1 1-Introduo ao Controle de Processos Plantas qumicas no operam em estado estacionrio. O estado estacionrio, apesar de ser uma condio de operao desejvel, nem sempre atingido ou mantido por muito tempo. Isso quer dizer que numa planta qumica, as condies de operao esto sujeitas a mudanas ao longo do tempo. O nvel de lquido em um equipamento, a presso em um vaso, a vazo de um reagente ou sua composio; todas estas condies podem (e costumam) variar. Assim, existe a necessidade de se monitorar a operao destas plantas e intervir para garantir a satisfao dos objetivos operacionais. 1.1-Porque controlar? Plantas qumicas devem operar sob condies conhecidas e pr-determinadas. Existem vrias razes para isso: - Segurana: restries de segurana e ambientais no podem ser violadas. - "Operabilidade": certas condies so requeridas para que as reaes desejadas ou outras operaes ocorram. - Economia: plantas qumicas so caras e devem gerar lucros. Produtos finais devem atender aos requerimentos de pureza do mercado ou no sero vendidos. Uma planta qumica deve ser pensada como uma coleo de tanques nos quais materiais so aquecidos, resfriados e reagem, e de tubulaes atravs das quais estes materiais escoam. Tais sistemas em geral no se mantm em tal estado que a temperatura requerida para uma reao se mantenha, que a presso alm dos limites de segurana em todos os tanques seja evitada ou que a vazo exata para atingir a composio tima do produto seja atingida. Controlar um processo significa atuar sobre ele, ou sobre as condies a que o processo est sujeito, de modo a atingir algum objetivo - por exemplo, podemos achar necessrio ou desejvel manter o processo sempre prximo de um determinado estado estacionrio, mesmo que efeitos externos tentem desvi-lo desta condio. Este estado estacionrio pode ter sido escolhido por atender melhor aos requisitos de qualidade e segurana do processo. Exemplo 1.1: considere o tanque de aquecimento da Figura 1.1: Um lquido entra no tanque com uma vazo Fi (l/h) e uma temperatura T (C) onde aquecido com vapor (que tem uma taxa de alimentao Fst (kg/h)). O tanque perfeitamente agitado, o que significa que a temperatura da corrente de sada igual temperatura do 2 lquido no tanque. A corrente de sada tem vazo F e temperatura T. Os objetivos operacionais do tanque so: 1-Manter a temperatura de sada T num valor desejado Ts 2-Manter o volume de lquido no tanque num valor desejado Vs Figura 1.1-Tanque aquecedor.

Se o processo operasse em estado estacionrio, ou seja, se nada mudasse, no seria necessrio controlar o processo. Uma vez que a temperatura da corrente de sada fosse igual a Ts e o volume de lquido igual a Vs o sistema poderia funcionar sem superviso ou controle. No entanto, a operao de equipamentos afetada por fatores externos. Por exemplo, podem ocorrer mudanas na vazo e temperatura de entrada (Fi e Ti). Assim, necessrio um esquema de controle que mantenha T e V nos valores desejados Ts e Vs. Uma outra situao que pode ocorrer a mudana dos valores desejados. Por algum motivo deseja-se que o tanque deixe de operar na temperatura Ts e no volume Vs e opere em Ts1 e Vs1. Tambm neste caso um esquema de controle necessrio para levar o sistema s novas condies de operao. Na Figura 1.2 est mostrado um esquema de controle para manter T=Ts quando Ti e/ou Fi sofrem perturbaes. Um termopar (sensor de temperatura) mede a temperatura T do lquido dentro do tanque. T comparada com o valor desejado Ts gerando um desvio c=Ts-T. O valor do desvio enviado para um mecanismo de controle que decide o que deve ser feito para que a temperatura T volte ao valor desejado Ts. Se c>0, o que implica em Ts>T, o controlador abre a vlvula de vapor de forma que mais calor seja fornecido ao sistema. Ao contrrio, se c

vlvula de vapor deve ser fechada para fornecer menos calor e manter a temperatura em Ts. Ao contrrio, se Ti diminui, deve-se abrir a vlvula de vapor. Este esquema de controle chamado de feedforward e mostrado na Figura 1.3. Pode-se notar que o controle feedforward no espera at que a perturbao seja sentida pelo sistema, mas age antecipadamente, prevendo qual ser o efeito seta perturbao. Figura 1.3-Esquema de controle feedforward de um tanque aquecedor. 4 1.2-Classificao das variveis de um processo qumico As variveis (vazes, temperaturas, presses, concentraes etc.) associadas a um processo qumico so divididas em dois grupos - variveis de entrada, que esto relacionadas com o efeito do meio externo no processo. - variveis de sada, que esto relacionadas com o efeito do processo no meio externo. Exemplo 1.2: Considere o CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) abaixo: Figura 1.4- CSTR. Para este reator temos: - variveis de entrada: Cai, Ti, Fi, Tci, Fc, (F) - variveis de sada: Ca, T, F, Tco, V A vazo de efluente, F, pode ser considerada uma varivel de entrada ou sada. Se h uma vlvula na corrente de efluente, de forma que a sua vazo possa ser manipulada por um controlador, F uma varivel de entrada, desde que a abertura da vlvula ajustada externamente; seno F uma varivel de sada. As variveis de entrada podem ainda ser classificadas da seguinte maneira - variveis manipuladas (ou ajustveis), cujos valores podem ser ajustados por um operador humano ou por um mecanismo de controle. - perturbaes, cujos valores no so resultantes de ajuste por um operador ou sistema de controle As variveis de sada podem ser classificadas em: - variveis medidas, cujos valores so conhecidos por medida direta. - variveis no medidas, cujos valores no podem ser medidos diretamente. Exemplo 1.3: Suponha que a corrente de entrada do CSTR do exemplo 1.2 (Figura 1.4) vem

de uma unidade sobre a qual no temos nenhum controle. Ento Cai, Fi e Ti so perturbaes. Se a vazo de refrigerante controlada atravs de uma vlvula de controle, Fc uma varivel manipulada, enquanto Tci uma perturbao. Alm disso, se a vazo de efluente controlada por uma vlvula, F uma varivel manipulada, de outra forma uma varivel de sada. 5 Com respeito s variveis de sada, temos o seguinte: T, F, Tco e V so sadas medidas, desde que seus valores podem ser facilmente conhecidos usando-se termopares (T, Tco), um tubo Venturi (F) e uma clula de diferencial de presso (V). A concentrao Ca pode ser uma varivel medida se um analisador (cromatgrafo gasoso, espectofotmetro de infravermelho, etc.) est ligado corrente de efluente. Em muitas plantas estes analisadores no esto presentes porque so caros e/ou pouco confiveis. Em tais casos, Ca uma varivel de sada no medida. As perturbaes tambm podem ser classificadas como medidas ou no medidas. Como veremos mais tarde, perturbaes no medidas geram problemas de controle mais difceis. 1.3-Elementos de projeto de um sistema de controle - Definir o objetivo do controle: O elemento central de qualquer configurao de controle o processo a ser controlado. A primeira pergunta que deve ser respondida qual o objetivo operacional do sistema de controle. Que variveis se deseja controlar? - Selecionar as medidas: Quaisquer que sejam os nossos objetivos de controle, precisamos de meios de monitorar o desempenho do processo qumico. Isto feito medindo-se os valores de certas variveis de processo (temperaturas, presses, concentraes, vazes, etc.). Logo a segunda questo : que variveis devem ser medidas para monitorar o desempenho da planta? fcil concluir que gostaramos de medir diretamente as variveis que representam os nossos objetivos de controle e isso o que feito sempre que possvel. Estas medidas so chamadas de medidas primrias. Exemplo 1.4: Para o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1) os

nossos objetivos de controle eram manter o volume e a temperatura do lquido no tanque em nveis desejados, ou seja, manter T=Ts e V=Vs. Consequentemente a primeira tentativa instalar medidores para monitorar T e V diretamente. Para este caso, isso bastante simples. Algumas vezes acontece que os nossos objetivos de controle no so quantidades mensurveis, ou seja, pertencem classe de sadas no medidas. Nestes casos, devem-se medir outras variveis que possam ser medidas com facilidade e confiana. Estas medidas de suporte so chamadas de medidas secundrias. Ento desenvolvemos relaes matemticas entre as sadas no medidas e as medidas secundrias, ou seja sada no medida = f (medidas secundrias) 6 que nos permitem determinar os valores das variveis no medidas (sempre que os valores das medidas secundrias estejam disponveis). Estas relaes matemticas podem resultar de consideraes empricas, experimentais ou tericas. A terceira classe de medidas que podem ser feitas para monitorar o comportamento do processo inclui a medida direta de perturbaes externas. Medir as perturbaes antes que elas atinjam o processo pode ser muito vantajoso, porque nos permite saber com antecedncia qual vai ser o comportamento do processo e tomar aes de controle para evitar qualquer consequncia indesejada. - Selecionar as variveis manipuladas: Uma vez que os objetivos de controle foram especificados e as vrias medidas identificadas, a prxima questo : que variveis manipuladas vamos usar para controlar o sistema? Normalmente num processo temos algumas variveis de entrada que podem ser ajustadas. Qual selecionar uma questo importante, que afetar a qualidade das aes de controle tomadas. A varivel a manipular tem que ter um efeito razovel sobre aquelas que definem o objetivo desejado. Muita ou pouca sensibilidade geram inconvenientes que devem ser evitados. Pouca sensibilidade significa que seriam necessrias mudanas muito grandes na varivel manipulada para produzir um efeito na varivel controlada. Neste caso, surgem problemas de saturao de instrumentos, problemas de rudos etc. Muita sensibilidade tambm no desejvel, pois apenas uma pequena mudana na varivel manipulada j produz um efeito exagerado na varivel controlada. Surgem problemas com a resoluo dos instrumentos e, novamente, com o efeito de rudos. Exemplo 1.5: Para controlar o nvel de lquido num tanque podemos ajustar

(manipular) a vazo da corrente de entrada ou a vazo da corrente de sada. Qual a melhor uma questo importante a ser respondida mais tarde. - Selecionar a configurao de controle: Uma configurao (ou estrutura) de controle a estrutura de informao que usada para conectar as medidas disponveis s variveis manipuladas disponveis. - Projetar o controlador: Em toda configurao de controle o controlador o elemento ativo que recebe a informao das medidas e toma aes de controle apropriadas para ajustar os valores das variveis manipuladas. Para o projeto de um controlador devemos responder seguinte pergunta: Como a informao tirada das medidas usada para ajustar as variveis 7 manipuladas? A resposta desta questo constitui a lei de controle, que implementada automaticamente pelo controlador. Bibliografia: 1-Stephanopoulos, George, Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1984. 2-Luyben, William L., Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, 2nd edition, McGraw-Hill Inc., Singapore, 1990. 3-Seborg, Dale E., Thomas F. Edgar e Duncan A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, J. Wiley, New York, 1989. 4-Curso de Controle de Processos, PUC-Rio, http://venus.rdc.puc-rio.br/werneckr/index_cp.html. 5-Curso de Controle de Processos, University of NewCastle Upon TY NE, http://lorien.ncl.ac.uk/ming/Dept/Swot/notes.htm. 8 2-Modelagem de processos para controle

2.1-Introduo Toda e qualquer tcnica de controle, desde a mais elementar at a mais sofisticada, requer algum grau de conhecimento sobre o comportamento do sistema. Para investigar como o comportamento do sistema (suas sadas) muda com o tempo sob a influncia de mudanas nas perturbaes externas e variveis manipuladas, e consequentemente projetar um controlador apropriado, pode-se usar duas abordagens diferentes: - abordagem experimental: neste caso o(s) equipamento(s) fsico do processo est disponvel. Logo, mudamos o valor das vrias entradas (perturbaes e variveis manipuladas) e observamos como as sadas variam com o tempo. Este procedimento demorado e normalmente caro, j que um grande nmero de experimentos deve ser realizado. Alm disso, deve-se garantir que as medidas realizadas contm informao suficiente para caracterizar completamente a dinmica do processo, ou pode-se obter um quadro errado desta dinmica, de forma que podem estar ocorrendo flutuaes fortes dentro do sistema que no esto aparecendo nas sadas medidas. - abordagem terica: modelos matemticos so usados para determinar o comportamento dinmico ou esttico do processo. Como em alguns casos o equipamento fsico do processo no est disponvel para testes e, mesmo quando est, a abordagem experimental demorada e cara, a abordagem terica a mais usada. Os modelos matemticos podem ser classificados genericamente em duas categorias: - tericos (fenomenolgicos): desenvolvidos a partir de pressupostos tericos que tentam descrever de forma mais fundamentada os vrios aspectos envolvidos no problema. - empricos: no esto baseados em quaisquer pressupostos tericos, mas apenas so utilizados para descrever um certo conjunto de pontos experimentais conhecidos. A princpio, os modelos empricos so to bons quanto os modelos tericos, embora os modelos tericos possam ser utilizados de forma bem mais racional do que os modelos empricos. Por exemplo, as extrapolaes feitas com modelos empricos no so recomendadas, j que nada garante que a realidade v continuar se comportando daquela forma numa faixa diferente de condies. No entanto, a continuidade dos pressupostos tericos (e, portanto, do modelo matemtico a que do origem) em condies diferentes bem mais aceitvel. 9 Os modelos podem ainda ser classificados como lineares ou no lineares. O uso de modelos lineares se baseia na hiptese de que os sistemas tm um comportamento que pode ser aproximado linearmente. O seu uso difundido pois a teoria de controle linear est bastante bem desenvolvida e as equaes lineares em geral tm soluo analtica, o que

permite a fcil obteno de resultados. Em particular na rea de controle de processos, como a principal forma de operao nas grandes indstrias no estado estacionrio, os pequenos desvios associados ao efeito de perturbaes no chega a afastar o sistema de um comportamento aproximadamente linear. Entretanto, devemos ter em mente que a realidade no linear. As crescentes exigncias de qualidade e quantidade colocadas para a indstria a defrontam com situaes de operao extremas, onde os efeitos no lineares so muito mais importantes. Ainda, existem inmeros processos que so operados em batelada ou batelada alimentada (polmeros, produtos farmacuticos, etc.). Neste tipo de operao, no h estado estacionrio, e o comportamento do processo fortemente no linear. Neste caso, so necessrios modelos no lineares. Ao se modelar o sistema de interesse, deve-se ter em mente que um modelo muito complexo no tem utilidade em anlise e projeto de sistemas de controle. Muitas leis de controle so obtidas a partir de verses simplificadas do comportamento do processo e/ou so ajustadas usando essas verses. Num processo iterativo de projeto, via tentativa e erro, o uso frequente do modelo matemtico tambm requer que o mesmo seja uma verso simples da realidade, caso contrrio o esforo computacional requerido seria muito grande. Ainda, muitas das leis de controle mais avanadas incluem um modelo do processo que, consequentemente, tem que ser resolvido em linha. Novamente no podemos nem imaginar o uso de modelos complexos. Neste curso a teoria de controle linear ser abordada e, logo, trabalharemos na maioria das vezes com modelos lineares ou linearizados. 2.2- Linearizao e variveis desvio Linearizao o processo pelo qual ns aproximamos sistemas no lineares com sistemas lineares. Considere a seguinte equao diferencial no linear dxdtf x = ( ) (2.1) Expanda a funo no linear f(x) em srie de Taylor em torno de um ponto x0 10 f x f xdfdxx x d fdxx x d fdxx x

nxxnnxn( ) ( )!( )!.....( )!... = +|\

|.| +|\

|.|| + +|\

|.|| +00022002001 2 (2.2) Se desprezarmos todos os termos de ordem 2 ou maior, temos a seguinte aproximao para o valor de f(x) f x f xdf

dxx xx( ) ( ) ( ) ~ +|\

|.| 000 (2.3) A aproximao linear somente satisfatria quando x est prximo de x0. Na figura 2.1 est mostrada a funo no linear f(x) e a sua aproximao linear em torno de x0. Fica claro que a aproximao linear depende da localizao do ponto x0 em torno do qual fazemos a expanso em srie de Taylor. Compare a aproximao linear de f(x) nos pontos x0 e x1. A aproximao somente exata no ponto de linearizao. Figura 2.1- Linearizao em torno de um ponto. Vamos introduzir agora o conceito de variveis desvio, que muito til para controle de processos. Suponha que xs o valor de estado estacionrio de x que descreve o sistema dinmico da eq. (2.1) inicialmente. Ento dxdtf xss= = 0 ( ) (2.4) Considere que xs o ponto de linearizao para a eq. (2.1). Ento o modelo linearizado dxdtf xdfdxx xsxss= +

|\

|.| ( ) ( ) (2.5) Subtraia a eq. (2.4) da eq. (2.5) d x xdtdfdxx xsxss( )( ) = |\

|.| (2.6) Definimos a varivel desvio como x x xs'= (2.7) 11 Ento a eq. (2.5) fica dxdtdfdxxxs''= |\

|.| (2.8) Esta a aproximao linearizada do sistema dinmico no linear descrito pela eq. (2.1) expressa em termos de variveis desvio. A noo de variveis desvio muito til em controle de processos. Normalmente estamos tentando manter o valor de uma varivel de processo em algum estado estacionrio

desejado (set-point). Consequentemente, o estado estacionrio um bom ponto em torno do qual se pode desenvolver o modelo linearizado. Nestes casos, a varivel desvio descreve diretamente a magnitude do deslocamento do sistema do nvel de operao desejado. Alm disso, se o controlador de um dado processo foi bem projetado, no permitir que a varivel de processo se afaste muito do estado estacionrio desejado. Desta forma o modelo linear aproximado expresso em termos de variveis desvio descrever bem o comportamento dinmico do sistema. Para sistemas com mais de uma varivel, a metodologia para linearizao a mesma. Considere o seguinte sistema dinmico dxdtf x x11 1 2= ( , ) (2.9) dxdtf x x22 1 2= ( , ) (2.10) Expanda as funes no lineares f1(x1,x2) e f2(x1,x2) em srie de Taylor em torno do ponto (x1,0,x2,0) e despreze os termos de ordem 2 e superiores f x x f x xdfdxx xdfdxx xx x x x1 1 2 1 1 0 2 0111 0 2 01 1 012

1 0 2 02 2 0( , ) ( , ) ( ) ( ), ,(,,,),(,,,),~ +|\

|.| +|\

|.| (2.11) f x x f x xdfdxx xdfdxx xx x x x2 1 2 2 1 0 2 0211 0 2 01 1 0221 0 2 02 2 0( , ) ( , ) ( ) ( ), ,(,,,),(,,,),

~ +|\

|.| +|\

|.| (2.12) Substituindo as aproximaes acima nas equaes dinmicas (eq. (2.9) e (2.10)) dxdtf x xdfdxx xdfdxx xx x x x11 1 0 2 0111 0 2 01 1 0121 0 2 02 2 0= +|\

|.| +|\

|.| ( , ) ( ) ( ), ,(,,,),(,,,),

(2.13) dxdtf x xdfdxx xdfdxx xx x x x22 1 0 2 0211 0 2 01 1 0221 0 2 02 2 0= +|\

|.| +|\

|.| ( , ) ( ) ( ), ,(,,,),(,,,), (2.14) Estas duas ltimas equaes so lineares e constituem o modelo linearizado que aproxima o modelo no linear descrito pelas eqs. (2.9) e (2.10). 12 Para expressar o modelo linearizado em termos de variveis desvio, selecione o estado estacionrio (x1,s, x2,s) como o ponto em torno do qual a linearizao vai ser feita. No estado

estacionrio as eqs. (2.9) e (2.10) levam a 01 1 2= f x xs s( , ), , (2.15) 02 1 2= f x xs s( , ), , (2.16) Subtraia as eqs. (2.15) e (2.16) das eqs. (2.13) e (2.14) e obtenha d x xdtdfdxx xdfdxx xsxsxssxsxss( )( ) ( ),(,,,),(,,,),1 1111 21 1121 22 2

= |\

|.| +|\

|.| (2.17) d x xdtdfdxx xdfdxx xsxsxssxsxss( )( ) ( ),(,,,),(,,,),2 2211 21 1221 22 2= |\

|.| +|\

|.| (2.18) Definindo as variveis desvio x x xs 1 1 1',= e x x xs 2 2 2',= dxdtdfdxxdfdxxxsxsxsxs1 111 21121 22'(,,,)'(,,,)'= |\

|.| +|\

|.| (2.19) dxdtdfdxxdfdxxxsxsxsxs2 211 21221 22'(,,,)'(,,,)'= |\

|.| +|\

|.| (2.20)

Exemplo 2.1- Linearize a seguinte expresso e a escreva em funo de variveis desvio em relao ao ponto x10 e x20: 2) t ( 2 cx ) t ( 2 x ) t ( 1 bx ) t ( 1 axdt) t ( 1 dx+ + = . Nesta expresso a, b e c so parmetros constantes e x1 e x2 variam com o tempo. Considere x10=1, x20=2, a=b=c=1. Da eq. (2.9) temos que 2) t ( 2 cx ) t ( 2 x ) t ( 1 bx ) t ( 1 ax ) 2 x , 1 x ( 1 f + + = . Pela eq. (2.11) podemos aproximar f1(x1,x2) por: ) 2 x 2 x )( 2 cx 2 1 bx ( ) 1 x 1 x )( 2 bx a ( 2 cx 2 x 1 bx 1 ax ) 2 x , 1 x ( 1 f0 0 0 0 020 0 0 0 + + + + + + ~ Logo, ) 2 x 2 x )( 2 cx 2 1 bx ( ) 1 x 1 x )( 2 bx a ( 2 cx 2 x 1 bx 1 axdt1 dx0 0 0 0 020 0 0 0 + + + + + + ~ No estado estacionrio: 20 0 0 002 cx 2 x 1 bx 1 ax 0dt1 dx+ + = = Subtraindo as duas equaes chegamos a: ) 2 x 2 x )( 2 cx 2 1 bx ( ) 1 x 1 x )( 2 bx a (dt) 1 x 1 x ( d0 0 0 0 00 + + + = 13 Mas '01 x ) 1 x 1 x ( = e '0

2 x ) 2 x 2 x ( = , ento a equao acima fica igual a: '0 0'0'2 x ) 2 cx 2 1 bx ( 1 x ) 2 bx a (dt1 dx+ + + = Substituindo os valores de x10, x20, a, b e c, chegamos a: ' ''2 x 5 1 x 3dt1 dx+ = 2.3-Alguns tipos de modelos matemticos a)Modelos de equaes diferenciais b)Modelos de diferenas finitas c)Modelos de entrada sada (exemplo: modelos de funo de transferncia) a)Modelos de equaes diferenciais Estes so modelos tericos, baseados nas hipteses fundamentais que balizam a anlise de problemas da engenharia qumica, que so normalmente os princpios de conservao de massa e energia. Os balanos de massa e/ou energia do origem a equaes diferenciais ordinrias e/ou parciais, geralmente combinadas com uma ou mais equaes algbricas. As equaes algbricas podem descrever relaes termodinmicas (relaes descrevem as situaes de equilbrio atingidas durante uma reao ou por uma ou mais fases), equaes de estado (por exemplo a lei dos gases ideais ou a equao de Van der Waals), equaes de taxa de transporte (taxas de transferncia de massa, energia etc.), equaes de taxas cinticas (descrevem as taxas de reaes qumicas), etc. A aplicao dos princpios de conservao permite construir modelos para um grande nmero de sistemas. No entanto, informaes adicionais que no podem ser obtidas das equaes de balano so freqentemente necessrias. Por exemplo, saber como a densidade de um fluido depende da temperatura ou como a velocidade da reao depende das concentraes dos reagentes. Nestes casos, equaes empricas podem ser utilizadas para descrever a frao desconhecida do modelo ou uma modelagem mais detalhada do fenmeno pode ser utilizada. Por exemplo, pode-se dizer simplesmente que a velocidade de reao varia com uma potncia da concentrao e tentar determinar o expoente a partir de experimentos, introduzindo-se assim um certo grau de empirismo ao nosso modelo terico, ou tentar descrever o mecanismo de reao de forma detalhada para tentar desvendar a forma com

que a velocidade de reao depende da concentrao do reagente. Para a maioria dos sistemas de interesse para um engenheiro qumico existem somente trs quantidades: massa, energia e momento. Frequentemente, no entanto, as variveis 14 fundamentais no podem ser medidas diretamente. Nestes casos, selecionamos outras variveis que podem ser medidas e que agrupadas apropriadamente determinam o valor das variveis fundamentais. Ento massa, energia e momento podem ser caracterizados por variveis tais como densidade, concentrao, temperatura, presso e vazo. Estas so as chamadas variveis de estado e os seus valores definem o estado de um sistema. As equaes que relacionam as variveis de estado (variveis dependentes) s variveis independentes so derivadas da aplicao de princpios de conservao nas quantidades fundamentais e so chamadas de equaes de estado. O princpio da conservao de uma quantidade S diz que: [acmulo S]/tempo = [entrada S]/tempo - [sada S]/tempo + [gerao S]/tempo - [consumo S]/tempo S pode ser: - massa total - massa dos componentes individuais - energia total - momento Deve-se lembrar sempre que para os processos qumicos a massa total e a energia total no podem ser gerados nem desaparecer. Revisando a forma mais usada das equaes de balano: - Balano de massa total: p p =pentradas : i sadas : jj j i iF Fdt) V ( d (2.21) - Balano de massa para o componente A: rV F C F Cdt) V C ( ddtdnjsadas : jAj ientradas : iAiA A = = (2.22) - Balano total de energia: Ws Q h F h Fdt

) P K U ( ddtdEsadas : jj j jentradas : ii i i p p =+ += (2.23) As variveis que aparecem acima so: p: densidade V: volume do sistema F: vazo volumtrica de alimentao nA: nmero de moles do componente A 15 CA: concentrao molar de A (moles/volume) r: taxa de reao por unidade de volume para o componente A h: entalpia especfica U, K, P: energias interna, cintica e potencial do sistema Q: quantidade de calor trocada pelo sistema com o meio ambiente por unidade de tempo (por conduo, radiao ou reao) Ws: trabalho realizado por unidade de tempo Por conveno, uma quantidade considerada positiva se entra no sistema e negativa se sai. As equaes de estado com as variveis de estado associadas constituem o modelo matemtico do processo, que simula o comportamento dinmico do processo. A aplicao dos princpios de conservao levam a um conjunto de equaes diferenciais com as quantidades fundamentais como variveis dependentes e o tempo como a varivel independente. A soluo das equaes diferenciais determinam como as quantidades fundamentais, ou equivalentemente, as variveis de estado, mudam com o tempo, ou seja, o comportamento dinmico do processo. Se as variveis de estado no variam com o tempo, dizemos que o processo est em estado estacionrio. Neste caso a taxa de acmulo zero e, logo, os balanos resultantes so um conjunto de equaes algbricas. Exemplo 2.2- Considere o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1). As quantidades fundamentais cujos valores definem o estado do aquecedor so: - a massa total de lquido no tanque - a energia total do material no tanque - o momento O momento permanece constante mesmo com as perturbaes e no ser considerado. As variveis de estado, logo, so: - massa total no tanque= Ah V p = p onde p a densidade do lquido, V o volume de lquido, A a rea tranversal do tanque e

h a altura do nvel de lquido. - energia total do lquido no tanque=E=U+K+P Se a velocidade de escoamento da entrada e sada no forem muito altas, o termo de energia cintica desprezvel:dK/dt. Se a diferena de altura entre a entrada e sada no for alta a energia potencial tambm desprezvel:dP/dt=0. Assim, dE/dt=dU/dt. 16 As equaes de balano so dadas por: - balano de massa total: F Fdt) Ah ( di p p =p onde Fi e F so as vazes volumtricas de entrada e sada. Considerando-se que p no varia com a temperatura F FdtdhAi = (2.24) - balano de energia total Q h F h Fdt) VU ( di i + p p =p Mas a entalpia definida como V P U H + = Para lquidos o termo V P desprezvel e dtdHdtdU~ Alm disso ) T T ( Cp Href = onde Cp a capacidade calorfica do lquido no tanque e Tref a temperatura de referncia onde a entalpia especfica do lquido assumida igual a zero. A equao se transforma em: Q ) T T ( FCp ) T T ( Cp Fdt)] T T ( AhCp [ dref ref i iref+ p p = p

onde Q a quantidade de calor fornecida pelo vapor por unidade de tempo. Simplificando (assume-se que Tref=0): CpQFT T Fdt) hT ( dAi ip+ = Mas, dtdhATdtdTAhdt) hT ( dA + = . Substituindo ento a equao 2.24 e simplificando chega-se a CpQ) T T ( FdtdTAhi ip+ = (2.25) As variveis nas equaes 2.4 e 2.5 podem ser classificadas como segue: - variveis de estado: h, T - variveis de sada: h, T (medidas) - variveis de entrada: - perturbaes: Ti, Fi - variveis manipuladas: Q,F (para controle feedback) Fi (para controle feedforward) Elementos adicionais dos modelos matemticos 17 Alm das equaes de balano, precisamos de outras relaes para expressar equilbrio termodinmico, taxas de reao, taxas de transporte para calor, massa, momento, etc. Estas relaes adicionais podem ser classificadas como: - Equaes de taxas de transporte So necessrias para descrever taxas de transferncia de massa, energia e momento. So estudadas em cursos de fenmenos de transporte. Por exemplo, o calor fornecido pelo vapor no exemplo anterior dado pela seguinte equao de transferncia de calor: ) T T ( UA Q

V t = onde U=coeficiente global de tranferncia de calor At=rea total de transferncia de calor TV=temperatura do vapor - Equaes de taxas cinticas So necessrias para descrever as taxas de reao qumica que ocorrem no sistema. So estudadas nos cursos de cintica. Por exemplo, a taxa de uma reao de primeira ordem ocorrendo num CSTR dada por: ARTE0C e k r= onde k0=constante cintica E=energia de ativao da reao R=constante dos gases ideais T,CA=Temperatura e concentrao de A no lquido reacional. - Relaes de equilbrio de fase e reao So necessrias para descrever as situaes de equilbrio alcanadas durante uma reao qumica por duas ou mais fases. So estudadas em cursos de termodinmica. - Equaes de estado So necessrias para descrever relaes entre as variveis que descrevem o estado termodinmico de um sistema. A equao dos gases ideais e a equao de van der Walls so dois exemplos de equao de estado para sistemas gasosos. Tempo morto Nos exemplos anteriores assumimos que sempre que uma mudana ocorre numa das variveis de entrada, seu efeito instantaneamente observado nas variveis de sada. Na verdade, normalmente quando uma varivel de entrada sofre uma mudana existe um 18 intervalo de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito observado nas sadas do sistema. Este intervalo chamado de tempo morto. Exemplo 2.3- Considere o escoamento de um lquido incompressvel atravs de um tubo (Figura 2.1a). Se o tubo termicamente isolado e o calor gerado pela frico do fluido escoando desprezvel, fcil concluir que no estado estacionrio a temperatura de sada do tubo (Tout) igual de entrada (T

in). Se no tempo t=0 a temperatura de entrada muda como mostrado pela curva A mostrada na Figura 2.1b claro que a temperatura na sada (Tout) vai permanecer a mesma at que a mudana chegue ao final do tubo. Ento vamos observar a temperatura de sada mudando, como mostrado na curva B na Figura 2.1b. Notamos que a mudana na temperatura de sada segue a mesma forma da mudana na entrada com um atraso de td segundos. td o tempo morto e a partir de consideraes fsicas fcil ver que: av avULAUALa volumtric vazotubo do volumetd = = = onde Uav a velocidade mdia do fluido atravs da rea transversal do tubo, assumida constante. Podemos relacionar Tin e Tout como: ) td t ( T ) t ( Tin out = Figura 2.2 Exemplos adicionais Exemplo 2.4: Modelo matemtico de um CSTR 19 Considere o CSRT do exemplo 1.2 (Figura 1.4), onde uma reao simples exotrmica A B acontece no reator, que resfriado por um fluido refrigerante que escoa atravs de uma jaqueta em torno do reator. As quantidades fundamentais do reator so: - massa total de mistura reativa no reator - massa do componente A na mistura reativa - energia total da mistura reagente no tanque A massa do componente B pode ser calculada a partir dos balanos do componente A e global. Logo, este balano no independente. (massa total = massa A + massa B). A massa se conserva, mas no o nmero de moles dos componentes. Os balanos so: - balano global: F Fdt) V ( di i p p =p considerando p=cte, temos: F F

dtdVi = - balano para o componente A: rV F C F Cdt) V C ( ddtdnA i AiA A = = Substituindo a equao de balano global (dV/dt) e simplificando: ARTE0 A Aii AC e k ) C C (VFdtdC = - balano de energia: Q rV ) Hr ( ) T T ( Fcp ) T T ( cp Fdt)] T T ( Vcp [ ddtdHref ref i iref A + p p = p= onde AHr o calor de reao, que por conveno negativo para reao exotrmica e Q o calor retirado pela jaqueta. Simplificando chega-se a: CpVQCpr ) Hr () T T (VFdtdTiippA + = Exemplo 2.5- Considere o CSTR com duas fases mostrado na Figura 2.3. Correntes de lquido (F)e vapor (Fv) so retiradas do tanque. A presso no tanque P. Os volumes de

lquido e vapor so V e Vv. A densidade e temperatura da fase vapor so pv e Tv. A frao molar de A no vapor y. 20 Figura 2.3 Se as fases esto em equilbrio trmico, as temperaturas do vapor e lquido so iguais (T=Tv). Se existe equilbrio de fases, as composies do lquido e do vapor esto relacionadas pela lei de Raoult, por uma relao de volatilidade relativa ou alguma outra relao de equilbrio lquido-vapor. A entalpia da fase vapor (H) uma funo da composio y, da temperatura Tv e da presso. Desprezando os termos de energia cintica, potencial e trabalho e substituindo as energias internas por entalpias, a equao de balano global de energia se transforma em: Vr ) Hr ( Q vH Fv h F h Fdt) h V H vV ( d0 0 0L vA + p p p =p + p Pode-se substituir a entalpia do lquido por h=CpT e a do vapor por H=CpT+v, onde v o calor de vaporizao da mistura. A equao se transforma em: Vr ) Hr ( Q ) v CpT ( v Fv CpT F CpT Fdt) CpT V ) v CpT ( vV ( d0 0 0L vA + + p p p =p + + p b)Modelos de diferenas finitas Modelos com equaes de diferenas finitas correspondem discretizao de modelos de equaes diferenciais e so normalmente usados em sistemas de controle digital. Exemplo 2.6: discretizao de um modelo de 1a ordem. Considere o processo dydtf x y = ( , ) (2.26) Discretizando, temos dydty ytn n~ 1A (2.27) ou dy

dty ytn n~ +1A (2.28) Usando a eq. (2.27) temos a equao de diferenas finitas y y t f y xn n n n= + 1 1 1A . ( , ) (2.29) 21 Exemplo 2.7: discretizao de um modelo de 2a ordem. d ydtadydta y x221 0+ + = (2.30) d ydtddtdydtddty ytty y yn nn n n22121 212 = |\

|.| ~ |\

|.| = + A A( ) (2.31) 1 2 121210 122 1A A A A A tatytata yty xn n n n+|\

|.| = + |\

|.| + (2.32) Logo, y a y a y b xn n n n= + + 1 1 2 2 1 1' ' ' (2.33) Estes modelos podem ser no lineares ou lineares, dependendo se resultam da discretizao de equaes diferenciais no lineares ou linearizadas. c) Modelos de entrada-sada Todo processo qumico e as suas variveis associadas podem ser descritos pela Figu

ra 2.4. Um modelo matemtico conveniente para um projetista de sistemas de controle deve estar de acordo com esta figura, ou seja, deve ser tal que, dados os valores das entradas, ele calcula diretamente os valores das sadas. Em particular, o modelo deve ter a seguinte forma geral para cada sada sada = f(variveis de entrada) Figura 2.4 ou seja, usando-se a Figura 2.4: y f m m m d d di k L= ( , ,..., ; , ... )1 2 1 2 para i=1,2,,m. (2.34) Estes modelos que descrevem diretamente a relao entre as variveis de entrada e sada de um processo so chamados de modelos de entrada-sada. Existem diversos tipos de modelo de entrada-sada, entre eles os modelos de resposta ao degrau, os modelos de convoluo, os modelos de funes de transferncia e at mesmo as redes neuronais. c.1)Modelos de funo de transferncia c.1.1) Transformada de Laplace 22 Os modelos de funo de transferncia usam transformadas de Laplace. Estas transformadas so muito usadas em controle de processos, j que permitem o desenvolvimento de representaes dinmicas bastante simples de processos qumicos. Elas transformam equaes diferenciais lineares ou linearizadas em equaes algbricas, com as quais muito mais fcil trabalhar, e permitem uma anlise rpida da dinmica do processo. Alm disso, elas fornecem uma relao direta entre as entradas e sadas do processo. A transformada de Laplace de uma funo f(t) definida da seguinte forma: dt f(t)e f(s) [f(t)]0st -= L (2.35) Nota-se que a transformada de Laplace a transformao de uma funo do domnio do tempo (onde t a varivel independente) para o domnio s (onde s a varivel independente). s uma varivel definida no plano complexo (s=a+jb). A transformada de Laplace uma operao linear: )] t ( f [ a )] t ( f [ a )] t ( f a ) t ( f a [2 2 1 1 2 2 1 1L L L + = + (2.36) onde a1 e a2

so parmetros constantes. Propriedades adicionais das transformadas de Laplace: Teorema do valor final: 0 s t)] s ( sf lim[ ) t ( f lim = (2.37) Teorema do valor inicial: =s 0 t)] s ( sf lim[ ) t ( f lim (2.38) c.1.2) Funes de transferncia dos modelos entrada-sada Considere um sistema simples com uma entrada e uma sada (SISO-Single input Single Output), como descrito na Figura 2.5a. O seu comportamento dinmico descrito por uma equao diferencial linear ou linearizada de ordem n. Figura 2.5 ad ydtad ydtadydta y bf tnnnnnn+ + + + = 1111 0..... ( ) (2.39) 23 onde f(t) e y(t) so as variveis de entrada e sada do processo, respectivamente. As duas so descritas como variveis desvio. Considere que o sistema inicialmente est no estado estacionrio. Logo ydydtd ydtd ydt

ttnnt( ) ........ 0 00220110=

=

= =

== == (2.40) Sabemos que a transformada de Laplace da derivada dada por ) 0 ( y ) 0 ( sy ....... ) 0 ( y s ) 0 ( y s ) s ( y sdt) t ( y d1 n 2 n ' 2 n 1 n nnn =

L (2.41) Logo, pode-se calcular a transformada de Laplace da eq. (2.39) a s y s a s y s a sy s a y s bf snnnn( ) ( ) ...... ( ) ( ) ( ) + + + + = 111 0 (2.42) Pode-se escrever a funo de transferncia, G(s), que relaciona a entrada diretamente com a sada numa forma algbrica simples G sy sf sba s a s a s annnn( )( )( ).......= =+ + + + 111 0 (2.43) A figura 2.5b descreve esta relao entrada-sada e chamada de diagrama de blocos do sistema. Se o processo tem duas entradas, como mostrado na figura 2.6a, o modelo dinmico ad ydtad ydtadydta y b f t b f tnnnnnn

+ + + + = + 1111 0 1 1 2 2..... ( ) ( ) (2.44) Com as mesmas condies iniciais (eq. (2.38)), temos y sba s a s a s af sba s a s a s af snnnnnnnn( )......( )......( ) =+ + + + ++ + + + 1111 012111 02 (2.45) Ou equivalentemente y s G s f s G s f s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +1 1 2 2 (2.46) onde G1(s) e G2(s) so duas funes de transferncia que relacionam a sada do processo a cada uma das entradas. Estas relaes esto mostradas no diagrama de blocos da figura 2.6b. Um procedimento semelhante pode ser aplicado a qualquer sistema com um

a sada e vrias entradas, como mostrado na figura 2.7. 24 Figura 2.6 Figura 2.7 Resumindo, pode-se definir a funo de transferncia entre uma entrada e uma sada da seguinte forma G s ( ) =transformada de Laplace da saida, em variaveis desviotransformada de Laplace da entrada, em variaveis desvio (2.47) 25 26 27 c.1.3) Inverso de transformadas de Laplace (Expanso por fraes parciais ou expanso de Heaviside) O ponto crtico para se achar a soluo de uma equao diferencial usando transformadas de Laplace a inverso destas transformadas para voltar ao domnio do tempo. Vamos ento estudar o mtodo das fraes parciais para inverso destas transformadas. Considere que a transformada de Laplace de uma funo desconhecida x (t) dada por: ) s ( P) s ( Q) s ( x = - Caso 1- P(s) com razes reais e distintas Considere a seguinte funo de transferncia: ) s ( P) s ( Q2 s s 2 s6 s s) s ( x2 32=+ = 28 P(s) de 3 ordem e tem trs razes: p1=1, p2=-1 e p3=2 Ento P(s) pode ser escrito como ) 2 s )( 1 s )( 1 s ( ) s ( P + = Ento a equao de x(s) pode ser expandida em fraes parciais como ) 2 s (C) 1 s (

C) 1 s (C) 2 s )( 1 s )( 1 s (6 s s) s ( x3 2 12+++= + = (2.48) A inversa desta funo de transferncia igual a:

+

++

=) 2 s (C) 1 s (C) 1 s (C) t ( x31 -21 -1 -1L L L Usando a Tabela 2.1, temos: t 23t2

t1e C e C e C ) t ( x + + = (2.49) Para calcular C1 deve-se multiplicar os dois lados da equao acima por (s-1): ) 2 s () 1 s ( C) 1 s () 1 s ( CC) 2 s )( 1 s () 6 s s () s ( x3 212+++ = + = Se assumirmos (s-1)=0 ou s=1, temos: 3) 2 s )( 1 s () 6 s s (C1 s21 =

+ == Para calcular C2 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s+1): ) 2 s () 1 s ( CC) 1 s () 1 s ( C) 2 s )( 1 s (6 s s

) s ( x3212++ ++= = Assumimos s+1=0 ou s=-1, logo: 3 / 2) 2 s )( 1 s (6 s sC1 s22 =

= = Para calcular C3 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s-2): 32 12C) 1 s () 2 s ( C) 1 s () 2 s ( C) 1 s )( 1 s (6 s s) s ( x +++=+ = Assumimos s-2=0, ou seja, s=2. Logo

3 / 4) 1 s )( 1 s (6 s sC2 s23 =

+ == Da eq. (2.49) temos a resposta: t 2 t te 3 / 4 e 3 / 2 e 3 ) t ( x = - Caso 2- P(s) com razes complexas e distintas Considere a transformada: 29 5 s 2 s1 s) s ( x2+ += P(s) tem duas razes distintas e complexas conjugadas: p1=1+2j e p2=1-2j Ento )] j 2 1 ( s )][ j 2 1 ( s [ 5 s 2 s ) s ( P2 + = + = Expandindo em fraes parciais: ) j 2 1 ( sC) j 2 1 ( sC)] j 2 1 ( s )][ j 2 1 ( s [1 s5 s 2 s1 s) s ( x2 12 ++ = + +

=+ += Usando a Tabela 2.1: t ) j 2 1 (2t ) j 2 1 (1e C e C ) t ( x + + = Para calcular C1, multiplica-se ambos os lados da equao acima por [s-(1+2j)] ) j 2 1 ( s)] j 2 1 ( s [ CC)] j 2 1 ( s [1 s21 + + = + Fazendo [s-(1+2j)]=0, ou seja s=1+2j, calcula-se 2j 1C1= Fazendo [s-(1-2j)]=0, ou seja s=1-2j, calcula-se 2j 1C2+= Note que os coeficientes C1 e C2 so complexos conjugados. Substituindo a resposta : t ) j 2 1 ( t ) j 2 1 (e2j 1e2j 1) t ( x + ++

= ou jt 2 jt 2te ) j 1 ( e ) j 1 [(2e) t ( x + + = Relembrando a identidade de Euler: a sen j a cos eja+ = Ento t 2 sen j t 2 cos ejt 2+ = e t 2 sen j t 2 cos ) t 2 sen( j ) t 2 cos( ejt 2 = + = Ento ) t 2 sen t 2 (cos e)] t 2 sen j t 2 )(cos j 1 ( ) t 2 sen j t 2 )(cos j 1 [(2ee ) j 1 ( e ) j 1 [(2e) t ( xttjt 2 jt 2t+= + + + = + + = 30 Relembrando a identidade trigonomtrica: ) b sen( 3 a b sen 2 a b cos 1 a o + = + onde 2 22 a 1 a 3 a + = e |.|

\|= o 2 a1 atan1 Ento a resposta

) t 2 sen( 2 e ) t ( xto + = onde o=tan-1(1/1)=45 Ento, sempre que um polinmio P(s) tiver razes complexas : -elas sempre sero pares complexos conjugados -os coeficientes dos termos correspondentes na expanso em fraes parciais tambm sero complexos conjugados um do outro. -daro origem a um termo peridico (ex. onda senoidal). - Caso 3- P(s) com razes mltiplas Considere a transformada de Laplace: ) 2 s ( ) 1 s (1) s ( x3+ += Este polinmio tem 3 razes iguais e uma diferente: p1=p2=p3=-1 e p4=-2 Expandindo em fraes parciais: 2 sC) 1 s (C) 1 s (C1 sC) 2 s ( ) 1 s (1) s ( x43322 13+++++++=+ += (2.50) Pelas tabelas 2.1 e 2.2 temos que: t 24t 2 3 t2t1e C e t2C

te C e C ) t ( x + + + = Clculo de C4: este coeficiente o correspondente raiz distinta e pode ser calculado pelo procedimento j descrito, ou seja, multiplica-se ambos os lados da eq.(2.50) por (s+2) e faa s=-2. C4=-1. Clculo de C3: multiplique ambos os lados da eq. (2.50) por (s+1)3: 2 s) 1 s ( CC ) 1 s ( C ) 1 s ( C) 2 s (1343 221+++ + + + + =+ (2.51) Faa s=-1 e obtenha C3=1. Clculo de C2: o procedimento descrito acima no funciona. Se multiplicarmos ambos os lados da equao por (s+1)2 temos: 31 2 s) 1 s ( C) 1 s (CC ) 1 s ( C) 2 s )( 1 s (124 32 1+++++ + + =+ +

Fazendo s=-1, tanto o lado esquerdo quanto o termo envolvendo C3 tendem a infinito. O mesmo problema acontece se tentarmos calcular C1. Ento, um procedimento alternativo deve ser usado. Diferencie ambos os lados da eq. (2.51) com relao a s e obtenha: 224 2 12) 2 s () 5 s 2 ( ) 1 s (C C ) 1 s ( C 2) 2 s (1+ + ++ + + =+ (2.52) Faa s=-1 e obtenha C2=-1. Clculo de C1: para obter C1 diferencie a eq. (2.52) uma vez mais e obtenha: 324 13) 2 s (7 s 5 s) 1 s ( 2 C C 2) 2 s (2+ + ++ + =+ Faa s=-1 e obtenha C1=1. c.1.4) Plos e zeros de uma funo de transferncia De acordo com a definio de funo de transferncia, temos: ) s ( f) s ( y) s ( G = (2.53) Em geral, a funo de transferncia G(s) ser a razo de dois polinmios: ) s ( P) s ( Q) s ( G = (2.54) Para sistemas fisicamente realizveis, o polinmio Q(s) ser sempre de ordem menor do que o P(s). As razes do polinmio Q(s) so chamadas de zeros da funo de transferncia

ou zeros do sistema cuja dinmica descrita pela funo de transferncia G(s). Quando a varivel s assume os valores dos zeros de Q(s), a funo de transferncia igual a zero. As razes do polinmio P(s) so chamadas de plos da funo de transferncia, ou equivalentemente de plos do sistema. Nos plos de um sistema a funo de transferncia tende ao infinito. Se sabemos onde os plos de um sistema esto localizados, podemos determinar as caractersticas qualitativas da resposta do sistema a uma entrada em particular sem clculos adicionais. Por exemplo, considere que a funo de transferncia de um sistema dada por: ) 5 p s *)( 4 p s )( 4 p s ( ) 3 p s )( 2 p s )( 1 p s () s ( Q) s ( Gm = 32 onde p1, p2, p3, p4, p4* e p5 so as razes de P(s), ou seja, os plos do sistema. As seguintes observaes podem ser feitas sobre a localizao dos plos: 1- Plos distintos e reais, tais como p1 e p2 na Figura 2.8, esto localizados no eixo real. Durante a inverso da transformada de Laplace, do origem a termos exponenciais tais como C1e p1t e C2e p2t. Como p10, C2e p2t aumenta exponencialmente conforme t (Figura 2.9b). Ento, plos distintos no eixo real negativo produzem termos que caem para zero com o tempo, enquanto plos positivos reais fazem com que a resposta tenda a infinito com o tempo. 2-Mltiplos plos reais, tais como p3, que so repetidos m vezes, levam a termos como: t 3 p 1 m m 3 2 33 3231e t)! 1 m (C... t! 2

Ct! 1CC

+ + + + O termo entre colchetes tende infinito com o tempo. O comportamento do termo exponencial depende do valor do plo p3: Se p3>0 ento ep3t quando t. Se p30, ento e at quando t, e e at sen(bt+o) tende para infinito de forma oscilatria (Figura 2.10a). Se a

=1 para todo t, e e at sen(bt+o)=sen(bt+o), que oscila continuamente com amplitude constante (Figura 2.10c). Figura 2.10 Ento, um par de complexos conjugados como plos levam a comportamento oscilatrio, cuja amplitude pode crescer continuamente se a parte real do plo complexo for positiva, decrescer para zero se a parte real do complexo for negativa ou permanecer constante se a parte real for zero. 34 Observaes 1-O comportamento descrito acima geral e descreve qualquer sistema. Assim, pode-se encontrar as caractersticas qualitativas da resposta do sistema se sabemos onde os plos da sua funo de transferncia esto localizados. Para uma entrada particular f(t) devemos considerar as razes adicionais introduzidas pelo denominador de f(s) antes de ter o quadro completo da resposta do sistema. 2-Plos direita do eixo imaginrio levam a termos que crescem para o infinito com o tempo. Tais sistemas com comportamento no limitado so chamados de instveis. Assim, um sistema ser estvel (ou seja, com resposta dentro de limites) se todos os plos esto situados esquerda do eixo imaginrio (Figura 2.8). 35 3-Comportamento Dinmico 3-1-Sistemas de primeira ordem

Um sistema de primeira ordem aquele cuja sada y(t) modelada por uma equao diferencial de primeira ordem. Ento no caso de um sistema linear ou linearizado, temos: ) t ( bf y adtdya0 1 = + (3.1) onde f(t) a entrada do sistema. Se a0=0, ento a equao acima pode ser escrita como: ) t ( fabydtdyaa0 01= + Definimos p01aat = e p0Kab= Logo a equao se transforma em ) t ( f K ydtdyp p = + t (3.2) tp conhecida como a constante de tempo do sistema e Kp chamado de ganho esttico ou ganho estacionrio do processo. Se y(t) e f(t) esto em termos de variveis desvio em torno do estado estacionrio inicial, as condies iniciais so: y(0)=0 e f(0)=0 Logo, a funo de transferncia de um processo de primeira ordem : 1 sK) s ( f) s ( y) s ( Gp

p+ t= = (3.3) Um processo de primeira ordem com a funo de transferncia acima tambm conhecido como atraso de primeira ordem (first-order lag) ou atraso linear (linear lag). Se a0=0, ento da eq. (3.1) temos: ) t ( f K ) t ( fabdtdy'p1= = que leva a uma funo de transferncia: sK) s ( f) s ( y) s ( G'p= = (3.4) Neste caso o processo chamado de puramente capacitivo ou integrador puro. 36 Resposta dinmica de um processo de primeira ordem Imagine um processo com funo de transferncia dada pela eq.(3.3). Vamos examinar como ele responde a um degrau unitrio em f(t). Como f(s)=1/s, da eq. (3.3) temos: 1 sKsK) 1 s ( sK) s ( ypp p ppp+ t t =+ t= Invertendo esta equao temos: ) e 1 ( K ) t ( yp/ tpt = 3.2-Sistemas de segunda ordem Um sistema de segunda ordem descrito por equaes diferenciais de segunda ordem.

Por exemplo, a seguinte equao descreve um sistema linear de segunda ordem: ) t ( bf y adtdyadty da0 1222 = + + (3.5) Se a0=0, ento: ) t ( f K ydtdy2dty dp222= + ct + t (3.6) onde t2=a2/a0, 2ct=a1/a0 e Kp=b/a0. A equao (3.6) est na forma padro de um sistema de segunda ordem, onde t=perodo natural de oscilao do sistema c=fator de amortecimento Kp=ganho de estado estacionrio, ganho esttico ou simplesmente ganho do sistema. Se a eq. (3.6) est escrita em termos de variveis desvio, as condies iniciais so iguais a zero e a sua transformada de Laplace leva seguinte funo de transferncia: 1 s 2 sK) s ( f) s ( y) s ( G2 2p+ ct + t= = (3.7)

Resposta dinmica de um processo de segunda ordem Vamos examinar como um sistema descrito pela funo de transferncia dada pela eq. 3.7 responde a um degrau unitrio na entrada. Para um degrau unitrio a eq. 3.7 fica: ) 1 s 2 s ( sK) s ( y2 2p+ ct + t= (3.8) Os dois plos da funo de transferncia so dadas pelas duas razes do polinmio caracterstico 0 1 s 2 s2 2= + ct + t 37 e so t c+tc =11 p2 e t ctc =12 p2 Logo, a eq. 3.8 se transforma em: ) 2 p s )( 1 p s ( s/ K) s ( y2p t= (3.9) e a forma da resposta y(t) vai depender da localizao dos dois plos, p1 e p2, no plano complexo. Pode-se distinguir trs casos distintos: Caso A: quando c > 1, temos dois plos distintos e reais Caso B: quando c = 1, temos dois plos iguais (plos mltiplos) Caso C: quando c < 1, temos dois plos complexos conjugados Caso A: Sistema super amortecido (c > 1) Neste caso a inverso da eq. 3.9 por expenso por fraes parciais leva a:

|||.|

\||.|

\|t c cc+ |.|

\|t c = t c t1 senh1t1 cosh e 1 K ) t ( y222 / tp (3.10) onde cosh(.) e senh(.) so as funes trigonomtricas definidas por: 2e esenho o = o e 2e ecosho o += o A resposta est mostrada na Figura 3.1 para vrios valores de c > 1. Ela conhecida como resposta super amortecida e lembra a resposta de um sistema de

1 ordem a uma perturbao degrau. No entanto, quando comparada a uma resposta de 1 ordem notamos que o sistema inicialmente demora a responder e ento a sua resposta bem lenta. Ela se torna mais lenta conforme c aumenta. Finalmente, notamos que quando o tempo passa, a resposta se aproxima do seu valor final assintoticamente. Como no caso do sistema de 1 ordem o ganho dado por: ) entrada da io estacionr estado () sada da io estacionr estado (KpAA= Caso B: Sistema criticamente amortecido (c = 1). Neste caso, a inverso da eq. 3.9 resulta em:

|.|

\|t+ = t / tpet1 1 K ) t ( y (3.11) 38 A resposta tambm est mostrada na Figura 3.1. Notamos que um sistema de segunda ordem com amortecimento crtico se aproxima do seu valor final mas rpido do que um sistema super amortecido. Figura 3.1 Caso C: Resposta sub amortecida (c < 1) A inverso da eq. 3.9 neste caso leva a:

o +c = t

c) wt sen( e111 K ) t ( yt2p (3.12) onde tc =21w (3.13) e

tc = o 211tan (3.14) A reposta est mostrada na Figura 3.1 para vrios valores do fator de amortecimento. Pode-se observar o seguinte: 1-A resposta sub amortecida inicialmente mais rpida do que a criticamente amortecida ou super amortecida, que caracterizada como lenta. 39 2-Embora a resposta sub amortecida seja inicialmente mais rpida e atinja o seu valor final rapidamente, no permanece l, mas comea a oscilar com amplitude progressivamente decrescente. Este comportamento oscilatrio faz a resposta sub amortecida completamente diferente das outras. 3-O comportamento oscilatrio se torna mais pronunciado com valores menores do fator de amortecimento (c). Deve ser enfatizado que quase todas as respostas sub amortecidas numa planta qumica so causadas pela interao de controladores com as unidades de processo que eles controlam. Assim, este um tipo de resposta que vamos encontrar com bastante frequncia e importante nos familiarizarmos com as suas caractersticas.

Figura 3.2-Caractersticas de uma resposta sub amortecida. Vamos usar como referncia a resposta sub amortecida mostrada na Figura 3.2, de forma a definir os termos empregados para descrever uma resposta sub amortecida. 1-Sobre elevao ou Overshoot: a razo A/B, onde B o valor final da resposta e A o valor mximo em que a resposta excede o seu valor mximo. O overshoot uma funo de c, e pode-se demonstrar que ele pode ser calculado por: |||.|

\|c tc =21exp overshoot A Figura 3.3 mostra o overshoot contra c dado pela eq. acima. Notamos que o overshoot aumenta conforme c diminui e que conforme c se aproxima de 1 o overshoot se aproxima de zero (resposta criticamente amortecida). 2- Razo de declnio: a razo C/A, ou seja, a razo entre o valor acima da resposta final atingida por dois picos sucessivos. Ela descrita por: 40 22) (12exp declnio de razo overshoot =|||.|

\|c tc = Esta equao tambm foi traada na Figura 3.3. Figura 3.3- efeito do fator de amortecimento no overshoot e razo de declnio. 3-Perodo de oscilao: da eq. 3.13 temos a frequncia das oscilaes (rad/tempo) de um sistema sub amortecido. O perodo de oscilao T (ou seja, o tempo passado entre dois

picos sucessivos), calculado pela relao f 2 w t = e f=1/T, onde f a frequncia cclica. Ento: 212Tc tt= 4- Perodo natural de oscilao: um sistema de segunda ordem com c=0 um sistema sem amortecimento. Sua funo de transferncia : )1j s )(1j s (/ K1 sK) s ( G2p2pt+tt=+ t= ou seja, tem dois plos imaginrios puros e vai oscilar continuamente com amplitude constante e frequncia natural igual a: t=1wn O perodo cclico correspondente Tn dado por: tt = 2 Tn 5- Tempo de resposta: a resposta de um sistema sub amortecido atingir o seu valor final de forma oscilatria quando t. Para questes prticas considera-se que a resposta atingiu o valor final quando est dentro da faixa de 5% do valor final e permanece ai. O tempo 41 necessrio para a resposta chegar neste ponto conhecida como tempo de resposta e tambm est mostrado na Figura 3.2.

6-Tempo de ascenso: este termo usado para caracterizar a velocidade com a qual o sistema responde. definido como o tempo necessrio para a resposta atingir o seu valor final pela primeira vez (ver Figura 3.2). Pela Figura 3.1b pode-se ver que quanto menor o valor de c, menor o tempo de ascenso, ou seja, mais rpida a resposta do sistema, mas ao mesmo tempo maior o valor do overshoot. 42 4-Sistemas de Controle Feedback (Controle por Realimentao de Estados) 4.1-Introduo Considere o processo genrico mostrado na Figura 4.1a. Ele tem uma sada y, uma perturbao potencial d e uma varivel manipulada m. (a) (b) Figura 4.1- (a) Processo; (b) Malha de controle correspondente. Existem duas situaes nas quais um sistema de controle pode ser requerido. Na primeira, a perturbao d, tambm chamada de carga, muda de maneira imprevisvel e o objetivo do controle manter a sada y num valor desejado. Este o chamado problema de controle regulatrio. Na segunda, feita uma mudana no valor do estado estacionrio desejado (set point) e o objetivo do controle levar a sada y ao novo estado estacionrio. Este o chamado problema de controle servo. Em ambos os casos a ao de controle

feedback a seguinte: - mede-se o valor da sada y usando um equipamento de medida adequado - compara-se o valor medido da sada ym ao valor de set point (ysp). O erro calculado por c=ysp-ym. 43 - o valor do erro alimentado ao controlador. Este muda o valor da varivel manipulada m de forma a reduzir o erro. O controlador geralmente no afeta a varivel manipulada m diretamente, mas atravs de um elemento final de controle. A figura 4.1b mostra estes trs passos. O sistema na figura 4.1a dito estar em malha aberta, em contraste com o sistema controlado da figura 4.1b, que dito estar em malha fechada. Vantagens do controle feedback: - o sistema de controle no requer nenhum conhecimento da fonte ou natureza da perturbao. - para fazer um sistema feedback funcionar s necessrio saber se a varivel manipulada faz a varivel controlada aumentar ou diminuir. Desvantagens: A principal desvantagem do controle feedback que a perturbao atinge o processo e somente depois que a sada controlada se afasta do set point que o sistema de controle toma alguma ao. Embora a maioria dos processos permitam alguma flutuao da varivel controlada dentro de uma certa faixa, existem duas condies que fazem com que o controle feedback no funcione bem. Uma delas a ocorrncia de perturbaes de grande magnitude que sejam fortes o suficiente para afetar seriamente ou mesmo danificar o processo. O outro caso o de processos com grandes atrasos (lag). Os componentes de uma malha de controle feedback so - processo: equipamentos fsicos do processo (tanques, trocadores de calor, reatores etc) - instrumentos de medida ou sensores: tais instrumentos so usados para medir a varivel de sada e so as principais fontes de informao sobre o que acontece com o processo. Exemplos caractersticos so -termopares ou termmetros de resistncia para medir a temperatura -tubos de venturi para medir vazes -cromatgrafos gasosos para medir a composio de uma corrente Um termmetro de mercrio no um instrumento de medida apropriado para ser usado num sistema de controle j que a sua medida no pode ser prontamente transmitida. Por

outro lado, um termopar aceitvel, porque gera uma voltagem eltrica que pode ser prontamente transmitida. Logo, a transmisso um fator crucial na seleo de equipamentos de medida. 44 - transdutores: muitas medidas no podem ser usadas para controle at que tenham sido convertidas em quantidades fsicas (tais como voltagem eltrica ou corrente, ou um sinal pneumtico, isto , lquido ou ar comprimido) que possam ser transmitidas facilmente. Os transdutores so usados com o propsito de fazer esta converso. Por exemplo, existem condutores metlicos cuja resistncia eltrica muda quando eles so sujeitos a presso mecnica. Logo, podem ser usados para converter um sinal de presso para um eltrico. - linhas de transmisso: usadas para carregar o sinal medido do sensor ao controlador e do controlador ao elemento final de controle. Estas linhas podem ser pneumticas (ar comprimido) ou eltricas. Muitas vezes o sinal vindo de um equipamento de medida muito fraco e no pode ser transmitido por uma distncia longa. Nestes casos, as linhas de transmisso so equipadas com amplificadores que elevam o nvel do sinal. Por exemplo, a sada de um termopar da ordem de milivolts. Antes de ser transmitida ao controlador, ela amplificada ao nvel de volts. - controlador: tambm inclui a funo do comparador. esta a unidade com lgica que decide quanto mudar o valor da varivel manipulada. Requer a especificao do valor desejado (set point). - elemento final de controle: o equipamento que recebe o sinal de controle e o implementa fisicamente ajustando o valor da varivel manipulada. A vlvula de controle o elemento final de controle mais usado, mas no o nico. Outros elementos finais de controle usados em processos qumicos so: -interruptores de revezamento, para controle on-off -bombas de velocidade varivel -compressores de velocidade varivel Cada um destes elementos deve ser visto como um sistema fsico com uma entrada e uma sada. Consequentemente, o seu comportamento pode ser descrito, por exemplo, por uma equao diferencial ou uma funo de transferncia. 4.2- Controladores feedback Entre o equipamento de medida e o elemento final de controle est o controlador. A sua funo receber o sinal da sada medida ym(t) e, aps compar-lo com o set point ysp,

produzir um sinal c(t) de forma a retornar a sada para o valor desejado ysp. Logo, a entrada para o controlador o erro c(t)=ysp-ym(t), enquanto a sada c(t). Os vrios tipos de controladores diferem na forma em que relacionam c(t) e c(t). H trs tipos bsicos de controladores feedback: 45 - proporcional - proporcional-integral - proporcional-integral-derivativo 4.2.1- Controlador proporcional (P) Seu sinal de sada proporcional ao erro c t K t cc s( ) ( ) = + c (4.1) onde Kc o ganho proporcional do controlador e cs o sinal de bias do controlador, ou seja, o seu sinal de sada quando c=0. Um controlador proporcional descrito pelo valor do seu ganho proporcional Kc ou pela sua banda proporcional (BP=100/Kc). Quanto maior o ganho Kc ou, equivalentemente, quanto menor a sua banda proporcional, maior a sensibilidade do sinal de atuao c(t) a desvios no erro c(t). Num controle feedback proporcional pode-se - ajustar o ganho do controlador para faz-lo to sensvel quanto desejado ao erro - ajustar o sinal de Kc de forma que a sada do controlador aumente ou diminua quando o desvio aumenta Exemplo: considere que queremos controlar a temperatura (T) no tanque aquecedor da Figura 1.2. A varivel manipulada taxa de calor introduzida pela passagem de vapor na serpentina (Q). Sabemos que - se T aumenta, Q deve baixar - se T diminui, Q deve aumentar Suponha que Tsp=40 C. -Situao 1: A temperatura aumenta: Tm=60C. Logo, c(t)=Kc

(40-60)+cs=-20Kc+cs. Assim, se Kc > 0, a sada do controlador diminui e se Kc < 0, a sada do controlador aumenta. Queremos baixar Q e logo o sinal de Kc deve ser positivo. -Situao 2: A temperatura diminui: Tm=20 C. Logo, (t)=Kc(40-20)+cs=20Kc+cs. Assim, se Kc > 0, a sada do controlador aumenta e se Kc < 0, a sada do controlador diminui. Queremos aumentar Q e logo o sinal de Kc deve ser, novamente, positivo. O bias tambm pode ser ajustado. Como a sada do controlador igual a cs quando o erro zero, cs deve ser ajustado de forma que a sada do controlador e, consequentemente, a varivel manipulada, estejam nos seus valores de estado estacionrio. 46 O controlador proporcional ideal descrito pela eq. (4.1) e mostrado na Figura 4.2a no inclui limitaes fsicas na sada do controlador. Uma representao mais real mostrada na Figura 4.2b. Diz-se que o controlador fica saturado quando a sua sada chega a um limite, cmin ou cmax. Figura 4.2a Figura 4.2b Em variveis desvio temos que a sada do controlador dada por c t K tc

'( ) ( ) = c (4.2) Note que o erro j uma varivel desvio e que no estado estacionrio c=0. A funo de transferncia para o controlador proporcional dada por: Kc) s () s ( c) s ( Gc =c= (4.3) Uma desvantagem do controle proporcional a sua inabilidade em eliminar os erros estacionrios (off-set) que ocorrem aps uma mudana de set point ou aps uma perturbao sustentada. Logo, normalmente se usam controladores que contenham ao integral. Em alguns casos onde off-sets podem ser tolerados, o controlador somente proporcional atrativo devido a sua simplicidade. Por exemplo, em alguns problemas de controle de nvel, manter o nvel do lquido no set point no importante, desde que o tanque no transborde ou seque. 4.2.2- Controlador proporcional-integral (PI) Este controlador tambm chamado de proporcional+reset. O seu sinal de sada est relacionado ao erro pela equao + ct+ c =t0sIccc dt ) t (K) t ( K ) t ( c (4.4) onde tI a constante de tempo integral ou tempo de reset (reajuste). Em variveis desvio: 47 ct+ c =t0Icc'dt ) t (K) t ( K ) t ( c (4.5) Podemos explicar a origem do termo reset (reajuste). Considere que o erro mude num degrau de magnitude c. Pela equao 4.4 pode-se ver que no tempo t=0 a sada do contro

lador c'(t) igual a Kcc ( a contribuio do termo integral zero). Depois de tI minutos, a contribuio do termo integral : c = ctt= ct tc IIcI0IcKKdt ) t (K (4.6) Ou seja, a ao integral "repete" a resposta da ao proporcional. Esta repetio ocorre a cada tI minutos. Tempo de reset, ento, o tempo necessrio para o controlador repetir a ao proporcional inicial na sada. A ao integral faz com que a sada do controlador c(t) mude enquanto existir um erro na sada do processo. Logo, este controlador pode eliminar mesmo pequenos erros. Uma desvantagem da ao de controle integral est relacionada justamente a esta caracterstica de que a sada muda enquanto houver erro. Frequentemente os erros no so eliminados rapidamente e, passado algum tempo, produzem valores cada vez maiores para o termo integral, que por sua vez continua aumentando a ao de controle at a saturao (por exemplo, a vlvula completamente aberta ou fechada). Esta condio chamada integral windup e ocorre quando um controlador PI ou PID encontra um erro sustentado, como, por exemplo, durante a partida de um processo em batelada ou depois de uma grande mudana de set point. Pode tambm ocorrer em consequncia de uma grande perturbao de carga sustentada que est alm da faixa da varivel manipulada. Existem controladores comerciais que apresentam antireset windup, que retira a ao integral temporariamente sempre que a sada do controlador est saturada e depois a retorna. A partir da equao 4.5 pode-se calcular a funo de transferncia para o controlador PI: ||.|

\|t+ =c=s11 K) s () s ( c) s ( GcIc (4.7) obs.: A transformada de Laplace da integral dada por: ) s ( fs1dt ) t ( ft0=)`L 4.2.3- Controlador proporcional-integral-derivativo (PID) A sada deste controlador dada por 48 c t K tKt dt KddtcccIc D st( ) ( ) ( ) = + + +ct c t c0 (4.8)

onde tD a constante de tempo derivativa. Com a presena do termo derivativo o controlador PID antecipa qual vai ser o erro no futuro imediato e aplica a ao de controle proporcional taxa atual de mudana do erro. Devido a esta propriedade a ao derivativa tambm chamada de controle antecipativo. Os maiores desafios proporcionados por esta ao de controle so os seguintes - para uma resposta com erro diferente de zero mas constante, no h ao de controle, j que dc/dt=0. - para uma resposta com rudo e erro praticamente zero, derivadas grandes podem ser calculadas e logo a ao de controle ser grande, embora no necessria. A funo de transferncia para o controlador PID dada por: )`t +t+ =c= ss11 K) s () s ( c) s ( GcDIc (4.9) Como no controlador proporcional, o sinal de Kc tambm pode ser escolhido para os controladores PI e PID. Quando Kc > 0, a sada do controlador c(t) aumenta quando a varivel medida ym(t) diminui. Neste caso o controlador de ao reversa. Quando Kc < 0, o controlador de ao direta, j que a sada do controlador aumenta quando a varivel medida aumenta.

49 5- Comportamento dinmico de processos com controle feedback 5.1-Diagrama de blocos e a resposta em malha fechada Considere o sistema em malha fechada mostrado na Figura 4.1 b. Para cada um dos seus quatro componentes (processo, equipamentos de medida, controlador e elemento final de controle) podemos escrever a funo de transferncia correspondente, relacionando a sada com a entrada. Em particular, se desprezarmos a dinmica das linhas de transmisso, temos: - Processo: ) s ( d ) s ( Gd ) s ( m ) s ( Gp ) s ( y + = (5.1) - Equipamento de medida: ) s ( y ) s ( Gm ) s ( ym = (5.2) - Controlador: ) s ( ym ) s ( ysp ) s ( = c comparador (5.3) ) s ( ) s ( Gc ) s ( c c = ao de controle (5.4) - Elemento final de controle: ) s ( c ) s ( Gf ) s ( m = (5.5) onde Gp, Gd, Gm, Gc e Gf so as funes de transferncia entre as sadas e entradas correspondentes. A Figura 5.1 mostra o diagrama de blocos para o sistema de controle em malha fechada. Figura 5.1- Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada. 50 A srie de blocos entre o comparador e a sada controlada (Gc, Gf e Gp) constituem o caminho "para frente" (forward) e o bloco Gm est no caminho da realimentao (feedback) entre a sada controlada e o comparador. Substituindo-se a equao 5.2 na 5.3, a equao resultante na 5.4, a equao resultante na 5.5 obtm-se: )) s ( Gm ) s ( y ) s ( ysp )( s ( Gc ) s ( Gf ) s ( m = (5.6) E substituindo-se a equao 5.6 na 5.1, chega-se a: ) s ( d) s ( Gm ) s ( Gc ) s ( Gf ) s ( Gp 1) s ( Gd) s ( ysp) s ( Gm ) s ( Gc ) s ( Gf ) s ( Gp 1) s ( Gc ) s ( Gf ) s ( Gp) s ( y+++= (5.7) A equao 5.7 descreve a resposta do sistema em malha fechada. Pode-se notar que ela

composta de dois termos. O primeiro mostra o efeito de uma mudana no set point na sada, enquanto o segundo mostra o efeito de uma mudana na carga (perturbao). As funes de transferncia so conhecidas como funes de transferncia da malha fechada. Assim: GspGpGfGcGm 1GpGfGc=+ (5.8) a funo de transferncia da malha fechada para uma mudana no set point e a arg GcGpGfGcGm 1Gd=+ (5.9) a funo de transferncia da malha fechada para mudanas na carga. Das equaes 5.8 e 5.9 pode-se notar que as funes globais da malha fechada Gsp e Gcarga dependem no somente da dinmica do processo, mas tambm das dinmicas do equipamento de medida, do controlador e do elemento final de controle. Exemplo 5.1: Considere o tanque de aquecimento abaixo. Assuma que Fi=F, logo o volume do tanque, V, constante. A varivel a ser controlada a temperatura no tanque, Ti a varivel que pode vir a sofrer perturbaes e a varivel manipulada a temperatura do vapor, Tv. Clacule as funes de transferncia m malha fechada. Figura 5.2 51 - Processo: Escrevendo o modelo do processo (vide exemplo 2.2): CpQ) T T ( FdtdTVi ip+ = Mas ) T T ( UA QV t = Ento: Cp) T T ( UA) T T ( FdtdTVV ti ip + =

vti itiTCpUAT F T )CpUAF (dtdTVp+ =p+ + E escrevendo na forma padro para sistemas de primeira ordem: v p i d pT K T K TdtdT+ = + t (5.10) onde )CpUAF (Vtipp+= t , )CpUAF (FKtiidp+= e )CpUAF (CpUAKtit

pp+p= No estado estacionrio: Tvs K Tis K Ts 0p d + = + (5.11) Subtraindo 5.11 de 5.12: ) T T ( K ) Tis T ( K ) Ts T (dt) Ts T ( dvs v p i d p + = +t Logo, em variveis desvio: 'v p'i d''pT K T K TdtdT+ = + t E em funes de transferncia: ) s ( T1 sK) s ( T1 sK) s ( Tvppipd+ t++ t= (5.12) - Equipamento de medida (sensor de temperatura): Assuma que a resposta do termopar muito rpida e a sua dinmica pode ser desprezada. Logo ) s ( KmT ) s ( Tm = (5.13) - Controlador: Se Tsp o set point , o erro dado por 52 ) s ( Tm ) s ( Tsp ) s ( = c (5.14) e considerando um controlador proporcional a sada dada por: ) s ( Kc ) s ( c c = (5.15) - Vlvula de controle:

Assumindo dinmica de primeira ordem: ) s ( c1 sK) s ( Tvvv+ t= (5.16) A Figura 5.3 mostra o diagrama de blocos para o sistema em malha fechada com as funes de transferncia para cada componente da malha. A resposta em malha fechada facilmente encontrada: ) s ( aTi arg Gc ) s ( Tsp ) s ( Gsp ) s ( T + = (5.17) onde:

+ t

+ t+

+ t

+ t=1 sK] Kc ][ Km [1 sK11 sK] kc [

1 sKGspvvppvvpp (5.18)

+ t

+ t+

+ t=1 sK] Kc ][ Km [1 sK11 sKa arg Gcvvpppd (5.19) Figura 5.3- Diagrama de blocos da malha de controle de temperatura. 53 Observao: Para montar a funo de transferncia global em malha fechada use as seguintes

regras: 1-O denominador das funes de transferncia globais para mudanas na carga ou no set point o mesmo e dado por: 1+produto das funes de transferncia na malha ou 2-O numerador da funo global de transferncia o produto das funes de transferncia no caminho forward entre o set point ou carga e a sada controlada. Ento: (a) As funes de transferncia no caminho forward entre o set point Tsp e a sada T so: Gc, Gf e Gp. Logo, o numerador GcGfGp. (b) As funes de transferncia no caminho forward entre a carga Ti e a sada somente Gd. Assim, o numerador correspondente Gd. Estas regras podem ser usadas para calcular a funo de transferncia global entre uma entrada em qualquer ponto da malha e uma sada. GpGfGcGm 1+ 54 5.2- Efeito do controle proporcional na resposta de um processo A resposta em malha fechada de um processo dada pela equao 5.7. Para simplificar a anlise vamos assumir que Gm(s)=1 e Gf(s)=1. Alm disso, para o controlador proporcional Gc(s)=Kc e a equao 5.7 se transforma em: ) s ( dGpKc 1Gd) s ( yspGpKc 1GpKc) s ( y+++= (5.20) 5.2.1-Sistemas de primeira ordem: Para sistemas de primeira ordem d K m K y

dtdyd p p + = + t (5.21) com y(0)=m(0)=d(0)=0 Isto leva seguinte funo de transferncia: ) s ( d1 sK) s ( m1 sK) s ( ypdpp+ t++ t= (5.22) Ento, para o sistema sem controle temos: - constante de tempo: tp - Ganhos estticos: Kp para a varivel manipulada e Kd para a carga Substitua: 1 sK) s ( Gppp+ t= e 1 sK) s ( Gdpd+ t= na equao 5.20 e obtenha a resposta em malha fechada: ) s ( dK K 1 sK) s ( yspK K 1 sK K) s ( yc p pdc p pc p+ + t++ + t

= (5.23) que pode ser reescrita como: ) s ( d1 sK) s ( ysp1 sK) s ( yp'd'p'p'+ t++ t= (5.24) onde c ppp'K K 1+ t= t c pc pp'K K 1K KK+= e 55 c pdd'K K 1KK+= Os parmetros K'p e K'd so conhecidos como ganhos estticos em malha fechada. Pela equao 5.24 podemos concluir que a resposta em malha fechada de um sistema de primeira ordem tem as seguintes caractersticas: 1- Permanece de primeira ordem para perturbaes de carga e set point. 2- A constante de tempo foi reduzida (ou seja, t'p

Para entender melhor o efeito do controlador proporcional, considere um degrau unitrio no set point (problema servo) e na carga (prblema regulatrio) e examine as respostas em malha fechada. Para o problema servo, ysp(s)=1/s e d(s)=0. ento, a equao 5.24 leva a : s11 sK) s ( yp'p'+ t= e a inverso ) e 1 ( K ) t ( y'p/ t'pt = A figura 5.4a mostra a resposta do sistema em malha fechada para uma perturbao degrau unitrio no set point. Notamos que a resposta final, pata t, nunca atinge o novo valor desejado ysp. H sempre uma discrepncia chamada de offset que igual a offset = novo set point - valor final da resposta=c p c pc p'pK K 11K K 1K K1 K 1+=+ = Figura 5.4- Resposta de sistemas de primeira ordem com controle P, para (a) degrau unitrio no set point; (b) degrau unitrio na carga. 56 O offset um efeito caracterstico do controle proporcional. Ele diminui conforme Kc aumenta e teoricamente offset0 quando Kc. Para o problema regulatrio, ysp(s)=0. Considere um degrau unitrio na carga, ou seja, d(s)=1/s. Ento a equao 5.24 leva a: s11 s

K) s ( yp'd'+ t= e depois da inverso ) e 1 ( K ) t ( y'p/ t'dt = A Figura 5.4b mostra esta resposta. Notamos novamente que o controlador proporcional no consegue manter a resposta no valor desejado, ao invs disso aparece um offset: offset = (valor desejado) - (valor final da resposta)=c pd 'dK K 1KK 0+ = O benefcio do controle proporcional na presena de perturbaes de carga pode ser visto na Figura 5.4b. Embora ele no consiga manter a resposta no set point e introduza um offset, a resposta est muito mais prxima ao set point do que se no houvesse controle. Alm disso, conforme aumentamos o ganho Kc, o offset diminui e teoricamente offset0 quando Kc. Observaes: 1- Embora o offset tenda a zero quando Kc, nunca vamos usar valores muito altos de Kc para controle proporcional. a razo vai se tornar clara no prximo captulo, onde estudaremos a estabilidade de sistemas em malha fechada. 2- Processos com o termo 1/s na sua funo de transferncia (puramente capacitivos) quando controlados por controlador proporcional no exibem offset para mudanas de setpoint, mas sim para perturbaes sustentadas na carga (por exemplo, perturbao degrau). 5.2.2- Sistemas de segunda ordem (problema servo) Neste caso examinaremos somente o caso servo. Uma anlise similar para o caso regulatrio pode ser facilmente realizada. A funo de transferncia para um sistema de segunda ordem 1 s 2 sKp) s ( m) s ( y) s ( Gp2 2

+ ct + t= = (5.25) Substitua esta equao na equao 5.20 e, lembrando que para o problema servo d(s)=0, temos: 57 ) s ( ysp1 s 2 s ) (p K) s ( y' ' 2 2 ''+ t c + t= (5.26) onde c pp'K K 1+t= t c p'K K 1+ c= c c pc pp'K K 1K KK+= Da equao acima vemos que a resposta em malha fechada de um sistema de segunda ordem com controle proporcional tem as seguintes caractersticas: - A resposta continua sendo de segunda ordem. - O ganho esttico diminui. - Tanto o perodo natural quanto o fator de amortecimento diminuem. Isto significa que um sistema super amortecido, com controle proporcional e valor apropriado de Kc, pode se tornar sub amortecido (oscilatrio). Considere um degrau unitrio no set point (ysp(s)=1/s). Ento s11 s 2 s ) (p K) s ( y' ' 2 2 ''+ t c + t= Dependendo do valor de c ', a inversa da expresso acima pode ser dada por: - eq. 3.10 para o caso super amortecido (c ' > 1), ou - eq. 3.11 para o caso criticamente amortecido (c ' = 1), ou - eq. 3.12 para o caso sub amortecido (c ' < 1) Independentemente do valor particular de c ', o valor final da respos

ta pode ser encontrado pelo teorema do valor final. Ento c pc p'p0 s K K 1K KK )] s ( sy [ lim ) t ( y+= = = Consequentemente, novamente notamos a existncia de offset: offset = novo set point - valor final da resposta=c p c pc pK K 11K K 1K K1+=+ Novamente, offset0 quando Kc. Observaes: 58 1- Se c ' >1, a resposta do sistema em malha fechada super amortecida e muito lenta. Ento preferimos aumentar o valor de Kc e fazer c ' < 1. Assim, a resposta em malha fechada reage mais rpido, mas se torna oscilatria. Alm disso, aumentando Kc o offset diminui. 2- O aumento da velocidade da resposta do sistema e diminuio do offset, caractersticas desejveis, levam a maiores overshoots (erros mximos) e respostas oscilatrias por mais tempo. Ento, conforme Kc aumenta, fazendo com que c ' diminua: - pela equao que define o overshoot (pgina 39) vemos que este aumenta - pela equao que define a razo de declnio (pgina 40) vemos que esta tambm aumenta - pela equao que define o perodo de oscilao, T (pgina 40), vemos que este diminui Todas as caractersticas descritas acima esto mostradas na Figura 5.5. Figura 5.5- Efeito do ganho do controlador proporcional na resposta em malha fechada de um sistema de segunda ordem com controle proporcional. 5.3- Efeito da ao de controle integral Nesta seo vamos repetir a anlise feita na seo passada, mas usando um controlador integral ao invs de um proporcional. Olharemos somente o problema servo para sistemas de primeira ordem; no caso regulatrio e para sistemas de ordem maior a metodologia a mesma. Para um sistema de primeira ordem temos: 1 sK) s ( Gpp

p+ t= E para controle integral puro temos: s1Kc ) s ( GcIt= Substituindo Gp e Gc na equao 5.20, com d(s)=0, temos: 59 ) s ( ysps1Kc1 sK1s1Kc1 sK) s ( yI ppI pp||.|

\|t||.|

\|+ t+||.|

\|t||

.|

\|+ t= ou ) s ( ysp1 s 2 s1) s ( y2 2+ ct + t= (5.27) onde: c pp IK Kt t= t (5.28) c p pIK K 21t t= c (5.29) A equao 5.27 mostra um efeito importante da ao de controle integral: ela aumenta a ordem da resposta em malha fechada. Assim, para um sistema que de primeira ordem sem controle, a resposta em malha fechada se torna de segunda ordem e consequentemente pode apresentar caractersticas dinmicas completamente diferentes. Alm disso, como vimos anteriormente, aumentando a ordem de um sistema tornamos a sua resposta mais lenta. Assim, a ao de controle integral pura deve fazer com que a resposta do sistema em malha fechada se torne mais lenta. vamos examinar o comportamento dinmico de um sistema em malha fechada quando o set point muda por um degrau unitrio. Da equao 5.27 temos: s11 s 2 s1) s ( y2 2+ ct + t= A forma da resposta y(t) depende do valor de c, mas o valor final da resposta pode ser encontrado usando o teorema do valor final: 1 )] s ( sy [ lim ) t ( y0 s= = Logo,

offset=1-1=0 Isto mostra o efeito mais caracterstico da ao integral: A ao de controle integral elimina qualquer offset. Pode-se verificar facilmente que para o problema regulatrio a ao de controle integral produz uma resposta em malha fechada tambm sem offset. Observaes: 60 - A equao 5.29 mostra que a forma da resposta em malha fechada (ou seja, super amortecida, criticamente amortecida ou sub amortecida) depende do valor do ganho do controlador, Kc, e da constante de tempo integral, tI. Assim, sintonizar estes parmetros uma questo importante que ser discutida mais tarde. - Da equao 5.29 vemos, ainda, que, conforme Kc aumenta, o fator de amortecimento c diminui. As consequncias da diminuio de c so: (a) A resposta em geral se transforma de lenta e super amortecida em rpida porm oscilatria e sub amortecida. (b) O overshoot e a razo de declnio da resposta em malha fechada aumentam. Assim, pode-se concluir que podemos melhorar a velocidade da resposta em malha fechada, mas aumentando os desvios e oscilaes. A Figura 5.6 mostra estas caractersticas para mudanas de set point. - Da equao 5.29 vemos tambm que conforme tI diminui, c diminui tambm. Entretanto, as consequ~encias de diminuir tI na resposta em malha fechada so as mesmas descritas acima. A figura 5.7 mostra estes efeitos. - As concluses acima podem ser resumidas da seguinte forma: Aumentando a ao de controle integral (ou seja, aumentando Kc e diminuindo tI) a resposta em malha fechada se torna mais sensvel. Mais tarde veremos que isto pode levar instabilidade do sistema. Figura 5.6- Efeito do ganho proporcional na resposta em malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle integral. 61 Figura 5.7- Efeito da constante de tempo integral na resposta em malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle integral. 5.4- Efeito da ao de controle derivativa Para ao de controle derivativa somente, temos:

s K GD c c t = Assumindo para simplificao que Gm=Gf=1, a resposta em malha fechada de um sistema de primeira ordem com ao de controle derivativa dada por: ( )( )) s ( ysps Kc1 sK1s Kc1 sK) s ( yDppDppt||.|

\|+ t+t||.|

\|+ t= ou ) s ( ysp1 s ) K K (s K K) s ( yD c p pD c p+ t + t t= (5.30) A equao 5.30 leva s seguintes observaes sobre os efeitos da ao de controle derivativo na resposta em malha fechada de um sistema: - A ao de controle derivativa no muda a ordem da resposta. No exemplo acima o sistema

permaneceu de primeira ordem. - A equao 5.30 deixa claro que a constante de tempo efetiva da resposta em malha fechada D c p pK K t + t , ou seja, maior do que tp. Isto significa que a resposta do processo controlado mais lenta do que a do processo de primeira ordem original. Alm disso, conforme Kc aumenta, a constante de tempo efetiva aumenta e a resposta se torna progressivamente mais lenta. 62 Outras observaes: 1- bastante interessante examinar o efeito da ao de controle derivativa na resposta de um sistema de segunda ordem. Assumindo novamente que Gm=Gf=1, a resposta em malha fechada para o problema servo : ( )( )) s ( ysps Kc1 s 2 sK1s Kc1 s 2 sK) s ( yD2 2pD2 2pt||.|

\|+ ct + t+t||.|

\|+ ct + t=

ou ) s ( ysp1 s ) K K 2 ( ss K K) s ( yD c p2 2D c p+ t + ct + t t= Da ltima equao observamos que: (a) O perodo natural de oscilao da resposta em malha fechada permanece o mesmo enquanto (b) O novo fator de amortecimento c ' dado pela equao D c p'K K 2 2 t + ct = t c ou seja, c ' > c. Logo, a resposta em malha fechada mais amortecida e o amortecimento aumenta conforme Kc ou tD aumentam. Esta caracterstica leva a um comportamento mais robusto do sistema controlado. 5.5- Efeito de aes de controle compostas Embora o controle proporcional possa ser usado sozinho, este quase nunca o caso para controle integral ou derivativo. Ao invs disso, os controladores proporcional integral (PI) e proporcional-integral-derivativo (PID) so os usualmente empregados. 5.5.1- Efeito do controle PI a combinao dos modos de controle proporcional e integral levam aos seguintes efeitos na resposta em malha fechada de um sistema: 1- A ordem da resposta aumenta (efeito do modo integral) 2- O offset eliminado (efeito da ao de controle integral) 3- conforme Kc aumenta, a resposta se torna mais rpida (efeito dos modos proporcional e integral) e mais oscilatria para mudanas de set-point (ou seja, o overshoot e a razo de declnio aumentam como efeito do modo integral). Valores muito grandes de Kc levam a respostas muito sensveis, o que pode levar instabilidade. 63 4- Conforme tI aumenta, para Kc constante, a resposta se torna mais rpida, mas tambm mais oscilatria, com maiores overshoots e taxas de declnio (efeito do modo integral). 5.5.2- Efeito do controle PID Combinao dos trs modos de controle levam a resposta em malha fechada que tem em geral as mesmas caractersticas do controle PI. Vamos descrever e