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Lista de exercícios de Geometria Espacial – 2017 – Prof. Diego

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Assunto 1 – Geometria Espacial de Posição

(01). Considere um plano 𝒂 e um ponto P qualquer no espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a 𝒂, a

intersecção dessa reta com 𝒂 é um ponto chamado projeção ortogonal de ponto 𝑷 sobre 𝒂. No caso de uma figura

𝑭 do espaço, a projeção ortogonal de 𝑭 sobre 𝒂 é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos.

Com relação a um plano qualquer fixado, pode-se dizer que:

(A) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semirreta.

(B) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta.

(C) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta.

(D) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero.

(E) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta.

(02). As afirmações seguintes podem ser verdadeiras ou falsas.

I. A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma reta.

II. Distância entre duas retas reversas é a perpendicular comum a essas retas.

III. A distância entre dois planos só é definida se esses planos são paralelos.

É correto afirmar que somente

(A) II é verdadeira. (B) III é verdadeira. (C) I e II são verdadeiras.

(D) I e III são verdadeiras. (E) II e III são verdadeiras.

(03). O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma

face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes

pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas 𝑳𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑮𝑬̅̅ ̅̅ ; as retas 𝑨𝑮̅̅ ̅̅ e 𝑯𝑰̅̅ ̅̅ e as retas 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ e 𝑮𝑲̅̅̅̅̅. As

posições relativas desses pares de retas são respectivamente:

(A) concorrentes; concorrentes; reversas.

(B) reversas; reversas; paralelas.

(C) concorrentes; reversas; paralelas.


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(D) reversas; concorrentes; reversas.

(E) concorrentes; concorrentes; reversas.

(04). Considere as seguintes afirmações:

I – Se uma reta 𝒓 é perpendicular a um plano 𝒂, então todas as retas de 𝒂 são perpendiculares ou ortogonais a 𝒓;

II – Se a medida da projeção ortogonal de um segmento 𝑨𝑩 sobre um plano 𝒂 é a metade da medida do segmento

𝑨𝑩, então a reta 𝑨𝑩 faz com 𝒂 um ângulo de 60°;

III – Dados dois planos paralelos 𝜶 e 𝜷, se um terceiro plano 𝜸 intercepta 𝜶 e 𝜷, as intersecções entre esses planos

são retas reversas;

IV – Se 𝜶 e 𝜷 são dois planos secantes, todas as retas de 𝜶 também interceptam 𝜷;

Estão corretas as afirmações:

(A) apenas I e II (B) apenas II e III (C) I, II e III (D) I, II e IV (E) II, III e IV

(05). Considere as afirmações a seguir.

I. Duas retas distintas determinam um plano.

II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro.

É correto afirmar que

(A) apenas II é verdadeira. (B) apenas III é verdadeira. (C) apenas I e II são verdadeiras.

(D) apenas I e III são verdadeiras. (E) I, II e III são verdadeiras.

Assunto 2 - Prismas

(06). Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm, então o volume desse cubo, em 𝑐𝑚3 é:

(A) 125 (B) 100 (C) 75 (D) 60 (E) 25

(07). Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 𝟑 𝒄𝒎 e que sua área lateral é o dobro da área

de sua base, o volume desse prisma, em 𝑐𝑚3, é:

(A) 27√3 (B) 13√2 (C) 12 (D) 54√3 (E) 17√5

(08). Uma caixa d’água, com forma de um paralelepípedo retângulo, tem capacidade para 1000 litros. Qual a

capacidade de outra caixa, semelhante à primeira, cujas medidas das arestas são 20% maiores?

A) 1728 𝑙 B) 1800 𝑙 C) 1836 𝑙 D) 1900 𝑙 E) 1948 𝑙


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(09). Um prisma quadrangular reto tem base de dimensões x e y. Sua altura mede z e a área total é 𝟒𝒙𝟐. Sabendo

que 𝒛 = 𝟐𝒚, então o volume é:

(A) 2𝑥3

3 (B)

𝑥3

3 (C)

𝑥3

2 (D) 𝑥3 (E) 4𝑥3

(11). Na figura a seguir, 𝑰 e 𝑱 são os centros das faces 𝑩𝑪𝑮𝑭 e 𝑬𝑭𝑮𝑯 do cubo 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 de aresta 𝒂. Os

comprimentos dos segmentos 𝑨𝑰̅̅̅̅ e 𝑰�̅� são respectivamente:

(A) 𝑎√6

2 𝑒 𝑎√2 (B)

𝑎√6

2 𝑒

𝑎√2

2 (C) 𝑎√6 𝑒

𝑎√2

2 (D) 𝑎√6 𝑒 𝑎√2 (E) 2𝑎 𝑒

𝑎

2

(10). A altura de um prisma hexagonal regular é 𝟓 𝒎. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua

base. O volume desse prisma, em 𝒎𝟑, é:

(A) 220√3 (B) 270√3 (C) 250√3 (D) 200√3 (E) 285√3

(11). No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces 𝑨𝑩𝑪𝑫 e 𝑩𝑪𝑭𝑬 são retângulos de áreas 𝟔 𝒄𝒎𝟐 e 𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐,

respectivamente:

O volume desse sólido é de:

(A) 8 𝑐𝑚3 (B) 10 𝑐𝑚3 (C) 12 𝑐𝑚3 (D) 16 𝑐𝑚3 (E) 24 𝑐𝑚3


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(12). Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é

√𝟑

𝟑. Aumentando-se a aresta da base em 𝟐 𝒄𝒎 e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado

de 𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒎𝟑. O volume do prisma original é:

(A) 18 𝑐𝑚3 (B) 36 𝑐𝑚3 (C) 18√3 𝑐𝑚3 (D) 36√3 𝑐𝑚3 (E) 40 𝑐𝑚3

(13). As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma

dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em 𝑐𝑚2, é:

(A) 752 (B) 820 (C) 1024 (D) 1302 (E) 1504

(14). Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da

base é:

(A) 2√5

3 (B)

3√3

2 (C)

5√3

2 (D)

2√3

5 (E)

5√2

3

(15). A diagonal de um cubo de aresta 𝒂𝟏 mede 3 cm , e a diagonal da face de um cubo de aresta 𝒂𝟐 mede 2 cm .

Assim, 𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝟐, em 𝑐𝑚2, é igual a:

(A) 2√6 (B) 2√3 (C) √6 (D) √3 (E) 1

(16). Um prisma reto é regular quando suas bases:

(A) são paralelas. (B) têm a mesma área. (C) têm arestas congruentes.

(D) são polígonos regulares. (E) formam ângulo reto entre si

Assunto 3 – Pirâmides e Troncos de Pirâmide

(17). As arestas laterais de uma pirâmide regular medem 𝟏𝟓 𝒄𝒎, e sua base é um quadrado cujos lados medem

𝟏𝟖 𝒄𝒎. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a:

(A) 3√5 (B) 3√7 (C) 2√5 (D) 2√7 (E) √7

(18). Em uma pirâmide reta de base quadrada de 4m de altura, uma aresta da base mede 6m. A área total dessa

pirâmide, em 𝑚2 é:

(A) 144 (B) 84 (C) 48 (D) 72 (E) 96

(19). A base de um prisma e de uma pirâmide é um polígono regular de 𝒏 lados. Cada face desse prisma é um

quadrado, cuja diagonal mede √𝟏𝟖 𝒄𝒎. Qual a altura da pirâmide, sabendo-se que seu volume é igual ao volume do

prisma:

(A) √18 𝑐𝑚 (B) 3 𝑐𝑚 (C) 18 𝑐𝑚 (D) 3√18 𝑐𝑚 (E) 9 𝑐𝑚


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(20). A figura abaixo, formada por trapézios congruentes e triângulos equiláteros, representa a planificação de um

sólido. (imagem abaixo).

Esse sólido é um:

(A) tronco de pirâmide (B) tronco de prisma (C) poliedro regular (D) prisma trapezoidal (E) prisma triangular

(21). Determine o volume (em 𝑐𝑚3) de uma pirâmide retangular de altura “𝒂” e lados da base “𝒃” e “𝒄” (𝒂, 𝒃 e 𝒄 em

centímetros), sabendo que 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟑𝟔 e “𝒂”, “𝒃” e “𝒄” são, respectivamente, números diretamente proporcionais a

𝟔, 𝟒 e 𝟐.

(A) 16 (B) 36 (C) 108 (D) 432 (E) 648

(22). O volume de um tronco de pirâmide de 𝟒 𝒅𝒎 de altura e cujas áreas das bases são iguais a 36 𝒅𝒎𝟐 e 144 𝒅𝒎𝟐

vale:

(A) 330 𝑑𝑚2 (B) 720 𝑑𝑚2 (C) 340 𝑑𝑚2 (D) 360 𝑑𝑚2 (E) 336 𝑑𝑚2

(23). A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 𝟐𝟓√𝟑 𝒄𝒎𝟐 e

𝟒√𝟑 𝒄𝒎𝟐 é, em 𝑐𝑚2:

(A) 19√3 (B) 25√3 (C) 15√19 (D) 21√19 (E) 25√15

(24). Uma pirâmide quadrangular regular tem 6 cm de altura e base de 8 cm de perímetro. O volume dessa pirâmide,

em 𝑐𝑚3, é:

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12

(25). O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 10 dm, as bases são quadrados de lados, respectivamente,

8 dm e 20 dm. Dessa maneira, o volume desse tronco é, em 𝑑𝑚3, igual a:

(A) 1664 (B) 1244 (C) 966 (D) 877 (E) 666


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Assunto 4 - Cilindros

(26). A diagonal da seção meridiana de um cilindro equilátero mede √𝟕𝟐 𝒄𝒎. Dessa forma, o volume desse cilindro

será:

(A) 36𝜋 𝑐𝑚3 (B) 54𝜋 𝑐𝑚3 (C) 72𝜋 𝑐𝑚3 (D) 96𝜋 𝑐𝑚3 (E) 108𝜋 𝑐𝑚3

(27). Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 ml devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:

De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 ml e o raio r da embalagem

de 350 ml?

(A) 𝑟′ = √𝑟 (B) 𝑟′ =𝑟

2 (C) 𝑟′ = 𝑟 (D) 𝑟′ = 2𝑟 (E) 𝑟′ = √2

3

(28). Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu

volume fica multiplicado por:

(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 36

(29). Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até certa altura. Uma esfera de aço é

mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água

subiu 𝟗

𝟏𝟔𝑹, então o raio da esfera mede:

(A) 2

3𝑅 (B)

3

4𝑅 (C)

4

9𝑅 (D)

1

3𝑅 (E)

𝟗

𝟏𝟔𝑹

(30). Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém líquido até certo nível. Colocando-se nesse

recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta 𝟐 𝒄𝒎. Sabendo-se que o raio do cilindro mede 𝟑√𝟐 𝒄𝒎, conclui-se

que o raio da esfera, em cm, mede:

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

(31). Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual

a área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1 cm, então o seu raio mede, em

cm:


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(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

(32). O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10 cm. Sabendo que a altura do cilindro é 12 cm, o seu volume é:


(33). Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica

nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. Sabe-se então, que o raio da bolinha vale, em cm,

aproximadamente:

(A) 1 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5 (E) 3

Assunto 5 – Cones e Troncos de Cone

(34). Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão

entre o volume do prisma e o volume do cone é:

(A) 5/3 (B) 3 (C) 3/2 (D) 5/2 (E) 2

(35). A geratriz de um tronco de cone reto, mede 4 dm e os raios das bases, respectivamente, 3 dm e 2 dm. O

volume desse tronco será:

(A) 8√10𝜋

3 𝑑𝑚3 (B)

𝜋

3 𝑑𝑚3 (C)

19√5𝜋

3 𝑑𝑚3 (D)

19𝜋

3 𝑑𝑚3 (E)

19√15𝜋

3 𝑑𝑚3

(36). Dobrando-se o raio da base de um cone e sua altura à metade, seu volume:

(A) dobra (B) quadruplica (C) não se altera

(D) reduz-se à metade do volume original (E) reduz-se a um quarto do volume original

(37). Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com

água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O

recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se esta

torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo,

medida a partir do vértice será:


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(A) √7

3

2ℎ (B)

√73

3ℎ (C)

√123

2ℎ (D)

√233

2ℎ (E)

√233

3ℎ

(38). Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 𝟏𝟐 𝒄𝒎 de raio e ângulo central

de 𝟏𝟐𝟎°. Então, a altura do cone é:

(A) 2√2 (B) 4√2 (C) 6√2 (D) 8√2 (E) 12√2

(39). No tronco de cone reto, as bases são paralelas. Se o raio da base maior mede 5 cm e a distância entre as duas

bases, 𝟒√𝟑 𝒄𝒎, então o volume desse tronco de cone, em 𝑐𝑚3, é:

(A) 124𝜋√3

3 (B) 125𝜋√3 (C)

96𝜋√3

3 (D) 124𝜋√3 (E) 𝜋√3

(40). Num cone circular reto, cujo raio da base mede r e a geratriz é g, a base é equivalente à secção meridiana. A

altura desse cone mede:

(A) 𝜋𝑟𝑔 (B) 𝜋𝑟

𝑔 (C) 𝜋𝑟 (D) 𝜋𝑔 (E) 𝜋

(41). Uma empresa comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone,

conforme a figura abaixo. Qual é a capacidade, em litros, desse reservatório?

(A) 40

3102𝜋 (B)

19

2105𝜋 (C)

49

310𝜋 (D)

49

3104𝜋 (E)

19

3103𝜋

(42). Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em

que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 𝟐𝟓𝝅 𝒎𝟐, é de:


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(A) 12m (B) 10m (C) 8m (D) 6m (E) 5m

Assunto 6 – Esferas

(43). Duas esferas de aço de raio 4 cm e √𝟔𝟏𝟑

𝒄𝒎 fundem-se para formar uma esfera maior. Considerando que não

houve perda de material das esferas durante o processo de fundição, a medida do raio da nova esfera é de:

(A) 5 cm (B) 5,5 cm (C) 4,5 cm (D) 6 cm (E) 7 cm

(44). Duas esferas de raios 3 cm e √𝟓𝟏𝟑

𝒄𝒎 fundem-se para formar uma esfera maior. Qual é o raio da nova esfera?

(A) √783

(B) √363

(C) √683

(D) √1043

(E) √263

(45). Considere duas esferas: a primeira com 𝟏𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟐 de área, e a segunda com raio igual a 5/2 do raio da primeira.

A área da segunda esfera, em 𝑐𝑚2, é:

(A) 100𝜋. (B) 50𝜋. (C) 40𝜋. (D) 20𝜋. (E) 10𝜋.

(46). Uma esfera tem 36𝜋 𝑚3 de volume. A medida de sua superfície, em m2, é:

(A) 72𝜋 (B) 56𝜋 (C) 48𝜋 (D) 36𝜋 (E) 24𝜋

(47). Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais.

A superfície total de cada gomo mede:

(A) 43𝜋

3 𝑐𝑚2 (B)

43𝜋

9 𝑐𝑚2 (C)

42𝜋

3 𝑐𝑚2 (D)

42𝜋

9 𝑐𝑚2 (E) 43𝜋 𝑐𝑚2

Assunto 7 – Inscrição e Circunscrição de Sólidos / Sólidos de revolução

(48). Um cone de revolução tem altura 𝟒 𝒄𝒎 e está circunscrito a uma esfera de raio 𝟏 𝒄𝒎. O volume desse cone (em

𝑐𝑚3) é igual a:

(A) 1

3𝜋 (B)

2

3𝜋 (C)

4

3𝜋 (D)

8

3𝜋 (E) 3𝜋

(49). Um cubo está inscrito em um cone reto. O raio da base do cone é igual a 𝒓 e a sua área lateral é igual ao dobro

de sua área da base. Determine a aresta do cubo em função de 𝒓.

(A) 2(√3 − √2)𝑟 (B) 2(√3 + √2)𝑟 (C) (3√3 − 1)𝑟 (D) (2√2 − 1)𝑟 (E) (3√2 − 2√3)𝑟

(50). Uma esfera de volume 𝟑𝟔𝝅 está inscrita em um cilindro de volume igual a:

(A) 9𝜋 (B) 18𝜋 (C) 24𝜋 (D) 54𝜋 (E) 60𝜋


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(51). Constrói-se um depósito, na forma de um sólido 𝑽, dentro de uma semiesfera de raio 𝟒 𝒎. O depósito é formado

por uma semiesfera de raio 𝟏 𝒎 sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura. Então, a área da

superfície total de 𝑽, em 𝑚2 é igual a:

(A) (20 + 14√2)𝜋 (B) (17 + 4√10)𝜋 (C) (8 + 4√7)𝜋 (D) (21 + 7√6)𝜋 (E) (15 + 6√7)𝜋

(52). Um hexágono regular de lado igual a 𝟖 𝒄𝒎 está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a

𝟏𝟐𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟑. A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do

cone, é de:

(A) 0,3 (B) 0,6 (C) 0,9 (D) 0,27 (E) 0,36

(53). Um cilindro reto de altura √𝟔

𝟑 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do

tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 𝟑 𝒄𝒎, o volume do cilindro, em 𝑐𝑚3, é igual a:

(A) 𝜋√3

4 (B)

𝜋√3

6 (C)

𝜋√6

6 (D)

𝜋√6

9 (E)

𝜋

3

(54). Uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 𝟏𝟎

𝟑√𝟑 𝒄𝒎. Então o raio da esfera, em cm, é igual a:

(A) 10

3 √3 (B)

13

3 (C)

15

4 (D) 2√3 (E)

10

3

(55). Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo.

Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 𝟕𝟐𝝅.


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(A) √13 − 2 (B) 3 (C) 3√2 (D) 2√5 (E) 4

(56). O volume do sólido gerado por um triângulo, que gira em torno de sua hipotenusa e cujos catetos são 15 cm e

20 cm, é:

(A) 1080𝜋 𝑐𝑚3 (B) 960𝜋 𝑐𝑚3 (C) 1400𝜋 𝑐𝑚3 (D) 1600𝜋 𝑐𝑚3 (E) 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

(57). Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, conforme a figura. A

razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é 𝝅. Então, o comprimento g da geratriz

do cone é:

(A) √5 (B) √6 (C) √7 (D) √10 (E) √11

(58). Todo sólido obtido através do movimento de rotação completa de uma região plana em torno de uma reta,

sendo ambas no mesmo plano, é chamado de sólido de revolução. Um giro completo na região hachurada, em torno

de r, determina um sólido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é de:



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(59). Considere um cone cujo volume vale 𝟕𝝅 𝒄𝒎𝟑, inscrito num cilindro, como mostra a figura. A diferença entre os

volumes do cilindro e do cone vale:

(A) 7𝜋

3 𝑐𝑚3 (B)

7𝜋

2 𝑐𝑚3 (C) 7𝜋 𝑐𝑚3 (D) 14𝜋 𝑐𝑚3 (E) 21𝜋 𝑐𝑚3

Assunto 8 – Poliedros

(60). A palavra “icosaedro”, de origem grega, significa “20 faces”. Sabendo que o icosaedro é formado por 20

triângulos regulares, determine o número de vértices.

(A) 12 (B) 42 (C) 52 (D) 8 (E) 48

(61). Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas

regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo

de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

(A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80

(62). Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces

triangulares excede o de faces pentagonais em quatro unidades. Sabendo que o poliedro tem 8 vértices, o produto do

número de faces de cada tipo é:

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 12 (E) 18

Assunto 9 – Assuntos Gerais

(63). Um cubo tem seus vértices removidos cortando-se um tetraedro de cada quina, de forma que cada face

quadrada torna-se um octógono regular de lado a. Qual é o volume do novo sólido?

(A) (6 + 4√2)𝑎3 (B) (7 +13

3√2) 𝑎3 (C) (1 +

2

3√2) 𝑎3 (D) (7 +

19

4√2) 𝑎3 (E)

77

3𝑎3

(64). Aumentando-se a aresta de um cubo em √𝟑 cm obtemos outro cubo cuja diagonal mede 15 m. A área total do

cubo original, em 𝑚2, é:

(A) 228 (B) 23 + √3 (C) 328 (D) 288 (E) 72

(65). Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo.


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Se o volume do cubo é 216, o perímetro do hexágono é:

(A) 3√2 (B) 6√2 (C) 9√2 (D) 12√2 (E) 18√2

(66). As quatro faces do tetraedro ABCD são triângulos equiláteros. M é o ponto médio da aresta AB. O triângulo

MCD é:

(A) escaleno (B) retângulo em C (C) equilátero (D) obtusângulo. (E) isósceles.

(67). Uma chapa com forma de um setor circular de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se

transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm, então o valor de x é:

(A) 60° (B) 75° (C) 80° (D) 85° (E) 90°

(68). A figura mostra duas pirâmides regulares iguais, unidas pela base ABCD, formando um octaedro. Se ABCD tem

4 cm de lado e EF = 6 cm, o volume do sólido da figura, em 𝑐𝑚3, é:


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(A) 26 (B) 28 (C) 32 (D) 34 (E) 36

(69). Um desafio matemático construído pelos alunos de um curso de matemática tem as peças no formato de um

cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. A área total de cada peça, em 𝑐𝑚2 ,é

de:

(A) 10𝜋 (B) 16𝜋 (C) 20𝜋 (D) 28𝜋 (E) 40𝜋

(70). Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo e tem 5 mm de aresta. Podemos dizer que o volume desta

joia é, em 𝑚𝑚3, igual a:

(A) 125 (B) 125√2 (C) 125√2

3 (D)

125√2

6 (E)

√2

6


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(71). Um cone circular reto com altura de √𝟖 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que, por sua vez,

está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a:

(A) 3

2(√2 − 1) (B)

9

4(√2 − 1) (C)

9

4(√6 − 1) (D)

27

8(√3 − 1) (E)

27

16(√3 − 1)

(72). A soma de todas as arestas de um cubo mede 24 m. O volume da esfera inscrita nesse cubo é igual a:

(A) 2𝜋

3 𝑚3 (B)

3𝜋

4 𝑚3 (C)

𝜋

2 𝑚3 (D)

3𝜋

2 𝑚3 (E)

4𝜋

3 𝑚3

(73). Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 𝟑

𝟓 do número de

faces?

(A) 60 (B) 30 (C) 25 (D) 20 (E) 15

(74). O volume de uma esfera é 𝟑𝟔𝝅 𝒎𝟑. O volume do cubo circunscrito à esfera é de:

(A) 76𝜋 𝑚3 (B) 27𝜋 𝑚3 (C) 180𝜋 𝑚3 (D) 36𝜋 𝑚3 (E) 216𝜋 𝑚3

(75). Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2.

O volume desse octaedro é de:

(A) 2/3 (B) 4/3 (C) 2 (D) 8/3 (E) 10/3

ANEXO: unidades de medidas mais utilizadas

UNIDADES DE COMPRIMENTO


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Regras Práticas:

Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 10.

Exemplo: 1 m = 10 dm

Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10.

Exemplo: 1 m = 0,1 dam

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

Exemplo: 1 m = 100 cm

1 m = 0,001 km

UNIDADES DE ÁREA

Regras Práticas:

Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 100.

Exemplo: 1 𝑚2 = 100 𝑑𝑚2


Exemplo: 1 𝑚2 = 0,01 𝑑𝑎𝑚2

UNIDADES DE VOLUME


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Regras Práticas: Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 1000.

Exemplo: 1 m3 = 1000 dm3


Exemplo: 1 m3 = 0,001 dam3

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

Litro O litro (l) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm3. 1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros 1 litro = 1 dm3 1 litro = 1.000 cm3 1 litro = 1.000.000 mm3

Caso tenha dificuldades, utilize a regra de três simples para a conversão.

Bom trabalho e lembre-se:

Nada nesta vida é por acaso!

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2017 - · PDF fileLista de exercícios de Geometria Espacial – 2017 – Prof. Diego Página 3 de 17 (09). Um prisma quadrangular reto tem base de dimensões x e y