Fundamentos de Circuitos Magnéticos e Transformadores

Prof. Dr. Benedito Antonio Luciano

29 de fevereiro de 2012

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Prefácio

O texto deste livro foi concebido com o intuito de ser utilizado como uma introdução à disciplinaConversão Eletromecânica em cursos de graduação em Engenharia Elétrica. No Capítulo 1 sãoapresentados, à guisa de revisão, algumas noções básicas de cálculo vetorial, em particular aquelasde fundamental importância para a compreensão do eletromagnetismo, para o cálculo de camposmagnéticos e para a análise de circuitos magnéticos. No Capítulo 2, as leis fundamentais daeletrotécnica são apresentadas a partir das equações de Maxwell, com destaque para o domínio dasbaixas frequências, que compreende as aplicações da maioria dos conversores eletromagnéticos eeletromecânicos. No Capítulo 3 o foco é centralizado nos materiais magnéticos e suas propriedadesespecíficas, com exemplos de aplicações desses materiais na eletroletrônica. Os conceitos e asaplicações de diferentes circuitos acoplados magneticamente são apresentados no Capitulo 4; aindaneste capítulo são derivadas as diversas expressões das indutâncias, associadas às diversas definiçõesde fluxos magnéticos. Adicionalmente, são apresentadas técnicas de derivação de circuitos elétricosequivalentes a partir de circuitos magnéticos equivalentes, utilizando técnicas topológicas. Dada aimportância dos transformadores nos sistemas elétricos de baixa, média e alta tensão; e de baixas,médias e altas frequências, a esse assunto foi dedicado todo o Capítulo 5. Nesse capítulo, a teoriabásica dos transformadores é apresentada numa abordagem que envolve as soluções comentadas dediversos problemas e formulações de questões sobre o tema.

Embora a iniciativa de escrever este livro tenha sido empreendida pelo autor, vários alunos ecolegas professores estimularam-me a finalizar a tarefa, contribuindo com sugestões valiosas. Aminha gratidão aos alunos e alunas da disciplina Circuitos Magnéticos, do curso de graduaçãoem Engenharia Elétrica da UFPB, atual UFCG, em especial às alunas Mábia Daniel Cavalcante,do período 98.1, e Sissi Alves da Silva, do período 98.2, pelas contribuições mais efetivas emtermos de revisão, apoio e sugestões de modificações do texto publicado originalmente em marçode 1998, no âmbito do Programa REENGE, REECCT/PAPE. Igualmente, aos alunos e alunasda disciplina Conversão Eletromecânica, do curso de graduação em Engenharia Elétrica da UFCG,particularmente a Arthur Farias Aranha Monteiro, Dinart Duarte Braga, Camila Duarte RodriguesLopes e Ilis Nunes Almeida Cordeiro, do período letivo 2009.2, Felipe Gonçalves Assis e MaurícioHenrique Bezerra Cardoso, do período letivo 2010.2, Kal-El Basílio Brito, Laís Farias Martins eReuben Palmer Rezende de Sousa, do período letivo 2011.2, pela dedicação, zelo e tempo por elesdedicados à revisão, edição e acréscimos de textos e figuras que compõem esta versão. Aos quede forma direta ou indireta contribuíram comigo para que esta edição viesse a público, os meusprofundos agradecimentos.

Benedito Antonio Luciano

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Sumário

1 Introdução Geral 131.1 Preliminares matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 O caráter vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 A derivação vetorial: gradiente, divergente e rotacional através do operador ~∇. 131.1.3 O fluxo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.4 A circulação de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5 O teorema da divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.6 O teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Questões e problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Leis Fundamentais da Eletrotécnica 232.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 As equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 As grandezas eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 As equações de Maxwell completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 As equações de Maxwell sob notações tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4 As equações de magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.5 As equações de magnetodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Questões e problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Materiais Magnéticos e Circuitos Magnéticos Simples 333.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Classificação dos materiais magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Interpretação pela teoria dos domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Dados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.3 Novos materiais: as ligas amorfas e os materiais nanocristalinos . . . . . . . . 383.2.4 Ímãs permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Canalização do fluxo pelos materiais magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Criação de campos magnéticos em entreferros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Lei dos circuitos magnéticos: analogia de Hopkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Cálculo de circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Perdas nos materiais ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7.1 Perdas por correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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3.7.2 Perdas por histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.3 Perdas anômalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.4 Perdas totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9 Questões e problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Circuitos Acoplados Magneticamente 614.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Circuitos acoplados linearmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Os diversos fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 As diversas indutâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.3 Reciprocidade das indutâncias mútuas: a fórmula de NEUMANN . . . . . . . 644.2.4 Apresentação das indutâncias sob a forma matricial . . . . . . . . . . . . . . 654.2.5 Coeficientes de acoplamento e de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.6 Energia magnética em dois circuitos acoplados magneticamente . . . . . . . . 664.2.7 Co-energia magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.8 Força e conjugado eletromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Derivação de circuitos elétricos equivalentes a partir de circuitos magnéticos . . . . . 694.4 Determinação da polaridade das relações de tensão e corrente . . . . . . . . . . . . . 714.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7 Questões Propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Transformadores 815.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.2 Partes componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.3 Ligações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.4 Características de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Análise de um transformador com o lado secundário em aberto . . . . . . . . . . . . 865.4 Transformador ideal e transformador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5 Relações de um transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.6 Parâmetros de um transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7.1 Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.7.2 Máxima transferência de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.8 Circuito equivalente de um transformador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.9 Determinação de parâmetros mediante ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.9.1 Determinação das resistências dos enrolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.9.2 Relação de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9.3 Polaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9.4 Deslocamento angular e sequência de fases para transformadores polifásicos

(ver NBR 5380/1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.9.5 Ensaio a vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.9.6 Ensaio de curto-circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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5.9.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.11 Regulação, eficiência e perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.11.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.12 Regulação de tensão do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.13 Operações em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.13.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.14 Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.14.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.15 Transformadores para baixa e alta frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.15.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.16 Circuitos elétricos trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.16.1 Transformadores trifásicos e suas conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.16.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.17 Transformadores para instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.18 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.19 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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Lista de Figuras

1.1 Região elementar d~S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Linha L limitada pelos pontos P e Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Superfície S(V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Superfície aberta S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Superfície dos pontos M(x, y, z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Decrescimento de M a M ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Casca esférica de raio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 a) Superfície cilíndrica b) Secção transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Superfície S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Superfície S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Representação do rot ~A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Eletromagnetismo a partir das equações de Maxwell, segundo J. P. Assumpção Bastos. 242.2 Representação simplificada do campo elétrico ~E criado por uma carga elétrica Q. . . 242.3 Campo magnético ~H criado por cargas em movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Representação de um fio reto conduzindo uma corrente elétrica I. . . . . . . . . . . . 262.5 Materiais magnéticos em forma de chapas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Classificação dos materiais magnéticos em função da susceptibilidade magnética. . . 343.2 Materiais diamagnéticos ou paramagnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Ferromagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Antiferromagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Ferrimagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Curva de magnetização B(H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Permeabilidade relativa em função da indução magnética µr(B). . . . . . . . . . . . 383.8 Diagrama de blocos representativo do processo de produção de fitas amorfas. . . . . 393.9 Curva de desmagnetização dos principais ímãs permanentes. . . . . . . . . . . . . . . 443.10 Mercado mundial dos ímãs permanentes em 1994. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.11 (a) fluxo de uma bobina no ar (b) fluxo de uma bobina em torno de um núcleo. . . . 453.12 Núcleo de material ferromagnético com entreferro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.13 Núcleo com materiais magnéticos de permeabilidades diferentes. . . . . . . . . . . . . 473.14 Circuito magnético equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.15 Circuito magnético simples, com um entreferro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.16 Trajetórias das correntes parasitas num núcleo de material condutor. . . . . . . . . . 533.17 Lâminas empilhadas de material ferromagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.18 Laço representativo de um ciclo de histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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3.19 Laços de histerese para diferentes valores de campo magnético aplicado . . . . . . . 553.20 Divisão das perdas em suas partes constituintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1 Circuitos que mostram os sinais apropriados para as relações de tensão e corrente. . 714.2 (a) Sistema magnético. (b) Circuito magnético equivalente para o sistema. . . . . . . 724.3 Circuito equivalente para o circuito magnético da Figura 4.2. (a) Forma elementar

do circuito. (b) Técnica topológica de derivação. (c) Circuito elétrico equivalenteincluindo o transformador ideal e as resistências dos enrolamentos. . . . . . . . . . . 74

4.4 Figura referente ao problema P.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Figura referente ao problema P.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6 Figura referente ao problema P.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1 Transformador de núcleo envolvido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Transformador de núcleo envolvente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Transformador com enrolamento secundário em aberto. . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Transformador com carga no secundário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5 Transformador de núcleo envolvido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6 Circuito elétrico equivalente de um transformador monofásico. . . . . . . . . . . . . . 935.7 Circuito elétrico equivalente de um transformador, com as impedâncias refletidas ao

primário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.8 Diagrama de ligações para ensaio de perdas em vazio e corrente de excitação em

transformadores monofásicos, sem transformadores para instrumentos. . . . . . . . . 955.9 Diagrama de ligações para ensaio de perdas em vazio e corrente de excitação em

transformadores monofásicos, com transformadores para instrumentos. . . . . . . . . 965.10 Diagrama de ligações para ensaio de perdas em curto-circuito e tensão de curto

circuito dos transformadores monofásicos de dois enrolamentos. . . . . . . . . . . . . 965.11 Montagem do ensaio de curto-circuito em transformadores monofásicos. . . . . . . . 985.12 Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.13 Esquema de montagem de ensaio de curto-circuito em transformadores trifásicos. . . 995.14 Montagem do ensaio de circuito-aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.15 Circuito equivalente do transformador em vazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.16 Esquema de montagem para ensaio em vazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.17 Esquema de montagem para ensaio em vazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.18 Representação do transformador de núcleo envolvido com indicações dos enrolamen-

tos e fluxos envolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.19 Circuito magnético equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.20 Circuito magnético equivalente reduzido para aplicação do método topológico. . . . . 1045.21 Circuito elétrico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.22 Circuito equivalente do transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.23 Circuito equivalente referido ao lado de AT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.24 Impedância equivalente referido ao lado de baixa tensão. . . . . . . . . . . . . . . . 1075.25 Diagrama fasorial do secundário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.26 Circuito elétrico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.27 Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.28 Transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.29 Circuito elétrico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10

5.30 Diagrama Fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.31 Circuito elétrico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.32 Diagramas fasoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.33 Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.34 Circuito equivalente refletido ao secundário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.35 Rendimento do transformador segundo fator de potência da carga. . . . . . . . . . . 1235.36 Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.37 Circuito equivalente refletido ao lado do gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.38 Circuito equivalente referido ao primário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.39 Caso cos θ capacitivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.40 Caso cos θ infutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.41 Diagrama unifilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.42 Dois transformadores ligados em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.43 Circuito equivalente, simplificado, para um transformador. . . . . . . . . . . . . . . . 1285.44 Circuito equivalente, simplificado, para três transformadores em paralelo. . . . . . . 1285.45 Esquema de montagem com lâmpadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.46 Circuito Equivalente dos dois transformadores em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . 1295.47 Ligações de um transformador na configuração abaixador. . . . . . . . . . . . . . . . 1305.48 Ligações de um transformador na configuração elevador. . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.49 Ligações de um transformador na configuração abaixador. . . . . . . . . . . . . . . . 1315.50 Circuito equivalente completo para transformador de frequências variáveis. . . . . . . 1325.51 Circuito equivalente para médias frequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.52 Circuito equivalente para baixas frequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.53 Circuito equivalente para altas frequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.54 Circuito equivalente do transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.55 Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.56 Diagrama de um circuito trifásico simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.57 Diagrama fasorial de tensões trifásicas equilibradas, com a sequência ABC à esquerda

e a CBA à direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.58 Conexão em Y de fontes de tensão equilibradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.59 Conexão em ∆ de fontes de tensão equilibradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.60 Conexões usuais dos transformadores trifásicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

11

12

Capítulo 1

Introdução Geral

1.1 Preliminares matemáticos

Neste capítulo serão revisadas algumas noções básicas do Cálculo Vetorial. No nosso entendimento,estas noções são de fundamental importância para a compreensão do eletromagnetismo, visto apartir das equações de Maxwell, e consequentemente para os cálculos de Circuitos Magnéticos.

1.1.1 O caráter vetorial

Muitas grandezas físicas possuem um caráter vetorial, intrínseco às suas naturezas respectivas.Assim, por exemplo, a velocidade, aceleração e força são grandezas junto às quais sempre associamosas noções de direção e sentido; já outras, como a massa e o tempo, intuitivamente dissociadas destasnoções, são conhecidas como grandezas escalares.

Um outro conceito importante é o de campo de vetores, ou campo vetorial. Uma força aplicadaa um ponto de um corpo é um vetor, no entanto, a velocidade de um gás que se expande dentrode um tubo não é um vetor definido em apenas um ponto, mas sim, em toda uma região. Nestesegundo caso, estamos na presença de um campo de vetores. Este conceito será particularmente útilneste trabalho, pois a maior parte das grandezas eletromagnéticas (campo elétrico ou magnético,por exemplo) são campos de vetores.

1.1.2 A derivação vetorial: gradiente, divergente e rotacional através do ope-rador ~∇.

Seja um campo escalar dado no espaço e fixemos um sistema de coordenadas, de tal maneira quef = f(x, y, z) e f está definida num certo domínio do espaço. Se existem as derivadas parciais deprimeira ordem de f nesse domínio, então elas formam as componentes do vetor grad f , o gradientedo escalar f . Assim sendo, temos:

grad(f) = ∂f

∂x~i+ ∂f

∂y~j + ∂f

∂z~k (1.1)

ou escrito de outra forma simbólica:

grad(f) =(∂

∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k

)· f (1.2)

13

onde a multiplicação sugerida é na verdade uma derivação. A expressão entre parênteses podeser indicada pelo símbolo ~∇, que se lê “del” ou “nabla”. assim, o operador ~∇ poderá ser escrito soba forma:

~∇ = ∂

∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k (1.3)

no qual ~i, ~j, ~k são os vetores unitários ortogonais do sistema de coordenadas retangulares oucartesianas. Portanto, ~∇ é um operador diferencial vetorial, ao qual, isolado, não podemos associarnenhum significado numérico ou sentido geométrico; o significado surge quando ele é aplicado auma função, isto é, quando se forma:

~∇f = grad(f) =(∂

∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k

)· f (1.4)

Sendo ~∇ um vetor simbólico, poderá interagir com um vetor ou com um escalar.Dado um campo vetorial ~A num domínio D do espaço, temos para um dado sistema de coorde-

nadas (cartesianas) três funções escalares Ax, Ay e Az. Se essas três funções possuírem derivadasparciais de primeira ordem em D, poderemos formar todas as nove derivadas parciais, de acordocom o arranjo seguinte:

∂Ax∂x

, ∂Ax∂y

, ∂Ax∂z

∂Ay∂x

, ∂Ay∂y

, ∂Ay∂z

∂Az∂x

, ∂Az∂y

, ∂Az∂z

A partir dessas derivadas, obtem-se o escalar div ~A, a divergência de ~A, por meio da fórmula:

div ~A = ∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

(1.5)

Note-se que as derivadas empregadas formam a diagonal principal do arranjo quadrado e que aEquação (1.5) pode ser escrita sob a forma simbólica:

div ~A = ~∇ · ~A (1.6)

pois, tratando ~∇ como um vetor, temos:

~∇ · ~A =(∂

∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k

)·(~Ax ·~i+ ~Ay ·~j + ~Az · ~k

)= ∂Ax

∂x+ ∂Ay

∂y+ ∂Az

∂z= div ~A (1.7)

Por outro lado, a partir das seis derivadas parciais restantes no arranjo quadrado anterior,pode-se construir um novo campo vetorial, o rotacional de ~A, indicado por rot ~A, por meio dadefinição

rot ~A =(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)·~i+

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)·~j +

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)· ~k (1.8)

14

Observe-se que cada componente é formada por elementos colocados simetricamente em relaçãoà diagonal principal. O rotacional, portanto, pode ser expresso em termos de ~∇, da seguinte forma:

rot ~A = ~∇× ~A =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣ (1.9)

1.1.3 O fluxo de um vetor

Suponhamos a existência do campo de vetores ~A, definido na região elementar d~s, conforme aFigura 1.1.

Figura 1.1: Região elementar d~S.

Imaginemos um vetor unitário normal ~n ortogonal à superfície ds. Neste caso, podemos definiro vetor d~S como sendo d~S = dS.~n. Chamaremos fluxo do vetor ~A através de d~S o produto escalar:

dφ = ~A · d~S = A · dS · cos θ (1.10)

Verificamos, portanto, que o fluxo será máximo se θ = 0 e nulo se θ = 90.

1.1.4 A circulação de um vetor

Consideremos a existência de um campo de vetores na região onde temos uma linha L limitadapelos pontos P e Q conforme a Figura 1.2.

Figura 1.2: Linha L limitada pelos pontos P e Q.

Sendo d~l uma parcela elementar de L, chamaremos circulação de A ao longo de L a integral:

C =∫ Q

P

~A · d~l =∫ Q

PA · dl · cos θ (1.11)

Se θ = 0 temos uma circulação máxima, ou seja, ~A utiliza ao máximo o caminho L; e se θ = 90a circulação é nula, pois ~A não utiliza este caminho.

15

1.1.5 O teorema da divergência

O enunciado deste teorema é o seguinte: o fluxo do vetor ~A através da superfície S(V ) é igual àintegral tríplice do divergente de ~A estendida ao volume V envolvido pela superfície S(V ). Conformeilustrado na Figura 1.3. ∮

S(V )~A · d~S =

∫∫∫V

div ~A · dv (1.12)

Figura 1.3: Superfície S(V ).

1.1.6 O teorema de Stokes

O enunciado deste teorema é o seguinte: O fluxo do rotacional de ~A através de uma superfícieaberta S é igual à circulação do vetor ~A ao longo da linha L(S) que limita a superfície S. Conformeilustrado na Figura 1.4. ∮

L(S)~A · d~l =

∫∫S

rot ~A · d~S (1.13)

Figura 1.4: Superfície aberta S.

Após estas definições, puramente algébricas, de gradiente, divergente e rotacional, procuraremosevidenciar nos próximos parágrafos os significados geométricos.

Inicialmente, vamos supor que existe uma superfície de pontos como M(x, y, z) tal que, paratodos estes pontos, tenhamos U = constante, conforme apresentado na Figura 1.5. Portanto, paratodo deslocamento de M para M ′, nesta superfície, teremos o acréscimo dU = 0.

Pela noção de produto escalar, note-se que os vetores gradU e d ~M são ortogonais.Suponhamos agora que o decrescimento deM aM ′ se dê na direção dos U crescentes, conforme

a Figura 1.6.

16

Figura 1.5: Superfície dos pontos M(x, y, z).

Figura 1.6: Decrescimento de M a M ′.

Neste caso, teremos dU > 0, ou seja: gradU · d ~M > 0. Notamos, então, que os vetores gradUe d ~M formam um ângulo agudo.

Podemos então concluir que o gradU é um valor perpendicular à uma superfície onde U éconstante e que ele aponta para a direção dos U crescentes. Notemos também que gradU apontapara a direção de máxima variação de U , pois dU = gradU · d ~M é máximo quando d ~M tiver amesma direção de gradU .

O operador divergente, por sua vez, pode ser interpretado geometricamente a partir do exemploseguinte:

Consideremos um campo de vetores ~A de direção radial no ponto M , conforme a Figura 1.7.Assumindo que o módulo de ~A é constante para todos os pontos de uma casca esférica S(V ),centrada em M , calculemos o fluxo de ~A através desta casca esférica de raio R:

φ =∮S(V )

~A · d~S =∮S(V )

A · dS = A

∮S(V )

dS = 4πR2 ·A (1.14)

Pelo teorema da divergência, se o fluxo de ~A é diferente de zero, temos também que div ~A 6= 0.Façamos agora o mesmo processo para o campo de vetores ~A, conforme a Figura 1.8a, através

da superfície lateral do cilindro mostrado.Examinando o corte transversal (Figura 1.8b), notamos que os vetores ~A e d~S são perpendi-

culares ( ~A · d~S = 0) e, pelo mesmo teorema obtemos que div ~A = 0, visto que o volume não énulo.

17

Figura 1.7: Casca esférica de raio R.

Figura 1.8: a) Superfície cilíndrica b) Secção transversal.

Concluímos destes exemplos que quando o campo de vetores é divergente em relação a umponto, seu divergente é diferente de zero, e no segundo exemplo, onde o campo de vetores possuiunicamente um caráter turbilionário ou rotacional, a divergência do vetor é nula.

Em seguida, utilizando os mesmos campos de vetores das Figuras 1.7 e 1.8, calculemos a circu-lação do vetor ~A ao longo dos caminhos L(S) que limitem as superfícies respectivas.

No primeiro caso, cf. a Figura 1.9, temos ~A · d~l = 0 e pelo teorema de Stokes:∮L(S)

~A · d~l =∫∫

Srot ~A · d~S = 0,ou seja , rot ~A = 0. (1.15)

Figura 1.9: Superfície S.

No segundo caso, cf. a Figura 1.10, definindo uma superfície S como o circuito de raio R,podemos calcular a circulação de ~A ao longo de L(s).

18

Figura 1.10: Superfície S.

Como d~l e ~A são vetores colineares, teremos

C =∮L(S)

~A · d~l =∮L(S)

Adl = A

∮L(S)

dl = A · 2πR (1.16)

Portanto, pelo teorema de Stokes podemos concluir que, neste caso, o rot ~A é diferente de zero.E por último, sendo o rot ~A um vetor obrigatoriamente perpendicular a ~A (visto ser oriundo do

produto vetorial ~∇ × ~A), observamos que o posicionamento geométrico de ~A e rot ~A só pode serconforme o mostrado na Figura 1.11.

Figura 1.11: Representação do rot ~A.

1.2 Considerações finaisNeste capítulo foram revisadas algumas noções básicas do cálculo vetorial. Particularmente, enfo-cou-se a derivação vetorial mediante o emprego de operadores diferenciais de primeira ordem.

Vimos que os campos escalares podem dar origem a campos vetoriais, como por exemplo,quando o gradiente opera sobre uma função escalar para produzir uma função vetorial. E quecampos vetoriais podem dar origem a campos escalares, como no caso da divergência que operasobre uma função vetorial, para produzir uma função escalar. Também foi visto o rotacional queopera sobre uma função vetorial, para produzir uma outra função vetorial.

As noções aqui revisadas são de fundamental importância para a compreensão das leis funda-mentais de eletrotécnica, vistas a partir das equações de Maxwell, conforme serão apresentadas noCapítulo 2.

1.3 Questões e problemas propostos1. Dê o significado de:

19

(a) gradiente.(b) divergente.(c) rotacional.

2. Achar ~∇φ seφ = r = |r| =

√x2 + y2 + z2.

(Resposta: ~∇φ = 1/r.)

3. Determinar um vetor unitário normal à superfície dada por z = x2 + y2 no ponto (1, 0, 1).

(Resposta: o vetor unitário é n = ~∇φ‖~∇φ‖

=[

2√5 , 0,

−1√5

])

4. Ser = |r| =

√x2 + y2 + z2,

determinar ~∇rn e (1/r), onde n é qualquer número real.(Resposta: ~∇1

r = − 1r3 · r)

5. Mostrar que a função 1/r, onde

r = |r| =√x2 + y2 + z2,

é uma função harmônica, ou seja, ∇2 1r = 0, desde que r seja diferente de zero.

6. Verificar que, se φ é uma função escalar com derivadas segundas contínuas, então o rotacionaldo gradiente de φ é o vetor zero, isto é, ~∇× ~∇φ = 0.

7. Determinar a divergência e o rotacional de f = (x − y)~i + (y − z)~j + (z − x)~k e g = (x2 +yz)~i+ (y2 + zx)~j + (z2 + xy)~k.Resposta: div f = 3, rot f = [1, 1, 1], div g = 2x+ 2y + 2z, rot g = 0.

8. O campo vetorial ~f é dito ser solenoidal se for diferenciável e ~∇· ~f = 0; é chamado irrotacionalse ~f é diferenciável e ~∇× ~f = 0. Mostrar que se ~f e ~g são irrotacionais, então ~f×~g é solenoidal.

9. Se φ é harmônica, mostrar que ~∇φ é tanto solenoidal quanto irrotacional.

10. Calcular ∫∫S

~F · d~S,

onde ~F = 4xz~i−y2~j+yz~k e S é a superfície do cubo limitado por x = 0, x = 1, y = 1, z = 0,e z = 1. (Resposta: 3/2).

11. Calcular ∫∫S~r · d~S,

onde S é uma superfície fechada.(Resposta: 3V, onde V é o volume encerrado por S.)

20

12. Aplicar o teorema de Stokes para ~A = (2x− y)~i− yz2~j − yz~k, onde S é a metade superior dasuperfície da esfera x2 + y2 + z2 = 1 e C é sua curva limítrofe.

13. Consideremos que um cilindro longo e oco esteja cheio de ar sob pressão. Se a tampa de umadas extremidades do cilindro longo for retirada rapidamente, o ar sairá com violência. Supo-nhamos que o fluxo de ar esteja livre de turbulência, de maneira que o campo de velocidades~v tenha apenas uma componente x, representada pela expressão:|~v| = vx = Kx, onde K é uma constante de proporcionalidade. Qual é o divergente de ~v nocilindro?

14. Considerando o cilindro da questão anterior, suponha agora que as extremidades do cilindroestejam abertas e o ar passe com a mesma velocidade em toda parte. Qual é o divergente de~v?

21

22

Capítulo 2

Leis Fundamentais da Eletrotécnica

2.1 Introdução

Neste capítulo, as leis fundamentais da eletrotécnica são apresentadas a partir das equações deMaxwell, tronco principal do eletromagnetismo contemporâneo.

Embora as equações de Maxwell sejam abrangentes e envolvam os domínios das altas frequências(ondas eletromagnéticas) e das baixas frequências (frequência industrial), vamos nos prender nestetexto ao segundo domínio, que compreende a maioria dos dispositivos da eletrotécnica, como porexemplo: motores elétricos, relés, disjuntores e transformadores.

Serão apresentadas as grandezas eletromagnéticas envolvidas nas equações de Maxwell e as leis,relativas à magnetostática e à magnetodinâmica, fundamentais para a compreensão do funciona-mento das máquinas elétricas e particularmente no que diz respeito aos transformadores.

2.2 As equações de Maxwell

Segundo J. P. Assumpção Bastos, em Eletromagnetismo e cálculo de campos, podemos dividir oeletromagnetismo de acordo com o diagrama de blocos da Figura 2.1, onde cada bloco representauma situação particular das equações de Maxwell.

2.2.1 As grandezas eletromagnéticas

As grandezas eletromagnéticas envolvidas nas equações de Maxwell são:a) O campo elétrico ~E:Uma carga ou um conjunto de cargas elétricas Q, sem movimento no espaço, tem a propriedade

de criar, no espaço que a envolve, uma grandeza chamada campo elétrico ~E, cf. a Figura 2.2.O campo elétrico ~E é uma grandeza vetorial e tem caráter de um campo de vetores. No caso

da Figura 2.2, o campo elétrico é radial e divergente com relação a Q, logo, podemos concluirque a carga elétrica é positiva. Para valores de carga negativos, campos elétricos convergentes sãocriados.

b) O campo magnético ~H:Suponhamos que a mesma carga, ou conjunto de cargas da Figura 2.2, ao invés de estar em

repouso, possua uma velocidade de deslocamento. Neste caso, haverá a formação do campo vetorial

23

Figura 2.1: Eletromagnetismo a partir das equações de Maxwell, segundo J. P. Assumpção Bastos.

Figura 2.2: Representação simplificada do campo elétrico ~E criado por uma carga elétrica Q.

~H, chamado campo magnético, que será rotacional em relação ao movimento das cargas, cf. aFigura 2.3.

Figura 2.3: Campo magnético ~H criado por cargas em movimento.

É interessante observar que, se este movimento de cargas ocorrer em um fio condutor (como namaior parte das situações reais), o campo elétrico passa a praticamente não existir, pois os elétrons

24

se deslocam preenchendo as lacunas vazias na nuvem eletrônica dos átomos e o somatório final dascargas é praticamente nulo.

Como veremos posteriormente, campos magnéticos podem ser originados por de ímãs perma-nentes ou pelas variações de campos elétricos.

c) A indução magnética ~B e a permeabilidade magnética µ:Sendo ~B um vetor, é concebível que calculemos seu fluxo φ através de uma superfície S.

φ =∫∫

~B · d~S (2.1)

Este fluxo φ é chamado fluxo magnético.A permeabilidade de um meio expressa intrinsecamente a sua capacidade de se mostrar mais ou

menos suscetível à passagem do fluxo magnético. Seria difícil introduzir estes conceitos sem utilizara relação de passagem:

~B = µ · ~H (2.2)

Exemplificando, imaginemos dois meios geometricamente idênticos, porém possuindo permeabi-lidade µ1 e µ2 diferentes, sendo µ1 > µ2. Suponhamos que, por um meio externo, criemos campos~H idênticos em ambos os meios, e que ~H seja constante em toda a seção S. Temos então, emmódulo:

B1 = µ1 ·H e B2 = µ2 ·H (2.3)

Os fluxos φ1 e φ2 serão:

φ1 = B1 · S = µ1 ·H · S e φ2 = B2 · S = µ2 ·H · S (2.4)

Obtemos assim:

φ1φ2

= B1B2

= µ1µ2

(2.5)

Notamos então que quanto maior a permeabilidade do meio, maior a sua indução e maior será ofluxo atravessando a seção S. Em outras palavras, ~B é chamado indução pois esta grandeza expressaa capacidade de induzir fluxo em um dado meio. Em geral, uma alta indução está associada a umaalta permeabilidade. Literalmente, se um meio induz mais fluxo é porque ele o permite mais.

d) A indução elétrica ~D e a permissividade ε:Podemos fazer um paralelismo direto entre os pares de grandezas ~B,µ e ~D, ε. Cabe, no entanto,

observar que a variação de ε, em materiais de uso frequente na eletrotécnica, é muito pequena, aocontrário da permeabilidade µ. Nota-se, de fato, que para os materiais dielétricos mais utilizados, εvaria no máximo de um fator 100 ao passo que a variação de µ pode frequentemente atingir fatoresde ordem de 104. É interessante salientar também que, em geral, em problemas magnéticos é agrandeza ~B que assume o papel preponderante nas análises, ao passo que em problemas elétricos ointeresse particular é pelo campo elétrico ~E.

e) A densidade superficial de corrente ~J :Imaginemos um fio condutor retilíneo e de seção S, percorrido de forma uniforme por uma

corrente I, cf. a Figura 2.4.

25

Figura 2.4: Representação de um fio reto conduzindo uma corrente elétrica I.

A densidade média de corrente atravessando a seção S é dada por:

J = I

S(2.6)

Definindo um vetor unitário ~u, perpendicular à seção S, podemos definir um vetor ~J comopossuindo módulo igual a J , de direção e sentido dados por ~u.

~J = J · ~u (2.7)

Desta maneira, o cálculo do fluxo de J através de S fornece I, pois

I =∫∫

S

~J · d~S (2.8)

onde d~S é uma parcela elementar de superfície.f) A densidade volumétrica de cargaρ:Imaginemos que uma quantidade de carga Q está ocupando um volume V . Podemos, então,

calcular a densidade volumétrica média de carga como:

ρ = Q

V(2.9)

Levando em conta que as cargas podem não estar distribuídas uniformemente no volume, osomatório da carga total será dado por

Q =∫∫∫

Vρ · dv (2.10)

onde dv é uma quantidade elementar de volume.g) A condutividade elétrica σ:Em geral, quando analisamos problemas de campos elétricos, dois tipos de meios se apresen-

tam: meios dielétricos ou isolantes e meios condutores. Os isolantes são caracterizados por suapermissividade e por sua rigidez dielétrica; enquanto os meios condutores são caracterizados porsua condutividade elétrica ,que expressa a capacidade de o meio conduzir mais ou menos correnteelétrica.

O campo elétrico ~E está relacionado com a densidade de corrente ~J pela equação:

~J = σ · ~E (2.11)

que é a lei de Ohm sob a forma local ou pontual.No caso de um condutor retilíneo, de comprimento l e seção uniforme S, cf. a Figura 2.4, temos

que J = I/S e adiantamos que E = V/l, onde V é a tensão aplicada nas extremidades do condutor.Substituindo estas relações na Equação (2.11), temos

26

I

S= σ

V

lou V = I

l

σS(2.12)

onde l/σS é a resistência R do fio, temos V = R · I, que é a lei de Ohm sob a sua forma maisusual.

2.2.2 As equações de Maxwell completas

As equações de Maxwell sob a forma local (pontual) e completas são:Acoplamento eletromagnético: rot ~H = ~J + ∂ ~D

∂t

rot ~E = −∂ ~B∂t

(2.13)

Equações de conservação: div ~B = 0div ~D = ρ

(2.14)

Além das equações de Maxwell, acrescentamos as relações complementares:Propriedades dos materiais e Lei de Ohm:

~B = µ · ~H + ~Br~D = ε · ~E

(2.15)

Relembremos então o significado físico de cada uma delas:O rot ~H = ~J é, sob a forma integral, o teorema de Ampère.∮

L

~H · d~l =∑

n · I (2.16)

O significado é que a circulação do campo ~H, em um caminho fechado, corresponde ao somatóriodas correntes que atravessam a seção limitada por este caminho. É interessante observar que, nodomínio da eletrotécnica, o termo ∂ ~D

∂t que aparece na Equação (2.13) se torna, em geral, desprezívelem relação a ~J .

A quantidade que intervém do 2 membro da equação é a força magnetomotriz, f.m.m., docircuito. Em unidades do S.I., a f.m.m. é medida em ampères-espiras, símbolo A-esp.

F = n · i (2.17)

O rot ~E = −∂ ~B∂t representa a lei da indução magnética, estabelecida por Faraday e Lenz, onde

o campo elétrico ~E é induzido por uma variação, no tempo, da indução magnética ~B.Para circuitos filiformes bobinados (as bobinas de um indutor ou de um transformador, por

exemplo), a equação da lei da indução magnética pode ser escrita de forma simplificada, onde aforça eletromotriz (f.e.m) assume a seguinte forma:

e = −d(nφ)dt

= −ndφdt

(2.18)

A f.e.m. nos terminais de um circuito é igual à variação do fluxo que o atravessa, com relaçãoao tempo, para cada espira do circuito. O sinal menos presente na equação foi estabelecido por

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Lenz e diz respeito à corrente induzida: Se fecharmos o circuito onde aparece a f.e.m., o sentidoda corrente induzida é tal que se opõe à variação do fluxo que a fez surgir.

O div ~B = 0 significa que o fluxo do vetor ~B (fluxo magnético) é conservativo, ou seja, todo fluxoentrando em um certo volume é igual ao fluxo que sai do mesmo. Na eletrotécnica, este volume doespaço é limitado por uma região conhecida (núcleos, carcaças e entreferros de máquinas elétricase transformadores). Assumimos então que o fluxo se conserva nesta região, com exceção dos fluxosde fuga ou de dispersão, como veremos mais adiante no caso prático dos transformadores.

Essa equação nos permite dizer que o campo magnético não possui fontes ou sorvedouros, aocontrário do campo elétrico (cujas fontes e sorvedouros são respectivamente as cargas positivas enegativas). Em outras palavras, não existem monopólos magnéticos.

O div ~D = ρ sob a forma integral, é conhecido como o Teorema de Gauss.∮~D · d~S = Q carga elétrica encerrada (2.19)

2.2.3 As equações de Maxwell sob notações tensoriais

As equações de Maxwell podem ser aplicadas em várias situações e combinações de diferentes meios(vácuo, meio magnético, não magnético, meio dielétrico e não dielétrico).

Não sendo o objetivo deste texto explicar cada uma dessas situações, vamos apresentá-las parauma situação mais abrangente.

Inicialmente, vamos introduzir o conceito de anisotropia magnética; supondo que existam meioscuja permeabilidade magnética (µ) seja preponderante em uma certa direção. Imaginemos umachapa de ferro com grãos orientados, ou mesmos um empilhamento de chapas para a formação de,por exemplo, um núcleo de um transformador, cf. a Figura 2.5.

Figura 2.5: Materiais magnéticos em forma de chapas.

De acordo com a Figura 2.5, em ambos os casos, o fluxo magnético encontrará maior facilidadeno sentido Ox. No primeiro caso (Figura 2.5a), isto se deve à orientação de grãos e no segundo(Figura 2.5b) é devido à presença de micro-entreferros entre as chapas. Imaginemos então a exis-tência de um campo ~H tal que seus componentes Hx e Hy sejam iguais a H. Sendo µx e µy aspermeabilidades nas direções Ox e Oy, temos

Bx = µx ·H e By = µy ·H (2.20)

Notamos que Bx será maior que By. Portanto, haverá uma defasagem angular entre ~H e ~B.Caso admitamos que Hx = Hy, H formará um ângulo de 45 com Ox, no entanto, ~B formará umângulo diferente de 45 pois Bx e By são diferentes.

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Conclusão: a relação ~B = µ · ~H, onde µ é um escalar, não é geral, pois não satisfaz os casosilustrados na Figura 2.5.

Vamos então introduzir o conceito do tensor de permeabilidade que será apresentado sob aforma ‖ µ ‖. Relembremos antes que, em álgebra matricial, um vetor, por exemplo ~B, é expressosob a forma de uma matriz coluna como a que se segue

~B =

BxByBz

(2.21)

O tensor ‖ µ ‖ será uma matriz quadrada com a forma seguinte

‖ µ ‖=

µx 0 00 µy 00 0 µz

(2.22)

A expressão geral ~B =‖ µ ‖ · ~H é, matricialmenteBxByBz

=

µx 0 00 µy 00 0 µz

×Hx

Hy

Hz

(2.23)

Num sistema de coordenadas ortogonais genérico, a matriz ‖ µ ‖ pode não ser diagonal, masainda será uma matriz simétrica com autovalores µx, µy e µz.

Observemos que se o material é isotrópico, ou seja µx = µy = µz = µ, a equação ~B =‖ µ ‖ · ~Hassume a forma particular ~B = µ · ~H.

Além do conceito de anisotropia, que torna complexo o estudo de materiais magnéticos, temosum outro fenômeno frequente na maioria dos equipamentos eletromagnéticos, segundo o qual a per-meabilidade µ não é constante, mas depende do próprio valor de ~H existente no material magnéticoem questão. Este fenômeno chama-se saturação e faz com que a relação geral de passagem entre ~Be ~H passa a ser:

~B =‖ µ(H) ‖ · ~H (2.24)

O conceito de anisotropia pode ser estendido à permissividade elétrica ε, por analogia

~D =‖ ε ‖ · ~E (2.25)

onde o fenômeno de saturação é desprezível.Este mesmo conceito também pode ser estendido à condutividade σ, e a outra relação de

passagem torna-se

~J =‖ σ ‖ · ~E (2.26)

Concluindo, as equações de Maxwell e suas relações de passagem para um meio material qual-quer são:

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rot ~H = ~J + ∂ ~D∂t

rot ~E = −∂ ~B∂t

div ~B = 0div ~D = ρ~B =‖ µ ‖ · ~H~D =‖ ε ‖ · ~E~J =‖ σ ‖ · ~E

(2.27)

2.2.4 As equações de magnetostática

As equações de Maxwell relativas à magnetostática são as seguintes:

rot ~H = ~J (Lei de Ampère) (2.28)

div ~B = 0 (Lei da conservação de fluxo) (2.29)

rot ~E = −∂~B

∂t= 0 (Lei de Faraday) (2.30)

2.2.5 As equações de magnetodinâmica

As equações relativas à magnetodinâmica são as seguintes:

rot ~H = ~J (2.31)

div ~B = 0 (2.32)

rot ~E = −∂~B

∂t(2.33)

A primeira equação, como visto anteriormente, representa a Lei de Ampère. A segunda equaçãoencerra os conceitos de continuidade e conservação do fluxo magnético. É interessante observar queseus significados não sofrem qualquer modificação no domínio da magnetodinâmica.

A terceira equação traduz a Lei de Faraday, princípio da indução magnética, em que se baseiaa maioria dos equipamentos eletromagnéticos, a exemplo do transformador.

2.3 Considerações finais

Neste capítulo foram apresentadas, de forma sucinta, as leis fundamentais da eletrodinâmica, to-mando como base as equações de Maxwell.

Efetivamente, muitos outros conceitos e grandezas que se colocam em torno destas equaçõesdeixaram deliberadamente de ser abordados, como por exemplo: forças, imãs permanentes, energia,co-energia etc. Afinal, o objetivo foi limitar-se ao domínio da eletrotécnica, ou seja, aos estudos

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quase-estacionários, onde as frequências são baixas e atuam equipamentos como as máquinas elé-tricas e os transformadores.

O eletromagnetismo das baixas frequências foi enfocado, relegando a um plano secundário, deforma proposital, a eletrostática, em favor da magnetostática e da magnetodinâmica.

2.4 Questões e problemas propostos1. Dê a interpretação física das equações de Maxwell.

2. Mostrar que ~∇ · ~B = 0 pode ser deduzida de ~∇× ~E + ∂ ~B∂t = 0.

3. Deduzir a Lei de Coulomb a partir da lei de Gauss.

4. Usando a equação de Maxwell ~∇× ~E + ∂ ~B∂t = 0, provar a lei de indução de Faraday.

5. Deduza a lei de Gauss para o campo magnético.

6. Suponha que um fio retilíneo de seção transversal de raio R esteja sendo percorrido por umacorrente I de maneira uniforme. Calcule o campo em um raio r para: r < R, r = R e r > R.(Resposta: H = I·r

2πR2 , H = I2πR , H = I

2πR .)

7. Dada a função vetorial Ex = Ky,Ey=Kx,Ez = 0. Calcule o rot ~E. Supondo que essa funçãorepresente um campo eletrostático, o que podemos dizer sobre este campo?

8. Mostrar que as componentes normais de B, através de uma superfície de separação de doismeios, são contínuos.

9. Um cabo coaxial consiste de um condutor interno sólido de seção transversal de raio Qcircundado por um cilindro condutor oco de raios interno e externo a e b, respectivamente.Considerando que uma corrente I escoa no condutor interno e retorna pelo externo comdistribuição uniforme e que o comprimento do cabo é infinito, calcule a indução magnéticaatravés do cabo.(Resposta: ~B = µ0

I2π ln

(ba

)~k)

10. A indução magnética de um certo campo magnético é dada pela expressão

~B = axz~i+ bzy~j + c~k

Qual a relação entre a e b?(Resposta: a = −b)

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32

Capítulo 3

Materiais Magnéticos e CircuitosMagnéticos Simples

3.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os materiais magnéticos e suas aplicações em circuitos magnéticossimples. Onde o termo circuito magnético simples é aplicado a uma trajetória fechada do fluxomagnético e a direção da indução magnética coincide com a direção desta trajetória em qualquerponto de qualquer meio por onde se propaga o campo magnético. Portanto, a caracterização destemeio é uma informação que se deve ter a priori.

Assim, partindo dos conceitos de permeabilidade e susceptibilidade magnética, distinguem-seos materiais ditos paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos, incluindo-se as ligas amorfase os materiais nanocristalinos. Em seguida, tomando por base parâmetros como força coerciva,indução remanescente e produto (BH)max, são apresentados os materiais magneticamente duros,mais conhecidos como ímãs permanentes, incluindo os chamados terras-raras.

Destaque especial será dado aos materiais ferromagnéticos devido à importância destes na eletro-técnica, particularmente no que toca às suas aplicações em núcleos de transformadores e máquinaselétricas.

3.2 Classificação dos materiais magnéticos

Todos os meios possuem propriedades magnéticas. Na presença de um campo magnético ~H, eles sãosede de uma indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) ~B, e magnetização (imantaçãomagnética) ~M .

O vetor imantação magnética ou magnetização ~M pode ser definido como o momento magnéticototal por unidade de volume, e sua unidade é A/m.

Conforme vimos no capítulo anterior, as propriedades magnéticas dos materiais podem serdiscutidas a partir da relação ~B =‖ µ ‖ · ~H + ~Br, onde µ é a permeabilidade magnética genérica deum meio material qualquer. Em particular, o valor da permeabilidade do vácuo é não nulo, e valeµ0 = 4π · 10−7H/m.

Vimos, também, que os vetores ~B e ~H nem sempre são paralelos. Por isso, uma forma alternativapara caracterizar um material, do ponto de vista magnético, é relacionar vetor imantação magnética~M com o vetor campo magnético ~H, mediante a expressão (3.1):

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~M = χ · ~H (3.1)

na qual χ representa a susceptibilidade magnética do meio.Considerando que um meio se superpõe ao vácuo, os três vetores magnéticos são relacionados

de acordo com a seguinte expressão:

~B = µ0( ~H + ~M) = µ0(1 + χ) · ~H (3.2)

na qual µ0(1+χ) = µ é a permeabilidade do meio material e a permeabilidade relativa µr = µµ0,

aparece como sendo igual à sua susceptibilidade magnética acrescida da unidade:

µr = 1 + χ (3.3)

Desta forma, a classificação dos materiais, do ponto de vista magnético, pode ser feita a partirde sua susceptibilidade magnética ou de sua permeabilidade magnética.

Lembrando-se que, por definição, a permeabilidade relativa do ar é igual a 1, distinguem-seentão:

a. Os materiais ditos paramagnéticos, cf. a Figura 3.1, por possuírem uma susceptibilidademagnética positiva (χ > 0), praticamente constante e muito baixa. Ou, em termos de permea-bilidade relativa, valores ligeiramente superiores à unidade, pode-se dizer que são materiais queconcentram fracamente o campo magnético. Exemplos de materiais pertencentes a esta categoria:

- o ar (χ = 3, 8 · 10−7)- o oxigênio (χ = 2, 0 · 10−5)- o alumínio (χ = 2, 2 · 10−5)- a platina (χ = 3, 3 · 10−4)

Figura 3.1: Classificação dos materiais magnéticos em função da susceptibilidade magnética.

b. Os materiais conhecidos como diamagnéticos, cf. Figura 3.1, que têm uma susceptibilidademagnética negativa (χ < 0), praticamente constante e muito baixa. Exemplos de alguns dessesmateriais são:

- a água, H2O (χ = −9, 0 · 10−6)- o bismuto, Bi (χ = −1, 5 · 10−4)- a prata, Ag (χ = −2, 0 · 10−5)- o ouro Au (χ = −3, 5 · 10−5)

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Os materiais diamagnéticos tendem a ser repelidos da fonte geradora do campo externo. Noentanto, como a relação de permeabilidade é muito próxima de 1, este efeito será de intensidademuito fraca, e dificilmente mensurável.

c. Os materiais ditos ferromagnéticos1, cf. Figura 3.1, têm uma susceptibilidade magnética ex-tremamente elevada e variável (χ >> 0). Como veremos a seguir, são meios de extrema importânciaem dispositivos eletromagnéticos. Exemplos desses materiais são, em termos de permeabilidade re-lativa, os seguintes:

- ferro com 0,2% de impurezas (µr = 6000)- aço (µr = 500 a 5000)- ferro fundido (µr = 30 a 80)- ferro para núcleos de transformadores (µr = 5500)É interessante observar que, se um material ferromagnético estiver em um ambiente aquecido, e

se a temperatura em questão ultrapassar um valor crítico, chamado temperatura crítica ou tempe-ratura de Curie, este material passa a ter o comportamento de um material paramagnético. Nesteponto, o alinhamento líquido dos momentos magnéticos atômicos com o campo externo é eliminadoporque a agitação térmica excede à energia de troca, e os domínios magnéticos são destruídos.

Valores típicos de temperatura de Curie são: 770C para o ferro, 1115C para o Cobalto, 348Cpara o níquel, e para a liga amorfa Fe78B13Si9 o valor é de 420C.

É interessante assinalar, também, que o ferro, ligado a outros materiais, produz ligas ferromag-néticas de propriedades especiais:

- Ligas de ferro-níquel (Permalloy, Nicalloy, Supermalloy)- Ligas de ferro-cobalto (Hyperco, Permendor)- Ligas de ferro-silício (de grãos orientados e de grãos não-orientados)Nestas últimas, a adição de silício ao ferro diminui o envelhecimento da liga, praticamente anula

a fadiga magnética do material, aumenta a resistividade elétrica e reduz as perdas magnéticas.Entretanto, acima de certos teores, o silício diminui a indução de saturação (Bsat) e torna a ligafrágil e difícil de ser trabalhada.

As aplicações dos materiais ferromagnéticos na eletro-eletrônica são vastas: incluindo os equi-pamentos de informática, onde as informações são lidas ou armazenadas em meios ferromagnéticos.

3.2.1 Interpretação pela teoria dos domínios

Uma forma alternativa de interpretação das propriedades magnéticas dos materiais é dada pelateoria dos domínios magnéticos. De acordo com esta teoria, um material seria constituído por umconjunto de pequenos domínios (da ordem de 10−9cm3) no interior dos quais, todos os momentosmagnéticos teriam a mesma orientação e estes domínios seriam o resultado da ação do campomolecular (ou seja, do campo resultante, devido ao conjunto das órbitas eletrônicas das moléculasdo material).

Assim, baseados nesta teoria, os materiais magnéticos seriam classificados da seguinte forma:a. Materiais diamagnéticos ou paramagnéticos teriam os momentos magnéticos de seus domínios

orientados de forma aleatória, mesmo na presença de um campo externo ~H, cf. a Figura 3.2.Este comportamento ocorre porque há um movimento que altera todas as cargas rotativas emrelação à direção do campo e o efeito desta mudança é o aparecimento de um campo oposto ao

1Vem da palavra latina para ferro: ferrum.

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campo aplicado, independentemente da direção do movimento de rotação ou translação. Além dohidrogênio, outros materiais que possuem essa característica são a prata e o cobre (diamagnéticos),o alumínio e a platina (paramagnéticos). Esses dois últimos, assim como os demais materiaisparamagnéticos, possuem permeabilidade relativa ligeiramente superior à unidade.

Figura 3.2: Materiais diamagnéticos ou paramagnéticos.

b. Materiais ferromagnéticos, cf. a Figura 3.3, teriam os seus domínios orientados paralelamenteao campo ~H.

Figura 3.3: Ferromagnetismo.

c. Materiais antiferromagnéticos, cf. a Figura 3.4., teriam os seus domínios iguais e paralelos,mas opostos dois a dois (é o caso do cromo Cr e do óxido ferroso FeO, por exemplo).

Figura 3.4: Antiferromagnetismo.

Geralmente, as substâncias antiferromagnéticas são utilizadas para fios de blindagem magnética.d. Materiais ferrimagnéticos, cf. a Figura 3.5, teriam os seus domínios iguais e paralelos, mas

de módulos diferentes. É o caso dos ferrites, que são materiais praticamente isolantes; compostosda fórmula geral XFe2O4, onde X representa um metal bivalente como o Co, Ni, Cu, Zn. Umexemplo prático é o ferrite Fe2O3FeO, utilizado principalmente em cabeçotes de gravação e leiturade som e imagem e nos disk-drivers dos computadores atuais.

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Figura 3.5: Ferrimagnetismo

3.2.2 Dados numéricos

As propriedades ferromagnéticas de um material também podem ser denotadas pela curva de mag-netização B(H), pois na curva φ(I) está implícita a ideia de dimensões (S, V, l) que particularizamo meio a uma dada estrutura.

Na Figura 3.6 são apresentadas curvas B(H) para três diferentes materiais de uso frequente naeletrotécnica (aço ao silício, aço doce ordinário e ferro fundido).

Figura 3.6: Curva de magnetização B(H).

Podemos, também, obter a curva da permeabilidade relativa do material, em função de B,partindo da curva B(H) da Figura 3.7. Lembrando que µ = B

H , o cálculo da declividade da curvaponto a ponto nos dará a curva µr(B), cf. a Figura 3.7.

Para o aço ao silício, no ponto máximo da curva µr(B), temos:

(µr)max = 5200, B = 0, 4T (H = 60A.esp/m) (3.4)

Para o aço doce, temos:

(µr)max = 2200, B = 0, 3T (H = 110A.esp/m) (3.5)

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Figura 3.7: Permeabilidade relativa em função da indução magnética µr(B).

3.2.3 Novos materiais: as ligas amorfas e os materiais nanocristalinos

As ligas amorfas: o que são e como produzi-las

As ligas amorfas formam um grupo de materiais metálicos não-cristalinos, as quais se caracterizampor não possuírem, a longa distância, uma estrutura atômica ordenada. O princípio básico deobtenção destes materiais é o da solidificação rápida de metais, a partir de seu estado fundido.Nestes processos, as taxas de resfriamento devem ser elevadas o suficiente, de forma a inibir acristalização. Desta forma, em valores típicos, na faixa de 104 a 108K/s, a solidificação ocorre deforma abrupta, sem que haja tempo para mudanças microestruturais. Assim, o material atingeo seu estado sólido, mantendo uma estrutura atômica desordenada, semelhante aos líquidos e aosvidros cerâmicos.

Embora as composições químicas das ligas amorfas termicamente estáveis já fossem conhecidasem meados da década dos setentas, as técnicas de obtenção destes materiais só produziam fitasde uns poucos milímetros de largura. Esta limitação, entretanto, passou a ser superada a partirda produção contínua de ligas amorfas, em relativa larga escala, pelo processo melt-spinning equando NARASIMHAN (1979) desenvolveu e patenteou o processo de fundição em fluxo planar(Planar Flow Casting, PFC), tornando possível a produção de fitas mais largas e suas aplicaçõesem núcleos de transformadores. Nestes processos, a liga fundida é depositada na forma de jatocontínuo sobre um substrato de um volante refrigerado que gira a alta velocidade. Desta forma, omaterial fundido é solidificado rapidamente ao entrar em contato com o substrato, desprendendo-sedo mesmo a uma velocidade tangencial de cerca de 30 km/h, para em seguida ser enrolado de formacontínua, conforme ilustrado na Figura 3.8.

Atualmente, as técnicas empregadas na produção de ligas amorfas são bastante variadas, po-dendo ser divididas em técnicas por coquilhamento, atomização e fusão superficial por laser. Nestasdiversas técnicas, onde o metal líquido é submetido a taxas de resfriamento de milhares de grauscentigrados por segundo. Desta forma, produtos de morfologia variada podem ser obtidos, como pósde dezenas de microns, fitas de alguns centímetros de largura e dezenas de metros de comprimento,

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Figura 3.8: Diagrama de blocos representativo do processo de produção de fitas amorfas.

além de camadas superficiais de dezenas de mícron de espessura.Segundo LUBORSKY (1983), o primeiro registro de uma liga metálica não-cristalina, obtida

por deposição de vapor, foi feito por KRAMER (1937). Anos depois, BRENNER et al (1950)reportavam a obtenção, por eletrodeposição, de ligas metálicas amorfas à base de níquel-fósforo. Opróximo passo significativo no desenvolvimento das ligas amorfas foi a publicação do trabalho dofísico soviético GUBANOV (1960), que demonstrou a possibilidade de existência do ferromagne-tismo nas ligas amorfas e mostrou como realizar o cálculo da temperatura de Curie destes materiais,assumindo uma função de distribuição radial específica dos átomos em torno de um dado átomo.A concretização experimental da previsão de Gubanov se deu através do professor POL DUWEZ eseus colaboradores, no Instituto de Tecnologia da Califórnia, Pasadena, USA.

Entretanto, do ponto de vista de aplicações práticas, a liga obtida, Fe75P15C10 apresentavaa desvantagem de ser bastante quebradiça. Esta desvantagem, porém, começou a ser superadaquando CHEN e POLK (1974) introduziram elementos como o silício2 e o alumínio ao sistema. Apartir dessa constatação prática, os metalurgistas de todo o mundo procuraram desenvolver estudossobre estes novos materiais, buscando estabelecer os fundamentos de sua estabilidade e pesquisandoas suas propriedades originais.

De acordo com NG et al (1991), a fórmula geral, definida na patente de CHEN e POLK (1974),para as ligas amorfas termicamente estáveis é a seguinte: MaYbZc, onde M é um ou mais metaisdo grupo constituído pelo ferro, níquel, cobalto, vanádio e cobre; Y representa elementos comoo fósforo, boro e carbono; Z representa elementos como o alumínio, silício, antimônio, estanho,germânio, índio e berilo; enquanto as letras a, b e c representam os percentuais atômicos. A somade a, b e c é igual a 100 e suas faixas são: 60 a 90, 10 a 30 e 0,1 a 15, respectivamente.

Em termos de classificação, é comum classificar as ligas amorfas em três grupos de combina-ções metal-metaloides caracterizados, enquanto materiais magneticamente moles, para indução desaturação (BS), coeficiente de magnetostrição (λS) e por faixa de frequência de aplicação:

1) À base ferro: 1, 4T < BS < 1, 7T e λS ∼ 30 · 10−6.De composição básica em torno de 80% at. de ferro e cerca de 20% at. de metaloides (fósforo,

boro, carbono ou silício), as perdas apresentadas por tais ligas são suficientemente baixas paraque sejam indicadas à realização de circuitos magnéticos na frequência industrial, de 50 Hz a 100kHz. Dentre as aplicações eletroeletrônicas destas ligas destacam-se: os transformadores de distri-buição, os transformadores para aeronaves, transformadores para instrumentos, fontes chaveadas,transdutores, blindagem magnética e máquinas elétricas.

2A adição do silício tende a estabilizar a estrutura ccc da liga à base de ferro, aumentando a sua permeabilidademagnética e reduzindo as perdas específicas. Afinal, o silício, enquanto material semicondutor, aumenta a resistividadeda liga.

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2) À base de ferro-níquel: 0, 7T < BS < 1, 0T e λS ∼ 10 · 10−6.De composição básica em torno de 80% at. de ferro-níquel e em média 20% at. de metaloides

(fósforo, boro, silício ou molibidênio), as melhores aplicações destas ligas estão situadas na faixa de10 kHz a 50 kHz, onde apresentam perdas inferiores àquelas do item anterior. Alguns exemplos deaplicações das ligas à base de ferro-níquel são: transdutores, blindagem magnética, linhas de atrasoe alarme antifurto.

3) À base de cobalto: 0, 5T < Bs < 0, 8T e λS ∼ 10−6 .Apesar de apresentarem baixo valor para a indução de saturação, as ligas amorfas à base de

cobalto são materiais magneticamente moles que apresentam propriedades magnéticas tambémimportantes em altas frequências: magnetostrição quase zero, resistência à fadiga e corrosão, alémde baixas perdas por histerese e por correntes parasitas. Neste particular, estas ligas amorfascompetem com a maioria dos materiais magneticamente duros, na faixa de frequência de 50 kHz a200 kHz . Além das aplicações comuns às ligas de ferro-níquel, as ligas à base de cobalto também sãoempregadas em amplificadores magnéticos, filtros ativos, transformadores ressonantes, moduladoresmagnéticos, aceleradores lineares, transdutores, sensores, magnetrômetros, além de cabeçotes degravação e reprodução de áudio e vídeo.

A seguir, tomando como base os principais parâmetros elétricos, magnéticos e térmicos, sãoapresentados na Tabela 3.1 valores típicos de algumas ligas amorfas atualmente produzidas e co-mercializadas:

Tabela 3.1: Dados de algumas ligas amorfas comerciais.

Grupo Composição Bs (T) Hc (A/m) Tc(C) Tx (C) ρ (µΩ · cm) λS (ppm)Fe-B Fe80B20 1,57 8,0 374 390 140 -Fe-B Fe78B13Si9 1,56 4,0 415 550 137 27Fe-B Fe77Cr2B16Si5 1,41 - 358 535 138 20Fe-B Fe81,5B13Si3,5C2 1,61 6,4 370 480 125 -Fe-Ni Fe40Ni40P14B6 0,75 7,0 250 - 180 -Fe-Ni Fe40Ni38Mo4B18 0,88 - 353 410 138 12Fe-Ni Fe39Ni39Mo4B12Si6 0,75 - 260 450 135 8Co Co69Fe4Ni1Mo2B12Si12 0,70 - 365 520 136 <1Co Co66Fe4Ni1B14Si15 0,55 - 205 550 142 <1Co Co66Fe4Mo2B12Si16 0,55 - 250 500 135 <0,3

Os materiais nanocristalinos: o que são e como produzi-los

Os materiais nanocristalinos são uma nova classe de materiais policristalinos com tamanho de grãosna ordem de 1 a 100 nm. Estes novos materiais podem ser obtidos por diferentes processos: conden-sação de gás inerte, “mechanical alloying”, deposição de plasma, “spray conversion processing”, sãoalguns dentre outros métodos. De fato, em princípio, qualquer método capaz de produzir materiaispolicristalinos muito finos podem ser usados para se produzir materiais nanocristalinos.

De acordo com MASUMOTO (1994), a primeira obtenção experimental de uma estrutura na-nocristalina é creditada a Yoshizawa e seus colaboradores, em 1988.

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As propriedades dos materiais nanocristalinos são geralmente superiores àquelas dos materiaispolicristalinos tradicionais, sobretudo no que diz respeito às propriedades eletromagnéticas comoalta permeabilidade, baixa força coerciva e resistividade elétrica elevada, o que resulta em baixís-simas perdas por correntes parasitas.

Na Tabela 3.2 são apresentas, de forma resumida, algumas propriedades magnéticas relativas aligas nanocristalinas do sistema ternário Fe-M -B (M ≡ Zr, Hf ou Nd) em comparação com outrasligas magneticamente moles.

Tabela 3.2: Propriedades magnéticas Bs, µe (f = 1kHz) e Hc, perdas no núcleo W , estrutura eespessura t das ligas do sistema ternário Fe-M -B (M ≡ Zr, Hf ou Nd) em comparação com outrasligas magneticamente moles.

Liga Estrutura t Bs µe Hc W(µm) (T) (A/m) (W/kg)

a 1,7 T a 0,2 Te 50 Hz e 100 kHz

Fe91Zr7B2 c.c.c 18 1,7 14000 7,2 - -Fe89Zr7B4 c.c.c 18 1,63 22000 5,6 0,21 79,7Fe90Zr7B3 c.c.c 13 - - - - 61,5Fe89Hf7B4 c.c.c 17 1,59 32000 5,6 0,14 59,0Fe84Nb7B9 c.c.c 22 1,49 22000 8,0 0,19 75,7Fe-6,5 massa % Si c.c.c orientado 300 1,8 2400 9,6 - -Fe78B13Si9 Amorfa 20 1,56 9000 2,4 0,24 168Co-Fe-Si-B Amorfa 18 0,53 80000 0,32 - -Fe73,5Si3,5B9Nb3Cu1 c.c.c 18 1,24 100000 0,535 - -

Os materiais nanocristalinos são relativamente novos e somente a partir do início da década dosnoventas é que os pesquisadores começaram a explorar as várias potencialidades destes materiais. Acombinação das excelentes propriedades magnéticas, elétricas, térmicas e mecânicas destes materiaisresultaram em várias aplicações na eletro-eletrônica tais como: produção de núcleos enrolados paraatenuação de interferência eletromagnética, componentes para fontes chaveadas, conversores defrequências para motores elétricos, indutores, sensores, reatores saturáveis, transformadores paraaltas frequências e cabeçotes magnéticos.

De acordo com SURYANARAYANA (1995), duas empresas americanas deram inicio à produçãode pós nanocristalinos, em escala industrial: Nanophase Technologies (Darien, IL) e Nanodyne, Inc.(New Brunswick, NJ).

Além destas empresas americanas, outras empresas europeias também estão produzindo e co-mercializando materiais nanocristalinos, a exemplo da ULTRAN (Olten, Suíça), PSI Ltd (Polegate,East Sussex, UK), FSU (Talinn, Latvia) e VAC (Hanau, Alemanha).

Em 1994, o preço inicial do pó nanocristalino produzido era de $110/kg, com tendência dequeda deste valor, tendo em vista o aumento da demanda.

O elevado valor da permeabilidade, baixa força coerciva, boa estabilidade térmica e indução desaturação superior a 1,2 Tesla, fazem das ligas nanocristalinas concorrentes de qualidades iguais ousuperiores às ligas permalloys, ferrites ou ligas amorfas à base de cobalto em diversas aplicações

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eletroeletrônicas.

3.2.4 Ímãs permanentes

Os ímãs permanentes, também conhecidos como materiais magneticamente duros, formam um dosmais antigos e continuamente estudados ramos da ciência. Suas origens se perdem nas mitologiasda antiguidade, sendo que a primeira aplicação da ocorrência natural desses materiais que temnotícia provém das crônicas chinesas, muitos séculos anteriores a nossa era, há cerca de 2000 anos.Contam-se que as caravanas mais bem preparadas para cruzarem o deserto de Gobi levavam sempreum camelo albino que carregava uma jarra cheia de água, protegida por um aparelho de madeiraque ia nas costas do animal. Dentro deste aparelho flutuava uma tigela, tendo no seu interior umpedaço de ferro magnetizado. As laterais da jarra eram pintadas de várias cores: vermelho para osul, preto para o norte, verde para o leste e a cor branca para o oeste. Era essa bússola primitivaque guiava as caravanas pelas areias do deserto.

Há também nas crônicas chinesas, descrições de portões magnéticos, que impediam o acesso deinvasores armados, e de entradas magnéticas, possíveis graça à pedra mágica CHU-SHIH. De fato,essa pedra mágica nada mais era do que um pedaço de ferro magnetizado, à época chamado de“pedra do amor”, porque a atração por pedaços de ferro era semelhante à atração dos pais pelosfilhos.

Não obstante essas pioneiras incursões orientais no chamado magnetismo permanente, o prin-cipal desenvolvimento destes materiais se deu na Europa. A tecnologia de fabricação de agulhasde aço que poderiam reter o magnetismo, tornando-o permanente, ocorreu na segunda metade doprimeiro milênio. A bússola foi o primeiro equipamento magnético a modificar o mundo, e forneceua base para a primeira indústria de materiais magnéticos. A utilização deste equipamento na na-vegação permitiu as grandes viagens marítimas, responsáveis pelas chamadas grandes descobertas,não só de Cristóvão Colombo e seus sucessores, mas também de Cheng-Ho que descobriu Zanzibar,duas gerações anteriores à expedição que partiu do porto de Palos, sob o comando de Pedro ÁlvaresCabral. Porém, para que se obedeça ao rigor histórico, deve ser registrado que o princípio tecnoló-gico para a obtenção da bússola já estava estabelecido num texto do chinês Shen Kua, datado decerca de 1088. Anterior, portanto, ao primeiro texto europeu de que se tem notícia, de autoria domonge inglês, Alexander Neckham, que trabalhava na Universidade de Paris, em 1190.

Essas referências históricas são interessantes e importantes, enquanto referenciais, entretanto, oprimeiro texto verdadeiramente reconhecido, do ponto de vista científico, foi aquele publicado porWilliam Gilbert, sob o título De Magnet. Gilbert desmistificou as superstições atribuídas aos ímãspermanentes e apresentou uma descrição qualitativa do campo dipolar, baseada em experimentoscom agulhas de bússolas e pequenas esferas ou terrellae esculpidas a partir de um ímã natural,conhecido como lodestone, finalizando com a proposição de que a própria terra se comportariacomo um grande ímã.

Até 1820, a correlação entre os fenômenos elétricos e magnéticos não havia se estabelecido, oque foi feito por Oersted. Ele descobriu que um fio conduzindo corrente elétrica poderia desviar aagulha de uma bússola. Semanas depois de Oersted apresentar a sua descoberta, Ampère e Arago,em Paris, demonstraram que uma bobina conduzindo uma corrente elétrica se comporta exatamentecomo um ímã. Esta descoberta, juntamente com a descoberta da indução magnética por Faraday,lançaram as bases para o eletromagnetismo clássico, mediante a unificação das ciências da luz,eletricidade e magnetismo em quatro equações: as conhecidas equações de Maxwell.

A partir do estabelecimento das equações de Maxwell, até os dias atuais, a compreensão do ele-

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tromagnetismo passou pela mecânica estatística clássica, pela relatividade e pela mecânica quân-tica, envolvendo nesse processo cientistas brilhantes como: Bohr, Compton, Dirac, Schrödinger,Heisenberg, Weiss, Pauli e Madame Curie.

Em 1931, Mishima desenvolveu uma liga composta por alumínio (10%), níquel (25%) e ferro(65%). Esta liga foi a precursora dos atuais ímãs Alnicos, que como o próprio nome sugere, sãocompostos por, alumínio, níquel, cobalto ou cobre e ferro. Estes tipos de ímãs se desenvolveram enos 20 anos subsequentes já formavam quatro famílias: (i) as ligas isotrópicas (que têm propriedadessimilares em todas as direções), com 12% de Co ou menos; (ii) ligas tratadas com campo magnéticode coercitividade moderada; (iii) ligas de alta coercitividade, contendo mais de 30% de Co e (iv)variedades columnar dos itens (ii) ou (iii).

Em 1938, Oliver e Shelddon mostraram que poderiam ser obtidas ligas de Al-Ni-Co com proprie-dades anisotrópicas, isto é, ímãs permanentes com propriedades magnéticas melhoradas numa dadadireção preferencial, mediante um processo de resfriamento sob campos magnéticos controlados.

O domínio do mercado dos ímãs permanentes pelos Alnicos (ímãs metálicos) só foi alterado pelaintrodução dos ímãs ferrites sinterizados (cerâmicos) nos anos 50. Estes ímãs possuem propriedadesmagnéticas permanentes devidas ao fenômeno do ferrimagnetismo (isto é, os momentos magnéticosde alguns íons de Fe estão em anti-paralelo, uns com relação aos outros) uma vez que as propriedadesmagnéticas do metal são devidas ao ferromagnetismo.

Em termos práticos, os ferrites podem ser isotrópicos ou anisotrópicos e são produzidos porprocessos metalúrgicos do pó, a partir de uma composição de óxido de ferro e carbonato de bário(Ba) ou estrôncio (Sr). Este pó, com partículas de cerca de 1µm de diâmetro, é molhado, compac-tado e sinterizado para produzir formas geométricas regulares. Do ponto de vista mecânico, estesímãs são duros e quebradiços, à semelhança das cerâmicas, mas podem também ser moldados soba forma de borrachas ou plásticos flexíveis.

As vantagens que esses tipos de ímãs apresentam são os baixos preços, alta resistência à corrosãoe ao ataque químico, uma larga faixa de possibilidades de magnetização e operação em tempera-turas elevadas (limitadas pela temperatura de Curie, é claro!), além de alta resistividade elétrica(1010µΩm comparada com o valor de 0, 5µΩm dos ímãs metálicos), o que tornam mínimas as per-das por histerese e correntes parasitas induzidas por campos magnéticos variantes com o tempo. Adesvantagem dos ímãs ferrites são os baixos valores da indução residual (cerca de 0,4T).

Em comparação aos Alnicos, que possuem uma coercitividade máxima de 150 kA/m, os ímãsferrites possuem uma coercitividade superior, tipicamente de 160 a 400 kA/m, mas o produtoenergético máximo do material ferrite (30 kJ/m3) é inferior aos 40 a 60 kJ/m3 correspondentesaos ímãs Alnicos. Por outro lado, a alta coercividade dos ímãs ferrites permitem a realização decircuitos magnéticos curtos com área de seção transversal larga, na medida em que o valor elevado dacoercividade restringe a tendência de o ímã se autodesmagnetizar. Em contraste, os ímãs metálicosdevem ser empregados em circuitos magnéticos longos, com seções transversais pequenas.

Surgidos mais recentemente, os ímãs samário-cobalto (SmCo5) em 1970 e neodímio-ferro-boro(NdFeB) em 1983, apresentam desempenho bem superior aos ímãs ferrites e alnicos. Os ímãsde SmCo5 possuem um produto energético quatro vezes maior que os ferrites, enquanto os ímãsNd2Fe14B têm um produto energético que é sete vezes o do ferrite. Esses valores elevados doproduto energético por unidade de volume (ou unidade de massa) foi fator determinante para queesses materiais, conhecidos como ímãs terras-raras, fossem imediatamente utilizados em aplicaçõesmilitares e espaciais, assim como na indústria automobilística.

Em síntese, os ímãs permanentes são materiais magneticamente duros, caracterizados por gran-

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dezas magnéticas peculiares, tais como:- indução remanente, ou remanência, Br(T);- campo coercivo, Hc(kA/m);- energia volumétrica, (B ·H)max (kJ/m3);- temperatura de Curie, Tc (oC); e- temperatura máxima de funcionamento no ar, (oC).Atualmente, existem quatro famílias de ímãs: os alnicos, os ferrites, os samário-cobalto e os

neodímio-ferro-boro. Os alnicos, devido à elevada indução remanente, são os mais utilizados eminstrumentos de medição. Os ferrites possuem baixa indução remanente, são considerados de baixocusto e são utilizados em aplicações de massa, que não exigem qualidades excepcionais.

Os ímãs à base de terras-raras possuem propriedades bem superiores às dos alnicos e ferrites.A constância de sua imantação, mesmo sob fortes campos desmagnetizantes, torna-os ideais parao uso em aplicações de atração ou repulsão com campos eletromagnéticos, como no caso específicodo elemento frenador no medidor de energia elétrica tipo eletromecânico.

Graficamente, as curvas de desmagnetização dos principais ímãs permanentes podem ser repre-sentadas no segundo quadrante do plano B −H, conforme mostra a Figura 3.9.

Figura 3.9: Curva de desmagnetização dos principais ímãs permanentes.

Em termos financeiros, cada uma das três gerações dos ímãs terras-raras [SmCo5, Sm2(Co,Fe,Cu)17e Nd2Fe14B] tem ocupado um nicho crescente no mercado mundial dos ímãs permanentes. Na Fi-gura 3.10, são apresentandos dados relativos a 1994. Ímãs ferrites, sobretudo devido ao baixo custo,continuam assumindo a liderança do mercado dos ímãs permanentes.

Em termos de produção, os principais países produtores de ímãs permanentes são, pela ordem:China, Estados Unidos e Japão.

Sobre os ímãs permanentes existe uma vasta literatura, distribuída entre livros textos, anais decongressos, seminários, workshops, etc. No final deste capítulo, na bibliografia, estão referenciadosdois excelentes textos: um excelente invited paper (artigo especialmente convidado), de autoria de

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Figura 3.10: Mercado mundial dos ímãs permanentes em 1994.

Karl J. Strnat, e um outro de autoria de K. J. Overshott. Para aqueles que desejarem se aprofundarsobre este importante assunto, sugiro a leitura destes textos.

3.3 Canalização do fluxo pelos materiais magnéticos

O que determina a importância dos materiais ferromagnéticos na eletrotécnica é a capacidadede canalizar e de captar o fluxo de toda indução magnética devida às correntes situadas em suavizinhança e, em particular, em torno destes materiais.

Para exemplificar, tomemos dois circuitos elétricos: um bobinado no ar, cf. Figura 3.11a, eoutro bobinado em torno de um núcleo ferromagnético, cf. a Figura 3.11b.

Figura 3.11: (a) fluxo de uma bobina no ar (b) fluxo de uma bobina em torno de um núcleo.

Nos dois casos, os campos H nos pontos M1 e M2 são da mesma ordem de grandeza: no caso(a), ele depende dos parâmetros geométricos da bobina e no caso (b), ele depende do comprimentodo núcleo, l. Enquanto a indução B, em pontos como M1 e M ′1, no ar, vale B = µ0 · H, e numponto como M2, no interior do núcleo vale Bm = µ0µrH, ou seja, a indução é µr vezes maior.Considerando que µr atinge facilmente valores na ordem de 103 , deduz-se facilmente que a maiorparte do fluxo estará confinado no núcleo, posto que a indução do ar é cerca de 1000 vezes menorque no material ferromagnético.

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3.4 Criação de campos magnéticos em entreferrosUma outra aplicação importante dos materiais ferromagnéticos é a possibilidade de, através destes,criar campos magnéticos concentrados em espaços livres importantes, chamados entreferros.

Consideremos um núcleo de seção constante S, de permeabilidade suposta constante, no qualfoi feito uma pequena abertura de comprimento le, cf. a Figura 3.12.

Figura 3.12: Núcleo de material ferromagnético com entreferro.

Escolhendo um caminho l coincidindo com o campo H, dividiremos o mesmo em lf , no ferro ele no entreferro. Apliquemos, em seguida a Lei de Ampère:∮

l

~H · d~l =∮lf

~Hf · d~l +∮le

~He · d~l = n · i (3.6)

Assumindo que os campos sejam constantes nas suas respectivas regiões, obtemos:

HF · lf +He · le = n · i (3.7)

Havendo duas incógnitas nesta equação, precisamos estabelecer uma outra equação, que é obtidapela lei da conservação do fluxo:

φf = φe ou Bf = Be (3.8)

µ0 · µr ·Hf = µ0 ·He (3.9)

Partindo das relações (3.7) e (3.8), os campos Hf e He podem ser calculados, mediante asexpressões (3.10) e (3.11):

Hf = n · ilf + µrle

(3.10)

He = µrn · i

lf + µrle(3.11)

A expressão (3.11) vem confirmar que o campo no entreferro, He, é µr vezes maior que o campono ferro; ou seja, tudo se passa como se todo o campo tivesse sido concentrado no pequeno espaçodo entreferro. Essa conclusão, entretanto, não é válida se o circuito magnético estiver saturado.

Finalizando, um exemplo numérico ilustrativo:Suponha que i = 1,0 A, n = 10 espiras e le = 1 mm (valor típico de entreferro em estruturas

eletrotécnicas reais). Com esses valores obtemos He = 10000 A/m.

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Calculando o campo criado a 5 mm de um fio no espaço percorrido por uma corrente de 10 A,obtemos, pela Lei de Ampère, Hf

∼= 318 A/m.

3.5 Lei dos circuitos magnéticos: analogia de HopkinsonQuando um circuito magnético comporta várias malhas, várias excitações e, eventualmente, mate-riais de permeabilidade ou seções diferentes, existem relações entre os fluxos que circulam em seusdiferentes trechos e as f.m.m. (forças magnetomotrizes) que lhes são aplicadas.

Para facilitar a determinação das equações do circuito, pode-se utilizar uma analogia, conhecidacomo analogia de Hopkinson, muito prática porque ela torna o cálculo de um circuito magnéticoanálogo ao de um circuito elétrico, considerando, para isso, quantidades equivalentes. Bastando,neste caso, aplicar as leis de Kirchoff (Leis das malhas e lei dos nós).

Introduzindo esta analogia, vamos considerar um circuito simples, constituído de uma malhaformada por três materiais de permeabilidades µ1, µ2 e µ3, cf. a Figura 3.13.

Figura 3.13: Núcleo com materiais magnéticos de permeabilidades diferentes.

H1 · l1 +H2 · l2 +H3 · l3 = n · i (3.12)

Considerando que a seção magnética seja a mesma para todo o núcleo e que todo o fluxo tambémo seja, teremos:

B = φ

S= µ1 ·H1 = µ2 ·H2 = µ3 ·H3 (3.13)

e a relação (3.12) poderá ser escrita como:(l1µ1S

+ l2µ2S

+ l3µ3S

)· φ = n · i (3.14)

onde as grandezas l1µ1S

, l2µ2S

e l3µ3S

são as relutâncias das diferentes partes:

(R1 +R2 +R3) · φ = n · i (3.15)

Observando a Equação (3.14) percebe-se uma analogia com um circuito elétrico de uma malha,cf. a Figura 3.14, onde a f.e.m. (força eletromotriz) seria igual à f.m.m. (força magnetomotriz) n · i,as três relutâncias seriam representadas por três resistências R1, R2 e R3, que seriam percorridaspor uma corrente elétrica I igual ao fluxo φ.

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Figura 3.14: Circuito magnético equivalente.

De uma maneira geral, a analogia de Hopkinson consiste em substituir o circuito magnético,por seu análogo elétrico. É bom notar que esta analogia é apenas um guia e não a expressãodo fenômeno físico tendo um significado real: ela é sobretudo útil quando é possível considerar apermeabilidade µ constante, ou seja, quando a relutância também o é, e não varia em função dofluxo.

Além do mais, essa analogia do circuito magnético com o circuito elétrico leva a muitas outrasobservações. Para cobrir o assunto, esses detalhes estão apresentados a seguir para o caso de umanel de cobre toroidal e um anel de ferro toroidal, com o mesmo raio médio r e a mesma área deseção transversal A.

Fonte de excitação (3.16)

Tensão aplicada = V (3.17)

Força magnetomotriz (ampère-espira) = F (3.18)

Resposta (3.19)

Corrente elétrica I = V

R(3.20)

Fluxo magnético = φ = FR

(3.21)

Onde R é a resistência elétrica e R é a relutância magnética.

Impedância (3.22)

Impedância é um nome genérico usado para indicar resistência a uma força de excitação emgerar uma resposta:

Resistência = R = ρl

A(3.23)

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Relutância = R = l

µA(3.24)

onde l = 2πr, é o comprimento médio do toroide e A é a área da seção transversal do mesmo.

• Intensidade de campo elétrico:

Com a aplicação da tensão V ao toroide de cobre homogêneo, é produzido dentro do materialum gradiente de potencial elétrico dado por

E ∼=V

l= V

2πr (V/m) (3.25)

Esse campo elétrico deve ocorrer num percurso fechado, se o mesmo for mantido. Segue-se,então, que a integral curvilínea fechada do E é igual à tensão da fonte. Desta forma,

∮E · dl = V (3.26)

• Intensidade de campo magnético:

Quando uma força magnetomotriz é aplicada ao toroide de ferro homogêneo, é produzidodentro do material um gradiente de potencial magnético dado por

H ∼=Fl

= F2πr (A-esp/m) (3.27)

Como já apresentado com a lei circuital de Ampère, a integral curvilínea fechada de H é igualà f.m.m envolvida. Desta forma,

∮H · dl = F (3.28)

• Diferença de potencial elétrico:

Se se deseja calcular a queda de tensão que ocorre entre dois pontos a e b do toroide de cobre,podemos escrever

Vab =∫ b

aE · dl = V

l

∫ b

adl = lab

IR

l= I

lρl

Alab = Iρ

labA

= IRab (3.29)

isto é

Vab = IRab (3.30)

onde Rab é a resistência do toroide de cobre, entre os pontos a e b.

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• Diferença de potencial magnético:Essa é a queda de f.m.m que aparece entre dois pontos, quando o fluxo circula. Desta forma,a parte da f.m.m total aplicada que aparece entre os pontos a e b é encontada

Uab =∫ b

aH · dl = F

llab = φR

llab = φ

l

l

µAlab = φ

labµA

= φRab (3.31)

Uab = φRab (3.32)

onde Rab é a relutância do toroide de ferro entre os pontos a e b.

• Densidade de corrente:Por definição, densidade de corrente é o número de ampères por unidade de área. Destaforma,

J ∼=I

A= V

AR= El

Aρ lA

= E

ρ(3.33)

ou na forma como é expressa frequentemente, a chamada lei de Ohm, sob a forma microscó-pica:

E = ρJ (3.34)

• Densidade de fluxo:A densidade de fluxo magnético é expressa por unidade de área.Desta forma,

B = φ

A= FAR

= Hl

A lµA

(3.35)

H = B

µ(3.36)

Finalizando, deve-se ressaltar que os circuitos elétricos e magnéticos nem sempre são análogosem todos os aspectos. Por exemplo, até os dias atuais, não se conhecem isoladores magnéticosanálogos aos conhecidos para os circuitos elétricos.

3.6 Cálculo de circuitos magnéticos

O cálculo de um circuito magnético significa a determinação da f.m.m. necessária para produzirum fluxo dado em uma parte da carcaça, ou ainda, a determinação do fluxo que é produzido poruma f.m.m. dada (problema inverso).

Em geral, são dadas as dimensões geométricas do material e dados sobre a natureza do mesmo,através da sua curva de magnetização B(H), µr(B) ou ainda φ(n · i).

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Primeira categoria de cálculo: conhecendo φ, calcular n · i

Para calcular a f.m.m., a partir dos fluxos, o princípio de cálculo é deduzir sucessivamente:

1. as induções nas diversas partes do circuito, dependendo das seções e dos fluxos que as atra-vessam;

2. os campos, a partir das induções, seja pela relação B(H) conhecida (no material), seja atravésde H = B

µ0(no ar);

3. os ampères-espiras parciais: H1l1, H2l2, H3l3, . . . necessários para magnetizar as diferentespartes.

Segunda categoria de cálculo: conhecendo n · i, calcular φ

Esta segunda categoria de cálculo é mais delicada. De fato, parece impossível determinar um fluxoa partir de uma relação do tipo: n · i = (R1 +R2 +R3 + . . .). , posto que as relutâncias R1,R2,R3,. . . , dependem da permeabilidade, logo das induções e, consequentemente, do fluxo, que é umaincógnita.

Percebe-se, a partir do exposto, que a solução analítica seria difícil, tornando-se necessário oemprego de métodos numéricos. Um deles, pode ser o de aproximações sucessivas (ou de iterações),supondo conhecido, a priori, um valor de fluxo qualquer. Calcula-se então a f.m.m. correspondenteao valor inicial escolhido para o fluxo, e compara-se com o valor da f.m.m. dada. Deduz-se,então, um segundo valor de fluxo, mais provável, e recalcula-se a f.m.m., sucessivamente, até que adiferença entre a f.m.m. calculada e a f.m.m. dada seja inferior a 5% ou qualquer outra precisãofixada previamente.

Se o circuito possui apenas uma malha, pode-se determinar, simultaneamente, o conjunto devalores n · i e φ que satisfaçam a lei do circuito. Segue-se um exemplo ilustrativo de um indutorcom entreferro:

Exemplo: seja um circuito magnético constituído de ferro fundido com um entreferro de 1 mm,excitado por uma corrente de 1,3 A que circula através de uma bobina de 1000 espiras, cf. aFigura 3.15. Deseja-se calcular a indução B no entreferro, sabendo-se que a permeabilidade relativaao ferro fundido varia, em função de B, de acordo com a Tabela 3.3 (ver Figura 3.15):

Figura 3.15: Circuito magnético simples, com um entreferro.

Introduzindo as relutâncias, escreve-se a lei do circuito:

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Tabela 3.3: Dados de algumas ligas comerciais.

B(T) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0µr 480 350 300 250 200 150 120 110 90 50

n · i =(

lfµ0µrS

+ leµ0S

)· φ (3.37)

ou ainda, introduzindo a indução B (supondo S constante):

µ0 · n · i =(lfµr

+ le

)·B (3.38)

Substituindo os valores numérico dados e considerando µ0 = 4π · 10−7H/m, temos

1, 63 =(200µr

+ 1)·B (3.39)

Pode-se observar que B e r, relacionados por µr(B), segundo a Tabela 3.3, devem satisfazertambém esta equação. Procede-se então o primeiro passo iterativo:

Para B = 0, 6 T, temos: 0,6(

200150 + 1

)= 1,4

Verifica-se que este valor é baixo, inferior a 1,63. Tenta-se então o segundo passo:Para B = 0,7 T, temos: 0,7

(200120 + 1

)= 1,87

Verifica-se que este valor é grande, superior a 1,63. Obtém-se então interpolando os dois valoresde B:

B = 0,65 T (3.40)

3.7 Perdas nos materiais ferromagnéticosQuando um fluxo magnético varia com o tempo, produz-se um campo elétrico induzido, em tornoda região de variação do fluxo. Isto é o que estabelece a lei de Faraday, expressa na equação deMaxwell, rot ~E = −∂ ~B

∂t . Normalmente, estamos mais interessados na força magnetomotriz que estecampo elétrico estabelece nos enrolamentos que circundam as trajetórias magnéticas. Mas estecampo elétrico é também produzido dentro do material magnético e, se o material for condutor,serão estabelecidas correntes induzidas, por terem sido induzidas por uma variação temporal de ~B.

Simultaneamente ao fenômeno das correntes induzidas, produz-se um outro conhecido comohisterese, decorrente do fato que os domínios do metal apresentam uma certa constante de tempoantes de se orientarem com o campo aplicado, exibindo um atraso entre a aplicação do campo e oaparecimento da indução.

Teoricamente, as perdas, traduzidas em forma de calor, são atribuídas aos fenômenos da his-terese e das correntes parasitas. As perdas totais seriam então o resultado do somatório dessasduas componentes. Esta formulação consta da norma brasileira NBR 5161 (ABNT), na qual éapresentada a metodologia na determinação das perdas totais, utilizando um quadro de Epstein, esua separação em duas parcelas. Entretanto, essa descrição fenomenológica é criticável quando se

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examina a questão do ponto de vista da física do ferromagnetismo, que considera a magnetizaçãocomo sendo originada pela movimentação das paredes dos domínios magnéticos.

Na prática, porém, o que se consegue medir são as perdas totais; as quais, para efeito de análise,podem ser divididas em três componentes:

WT = Wh +We +Wa (3.41)ondeWt,Wh,We eWa são, respectivamente, as perdas totais, as perdas por histerese, as perdas

por correntes parasitas e as perdas anômalas, todas expressas em W/kg.Apresentaremos. a seguir, o que significam estes fenômenos com relação às perdas no materiais

ferromagnéticos.

3.7.1 Perdas por correntes de Foucault

Uma vez estabelecidas as correntes induzidas e em sendo o núcleo constituído de material condutor,anéis de corrente se formarão no próprio núcleo, cf. a Figura 3.16.

Figura 3.16: Trajetórias das correntes parasitas num núcleo de material condutor.

É evidente que a estas correntes podemos associar perdas por efeito Joule (P = ρJ2W/m3)que farão com que a energia injetada no sistema para criar ~B seja, em parte, transformada emcalor. Por outro lado, se inicialmente tínhamos um campo nulo no núcleo, estas correntes induzidasestabelecer-se-ão de tal forma a se opor à variação de fluxo; então, a indução total (soma de ~Bimposto pelo exterior e o ~B criado pelos anéis de corrente) poderá ser reduzida.

Pergunta-se: serão estes efeitos desejáveis? A resposta depende da aplicação do dispositivo, ouequipamento. Se desejarmos aquecer um núcleo a resposta é positiva. No caso de um motor deindução, a corrente induzida no rotor é fundamental para que o torque seja criado. Nestes doisexemplos, a criação de correntes induzidas é benéfica ao funcionamento dos dispositivos em questão.Como exemplo contrário, citamos o efeito destas correntes nos núcleos dos transformadores, quedevem transferir potência de um circuito primário para um secundário, através do acoplamentomagnético. Neste caso, se grande parte da energia de entrada for consumida no núcleo sob formade calor, o transformador terá um baixo rendimento.

No caso específico do transformador, um meio de reduzir os efeitos destas correntes parasitasé usar materiais de alta resistividade, em forma de lâminas ou fitas delgadas (como as ligas amor-fas). Estas lâminas, isoladas eletricamente entre elas, impedem a formação de anéis de correntesinduzidas, que se estabeleceriam no plano da seção transversal do núcleo, cf. a Figura 3.17.

Quando as correntes induzidas são nefastas ao bom funcionamento do dispositivo elas são cha-madas correntes de Foucault, às quais serão associadas as perdas por correntes de Foucault, que

53

Figura 3.17: Lâminas empilhadas de material ferromagnético.

aquecem a estrutura por efeito Joule. No caso contrário, elas são chamadas simplesmente de cor-rentes induzidas. É interessante ressaltar que ambas, fisicamente constituem o mesmo fenômeno,partindo da mesma equação de Maxwell, rot ~E = −∂ ~B

∂t .Pode-se demonstrar que no caso de lâminas de espessura e, as perdas por correntes de Foucault

podem ser calculadas pela expressão:

Pf = (πBmaxfe)2

6ρ W/m3 (3.42)

onde ρ é a resistividade do material, dada em Ω·m, f é a frequência, em Hz, e Bmax é a induçãomagnética máxima, dada em T.

3.7.2 Perdas por histerese

Quando um material ferromagnético é submetido à ação de um campo magnético H variável com otempo numa frequência f (f = 1/T ), ele percorrerá um ciclo de magnetização e desmagnetização,denominado ciclo de histerese, cf. a Figura 3.18.

Figura 3.18: Laço representativo de um ciclo de histerese.

Para percorrer o ciclo de histerese, parcela da energia injetada no material é consumida. Istose traduz no aquecimento do material e caracterizam as chamadas perdas por histerese. A melhormaneira de se obter o ciclo de histerese é usando uma corrente contínua, para que não ocorra ageração de correntes parasitas no interior do material. Este tipo de histerese é conhecida comohisterese estática. Em aplicações em correntes alternadas, as perdas por histerese dependem dafrequência e são conhecidas como histerese dinâmica.

Pode-se demonstrar que a área interna do ciclo de histerese representa a energia dissipada, porunidade de volume do material, estabelecendo uma expressão da potência devida ao fenômeno dasperdas:

54

Pn = A · V · f (3.43)

onde A é a área interna do ciclo de histerese.Notemos que as perdas dependem do valor de H aplicado no material, cf. a Figura 3.19.

Figura 3.19: Laços de histerese para diferentes valores de campo magnético aplicado

Em dispositivos eletromagnéticos bem dimensionados em geral, trabalha-se com valores elevadosde indução, às vezes em saturação, o que nem sempre é desejável.

Usando resultados experimentais para valores máximos de B situados entre 0,2 a 1,5 T, Stein-metz chegou a uma expressão empírica que fornece a área do ciclo de histerese, conhecida como aequação de Steinmetz, dada em W/m3.

Ph = η ·B1,6 · f (3.44)

onde η é uma constante que depende do material.Na fórmula de Steinmetz, o expoente 1,6 reproduz o fenômeno de histerese com suficiente

aproximação somente para valores de B inferiores a 1,0 T; para valores superiores, o valor doexpoente aproxima-se de 2.

Alguns valores típicos de η são:

η = 2, 4 para chapas de ferro normais (3.45)

η = 1, 4 para chapas de ferro com silício (2-3%) (3.46)

Nas máquinas elétricas, as perdas por histerese e correntes de Foucault constituem um fenômenoindesejável. Procura-se então, reduzir estas perdas, escolhendo um material onde o ciclo de histereseseja o mais fino possível: aço doce para as carcaças (estator) das máquinas girantes, aço com baixoteor de silício (2 a 3%) para as armaduras dos induzidos (rotor) das máquinas de corrente contínua,e aços de grãos orientados, com alto teor de silício (4 a 5%) para chapas de transformadores.

3.7.3 Perdas anômalas

As perdas anômalas são atribuídas às correntes parasitas adicionais causadas pelos movimentosdas paredes de Bloch. A velocidade da parede será proporcional à largura d do domínio no estadodesmagnetizado, sob a condição que todas as respectivas paredes sejam móveis e que seu númeroseja constante durante o processo dinâmico de magnetização. Com essas precondições,

55

WaαfB2d (3.47)

3.7.4 Perdas totais

As perdas totais, por ciclo, incluem as perdas por histerese, as perdas por correntes parasitas e asperdas anômalas:

WT

f= khB

xm + (πeBm)2f

6ρ + Wa

f(3.48)

De uma forma simplificada, pode-se dizer que, de acordo com a Equação (3.48), as perdasanômalas seriam o que resta após as perdas por histerese e por correntes parasitas terem sidosubtraídas das perdas totais, cf. a representação gráfica da Figura 3.20.

Figura 3.20: Divisão das perdas em suas partes constituintes.

3.8 Considerações finais

Procurou-se apresentar e discutir neste capítulo, diversos aspectos relativos aos materiais magne-ticamente moles (incluindo-se as ligas amorfas e os materiais nanocristalinos) e os materiais ditosmagneticamente duros (incluindo-se os ímãs terras-raras).

Foram apresentados circuitos magnéticos em trajetórias magnéticas fechadas, onde grande fluxomagnético pode ser estabelecido e controlado pela aplicação de uma força magnetomotriz muitopequena, oriunda de uma bobina envoltória.

Também foi visto que em núcleo de materiais magnéticos com entreferro, o efeito da forçamagnetomotriz da bobina concentra-se no referido entreferro, permitindo a produção de um campomagnético intenso, num volume restrito de espaço.

Finalmente, foram discutidas as perdas nos materiais ferromagnéticos, apresentando as per-das totais em núcleos de materiais ferromagnéticos, segundo uma metodologia de separação destasem perdas parasíticas, histeréticas e anômalas, apresentando algumas estratégias práticas de comominimizar tais perdas, com vistas à obtenção da eficiência energética nos equipamentos eletroele-trônicos.

56

3.9 Questões e problemas propostos1. Estabeleça a distinção entre os materiais magneticamente moles, os magneticamente duros

e os materiais magneticamente intermediários (meios de gravação magnética). Cite exemplopara cada um desses materiais.

2. Estabeleça a distinção entre os materiais ferromagnéticos, paramagnéticos e diamagnéticos.Cite exemplo para cada um desses materiais.

3. O que são domínios magnéticos?

4. O que são ligas amorfas e como elas podem ser obtidas?

5. O que são ligas nanocristalinas e como elas podem ser obtidas?

6. Qual a principal diferença entre ligas amorfas e ligas nanocristalinas magneticamente moles?

7. Partindo das características B-H do segundo quadrante, estabeleça as diferenças entre osprincipais tipos de ímãs permanentes comercializados atualmente.

8. Quais as principais analogias que podem ser estabelecidas entre os circuitos elétricos e oscircuitos magnéticos?

9. As principais perdas nos materiais ferromagnéticos podem ser separadas em três componentes.Cite-as e discuta fisicamente as origens de cada uma delas.

10. Uma corrente I = 1 A circula em um circuito elétrico ABCD, em forma de uma espiraquadrada, de lado igual a 10 cm. Qual a direção e o valor da intensidade de campo magnéticocriado por esta corrente no centro O do quadrado? (Resposta: 9 A-esp/m)

11. Uma bobina de 100 espiras é enrolada em torno de um toroide de ferro de raio externo iguala 43,11 mm e raio interno igual a 20,55 mm. Admitindo que a permeabilidade do ferro sejaconstante e igual a 0,001 H/m, responda as seguintes questões.

(a) Qual é o valor da indutância própria da bobina? (Resposta: L = 0,02 H)(b) Qual a energia armazenada no ferro se a bobina for percorrida por uma corrente contínua

de 0,1 A? (Resposta: Wmag = 10−4 J)

12. Considere um circuito magnético fixo, excitado por um ímã permanente, criando uma induçãomagnética radial B = 1 T num entreferro anelar. Considere ainda uma pequena bobina de 30espiras e de raio médio 1,5 cm que possa se deslocar axialmente neste entreferro, presa a umcone de papelão que permita transformar este movimento em ondas acústicas: este dispositivomostra o princípio em que se baseia a realização de certos alto-falantes ou microfones.

57

(a) Funcionando como alto-falante, uma corrente circula pela bobina, e o cone ao se deslocaremite os sons. Pergunta-se: qual é a força que atua sobre a bobina se a corrente for de0,25 A? (Resposta: 0,706 N)

(b) Funcionando como microfone, o deslocamento do cone, devido à pressão exercida poruma onda sonora frontal, movimentará a bobina e nesta será induzida uma f.e.m. quefaz circular uma corrente elétrica. Pergunta-se: qual o valor da f.e.m. se a bobina sedeslocar numa velocidade u = 0,12 m/s? (Resposta: 0,34 V)

13. No circuito magnético representado pela Figura abaixo, as dimensões geométricas estão apre-sentadas em centímetros. O núcleo é retangular. A espessura do material dielétrico docarretel sobre o qual está enrolada a bobina é de 2 cm. A bobina tem 1000 espiras e umaresistência de 50,0 Ω. O material ferromagnético do núcleo possui uma permeabilidade rela-tiva µr = 1,0× 104 para densidades de fluxo B até 1,5 T. Para densidades de fluxo maiores,a permeabilidade relativa é µrs = 1,0 × 102. Suponha que a bobina é alimentada por umafonte CC de 120,0 volts e resistência interna de 350 Ω.

(a) Calcule a corrente de saturação; (Sugestão: use a lei de Ampère)(b) Esboce o gráfico de variação da corrente no tempo;(c) Suponha, agora, que a bobina passa a ser alimentada por uma fonte CC de 40,0 volts e

resistência interna de 350 Ω. Para essa nova condição de operação, esboce o gráfico davariação da corrente no tempo.

14. Um ímã permanente, com peças polares, fornece uma indução magnética de 0,3 T a umentreferro de 2 mm de comprimento e seção transversal de 4 cm2. As peças polares possuem

58

uma permeabilidade infinita e o ímã possui as seguintes características:

Bu = 1 T |BuHu|max = 45000 J/m3.

Determinar as dimensões do ímã (comprimento, área da seção transversal e volume), supondoque o fluxo útil no entreferro seja igual a apenas 25% do fluxo total produzido pelo ímã.(Resposta: l = 1,06 cm; A = 4,8 cm2; V = 5,09 cm3)

15. Um determinado toroide de seção reta retangular possui o diâmetro médio muito maior quea espessura do núcleo na direção radial, tal que a densidade de fluxo magnético no núcleopode ser considerada uniforme. Partindo dessas informações, deduza uma expressão para aindutância do toroide e calcule o valor dessa indutância caso uma bobina de 200 espiras sejaenrolada em torno do núcleo, cujo material ferromagnético possui permeabilidade relativaigual a 900. Para o cálculo da indutância considere que o núcleo possui raio interno igual a80 mm, raio externo igual a 100 mm e altura do núcleo igual a 20 mm. (Resposta: 0,32 H)

59

60

Capítulo 4

Circuitos Acoplados Magneticamente

4.1 IntroduçãoNeste capítulo serão apresentados os conceitos e as aplicações de diferentes circuitos acoplados doponto de vista magnético.

Preliminarmente, serão analisados os circuitos acoplados linearmente, que são aqueles nos quaisos fluxos magnéticos podem ser considerados proporcionais às correntes, ou seja, aqueles em queas curvas de magnetização possam ser representadas por retas. Em seguida, serão apresentadasdiferentes definições de indutância e as definições relativas aos coeficientes de acoplamento e dedispersão em circuitos magnéticos.

Técnicas de derivação de circuitos magnéticos equivalentes serão apresentadas e a partir dadefinição do transformador ideal, assim como técnicas topológicas de derivação de circuitos elétricosequivalentes a partir de circuitos magnéticos equivalentes.

Desta forma, o conteúdo deste capítulo objetiva prover as bases para os estudos preliminaressobre os transformadores.

4.2 Circuitos acoplados linearmentePara simplificar as definições, vamos supor o seguinte: que os circuitos acoplados são indeformáveise fixos, uns com relação aos outros; e que eles estão situados num meio de permeabilidade constante.Isto significa que as curvas de magnetização podem ser representadas por retas. Sob estas condições,pode-se dizer que os fluxos são proporcionais às correntes que os criaram, podendo-se portanto seraplicado o princípio da superposição.

4.2.1 Os diversos fluxos

Consideremos um sistema formado por n circuitos elétricos acoplados magneticamente. O circuitoc possui Nc espiras e é percorrido por uma corrente ic. Designemos por ϕ um fluxo através de umaespira, e por φ um fluxo através de um circuito.

• O fluxo ϕcp atravessando a espira p de um enrolamento c, por exemplo, resulta da superposiçãodos efeitos das n correntes. Ele é a soma:

– do fluxo ϕccp que atravessa a espira p criado pelas Nc espiras do próprio circuito c,

61

– dos (n− 1) fluxos mútuos ϕcdp que atravessam a espira p pelos (n− 1) outros circuitos.

ϕcp = ϕccp +n∑d=1

ϕcdp, (4.1)

com d 6= c.

• O fluxo total ϕc através do enrolamento c é a soma dos fluxos através de suas espiras

ϕc =Nc∑p=1

ϕccp +Nc∑p=1

n∑d=1

ϕcdp, (4.2)

com d 6= c.

• O fluxo ϕcc, igual a∑Ncp=1 ϕccp, é chamado de fluxo próprio total do enrolamento c.

• Um fluxo ϕcd, igual a∑Ncp=1 ϕcdp, é chamado de fluxo mútuo total dos circuitos c e d, o qual

depende do meio onde se encontram as bobinas, do espaçamento entre elas e de como asmesmas estão enroladas, além dos fluxos próprios individuais.Assim, uma expressão para o fluxo total ϕc através do enrolamento c pode ser escrita comoa seguir:

ϕc = ϕcc +n∑d=1

ϕcd, (4.3)

com d 6= c.

• O fluxo total próprio pode, por sua vez, ser decomposto em duas partes:

– O fluxo total de fugas ϕfc, soma dos fluxos que passam pelas diversas espiras do enrola-mento c e não atravessam nenhuma das espiras dos (n− 1) outros circuitos.

– O fluxo total principal, ou útil, ou de magnetização ϕmc, soma dos fluxos que atravessamas diversas espiras do circuito c e uma ou mais espiras de um ou vários outros circuitos.

ϕcc = ϕfc + ϕmc (4.4)

Nos casos aqui considerados, não existirão circuitos magnéticos com alta permeabilidade relativapara oferecer trajetórias privilegiadas ao fluxo. Mesmo que as espiras de um circuito sejam coaxiaise de mesma abertura, não haverá suposição de igualdade dos fluxos que as atravessam.

4.2.2 As diversas indutâncias

A indutância é uma característica dos campos magnéticos e foi descoberta por Faraday em umde seus célebres experimentos realizados em 1831. De um modo geral, a indutância pode ser ca-racterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser

62

armazenada sob a forma de campo magnético. Chamam-se coeficientes de indutância ou simples-mente indutâncias os coeficientes de proporcionalidade entre os fluxos magnéticos e as correnteselétricas.

Do ponto de vista matemático, a indutância própria é definida como o produto entre o númerode espiras do enrolamento e o quociente entre o fluxo total enlaçado pela bobina e a corrente quea percorre.

Fisicamente, ela significa a capacidade que o indutor possui de auto-induzir uma tensão elétrica(f.e.m induzida), quando o fluxo magnético ou a corrente elétrica que o atravessa varia com otempo. Desta forma, embora um elemento do circuito possa ter indutância, em virtude de suaspropriedades geométricas e magnéticas, sua presença no circuito não é sentida a menos que haja umavariação da corrente no tempo. Este aspecto da indutância é particularmente salientado quando aconsideramos sob o ponto de vista do circuito. Contudo, para cobrir o assunto completamente, aindutância precisa ser considerada não apenas sob o aspecto físico, como também sob o ponto devista de energia.

Estabelecidas estas considerações preliminares, seguem-se algumas definições de indutância emcircuitos acoplados magneticamente:

A indutância de magnetização ou principal do enrolamento c é o quociente entre o fluxo totalde magnetização ϕmc e a corrente ic:

Lmc = ϕmcic

(4.5)

A indutância de fuga do enrolamento c é o quociente entre o fluxo total de fugas ϕfc e a correnteic:

Lfc = ϕfcic

(4.6)

A indutância mútua entre os enrolamentos c e d é o quociente do fluxo ϕcd , criado pela correnteid

Mcd = ϕcdid

(4.7)

Da Equação (4.4) chega-se à seguinte expressão:

Lc = ϕccic

= Lmc + Lfc (4.8)

Por outro lado, pode-se demonstrar que no estudo da interação magnética de dois circuitos C1 eC2 percorridos por correntes ic e id , em situação de influência mútua, num meio de permeabilidadeconstante µ, os fluxos mútuos são proporcionais às correntes ic e id:

ϕcd = µ

4π id∮C1

∮C2

d~l1 · d~l2r

(4.9)

e

ϕdc = µ

4π ic∮C2

∮C1

d~l2 · d~l1r

(4.10)

onde o coeficiente de proporcionalidade entre os fluxos mútuos e as correntes é chamado decoeficiente de indutância mútua.

63

4.2.3 Reciprocidade das indutâncias mútuas: a fórmula de NEUMANN

As indutâncias mútuas caracterizam o efeito do circuito d sobre o circuito c e do circuito c sobre ocircuito d, onde:

Mcd = ϕcdid,Mdc = ϕdc

ic, (4.11)

são iguais e podem ser representadas pela fórmula de NEUMANN:

M = µ

4π

∮C1

∮C2

d~l1 · d~l2r

(4.12)

De fato, ϕcd é a soma dos fluxos que atravessam as Nc espiras criados pelo enrolamento d, seϕcdp é o fluxo que atravessa a espira p,

ϕcd =Nc∑p=1

ϕcdp, (4.13)

Onde o fluxo ϕcdp é a soma dos fluxos devidos às Nd espiras do circuito d, se ϕcdpq é o fluxoproduzido pela espira q sobre a espira d,

ϕcd =Nc∑p=1

Nd∑q=1

ϕcdpq, (4.14)

e o fluxo magnético enlaçado pelas espiras p e q percorre o trajeto de relutância Rpq.

ϕdc =Nc∑q=1

Nd∑p=1

icRqp

(4.15)

e

Mdc =Nc∑q=1

Nd∑p=1

1Rqp

(4.16)

da mesma forma que:

ϕcd =Nd∑p=1

Nc∑q=1

idRpq

(4.17)

e

Mcd =Nd∑p=1

Nc∑q=1

1Rpq

(4.18)

A relutânciaRpq é a mesma queRqp e as indutâncias mútuasMdc eMcd podem ser consideradasiguais.

64

4.2.4 Apresentação das indutâncias sob a forma matricial

As indutâncias permitem expressar cada um dos n fluxos totais que atravessam os n enrolamentosem função das n correntes que circulam por eles.

Por exemplo, para o circuito c, a relação (4.3) torna-se:

ϕc = Lcic +n∑d=1

Mcdid (4.19)

com d 6= cPara juntar os n circuitos acoplados magneticamente, as relações entre fluxo e correntes podem

ser apresentadas sob forma matricial:

φ1φ2...φc...φn

=

L1 M12 · · · M1c · · · M1nM21 L2 · · · M2c · · · M2n...

... . . . ......

...Mc1 Mc2 · · · Lc · · · Mcn...

... · · ·... . . . ...

Mn1 Mn2 · · · Mnc · · · Ln

×

i1i2...ic...in

(4.20)

Ou na forma mais compacta: [φ] = [L][i], onde a matriz indutância [L] é uma matriz simétrica.

4.2.5 Coeficientes de acoplamento e de dispersão

O produto das indutâncias mútuas Mdc e Mcd estabelece a seguinte expressão:

Mdc ·Mcd = φcdid· φdcic

(4.21)

expressão esta que pode ser escrita em função das indutâncias próprias Lc e Ld, da seguinteforma:

Mdc ·Mcd = φddid· φcdφdd· φccic· φdcφcc

(4.22)

Mdc ·Mcd = LdLcφcdφdd· φdcφcc

(4.23)

A relação φcd/φdd é tão próxima da relação de espiras Nc/Nd que o fluxo mútuo médio porespira φcd/Nc criado pelo circuito d envolvendo o circuito c é mais próximo do fluxo próprio médiopor espira φdd/Nd que o circuito d cria através de si próprio. Da mesma forma, quanto maior for oacoplamento entre os enrolamentos, mais φdc/φcc se tornará próximo da relação de espiras Nd/Nc.Assim, o coeficiente de acoplamento kcd entre os circuitos c e d será definido por:

kcd =√φcdφdd· φdcφcc

(4.24)

Portanto,

Mcd = kcd√LcLd (4.25)

65

onde o coeficiente de acoplamento kcd pode assumir valores entre 0 e 1, e particularmenteassumir valores mais próximos de 1 na medida em que os circuitos c e d estejam mais acoplados doponto de vista magnético.

Por sua vez, o coeficiente de dispersão σcd entre os circuitos c e d é definido por:

σcd = 1− k2cd (4.26)

ou, a partir da Equação (4.25),

σcd = 1− M2cd

LcLd(4.27)

Assim, partindo destas expressões para os coeficientes de acoplamento e coeficientes de disper-são, podemos chegar a duas conclusões:

1) Se o acoplamento é perfeito, kcd = 1 e σcd = 0;2) Se não existir o acoplamento, kcd = 0 e σcd = 1.

4.2.6 Energia magnética em dois circuitos acoplados magneticamente

Sejam dois circuitos de dimensões constantes, estacionários, acoplados magneticamente e situadosem um meio não magnético. A indutância do primeiro é L1 , a do segundo L2 e a indutância mútuaentre eles seja igual aM . O que vamos investigar agora diz respeito à energia magnética armazenadanestes dois circuitos, sob duas condições que diferem somente na forma como as respectivas correntessão mantidas.

No caso 1, o primeiro circuito é conectado à uma fonte de força eletromotriz enquanto o se-gundo circuito está em aberto; em seguida, o segundo circuito é conectado a uma fonte de forçaeletromotriz, enquanto a corrente no primeiro é mantida constante.

No caso 2, o segundo circuito é inicialmente conectado a uma fonte de força eletromotriz,enquanto o primeiro desta vez está em aberto; em seguida, o primeiro circuito é conectado, enquantoa corrente no segundo é mantida constante.

Procuremos determinar a energia magnética para o primeiro caso. Como a corrente elétrica noprimeiro circuito varia de zero até um valor i1 enquanto o segundo circuito é mantido em aberto,a energia magnética armazenada no primeiro circuito pode ser dada pela seguinte expressão:∫ i1

0i1 d(L1i1) = L1i

21

2 . (4.28)

Como a corrente no segundo circuito também pode variar de zero até um valor i2, enquanto i1for mantido constante, não somente o segundo, como também o primeiro circuito armazena algumaenergia magnética. Esta energia magnética armazenada pelo segundo circuito é dada por∫

i2 dϕ2. (4.29)

Mas, supondo que os dois fluxos estejam na mesma direção,

ϕ2 = L2i2 +M21i1. (4.30)

Como i1 foi suposta constante, segue-se que

dϕ2 = L2di2 (4.31)

66

e ∫ i2

0i2 dϕ2 = L2

∫ i2

0i2 di2 = L2i

22

2 . (4.32)

O crescimento de i2 proporciona uma mudança no fluxo enlaçado no primeiro circuito,ϕ1, oqual torna-se igual a ϕ1 = L1i1 +M21i2.

Portanto, a energia decorrente da indutância mútua será∫ i2

0i1M21 di2 = M21i1i2. (4.33)

Desta forma, a energia magnética total nos dois circuitos acoplados, com as correntes variandode acordo com o primeiro caso, será

Wm = L1i21

2 + L2i22

2 +M12i1i2. (4.34)

Pelas mesmas razões, a energia magnética total nos dois circuitos acoplados para o segundocaso será a seguinte:

Wm = L1i21

2 + L2i22

2 +M21i1i2. (4.35)

Desde que as condições nos dois casos diferem apenas na forma como as correntes são controladasnos respectivos circuitos, a energia magnética é a mesma em ambos. Portanto,

M12 = M21 = M (4.36)

Wm = L1i21

2 + L2i22

2 ±Mi1i2 (4.37)

Mi1i2 é positivo quando os dois circuitos são conectados na mesma direção, e negativo quandoos dois estão em oposição (lei de NEUMANN para a indutância mútua).

Esta expressão para a energia magnética pode ser generalizada para J circuitos, sob a seguinteforma:

Wm =J∑i=1

Lii2i

2 ±J∑i=1

J∑l=i+1

Miliiil, (4.38)

ou, usando a notação matricial:

Wm = 12[L][i] · [i] = 1

2[i]T[L][i], (4.39)

onde · denota o produto interno.Particularizando para o caso de duas bobinas rígidas e acopladas magneticamente, temos a

seguinte expressão para a energia magnética armazenada em seus campos magnéticos:

Wm = L1i21

2 + L2i22

2 +Mi1i2 (4.40)

Calculando a derivada desta expressão, temos:

dWm = L1i1di1 + L2i2di2 +Mi1di2 +Mi2di1 + i1i2dM (4.41)

67

Admitindo-se o sistema sem perdas e aplicando-se o princípio do balanço de energia, temos:

dWsaída mecânica = dWentrada elétrica − dWenergia magnética armazenada (4.42)

dWmecânica = i1i2dM (4.43)

4.2.7 Co-energia magnética

Como vimos, a energia magnética armazenada é função do fluxo magnético envolvido e, para suadeterminação deve-se conhecer a característica i = i(λ) . Onde λ é o chamado fluxo concatenado,ou fluxo de enlace das espiras do indutor:

λ =n∑k=1

φk (4.44)

onde φk é o fluxo concatenado com a k-ésima espira.Entretanto, há casos em que se conhece λ em função de i e a inversão i = i(λ) é analiticamente

impossível. Um exemplo simples disso é λ como função polinomial de alto grau (maior que 5) em i.Nesses casos, isto é, quando a variável independente é i ao invés de λ, é preferível obter-se a energiaarmazenada através de uma outra função de estado associada, denominada co-energia magnética,que é obtida da seguinte forma:

d(iλ) = idλ+ λdi (4.45)

edWm = idλ = d(iλ)− λdi. (4.46)

Define-se, então, co-energia magnética W ′m como:

W ′m = iλ−Wm, (4.47)

de modo quedW ′m = λdi. (4.48)

Isto mostra que W ′m é função de i:∫dW ′m =

∫ i

0λ(i) di = W ′m(i), (4.49)

e é uma função de estado, aqui caracterizado pela variável i. Portanto, a co-energia é calculada pormeio λ de quando se conhece a função λ(i).

Desta forma, uma vez calculada a co-energia W ′m(i) a energia magnética armazenada pode serobtida pela seguinte equação:

Wm = iλ(i)−W ′m(i), (4.50)

que resultará aqui como uma função de i.Dessa maneira, o problema da inversão da função λ = λ(i) é contornado.Assim, nos casos em que o estado for caracterizado pela variável independente i, a utilização

da função de estado W ′m será de extrema importância.

68

Convém notar que, devido ao seu duplo papel de variável de estado e variável de vínculo, torna-se mais conveniente utilizar i do que λ como variável independente. Isso torna o uso da co-energiamais conveniente do que o uso da energia.

Finalmente, não apenas a co-energia W ′m pode ser calculada a partir do conhecimento da ca-racterística λ = λ(i), como também a recíproca é verdadeira, isto é, λ = λ(i) pode ser obtida apartir da co-energia W ′m pela importante relação:

λ = dW ′m(i)di

(4.51)

4.2.8 Força e conjugado eletromagnéticos

Considerando-se a bobina 1 fixa, a componente da força fx sobre a bobina 2 na direção positiva dex será dada pela expressão seguinte:

fx = dWmec.dx

[N] (4.52)

fx = i1i2dM

dx[N] (4.53)

Por isso, a força de interação entre as duas bobinas é sempre no sentido de aumentar a indutânciamútua e dirigida de tal maneira que tende a aumentar a intensidade do número de linhas de fluxoem cada uma das bobinas. Isto significa que a tendência da bobina 2 é de se aproximar da bobina1.

Se há mais de duas bobinas rígidas envolvidas, a força sobre qualquer bobina designada como1 pode ser expressa como:

fx = i1i2dM

dx+ i1i3

dM

dx+ i1i4

dM

dx+ . . . [N ] (4.54)

De forma idêntica à força, pode-se calcular uma expressão para o conjugado:

Tθ = i1i2dM

dθ[N.m] (4.55)

4.3 Derivação de circuitos elétricos equivalentes a partir de cir-cuitos magnéticos

Nesta seção será mostrado como um circuito elétrico equivalente pode ser derivado direta e unica-mente a partir de um circuito magnético equivalente.

Inicialmente, vamos considerar um circuito magnético bastante simples: um toroide de materialferromagnético envolvido por uma bobina de N espiras, percorrida por uma corrente i. Nesteexemplo, as duas variáveis, força magnetomotriz F e fluxo Φ, estão relacionadas pelo parâmetrorelutância R.

F = RΦ (4.56)

No circuito elétrico equivalente, as variáveis são a diferença de potencial entre os terminais dabobina e a corrente i na bobina. Neste caso, assumindo a relutância do núcleo como constante

69

e desprezando-se a resistência da bobina, as variáveis do circuito elétrico se relacionam com asvariáveis do circuito magnético mediante as duas relações seguintes:

i = FN

(4.57)e

e = NdΦdt

(4.58)

Operando-se algebricamente as três últimas equações, a relação entre as duas variáveis docircuito elétrico é facilmente obtida:

e = Nd

dt

FR

= N

RdFdt

= N2

Rdi

dt= L

di

dt(4.59)

Portanto, o parâmetro relutância R, no circuito magnético, é substituído por um parâmetroindutância, no circuito elétrico equivalente. Uma observação importante é que o valor da indutânciaé inversamente proporcional ao valor da relutância (L = N2

R ). Sendo assim, existem quatro possi-bilidades de modificações do parâmetro indutância: variando-se o número de espiras, utilizando-sematerial de diferente permeabilidade no núcleo, reduzindo-se o comprimento do circuito magnéticodo núcleo ou aumentando a área da seção transversal do mesmo.

Entretanto, se a relutância do núcleo magnético não for constante, ela pode ser determinada apartir da curva que relaciona a força magnetomotriz F e o fluxo Φ. Desta forma, a correspondenteindutância não-linear pode ser calculada a partir da curva que relaciona o fluxo total concatenadopelo núcleo λ = NΦ com a corrente i. Em alguns casos, aproximações lineares por partes podem serutilizadas para facilitar os cálculos; em outros, a relação λ× i pode ser aproximada por polinômios.

Antes de evoluir para circuitos magnéticos mais complexos, vamos introduzir um conceito bas-tante útil que irá facilitar a representação de circuitos elétricos equivalentes destes circuitos mag-néticos mais complexos. O conceito é o do transformador ideal.

Idealmente, para efeito de análise e levantamento de um modelo básico, o transformador podeser representado sob as seguintes condições:

- Não são consideradas as perdas das bobinas;- Não existe fluxo de dispersão: todo o fluxo magnético Φ está confinado no núcleo, concatenando

todas as espiras dos enrolamentos;- A relutância do núcleo é nula, o que equivale a não levar em conta as perdas no material

ferromagnético.Em resumo: um transformador ideal seria um equipamento sem perdas, com um enrolamento

de entrada e um enrolamento de saída, cujas relações entre tensões, correntes e impedâncias nosseus terminais podem ser expressas pelas quatro equações seguintes:

- As relações terminais de correntes e tensões, com N1 espiras no primário e N2 espiras nosecundário, são determinadas a partir da lei de Faraday:

V1V2

= N1N2

(4.60)

como as perdas estão sendo desprezadas, ocorre a invariância de potência; ou seja, a potênciade entrada é igual à potência de saída:

V1I1 cosϕ = V2I2 cosϕ (4.61)

70

ou seja,

I1I2

= N2N1

(4.62)

Por fim, partindo-se das três últimas equações, obtêm-se uma relação entre as impedâncias doprimário e secundário do transformador ideal:

V1/I1V2/I2

= Z1Z2

=(N1N2

)2(4.63)

4.4 Determinação da polaridade das relações de tensão e corrente

Na análise de circuitos com transformadores ideais torna-se necessário a determinação do sinal dasrelações de tensão e corrente. Isto pode ser feito conhecendo-se como as bobinas foram enroladasnas culatras do núcleo magnético. Porém, para simplificar o problema de obter o sinal das relaçõesde tensão e corrente utiliza-se a regra do ponto, conforme ilustrado na Figura 4.1.

Pela regra temos o seguinte:

• Se as tensões V1 e V2 nas bobinas forem ambas positivas ou negativas no terminal marcadopelo ponto, então deve-se usar um sinal positivo na relação das tensões. Caso contrário usa-seum sinal menos.

• Se ambas as correntes I1 e I2 nas bobinas entrarem ou saírem nos terminais marcados componto, utiliza-se um sinal negativo na relação das correntes. Caso contrário, usa-se um sinalpositivo.

Figura 4.1: Circuitos que mostram os sinais apropriados para as relações de tensão e corrente.

71

Conforme será visto no capítulo seguinte, estas equações obtidas a partir do modelo do trans-formador ideal são bastante úteis para análises e levantamento de modelos para o transformadorreal.

Efetivamente, deve-se ressaltar que as suposições feitas para o transformador ideal são difíceis deserem alcançadas num transformador real. Isto porque os enrolamentos das bobinas destes últimospossuem, de fato, resistência elétrica; nem todo o fluxo magnético enlaça concomitantemente todasas bobinas; a permeabilidade magnética do material do núcleo não é infinita e quando o materialdo núcleo é submetido a um fluxo variante com o tempo, surgem as chamadas perdas no núcleo.

Estabelecidas essas relações entre os terminais de um transformador ideal, voltemos à derivaçãode circuitos elétricos equivalentes para circuitos magnéticos mais complexos.

Inicialmente, vamos considerar o circuito magnético equivalente de um sistema composto porum núcleo magnético de três colunas: uma coluna central com entreferro e as duas colunas lateraisenvolvidas por dois enrolamentos com diferentes números de espiras, Na e Nb. Efetivamente, este éum problema complexo de campo magnético tridimensional. Entretanto, se algumas simplificaçõesforem introduzidas, este problema de campo magnético pode ser reduzido à resolução de um circuitomagnético composto por relutâncias interligadas. Para tanto, no sistema apresentado na Figura 4.2,com exceção da região do entreferro, todo o fluxo magnético estaria confinado no material magnéticodo núcleo.

Figura 4.2: (a) Sistema magnético. (b) Circuito magnético equivalente para o sistema.

Agora, vamos assumir que cada um dos fluxos magnéticos Φ1, Φ2 e Φ3, apresentados na Figura4.2(b), interaja com uma bobina hipotética de N espiras, uma espécie de bobina exploratória.Nesta situação, considerando-se os fluxos variantes, as tensões induzidas por cada um destes fluxosseriam:

e1 = NdΦ1dt

(4.64)

72

e2 = NdΦ2dt

(4.65)

e3 = NdΦ3dt

(4.66)

No nó x, as variáveis de fluxos magnéticos estão relacionadas pela lei dos nós:∑Φx = Φ1 + Φ2 − Φ3 = 0 (4.67)

No nó y, as variáveis de fluxo estão relacionadas pela mesma equação. Aplicando-se a lei deFaraday à equação do fluxo, temos uma expressão para as variáveis relacionadas com as tensõesinduzidas:

e1 + e2 − e3 = 0 (4.68)

Para a malha do lado esquerdo do circuito magnético apresentado na Figura 4.2(b), uma equaçãopara as variáveis força magnetomotriz pode ser facilmente deduzida:

Fa = F1 + F3 + F4 (4.69)

Considerando que cada uma destas componentes da força magnetomotriz seja produzida poruma corrente elétrica correspondente na bobina de N espiras, as componentes desta corrente serãodadas por:

i′a = i1 + i3 + i4 (4.70)

Em torno da malha direita, a relação das forças magnetomotriz é a seguinte:

Fb = F2 + F3 + F4 (4.71)

A relação entre as correntes correspondentes é dada por:

i′b = i2 + i3 + i4 (4.72)

Os apóstrofos atribuídos às correntes i′a e i′b são empregados para distingui-las das correntes iae ib do sistema magnético representado na Figura 4.2(a).

As variáveis tensões induzidas e correntes podem ser relacionadas por um parâmetro indutância.Por exemplo, a relação F1 = R1Φ1 , no circuito magnético, corresponde à relação seguinte:

e1 = L1di1dt

(4.73)

As equações relativas às tensões e correntes descrevem o circuito elétrico equivalente mostradona Figura 4.3.

Para cada uma das malhas independentes no circuito magnético há um nó independente nocircuito elétrico. As correntes de derivação que entram nesses dois nós (designados por A e B)são relacionadas pelas Eqs. referentes às correntes i′a e i′b. Para cada nó independente no circuitomagnético há uma malha correspondentes no circuito elétrico. As tensões em torno de uma malhaindependente no circuito elétrico são relacionadas pela equação e1 + e2 − e3 = 0. Para cadarelutância derivada no circuito magnético, há uma indutância derivada correspondente no circuito

73

Figura 4.3: Circuito equivalente para o circuito magnético da Figura 4.2. (a) Forma elementardo circuito. (b) Técnica topológica de derivação. (c) Circuito elétrico equivalente incluindo otransformador ideal e as resistências dos enrolamentos.

elétrico. Para cada fonte de força magnetomotriz no circuito magnético, há uma corrente de bobinacorrespondente no circuito elétrico.

A forma do circuito elétrico, conforme a Figura 4.3(a), pode ser derivada diretamente do circuitomagnético da Figura 4.3(b), pelo uso do princípio topológico de dualidade. Esta técnica topológicaé demonstrada na Figura 4.3(b). Um nó é marcado dentro de cada malha do circuito magnético.Esses nós são então unidos por ramificações, uma das quais passa através de cada elemento docircuito magnético. Observa-se que a forma da malha da rede resultante é idêntica à forma docircuito elétrico da Figura 4.3(a). Para cada relutância numa malha do circuito magnético, há umaindutância conectada ao nó correspondente do circuito elétrico. Onde uma relutância é comum aduas malhas no circuito magnético, a indutância correspondente interliga os nós correspondentesdo circuito elétrico. Para cada força magnetomotriz, há uma corrente de condução correspondente;para cada fluxo, há uma tensão correspondente entre nós.

As relutâncias correspondentes às partes ferromagnéticas do sistema magnético podem represen-tar relações não-lineares entre seus fluxos e forças magnetomotrizes. Cada elemento de relutânciano circuito magnético tem um elemento correspondente de indutância no circuito elétrico. Por-tanto, cada elemento de indutância pode representar uma relação não-linear semelhante entre o

74

número de linhas-de-fluxo λ numa bobina de N espiras, circundando a ramificação particular dosistema magnético e a corrente i numa bobina de N espiras que produz a força magnetomotrizpara a ramificação. A taxa de variação do número de linhas-de-fluxo produz a tensão variável nocircuito elétrico. As não-linearidades no circuito magnético são, portanto, preservadas no circuitoelétrico equivalente.

O circuito elétrico equivalente da Figura 4.3(a) foi desenvolvido com a suposição de que todosos enrolamentos têm N espiras. Uma vez que os números de espiras são, em geral, diferentes nosvários enrolamentos, é necessário adicionar transformadores ideais nos terminais do circuito elétricoequivalente para obter as tensões induzidas reais e as correntes reais nos enrolamentos. O númerode referência de espiras N é normalmente igual ao número de espiras em uma das bobinas; então,nenhum transformador ideal é necessário neste enrolamento. Na Figura 4.3(c), N é igual a Na.

As resistências Ra e Rb dos dois enrolamentos foram também adicionadas ao circuito equivalenteda Figura 4.3(c). As tensões dos terminais dos dois enrolamentos são ea e eb; as tensões induzidasnos enrolamentos são e1 e −e2

N2N1

.Quando um circuito equivalente apropriado for desenvolvido para um equipamento magnético,

o funcionamento do equipamento pode ser previsto pelo uso de técnicas normalmente empregadasem análise de circuitos.

Assim, quando for conveniente, os elementos de impedância podem ser transferidos de um ladopara o outro (primário e secundário, por exemplo), mediante o emprego dos transformadores ideais,conforme será mostrado no capítulo seguinte, ilustrado com a resolução de um problema proposto.

4.5 Considerações finais

Discutiu-se neste capítulo uma das mais importantes bases teóricas para o entendimento do fun-cionamento e modelamento das máquinas e dispositivos eletromagnéticos: a teoria dos circuitosacoplados magneticamente.

Foram analisados e discutidos os circuitos acoplados linearmente, que são aqueles nos quaisos fluxos magnéticos podem ser considerados proporcionais às correntes, ou seja, aqueles em queas curvas de magnetização possam ser representadas por retas. Em seguida, foram apresentadasdiferentes definições de indutância e as definições relativas aos coeficientes de acoplamento e dedispersão em circuitos magnéticos.

Apoiadas no princípio de conservação de energia, duas funções de estado foram estabelecidas:a energia magnética armazenada e a denominada co-energia magnética, tão útil quanto a energiamagnética armazenada, sobretudo no que se refere à determinação de forças ou conjugados deorigem eletromagnética.

Como a relação estabelecida entre as variáveis de estado, fluxo magnético e corrente elétrica, é,na maioria dos casos, de natureza não-linear, foram apresentados técnicas e modelos matemáticos,os quais, por meio de analogia e dualidade conduziram a circuitos equivalentes ao dispositivo emanálise.

4.6 Problemas Propostos

P.1 Três bobinas de N1 = 1000 espiras, N2 = 500 espiras e N3 = 100 espiras são montadas sobreum mesmo núcleo, cuja permeabilidade pode ser considerada constante. Supondo que nãoexistam fluxos de fugas e que a indutância própria da bobina 1 seja igual a 200 H, determine:

75

(a) As indutâncias próprias L2 e L3 das bobinas 2 e 3. (Respostas: L2 = 50 H e L3 = 2 H)(b) Quais as indutâncias mútuasM12, M23 eM31, entre as respectivas bobinas? (Respostas:

M12 = 100H, M23 = 10H e M31 = 20H)

P.2 Duas bobinas de N1 = 1000 espiras e N2 = 500 espiras são montadas sobre um mesmonúcleo, cuja permeabilidade relativa pode ser considerada constante e igual a 4000. A área daseção transversal deste núcleo é igual a 4cm2 e o seu comprimento magnético médio é iguala 20cm. Considerando que as fugas de fluxo magnético pelo ar representam 10 % do fluxototal produzido, calcule:

(a) As duas indutâncias próprias e a indutância mútua. (Respostas: L1 = 10H, L2 = 2, 5He M = 4, 5H)

(b) As indutâncias de fugas e as indutâncias de magnetização? (Respostas: lf1 = 1H,lf2 = 0, 25H, Lm1 = 9H e Lm2 = 2, 25H)

(c) Os coeficiente de acoplamento e de dispersão. (Respostas: K = 0, 9 e σ = 0, 19)

P.3 O sistema magnético mostrado na Figura 4.4 tem uma bobina de 50 espiras enrolada emtorno da coluna central. O material magnético possui uma permeabilidade relativa constantee igual a 4000. A perda de fluxo pode ser desprezada.

Figura 4.4: Figura referente ao problema P.3.

Pede-se:

(a) Exiba um circuito magnético equivalente para este sistema, inserindo os valores de todosos parâmetros.

(b) Encontre o fluxo magnético na coluna do lado direito, quando a corrente i da bobina for2 A. (Resposta: φ = 7, 64× 10−4Wb)

(c) Determine a indutância total que é “vista” nos terminais da bobina de 50 espiras. (Res-posta: Ltotal = 0, 0451H)

(d) Suponha agora que um enrolamento de 100 espiras seja colocado sobre a coluna do ladodireito. Insira um transformador apropriado no circuito elétrico equivalente. Se umatensão alternada de 10V for aplicada à bobina de 50 espiras, qual será a tensão induzidana bobina de 100 espiras?(Resposta: e = 8, 46V)

76

(e) Suponha então que a bobina de 100 espiras seja curto-circuitada. Determine a impedân-cia a 400 Hz que seria “vista” nos terminais da bobina de 50 espiras, desprezando-se asresistências das bobinas. (Resposta: Z = 72, 72Ω)

P.4 Considerando o circuito magnético da Figura 4.5, determine qual a corrente i que deve per-correr a bobina para que o fluxo produzido no interior do núcleo seja igual a 0,0065 Wb.

Figura 4.5: Figura referente ao problema P.4.

(a) Considere a permeabilidade relativa do material do núcleo constante e igual a 5000.(Resposta: i = 0,362 A)

(b) Considere os valores de B (T) e H (A-esp/m), levantados experimentalmente, para otraçado da curva de magnetização do material. (Resposta: i = 1,05 A)

B (T) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,25 1,3 1,35H (A-esp/m) 52 58 65 76 90 110 132 165 220 300 380 600 900

(c) O fluxo concatenado λ. (Resposta: 5,2 Wb)(d) A f.e.m. e para Bn = 1 sen 377t Wb/m2. (Resposta: 1508 V)(e) A indutância L. (Resposta: L = 14,35 H)(f) A energia e a co-energia para Bn = 1 Wb/m2.

(Resposta: Wmag = área sobre a curva B-H e W ′mag = área sob a curva B-H)

P.5 O núcleo de um indutor, que possui um entreferro, é constituído de um material ferromagné-tico cuja curva de magnetização B(Hf ) pode ser representada por dois segmentos de retas,conforme a Figura 4.6. Supondo que não haja perdas de fluxos, calcule a energia armaze-nada no indutor (ferro + entreferro) quando o valor da indução magnética atingir 1,5 T.Considerando-se a área da seção transversal igual a 1,0 cm2 pede-se calcular a energia deduas formas diferentes:

(a) Utilizando diretamente a fórmula da definição. (Resposta: Wmag = 2,33× 10−2 J)(b) Calculando os ampères-espiras necessários. (Resposta: Wmag = 2,33× 10−2 J)

77

Figura 4.6: Figura referente ao problema P.5.

4.7 Questões PropostasQ.1 Discuta, à luz das equações de Maxwell e de uma forma geral, o conceito de acoplamento

eletromagnético.

Q.2 Em particular, o que significa acoplamento linear entre dois ou mais circuitos?

Q.3 Considerando dois circuitos quaisquer, acoplados magneticamente, estabeleça as definiçõesdas indutâncias envolvidas.

Q.4 O que significam, física e matematicamente, os coeficientes de acoplamento e de dispersão,do ponto de vista magnético?

Q.5 Em que consiste a derivação de circuitos magnéticos equivalentes, de uma forma genérica.

Q.6 Quais as principais características elétricas e magnéticas de um transformador ideal?

Q.7 No processo de derivação dos circuitos magnéticos equivalentes, pode-se dizer que existe umcircuito magnético único para um determinado sistema eletromagnético?

Q.8 Quais as variáveis e quais os parâmetros presentes nos circuitos magnéticos equivalentes?

Q.9 Quais as variáveis e quais os parâmetros presentes nos circuitos elétricos equivalentes?

Q.10 De que forma se aplica o princípio da dualidade na derivação do circuito elétrico equivalentea partir do circuito magnético equivalente?

Q.11 Mostre que o coeficiente de acoplamento eletromagnético kcd entre dois circuitos magnéticosc e d satisfaz a condição kcd < 1

(a) A partir da Equação (4.24).(b) A partir da Equação (4.40).

Q.12 A partir da Equação (4.39), estabeleça condições necessárias sobre o sinal dos autovaloresda matriz indutância [L] de uma família de circuitos magneticamente acoplados. Verifiqueque estas condições equivalem a k < 1 no caso bidimensional, onde k denota o coeficiente deacoplamento magnético entre os dois circuitos do sistema.

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Q.13 Considere uma família de J circuitos magneticamente acoplados descrita pela matriz indu-tância [L]. Seja [D] = [dij ] uma matriz diagonal com entradas [dii] =

√Li, ou seja, cuja

diagonal é formada pelas raízes das autoindutâncias. Definimos a matriz acoplamento mag-nético [K] = [D]−1[L][D]−1.

(a) Escrevendo [K] = [kij ], verifique que kij representa o coeficiente de acoplamento mag-nético entre os circuitos i e j. Em particular, a diagonal de [K] é composta unicamentede 1′s.

(b) Mostre que [K] é uma matriz simétrica sem autovalores negativos. Em particular,det([K]) ≥ 0.

(c) Mostre que det([K]) ≤ 1. (Dica: Calcule o traço de [K]. Lembre que o traço de umamatriz é a soma de seus autovalores e que seu determinante é o produto dos autovalores.Aplique a desigualdade das médias aritmética e geométrica.)

(d) Verifique que, no caso bidimensional, det([K]) é precisamente o coeficiente de dispersãodefinido pela Equação (4.26).

79

80

Capítulo 5

Transformadores

5.1 Introdução

Os transformadores são equipamentos elétricos que, por indução eletromagnética, transformamtensão e corrente alternadas de um ou mais circuitos (primário) para outro ou outros circuitos(secundário, terciário, etc), com a mesma frequência, e geralmente com valores diferentes de tensãoe corrente. Eles são constituídos, em sua forma elementar, de duas bobinas de cobre (circuitoelétrico) uma no circuito dito primário, outra no circuito dito secundário, montadas sobre umnúcleo fechado de material ferromagnético (circuito magnético).

De larga aplicação na eletroeletrônica, a função mais comum do transformador é transferirenergia elétrica de um circuito de entrada para um circuito de saída, elevando ou baixando os valoresde tensão e corrente, mantendo a frequência invariável. Na prática, entretanto, esta transferênciade energia, do primário para o secundário, se dá através do circuito magnético e é acompanhadade perdas em ambos os circuitos: elétricos e magnético.

Do ponto de vista operacional, um transformador pode ser utilizado indiferentemente dos doislados. O circuito ligado à fonte de tensão alternada pode ser chamado de primário. Se a fonte éconectada ao lado de baixa tensão e a carga do lado de alta tensão, o transformador é chamado de“elevador de tensão”; caso contrário, ele é dito “abaixador de tensão”.

É importante e deve ser ressaltado que o desempenho do transformador está diretamente li-gado com o nível de acoplamento entre os circuitos elétricos e magnéticos. Dependendo do graude acoplamento magnético entre o primário e o secundário, uma quantidade maior ou menor deenergia pode ser transferida da fonte à carga. No caso teórico de um transformador de núcleode ar, somente uma pequena quantidade de energia é transferida do primário para o secundário,caracterizando assim um fraco acoplamento. Se os dois circuitos, primário e secundário, foremenrolados sobre um núcleo comum de ferro, aço, ou qualquer um outro material ferromagnético,quase toda a energia recebida da fonte, pelo primário, é transferida por ação transformadora ao se-cundário, caracterizando-se portanto, num forte acoplamento, com baixas perdas e, evidentemente,alto rendimento do transformador.

Nos sistemas elétricos, os transformadores encontram as mais variadas aplicações: das baixasàs altas frequências, isolados ou ligados em forma de bancos, monofásicos ou trifásicos, de pequena,média e alta potência. O fato é que sem eles, com a tecnologia que atualmente dispomos, seriaimpossível compartilharmos dos grandes blocos de energia gerada (acho este termo inadequado,seria melhor falar de energia convertida) nas chamadas usinas de energia elétrica.

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Portanto, não temos dúvidas quanto à importância do estudo de transformadores por parte dosfuturos engenheiros eletricistas, e antes de apresentarmos qualquer problema, ou questão, sobreestes equipamentos, vamos iniciar com algumas definições que consideramos básicas:

5.2 Definições

5.2.1 Tipos

Transformador abaixador Transformador no qual a tensão do enrolamento primário é superiorà do enrolamento secundário.

Transformador elevador Transformador no qual a tensão do enrolamento primário é inferior àdo enrolamento secundário.

Transformador monofásico Transformador destinado a funcionar com corrente alternada mo-nofásica.

Transformador polifásico Transformador destinado a funcionar com corrente alternada polifá-sica.

Banco de transformadores Conjunto de transformadores monofásicos interligados, de modo aformarem o equivalente de um transformador polifásico.

Transformador de potência (Atenção! não confundir com transformador de potencial) Trans-formador de construção e características adequadas para empregos em sistemas de potência.

Transformador de potencial Transformador para instrumento utilizado em medição, controleou proteção, que tem como objetivo, de uma parte proteger o operador no momento damedição em alta tensão e, de outra parte, permitir a utilização de aparelhos de medição decalibres usuais (150 V, por exemplo).

Transformador de corrente Transformador para instrumento utilizado em medição, controle eproteção, geralmente reduzindo o nível de corrente do circuito primário da linha de A.T. paravalores mais baixos no secundário (5A, por exemplo) que, por sua vez, deve ser conectado auma carga de baixíssima impedância (amperímetros, bobinas de corrente de watt-horímetros,etc).

Transformador de transmissão Transformador de potência destinado a emprego em sistemasde distribuição de energia elétrica.

Transformador para subestação Transformador de construção adequada para ser instalado emsubestação.

Autotransformador Transformador no qual os enrolamentos primário e secundário têm um certonúmero de espiras comuns e sempre bobinados numa mesma carcaça. Desprezando a correntede magnetização, as tensões são sempre proporcionais ao número de espiras.

Transformador de núcleo envolvente Transformador cujo núcleo é constituído por colunas in-terligadas pelos jugos, das quais algumas não atravessam bobinas dos enrolamentos comomostrado na Figura 5.2.

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Transformador de núcleo envolvido Transformador cujo núcleo é constituído por colunas in-terligadas pelos jugos, todas elas atravessando bobinas dos enrolamentos, a Figura 5.1 é ummodelo deste tipo de transformador.

Transformador MRT Transformador monofilar com retorno para o terra.

Figura 5.1: Transformador de núcleo envolvido.

Figura 5.2: Transformador de núcleo envolvente.

5.2.2 Partes componentes

Derivação Ligação feita em qualquer ponto de um enrolamento, de modo a permitir a mudançadas relações de tensões e de correntes através de mudança da relação de espiras.

Enrolamento Conjunto de espiras que constituem o circuito elétrico de um transformador.

Enrolamento comum (de um transformador) Conjunto das espiras que pertencem a ambos en-rolamentos, primário e secundário, do autotransformador.

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Enrolamento principal (de uma ligação T) Enrolamento a cujo ponto médio é ligado o enrola-mento complementar, ficando com as duas extremidades livres.

Enrolamento complementar (de uma ligação T) Enrolamento ligado ao ponto médio do enro-lamento principal, ficando com apenas uma extremidade livre.

Massa Conjunto de todas as partes metálicas não destinadas a conduzir corrente, inclusive onúcleo, eletricamente interligadas e destinadas a funcionar ao potencial da terra.

Núcleo Circuito magnético de um transformador.

Coluna Cada uma das partes do núcleo paralela aos enrolamentos, envolvida ou não por enrola-mentos.

Jugo Cada uma das partes do núcleo que interliga as colunas.

Placa de identificação Placa afixada em um transformador, onde constam valores de grandezascaracterísticas e outros dados relativos ao equipamento.

Terminal Parte condutora de um transformador destinado a sua ligação elétrica a um circuitoexterno.

Terminal de linha Terminal destinado a ser ligado a uma fase do circuito externo.

Terminal de neutro Terminal destinado a ser ligado ao neutro do circuito externo.

Terminais correspondentes Terminais de enrolamentos diferentes de um transformador, mar-cados com o mesmo índice numérico em letras diferentes.

5.2.3 Ligações

Ligação Estrela Ligação a um ponto comum de uma extremidade de cada um dos enrolamentos defase de um transformador polifásico, ou de cada um dos elementos de mesma tensão nominalde transformadores monofásicos associados em banco polifásico, sendo a outra extremidadeligada ao terminal de linha adequado. No caso de transformadores ou banco trifásicos, essaligação também pode ser chamada de “ligação Y”.

Ligação Triângulo ou Ligação Delta Ligação em série dos enrolamentos de fase de um trans-formador trifásico, ou dos enrolamentos de mesma tensão nominal de transformadores mono-fásicos associados em banco trifásico, de maneira a formarem um único circuito fechado.

Ligação Triângulo Aberto ou Ligação Delta Aberto Ligação em série dos enrolamentos defase de um transformador trifásico ou dos enrolamentos de mesma tensão nominal de transfor-madores monofásicos associados em banco trifásico, sem fechar um dos vértices do triângulo(delta).

Ligação T Ligação de dois enrolamentos de fase de um transformador trifásico, ou dos enrola-mentos de mesma tensão nominal de dois transformadores monofásicos, de tal modo que osegundo enrolamento (enrolamento complementar) é ligado ao ponto médio do primeiro en-rolamento (enrolamento principal), para que as extremidades não ligadas formem um sistematrifásico simétrico, que possa ser ligado às três fases do circuito externo.

84

• Nota 1 – O ponto neutro dessa ligação fica situado sobre o enrolamento complementar.• Nota 2 – A tensão induzida em cada uma das duas partes do enrolamento principal édefasada de 90 em relação à tensão induzida, no enrolamento complementar.

Ligação V Ligação em série de dois enrolamentos de fase de um transformador trifásico, ou dosenrolamentos de mesma tensão nominal de dois transformadores monofásicos, de tal modoque as extremidades ligadas e as não ligadas formem um sistema trifásico simétrico, que possaser ligado às três fases do circuito externo.

Ligação Zig-Zag Ligação semelhante à ligação estrela, tal que o enrolamento correspondente acada braço da estrela é formado por duas partes separadas e ligadas em série, e que sãomontadas no núcleo do transformador de tal modo que as tensões induzidas em cada umadessas partes são defasadas entre si.

5.2.4 Características de operação

O que vai determinar a característica de operação do transformador é a aplicação a que ele sedestina. Para tanto, o conhecimento prévio e a compatibilização de seus diversos parâmetrostornam-se indispensáveis, assim como algumas definições adicionais:

Carga de um transformador Conjunto dos valores das grandezas elétricas que caracterizam assolicitações impostas em cada instante ao transformador, pelo sistema elétrico a ele ligado.

Corrente de excitação Corrente que percorre o terminal de linha de um enrolamento, sob tensãoe frequência nominais, achando-se o(s) enrolamento(s) em circuito aberto.

Perdas em vazio Parcelas das perdas de um transformador, devidas à componente ativa da cor-rente de excitação. Nestas perdas estão incluídas as perdas no ferro, as perdas dielétricas eas perdas no cobre devidas à corrente de excitação.

Perdas em carga Duas situações serão focalizadas:

1. Transformadores de dois enrolamentos: Potência ativa absorvida na frequência nominal,quando o(s) terminal(ais) de linha de um dos enrolamentos for(em) percorrido(s) pelacorrente nominal, achando-se os terminais do outro enrolamento curto-circuitados.

2. Transformadores de vários enrolamentos, em relação a uma combinação de dois enrola-mentos: potência ativa absorvida na frequência nominal, quando o(s) terminal(ais) delinha de um dos enrolamentos da combinação for(em) percorrido(s) por corrente corres-pondente a aplicação da menor das potências nominais dos dois enrolamentos da combi-nação, achando-se os terminais do outro enrolamento da combinação curto-circuitados,e o(s) enrolamento(s) restante(s) em circuito aberto.

Perdas totais Soma das perdas em vazio e das perdas em carga. Estas perdas não incluem asperdas dos equipamentos auxiliares, que são computadas em separado.

Rendimento ou eficiência Relação, geralmente expressa em percentagem, entre a potência ativaútil disponível nos terminais de saída e a potência ativa admitida no terminal primário dotransformador:

85

η = Potência de saídaPotência de entrada = Potência de saída

Potência de saída + Perdas (5.1)

Segundo a NBR 5380, o rendimento deve ser determinado para as condições nominais e fatorde potência no secundário igual a um, salvo indicação em contrário.

Regulação Diferença aritmética entre a tensão em vazio de um enrolamento, e a tensão em carganos terminais do mesmo enrolamento, com uma carga especificada, sendo a tensão aplicadaao outro ou a um dos outros enrolamentos igual:

a) à sua tensão nominal, se estiver ligado na derivação principal; ou,b) à tensão de derivação, se estiver ligado em outra derivação. Essa diferença é geralmente

expressa em porcentagem da tensão em vazio do primeiro enrolamento.

Operação em paralelo Dois ou mais transformadores são agrupados em paralelo entre si, quandorecebem a energia da mesma linha primária, para transferi-la com a tensão transformada sobrea mesma linha secundária.

5.3 Análise de um transformador com o lado secundário em aberto

Analisemos o transformador com o lado secundário em aberto, tal qual na Figura 5.3.

Figura 5.3: Transformador com enrolamento secundário em aberto.

No lado primário a corrente iϕ é responsável pelo fluxo alternado no circuito magnético, deacordo com a Lei de Faraday tal fluxo induzirá uma força eletromotriz:

e1 = dλ

dt= N · dϕ

dt(5.2)

Onde λ = Nϕ e sendo ϕ o fluxo que atravessa uma espira, λ é o fluxo concatenado do enrola-mento primário.

Aproximando as formas de onda de tensão e fluxo por senoides, teríamos:

ϕ = φmax · sen(ωt) (5.3)

e1 = N1 ·dϕ

dt= N1ωφmax cos(ωt) (5.4)

86

Fazendo ω = 2πf e tirando o valor eficaz de e1:

E1 =√

2πfN1φmax (5.5)

Considerando as perdas no circuito elétrico desprezíveis pode-se aplicar ainda que e1 = v1 e daí:

φmax = V1√2πfN1

= V14, 44fN1

(5.6)

Onde V1 denota o valor eficaz de v1. Esta é uma importante relação, pois permite calcularvalores de fluxo no núcleo sabendo apenas a tensão aplicada, a frequência e o número de espiras.

5.4 Transformador ideal e transformador real

Para efeitos de cálculo é comum aproximarmos alguns parâmetros do transformador em estudo deforma que se torne semelhante a um modelo teórico dito transformador ideal.

Em transformadores ideais as resistências dos enrolamentos são desprezíveis, não há fluxo dedispersão, ou seja, todo o fluxo está confinado no núcleo enlaçando todos os enrolamentos de ambasas bobinas, além disso, não há perdas no núcleo e sua permeabilidade magnética é consideradainfinita.

5.5 Relações de um transformador ideal

Analisemos o caso do transformador ideal ilustrado na Figura 5.4, cujo circuito secundário alimentauma carga.

Figura 5.4: Transformador com carga no secundário.

A partir do momento que a tensão variável v1 for aplicada, haverá um fluxo ϕ estabelecido nonúcleo, a partir da lei de Faraday podemos afirmar que:

v1 = dλ

dt= N1 ·

dϕ

dt(5.7)

E da mesma forma:

v2 = dλ

dt= N2 ·

dϕ

dt(5.8)

Dividindo as duas expressões:

87

V1V2

= N1N2

(5.9)

Aplicando a lei de Ampère no percurso do fluxo no núcleo:

N1I1 −N2I2 = 0 (5.10)

I1I2

= N2N1

(5.11)

As relações (5.9) e (5.11) são de extrema utilidade no estudo de transformadores, pois relacionamdiretamente as tensões e correntes com a relação de espiras.

Além disso:

~V1 = ~V2 ·N1N2

(5.12)

~I1 = ~I2 ·N2N1

(5.13)

Dividindo estas duas expressões chegamos a:

V1I1

=(N1N2

)2· V2I2

(5.14)

Z1 =(N1N2

)2· Z2 (5.15)

Por fim, é fácil concluir pelas relações já dadas que a potência de entrada e de saída, em V A,são iguais, logo:

~V1 · ~I1 = ~V2 · ~I2 (5.16)

5.6 Parâmetros de um transformadorO transformador funciona como uma carga para a fonte. Esta carga pode ser resistiva ou reativa(capacitiva ou indutiva). Estas características são indicadas pelo fator de potência cos θ , onde θ éo ângulo entre a tensão V e a corrente I do primário, respectivamente. Assim:

• Será carga resistiva se cos θ = 1.

• Será carga indutiva se 0 ≤ cos θ < 1 com θ negativo, corrente atrasada.

• Será carga capacitiva se 0 ≤ cos θ < 1 com θ positivo, corrente adiantada.

O transformador efetua, entre os enrolamentos, as seguintes transformações: de tensão, decorrentes e de impedâncias; assim como transferência de potência, com algumas perdas internas.De uma forma resumida, os parâmetros e variáveis de um transformador são apresentados naTabela 5.1.

A eficiência e a regulação estão relacionadas com o comportamento dinâmico do transformador.

88

Tabela 5.1: Parâmetros e variáveis do transformador

Parâmetro Definição Variável UnidadeTensão de entrada Tensão no primário, com corrente de plena carga V1 VTensão de saída Tensão no secundário, com corrente de plena carga V2 VCorrente de entrada Corrente no primário com corrente nominal no secundário I1 ACorrente de saída Corrente no secundário em plena carga I2 ARelação de espiras N1

N2= V1

V2= I2

I1a : 1 -

Frequência Frequência nominal de trabalho de tensões ou correntes. f HzPotência aparente Potência correspondente ao produto V I S VAPotência ativa Potência correspondente ao produto V I cos θ P WPotência reativa Potência correspondente ao produto V I sen θ Q varFator de potência cos θ = P

S f.p. -Eficiência Potência ativa de saída/Potência ativa de entrada η %

5.7 Problemas

5.7.1 Transformador ideal

PROBLEMA No1 (ref. P- 3.3, pág. 217, SLEMON):Um transformador de dois enrolamentos, considerado IDEAL, possui 200 espiras no seu lado

primário e 500 espiras no enrolamento secundário. O enrolamento primário é conectado a umafonte senoidal de 220V, e o secundário fornece 10kVA a uma carga.

(a) Determine a tensão de carga, a corrente de secundário e a corrente de primário.

(b) Determine a magnitude da impedância que é vista da fonte.

CONCEITOS:

• As tensões e as correntes num transformador IDEAL estão relacionadas com a relação deespiras.

• A impedância de uma carga colocada no secundário do transformador pode ser refletida parao seu primário, usando-se os valores de tensão e corrente.

SOLUÇÃO:

(a) Foram dados: N1 = 200, N2 = 500, V1 = 220 V, S2 = V2I2 = 10 kVA.Num transformador ideal são válidas as relações:

N1N2

= V1V2

= I2I1

A partir delas:

89

V2 = V1 ·N2N1

= 220 · 500200 = 550V

I2 = V1I1V2

= S2V2

= 10 · 103

550 = 18, 18A

I1 = I2 ·N2N1

= 18, 18 · 500200 = 45, 45A

Outra forma seria considerar a invariância da potência V1I1 = V2I2;

I1 = V2I2V1

= 10 · 103

220 = 45, 45A

(b) De duas formas pode ser determinada a magnitude da impedância que é vista da fonte:

‖ Zp ‖=‖ V1 ‖‖ I1 ‖

= 22045, 45 = 4, 84Ω

ou ainda partindo de:

ZS → Z2 = V 22S2

= 5502

104 = 30, 25Ω

E da relação

Zp = ZS ·(N1N2

)2= 4, 84 Ω

PROBLEMA No 2 (referência ex. 13.1 pág. 517, KOSOW)O lado de alta tensão de transformador tem 500 espiras, enquanto que o lado de baixa tensão

tem 100 espiras. Quando ligado como abaixador, a corrente de carga é de 12A. Calcule:

(a) A relação de transformação a.

(b) O componente de carga da corrente primária.

SOLUÇÃO:

(a) Como num transformador abaixador o lado de alta tensão é o primário e o de baixa tensão éo secundário; a relação de transformação, a, é:

a = N1N2

= 500100 = 5

90

(b)

I1 = I2a

= 125 = 2, 4A

A forma como é colocado o problema, implica que, tanto o lado de baixa tensão, como o ladode alta tensão de um transformador pode ser usado como primário (o lado que é ligado afonte de energia). Assim, a relação de transformação, para um dado transformador, dependede sua APLICAÇÃO, como ilustra o problema No 3.

PROBLEMA No 3 (Referência Ex. 13.2 pág. 517, KOSOW)Calcule a relação de transformação do transformador do problema No 2, quando usado como

transformador elevador.SOLUÇÃO:Como transformador elevador, o lado de baixa tensão é ligado como primário. A relação de

transformação será:

a = N1N2

= 100500 = 0, 2

Os problemas No 2 e No 3 mostram que a relação de transformação, a, é fixa para uma dadaaplicação, mas não constante. Desde que os termos elevador e abaixador referem-se às tensões, bemcomo aos lados de alta tensão e baixa tensão, a relação de transformação pode ser estabelecida emfunção das tensões.

N1N2

= V1V2

= I2I1

Para um transformador IDEAL, sem perdas, não tendo fluxos dispersos nem no primário nemno secundário (reatâncias de dispersão nulas), é válida a expressão: V1I1 = V2I2, já utilizada noproblema No 1.

5.7.2 Máxima transferência de potência

Segundo o Teorema da Máxima Transferência de Potência para circuitos AC, uma carga absorve amáxima potência ativa de uma dada fonte elétrica quando sua impedância equivale ao conjugadoda impedância interna da fonte. Entre as cargas resistivas, a máxima transferência de potênciaocorre quando a resistência da carga é igual ao módulo da impedância da fonte.

Quando há um ou mais transformadores entre a fonte e a carga, esse teorema ainda é plenamenteaplicável, desde que se façam as devidas reflexões de impedância, conforme ilustrado na resoluçãodo PROBLEMA No 4, apresentado a seguir.

PROBLEMA No 4 (ref. p- 3.3 , Pág. 218, SLEMON )Um gerador de corrente alternada, de 5000 ciclos/s, pode ser considerado como uma fonte de

tensão ideal de 250 V eficazes em série com uma reatância indutiva de 31 Ω. Este gerador é para serusado no fornecimento de potência a uma carga resistiva de 0,65 Ω, através de um transformadorque pode ser considerado IDEAL.

(a) Qual deve ser a relação de espiras do transformador para se alcançar a potência máxima nacarga?

91

(b) Especifique a tensão requerida e os tipos de correntes dos dois enrolamentos do transformador.

CONCEITO: O teorema da máxima transferência de potência assegura que a mesma ocorrequando a resistência da carga é igual ao módulo da impedância interna da fonte.

SOLUÇÃO:

(a) Refletindo a carga resistiva de 0,65Ω ao primário e igualando este valor a reatância indutivade 31Ω (teorema da máxima transferência de potência), tem-se:

0, 65(N1N2

)2= 31Ω

N1N2

=√

310, 65 = 6, 91

(b) A tensão do enrolamento primário é a tensão da fonte, ou seja, 250 volts eficazes. A tensão doenrolamento secundário deve ser variante com o tempo, de mesma frequência (5000 ciclos/s)que o primário, cujo valor é dado por:

V2V1

= N2N1

V2 = V1N1N2

= 2506, 91 = 36, 2V

I1 = V1X1

= 8, 0A

I2 = I1N1N2

= 55, 7A(rms)

5.8 Circuito equivalente de um transformador real

Consideremos o transformador de núcleo envolvido ilustrado na Figura 5.5.

Figura 5.5: Transformador de núcleo envolvido.

92

Por ser um transformador real, sabemos que há fluxo de dispersão e que este fluxo enlaça apenasa bobina do primário e que a maior parte do caminho dele é no ar, neste caso a relação entre atensão induzida e fluxo é linear, logo a relutância correspondente pode ser representada por umaindutância L1 dita indutância de dispersão do primário, e sua respectiva reatância XL1.

Há ainda as resistências dos enrolamentos, no caso do primário representada por R1.A corrente do primário deve magnetizar o núcleo e fornecer corrente para a carga do secundário,

podemos então decompor esta corrente em duas partes, uma referente à corrente de excitação eoutra à corrente de carga. A corrente de excitação possui outras duas componentes, uma relacionadaàs perdas no núcleo, que está em fase com a força eletromotriz e outra associada a magnetização donúcleo, esta defasada de 90 com relação a anterior. No circuito equivalente do transformador estasduas componentes estarão associadas a uma resistência Rf e uma indutância de magnetização Lme sua respectiva reatância Xm.

Tudo que foi concluído até agora corresponde apenas ao lado primário do transformador eas reatâncias e resistências representam as imperfeições de um transformador real. Feitas essasconsiderações podemos recair sobre a relação de um transformador ideal a fim de relacionar asforças eletromotrizes após todas as quedas de tensão proporcionadas pelos elementos já vistos,chegamos assim ao circuito elétrico equivalente na Figura 5.6.

Figura 5.6: Circuito elétrico equivalente de um transformador monofásico.

Observe que XL2 e R2 são equivalentes a XL1 e R1 e representam as perdas por fluxo dedispersão e resistência dos enrolamentos. Note também que é possível suprimir o transformadorideal refletindo XL2, R2 e V2 ao primário, assim teríamos o modelo final ilustrado na Figura 5.7.

Onde:X ′L2 = XL2

(N1N2

)2(5.17)

R′2 = R2

(N1N2

)2(5.18)

V ′2 = V2N1N2

(5.19)

5.9 Determinação de parâmetros mediante ensaios

5.9.1 Determinação das resistências dos enrolamentos

A determinação das resistências dos enrolamentos é importante para o levantamento do modeloequivalente do transformador, pois serve como parâmetro diretamente ligado às perdas no cobre.

93

Figura 5.7: Circuito elétrico equivalente de um transformador, com as impedâncias refletidas aoprimário.

De acordo com a NBR 5380 (1993), neste ensaio devem ser registrados:

• a resistência elétrica de cada enrolamento;

• os terminais entre os quais é medida a resistência elétrica;

• a temperatura dos enrolamentos.

5.9.2 Relação de tensões

O ensaio de relação de tensões deve ser realizado aplicando-se a um dos enrolamentos uma tensãoigual ou inferior à tensão nominal deste enrolamento, e com frequência igual ou superior à nominal.Os métodos usados para o ensaio de relação de tensão são:

• método do voltímetro;

• método do transformador-padrão;

• método do transformador de referência de relação variável;

• método potenciométrico.

5.9.3 Polaridade

Os métodos usados para a verificação da polaridade de transformadores monofásicos são os seguin-tes:

• método do transformador-padrão;

• método do golpe indutivo de corrente contínua;

• método de corrente alternada;

• método do transformador de referência de relação variável.

94

5.9.4 Deslocamento angular e sequência de fases para transformadores polifá-sicos (ver NBR 5380/1993)

5.9.5 Ensaio a vazio

O ensaio a vazio fornece dados relativos ao circuito magnético, tais como perdas por histerese ecorrente de excitação, que estão diretamente relacionadas com a qualidade do circuito magnéticosob ensaio.

No ensaio a vazio, a potência ativa absorvida por um transformador, quando alimentado por umde seus enrolamentos, com os terminais dos outros enrolamentos em circuito aberto, e a correntede excitação devem ser referidas à tensão senoidal pura, com fator de forma 1,11 (retificador deonda completa).

As perdas em vazio devem ser medidas com tensão nominal na derivação principal, ou, quandomedidas numa outra derivação, com a respectiva tensão de derivação. A tensão nominal, nestetexto, refere-se às medições efetuadas na derivação principal. As mesmas disposições devem seraplicadas a medições feitas em outras derivações, porém com respectiva tensão de derivação. Asmedições devem ser realizadas na frequência nominal.

A frequência deve ser ajustada para o valor nominal, e a tensão para o valor nominal, pelovoltímetro de valor médio. Devem ser anotados, simultaneamente, os valores de frequência, tensãoeficaz, potência, tensão média e corrente. Após desligar o transformador sob ensaio, deve-se fazernova leitura no wattímetro, a qual deve ser subtraída da anterior e correspondente às perdas nocircuito de medição. As perdas em vazio consistem, principalmente, nas perdas por histerese epor correntes de Foucault (parasitas), e dependem da frequência e da forma de onda da tensão dealimentação.

As medições das perdas em vazio em transformadores monofásicos são efetuadas ligando-se otransformador de acordo com as Figuras 5.8 ou 5.9, caso sejam, necessários, ou não, transformadorespara instrumentos. As ligações podem ser feitas tanto no enrolamento de alta-tensão, como no debaixa-tensão, sendo mais conveniente este último, para maior facilidade da medição da corrente.

Figura 5.8: Diagrama de ligações para ensaio de perdas em vazio e corrente de excitação emtransformadores monofásicos, sem transformadores para instrumentos.

Neste ensaio utilizam-se dois voltímetros, um de valor médio (possui um retificador), e outro devalor rms; porque a corrente de excitação é distorcida devido à não linearidade do núcleo, e com autilização destes dois instrumentos, leva-se em conta o fator de forma.

95

Figura 5.9: Diagrama de ligações para ensaio de perdas em vazio e corrente de excitação emtransformadores monofásicos, com transformadores para instrumentos.

5.9.6 Ensaio de curto-circuito

O ensaio de curto circuito fornece dados relativos às perdas no circuito elétrico tais como efeitoJoule e reatâncias de dispersão.

Neste ensaio, para obter leituras satisfatórias sejam obtidas, devem ser usados wattímetros debaixo fator de potência (fator de potência de 5% ou 10%); se eles já forem compensados para asperdas das bobinas de potencial, esse fato deve ser levado em conta.

Na prática, recomenda-se ligar um dos enrolamentos do transformador em curto-circuito (depreferência, e para maior facilidade, o de baixa tensão), de acordo com a Figura 5.10 e aplicarao outro enrolamento uma tensão na frequência nominal e de valor suficiente para nele circular acorrente nominal, exceto nos casos de ensaios com corrente reduzida. Esta tensão é a tensão decurto-circuito deste enrolamento.

Figura 5.10: Diagrama de ligações para ensaio de perdas em curto-circuito e tensão de curto circuitodos transformadores monofásicos de dois enrolamentos.

Os condutores utilizados para curto-circuitar o transformador devem ter seção igual ou superiorà dos seus respectivos terminais, e devem ser tão curtos quanto possível e afastados de massasmagnéticas.

As medições devem ser executadas rapidamente a intervalos suficientes, para a elevação detemperatura não causar erros significantes.

Tomar leituras simultâneas da corrente, da tensão aplicada ao enrolamento e da potência ab-sorvida pelo transformador em curto-circuito.

Determinar a correção de potência, devida à carga dos instrumentos situados entre o amperí-metro e o transformador, fazendo-se nova leitura no wattímetro após desligado o transformadorsob ensaio e mantendo-se a mesma tensão aplicada ao enrolamento.

96

NOTAS:

• Se o wattímetro já foi compensado para as perdas de sua bobina de potencial, a potência lidacorresponde às perdas no equipamento de medição de tensão.

• A correção da potência absorvida pelo transformador também pode ser obtida por cálculo,partindo-se das resistências e demais parâmetros dos instrumentos usados.

Na Tabela 5.2, baseada na norma NBR 5440/1987, são apresentados, a título de referência, osvalores médios relativos aos transformadores monofásicos de tensão máxima 15 kV.

Tabela 5.2: Valores garantidos de perdas, correntes de excitação e tensões de curto-circuito emtransformadores monofásicos de tensão máxima do equipamento de 15kV.

Potência (kVA) Corrente máximade excitação (%)

Perdas em vaziomáximas (W)

Perdas totaismáximas (W)

Tensão de curto-circuito 75oC (%)

1 2 3 4 53 5,2 45 120 2,55 4,2 55 165 2,510 3,5 70 270 2,515 3,2 100 370 2,525 2,8 140 540 2,537,5 2,5 190 730 2,550 2,3 220 860 2,575 2,1 270 1200 2,5100 2,0 330 1550 2,5

Na Tabela 5.3 são apresentados os valores comparativos das principais figuras de mérito de doistransformadores monofásicos de tensão máxima de equipamento de 15 kV, de núcleos de materiaismagnéticos diferentes, e os valores garantidos pela NBR 5440.

Tabela 5.3: Valores comparativos de transformadores de tensão máxima de 15 kV.

Ensaio Núcleo de ma-terial amorfo

Núcleo de açoao silício GO

Valores garantidos pelaNBR 5440

Perdas em vazio (W) 15 84 85Perdas em curto-circuito (W) 290 266 270Perdas totais 305 350 355Corrente de excitação (%) 0,41 3,0 3,0Tensão de curto-circuito a−75C (%)

2,47 2,5 2,5

A determinação dos parâmetros de um transformador, monofásico, pode ser feita de forma expe-rimental, utilizando-se os seguintes equipamentos: um autotransformador variável, um voltímetrode valor eficaz, um voltímetro de valor médio, um wattímetro e um amperímetro. Cada medidorcom calibre compatível.

A seguir, alguns exemplos práticos são apresentados.

97

5.9.7 Exemplos

Ensaio de curto-circuito

Objetivo: determinar as perdas no cobre e a impedância equivalente.Procedimento: coloca-se o secundário em curto-circuito e por meio do autotransformador variá-

vel, ajusta-se a tensão no lado do primário do transformador, elevando-se gradativamente, de zeroaté um valor tal que se obtenha a corrente nominal no enrolamento primário (a corrente nominalpode ser calculada dividindo-se a potência nominal do transformador pela tensão nominal corres-pondente). Esta tensão é a tensão de curto-circuito deste enrolamento. O primário é escolhido deacordo com os calibres dos medidores, podendo ser o lado de alta ou de baixa tensão.

Na prática, entretanto, os instrumentos de medição são posicionados no lado de alta tensão(H1 −H2) e o curto-circuito realizado no lado de baixa tensão (X1 −X2).

Figura 5.11: Montagem do ensaio de curto-circuito em transformadores monofásicos.

Figura 5.12: Circuito equivalente.

Comentários: voltando ao modelo do transformador da Figura 5.7 deduzido anteriormente,neste ensaio a impedância de magnetização (resistência e reatância em paralelo) é muito maior quea impedância série (Zm >> Z1) e a tensão necessária para se produzir a corrente nominal é cercade 10 a 20% da tensão nominal, daí o fluxo líquido ser bastante reduzido. Por todas essas razõesdesprezamos a corrente da magnetização, chegando ao circuito equivalente da Figura 5.12.

V1 = Icc√r2 + x2 (5.20)

r = PccI2cc

(5.21)

cos θ = PccV1Icc

(5.22)

98

Com os vários pontos da corrente I1, as seguintes curvas podem ser obtidas:Pcc× Icc, V1 × Icc, cos(θ)× Icc.

Figura 5.13: Esquema de montagem de ensaio de curto-circuito em transformadores trifásicos.

Comentários:A alimentação da montagem deve ser feita por uma FVT (Fonte de tensão variável trifásica).

A potência ativa P é medida pelo método dos dois wattímetros: W1 +W2. O voltímetro mede VZe o amperímetro mede I1.

Durante o ensaio é interessante anotar a temperatura dos enrolamentos (ou ambiente) para queos parâmetros sejam determinados naquela temperatura.

Nesses ensaios, devem ser empregados wattímetros de baixo fator de potência (fator de potênciade 5% ou 10%), para se obterem leituras satisfatórias; se eles já forem compensados para as perdasdas bobinas de potencial, esse fato deve ser levado em conta.

Ensaio de circuito aberto

Objetivo:Determinar os parâmetros transversais, as perdas em vazio (perda no núcleo) e a corrente de

excitação.Procedimento:Deixa-se o secundário do transformador em aberto e mede-se a potência de entrada, tensão e

corrente para variações de, por exemplo: 0, 10, 20, 30 . . . até 110% da tensão nominal do trans-formador. Lê-se a potência (Pca), a tensão, pelo voltímetro de valor médio e pelo voltímetro devalor eficaz e a corrente pelo amperímetro. Após desligar o transformador sob ensaio, fazer novaleitura no wattímetro, a qual deve ser subtraída da anterior e corresponde às perdas no circuito demedição.

As ligações podem ser feitas tanto no enrolamento de alta-tensão, como no de baixa-tensão,sendo mais conveniente este último, para maior facilidade na medição da corrente.

Exemplos ilustrativos

Exemplo I Na Figura 5.14 é apresentado um esquema de ligações para a realização de um ensaioexperimental para a determinação das perdas em vazio e corrente de excitação em um transformadormonofásico.

Onde: V indica a variação da tensão; A indica a corrente a vazio, I0 e W indicam as perdasativas no núcleo, Pca.

A montagem da Figura 5.14, embora usualmente apresentada nos livros didáticos, difere dodiagrama de ligações para o ensaio das perdas em vazio e corrente de excitação em transformadores

99

Figura 5.14: Montagem do ensaio de circuito-aberto

monofásicos, sem transformadores para instrumentos, apresentada na NBR 5380/ 1993. A citadadiferença consiste no posicionamento do amperímetro à montante do wattímetro e na presença devoltímetro de valor médio, ligado em paralelo ao voltímetro de valor eficaz V .

Para efeito de análise, é apresentado na Figura 5.15 o circuito equivalente do transformador emvazio.

Figura 5.15: Circuito equivalente do transformador em vazio.

A partir do circuito equivalente da Figura 5.15 podem-se deduzir as seguintes relações:

~I0 = ~If + ~Im

‖ I0 ‖=√I2f + I2

m

I0 = V1

√√√√( 1Rf

)2

+( 1Xm

)2

Rf = V 21

Pca

cos θ = PcaV1I0

Para os vários valores de V1, podem-se traçar gráficos de: Pca × V1; I1 × V1; cos θ × V1.

100

Exemplo II O laboratório de uma fábrica de transformadores dispõe dos seguintes equipamentose instrumentos:

• 3 TC’s de: 1-2-5-10-25-50-100-200/5 A

• 2 TP’s de: 1.150/115 V

• 2 Wattímetros monofásicos: bobina tensão 150-300 V, bobina corrente 1-5 A

• 3 Amperímetros: 5 A

• 1 Voltímetro: 150-300 V

• 1 Fonte de tensão variável (FTV): 0-1.000 V, 60 Hz, 500 kVA

No laboratório, um transformador trifásico, 300 kVA, 60 Hz, 13.200 V (∆): 220/127 V (Y ), foisubmetido aos ensaios de curto-circuito e de circuito aberto, sendo obtidos os seguintes resultados:

1. Ensaio a vazio:

• Tensão de excitação: 220 V, 60 Hz;• Perdas no núcleo: Pf = 1.100 W;• I = 20,6 A (média das três fases)

2. Ensaio de curto-circuito:

• Com corrente nominal: Vz = 445 V, Pcc = 3.375W, t = 200C.

(a) Esboçar o esquema da montagem do ensaio a vazio, indicando as relações dos transformadorespara instrumentos, leituras dos amperímetros, etc.

(b) Esboçar o esquema da montagem do ensaio de curto-circuito, indicando as relações dos trans-formadores para instrumentos, leitura dos amperímetros, etc.

SOLUÇÃO:

I1n =√

3 SV1

= 300√

3 · 103

13200 = 13, 122A

I2n =√

3 SV2

= 300√

3 · 103

220 = 787, 295A

(a) Ensaio a vazioKc = 5 (Constante de relação dos TC’s); K = 1 (direto, sem TP’s); Leitura do voltímetro:220 V; Wattímetro: Pf = (W1 +W2)Kc ·Kp;

Ivazio = Kc ·A1 +A2 +A3

3 = 20, 6A

A média das leituras dos amperímetros deve ser 4,12A.

101

Figura 5.16: Esquema de montagem para ensaio em vazio.

Figura 5.17: Esquema de montagem para ensaio em vazio.

(b) Ensaio de curto-circuito

Kc = 255 = 5

Leitura do amperímetro: 13,1225 = 2, 62A Como a tensão VZ = 445V é maior que a tensão

das bobinas voltimétricas dos medidores, devemos usar TP’s com relação 10(1.150/115). Aleitura do voltímetro será 44,5 V e as leituras dos Wattímetros: Pcc = (W1±W2) ·Kc ·Kc ·Kw

. Onde: Kc = 5, Kp = 10 e o valor de Kw depende do instrumento.

5.10 ProblemasPROBLEMA N5

Considere um sistema magneticamente acoplado constituído por um núcleo envolvente, no qualdois enrolamentos, primário e secundário, envolvem a trave central de um núcleo magnético retan-gular de três pernas. APRESENTE:

(a) O desenho representativo desse sistema, indicando o núcleo, as duas bobinas e os fluxosmútuos e de dispersão;

(b) O circuito magnético equivalente, indicando as forças magnetomotrizes, a relutância de mag-netização e as relutâncias de dispersão, do primário e do secundário. Em seguida, a partirdesse circuito magnético determine os circuitos magnético e elétrico equivalentes com todos osparâmetros (resistências e reatâncias) e variáveis (tensões e correntes) refletidos ao primário.

102

SOLUÇÃO:

(a) Um esquema deste sistema com estas indicações é mostrado na Figura 5.18.

Figura 5.18: Representação do transformador de núcleo envolvido com indicações dos enrolamentose fluxos envolvidos.

(b) Para a determinação do circuito magnético equivalente devemos nos referir à Figura 5.18.Nela é possível identificar duas fontes de força magnetomotriz, a bobina de baixa e tensão ea de alta, que chamaremos de F1 e F2, em paralelo a cada uma delas existe uma relutânciade dispersão correspondente ao fluxo que se dispersa pelo ar, estas relutâncias são lineares,pois o meio de propagação é o ar. Além disto, existe a relutância de magnetização da travecentral e das duas laterais, que são relutâncias não-lineares, já que o núcleo é um materialferromagnético. Na Figura 5.19, o circuito descrito neste parágrafo é mostrado.

Figura 5.19: Circuito magnético equivalente.

Note na Figura 5.19 que as relutânciasRme eRmd estão em paralelo, e a relutância equivalenteestá em série comRmc, portanto, podemos reduzir estas três relutâncias a uma única, de valor:

Rm = Rmc +Rme ‖ Rmd

O circuito resultante, mostrado na Figura 5.20, pode ser utilizado para a determinação docircuito elétrico equivalente a partir do método topológico. Para tanto é preciso marcar pontos

103

no centro de cada uma das malhas simples do circuito, estes pontos foram chamados de A, Be C na Figura 5.20.

Figura 5.20: Circuito magnético equivalente reduzido para aplicação do método topológico.

A construção do circuito elétrico equivalente deve ser baseada nos pontos, caminhos tracejadose elementos da Figura 5.20. Na construção do circuito elétrico, cada caminho tracejado setransforma em uma ligação elétrica (fio), os pontos A,B,C e O se transformam nós do circuito,o ponto O geralmente é o terra, as forças eletromotrizes se transformam em fontes de tensãocom resistências em série e as relutâncias se transformam em indutâncias, com seu caráter delinearidade ou não linearidade preservados.

Começando a análise pelo ponto A, que corresponde ao nó A no circuito elétrico equivalente,vemos que existe um caminho tracejado que passa pela força magnetomotriz F1, que nocircuito elétrico equivalente corresponde a uma fonte de tensão V1 e uma resistência dosenrolamentos R1 em série, também do ponto A parte um caminho que o liga até B atravésde uma relutância de dispersão, esta relutância é uma indutância linear no circuito elétricoequivalente.

Do ponto B, parte um caminho para o ponto O passando pela relutância de magnetização,portanto, deve haver uma indutância não linear entre o terra (O) e o nó B, podemos aindautilizar um argumento heurístico e adicionar uma resistência de perdas Rf , relacionadas àscorrentes de Focault, já que sabemos que elas estão presentes no núcleo magnético.

O procedimento para análise do ponto C é análogo ao do ponto A, resultando em uma fonte detensão V2 e uma resistência dos enrolamentos R2, além de uma indutância linear de dispersão.

É interessante lembrar que para se determinar o valor das indutâncias a partir das relutânciasé necessário se usar a relação L = N2/R e, portanto, deve-se escolher de forma arbitrária onúmero de espiras (N) a ser utilizado na determinação das indutâncias, para facilitar a análiseé interessante se utilizar o número de espiras do enrolamento do primário ou do secundário.Caso seja utilizado o do primário, o circuito será referido a ele, este é o caso nesta análise.

O circuito elétrico resultante desta análise está representado na Figura 5.21, note que aconstante a é a relação de espiras entre primário e o secundário.

PROBLEMA N6 ( ref. P.1-7, pág. 74, Fitzgerald )

104

Figura 5.21: Circuito elétrico equivalente.

Um transformador de 500 kVA, 60 Hz, com um enrolamento primário para 11000 V, duranteo ensaio a vazio absorveu da fonte 3,35 A e as perdas em vazio foram de 2960 W, com tensão efrequência nominais. Outro transformador tem um núcleo com todas as dimensões lineares do núcleo√

2 vezes maiores do que as dimensões correspondentes do primeiro transformador. O material donúcleo e a espessura de laminação mantêm-se os mesmos em ambos os transformadores.

Se os enrolamentos primários dos transformadores têm o mesmo número de espiras, qual acorrente e potência em vazio do segundo transformador, quando alimentado com 22000 V e 60 Hzaplicados ao primário?

CONCEITOS: O fluxo no transformador depende de φmax = V4,44fN . As perdas magnéticas

dependem, no caso, da densidade de fluxo magnético B e do volume.SOLUÇÃO:Ao multiplicarmos as dimensões lineares de um sólido por

√2, estaremos multiplicando o volume

por√

2 3, e a área de uma seção transversal por√

2 2, logo:Volume do transformador 1: V1Volume do transformador 2: V2 = 2

√2V1

Área de seção transversal do transformador 1: S1Área de seção transversal do transformador 2: S2 = 2S1Fluxo máximo no transformador 1: φ1 = V1

4,44fN1

Fluxo máximo no transformador 2: φ2 = 2V14,44fN1

= 2φ1

Densidade de fluxo magnético no transformador 1: B1 = φ1S1

Densidade de fluxo magnético no transformador 2: B2 = φ2S2

= (2φ1)/(2S1) = B1Os dois transformadores trabalham com as mesmas induções, logo as perdas em vazio variam

como os volumes:

Pf2 = 2√

2Pf1 = 2 · 1, 414 · 2.960 = 8.372 W

Pf2 = 8.372 W

Partindo da potência aparente de excitação, é fácil calcular a corrente em vazio do segundotransformador:

P2 = ~V2 ~I2 ⇒ 2√

2P1 = 2 ~V1 ~I2

‖ I2 ‖=2√

2 ‖ P1 ‖2 ‖ V1 ‖

=√

2 ‖ I1 ‖= 4, 74 A

PROBLEMA N7 (ref. P.1-8, Pág. 74 , Fitzgerald)

105

A indução magnética e perda no núcleo de um transformador funcionando a uma tensão de6.600 volts a 60 Hz são, respectivamente, 70 quilolinhas/pol2 e 2.500 watts. Suponha que todasas dimensões do transformador são dobradas, e que os números de espiras nos enrolamentos pri-mário e secundário são reduzidos a metade, e que o novo transformador funciona a uma tensão de13.200 volts a 60 Hz. O mesmo tipo de ferro e a mesma espessura de chapas são usados nos doistransformadores.

Quais são os valores da indução magnética e das perdas no núcleo do novo transformador?CONCEITO: Veja o problema anterior.SOLUÇÃO:Transformador 1: φ1 = V1

4,44fN1, Transformador 2: φ2 = V2

4,44fN2= V2

4,44fN12

= 4φ1

Induções:Transformador 1: B1 = φ1

a·b , Transformador 2: B2 = φ22a·2b = 4φ1

4a·b = (4φ1)/4ab = B1 , vol2 =8vol1

ComoB1 = B2 → Ph2 = 8Ph1 = 8 · 2500 = 20000

Ph2 = 20 kW

PROBLEMA N8(ref. P.1-7, Pág. 74, Fitzgerald)As resistências e reatâncias de dispersão de um transformador de distribuição de 10 kVA, 60 Hz,

2.400 V:240 V, têm os seguintes parâmetros: r1 = 4, 20 Ω; r2 = 0, 042 Ω; x1 = 5, 5 Ω; x2 = 0, 055 ΩOnde o índice 1 denota o enrolamento de 2.400 volts, e o índice 2 o enrolamento de 240 volts.

Cada grandeza é referida ao respectivo lado do transformador.

(a) Determinar a impedância equivalente referida ao lado de AT e referida ao lado de BT.

(b) Considere-se o transformador fornecendo a potência aparente nominal, sob o fator de potênciaindutivo de 0,80, a uma carga no lado de baixa tensão, com 240 volts na carga. Determinara tensão nos terminais de alta tensão.

SOLUÇÃO:

Figura 5.22: Circuito equivalente do transformador.

(a) Referido ao lado de alta tensão:

r′2 = a2r2 = 100 · 0, 042 = 4, 2 Ω

x′2 = a2x2 = 100 · 0, 055 = 5, 5 Ω

R1 = r1 + r′2 = 8, 4 Ω

106

Figura 5.23: Circuito equivalente referido ao lado de AT.

eX1 = x1 + x′2 = 11, 0 Ω

Referido ao lado de baixa tensão:

Figura 5.24: Impedância equivalente referido ao lado de baixa tensão.

(b) A corrente nominal do secundário pode ser calculada a partir da potência aparente e da tensãonominal:

I2N = 10000240 = 41, 66 A

Figura 5.25: Diagrama fasorial do secundário.

E22 = (240 +R2I2 cosϕ2 +X2I2 senϕ2)2 + (X2I2 cosϕ2 −R2I2 senϕ2)2

onde:

R2I2 = 0, 084 · 41, 66 = 3, 499 V;R2I2 cosϕ2 = 2, 799 V;R2I2 senϕ2 = 2, 099 V

107

X2I2 = 0, 110 · 41, 66 = 4, 588 V;X2I2 senϕ2 = 2, 753 V;X2I2 cosϕ2 = 3, 670 V

Logo,E2

2 = (240 + 2, 799 + 2, 753)2 + (3, 670− 2, 099)2

E2 = 245, 5 V

Portanto:

V1 = aE2 = 10 · 245, 5 V

V1 = 2455 V

ou, de outro modo mais compacto e elegante:

I2 = 41, 66∠− 36, 8 = 33, 328− j24, 996 A

Z = 0, 084 + j0, 11 Ω

~V2 = ~E2 + ~I2 ~Z2

V2 = 240 + (5, 548 + j1, 567) V

‖ V2 ‖= 245, 553V

V1 = 10V2 = 2455V

PROBLEMA N9 (ref. P.3.7, Pág. 220, Slemon)Um transformador monofásico tem uma relação 2.300:115 V e 10 kVA. Um teste de curto-

circuito no transformador, com o enrolamento secundário curto-circuitado, deu as seguintes medi-das: tensão de primário 162 V, corrente de primário 4,0 A, potência de entrada 93 W. Um teste decircuito-aberto com o enrolamento primário em circuito aberto deu as seguintes medidas: tensãode secundário 115 V, corrente de secundário 3,44 A, potência de entrada 72 W.

(a) Determine a resistência em série equivalente e a reatância em série do transformador, vistados terminais do primário.

(b) Determine a admitância em “shunt” do transformador vista dos terminais do primário.

(c) Esboce um circuito equivalente, apropriado para encontrar a relação entre as tensões determinais, sob várias condições de carga.

SOLUÇÃO:Dados do transformador: 2.300 V/115 V e 10 kVA.

108

Tabela 5.4: Dados dos ensaios de circuito aberto e curto-circuito.

Ensaios V1(V) I1(A) V2(V) I2A Pcc(W) Pca(W)Curto-circuito 162 4,0 - - 93 -Circuito aberto - - 115 3,44 - 72

Figura 5.26: Circuito elétrico equivalente.

(a) Do teste de curto-circuito:

R1 = PccI2

1= 93

16 = 5, 81Ω

Z1 = V1I1

= 1624 = 40, 50Ω

X1 =√Z2

1 −R21 = 40, 08Ω

Z1 = 5, 81 + j40Ω

(b) Do teste de circuito-aberto:Y1 = G2 − jB2

a2 f

‖ G2 ‖=72

1152 = 0, 00544f

‖ Y2 ‖=3, 44115 = 0, 02991f

B2 =√

(Y 22 −G2

2) = 0, 02941mho

portanto

Y1 = 13, 6− j73, 5f

(c) O circuito equivalente pode ser visto na Figura 5.27.

109

Figura 5.27: Circuito equivalente.

PROBLEMA N10 (ref. P.3.11 , Pág. 222 , Slemon) Um transformador de 2 enrolamentostem os seguintes dados, na placa do fabricante: 200 kVA, 2300: 230 V , 60 Hz. A impedância doenrolamento de alta tensão, quando o enrolamento de baixa tensão é curto-circuito, é de 0, 24 +j1, 6Ω. A admitância do enrolamento de baixa tensão, com o enrolamento de alta tensão em circuitoaberto, é 0,03 - j0,075 mhos.

(a) As quantidades nominais, na placa do fabricante, são para ser usadas como valores básicos nadeterminação dos valores por unidade. Determine a tensão, corrente, impedância e a relaçãovoltampères básicos para os lados de alta e baixa tensões do transformador.

(b) Determine o valor em pu da resistência e da reatância de dispersão totais do transformador.

(c) Determine o valor em pu da perda no transformador, quando operando em tensão nominalem circuito aberto.

(d) Determine o valor em pu da corrente magnetizante, quando operado em tensão nominal emcircuito aberto.

(e) Determine o valor em pu da perda total de potência ao transformador, quando operado nacarga nominal.

SOLUÇÃO:

(a) Os dados estão organizados na Tabela 5.5.

Tabela 5.5: Dados do problema N10.

Grandeza Alta Tensão Baixa TensãoBase de Tensão: Vb 2300 V 230 VBase de Potência: (VA)(base) 200 kVA 200 kVABase de de Corrente: Ib = V Abase

Vb87 A 870 A

Base de Impedância: Zb = VbIb

26, 5Ω 0, 265Ω

(b)

ZS = 0, 24 + j1, 626, 5 = 0, 00905 + j0, 0604pu

110

(c)

P = V 2

R= 0, 03 · 2302 = 1.578W → P = 1587

2 · 105 = 0, 00795pu

(d)Im =‖ (0, 03− j0, 075) · 230

870 ‖= 0, 0214pu

(e)Pt = 0, 00795 + 0, 00905 = 0, 017pu

5.11 Regulação, eficiência e perdasA maior parte das cargas conectadas ao secundário dos transformadores são projetadas para operaressencialmente a uma tensão constante. Porém, como a corrente é obtida através do transformador,a tensão na carga muda devido à queda de tensão na impedância interna do mesmo.

Considere a Figura 5.28, onde o transformador é representado por uma impedância Zeq.

Figura 5.28: Transformador.

Se nenhuma carga for aplicada ao secundário do transformador, condição de circuito aberto, atensão na carga será,

V2NL = V1a

(5.23)

Se a chave da carga for fechada, conectando-a ao secundário do transformador, a tensão nacarga será,

V2|L = V2NL ±∆V2 (5.24)

Assim, a tensão na carga pode aumentar ou diminuir, dependendo da natureza da carga. Estamudança de tensão é devida à queda de tensão (IZ) na impedância interna do transformador. Umagrande variação de tensão é indesejável para muitas cargas.

Por exemplo, quanto mais lâmpadas são conectadas ao secundário do transformador, mais atensão decairá apreciavelmente, e as lâmpadas irão brilhar com redução de luminosidade. Parareduzir a magnitude da mudança de tensão, o transformador deve ser projetado para um pequenovalor de impedância interna Zeq.

A figura de mérito designada por regulação de tensão é usada para identificar esta característicade mudança de tensão em um transformador com carga. Assim, a regulação de tensão é definida

111

como uma mudança na magnitude da tensão do secundário quando a corrente de carga muda dacondição de circuito aberto (VNL) para condição de carga (VL). Isto é mostrado como segue

Regulação de tensão = |V2|NL − |V2|L|V2|L

(5.25)

Os sinais absolutos são usados para indicar a importância da mudança da magnitude para odesempenho da carga. As tensões na expressão (5.25) podem ser calculadas usando um circuitoequivalente referente ao primário ou secundário. Vamos considerar o circuito equivalente referenteao primário, mostrado na Figura 5.29.

Figura 5.29: Circuito elétrico equivalente.

A expressão (5.25) pode também ser escrita como

Regulação de tensão = |V′

2 |NL − |V ′2 |L|V ′2 |L

(5.26)

A tensão na carga é normalmente tomada como a variação relativa de tensão. Entretanto,

|V ′2 |L = |V ′2 |variação (5.27)

Da Figura 5.29,

V1 = V ′2 + I ′2Req1 + jI ′2Xeq1 (5.28)

Se a carga é desligada (I1 = I ′2 = 0), V1 irá se igualar a V ′2 . Portanto,

|V ′2 |NL = |V1| (5.29)

Das Equações (5.29), (5.27) e (5.26),

Regulação de tensão = 100 · |V1| − |V ′2 |variação|V ′2 |variação

(5.30)

A regulação de tensão depende do fator de potência da carga. Isto pode ser observado a partirdo diagrama de fasores das tensões. Baseado na Equação (5.28) e na Figura 5.29, o diagrama defasores é obtido na Figura 5.30. O locus de V1 é um círculo de raio |I ′2Zeq1|. A magnitude de V1será máxima se o fasor I ′2Zeq1 estiver em fase com V ′2 . Isto é,

θ2 + θeq1 = 0 (5.31)

Onde θ2 é o ângulo da impedância da carga, θeq1 é o ângulo da impedância equivalente dotransformador, Zeq1.

112

Figura 5.30: Diagrama Fasorial.

Da Equação (5.31),

θ2 = −θeq1 (5.32)

Portanto, a máxima regulação de tensão ocorre quando o ângulo do fator de potência da cargaé o mesmo que o ângulo da impedância equivalente do transformador e o fator de potência da cargaé atrasado.

5.11.1 Problemas

PROBLEMA No11 (ref. Exemplo 2.3, pág. 62, P. C. Sen )Um transformador monofásico de 10 kVA, 2200/220, 60 Hz, é submetido aos ensaios de circuito

aberto e curto-circuito. Os resultados das medições efetuadas pelos instrumentos estão apresentadosna Tabela 5.6 a seguir:

Tabela 5.6: Dados dos ensaios.

Instrumentos Ensaio de Circuito aberto (lado deAT aberto)

Ensaio de Curto Circuito (lado debaixa tensão circuitado)

Voltímetro 220 V 150 VAmperímetro 2,5 A 4,55 AWattímetro 100 W 215 W

Determine a regulação de tensão em percentagem para as seguintes condições de carga:

(a) 75% de carga completa, fator de potência 0,6 atrasado.

(b) 75% de carga completa, fator de potência 0,6 adiantado.

(c) Obtenha o diagrama de fasores para as condições (a) e (b).

Solução:Considere o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão, conforme mostrado na Fi-

gura 5.31, e a tensão de carga é assumida em seu valor nominal.A condição de 75% de plena carga significa que a corrente de carga é 75% da corrente nominal.

Então,

IH = I ′L = 0, 75× 4, 55 = 3, 41A

113

Figura 5.31: Circuito elétrico equivalente.

Fator de potência: cos θ2 = 0, 6

θ2 = ±53, 13o

(a) Para o fator de potência atrasado, θ2 = −53, 13

IH = 3, 41∠− 51, 13A

VH = V ′L + I ′L · ZeqH

= 2200∠0 + 3, 41∠− 53, 13(10, 4 + j31, 3)

= 2200∠0 + 35, 43∠− 53, 13 + 106, 73∠(90 − 53, 13)

= 2200 + 21, 28− j28, 37 + 85, 38 + j6404

= 2306, 66 + j35, 67

= 2306, 94∠0, 9V

Regulação de tensão = 100 · 2306, 94− 22002200 = 4, 86%

O significado de 4,86% da regulação de tensão é que se a carga estiver desconectada, a tensãonos terminais da carga irá aumentar de 220 V para 230,69 V. Em outras palavras, quando acarga estiver 75% completa com um fator de potência de 0,6 atrasado e estiver conectada aosterminais de carga do transformador, a tensão diminui de 230,69 V para 220 V.

114

(b) Para o fator de potência adiantado, θ2 = +53, 13

VH = 2200∠0 + 3, 41∠53, 130(10, 4 + j31, 3)

= 2200 + 35, 46∠53, 13 + 106, 73∠(90 + 53, 13)

= 2200 + 21, 28 + j28, 37− 85, 38 + j64, 04

= 2135, 9 + j92, 41

= 2137, 9∠2, 48V

Regulação de tensão = 100 · 2137, 9− 22002200 = −2, 82%

Note que a regulação de tensão para este fator de potência da carga adiantado é negativa.Isto significa que se a carga estiver desconectada, a tensão terminal da carga irá decrescerde 220 V para 213,79 V. De outra maneira, se o fator de potência da carga adiantado forconectado aos terminais da carga, a tensão irá aumentar de 213,79 V para 220 V.

(c) O diagrama de fasores para ambos os fatores de potência da carga, atrasado e adiantado émostrado na Figura 5.32.

Figura 5.32: Diagramas fasoriais

115

PROBLEMA No 12 (ref. p-3.12, pág. 223, Slemon)Um transformador tem uma resistência equivalente de enrolamento de 0,01 por unidade, uma

reatância de dispersão de 0,05 por unidade e uma perda de potência sem carga de 0,01 por unidade,sendo a base para todas as quantidades unitárias a capacidade do transformador.

(a) Determine a eficiência do transformador, quando alimentando uma carga nominal de fator depotência 0,8.

(b) Determine a regulação de tensão quando opera com tensão e corrente nominal e fator depotência da carga de 0,8.

SOLUÇÃO:

(a) O circuito equivalente simplificado é apresentado a seguir:

Figura 5.33: Circuito equivalente.

Como I2 = 1, 0pu, V2 = 1, 0pu, cos θ2 = 0, 8potência de saída = v2I2 cos θ2 = 0, 8puAs perdas são as perdas em vazio mais as perdas em carga (Pf + Pc)perdas = 0, 01 + 0, 01 = 0, 02pu

R% = 100 · P2P2 + Perdas

= 100 · V2I2 cos θ2V2I2 cos θ2 + Pf + Pc

R% = 100 · 0, 80, 8 + 0, 02 = 97, 56%

ou seja, R% = 0, 9756pu

(b) Se V2N = 1, 0∠0 com fator de potência 0,8 em atraso, I2N = 1, 0∠− 36, 9

V ′f = V2N + (0, 01 + j0, 05) · 1, 0∠− 36, 9

V ′f = 1, 0∠0 + 0, 051∠41, 79

V ′f = 1, 038∠1, 87V

R% = 100 ·V ′f − V2N

V2N= 100 · 1, 038− 1, 0

1, 0 = 3, 8%

Ou seja, R = 0, 038pu.

116

Ou ainda, de forma mais compacta e elegante:

R = rpu · cos θ2 +Xpu · sen θ2 = 0, 01× 0, 8 + 0, 05× 0, 6 = 0, 038

R = 0, 038pu.

Como no caso das máquinas elétricas em geral, o rendimento ou eficiência de um transformadoré definido pela relação entre a potência ativa útil disponível nos terminais de saída pela potênciaativa admitida nos terminais do primário:

η = potência de saídapotência de entrada = potência de saída

potência de saída+perdas

ou na forma percentual: η% = 100 P2P2+Perdas

Em geral, o rendimento é determinado por meio de medições das perdas, conforme obtidas nosensaios de circuito aberto. Portanto, considerando-se que:

potência de saída = potência de entrada−∑

perdas

e inserindo-se este resultado na expressão da própria definição, resulta numa forma mais útil dese exprimir o rendimento. Desta forma,

η = 1−∑

perdaspotência de entrada

onde,

Σperdas = perdas no núcleo + perdas no cobre = Pc = I22req2

O rendimento, a exemplo da regulação, também pode ser expresso em por unidade, pu. Seja xo valor em pu da carga, donde P2 = xS cos θ, onde S é a potência aparente nominal e cos θ o fatorde potência da carga. As perdas podem ser divididas em duas:

• Perdas no ferro Pf , constante sob tensão primária constante.

• Perdas no cobre Pcu = x2Pcn, com Pcn correspondente à perda no cobre quando opera a carganominal.

Daí, a expressão do rendimento pode ser escrita assim:

η% = xSn cos θxSn cos θ + Pf + x2Pcn

Para se determinar a condição de eficiência máxima, a equação anterior pode ser diferenciadacom relação a x e o resultado igualado a zero, resultando:

η = ηmax ⇒ dη

dx= 0

x2Pcn = Pf

117

Assim como ocorre para as máquinas girantes, o rendimento máximo do transformador ocorrequando as perdas fixas e variáveis são iguais:

Perdas no cobre = Perdas no ferro

x =√PfPcn

É interessante lembrar, também, que o fator de potência, cos θ, determina o valor do termo depotência útil no secundário (na saída). Daí, um baixo fator de potência leva a um baixo rendimento.

Em geral, o rendimento máximo ocorre a aproximadamente meia carga.PROBLEMA N13 (ref. P-3.13, Pág. 223, Slemon)Quando testado em tensão e frequência, com o enrolamento primário em aberto, um transfor-

mador de distribuição monofásico de 10 kVA, 60 Hz, 2400:240 V, requer uma corrente de 0,55A euma potência de entrada de 55 W. Quando opera em frequência nominal no enrolamento primário,com o enrolamento secundário curto-circuitado, ele requer uma potência de entrada de 150 W euma tensão no primário de 60 V.

(a) Determine os parâmetros de um circuito equivalente para este transformador, com todas asimpedâncias relacionadas ao lado secundário do transformador ideal.

(b) Compute a regulação de tensão deste transformador para uma carga de 10 kVA, tensãonominal no secundário e fator de potência de 0,80.

(c) Compute a eficiência do transformador, quando alimentado a carga específica no item anterior.

(d) Para que o valor de carga por unidade de capacidade, o transformador tem o seu valor máximode eficiência?

SOLUÇÃO:

(a) Circuito equivalente refletido ao secundário

Figura 5.34: Circuito equivalente refletido ao secundário.

Do teste de curto circuito:

R1 = P1

I1N2

I = SNV1N

= 10 · 103

2400 = 4, 17A

118

R2 = R1 ·( 1

10

)2= P

I2 ·( 1

10

)2= 150

4, 172 ·1

100 = 0, 0862

R2 = 0, 0862Ω

|Z2| =0, 01604, 17 = 0, 144Ω

X2 =√Z2

2 −R22 = 0, 1152

X2 = 0, 1152Ω

Do teste de circuito aberto:

G2 = 552402 = 0, 000955

G2 = 0, 000955f

Y2 = 0, 552400 = 0, 000229f

B2 = 0, 000229f

(b) Cálculo da regulação R:

V ′1 = V2 + I2Z2 = 240∠0 + 0, 144∠53, 19 · 41, 67∠− 36, 9

|V ′1 | = 246V

R = 0, 0242

(c) Em plena carga, as perdas totais são:

Pt = Pf + Pcu = 55 + 150 = 205W

A eficiência é calculada por: η = 10·1000·0.810·1000·0.8+205

η = 0, 975pu

(d) A eficiência máxima ocorre quando

x =√PfPcu

=√

55150 = 0, 606

Portanto, x = 0,606 pu.Ou seja, o rendimento máximo ocorrerá a 60,6% da carga nominal.

119

PROBLEMA N14 (ref. exemplo 13 - 14, pág. 540, KOSOW)Um transformador de distribuição de 500 kVA, 2300 V/200 V, 60 Hz, teve seus testes de acei-

tação constando de um ensaio a vazio e um curto-circuito, antes de ser colocado em serviço comotransformador abaixador. A partir dos ensaios, devem-se calcular sua regulação e seu rendimento.Os dados obtidos dos ensaios são os seguintes:

A vazio: Vob = 208V,Iob = 85A,Pob = 1800mathrmW

Curto - circuito: Vcca = 95V, Icca = 217, 5A, Pcc = 8, 2kWDos dados acima, calcule:

(a) A resistência equivalente referida ao lado de baixa tensão.

(b) A resistência do lado de baixa tensão apenas.

(c) As perdas no cobre do enrolamento de baixa tensão durante o ensaio a vazio.

(d) As perdas no núcleo do transformador quando a tensão nominal é aplicada.

(e) Podem as perdas a vazio, obtidas no respectivo ensaio, serem usadas como perdas no núcleo?Explique.

SOLUÇÃO:Observação: o índice o, do ensaio a vazio, vem do termo em inglês “open”, o índice b significa

baixa tensão, o índice a significa alta tensão e cc, curto-circuito.

(a) A partir do ensaio de curto-circuito,

Rea = Pcc

I2a

= 8200217, 52 = 0, 173Ω

Reb = Rcaa2 = 0, 001417Ω

(b) Resistência do enrolamento do lado de baixa tensão apenas

Rb = Reb2 = 7, 1× 10−4Ω

(c) Durante o ensaio a vazio, a corrente presente é a corrente de magnetização, Im

Pcu = RbI2o

Pcu = 5, 129W

(d) Pnúcleo = Po − Pcu = 1800− 5, 129 = 1794, 8W.

(e) Sim, a potência obtida no ensaio a vazio pode ser usada como perda do núcleo. O erropercentual é de aproximadamente 5/1800 = 0, 00278, ou seja, 0, 278%. Isto está dentro damargem de erro admitida pelos instrumentos usados no ensaio (classe de exatidão = 0,5, porexemplo, já é um bom instrumento de medição). Podemos, pois, admitir as perdas no núcleocomo sendo 1800 W.

120

PROBLEMA N15 (ref. exemplo13-15, pág. 541, KOSOW)Utilizando os dados do problema N14, calcule:

(a) O rendimento do transformador quando este é carregado por uma carga resistiva pura (fatorde potência unitário) correspondendo a 1/4, 1/2, 3/4, 5/4 da carga nominal. Tabele todas asperdas, potência de saída e potência de entrada em função da carga.

(b) Repita o item anterior para as mesmas condições de carga, mas sendo o fator de potência 0,8em atraso.

(c) A corrente de carga para a qual ocorre o máximo rendimento, independente do fator depotência.

(d) A fração da carga para qual ocorre rendimento máximo.

(e) O máximo rendimento para o fator de potência unitário.

SOLUÇÃO:Dados preliminares:Perdas no núcleo = perdas fixas = 1800W, do ensaio a vazio dado no problema N14.Perda no cobre para a carga nominal = perdas variáveis = 8200 W, a partir dos dados do en-

saio de curto-circuito.Potência de saída à plena carga = 500kVA cos θ2 = 500kVA × 1 = 500kW, a partir da capaci-

dade nominal do transformador.

(a) Segue a tabulação para o fator de potência unitário:

Tabela 5.7: Dados do problema N15

Fraçãoda carganominal

Perdasno núcleo(W)

Perdasno cobre(W)

Perdastotais(W)

Saídatotal(W)

Entrada total(saída + perdas)(W)

Rendimento

1/4 1800 512 2312 125000 127312 98,251/2 1800 2050 3850 250000 253850 98,473/4 1800 4610 6410 375000 381410 98,251 1800 8200 10000 500000 510000 98,15/4 1800 12800 14600 625000 639600 97,8

(b) Tabulação para fator de potência 0,8 em atraso:

(c) Do item (a) do problema anterior, Reb = 0,001417Ω.

I2 =√PoReb

=√

18000, 001417 = 1127A

I2 = 1127A

(d) Corrente secundária nominal, I2 = SV2

= 0, 47A.

121

Tabela 5.8: Dados do problema N15

Fraçãoda carganominal

Perdasno núcleo(W)

Perdasno cobre(W)

Perdastotais(W)

Saídatotal(W)

Entrada total(saída + perdas)(W)

Rendimento

1/4 1800 512 2312 100000 102312 97,71/2 1800 2050 3850 200000 253850 98,253/4 1800 4610 6410 300000 306410 97,91 1800 8200 10000 400000 410000 97,65/4 1800 12800 14600 500000 514000 97,25

(e) Rendimento:η = V2I2 cos θ2

V2I2 cos θ2 + Pcu + Pfe

η = 234000237600 = 0, 9848

Algumas conclusões importantes podem ser tiradas dos últimos problemas, com respeito aorendimento do transformador, dentre as quais:

1. A vazio, com tensão nominal aplicada a um dos enrolamentos de baixa tensão, a potênciasolicitada Po decorre, essencialmente, das perdas no núcleo. As pequenas perdas no cobre avazio podem ser desprezadas.

2. Embora o rendimento seja zero a vazio, ele se eleva rapidamente com uma pequena aplicaçãode carga no secundário, conforme mostram a Figura 5.35 e os itens (a) e (b) do problemaN15.

Para o mesmo valor da corrente de carga, o efeito da diminuição dos fatores de potência é umapequena redução no rendimento, conforme mostra a família de curvas da Figura 5.35. Note-se pelascurvas e Tabelas 7 e 8 (última coluna), que, a cada acréscimo de carga, o rendimento é maior paramaiores fatores de potência (mais uma razão para melhorar o fator de potência da carga).

A carga para a qual ocorre rendimento máximo, entretanto, para cada família mostrada naFigura 5.35, permanece a mesma, porque as perdas no núcleo e as perdas variáveis no cobre sãoindependentes do fator de potência.

Os rendimentos dos transformadores, por serem máquinas estáticas, são maiores que os dasmáquinas rotativas, visto que, para a mesma potência nominal, estas possuem outras perdas comoventilação, atrito nos mancais, etc. Assim um transformador bem projetado tem sempre rendimentomaior que a máquina girante ligada com a carga no secundário.

PROBLEMA N16 (ref. P.1-10, pág. 75, Fitzgerald)Uma carga monofásica é alimentada através de um alimentador 33000 V, cuja impedância é

105 + j360Ω e de um transformador de 33000:2400 V cuja impedância equivalente é 0, 36 + j1, 08Ω,referida ao lado de baixa tensão. A carga é de 180 kW com fator de potência 0,85 capacitivo e suatensão é de 2250 V.

(a) Calcular a tensão no alimentador, no lado do gerador.

122

Figura 5.35: Rendimento do transformador segundo fator de potência da carga.

(b) Calcular a tensão nos terminais primário do transformador.

(c) Calcular as potências ativa e reativa de entrada do alimentador, no lado do gerador.

SOLUÇÃO:

(a) Partindo dos dados do problema, um circuito equivalente é apresentado na Figura 5.36.

Figura 5.36: Circuito equivalente.

Do triângulo de potência:

S = P

cos θ = 1800, 85 = 211, 76kVA

Q = S · sen θ = 111, 6kvar

I2 = S

VL= 212

2, 25 = 94, 1A

I1 = 6, 843A

123

Para o cálculo da tensão no alimentador, no lado do gerador, um circuito equivalente refletidonaquele lado é apresentado na Figura 5.37.

Figura 5.37: Circuito equivalente refletido ao lado do gerador.

Tomando I1 como referência, temos:

V ′L = aVL = 30.937, 5 cos θ − j30.937, 5 sen θ = 26.297− j16.297

|V ′L| = 30.937, 4V

I1Ztotal = 6, 843(156, 5 + j564) = 1.071 + j3.859

Vi = V ′l + I1Ztotal = 27.368− j12.438

|Vi| = 30062V

(b)Vi = Vi − I1Zalimentador = 27.368− j12.438− 6, 843(105 + j360)

= 26.649, 5− j14.901, 5

|Vi| = 30553V

(c)A potência ativa no início da linha = Potência das cargas + Perdas

= 180 + I2Rtotal

= 180 + 6, 8432 · 156, 5

= 187, 3kW

A potência reativa no início da linha:

Qentrada = kvar da carga (capacitiva)-(kvar do alimentador+kvar do transformador)

Qentrada = 111, 6− 26, 4

= 85, 2kvar(capacitivos)

O cálculo das potências pede ser feito de forma bem mais compacta e elegante:

S = ViI∗

onde I∗ é o conjugado de I.S = 187, 3− j85, 2kVA

124

PROBLEMA N17Consideremos o mesmo transformador e alimentador do problema anterior, a mesma carga de

180 kW no secundário, mesma tensão de 2250 V, agora fator de potência 0,85 indutivo:Calcular a tensão no início da transmissão e nos terminais de alta tensão do transformador.SOLUÇÃO:De forma análoga ao problema anterior,S = 212kVA;Q = 111, 6kvar;I2 = 74, 2A;I1 = 6, 853A.O circuito equivalente referido ao primário é mostrado na Figura 5.38

Figura 5.38: Circuito equivalente referido ao primário.

Tomando V ′L como referência:

I1 = 6, 853(0, 85− j0, 53) = 5, 82− j3, 61

Vi = V ′L + I1ZTOT = 30.937, 5 + (5, 82− j3, 61)(156, 5 + j564)

|Vi| = 33.865V

Tensão no primário do transformador

V1 = Vi − I1Zalimentador

V1 = 33.756 + j2.717− (1.910, 70 + j1.716, 15)

V1 = 31.845, 3 + j1000, 8

|V1| = 31.861V

Na sessão seguinte analisaremos os resultados dos problemas 14 e 15, e as conclusões feitasservirão de base para a introdução de novos conceitos.

5.12 Regulação de tensão do sistema

No problema 14, a tensão da carga refletida ao primário era de 30.937,4 V; a tensão no primáriodo transformador era de 30.533 V e no início do alimentador 30.062 V. Portanto,

V ′L > V1 > Vi (5.33)

125

Tal fato ocorreu porque a carga tinha um fator de potência capacitivo. Já no segundo caso,problema No 16, tivemos o caso mais comum;

Vi > V1 > V ′L (5.34)

Tal fato ocorreu devido ao fator de potência indutivo da carga e porque, em ambos os casos, atensão na carga era a mesma.

Vemos então que, mesmo mantida a tensão na carga, se o fator de potência varia, devemosvariar a tensão no início da transmissão.

Na prática, o que ocorre é o inverso. A tensão no início da transmissão é mantida mais oumenos constante, enquanto que a tensão na carga varia, dentro de certos limites, na medida emque a carga varia.

Por meio de diagramas fasoriais referidos ao primário, o fato pode ser facilmente visualizado.

Figura 5.39: Caso cos θ capacitivo.

Figura 5.40: Caso cos θ infutivo.

Evidentemente, se I1 varia, a intensidade de Vi também varia (se V ′L for mantida constante),pois o triângulo de impedância varia, devido à variação dos catetos I1Rtotal e I1Xtotal.

Observa-se que a maioria dos consumidores deve ser alimentada com tensão constante. Se acarga varia pouco, em intensidade ou fator de potência, a tensão no primário é mantida constante.No entanto, se a variação se dá em ambos os limites, então a tensão primária deverá ser variada, afim de manter a variação de tensão na carga (consumidor) dentro de pequenos limites (normalmente5% da tensão nominal).

Suponhamos, agora, um sistema representado pelo diagrama unifilar da Figura 5.41, no qual otransformador dos problemas 14 e 15 fosse ligado a um gerador síncrono.

Estando o gerador equipado com o seu sistema de regulação de tensão, através de sua excitatriz,no caso de carga capacitiva (problema 14), deverá ocorrer uma subexcitação do campo do gerador,garantindo uma tensão Vi nos seus terminais, sendo Vi < VL.

No caso da carga indutiva (Problema No. 16), o gerador deve estar sobreexcitado, dando tensãoV ′i nos seus terminais, sendo V ′i > VL.

126

Figura 5.41: Diagrama unifilar.

A variação da tensão Vi define o conceito de regulação de tensão do sistema. Regulação é, pois,a variação de tensão que ocorre no sistema quando a carga varia em seu fator de potência, emintensidade de corrente, ou em ambos. Na prática, a correção da tensão dos sistemas elétricos nãofica exclusivamente dependente da excitação dos geradores.

Atualmente, os sistemas elétricos devem ser projetados para trabalharem com fator de potênciaigual ou superior a 0,92.

Há, portanto, influência do tipo de carga no desempenho do sistema. Nas cargas capacitivas,a subexcitação pode trazer problemas de instabilidade no sistema, uma vez que o conjugado dogerador é proporcional à sua excitação. Se toda a correção de tensão ficasse unicamente a cargodos geradores, eles se tornariam antieconômicos devido ao superdimensionamento do campo e daexcitação.

Na prática, parte da correção da tensão dos sistemas de potência é feita através de reatores,capacitores e compensadores síncronos, instalados próximos a carga (no final da transmissão), a fimde que os geradores trabalhem com fator de potência próximo do valor para o qual ele foi projetado,diminuindo a corrente de linha, logo, melhorando a REGULAÇÃO, diminuindo as perdas e porfim, melhorando o RENDIMENTO.

5.13 Operações em paralelo

Dois ou mais transformadores são agrupados em paralelo entre si, quando recebem a energia damesma linha primária, para transferi-la, com a tensão transformada, sobre a mesma linha secun-dária.

No caso de dois transformadores o esquema de ligações dos bornes adquire a forma indicada naFigura 5.42.

Figura 5.42: Dois transformadores ligados em paralelo.

Deve-se salientar, entretanto, que algumas condições devem ser observadas para evitar a ligação:

127

• Mesma relação de transformação, N1N2

.

• Mesma impedância percentual, Z%.

• Terminais com concordância de fases.

Observação:

1. Quando dois transformadores têm diferentes relações de transformação, a diferença de tensãoentre eles causa uma corrente circulante no primário e no secundário, acarretando uma quedade tensão nesses enrolamentos.

2. É interessante examinar as implicações do acoplamento no caso de dois transformadores nãoterem a mesma Z%. Considerando o circuito equivalente simplificado:

Figura 5.43: Circuito equivalente, simplificado, para um transformador.

Aplicando ao caso de três transformadores:

Figura 5.44: Circuito equivalente, simplificado, para três transformadores em paralelo.

V1 − aV2 = Z1IZ1 = Z2IZ2 = Z3IZ3 (5.35)

Nota-se que as correntes são relacionadas umas com as outras como correntes em impedânciasconectadas em paralelo.Conclusão: no caso de todos os transformadores terem a mesma impedância, Z%, as cargasse repartirão proporcionalmente aos seus kVA nominais.No caso de Z% diferentes, o transformador que possuir o menor Z% atingirá primeiro suacarga nominal, enquanto os demais colherão uma carga abaixo da nominal.

3. Para os transformadores monofásicos, a concordância de fase entre as tensões secundáriasdepende somente da escolha acertada dos bornes.

128

Um modo prático para a determinação dos bornes correspondentes dos transformadores con-siste no emprego de duas lâmpadas, ou eventualmente dois voltímetros, conectados entre ostransformadores, conforme indicado na Figura 5.45.

Figura 5.45: Esquema de montagem com lâmpadas.

Se as lâmpadas ficam apagadas, os bornes sobre as quais estão derivadas podem ser agrupadosentre si. Caso contrário, as lâmpadas se acendem, quer dizer que os bornes consideradospossuem polaridades contrárias. Neste caso é suficiente executar a inversão das ligações sobreum ou outro transformador.

5.13.1 Problema

PROBLEMA No. 17 (ref. P-3.19, página 225, Slemon)Dois transformadores monofásicos de 10 MVA são ligados em paralelo, nos lados do primário e do

secundário. Suas relações de espiras são idênticas e as resistências dos enrolamentos são desprezíveis.Um dos transformadores tem uma reatância de dispersão de 0,1 por unidade, enquanto a do outroé de 0,06 por unidade.

(a) Suponha que os transformadores são usados para alimentar uma carga de 20 MVA determinea carga alimentada por cada transformador.

(b) Qual a carga máxima total que pode ser alimentada sem sobrecarga de ambos os transforma-dores?

SOLUÇÃO:

Figura 5.46: Circuito Equivalente dos dois transformadores em paralelo.

(a)V1 − aV2 = Z1IZ1 = Z2IZ2

129

Z1IZ1 = Z2IZ2

As correntes são inversamente proporcionais às impedâncias.

IZ1IZ2 = Z2

Z1= 0, 06

0, 1 = 0, 6

V1IZ1 = 0, 6V1IZ2

S1 = 0, 6S2

Como os dois transformadores devem alimentar uma carga de 20 MVA:

S1 + S2 = 20MVA

ou seja, 1, 6S2 = 20MVA.S2 = 12, 5MVA e S1 = 7, 5MVA

(b) Como os transformadores possuem Z% diferentes, o de menor Z% atingirá primeiro sua carganominal:

S2 = 10MVA

S1 = 0, 6 · S2 = 6MVA

Portanto, a carga máxima total que pode ser alimentada sem sobrecarga de qualquer dostransformadores é 16 MVA.

5.14 AutotransformadoresTeoricamente, um autotransformador é definido como um transformador que só tem um enrola-mento. Assim, um transformador de enrolamentos múltiplos pode ser considerado um autotrans-formador, se todos os seus enrolamentos são ligados em série, em adição (ou oposição), para formarum único enrolamento. Tais ligações do autotransformador são mostradas nas Figuras 5.47 e 5.48.

Figura 5.47: Ligações de um transformador na configuração abaixador.

Autotransformadores apresentam acoplamento magnético e condutivo, ou seja, os enrolamentosestão diretamente conectados, por este motivo a capacidade de um autotransformador é maior quea de um transformador convencional de mesmo porte físico e enrolamentos de mesma capacidade.Para o autotransformador da Figura 5.47 temos a seguinte relação de transformação:

V1V2

= I2I1

= N1 +N2N2

= a+ 1 (5.36)

130

Figura 5.48: Ligações de um transformador na configuração elevador.

onde a = N1N2

Note que esta relação de transformação excede a relação comum de transformadores de doisenrolamentos independentes com o mesmo número de espiras. As potências complexas da entradae da saída são iguais logo:

V1 · I∗1 = V2I∗2 = V2(I∗1 + I∗2 ) = V2I

∗1 + aV2I

∗1 (5.37)

Atribui-se V2I∗1 à condução e aV2I

∗1 à indução. No geral, os autotransformadores têm perdas

mais baixas, menores reatâncias de dispersão, menores correntes de excitação e custam menos que ostransformadores convencionais, no entanto o autotransformador apresenta mais riscos à segurançadurante a operação, por não isolar eletricamente o secundário do primário.

5.14.1 Problema

PROBLEMA N18 (ref. P. 3.29, pg. 229, Slemon)Um processamento industrial necessita de uma alimentação de 500 kVA, 2.400 V. A alimentação

utilitária disponível está a uma tensão de 4.000 V. Deve-se usar um autotransformador.

(a) Determine as capacidades necessárias de correntes das duas seções do enrolamento do trans-formador.

(b) Suponha que as duas seções do enrolamento do autotransformador estejam desligadas. De-termine a capacidade em kVA do transformador de dois enrolamentos resultante.

SOLUÇÃO:

(a) Se a alimentação utilitária disponível está a uma tensão de 4.000 V, o autotransformador aser utilizado é um abaixador.

Figura 5.49: Ligações de um transformador na configuração abaixador.

Considerando o autotransformador como ideal:

500 · 103 = 2, 4 · 103IL

131

IL = 208, 3A

I1 · 4000 = 500 · 103

I1 = 125A

Desde que IL = I1 + I2, neste circuito, toda corrente é “conduzida” a I2. Logo,

I2 = IL − I1 = 208, 3− 125 = 83, 3A

(b) As duas seções têm tensões nominais de 1.600 V e 2.400 V, respectivamente. Portanto,

V1I1 = 1600× 125 = 200kVA

V2I2 = 2400× 83, 3 = 200kVA

5.15 Transformadores para baixa e alta frequência

Além das aplicações usuais, os transformadores também são amplamente utilizados em médias ealtas frequências. Tais transformadores têm geralmente um tamanho reduzido, utilizando núcleo deferrite e sendo largamente empregados para aplicações em frequências de áudio. Um exemplo típicoé a utilização de transformadores para realizar o casamento de impedâncias entre amplificadores ealto-falantes.

A formulação de um modelo que represente exatamente esse tipo de transformador é de altacomplexidade, pois como a frequência de trabalho é variável, os elementos não terão os mesmoscomportamentos durante toda faixa de operação. Um modelo completo é proposto e, a partir domesmo, são formulados circuitos equivalentes aproximados para três faixas de frequências (baixas,médias e altas).

Figura 5.50: Circuito equivalente completo para transformador de frequências variáveis.

• Circuito equivalente para frequências médias (em torno de 500 Hz):Para a esta situação, nenhuma das indutâncias é importante e o circuito se reduz ao esquemada Figura 5.51.Sendo a tensão na carga Vc, teremos a seguinte relação:

132

Figura 5.51: Circuito equivalente para médias frequências.

VcEg

= n · RcR11 +R22

(5.38)

Onde R11 = R1 +Rg, R22 = n2 · (R2 +Rc) e n é a relação de espiras do transformador.

• Circuito equivalente para frequências baixas:

À medida que a frequência vai diminuindo, a corrente de magnetização vai se tornando cadavez mais significante. Com isso, o ramo de magnetização em paralelo deve ser levado emconsideração:

Figura 5.52: Circuito equivalente para baixas frequências.

Logo,

~Vc~Eg

= n · RcR11 +R22

· 11− j Rq

ωLm

(5.39)

133

| ~Vc|| ~Eg|

= n · RcR11 +R22

· 1√1 +

(Rq

ωLm

)2(5.40)

Onde, Rq = R11 ‖ R22

• Circuito equivalente para frequências altas:Com o aumento da frequência, as reatâncias de dispersão tornam-se relevantes na análise. Ocircuito pode ser aproximado pelo da Figura 5.53

Figura 5.53: Circuito equivalente para altas frequências.

As relações entre as tensões serão:

~Vc~Eg

= n · RcR11 +R22

· 11 + j

ωLeqR11+R22

(5.41)

| ~Vc|| ~Eg|

= n · RcR11 +R22

· 1√1 +

(ωLeq

R11+R22

)2(5.42)

onde Leq = L1 + L2

Para as altas frequências, pode ser levado em consideração o efeito das capacitâncias dosenrolamentos. Porém, tal análise se mostra desnecessária para o nível de abordagem levadoem consideração nesta seção.

Como é de fácil percepção, para baixas e altas frequências, pode ser feita uma representaçãográfica do módulo e fase para a função de transferência apresentada. Podemos ainda fazer umarelação de tensões comparadas com o valor para médias frequências:

Baixas frequências = 1√1 +

(Rq

ωLm

)2(5.43)

Altas frequências = 1√1 +

(ωLeq

R11+R22

)2(5.44)

134

A partir das expressões (5.43) e (5.44) temos a chamada frequência de meia potência, valor defrequência para o qual a tensão comparada vale 0,707 do valor para frequência média.

• Frequência de meia potência nas frequências altas:

fa = R11 +R222πLeq

(5.45)

• Frequência de meia potência nas frequências baixas:

fb = Rq2πLm

(5.46)

5.15.1 Problemas

PROBLEMA N19 (ref. P. 1.13, pg. 75, Fitzgerald)Um transformador de saída para audiofrequência tem uma relação de espiras primário a secun-

dário de 31,6. Sua indução de primário medida com o secundário aberto é 19,6 H e medida com osecundário em curto-circuito é 0,207 H. As resistências de enrolamento são desprezíveis.

Este transformador é usado para ligar uma resistência de carga de 8 Ω a uma fonte que podeser representada por uma F.E.M. interna de frequência variável em série com uma impedância de5.000 Ω resistiva.

Calcular:

(a) A frequência de meia potência nas frequências altas.

(b) A frequência de meia potência nas frequências baixas.

(c) A média geométrica destas frequências.

(d) Na frequência obtida em (c), determinar a relação entre a tensão da carga e a tensão da fonte.

SOLUÇÃO:Na Figura 5.54 é apresentado o circuito equivalente, construído a partir dos dados do problema

proposto.

Figura 5.54: Circuito equivalente do transformador.

135

(a) A frequência de meia potência nas frequências altas é

fa = R′série2πL′eq

.

SubstituindoR′série = rg + r′1 = rg + a2r1 ∼= 13,0kΩ

eL′eq = L1 + L′2 = L1 + a2L2 = 0,207 H,

obtemosfa ∼= 10,0 kHz.

(b) A frequência de meia potência nas frequências baixas é

fb =R′par

2πL12,

comR′par = rg · rL

rg + r′L,

dondefb ∼=

3.075123, 15

∼= 25Hz.

(c) A média geométrica éfm =

√fafb ∼= 500Hz.

(d) Relação entre a tensão da carga e a da fonte:

VLEg

= a−1 · rcR′série

× 1√1 + ωL′

eqR′

série

2= 0, 018.

PROBLEMA N20 (ref. P. 14, Pág. 76, Fitzgerald)Um transformador de saída para audiofrequências, tendo uma relação de espiras de 17,32, deve

ser usado para acoplar uma fonte com resistência interna de 3.000 Ω a uma carga resistiva de 10 Ω.As frequências superior e inferior de meia potência deverão ser 10.000 Hz e 50 Hz. Desprezando-seas perdas magnéticas e resistências dos enrolamentos, determinar:

(a) A auto-indutância do primário.

(b) A indutância de dispersão equivalente referida ao primário.

SOLUÇÃO:

(a)

L11 =R′paralelo

2πf = 4, 78H

(b)

L′eq = R′série2πf = 0, 0955H

136

Figura 5.55: Circuito equivalente.

5.16 Circuitos elétricos trifásicos

A estrutura de um sistema trifásico pode ser representada por uma fonte de tensão trifásica conec-tada às cargas por meio de transformadores, todavia para uma análise inicial simplificada dessessistemas, desconsideraremos a presença dos transformadores, que serão abordados na próxima se-ção. Um diagrama deste sistema simplificado é mostrado na Figura 5.56.

Figura 5.56: Diagrama de um circuito trifásico simplificado.

Para se compreender o que é uma fonte de tensão trifásica, é importante entender o conceitode tensões trifásicas equilibradas, que consistem em tensões senoidais de mesma frequência, mesmaamplitude e defasadas entre si de 120. É prática comum se referir a essas três tensões como fasea, fase b e fase c.

Dependendo da relação de fase entre as diferentes tensões senoidais, é possível obter-se duassequências diferentes, a ABC (Equações (5.47), (5.48) e (5.49)) e a CBA (Equações (5.50), (5.51)e (5.52)).

Sequência positiva:

Va = Vφ cos(ωt); (5.47)

Vb = Vφ cos(ωt− 120); (5.48)

Vc = Vφ cos(ωt+ 120); (5.49)

Sequência negativa:

Va = Vφ cos(ωt); (5.50)

Vb = Vφ cos(ωt+ 120); (5.51)

Vc = Vφ cos(ωt− 120); (5.52)

Os diagramas fasoriais destas tensões estão representados na Figura 5.57.

137

Figura 5.57: Diagrama fasorial de tensões trifásicas equilibradas, com a sequência ABC à esquerdae a CBA à direita.

Observando as Equações (5.47), (5.48), (5.49), (5.50), (5.51) e (5.52) e a Figura 5.57, é fácilnotar que em ambas as sequências possíveis, as tensões estão defasadas de 120 entre si além depossuírem mesma amplitude e frequência e, portanto, são tensões trifásicas equilibradas.

A possibilidade de duas configurações de fases diferentes em circuitos trifásicos sempre deve serlevada em conta quando dois circuitos deste tipo são colocados para trabalhar em paralelo, já queeles só podem operar de forma apropriada se possuírem a mesma sequência de fases.

Uma propriedade importante das tensões trifásicas equilibradas é que a soma das três tensõesé sempre nula, isto pode ser percebido de forma geométrica na Figura 5.57, já que os três fasoresde tensão formam um polígono fechado, o que implica em um fasor soma nulo.

~Va + ~Vb + ~Vc = 0 (5.53)

As tensões trifásicas podem ser ligadas de duas formas distintas para formar fontes de tensãotrifásicas, em Y (ípsilon) ou em ∆ (delta).

Na conexão em Y, os terminais de referência negativa das três fontes de tensão são ligadosem um ponto comum, chamado de neutro, e os outros três terminais positivos ficam disponíveisexternamente, em algumas fontes em Y, o neutro também é disponibilizado como terminal externo.A topologia de uma fonte trifásica em Y é mostrada na Figura 5.58.

Figura 5.58: Conexão em Y de fontes de tensão equilibradas.

Já na conexão em ∆, o terminal negativo de cada fonte de tensão é conectado com o terminalpositivo de outra, formando um “triângulo” de fontes de tensão. Neste tipo de ligação, não há oneutro e, portanto, somente três terminais ficam disponíveis externamente. A topologia ∆ estárepresentada na Figura 5.59.

138

Figura 5.59: Conexão em ∆ de fontes de tensão equilibradas.

Para ambas as topologias, podemos definir quatro grandezas de interesse na análise de circuitoselétricos trifásicos, as tensões de fase e de linha e as correntes de fase e de linha.

As tensões de fase são as tensões de cada uma das fontes monofásicas individuais que formama fonte trifásica, referidas anteriormente neste texto como Va,Vb e Vc, já as tensões de linha são asdiferenças de potencial entre dois dos três terminais da fonte trifásica. Note que cada fonte trifásicapossui três tensões de fase e três tensões de linha, todas distintas.

A corrente de fase é a corrente que circula no ramo de cada uma das fontes de tensões mono-fásicas que forma a fonte trifásica, já a corrente de linha é a corrente que circula em cada um dosterminais externos da fonte trifásica. As fontes trifásicas também possuem três correntes de fase etrês correntes de linha distintas.

As relações entre tensões de fase e de linha nas fontes de tensão trifásicas Y e ∆ diferem,deduzamos essas relações para essas duas topologias utilizando como referência somente a sequênciaABC de fase, já que a dedução para tensões com sequência CBA é análoga.

Na ligação Y, as tensões de linha são a diferença entre duas tensões de fase, como podemosobservar na Figura 5.58, logo,

~VAB = ~Va − ~Vb =√

3Vφ∠30 (5.54)

~VBC = ~Vb − ~Vc =√

3Vφ∠− 90 (5.55)

~VCA = ~Vc − ~Va =√

3Vφ∠150 (5.56)

Ou seja, a magnitude das tensões de linha é√

3 vezes maior que a magnitude das tensões defase, sua fase é adiantada de 30o com relação às tensões de fase e o mais interessante, elas tambémformam um conjunto de tensões senoidais equilibradas.

Já as correntes de fase e de linha na ligação em Y são exatamente iguais, pois a corrente quecircula pelo ramo de cada fonte de tensão monofásica é exatamente a corrente que circula pelosterminais de linha; este fato pode ser mais bem observado na Figura 5.58.

Na ligação ∆, as tensões de fase e de linha são iguais, pois ambas são tomadas com relação aosterminais das fontes de tensão monofásicas, observe esta característica da ligação ∆ na Figura 5.59.

~iA = ~ia (5.57)

139

~iB = ~ib (5.58)

~iC = ~ic (5.59)

Na ligação ∆, as tensões de fase e de linha são iguais, pois ambas são tomadas com relação aosterminais das fontes de tensão monofásicas, observe esta característica da ligação ∆ na Figura 5.59.

~VA = ~Va (5.60)

~VB = ~Vb (5.61)

~VC = ~Vc (5.62)

Contudo, as correntes de linha têm um comportamento semelhante às tensões na topologia Y,elas se subtraem, resultando em,

~iAB = ~ia − ~ib =√

3iφ∠− 30 (5.63)

~iBC = ~ib − ~ic =√

3iφ∠− 150 (5.64)

~iCA = ~ic − ~ia =√

3iφ∠90 (5.65)

Então, podemos concluir que as correntes de linha na ligação ∆ têm magnitude√

3 vezes maiorque a magnitude das correntes de fase, e suas fases são atrasadas de 30 com relação às correntesde fase.

Considerando apenas os valores RMS das tensões e correntes nos circuitos trifásicos, podemosresumir esta discussão na Tabela 5.9.

Tabela 5.9: Comparação do valor RMS das tensões e correntes de linha e fase nas topologias ∆ eY.

Tensão de linha (V) Corrente de linha (I)Y(ípsilon)

√3 vezes maior igual

∆ (delta) igual√

3 vezes maior

Outro aspecto importante no estudo de circuitos trifásicos envolve a determinação da potênciaelétrica. Este cálculo pode ser feito de forma bastante simplificada, já que a potência total de umcircuito trifásico é a soma da potência de cada uma das fases, que são numericamente iguais emcircuitos equilibrados, portanto,

PA = PB = PC = VφIφ cos θ (5.66)

PT = PA + PB + PC = 3VφIφ cos θ (5.67)

140

onde cos θ é fator de potência.Também é útil escrever a potência elétrica de um circuito trifásico em função das tensões e

correntes de linha. Para um circuito Y, a tensão de linha é√

3 vezes maior que a tensão de fase ea corrente de linha é igual à corrente de fase, portanto,

PT = 3 VL√3IL cos θ =

√3VLIL cos θ (5.68)

Já no circuito ∆, a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é√

3 vezesmaior que a corrente de fase, logo,

PT = 3VLIL√

3cos θ =

√3VLIL cos θ (5.69)

Este resultado é bastante interessante, pois as expressões para determinação da potência ativaem circuitos trifásicos em função das grandezas elétricas de fase ou de linha são as mesmas tantopara circuitos Y como para circuitos ∆.

5.16.1 Transformadores trifásicos e suas conexões

Para transformar a tensão de uma fonte trifásica, pode-se empregar uma bancada de transforma-dores monofásicos, ou, alternativamente, um único transformador com seis enrolamentos montadosnum núcleo comum, constituido de material ferromagnético.

No caso da alimentação de uma rede trifásica, esta pode ser feita através de três transformadoresmonofásicos independentes, conectados externamente, conforme a montagem seja estrela (Y) outriângulo (∆); nestes casos, não existe nenhum circuito comum as três fases. Por outro lado, porrazões econômicas, pode-se utilizar também um só circuito magnético e, neste caso, o primário e osecundário de cada fase são bobinados em torno de uma mesma coluna.

Os transformadores trifásicos, quer sejam eles de uma só carcaça magnética ou não, podemser conectados de diversas maneiras. Na Figura 5.60 são apresentadas quatro possibilidades deconexões frequentes nos transformadores trifásicos, e mostra, inclusive, as relações primárias esecundárias de tensões e correntes.

É interessante notar que ao contrário dos transformadores monofásicos que sempre possuemrelação de transformação das grandezas de corrente e tensão igual à relação de espiras ou ao inversodeste valor, os transformadores trifásicos podem ter essas relações multiplicadas ou divididas pelofator

√3, resultante da mudança de topologia do primário para o secundário.

Note a presença deste fator nas relações de transformação das Figuras 5.60(b) e 5.60(d), as duaspossibilidades de diferentes topologias entre primário e secundário. Esta diferença na relação detransformação é fundamental para análise de transformadores trifásicos, pois influencia na reflexãode tensões, correntes e impedâncias.

5.16.2 Problemas

PROBLEMA N21 (ref. p. 13.30, Pág. 605, KOSOW)Uma carga trifásica de 50 kVA em 220 V deve ser alimentada a partir de uma fonte trifásica

de 13.200 V. Especifique a tensão e a potência aparente, em kVA nominais, dos transformadoresmonofásicos necessários para as seguintes ligações:

(a) Y-Y

141

Figura 5.60: Conexões usuais dos transformadores trifásicos.

(b) Y-∆

(c) ∆-Y

(d) ∆-∆

SOLUÇÃO:Para todos os itens, cada transformador monofásico deve ter: 50 kVA/3 = 16,67 kVA

(a) Y-Y primário:

Vf = VL√3

= 13.200√3

= 7.621V

IL = If = S

V= 16, 67kV A

7.621V = 2, 19A

secundário

142

V = VL√3

= 127V

IL = If = 131A

(b) Y-∆primário:

Vf = 7.621V

IL = If = 2, 19A

secundário:

Vf = VL = 220V

If = 75, 8A

(c) ∆-Yprimário:

Vf = 13.200V

If = IL√3

= 1, 26A

secundário:

Vf = VL√3

= 127V

If = IL = 131A

(d) ∆-∆primário:

Vf = 13.200V

If = 1, 26A

secundário:

Vf = 220V

If = 75, 8A

143

PROBLEMA N22 (ref. p. 2.24, Pág. 116, Fitzgerald)Três transformadores monofásicos de 100 MVA com especificações nominais de 13,8:66,4 kV

devem ser conectados em um banco trifásico. Cada transformador tem uma impedância em sériede 0,0045 +j0,19 Ω referida a seu enrolamento de 13,8 kV.

(a) Se os transformadores forem conectados em Y-Y, calcule (i) a tensão e potência nominais daconexão trifásica, (ii) a impedância equivalente referida aos seus terminais de baixa tensão e(iii) a impedância equivalente referida aos seus terminais de alta tensão.

(b) Repita a parte (a) se o transformador for ligado em Y no seu lado de baixa tensão e ∆ noseu lado de alta tensão.

Solução:

(a) Quando os transformadores monofásicos forem conectados em Y no banco trifásico, as tensõesde 13,8 kV (baixa tensão) e 66,4 kV (alta tensão) serão as tensões de fase da ligação Y. Assim,as tensões nos terminais da ligação Y (tensões de linha) serão:

VL = 13, 8√

3 = 23, 9kV(lado de baixa tensão)

VL = 66, 4√

3 = 115kV(lado de alta tensão)

A potência nominal da conexão trifásica será três vezes a potência dos transformadores mo-nofásicos. Assim:

S3ϕ = 3× 100 = 300MVA

A impedância equivalente referida aos terminais de baixa tensão do banco trifásico (para cadaenrolamento) será a própria impedância referida ao lado de baixa tensão do transformadormonofásico. Assim:

ZeqBT = 0, 0045 + j0, 19Ω

Já a impedância equivalente referida aos terminais de alta tensão pode ser obtida pela ex-pressão abaixo:

ZeqAT = ZeqBT ·1a2

sendo a = 23,9115 = 0, 208

ZeqAT = 0, 104 + j4, 4Ω

(b) Para o caso em que os transformadores monofásicos são ligados em Y no lado de baixa tensãoe ∆ no lado de alta tensão, as tensões de linha no lado de baixa tensão serão calculadas comona letra (a), já as tensões de linha do lado de alta tensão serão as próprias tensões de alta dotransformador monofásico. Assim:

144

VL = 13, 8√

3 = 23, 9kV(lado de baixa tensão)

VL = 66, 4kV(lado de alta tensão)

A potência é calculada da mesma maneira que na letra (a). Logo:

S3ϕ = 3× 100 = 300MVA

A impedância equivalente referida aos terminais de baixa tensão do banco trifásico (para cadaenrolamento) será:

ZeqBT = 0, 0045 + j0, 19Ω

Para o lado de alta tensão tem-se:

ZeqAT = ZeqBT · 1/a2

sendo a = 23,966,4 = 0, 360

ZeqAT = 0, 0347 + j1, 46Ω

PROBLEMA N23 (ref. p. 2.35, Pág. 118, Fitzgerald)A placa de especificações de um transformador monofásico 7,97 kV:460 V e 75 kVA indica que

ele tem uma reatância em série de 12% (0,12 por unidade).

(a) Calcule a reatância em série, em ohms, referida aos terminais

(i) de alta tensão e(ii) de baixa tensão.

(b) Se três desses transformadores forem ligados em uma conexão trifásica Y-Y, calcule

(i) os valores nominais trifásicos de tensão e potência,(ii) a impedância por unidade do banco de transformadores,(iii) a reatância em série, em ohms, referida aos terminais de alta tensão, e(iv) a reatância em série, em ohms, referida aos terminais de baixa tensão.

(c) Repita a parte (b) se os três transformadores forem ligados em Y no seu lado de alta tensãoe em ∆, no de baixa tensão.

Resolução:

(a) Para calcular a reatância em ohms, precisa-se calcular o valor de base da impedância. Assim:

Zbase = V 2L

S

145

(i) Para o lado de alta tensão tem-se:

ZbaseAT = 79702

75000 = 847Ω

XAT = 0, 12× 847 = 101, 64Ω

(ii) Para o lado de baixa tensão tem-se:

ZbaseBT = 4602

75000 = 2, 82Ω

XAT = 0, 12× 2, 82 = 0, 3384Ω

(b) (i) Para a conexão Y-Y as tensões dos lados de alta e de baixa dos transformadores monofá-sicos serão as tensões de fase correspondentes da ligação Y-Y. Assim, para encontrar astensões de linha basta multiplicar as tensões de alta e baixa do transformador monofásicopor√

3.

VL =√

3× 7, 97 = 13, 8kV(lado de alta tensão)

VL =√

3× 460 = 797V(lado de baixa tensão)

A potência pode ser encontrada multiplicando-se a potência dos transformadores mono-fásicos por três.

S3ϕ = 3× 75 = 225kVA

(ii) A impedância por unidade do banco de transformadores será Xpu = 0, 12 para cada fase.(iii) A reatância em série referida aos terminais de alta tensão pode ser calculada da mesma

forma que na letra (a). Assim:

ZbaseAT = 138002

225000 = 846, 4Ω

XAT = 0, 12× 846, 4 = 101, 56Ω

(iv) Em relação aos terminais de baixa tensão tem-se:

ZbaseBT = 7972

225000 = 2, 82Ω

XAT = 0, 12× 2, 82 = 0, 3384Ω

(c) Caso os transformadores sejam ligados em Y no lado de alta tensão e em ∆ no lado de baixatensão, a tensão do transformador monofásico no lado de baixa será a tensão de linha naligação ∆. Assim:

VL =√

3× 7, 97 = 13, 8kV(lado de alta tensão)

146

VL = 460V(lado de baixa tensão)

A potência é obtida da mesma maneira que foi obtida na letra (b).

S3ϕ = 3× 75 = 225kVA

A impedância por unidade do banco de transformadores será Xpu = 0, 12 para cada fase. Areatância em série referida aos terminais de alta é:

ZbaseAT = 138002

225000 = 846, 4Ω

XAT = 0, 12× 846, 4 = 101, 56Ω

A reatância em série referida aos terminais de baixa é:

ZbaseBT = 4602

225000 = 0, 94Ω

XAT = 0, 12× 0, 94 = 0, 113Ω

5.17 Transformadores para instrumentos

Os transformadores para instrumentos são equipamentos elétricos projetados e construídos especi-ficamente para alimentarem instrumentos elétricos de medição, controle ou proteção.

São dois os tipos de transformadores para instrumentos (TI): os transformadores de corrente(TC) e os transformadores de potencial (TP).

Os transformadores de corrente são equipamentos destinados a operar, em geral, como “redutorde corrente”, pois a corrente que percorre o seu circuito secundário é normalmente menor que acorrente que percorre o seu circuito primário. Em termos práticos, as cargas aplicadas ao secundáriodo TC devem possuir baixíssimas impedâncias, como as apresentadas pelas bobinas de correntesde instrumentos elétricos de medição (amperímetros, wattímetros, watthorímetros etc), controle ouproteção.

Do ponto de vista construtivo, o enrolamento primário consiste de um número reduzido deespiras executadas em condutor de seção adequada à corrente operacional do circuito de força,conectado em série com este enrolamento. Em alguns casos, para correntes de grande intensidade, oenrolamento primário é feito na forma de uma barra (TC tipo barra) ou de um condutor cilíndricoque passa pela janela do núcleo de material ferromagnético (TC tipo janela). O enrolamentosecundário, normalmente, consiste em um elevado número de espiras de condutor relativamentefino, adequado ao equipamento ou dispositivo a ser conectado a ele.

Conforme a disposição dos enrolamentos e do núcleo, os TC’s podem ser classificados como:

• TC tipo enrolado: aquele em que o enrolamento primário é constituído de uma ou maisespiras;

• TC tipo barra: como já foi citado, é aquele em que o primário é constituído por uma barra,montada permanentemente através do transformador;

147

• TC tipo janela: TC sem primário próprio, construído com uma abertura através do núcleo,por onde passará um condutor do circuito primário, formando uma ou mais espiras;

• tipo bucha: tipo especial de TC tipo janela, projetado para ser instalado sobre uma buchade um equipamento elétrico, fazendo parte integrante do mesmo;

• TC tipo núcleo dividido: tipo especial de TC tipo janela, em que parte do núcleo é separável oubasculante, para facilitar o enlaçamento do condutor primário. O amperímetro tipo alicatenada mais é do que um TC de núcleo dividido, o qual possibilita medir a corrente sem anecessidade de abrir o circuito para colocá-lo em série.

É interessante observar que no TC, a corrente primária é originada diretamente por solicitaçãoda carga com a qual o TC está ligado em série, surgindo então a corrente secundária como umaconsequência da corrente primária, independentemente do instrumento que estiver no seu secun-dário. Nos TC’s distinguem-se dois parâmetros importantes, que não podem ser negligenciados: oerro de relação (erro introduzido pelo TC ao refletir no secundário o que se passa com a correntedo primário) e o erro de fase (ângulo de defasagem existente entre o fasor da corrente do primárioe o inverso do fasor da corrente secundária). Esses erros são determinados a partir de ensaiosexperimentais, padronizados de acordo com a ABNT (NBR 6821), que possibilitam enquadrar osTC’s em uma das três classes de exatidão seguintes: 0,3; 0,6 ou 1,2.

Diferentemente do TC’s, o primário dos TP’s são ligados em paralelo com o circuito elétrico eaos seus secundários são aplicadas cargas de altíssimas impedâncias, como as apresentadas pelas bo-binas de potencial de instrumentos elétricos de medição (voltímetros, wattímetros, watthorímetrosetc), controle ou proteção. Devido a isto, as quedas de tensão internas aos TP’s são relativa-mente pequenas, de forma que pode-se dizer que os TP’s operam sob condições aproximadamentesemelhantes às de um transformador de potência com o circuito secundário em aberto.

Dado ser o TP similar em seu aspecto construtivo a um pequeno transformador de potência,seu enrolamento primário, o qual é, ao mesmo tempo, o enrolamento de alta tensão, tem umelevado número de espiras e é alimentado pela tensão a ser medida indiretamente; o enrolamentosecundário (enrolamento de baixa tensão) é conectado ao voltímetro ou à bobina de potencial deoutro instrumento, dispositivo de controle ou proteção. Ainda do ponto de vista construtivo, osTP’s têm os enrolamentos concêntricos, onde o enrolamento de AT envolve o enrolamento de BT,à semelhança do que ocorre nos transformadores de potência. Um aspecto importante, que nãodeve ser negligenciado, sob hipótese alguma, por questão de segurança, é o aterramento da carcaçae, principalmente, do núcleo do TP. Isto previne que uma fuga eventual de corrente pela isolaçãodos enrolamentos ou que um transitório de sinal, que gere um pulso de tensão, venha danificar oenrolamento de AT e atingir o operador ou danificar o equipamento conectado ao lado de BT.

De forma análoga aos TC’s, os TP’s apresentam erros de relação (diferença entre o valor lido nabaixa tensão e referido à alta tensão, subtraído do módulo da tensão de alta e dividido pelo móduloda tensão de alta) e de fase (ângulo de defasagem existente entre o fasor da tensão primária e oinverso da tensão secundária), os quais, em conjunto, permitem enquadrar estes equipamentos emtrês classes de exatidão definidas pela NBR 6856: 0,3%; 0,6% e 1,2%. Como a potência secundáriaé um elemento fundamental para a especificação correta de um transformador, a carga a ser ligadaa esse secundário deve manter-se dentro de rígidos intervalos. Para tanto, existem designaçõespadronizadas pela ABNT que facilitam tal procedimento. A designação C, por exemplo, seráempregada para Transformadores de Corrente e a designação P, para Transformadores de Potencial.Assim, uma unidade designada por 0,6 C 12,5 indica que se trata de um Transformador de Corrente

148

da Classe de Exatidão 0,6% ensaiado com carga padronizada 12,5 VA, ou seja, a carga previstapara o seu secundário é de até 12,5 VA. Por outro lado, uma unidade designada por 0,3 P 25 indicaque se trata de um Transformador de Potencial da Classe de Exatidão 0,3 com possibilidade decarga secundária de até 25 VA.

5.18 Considerações finais

O conceito de indutor de um enrolamento foi ampliado, tomando como base a teoria dos circui-tos acoplados magneticamente, apresentada no Capítulo 4, resultando no transformador de doisenrolamentos. Como consequência, a possibilidade de transferência de energia de enrolamentopara o outro foi examinada mediante a resolução de problemas, discussões de conceitos e aspectosoperacionais de transformadores monofásicos.

Foram tecidas considerações realísticas sobre o desempenho destes equipamentos, determinaçõesdos parâmetros mediante ensaios experimentais, em transformadores monofásicos e trifásicos, inclu-sive com a utilização de transformadores para instrumentos (TP’s e TC’s), operação em paralelo,assim como aplicações de modelos para análise de transformadores de baixas e altas frequências.Com o emprego do sistema p.u. foram obtidos o rendimento e a regulação, em função do fator depotência da carga.

Finalizando, foram apresentados alguns comentários adicionais sobre uma classe de transforma-dores especiais conhecida como transformadores para instrumentos: os TP’s e TC’s.

5.19 Questões

1. Quais as diferenças entre um transformador IDEAL e um transformador REAL? Cite, pelomenos, quatro delas.

2. De que forma um transformador transfere potência do seu circuito primário para uma cargacolocada em seu secundário?

3. Por que a relação de tensões varia diretamente com a relação de espiras?

4. Por que a relação de correntes varia inversamente com a relação de espiras?

5. Por que os transformadores são especificados em termos de sua potência aparente (kVA), aoinvés de sua potência ativa (kW)?

6. Qual a relação entre impedância primária e secundária de um transformador?

7. Pode um transformador funcionar como um dispositivo responsável pelo acoplamento (casa-mento) de impedâncias? De que forma?

8. Por que num ensaio de curto-circuito de um transformador o lado de baixa tensão é o escolhidopara ser curto-circuitado?

9. Quais os objetivos do ensaio de curto-circuito?

10. Por que durante o ensaio de curto-circuito podem ser consideradas desprezíveis as perdas nonúcleo?

149

11. Por que é usual realizar-se o ensaio a vazio no lado de menor tensão do transformador?

12. Quais os cuidados que devem ser tomados durante o ensaio a vazio?

13. O que é regulação de tensão de um transformador?

14. Necessita-se do ensaio a vazio para a determinação da regulação de tensão do transformador?Justifique a sua resposta.

15. O que é rendimento de um transformador?

16. Qualitativamente, qual o valor do rendimento de um transformador quando o mesmo estáfuncionando em vazio?

17. Para que valor de carga, o transformador atinge seu rendimento máximo?

18. Qual a influência do fator de potência no rendimento de um transformador?

19. Por que, em geral, o rendimento de um transformador é maior que o rendimento de umamáquina girante de igual capacidade?

20. Qual o significado da regulação de tensão em um transformador?

21. Quais as condições que devem ser observadas, antes de se efetuar as ligações em paralelo detransformadores?

22. Sabe-se que na operação em paralelo é recomendável que as impedâncias percentuais destestransformadores sejam iguais. Entretanto, considere que dois transformadores monofásicos,com impedâncias percentuais diferentes, Z1(%) e Z2 (%), sejam ligados em paralelo paraalimentarem uma carga monofásica. Nesta condição, mostre de que forma serão distribuídosos kVA desta carga em função das impedâncias percentuais de cada transformador.

23. O que é um auto-transformador?

24. Quais as vantagens e desvantagens de um auto-transformador?

25. Por que a capacidade de um auto-transformador é maior que a de um transformador conven-cional, do mesmo tamanho físico e de enrolamento de mesma capacidade?

26. Qual a vantagem, em termos de danos possíveis e continuidade de serviço, de uma bancadade 3 transformadores monofásicos em relação a um transformador trifásico?

27. Por que a conexão triângulo-estrela é a mais comumente usada em transformadores parasistemas trifásicos?

28. Os transformadores são equipamentos projetados e construídos para operar em faixas defrequências definidas. Pergunta-se: em que faixa de frequência os efeitos das capacitânciasdistribuídas através e entre os enrolamentos de um transformador podem se tornar signifi-cativos? Ilustre a sua resposta esboçando o circuito equivalente do transformador para estafaixa de frequência.

29. Que são transformadores para instrumentos: TP’s e TC’s?

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30. Quais as diferenças principais entre estes transformadores?

31. Por que nunca devemos abrir o circuito secundário de um transformador de corrente enquantoo seu primário estiver alimentado?

32. Em lugar dos 110 V ou 220 V e frequências de 50 Hz ou 60 Hz domiciliares, dependendo dopaís, a tensão e a frequência utilizadas a bordo dos aviões são de 115 V e 400 Hz, respectiva-mente. Qual a implicação dessa frequência sobre o tamanho e o peso dos transformadores aliempregados?

33. Considere um conjunto de J circuitos magneticamente acoplados com matriz indutância [L]relacionando os vetores [I] de correntes e [V ] de tensões nos circuitos segundo a relação[V ] = [L] ˙[I].

(a) Mostre que se det([L]) = 0, então existe uma relação linear entre as tensões da forma

J∑i=1

αiVi = 0, αi ∈ R

(b) Mostre que se a matriz de acoplamento (como definida na questão Q.13 da seção 4.7) éconstituída unicamente de 1’s, então existem constantes α1, . . . , αJ tais que

Vi = αiV0, i = 1, . . . , J,

para um certo V0.(c) Considere agora que

[L] =[L1 MM L2

],

com M2 = L1L2. Conclua a equação do transformador ideal:

V1V2

=√L1L2

= N1N2

.

. . .

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