados s situaes reais da engenharia. No campo da

anlise no linear geomtrica exata de estruturas importante citar os trabalhos de BISSHOP

& DRUCKER (1945), JENKINS et al. (1966), e MATTIASSON (1981) onde solues

analticas para elementos reticulados foram apresentadas, demonstrando assim a

complexidade em se fazer esse tipo de anlise. Parte da ento maior interesse no uso de

mtodos numricos aproximados para anlise no linear geomtrica de estruturas

principalmente em problemas que envolvam grandes deslocamentos.

Formulaes cinematicamente exatas indicam que nenhuma simplificao associada

magnitude dos deslocamentos foi realizada. Este tipo de afirmao pode ser visto nos

trabalhos de REISSNER (1973), SIMO et al. (1984) e WRIGGERS et al. (1990). Estes se

baseiam na teoria no linear de vigas de Reissner em que considerada a influncia do

cisalhamento na deformao dos elementos. Tambm cita-se um algoritmo baseado na tcnica

do comprimento de arco modificada que apresentado no trabalho de CRISFIELD (1991).

O estudo da no linearidade geomtrica pode ser realizado por meio de duas

formulaes distintas, advindas de duas escolas tericas: a Lagrangeana e a Euleriana. Na

primeira, o referencial adotado sempre a configurao inicial do corpo em estudo e todas as

operaes matemticas de integrao e derivao so realizadas sobre esta configurao. A

escola Euleriana por sua vez adota como referencial para anlise a configurao corrente ou

atual do corpo. As diferenas do uso de cada umas dessas formulaes podem ser encontradas

no trabalho de PAULA (1997).

Nos trabalhos de MONDKAR & POWELL (1977) e SURANA (1983) desenvolvida

uma formulao lagrangeana onde uma referncia fixa conhecida utilizada, e por esse

motivo chamada de lagrangeana total. A mesma formulao usada em CODA & GRECO

(2004), MACIEL et al. (2004) e MACIEL & CODA (2005).

No trabalho de GRECO & CODA (2006) foi desenvolvida uma formulao do MEF

posicional para anlise dinmica no linear geomtrica de estruturas unidimensionais

submetidas a pequenas ou grandes deformaes. Utilizam-se as equaes de Newmark para

integrao no tempo da formulao dinmica.

Dois anos depois, CODA & PACCOLA (2008) estudaram a formulao posicional

para anlise no linear geomtrica de cascas, considerando a variao linear da espessura e o

possvel uso de elementos finitos curvos. A mesma formulao do MEF posicional foi ento

aplicada em CODA et al. (2008), desta vez para anlise no linear geomtrica de slidos

hiperelsticos.


23

Outros trabalhos como GADALA et al. (1984) e GATTASS & ABEL (1987)

desenvolvem a formulao chamada de lagrangeana atualizada. Essa segunda formulao

difere da primeira em razo do referencial conhecido ser atualizado a cada incremento de

carga, ou seja, a posio do corpo referente ao passo anterior se torna a referncia do passo

seguinte, e assim sucessivamente. WONG & TINLOI (1990) apresentam ainda uma terceira

formulao denominada lagrangeana parcialmente atualizada, onde a referncia muda apenas

no incio dos incrementos de carga.

Outra forma de se desenvolver esse tipo de anlise parte da descrio euleriana onde o

referencial sempre a configurao corrente do corpo. Poucos registros de trabalhos da

mecnica dos slidos foram encontrados com uso dessa formulao. Cita-se apenas o trabalho

de IZZUDIN & ELNASHAI (1993) que utilizaram a descrio euleriana para estudar o

comportamento de prticos tridimensionais. A maior aplicao dessa formulao concentra-se

na rea da mecnica dos fluidos.

No que diz respeito a no linearidade geomtrica de estruturas verifica-se que a

tcnica co-rotacional atualmente a mais difundida. Nesta tcnica, coordenadas locais so

tomadas via elementos finitos para considerao dos efeitos de curvatura. Citam-se vrios

trabalhos nessa rea, como BEHDINAN et al. (1998), THE & CLARKE (1998) e ainda de

pesquisadores brasileiros como PIMENTA et al. (2004) e CAMPELLO et al. (2003), dentre

outros.

2.4.TrabalhosdesenvolvidosnoSETNo Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos

da USP j foram publicados diversos trabalhos que englobam os temas aqui abordados. Sero

comentados a seguir os trabalhos utilizados para o desenvolvimento desta pesquisa.

Muitos trabalhos aqui relatados tratam do fenmeno da interao solo-estrutura.

Dentre estes, destaca-se inicialmente o trabalho de BARBIRATO (1991) em que feita uma

comparao entre diferentes solues fundamentais para o problema da interao solo-

estrutura. o primeiro trabalho a sugerir, dentro do departamento, o uso do acoplamento do

MEC com outros mtodos numricos para proveito das vantagens de cada mtodo onde o

mesmo melhor se aplica.

Alguns anos mais tarde, CODA (1993) apresenta uma formulao tridimensional para

anlise dinmica transiente da interao solo-estrutura realizando o acoplamento entre o MEC

e o MEF. O solo tratado como elstico-linear e a compatibilizao dos mtodos realizada


24

por meio da tcnica de sub-regio. A anlise dinmica feita com uso dos processos de

integrao de Newmark.

KOMATSU (1995) apresenta um estudo do acoplamento MEC/MEF para domnios

bidimensionais acoplados a estruturas reticuladas com nfase na anlise de escavaes e

tneis. O meio contnuo modelado via MEC e considerado heterogneo por meio da tcnica

de sub-regio clssica. A estrutura reticulada modelada via MEF com uso do elemento de

prtico com dois ns. Considera-se ainda a plasticidade do meio contnuo que analisada

atravs de um procedimento incremental e interativo baseado no processo das tenses iniciais

Com relao ao uso do acoplamento entre diferentes mtodos numricos, destaca-se

tambm o trabalho de MATOS FILHO (1999), onde foi realizado um estudo de combinaes

entre o MDF, MEF e o MEC para anlise da interao estaca-solo. O solo foi modelado pelo

MEC, utilizando as equaes fundamentais de Mindlin. As estacas foram modeladas como

elementos de barra, ora pelo MDF ora pelo MEF.

FERRO (1999) apresentou uma formulao mista do MEC/MEF para a anlise da

interao solo-estrutura. O solo foi considerado um meio semi-infinito, homogneo, continuo,

istropo e elstico linear, utilizando as equaes de Mindlin. Este trabalho se destaca por

demonstrar que, ao realizar o acoplamento MEC/MEF, podem ocorrer oscilaes de foras de

superfcie na interface entre os diferentes meios. A estaca foi modelada elemento finito de

barra. Foi desenvolvida ainda uma formulao para anlise do comportamento no linear do

solo na interface com a estaca.

No trabalho de WUTZOW (2003) so estudados meios elsticos enrijecidos com

comportamento linear via MEC. So apresentadas duas maneiras de se realizar o acoplamento

entre o meio contnuo e o enrijecedor, uma baseada na tcnica de sub-regio e outra por meio

de condensao das variveis. Esta metodologia foi chamada de acoplamento MEC/MEC. O

autor ainda apresenta a tcnica de suavizao por meio do mtodo dos mnimos quadrados

como alternativa para melhorar oscilaes de foras ocorridas na superfcie de contato.

Apresenta para isso duas metodologias distintas. Na primeira realiza os mnimos quadrados

na matriz local de cada elemento onde se deseja aplicar a tcnica. Numa segunda maneira a

tcnica aplicada diretamente na matriz global. A tcnica dos mnimos quadrados tambm foi

adotada no trabalho de BOTTA (2003) na anlise no linear de slidos danificados enrijecidos

por fibras.

Sobre o estudo da interao solo-estrutura empregando-se diferentes mtodos de

anlise citam-se tambm os trabalhos de IWAMOTO (2000), SOUZA (2003), ALMEIDA

(2003), ALMEIDA (2003), OSHIMA (2004), COLARES (2006) e MOTA (2009).


25

Mais recentemente e especificamente na rea de mtodos numricos, outros trs

trabalhos defendidos no departamento merecem comentrios pois englobam tcnicas que

sero aqui adotadas:

Primeiramente cita-se RIBEIRO (2009) que apresentou um estudo do acoplamento

solo-estrutura onde o solo considerado como sendo formado por mais de um material sob a

forma de camadas estratificadas generalizando a tcnica alternativa proposta por

VENTURINI (1992). O autor compara esta tcnica ao procedimento clssico de sub-regies

concluindo que a mesma mais vantajosa do ponto de vista computacional e de preciso

numrica. Utilizam-se ainda elementos de contorno infinitos nas extremidades da malha do

meio contnuo para reduzir o custo computacional. A estrutura modelada via MEF por

elementos de placa e barra. O acoplamento realizado aplicando-se as cargas de superfcie do

MEC como carregamentos reativos no MEF.

Em ROCHA (2009) realizado o acoplamento MEC/MEF para o estudo de meios

elsticos bidimensionais enrijecidos considerando modelo de aderncia no contato. O autor

utiliza a tcnica dos mnimos quadrados para tentar melhorar a qualidade das respostas, no

entanto afirma que esta tcnica no suficiente para suavizar as oscilaes de fora de

superfcie nos extremos dos elementos acoplados. Realiza ainda um interessante estudo sobre

erros de integrao numrica.

KZAM (2009) utiliza o MEC para anlise de problemas da mecnica da fratura. O

destaque para este trabalho est no fato de ser o primeiro a utilizar elementos de contorno

curvos com aproximao qualquer, atravs dos polinmios de Lagrange. Destaca-se ainda o

tratamento realizado nas equaes singulares para utilizao de pontos fonte sobre o contorno

do problema, atravs de uma tcnica de subtrao de singularidade.

Com relao aos trabalhos de no linearidade geomtrica aplicados a prticos planos

alguns trabalhos importantes j foram realizados no departamento. LAVALL (1996) realizou

anlise no linear fsica e geomtrica de estruturas de prtico plano constitudas por perfis de

ao. adotada uma formulao lagrangeana co-rotacional e considera-se barras com

imperfeies iniciais e tenses residuais nas suas sees transversais.

PAULA (2001) realiza anlise esttica e dinmica, no linear fsica e geomtrica de

prticos planos por meio de uma formulao lagrangeana total atualizada. Prope ainda um

modelo de dano para estruturas de concreto.

GRECO (2004) realizou anlise do problema de contato e impacto de estruturas

reticuladas e anteparos rgidos. Este trabalho apresenta pela primeira vez a formulao do

MEF posicional aplicado para anlise no linear geomtrica. Foram realizadas tanto anlises


26

estticas quanto dinmicas, e foram considerados tambm os efeitos elastoplsticos nos

membros estruturais e ligaes com deslocamentos livres nas conexes.

MACIEL (2008) aplicou a formulao posicional para anlise no linear geomtrica

dinmica de estruturas reticuladas e slidos tridimensionais. utilizado o processo de

Newton-Raphson na soluo iterativa e o integrador temporal de Newmark para considerao

das foras inerciais. Adota-se tambm a cinemtica de Reissner na anlise de prticos, sendo

que a seo pode inclinar em relao ao eixo do elemento.

Citam-se ainda sobre o uso da formulao posicional os trabalhos de PASCON (2008)

e CARRAZEDO (2009). Neste ltimo feita uma anlise de impacto em que se considera a

transferncia de calor e seus efeitos.

O nico trabalho encontrado no SET que pode ser enquadrado ao tema de anlise no

linear geomtrica de edificaes considerando o comportamento do solo o de MATIAS

JUNIOR (1997). Neste trabalho realizada uma anlise tridimensional no linear geomtrica

de estruturas reticuladas considerando a flexibilidade das fundaes. Porm, a anlise no

linear realizada por um mtodo aproximado e a deformabilidade do solo considerada por

meio de vnculos elsticos nas extremidades das fundaes.

Dessa forma, acredita-se que este trabalho contribui significativamente para as

pesquisas realizadas dentro do departamento na considerao da no linearidade geomtrica

com cinemtica exata em conjunto com a interao solo-estrutura. Alm disso, o uso da

formulao posicional pode ser considerado outra novidade, pois sua aplicao

especificamente a este tipo de anlise tambm no foi desenvolvida por nenhum outro autor.

Com isso, pretende-se contribuir ao estudo da interao solo-estrutura dentro do departamento

com formulaes atuais do MEF e do MEC.


27

Captulo 3

3.1.InteraoSoloestruturaA anlise do comportamento de elementos estruturais isolados para o seu correto

dimensionamento fundamental para que haja estabilidade e segurana nos sistemas

estruturais, porm, no condio suficiente para que tal objetivo seja alcanado.

importante lembrar que os elementos estruturais realizam a transmisso de cargas entre si at

a fundao e desta, a carga transmitida ao solo. O solo por sua vez servir de base de

sustentao para toda a estrutura e ter maior participao no comportamento da mesma

quanto maiores forem as solicitaes nele depositadas. Logo, a estabilidade global e o correto

funcionamento do sistema de interao da fundao com o solo de apoio so tambm

essenciais para garantir adequado comportamento estrutural global.

O solo e os elementos estruturais interagem, portanto, de tal forma que se faz

necessrio a correta avaliao dos esforos e deslocamentos ocorridos nesse fenmeno,

proporcionando assim um melhor dimensionamento estrutural. Caso contrrio, podero

ocorrer problemas como recalques excessivos, recalques diferenciais ou at mesmo rupturas

no solo ou da fundao. Estas situaes tero influncia direta na estabilidade global da

estrutura e podem comprometer elementos estruturais por meio de solicitaes inesperadas

(COLARES, 2006).

Casos de fissuramento de alvenarias, mau funcionamento de portas e janelas e

desconforto visual devido a recalques no esperados so bastante comuns em edifcios no

Brasil e no mundo. Em outras situaes, obras de escavao e perfurao mal planejadas

ocasionam problemas em edificaes vizinhas, o que por sua vez gera enormes prejuzos. Na

literatura possvel encontrar registros de diversos casos em que problemas no processo de

interao entre estrutura e solo ocasionaram tombamentos parciais, perda de estabilidade e at

mesmo a runa de edifcios inteiros.

Diferentes fatores podem influenciar neste comportamento. O adensamento do solo,

por exemplo, tende a ser maior com o passar do tempo pela lenta acomodao de suas

partculas. A rigidez da prpria estrutura influencia diretamente na distribuio dos esforos

nos elementos. Alguns autores atentam ainda para a influncia dos processos construtivos e

impactos de vizinhana.


28

Na figura 3.1 so ilustradas duas situaes em que o comportamento da edificao

fortemente influenciado pelo processo de interao com o solo. Casos como esses so comuns

em regies de solo facilmente adensveis, gerando recalques diferencias nas edificaes.

Figura 3.1 Recalques ocasionados por (a) heterogeneidade do solo e (b) interferncia no bulbo de

tenses em edificaes vizinhas. FONTE (THOMAZ, 1989).

Um dos problemas mais comuns na construo civil e que pode ter suas causas

diretamente relacionadas com os recalques diferenciais so as trincas em alvenarias (figura

3.2). Geralmente esse um primeiro sinal de um mau desempenho dos elementos de

fundaes.

Figura 3.2 Trincas ocasionadas por recalque diferencial. FONTE (THOMAZ, 1989).

(b) (a)


29

Os recalques diferenciais podem acarretar tambm em uma redistribuio de esforos

que pode ser perigosa para a edificao. Sabe-se que os pilares mais carregados tendem a

distribuir os esforos para pilares menos carregados e caso isso no tenha sido levado em

conta no dimensionamento das peas, podero ocorrer problemas estruturais. Tais concluses

podem ser encontradas nos trabalhos de RAMALHO & CORRA (1991) e SOUZA & REIS

(2008).

O uso de diferentes sistemas de fundao, apesar de no ser uma prtica usual,

tambm pode ocasionar problemas na estrutura, caso seja avaliado e/ou dimensionado de

forma inadequada. uma situao que precisa de maior ateno de especialistas quanto ao

comportamento do solo.

Figura 3.3 Trincas ocasionadas por diferente comportamento dos sistemas de fundaes. FONTE

(THOMAZ, 1989).

A busca por um processo de anlise generalizado para problemas de interao solo-

estrutura se torna complexa medida que se verificam diversas possibilidades de

combinaes entre diferentes tipos de solos, sistemas de fundaes, tipos de solicitaes, entre

outros fatores inerentes ao fenmeno. Alm disso, com o crescimento das grandes cidades

surgem novos tipos de problemas que necessitam ser avaliados pelos engenheiros e

geotcnicos. Muitas vezes importante considerar, por exemplo, a influncia que vrios

edifcios vizinhos podem ter uns sobre os outros devido ao comportamento do solo e de suas

fundaes. Outro exemplo ocorre em casos de escavaes de tneis sob edificaes, comuns


30

na construo de metrs e dutos. Para esses casos os mtodos de anlise simplificados

disponveis atualmente no se aplicam ou no conduzem a resultados satisfatrios.

Em pequenas construes no comum a preocupao de engenheiros com esse tipo

de problema. O que geralmente se observa nesses casos a adoo do solo como uma base

rgida. Essa considerao pode ser suficiente para casos em que as cargas atuantes nos

elementos de fundao so muito pequenas em relao capacidade de carga do solo, porm

necessrio que essa avaliao seja feita de forma coerente por profissional tecnicamente

capacitado.

J para mdias e grandes estruturas essa considerao pode no ser a mais adequada,

pois o comportamento do sistema de fundao e do solo est diretamente relacionado com a

magnitude dos esforos podendo alterar de forma comprometedora o comportamento da

edificao, mesmo para solos com boa capacidade de carga. Nestes casos, comum

considerar o solo como um sistema de molas tipo WINKLER, levantando os coeficientes de

reao por meio de tabelas empricas onde so dados valores de mdulos para cada tipo de

solo (IWAMOTO, 2000). Essa metodologia talvez a mais utilizada em escritrios de projeto

estruturais atualmente, por ser um mtodo de fcil aplicao. Porm sua representatividade

fraca e dependendo do tipo de solo e da configurao de suas camadas, torna-se difcil a

determinao dos valores dos coeficientes de mola.

Outra maneira de se simular o comportamento do solo atravs de mtodos numricos

aproximados. Nesse sentido, o MEF e o MEC so alternativas eficientes e que tem conduzido

a resultados satisfatrios em trabalhos encontrados na literatura tanto internacional quanto

nacional. O uso da combinao entre os mtodos no recente, como foi visto na reviso

bibliogrfica. Diversos autores j utilizaram desse procedimento para analisar casos diversos

de problemas envolvendo elementos de fundao em conjunto com o solo.

Existem vrias maneiras diferentes de se analisar este comportamento. O mais

importante que a representatividade do modelo adotado seja a maior possvel, e que o

comportamento dos elementos estruturais seja corretamente avaliado. Na reviso bibliogrfica

foram feitos maiores comentrios sobre estas vrias maneiras de se realizar o estudo do

fenmeno de interao entre estrutura e solo.


31

3.2.Anlisenolineargeomtricaemedificaes Em projetos de edificaes so admitidos carregamentos diversos atuando sobre os

prticos de acordo com os cdigos normativos. feito ento o equilbrio de foras da

estrutura, para que sejam determinados os esforos internos a fim de dimensionar os

elementos estruturais. Esse equilbrio usualmente realizado considerando a posio

indeslocada da estrutura, o que configura a anlise linear geomtrica ou, em uma linguagem

antiquada, de primeira ordem.

No entanto, aps a aplicao da carga, a estrutura se desloca e esses deslocamentos

podem ter grande influncia no equilbrio final da estrutura. Essa influncia ser tanto maior

quanto maiores forem os deslocamentos ocorridos. Logo, para estruturas esbeltas, a

considerao da anlise linear anteriormente citada no a mais adequada.

A anlise no linear geomtrica de estruturas se caracteriza, portanto, pelo equilbrio

de foras ser realizado considerando a posio deslocada da estrutura, como na figura 3.4.

Figura 3.4 Diferena entre anlise (a) linear geomtrica e (b) no linear geomtrica

Em anlise de edifcios altos a considerao da no linearidade geomtrica algo

extremamente importante. Quanto mais esbelta for uma estrutura, maior ser a necessidade de

se avaliar o comportamento no linear geomtrico e sua estabilidade global (MATIAS

JUNIOR, 1997). Edifcios altos e torres de transmisso so exemplos comuns da engenharia

civil onde a avaliao dos efeitos causados pelo comportamento no linear geomtrico tem

grande influncia no dimensionamento e devem, portanto, ser avaliados da maneira mais

adequada.


32

Os cdigos normativos prevem esse tipo de anlise e determinam em que situaes

devem ser consideradas. Porm, na maioria das vezes esta realizada de forma aproximada

atravs de processos simplificados e que podem induzir a erros para determinados casos.

certo que para diversos projetos de edificaes convencionais da construo civil

realizados at os dias de hoje os processos aproximados tem se mostrado suficientes. Isso se

deve somente ao fato de que, nessas estruturas os deslocamentos so muito pequenos em

relao s dimenses das peas estruturais. No entanto, com a tendncia de verticalizao das

grandes cidades e com os avanos tanto no campo da engenharia de materiais quanto das

tcnicas construtivas, edificaes mais esbeltas vm sendo construdas de maneira cada vez

mais intensa. Observa-se tambm a busca pela diminuio no consumo de materiais, o que

acarreta em peas estruturais mais delgadas. Para acompanhar o desenvolvimento tecnolgico

deve-se pensar em processos de anlise que sejam mais bem elaborados a fim de se

proporcionar aos engenheiros e calculistas mtodos de anlise com melhores resultados para

avaliaes mais seguras quanto capacidade portante e aos nveis de deslocabilidade de uma

estrutura.

De fato, assim como no processo de anlise da interao solo-estrutura, a considerao

da no linearidade geomtrica com cinemtica exata no algo simples de ser realizado,

envolvendo muitas vezes longos processos computacionais. Apesar disso, o avano alcanado

nos ltimos anos com computadores modernos mais velozes e mais precisos torna possvel a

aplicao dessas formulaes mais elaboradas diminuindo o tempo de processamento e a

quantidade de memria necessria.

Pretende-se neste ponto apenas conscientizar o leitor de que a simulao

computacional de problemas de interao solo-estrutura considerando a no linearidade

geomtrica no algo simples de ser realizado, mas que, no entanto tem sido cada vez mais

necessrio frente ao crescimento desenfreado das grandes cidades e aos avanos alcanados

no campo da engenharia civil.


33

Captulo 4

4.OMtododosElementosdeContorno4.1. Apresentao

Dentre os mtodos numricos de solues aproximadas que podem ser aplicados a

problemas de engenharia, o mtodo dos elementos de contorno (MEC) um dos mtodos

mais recentes e conseqentemente menos difundido entre pesquisadores e engenheiros no

campo da anlise estrutural. Porm, nas ltimas dcadas, o MEC tem ganhado cada vez mais

espao e atrado a ateno de diversos pesquisadores sendo considerado por muitos como uma

alternativa ao MEF na simulao numrica de problemas de engenharia, e oferecendo

vantagens do ponto de vista computacional em alguns casos particulares.

Por este motivo o mtodo tem sido cada vez mais alvo de pesquisas avanadas em

anlise de estruturas e simulaes computacionais em vrias universidades e instituies de

pesquisa ao redor do mundo. No prprio Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola

de Engenharia de So Carlos da USP dezenas de trabalhos j foram publicados a cerca do uso

do MEC em anlise de estruturas. As principais aplicaes do mtodo se encontram em

problemas elsticos, problemas de viscoelasticidade, plasticidade, anlise dinmica de

estruturas, problemas envolvendo no linearidade e ainda problemas da mecnica do dano e

da fratura, dentre outros temas. Em vrios destes trabalhos so avaliadas as vantagens que

podem ser alcanadas com o uso do MEC em relao ao MEF e outros procedimentos de

anlise, geralmente associadas ao nmero de incgnitas que so gerados na montagem dos

sistemas de equaes.

De fato, uma grande vantagem dos mtodos de fronteira, como o caso do MEC, a

reduo do tamanho do sistema algbrico a ser resolvido, pois nestes casos, apenas a regio de

fronteira (o contorno) do problema discretizada quando se trata de problemas lineares. J no

caso do MEF, em se tratando de um mtodo de domnio, o mesmo consiste na discretizao

de todo o corpo em estudo, o que faz com que o nmero de incgnitas seja maior por incluir

elementos no domnio em questo.

Outra vantagem que o MEC apresenta em relao ao MEF est no fato de que o

primeiro oferece um melhor desempenho numrico quando aplicado em anlise de problemas

onde ocorre concentrao de tenses, como em regies de contato e em problemas da

mecnica da fratura (KZAM, 2009).


34

Porm, diversos autores tm demonstrado que, para algumas aplicaes especficas, o

MEF ainda apresenta melhores resultados e melhor convergncia como, por exemplo, em

anlise de problemas no lineares. Alm disso, apesar de reduzir o tamanho do sistema, no

MEC as matrizes geradas so cheias e no-simtricas o que uma desvantagem do ponto de

vista computacional, pois exige a utilizao de um solver mais elaborado. O MEF por outro

lado trabalha com matrizes simtricas e que geralmente no so cheias, cabendo assim a

utilizao de mtodos de otimizao na soluo do sistema algbrico.

Para este trabalho a simulao do meio contnuo ser feita considerando este com

comportamento elstico linear. Camadas indeslocveis sero admitidas para regies mais

afastadas do ponto de aplicao das cargas. Logo o MEC a melhor alternativa para

modelagem do solo.

Ser apresentada a seguir de forma resumida a formulao do MEC aplicada a

problemas elsticos bidimensionais estticos lineares e constitudos por meios homogneos

isotrpicos. Essa formulao foi adotada na elaborao do cdigo computacional para anlise

de meios contnuos.

O objetivo deste trabalho se limita a aplicaes bidimensionais, e, por esse motivo ser

apresentada somente a teoria da elasticidade plana. Vale destacar tambm que a formulao

original do MEC serve para problemas do Estado Plano de Deformao (EPD). Para anlises

no Estado Plano de Tenso (EPT), deve-se corrigir o valor do coeficiente de Poisson do

material pela relao / 1EPT EPD EPD , conforme consta em ASSAN (2003). 4.2. Problemas Elsticos

A descrio do MEC ser aqui feita de forma bastante resumida, tendo em vista o

grande nmero de timos trabalhos desenvolvidos no SET em que a mesma formulao

apresentada. Com relao a aspectos especficos da formulao aqui adotada, o leitor encontra

maiores detalhes em KZAM (2009).

4.2.1. Teoria da Elasticidade e outros Conceitos fundamentais

Da teoria da elasticidade sabe-se que em um corpo sujeito a aes externas surgiro

esforos internos proporcionais a estas aes de maneira que satisfaam o equilbrio do

sistema. Sabe-se ainda que, para que o mesmo mantenha-se em equilbrio, necessrio

garantir o equilbrio mecnico de cada parte infinitesimal do corpo em estudo. Imaginemos


35

ento um corpo com dimenses infinitesimais dx1, dx2 e dx3, onde os ndices 1, 2 e 3 indicam

a direo em relao ao sistema cartesiano de referncia.

Sejam os valores de ij as componentes de tenses i referente ao plano na direo j, e sabendo que a fora dada pelo produto entre a componente de tenso e sua respectiva rea

de atuao, podem ser ento escritas equaes de equilbrio de fora e de momento para o

elemento infinitesimal tensionado.

A obteno das equaes de equilbrio facilitada com a observao das figuras 4.1 e

4.2 a seguir. Vale lembrar que a direo x3 admitida como perpendicular ao plano da folha.

Ser utilizada a notao indicial de Einstein.

Figura 4.1 Equilbrio de Foras na direo x1

Figura 4.2 Equilbrio de Foras na direo x2

A partir do equilbrio de foras do elemento infinitesimal para cada direo se chega

equao diferencial de equilbrio esttico que pode ser assim escrita de forma generalizada

para elasticidade plana:

, 0ji j ib (4.01) onde bi representa as foras de volume na direo i.

Do equilbrio de momentos chega-se a seguinte relao:

ij ji (4.02)


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A equao (4.02) comprova a simetria das tenses cisalhantes. A partir desta relao

observa-se que se pode permutar os ndices i e j da equao (4.01).

A relao constitutiva do material ser considerada como uma funo linear, ou seja,

ser assumido neste trabalho que o comportamento elstico do solo linear. Neste caso, o

tensor constitutivo Cijkl representa a lei constitutiva do material e tem valor constante. Essa

relao entre tenso e deformao chamada Lei de Hooke e pode ser escrita na seguinte

forma:

ij ijkl klC (4.03) Antes de prosseguir para a formulao do MEC aplicada elasticidade, faz-se

necessrio apresentar ao leitor alguns conceitos fundamentais para o entendimento da

obteno da equao integral do problema elstico.

Primeiramente, cita-se o chamado Teorema de Cauchy que diz que o produto da

tenso pelo versor normal n em um determinado ponto igual fora de superfcie p naquele mesmo ponto, ou seja

ij j in p (4.04) O segundo conceito conhecido como o Teorema da Reciprocidade de Betti, em que

se afirma que o trabalho realizado por uma fora num ponto P produzindo deslocamento em

outro ponto Q ser igual ao trabalho da mesma fora agora aplicada no ponto Q e produzindo

deslocamento no ponto P. possvel demonstrar a partir desta idia que a seguinte expresso

verdadeira. * * * *, , , , , ,ij i j ijkl k l i j klij i j k l kl k lu C u u C u u u (4.05)

Expresso til na simplificao da equao integral.

Um terceiro conceito importante de ser comentado o Teorema de Gauss, que mostra

que a integral no domnio do divergente de um tensor qualquer igual integral de superfcie

de sua primitiva multiplicada pelo seu versor normal superfcie. Com isso podemos escrever

que

,ij j ij jd n d

(4.06) Esta ltima expresso demonstra de forma clara e objetiva a idia bsica da aplicao

do MEC, visto que o Teorema de Gauss transforma uma integral de domnio em uma integral

de superfcie.


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4.2.2. Soluo fundamental

Vamos agora introduzir o conceito de soluo fundamental para o problema elstico

bidimensional. Esta nada mais do que uma soluo particular da equao diferencial do

problema fsico e representa o campo de deslocamentos gerado por uma fora unitria

concentrada em um ponto. A soluo dita fundamental ser na verdade a funo ponderadora

da equao integral, segundo o mtodo dos resduos ponderados no qual est baseada a

formulao do MEC aqui apresentada.

Existem vrios autores que propuseram solues fundamentais para diferentes casos,

devendo ser escolhida aquela que melhor se adapta ao tipo de problema que se pretende

analisar. Neste trabalho ser adotada uma soluo fundamental bidimensional apresentada por

KELVIN (1848) que pode ser encontrada em BREBBIA (1978).

Primeiramente dado tratamento equao diferencial (4.01) para se aplicar a tcnica

do Vetor de Galerkin. Utilizando a Lei de Hooke dada pela expre

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2010ME_WagnerQueirozSilva