2014-Optica-B01-Otica de Raios & Espelhos Elipticos

Introduo ptica!(4300327)

Prof. Adriano Mesquita Alencar!Dep. Fsica Geral!

Instituto de Fsica da USP

tica de Raios (Geomtrica)

B01

Espelho Elptico1

Optica

Optica Quantica

Optica Eletromagntica

Optica de Ondas

Optica de raios

A teoria da Optica quntica, explica virtualmente todos os fenmenos pticos.!A teoria eletromagntica da luz explica praticamente tudo da optica classica;!A optica ondulatria uma aproximao escalar da ptica eletromagntica;!A optica de raios o limite da optica ondulatria, quando o comprimento de onda muito pequeno.

3

Optica de Raios (Postulados)A luz viaja na forma de raios. Os raios so emitidos por uma fonte de luz e pode ser observado quando atinge im detector ptico.!Um meio ptico caracterizado por uma quantidade n 1, chamado de ndice de refrao (razo entre a velocidade da luz no espao livre e no meio) e o caminho ptico Lopt o produto entre n e uma distncia fsica d.!Em um meio no homogneo em que n = n(r),!!!!!O principio de Fermat: raios de luz viajando entre dois pontos um extremo relativo (usualmente um mnimo) de caminhos vizinhos, ou seja: !!!!!Raios de luz viajam pelo caminho de menor tempo.

Lopt =

Z BA

n(r)ds

Z BA

n(r)ds = 0

4

Reflexo

Leis da reflexo: o raio refletido esta no mesmo plano do raio de incidncia; o angulo de incidncia igual ao de reflexo.5

Refrao

O raio refratado est no mesmo plano do raio de incidncia; os ngulo de incidncia e refrao segue a lei de Snell:

n1 sin 1 = n2 sin 26

Componentes Opticos Simples (Espelhos)

Reflexo de um Espelho: !Os espelhos so feitos de certas superfcies metlicas altamente polidas, ou metlico ou filmes dieltricos depositados sobre um substrato como vidro. A luz refletida a partir de espelhos, em conformidade com a lei de reflexo: !1) O raio refletido encontra-se no plano de incidncia; !2) O ngulo de reflexo igual ao ngulo de incidncia. !O plano de incidncia o plano formado pelo raio incidente e a normal ao espelho, no ponto de incidncia.

7

Componentes Opticos Simples !(Espelho plano e parabolico)

8

Componentes Opticos Simples !(Espelho Eliptico)

9

Componentes Opticos Simples !(Espelho Esferico)

Um espelho esfrico mais fcil de fabricar do que um parablico ou um espelho elptico. !No entanto, ele no tem nem a propriedade de foco do espelho parablico, nem a propriedade de imagem do espelho elptico. !Tal como ilustrado na figura, raios paralelos chegam ao eixo em diferentes pontos; seu envelope (curva a tracejado) chamado a curva custica. !No entanto, os raios paralelos prximos ao eixo so aproximadamente focalizada sobre uma nica ponto F distncia -R/2 do centro do espelho . !Por conveno, R negativo para espelhos cncavos e positivo para espelhos convexos.

10

Componentes Opticos Simples !(Espelho Esferico)

11

Aproximao ParaxialRaios que fazem pequenos ngulos com o eixo do espelho so chamados raios paraxiais, ficando proximo ao eixo dentro de todo o sistema. Geralmente isso permite trs aproximaes de primeira ordem para (em radiandos):! !!Na aproximao paraxial, onde apenas os raios paraxiais so considerados, um espelho esfrico tem a propriedade focal similar ao espelho parablico e a propriedade de imagem como a do espelho elptico. !O corpo de regras que resulta de Isso forma de aproximao ptica paraxiais, tambm chamados de tica de primeira ordem ou de Gauss ptica.!Um espelho esferico de raio R pode ser aproximado por um espelho parabolico cujo foco R/2.

segunda Ordem:

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Aproximao ParaxialTodos os raios paraxiais originrias de qualquer ponto sobre o eixo de um espelho esfrico ser refletida e concentrada em um nico ponto correspondente no eixo:

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Aproximao ParaxialExaminando um raio emitido em um ngulo 1 a partir de um ponto P1 a uma distncia z1 de um espelho cncavo de raio R, e refletindo em ngulo 2 para chegar no eixo no ponto P2 a uma distncia z2 longe do espelho. !O ngulo 2 negativo desde que o raio esteja viajando para baixo. Uma vez que os trs ngulos de um tringulo adicionados da 180o, temos: !!!!Se 0 o suficientemente pequeno, tan00, de modo que 0y/(-R), a partir do qual

tal que:

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Lista 01FGE0327-Introducao a` Otica I

1a Lista

Prof. Marcelo Martinelli

1a QuestaoUsando o Princpio de Fermat do tempo mnimo para a propagacao da luz ente dois pontos

demonstre a reexao da luz em uma superfcie e a refracao da luz em uma interface (lei deSnell-Descartes).

i r

2

1

n2

n1

A B

C

x

y

O

2a QuestaoUsando a lei de Snell-Descartes, mostre que o angulo de desvio mnimo em um prisma e

dado para a condicao angulo de incidencia sobre o prisma igual ao angulo de sada, como nagura abaixo.

A

B C

P

Q R

S

T

M

L

U

N

i r ir

1

15

Adriano M Alencar

Lista 013a Questo:!Na aproximao paraxial, mostrar que o comprimento focal dado por: !

f =(R)2

4a Questo:!Na aproximao paraxial, mostrar que a equao da imagem dada por: !

1

z1+1

z2=1

f

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Lista 01

5a Questo:

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Componentes Opticos Simples (Lentes)

Refrao em uma interface plana: !A relao entre os ngulos de incidncia e refraco, 1 e 2 em uma interface planar entre dois meios de ndices de refrao nl e n2 governado pela lei de Snell. !!!!!Essa relao representada na figura em seguir para dois casos

n1 sin 1 = n2 sin 2

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Refrao externa:!(nl < n2) Quando o raio incide a partir do meio de ndice de refrao menor, 2 < 1 e o raio refratado dirige para fora do limite da borda:

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Refrao interna, nl > n2. Quando o raio incide a partir do meio de ndice de refrao menor, 2 > 1. Quando 1 aumenta, 2 alcana 90o primeiro, isso ocorre quando 1 = c (ngulo crtico). Usando a lei de Snell:

c = sin1 n2

n1

20


Quando 1 > c, a lei de Snell no pode ser satisfeita e o raio totalmente refletido, como se a superfcie fosse um espelho perfeito (isso pode ser mostrado usando tica eletromagntica)

21

Componentes Opticos Simples (Lentes)!Aproximao Paraxial

Um raio fazendo um angulo 1 com o eixo z e encontrando a borda a uma altura y onde faz um ngulo 0 com o vetor raio, muda de direo na borda tal que o raio refratado faz um ngulo 2 com o eixo z e um ngulo 3 com o raio vetor

Lista 01

6a Questo:!mostre que o ngulo de incidencia 1 + 2

(a)

22

4.5 Fermat's Princ~ole 107

As an example of the application of the principle to the case of refraction, refer to Fig. 4.29, where we minimize t , the transit time from S to P, with respect to the variable x. In other words, changing x shifts point 0 , changing the ray from S to P. The smallest transit time will then presumably coincide with the actual path. Hence

- - SO OP t = - + - v , v ,

To minimize t (x) with respect to variations in x, we set dtldx = 0 , that is,

Using the diagram, we can rewrite the expression as

which is no less than Snell's Law (Eq. 4.4). If a beam of light is to advance from S to P in the least possible time, it must comply with the Law of Refraction.

Suppose that we have a stratified material composed of m layers, each having a different index of refraction, as in Fig. 4.30. The transit time from S to P will then be

where si and vi are the path length and speed, respectively, associated with the ith contribution. Thus

in which the summation is known as the optical path length (OPL) traversed by the ray, in contrast to the spatial path length XI"=, si. Clearly, for an inhomogeneous medium where n is a function of position, the summation must be changed to an integral:

(4.10)

The optical path length corresponds to the distance in vacuum

Figure 4.30 A ray propagating through a layered material.

equivalent LO the distance traversed ( s ) in the medium of index n. That is, the two will correspond to the same number of wavelengths, (OPL)/A, = s/A, and the same phase change as the light advances.

Inasmuch as t = (OPL)/c , we can restate Fermat's Princi- ple: light, in going from point S to P, traverses the route having the smallest optical path length.

Fermat and Mirages When light rays from the Sun pass through the inhomogeneous atmosphere of the Earth, as shown in Fig. 4.31, they bend so as to traverse the lower, denser regions as abruptly as

Figure 4.31 The bending of rays through inhomogeneous media. Because the rays bend as they pass through the atmosphere the Sun appears higher in the sky.

Z BA

n(r)ds = 0

23

Caminho ptico minimizado (OPL)OPL = n1`1 + n2`2 `2`1

Usando a lei do cosseno para o tringulo P1OC

Oc

Lei do cosseno

b2 = a2 + c2 2ac cos

`21 = R2 + (R+ z1)

2 2R(R+ z1) cos c

Usando a lei do cosseno para o tringulo P2OC

`22 = R2 + (z2 R)2 2R(z2 R) cos(180 c)

Como: cos(180 ) = cos `22 = R

2 + (z2 R)2 + 2R(z2 R) cos cMovendo o ponto de contato com a

interface O, mantendo R constante, o principio de Fermat diz

d

dc(OPL) = 0

24

`2`1O

c

Temos:

d

dc(OPL) = 0

n1`1+n2`2=1

R

n2z2`2

n1z1`1

`21 = R2 + (R+ z1)

2 2R(R+ z1) cos cOPL = n1`1 + n2`2

`22 = R2 + (z2 R)2 + 2R(z2 R) cos c

n1R(z1 +R) sin c2`1

n2R(z2 R) sin c2`2

= 0

ou seja:

XXXX X X

Assumindo a aproximao paraxial de primeira ordem:

cos c = 1

sin c = c

`1 z1`2 z2

n1z1+n2z2=n2 n1

R

25


Todos os raios paraxiais originrios de um ponto P1=(y1, z1) no plano z = z1 se juntam novamente no ponto P2=(y2, z2) no plano z = z2, onde

e

26

Lista 01

7a Questo:

27

n1z1+n2z2=n2 n1

R

Se P2 vai para infiniton1z1+n21 =

n2 n1R

Nesse caso P1 definido como primeiro ponto focal f1

f1 =n1

n2 n1R

De forma anloga, o segundo ponto focal f2

f2 =n2

n2 n1R28

n1z1+n2z2=n2 n1

R

nlSi1 + d +

nmSi2

=nm nlR2

nmSo1

+nlSi1

=nl nmR1

|So2| = |Si1|+ dSo2 = |So2|

Si1 = |Si1|Como

Para a segunda superficie

Para a primeira superficie

Onde nl > nm e R2 < 0. Somando as duas equaes:

nmSo1

+nmSi2

= (nl nm)

1

R1

1

R2

+

nld

(si1 d)Si1

1

So1+

1

Si2= (nl 1)

1

R1 1R2

nm 130

Para encontrar a distancia focal:1

So1+

1

Si2= (nl 1)

1

R1 1R2

1

f= (nl 1)

1

R1 1R2

Para lentes finas:fi = foe

1

So+

1

Si=1

f

limSo!1

Si = fi

limSi!1

So = fo

31


2 = 1 yf

onde f o comprimento focal e dado por:

33


34

Componentes Opticos Simples !(Guias de Luz)

35

Componentes Opticos Simples !(Guias de Luz)

36

Lista 01(questo 8)

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Indice de refrao em gradienteEm fibras pticas, um ndice-graduado ou fibra em gradiente de ndice uma fibra

ptica, cujo ncleo tem um ndice de refraco que diminui com o aumento da distncia radial a partir do eixo ptico da fibra. !

Como as peas de ncleo mais perto do eixo da fibra tem um ndice de refraco mais elevado do que as partes do revestimento perto, os raios de luz percorrem

caminhos sinusoidais ao longo da fibra. O perfil de ndice de refrao mais comum para uma fibra com graduao do ndice quase parablica. Os resultados do perfil

parablico gerar um re-focus contnuo dos raios no ncleo, minimizando a disperso modal.

38

Indice de refrao em gradiente

Para determinar a trajetria de raios de luz em um meio no homogneo, com ndice de refrao n(r), use o princpio de Fermat.

Coordenadas:

n(r) = n(x, y, z)

Equao do raio de luz

ds = dz

s1 +

dx

dz

2+

dy

dz

239

40http://www.youtube.com/watch?v=zTx7UoPXvr4

Indice de refrao em gradiente

Na aproximao paraxial

Corte de uma fibra pode ser usado como

uma lente

41

multimode 50m (OM2, OM3, OM4)

42

Equao EikonalAs trajetrias de raios so geralmente caracterizadas pelas superfcies a que esto

normal. Se S(r) uma funo escalar de modo que suas superfcies de nvel equivalentes, S(r) = constante, so em todos os lugares normais aos raios. Se S(r)

conhecido, as trajetrias de raios pode facilmente ser construdo uma vez que a normal s superfcies de nvel equivalentes numa posio r na direo do vetor gradiente S(r). A funo S(r), chamado de eikonal, semelhante a funo potencial V(r) em

eletrosttica; o papel dos raios pticos desempenhado pelas linhas de campo eltrico E = -V. Essa equao pode ser considerada o link entre Otica Ondulatoria e

Geomtrica (Derivvel das Eq. de Maxwell

Para satisfazer o principio de Fermat:

43

Equao EikonalAs trajetrias de raios so geralmente caracterizadas pelas superfcies a que esto

normal. Se S(r) uma funo escalar de modo que suas superfcies de nvel equivalentes, S(r) = constante, so em todos os lugares normais aos raios. Se S(r)

conhecido, as trajetrias de raios pode facilmente ser construdo uma vez que a normal s superfcies de nvel equivalentes numa posio r na direo do vetor gradiente S(r). A funo S(r), chamado de eikonal, semelhante a funo potencial V(r) em

eletrosttica; o papel dos raios pticos desempenhado pelas linhas de campo eltrico E = -V. Essa equao pode ser considerada o link entre Otica Ondulatoria e

Geomtrica (Derivvel das Eq. de Maxwell

OPL

44

Optica Matricialptica Matricial uma tcnica para traar os raios paraxiais. Assume-se que os raios viajam somente dentro de um nico plano, tal que o formalismo aplicvel a sistemas com geometria planar e para raios meridionais em sistemas com simetrias circulares. !Um raio descrito pela sua posio e o seu ngulo em relao ao eixo ptico. Essas variveis so alteradas quando o raio viaja atravs do sistema. !Na aproximao paraxial, a posio e o angulo nos planos de entrada e de sada de um sistema ptico so relacionadas por duas equaes algbricas lineares. !Como resultado, o sistema ptico descrito por uma matriz 2x2 chamada de matriz de transferncia de raios. !A convenincia da utilizao do mtodo de matriz reside no fato de que a matriz de transferncia de raios de uma cascata de componentes pticos (ou sistemas) um produto de matrizes de transferncia de raios dos componentes individuais (ou sistemas). !Por conseguinte, fornece um mecanismo formal para descrever sistemas pticos complexos na aproximao paraxial.

46

Na aproximao paraxial, quando todos os ngulos so suficientemente pequenos, sin, a relao entre (y2,2) e (y1,1)

linear e pode, em geral ser escrita na forma y2 = Ay1 +B1

2 = Cy1 +D1Onde A, B, C e D so nmeros reais. Essa equao pode ser escrita

na forma matricialy22

=

A BC D

y11

Aproximao Paraxial

A matriz M, cujos elementos so A, B, C e D, caracterizam o sistema ptico completamente, uma vez que permite que (y2,2) seja

determinado para qualquer (y1,1). M denominado a matriz de transferncia do raio de luz.48

Uma vez que raios de luz viagem ao longo de linhas retas em um meio de ndice de refrao

uniforme, como espao livre, um raio atravessando uma distncia d alterada de acordo com y2=y1+d e 2=1. A matriz de transferncia

de raios :M =

1 d0 1

M =

1 00 n1n2

Propagao no espao livre

Refrao em uma interface planar

Na interface planar entre dois meios de ndices de refrao nl e n2, o ngulo do raio muda em

conformidade com a lei de Snell:! nlsin1= n2sin2. Na aproximao paraxial, n11 n22. A posio do raio no alterada,

y2=y1. A matriz de transferncia de raios 49

Refrao em uma fronteira esfrica

A relao entre 1 e 2 para raios paraxiais refratado em uma borda esfrica entre dois meio pode ser encontrada utilizando a

lei de Snell: 2 n1

n21 n2 n1

n2

y

R

y2 y1e

M =

1 0

(n2n1)n2R n1n2

50

A relao entre 1 e 2 para raios paraxiais refratado em uma lente fina dada pela Equao: (Slide B01.33)

Transmisso por lentes delgadas

M =

1 0 1f 1

51

2 = 1 yf

Uma vez que a altura permanece a mesma:

52

Reflexo por um espelho planar

Reflexo por um espelho Esferico

53

Matriz de componentes pticos em cascata

Uma cascata de N componentes opticos, ou sistemas cuja matrizes de transferncia so M1, M2, M3, MN equivalente a um nico

sistema cuja matriz de transferncia

Note a ordem da matriz de multiplicao

54

Lista 01(questo 9 e 10)

56

b =A+D

2

y22

=

A BC D

y11

60

Lista 01(questo11)

Documents

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