Deformações

1

DEFORMAÇÕES

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo procede-se ao estudo da Mecânica de Deformação do Sólido numa

perspectiva macroscópica, isto é, ignorando o que se passa ao nível atómico e

molecular. Para se proceder a esse estudo começar-se-á pelo estado de deformação

associado a um problema uniaxial, procedendo-se seguidamente à generalização para o

comportamento tridimensional. O facto de se considerar uma abordagem não

microscópica do comportamento do sólido é considerado adequado para efeitos da

análise do comportamento do sólido quer ao nível linear quer não linear. Este tema foi

abordado por vários autores, nomeadamente, Malvern [1969], Ogden [1984], Truesdell

and Noll [1992], Ogden [1997] e Holzapfel [2000]. A fim de se estudar os vários

conceitos de Deformação e as suas propriedades duma perspectiva tridimensional,

começa por fazer-se uma breve introdução ao conceito de deformação no caso uniaxial.

Os conceitos são introduzidos por forma a incluir comportamentos não lineares, a

fim de introduzir os conceitos é conveniente considerar um sólido genérico, B, descrito

como um conjunto contínuo de elementos, x, designados por partículas ou pontos

materiais que ocupam uma determinada região do espaço de volume V e superfície

limítrofe S. O conhecimento da posição de todos os pontos do sólido B num

determinado instante em relação a uma origem considerada fixa permite que se defina a

configuração do sólido nesse instante, como se representa na figura 2.1.

Deformações

2

Figura 2.1: Configuração Inicial e Deformada do sólido.

A escolha do sistema de eixos de referência pode ser feita considerando um

sistema de eixos em que os pontos sejam referidos na configuração inicial do sólido ou

num sistema de eixos associado à configuração deformada do sólido. No caso dos

comportamentos uniaxiais um eixo é suficiente para definir a posição do ponto do

sólido.

2.2. SÓLIDO UNIAXIAL

O sólido elementar, mais simples que pode ser considerado é linear, um elemento

de barra, de comprimento l e secção transversal circular, por exemplo, como se

representa na figura 2.2. Durante o processo de deformação, ocorre um alongamento ou

encurtamento da barra como se representa na figura. O alongamento relativo sofrido

pela barra é designado por, λ e é definido como sendo:

i

o oi

λ = = ∑∑

l

lll

(2.1)

O alongamento relativo, λ , é uma grandeza adimensional que tem um valor

unitário para a barra não deformada, no caso presente se li não depender da posição, x

do ponto sobre a barra o alongamento é independente da posição x do ponto sobre a

barra.

2x

3x

1x

x x*

Deformações

3

Figura 2.2: Alongamento de um elemento linear.

As quantidades normalmente designadas por deformações, podem ser

estabelecidas com base na quantidade designada por alongamento, sendo a quantidade

de deformação mais usual, a variação do alongamento por unidade de comprimento, ou

deformação usual em Engenharia, muitas vezes designada nos textos clássicos de

Engenharia por Extensão e é definida como sendo:

1o

o −λ=−

≡εl

ll (2.2)

Outra grandeza susceptível de quantificar a deformação do sólido é a chamada

deformação natural que é definida como sendo:

λ−=

−=

11e ol

ll (2.3)

A deformação de Lagrange é definida como sendo para o caso da barra

traccionada, metade da variação dos quadrados do comprimento por unidade de

quadrado do comprimento inicial,

( )121

21 2

2o

2o

2

−λ=

−=

l

llE (2.4)

Note-se que no caso de ser 1λ << a quantidade E, é praticamente igual a

( ) ( )

−λ≅+λ−λ= 111

21, Eε .

lo

l

oil

il

x

x*

Deformações

4

A chamada deformação de Euler para o elemento linear atrás referido é definida

como sendo

λ−=

−=∗

22

2o

2 1121

21

l

llE (2.5)

Outra grandeza que tem sido utilizada para quantificar as deformações é a

chamada deformação logarítmica:

o o

d nη = =∫l

l

l ll

l l( ) =+=

∆+= ε1n1n

o

ll

ll

...41

31

21 432 +−+−= εεεε (2.6)

a qual no caso de ser 1<<ε implica εη = .

No caso do processo de deformação não ser uniforme ao longo do elemento

linear, a variação de comprimento l∆ depende da posição do ponto ao longo da barra.

Considere-se o elemento linear subdividido em elementos de comprimento inicial oil e

comprimento final il , sendo lLlLll ni21 ≠≠≠≠≠ . O alongamento relativo sofrido

por cada elemento no processo de deformação é ioii ll=λ .

O comprimento final pode ser calculado a partir do conhecimento da função

( )xλ , cuja evolução possível com x se representa na figura 2.3, e do comprimento

inicial ol , do seguinte modo:

( ) dxxo

ooii ∫ λ=λΣ=l

ll (2.7)

No caso da deformação ser uniforme ( ) tetanconsx o == llλ .

Figura 2.3: Alongamento variável ao longo do eixo da barra.

( )xλ

x oiii ll=λ

Deformações

5

Um ponto P, sobre o elemento linear inicial, tem coordenada x na configuração

inicial e ocupa a posição P∗ , na configuração deformada, à qual corresponde a

coordenada ( )x* x= φ . A função ( )xλ pode ser definida do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) ( )xd

xdx

xxx0x

limx φ

=∆

φ−∆+φ→∆

=λ (2.8)

O comprimento l pode ser calculado, a partir de x* na configuração deformada,

do seguinte modo:

( ) ( )∫∫ λ=φ= o

ooxdxxd

lll (2.9)

A quantificação da função ( )xλ e/ou ( )xφ é necessária para efeitos de

quantificação das deformações quando o processo de deformação é não uniforme.

As grandezas referidas para quantificar a deformação são em termos de

deformação todas susceptíveis de quantificar o alongamento sofrido pela barra, a

relevância de uma em relação às outras advém do facto de no processo de deformação

ser necessário relacionar as mudanças geométricas sofridas pelo sólido com as acções

que as produziram através de uma lei constitutiva.

2.3. COORDENADAS DE EULER E DE LAGRANGE

O conhecimento do processo de deformação de um sólido passa necessariamente

pelo conhecimento da configuração inicial do sólido, B. A identificação da posição de

um ponto de um sólido tridimensional é em geral feita através do vector de posição do

ponto referido a um sistema de eixos coordenados no espaço, por exemplo, o sistema de

eixos representado na figura 2.4. A configuração inicial do sólido pode ser coincidente

com a configuração de referência no caso de se considerar uma formulação de Lagrange

ou material. O sólido, B, representado tem o volume V contornado por uma superfície S,

sendo a posição de um ponto P da linha L do sólido referenciado no espaço através das

coordenadas x,x,x 321 ou seja através do vector de posição do ponto, x, numa descrição

Lagrangeana do sólido. As grandezas físicas relevantes como por exemplo, a velocidade

podem ser consideradas função das coordenadas x, referidas à configuração de

referência v=v(x,t).

Deformações

6

Figura 2.4: Sólido no Espaço Tridimensional.

O sólido está sujeito a um processo durante o qual ocorrem deformações e passa

da configuração inicial não deformada a uma configuração subsequente deformada

como se representa na figura 2.5. Para caracterizar o processo de deformação pode

considerar-se uma função de deformação ou de mapeamento ( )xφ , entre o sólido

deformado ( )Vφ e o sólido inicial, V, tal que a posição do ponto P, na configuração

deformada, ( )φ P , seja definida do seguinte modo:

( )xx φ=* (2.10)

sendo x* o vector de posição do ponto ( )∗ =φP P , posição do ponto P na configuração

deformada, referido à base de vectores 1 2 3, ,e* e* e* .

No caso da posição do ponto P ser referida considerando como referência a

configuração deformada do sólido, a descrição do sólido é dita Euleriana ou espacial.

Neste caso as grandezas físicas consideradas relevantes são definidas considerando

como referência a configuração deformada, a velocidade, por exemplo passa a ser

v=v*(x*,t) .

x

2e

1e

3e P

V

S

L

Deformações

7

Figura 2.5: Configuração Deformada e Configuração Inicial do Sólido.

A função de deformação ou mapeamento ( )xφ estabelece uma correspondência

entre as grandezas geométricas na configuração inicial e na configuração deformada do

sólido.

2.4. ALONGAMENTO DE UMA LINHA L

Considere-se o sólido na configuração inicial, V e o sólido na configuração

deformada ( )Vφ e no sólido considere-se uma linha L e sobre a qual o ponto P cujo

vector de posição é ( )x s , onde s representa a coordenada paramétrica da curva L,

identificadora da posição do ponto sobre a curva.

A linha L entre os pontos ( )s=P xr

e ( )s s= + ∆Q xr

percorre uma distância

∆ s e o vector que une os dois pontos P e Q na configuração inicial do sólido é

( ) ( )s s s= ∆ = + ∆ −PQ x x x sendo o comprimento do vector ∆x , a distância entre

os pontos P e Q. Na configuração deformada os dois pontos ocupam as posições ( )s*x

e ( )ss* ∆+x , respectivamente. O vector que une os dois pontos, P* e Q*, na

configuração deformada é ( ) ( )s*ss** xxx −∆+=∆ e o comprimento do vector *x∆

representa a distância entre os dois pontos na configuração deformada. Na figura 2.6

representa-se o vector PQ na configuração inicial e deformada do sólido. O sistema de

( )xφ

( )Lφ

( )P*P φ=

( )VφV

L

x

P

S

O

( )xx φ=*

( )Sφ

2 2,e e*

3 3,e e*

1 1,e e*

Deformações

8

vectores base para a configuração inicial do sólido é eee 321 ,, e para a configuração

deformada é 2 31, ,e* e* e* , considerados na figura como coincidentes, mas podiam ser

considerados distintos.

Figura 2.6: Vectores na Configuração Inicial e Deformada.

Quando o comprimento do arco entre os dois pontos, ∆ s tender para zero, as

distâncias entre os pontos P e Q tende para o comprimento do arco entre P e Q. O

vector tangente à curva é:

( ) ( )dd s s

s s ss

x x x=

→+ −lim

∆∆∆0

(2.11)

No limite este vector tende para o vector unitário na direcção da tangente à curva

no ponto P, tendo em conta que nestas condições dx=ds. Na configuração deformada o

vector tangente à curva é:

( ) ( )lim s s sds 0ds s

+ ∆ −=∆ → ∆

x* x*x* (2.12)

No limite este vector tende para ( )λ s , ou seja:

( ) ( ) ( )s s slims

s 0 s+ ∆ −

λ =∆ → ∆

x* x* (2.13)

sendo ( )λ s a extensão da curva ( )sx* .

O quadrado de ( )λ s é:

( )φ V

2 2*e ,e

1 1*e ,e

3 3, *e eV

P

S

( )ss ∆+xQ

( )xφ

( )sx

L ( ), s s∗ +∆Q x*

( )P , s∗ x*

( )= φS* S

( )= φL* L

Deformações

9

( )2 d dsd s d s

λ =

x* x* (2.14)

No caso de se considerar ∆s sobre a curva ( )φ L na configuração deformada, o

vector d d sx* tende para o vector unitário e o comprimento do vector

( )d d s sx → 1 λ . Nestas condições é:

( )1 2λ s dd s

dd s

=

x x (2.15)

Este tipo de descrição do comportamento do sólido é designado por descrição de

Euler.

Na formulação baseada na descrição de Lagrange da deformação, ∆s é

considerado sobre a curva na configuração inicial e o alongamento relativo é definido

de acordo com a equação 2.13 ou seja com base nos vectores de posição na

configuração deformada estabelecidos em termos do parâmetro, s, na configuração

inicial. Na descrição Euleriana a extensão é definida considerando ∆s sobre a

configuração deformada ou seja de acordo com a equação 2.15.

2.5. GRADIENTE DE DEFORMAÇÃO

O vector ( )sx* está relacionado com o vector de posição ( )x s através da função

de deformação ou de mapeamento, φ, ou seja:

( ) ( )( )s s= φx* x (2.16)

Derivando em ordem ao parâmetro s da curva L não deformada, obtém-se:

( )d dds ds

= ∇ φx* xx (2.17)

onde as componentes ∇φ são as derivadas de φ em ordem a x, ou seja

( )[ ]∇ =φ ∂φ ∂x ij i jx (2.18)

O gradiente da função ( )φ x é o chamado gradiente da deformação e é

usualmente designado por ( )xF φ∇= . A equação 2.17 pode ser escrita com a seguinte

forma:

Deformações

10

d dds ds

=x* xF (2.19)

O gradiente da deformação, F, contém informação acerca do modo como se

modifica o comprimento da curva L, entre dois pontos, contém também informação

acerca do tipo de movimentos que sofre a curva L. A equação 2.19 é por vezes escrita

com a forma

dx* =F dx (2.20)

atendendo ao facto de o elemento, ds, ser considerado sobre a configuração inicial do

sólido.

Designando os vectores base na configuração inicial por ei e os vectores base na

configuração deformada por ie* , o tensor F é um tensor com a base tensorial i j* ⊗ e e

e pode exprimir-se em termos das suas componentes Fij, com seguinte forma:

( )ii j ij i j

j

Fx

∂ φ = ⊗ = ⊗ ∂

xF e* e e* e

(2.21)

O produto F dx/ds da equação 2.19 pode ser calculado a partir das componentes

Fij do tensor F, ou seja

( )ij i j k kd Fds

= ⊗ = xF e* e n e ij k i j kF ⊗ = n e* e e ij j iF n e* (2.22)

tendo em conta que n xk d d s= e que i j k jk i ⊗ = δ e* e e e* de acordo com a definição

do produto tensorial de vectores.

O vector representado na equação 2.22 é um vector na configuração deformada e

é:

ij j id Fds

=x* n e*

Note-se que o tensor F é um tensor que está ligado às coordenadas do ponto na

configuração inicial, sendo portanto a descrição permitida pela equação 2.22 uma

descrição Lagrangeana.

As componentes do tensor gradiente de deformação, F, podem ser escritas com a

seguinte forma:

Deformações

11

1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

3 3 3 3 3 3

2 21 3 1 3

x x xx x x x x x

x x xx x x x x x

x x xx x x xx x

∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ

≡ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

* * *

* * *F

* * *

(2.23)

O tensor gradiente pode representar, movimentos de corpo rígido locais e globais,

como sejam rotações em torno de um eixo e pode representar alongamentos ou

extensões numa ou mais direcções, nomeadamente estados de extensão pura.

Exemplo 2.1

Num dado instante do tempo a relação entre as coordenadas de um ponto na

configuração inicial e final é: 2

1 1 1 2 3 3 2x * x x ; x * x ; x * x= + = − =

Calcule o gradiente da deformação F.

Solução:

1 1 1

21 31

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xx xx 1 2x 0 0

x x x 0 0 1x x x

0 1 0x x xx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ≡ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

* * *

* * *F

* * *

No caso de ser 0x1 = , o tensor F é:

−≡010100

001F , corresponde portanto a um tensor de rotação R, sendo TF F = I e

detF = 1.

Consequentemente o ponto { }32 x,x0, sofreu um movimento de corpo rígido

entre a posição inicial e a posição deformada, embora o sólido como um todo possa ter

sofrido deformações.

Deformações

12

No caso da relação entre coordenadas do ponto na configuração inicial e

deformada ser:

1 1 2 3 3 2x * x ; x * x ; x * x= = − =

todo o sólido sofreria uma rotação em torno do eixo 1Ox como se representa na figura

2.7.

As deformações de um ponto cujo vector de posição na configuração inicial é x

são caracterizadas pela mudança de distâncias entre dois pares de pontos na

vizinhança de x. Um elemento dx transforma-se no elemento material dx* = F dx

qualquer que seja o estado de deformação em x. No caso do exemplo anterior verificou-

se que no caso do gradiente de deformação ser um tensor ortogonal e anti-simétrico

não existe variação de comprimento dos elementos na vizinhança de x existindo só

rotação.

Figura 2.7: Rotação de um elemento no plano 32 , xx .

No caso F ser um tensor simétrico, U, tal que dX = F dx = U dx, o material na

vizinhança do ponto x está num estado de deformação pura em relação à configuração

de referência. No caso particular de ser X = Ux (U tensor constante), o sólido inteiro

está num estado de extensão pura.

No caso do tensor U ser um tensor real e simétrico, existem três direcções

mutuamente ortogonais, em relação às quais o tensor U é um tensor diagonal.

Designando por ,,, 321 eee as três direcções mutuamente ortogonais que podem ser

3x

2x 2x*

3x*( )xφ

−=010100

001R

Deformações

13

designadas por direcções principais e por ,,, 321 λλλ os valores próprios

correspondentes, então o tensor U no sistema de eixos principais é:

λλ

λ≡

3

2

1U (2.24)

ou seja 1 1 1 2 2 2 3 3 3dx * dx ;dx * dx ;dx * dx= λ = λ = λ .

Os valores próprios do tensor U são as extensões ou alongamentos principais.

Exemplo 2.2

No caso da relação entre as coordenadas de um ponto na configuração inicial e

as coordenadas de um ponto na configuração deformada ser:

1 1 2 2 3 3x * 3x ; x * x ; x * 4x= = =

Determine os alongamentos sofridos pelos elementos lineares OP, OQ e OR

representados na figura e no sistema de eixos principais.

Solução:

O tensor gradiente é:

≡

400010003

F

sendo portanto um tensor real e simétrico e independente das coordenadas do ponto x,

o estado de deformação correspondente é um estado de deformação puro e homogéneo

correspondendo a estado de pura extensão do sólido.

O alongamento sofrido pelo elemento OP é 31/31 ==λ ; O alongamento sofrido

pelo elemento OQ é 41/43 ==λ . O elemento OR tem um comprimento inicial 1.414

e um comprimento final 5, sendo o alongamento OR 5 /1.414λ = .

Deformações

14

Figura 2.8: Alongamento de um elemento no plano 32 , xx .

2.6. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO POLAR

Verificou-se que se podem considerar dois tipos de gradiente F; um tensor

ortogonal, designado por R que descreve movimentos de corpo rígido e um tensor real e

simétrico designado por U que descreve estados de deformação pura com extensões

segundo as direcções principais. É possível demonstrar que um tensor real F com

determinante não nulo, condição necessária à existência de 1−F , pode ser sempre

decomposto no produto de dois tensores um tensor ortogonal R e um tensor simétrico

U, isto é:

F = R U ou F = V R (2.25)

Nestas igualdades U e V representam tensores simétricos reais e positivos

definidos e R é um tensor ortogonal. Estas equações são conhecidas por Teorema da

Decomposição Polar. A decomposição representada nas duas equações anteriores é

única, existe um só R, um só U e um só V que satisfaz as condições anteriores. O tensor

U é designado por tensor dos alongamentos relativos à direita e V é designado por

tensor dos alongamentos relativos à esquerda.

Para um dado elemento do sólido, verificou-se ser

1x

1x *

2x

3x1.414

1.0

1.0

Q

O R

P

2x *

3x *

O4.0

5.0

3.0

Deformações

15

dx* = F dx = R U dx (2.26)

Nesta equação U dx descreve um processo de deformação pura no qual existem

três direcções mutuamente ortogonais, os vectores próprios de U, na direcção dos quais

os elementos lineares do sólido sofrem extensões ou contracções mas não sofrem

rotações. Na figura mostra-se o efeito do tensor U num sólido esférico cuja

configuração após a deformação é um elipsoide. O efeito do tensor R em U dx consiste

em provocar uma rotação de corpo rígido como se representa na figura 2.9.

Figura 2.9: Alongamento da Secção de uma Esfera.

O efeito do gradiente de deformação, F, foi contabilizado considerando um

processo de deformação pura seguido de um movimento de corpo rígido, o mesmo

efeito poderia ser obtido invertendo a ordem dos processos, ou seja considerando

F=VR.

Tendo em conta que F=RU=VR e que T =RR I conclui-se que: T=U R VR ou

TRURV = .

O cálculo de U, V e R a partir de F é uma operação possível e como já foi referido

a solução é única.

Exemplo 2.3

Considere-se o elemento rectangular AB representado na figura e considere o

tensor gradiente de deformação F = RU = VR, para o qual é:

RUdx A

B P

Q

dx

x

φ (Q) φ (A)

φ (B) φ (P)

Udx x*

x2, x*2

O, x3, x*3

Deformações

16

=

1002

U e

−=

0110

R

e determine o tensor F e o tensor V do processo de deformação.

Solução:

O efeito da aplicação do tensor U ao elemento AB corresponde à manutenção

das dimensões segundo 2x e à duplicação da dimensão segundo 1x como se representa

na figura. O efeito da aplicação do tensor R corresponde a uma rotação de 90o como se

representa também na figura. Correspondendo a um gradiente de deformação F que é:

F = R U

O gradiente F é:

−=

−==

0210

1002

0110

URF

Figura 2.10: Alongamento e Rotação de um Elemento Rectangular no Plano 1x , 2x .

O tensor V é:

=

−

−===

2001

0110

1002

0110TT RURRFV

{ }1d4−

=x*

{ }12=dx *

=1002

U

−

=0110

R

−

=0110

R

=2001

V

{ }4d1

=x *

{ }2d1

=x

A B

Deformações

17

Considere o tensor gradiente de deformação F e multiplique-se á esquerda pelo

tensor TF , tendo em consideração que F = R U, obtém-se:

[ ] [ ] [ ] UUURRUURURFF TTTTT === (2.28)

ou seja:

FFUUU TT2 ==

que representa o quadrado do tensor dos alongamentos relativos. A partir do qual se

obtém:

( ) 2/1T FFU = (2.29)

Uma vez obtido U, o tensor de rotação R pode ser facilmente determinado, do

seguinte modo:

1−= UFR (2.30)

uma vez que

IUUUUFFU == −−−− 1211T1 (2.31)

Note-se que no caso do tensor U ser simétrico é:

( ) IRRUFUFUFFU === −−−− T1T11T1 (2.32)

confirmando o factor de R ser um tensor ortogonal.

O tensor das tensões à esquerda, V, pode ser obtido a partir do tensor das

extensões à direita por uso da seguinte fórmula:

TT RURRFV == (2.33)

Os tensores 2U e 2V são tensores que caracterizam a deformação num ponto

assim como outros tensores que possam ser obtidos com uma relação única com as

quantidades relevantes para efeitos de caracterização do estado de deformação num

ponto.

Exemplo 2.4

Considere as relações seguinte entre as coordenadas de um ponto na

configuração deformada e as coordenadas de um ponto na configuração inicial:

1 1 2 3 3 2x * x , x * 3x , x * 2x= = =

Deformações

18

Determine:

a) O tensor gradiente de deformação F.

b) O tensor das extensões à direita U.

c) O tensor de rotação R.

d) O tensor das extensões à esquerda V.

Solução:

a)

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xx x x 1 0 0

x x x 0 0 3x x x

0 2 0x x xx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

* * *

* * *F

* * *

b)

=

===

900040001

020300001

030200001

TT2 FFUUU

donde se obtém

=

300020001

U

c) O tensor 1−U é:

=−

3/10002/10001

1U

O tensor R é:

== −

010100001

1UFR

d) O tensor V é:

=

==

200030001

010100001

020300001

TRFV

Deformações

19

Exemplo 2.5

Mostre que se for 2211 URURF == , então 21 RR = e 21 UU = .

Solução:

Tendo em conta que 2211 URURF == então T22

T11

F RURUF == e

consequentemente é: 22

2122

T2211

T11

F UUURRUURRUFF ==== . Os

tensores 1U e 2U , são positivos definidos consequentemente é 21 UU = .

Exemplo 2.6

Mostre que se for 'VRRUF == , então 'RR = .

Solução:

Note-se que 'VR pode ser escrito com a seguinte forma

( ) ( )1−= =' ' ' ' ''-1'VR R VR R VRR R

Por outro lado é:

( )= = =' ' ''-1F RU R VR R UR

Consequentemente é:

'RR =

2.8. TENSOR DAS DEFORMAÇÕES DE GREEN E DE LAGRANGE

O quadrado da extensão ( )λ2 s é de acordo com a expressão 2.14, o quadrado do

comprimento do vector d d sx* , o qual de acordo com a equação 2.22, pode ser

calculado a partir do tensor gradiente da deformação F. O vector F n tem um

comprimento que é igual à extensão ( )λ n , sendo a extensão uma função do vector

tangente n, o quadrado da extensão é:

Deformações

20

( )λ2 n F n F n= . (2.34)

para qualquer vector unitário n da configuração deformada.

Considere-se o produto F n F n = n F F n. . T , sendo o produto tensorial FFT

que aparece na expressão designado por Tensor das Deformações de Green, C, ou

seja:

C F F= T (2.35)

A extensão de um segmento com a orientação n na configuração inicial é de

acordo com a equação 2.34 e tendo em conta a definição das deformações de Green,

calculado do seguinte modo:

( )2 .λ =n n Cn (2.36)

A deformação de Lagrange definida por 2.3 em termos da extensão λ, para

problemas uniaxiais, pode ser definida para o caso tridimensional como sendo

( ) ( )[ ] nEnnnE .121 2 =−λ= (2.37)

onde E é o tensor das deformações de Lagrange definido a partir do tensor das

deformações de Green, com a seguinte forma:

[ ]ICE −=21 (2.38)

Os tensores C e E são tensores simétricos como resulta da definição do tensor C,

uma vez que o produto de um tensor pelo transposto do tensor é um tensor simétrico.

O tensor F, gradiente da deformação, pode ser decomposto no produto de dois

tensores atendendo ao Teorema da Decomposição Polar, do seguinte modo:

F = R U (2.39)

onde R é um tensor de rotação cuja função é mudar a direcção de um vector sem alterar o

seu comprimento e Ué um tensor de extensões cuja função é mudar o comprimento de um

vector sem alterar a sua direcção.

O tensor R é um tensor ortogonal e de acordo com a definição e é tal que

IRR =T e ( ) 1det =R . Nestas condições o tensor das deformações de Green, C,

pode ser calculado a partir do tensor das extensões U, do seguinte modo:

[ ] [ ] [ ] UUURRUURURFFC TTTTT ==== (2.40)

Deformações

21

Nestas condições pode concluir-se que o tensor, C, é constituído por quantidades

que permitem o cálculo das variações de comprimento de elementos lineares do sólido e

que não são afectadas por movimentos de corpo rígido, sendo consequentemente o

tensor C independente dos movimentos de corpo rígido.

Exemplo 2.7

Considere o processo de deformação regido pelas relações seguintes entre as

coordenadas na configura inicial e deformada:

1 1 2 2 2 3 3x * x kx ; x * x ; x * x= + = =

e determine

a) O tensor de Green C.

b) O tensor das extensões ou dos alongamentos relativos U e o inverso - 1U .

c) O tensor rotação R.

d) Os valores e vectores próprios do tensor C.

Solução:

a) O tensor gradiente de deformação é:

1 2 00 1 00 0 1

=

F

o tensor de Green C obtém-se a partir do tensor F, considerando a definição, ou seja:

=

==

100052021

100010021

100012001

T FFC

b) O tensor dos alongamentos relativos U, é:

0.7071 0.7071 00.7071 2.1213 0

0 0 1

=

U

O tensor 1−U é:

Deformações

22

1

2.1213 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1.0

−

− = −

U

1− =U IU

c) O tensor das rotações é: 1−=R FU , ou seja:

1

1 2 00 1 00 0 1

−

=

F U2.1213 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1.0

− − =

0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1

−

d) Os valores próprios de C são obtidos por resolução da equação característica e

são: 0.1716, 5.8284 e 1.0.

Os vectores próprios são:

0.9239 0.3827 00.3827 , 0.9239 , 0

0 0 1

−

Exemplo 2.8

Considere a transformação de corte simples representada pelas equações:

1 1 2 2 2 3 3x * x 2x ; x * x ; x * x= + = =

a) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração

inicial está na direcção 1e .

b) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração

inicial está na direcção 2e .

c) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração

inicial está na direcção 21 ee + .

Solução:

a) O tensor gradiente de deformação F é:

1 2 00 1 00 0 1

=

F

Deformações

23

Um vector na direcção 1e tem componentes { }dL 0 0 e tem componentes na

configuração deformada que são: { }dL* 0 0 . Este vector obtém-se multiplicando o

tensor F pelo vector na configuração inicial.

dL* 1 2 0 dL0 0 1 0 00 0 0 1 0

=

ou seja dL*=dL

Um vector na direcção 1e não sofre alongamento.

Ao mesmo resultado se chegaria no caso de se considerar o tensor E definido do

seguinte modo:

( )12

=E C - I

e de se determinar a variação do quadrado do comprimento do vector inicialmente

segundo 1e :

( ) ( ) { }2 20 1 0 dL

dL* dL 2* dL 0 0 1 2 0 0 00 0 1 0

− = =

Não há portanto variação de comprimento para um vector inicialmente segundo o eixo

de versor 1e .

b) Um vector que tenha a direcção de 2e passa a

2dL 1 2 0 0dL 0 1 0 dL0 0 0 1 0

=

sofrendo uma variação de comprimento ( )5 1 dL− ao que corresponde um

alongamento 5 1− .

Esta conclusão também poderia ser obtida considerando

( ) ( ) { } ( )2 2 20 1 0 0

dL* dL 2* 0 dL 0 1 2 0 dL 4 dL0 0 1 0

− = =

Consequentemente dL* tem um comprimento igual a 5dL .

c) Um vector que tenha a direcção de 1 2e + e passa a

Deformações

24

3dL 1 2 0 dLdL 0 1 0 dL0 0 0 1 0

=

O vector passa a ter o comprimento 10dL sofrendo uma variação de comprimento de

10 2− .

Por outro lado também se sabe que:

( ) ( ) { } ( )2 2 20 1 0 dL

dL* 2 dL 2* dL dL 0 1 2 0 dL 8 dL0 0 1 0

− = =

ou seja:

( ) ( )2 2dL* 10 dL=

Exemplo 2.9

Considere a transformação de corte simples representada pelas equações:

1 1 2 2 2 3 3x * x kx ; x * x ; x * x= + = =

a) Calcule o tensor de Lagrange E.

b) Calcule o comprimento na configuração deformada do segmento OB da

figura.

c) Compare o valor obtido em b) com 22E .

Figura 2.11: Corte simples.

1x

2x

kk

A O

B C C' B'

1.0

1.0

Deformações

25

Solução:

a) O gradiente de deformação F é:

1 k 00 1 00 0 1

=

F

O tensor C é:

T 2

1 k 0k 1+ 0k0 0 1

=

C F =F

O tensor E é:

2

0 k 01E k 0k2

0 0 0

=

b) O vector OB é: { }T0 1 0 , o vector OB´ é:

1 k 0 0 kOB´ 0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

= =

a que corresponde o comprimento 21 k+ .

c) O valor de 22E corresponde a 1/2 do quadrado da variação de comprimento

sofrida pelo vector.

2.9 DEFORMAÇÃO DE CORTE

Foram estabelecidos tensores que têm a ver com a extensão ou contracção de um

elemento linear sendo a quantificação da extensão ou contracção feita através de ( )nλ .

Mas outro tipo de deformação deve ser considerada a chamada deformação de corte. A

deformação de corte está associada à mudança de ângulos entre duas linhas durante o

processo de deformação. É possível mostrar que os elementos não diagonais do tensor E

são quantificações associadas à dimensão do referido ângulo.

Deformações

26

Considere-se a correlação entre a configuração inicial e deformada do sólido

representada na figura 2.1. Na configuração inicial considera-se linhas 1L e 2L

ortogonais, cujas tangentes no ponto P, de intercepção das duas linhas, são 1n e 2n . Na

configuração deformada as linhas ( )1φ L e ( )2φ L encontram-se no ponto ( )φ P e as

tangentes são 1nF e 2nF formando entre si um ângulo θ. O coseno do ângulo θ

formado pelas tangentes deformadas 1nF e 2nF são:

( )21

2121 nFnF

nF.nFnFnF =θ ,cos (2.41)

onde F é tensor gradiente da deformação, sendo dx/ds = n e dX/ds = F n como se

mostrou anteriormente.

Figura 2.12: Ângulo de Corte θ.

A equação 2.41 pode ser modificada, tendo em conta a definição do tensor de

Green e que 2T

121 .. nFFnnFnF = , obtendo-se:

( ) ( ) ( )22,cos

nnnC.n

nFnF 2121 λλ

=θ (2.42)

sendo ( ) ( ) 2211 e nFnnFn =λ=λ .

No caso dos vectores iniciais serem ortogonais, a mudança de ângulo entre os dois

vectores pode ser designada por γ e é tal que:

( )2Lφ

( )Pφ

( )Vφ

( )xx φ=∗

( )Sφ

( )xφ

V

x

2x

1x

3x P

S

1n

2n

1L

2L

( )1Lφ

2nF

1nF

Deformações

27

θ−π

=γ2

(2.43)

No processo de deformação de um sólido constata-se que existe uma relação entre

corte e extensão.

2.10 SIGNIFICADO FÍSICO DO TENSOR DE GREEN

O significado físico das componentes do tensor de Green e de Lagrange pode ser

mais facilmente obtido se considerar que a direcção das tangentes à curva ou curvas L

são consideradas coincidentes com as direcções dos eixos de referência às quais

correspondam os vectores base { }321 e, eee . A componente ij do tensor C é:

jiij . eCeC = (2.44)

O quadrado da extensão na direcção de ie é:

( ) iii2

ii . eCeeC =λ= (2.45)

Consequentemente os elementos da diagonal do tensor C representam extensões

na direcção de elementos lineares inicialmente com a direcção dos eixos coordenados.

O coseno do ângulo θ, formado pelos vectores ji e eFeF que correspondiam

aos vectores ji e ee na configuração inicial, é

( ) ( ) ( ) jjii

ij

ji

jiji

.,cos

CC

Cee

eCeeFeF =

λλ=θ (2.46)

donde

( ) ( ) ( )jijiij ,cosC eFeFee λλ= (2.47)

Os elementos não diagonais do tensor e representam uma medida do ângulo de

corte.

No caso do tensor E os elementos da diagonal representam uma medida do

quadrado da extensão por unidade do quadrado do comprimento inicial, mais

exactamente metade ou seja ( )

−λ 121 2

i . Os elementos não diagonais de E têm o

mesmo significado que os elementos não diagonais de C

Deformações

28

Exemplo 2.9 Considere a transformação de corte simples representada pelas equações:

11 1 2 2 2 3 3x * x kx ; x * x k ; x * xx= + = + = .Na configuração deformada qual é o ângulo

formado por dois segmentos lineares que na configuração inicial tinham as direcções

de 1e e 2e .

Solução:

De acordo com a equação 2.46 é:

( ) ( ) ( ) jjii

ij

ji

jiji

.,cos

CC

Cee

eCeeFeF =

λλ=θ

É portanto necessário calcular o tensor C. Este tensor obtém-se a partir do tensor F

que é:

1 k 0k 1 00 0 1

=

F

Consequentemente C é: 2

2

1 2k 0k2k 1 0k0 0 1

+ = +

C

sendo o ângulo pedido igual a:

( )i j 211 22

2kcos ,1 k

θ = =+

12CFe FeC C

2.11 TENSORES DE CAUCHY E EULER

O quadrado da extensão referida à configuração deformada , 1/ ( )λ2 s , sendo s

definido sobre a configuração deformada é de acordo com a expressão 2.15, o quadrado

do comprimento do vector d d sx , o qual pode ser calculado a partir do inverso do

tensor gradiente da deformação F. O vector 1−F n* tem um comprimento que é igual à

Deformações

29

extensão ( ) ( )1λ = λn* n , sendo a extensão uma função do vector tangente n*, o

quadrado da extensão é:

( )2 .λ = -1 -1n* n* n*F F (2.48)

para qualquer vector unitário n da configuração deformada.

Considere-se o produto ( )T. n *-1 -1 -1 -1n* n* = n*F F F F , sendo o produto tensorial

( )T-1 -1F F que aparece na expressão designado por Tensor das Deformações de

Cauchy, C*, ou seja:

( )T* = -1 -1C F F (2.49)

A extensão de um segmento com a orientação n* na configuração deformada é de

acordo com a equação 2.48 e tendo em conta a definição das deformações de Cauchy,

calculado do seguinte modo:

( ) ( )22

1 .= λ =λ

n* n* C*n*n

(2.50)

A deformação de Euler definida por 2.5 em termos da extensão λ, para problemas

uniaxiais, pode ser definida para o caso tridimensional como sendo

( ) ( )2

1 11 .2

= − = λ E* n* n* E*n*

n (2.51)

onde E* é o Tensor das Deformações de Euler definido a partir do tensor das

deformações de Cauchy, com a seguinte forma:

[ ]12

= −E* I C* (2.52)

Os tensores C* e E* são tensores simétricos como resulta da definição do tensor

C*, uma vez que o produto de um tensor pelo transposto do tensor é um tensor

simétrico.

2.12 DEFORMAÇÕES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS

No caso da função de deformação ( )xφ ser estabelecida em termos dos

deslocamentos, sendo o vector deslocamento do ponto P, designado por ( )xu , como se

representa na figura 2.13, a função ( )xφ é definida do seguinte modo:

( ) ( )φ = +x x u x (2.53)

Deformações

30

Figura 2.13: Deslocamento do ponto P.

O tensor gradiente da deformação F obtém-se a partir de 2.53 determinando

( )xφ∇ o qual é:

uIF ∇+= (2.54)

sendo as componentes do gradiente do vector deslocamentos u∇ definidos do seguinte

modo [ ] jiij uuu ∂∂=∇ .

O tensor gradiente da deformação têm as seguintes componentes em termos dos

deslocamentos

j,iijij uF +δ= (2.55)

O tensor da deformação de Green é calculado a partir da definição como sendo

FFC T= , ou seja:

[ ] [ ] uuuuIC ∇∇∇∇ TT +++= (2.56)

As componentes do tensor C podem ser calculadas a partir das componentes do

tensor u∇ do seguinte modo:

j,ki,ki,jijijij uuuuC +++δ= (2.57)

sendo

jij,i uuu ∂∂=

O tensor de Lagrange é de acordo com a definição:

( )xφ

V

x

2x

1x

3x P

u

( )Vφ

P*

x = φ (x)

Deformações

31

( ) [ ] [ ][ ]uuuuICE ∇∇∇∇ TT21

21

++=−= (2.58)

cujas componentes são

[ ]j,ki,ki,jj,iij uuuu21E ++= (2.59)

note-se que as duas primeiras parcelas representam a parte linear do tensor ou seja

[ ][ ]T21 uu ∇+∇=ε

cujas componentes são:

[ ]i,jj,iij uu21

+=ε (2.60)

e a última parcela representa a parte não linear do tensor. Na teoria da Elasticidade

linear é usual considerar-se o tensor das deformações definido de acordo com a

expressão 2.60.

2.11 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

No sólido, V e num ponto existem direcções segundo as quais as extensões têm

valores extremos, máximos ou mínimos. Tendo em conta que os quadrados das

extensões são:

( ) nCnn .2 =λ (2.61)

nas direcções do vector unitário n, o cálculo dos valores extremos de ( )n2λ passa pelo

cálculo dos máximos ou mínimos de nC.n sujeito à restrição 1=n.n . Nestas

condições o Lagrangeano (L) de problema de optimização com restrições é:

( ) ( )1..,L −µ−= nnnCnun (2.62)

sendo µ o multiplicador de Lagrange.

A equação a satisfazer para que haja um máximo ou mínimo da função nC.n

obtém-se considerando a derivada 0L =∂∂ n , ou seja

[ ] 0ou =µ−µ= nICnnC (2.63)

O problema que se representa pela equação 2.58 é um problema de valores

próprios, onde n é um vector com uma direcção tal que por aplicação do tensor C

apenas sofre uma alteração de comprimento quantificada por µ. A equação 2.58 tem

Deformações

32

uma solução não trivial quando o determinante da matriz dos coeficientes for nula, ou

seja:

[ ] 0CCC

CCCCCC

detdet

333231

232221

131211=

µ−µ−

=µ−

µ−

IC (2.64)

donde resulta a equação cúbica designada por equação característica e que é:

0III 32213 =+µ−µ+µ− (2.65)

onde

( ) 3322111 CCCCtrI ++==

3223332231133311211222112 CCCCCCCCCCCCI −+−+−=

+−+−== 3321122331122332113322113 CCCCCCCCCCCCCdetI

223113322113 CCCCCC −+

são os invariantes do tensor C, esta designação resulta do facto destas quantidades não

sofrerem alteração quando se muda de um sistema de eixos coordenados para outro.

A resolução da equação cúbica 2.60 pode efectuar-se recorrendo a fórmulas

analíticas como as que se indicam em anexo ou recorrendo a processos iterativos de

cálculo de valores próprios de tensores. Os valores próprios da equação 2.60 podem ser

designados por 321 e, µµµ e são designados por extensões principais. A cada um dos

valores próprios 321 e, µµµ estão associadas direcções as chamadas direcções

principais 321 e, nnn e que são vectores próprios dos sistema de equação 2.58. A

determinação dos vectores unitários 321 e, nnn pode ser feita de várias formas, em

particular pode começar por admitir-se que 1n , por exemplo, tem a forma:

3211 ba1 eeen ++= (2.66)

substituindo no sistema de equações 2.58, obtém-se:

0ba1

CCCCCCCCC

1333231

2312221

1312111=

µ−µ−

µ− (2.67)

Os valores de a e b são desconhecidos e podem ser calculados por resolução das

equações:

−=

µ−

µ−

31

21

13332

23122CC

ba

CCCC

(2.68)

Deformações

33

No caso do vector 1n ser tal que a componentes de 1e tem valor nulo a hipótese

estabelecida pela equação 2.61 não é adequada e o sistema 2.63 manifestar-se-ia como

sendo singular. Nestas condições deveria tentar-se uma das hipóteses

32113211 e1ebeaouebe1ea ++=++= nn (2.69)

e obter os valores de a e b.

Uma vez calculado o vector próprio 1n podia normalizar-se o vector 1n e obter

um vector unitário. De modo análogo se poderiam determinar os vectores 32 e nn .

Os vectores 321 e, nnn são ortogonais entre si no caso de corresponderem a

valores próprios distintos.

Consideram-se dois vectores próprios ji e nn de um tensor simétrico C, aos quais

correspondem dois valores próprios ji e µµ (resultantes da resolução do sistema de

equações C n = µ n). Nestas condições pode dizer-se que:

jjii e nnCnnC µ=µ= (2.70)

Multiplicando escalarmente a primeira equação por jn e a segunda equação por

in , obtém-se:

ijjijiij e n.nnC.nn.nnC.n µ=µ= (2.71)

ou seja

0jiij =− nC.nnC.n

( ) ( ) 0j jiiij =µ−µ n.nn.n

( ) 0jiji =µ−µ n.n (2.72)

Consequentemente:

0ji =n.n

donde se conclui que os vectores ji e nn são ortogonais entre si no caso do tensor C

ser simétrico e dos valores próprios correspondentes serem distintos entre si.

Podem considerar-se dois casos particulares, o caso de ser 321 µ≠µ=µ e o caso

de ser 321 µ=µ=µ . O primeiro caso 321 µ≠µ=µ corresponde à situação de um

vector próprio ter a direcção de 3n e os outros dois vectores próprios existirem no

plano perpendicular a 3n . O segundo caso corresponde a ser µ=µ=µ=µ 321 e

Deformações

34

nestas condições ocorre uma dilatação uniforme do sólido e qualquer vector do espaço

tridimensional é um vector próprio.

2.12 DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL E SIGNIFICADO FÍSICO DOS

VALORES E VECTORES PRÓPRIOS

No caso dos valores próprios e vectores próprios serem conhecidos o tensor C

pode ser calculado a partir dos referidos valores

iii nnC ⊗µ= (2.73)

O cálculo do tensor C pode ser feito a partir da equação 2.68 e esta forma de

expressão do tensor é conhecida por decomposição espectral do tensor C.

Multiplicando ambos os membros da equação 2.68 por jn obtém-se:

( )∑∑==

µ=µ=

⊗µ=

3

1ijjiijiji

3

1iiij .n nnnnnnnC (2.74)

Na base 321 e, nnn , por vezes referida como base canónica, o tensor C é:

µµ

µ=

3

2

1

000000

C (2.75)

sendo os invariantes 321 IeI,I

3211I µ+µ+µ=

3231212I µµ+µµ+µµ= (2.76)

3213I µµµ=

Os valores próprios jµ podem ser definidos do seguinte modo:

( ) ( )j2jjjjjj C.. nnnnn λ==µ=µ (2.77)

atendendo a que 1. jj =nn e as equações 2.56 e 2.58. Nestas condições o valor próprio

jµ de C é igual ao quadrado da extensão na direcção do vector próprio jn . No sistema

de eixos 321 e, nnn é possível demonstrar que não existem deformações de corte ou

seja:

Deformações

35

( ) ( ) ( ) 0..C.

,cos kjj

k

kj

kkj

kj

kjkj =

µ

µ=

µµ

µ=

µµ=θ nn

nnnnnFnF (2.78)

uma vez que 0. kj =nn dada a ortogonalidade de kj e nn .

Os valores e vectores próprios do tensor das deformações de Lagrange podem ser

calculados tendo em conta que o tensor das deformações de Lagrange se relaciona com

o tensor das deformações de Green através da equação [ ]ICE −=21 . Nestas condições

[ ] ( ) iiii 121

21 nnICnE −µ=−= (2.79)

ou seja os valores próprios do tensor E são:

( )121

ii −µ=γ (2.80)

tais que iii nnE γ= .

Nestas condições as direcções principais das extensões de Green coincidem com

as direcções principais das deformações de Lagrange.

2.13 VOLUME E ÁREA

Considere-se o volume na configuração inicial formado pelos vectores

332211 sdesd,sd nnn e o volume formado pelos vectores 2211 sd,sd nFnF e

33 sdnF na configuração deformada como se representa na figura 2.13.

Figura 2.13: Mudança de volume no processo de deformação.

( )Vφ

11 sdnF

22 sdnF

( )xφV

11 sdn

33 sdn

( )xφ

P

2x

1x

3x

2x *

1x *

3x *

22 sdn 33 sdnF

Deformações

36

O volume na configuração inicial é:

( ) 321321 sdsdsd.Vd nnn ×= (2.81)

O volume na configuração deformada:

( ) ( ) 321321 sdsdsd.VdVd nFnFnF ×=φ=∗ (2.82)

ou seja

VddetVd F=∗ (2.83)

tendo em conta que ( ) ( )[ ] ( )[ ]wvuTwTvTuT .xdet.x = e comparando as

equações 2.81 e 2.82.

Considere-se a área elementar Ad , na configuração inicial do sólido e a área

elementar ∗Ad na configuração deformada do sólido, como se representa na figura

2.14.

11 sdn

dAP

( )Pφ

11 sdnF

dA*P

Figura 2.14: Mudança de área.

As áreas elementares na configuração inicial e deformada são:

2121 sdsdAd nn ×= e 2121 sdsdAd nFnF ×=∗ (2.84)

As normais n e N podem se calculadas a partir dos vectores 21 e nn e

21 e nFnF do seguinte modo:

n 22 sdnF

( )xφ

2x

1x

3x

22 sdn

2x *

1x *

3x *

N

Deformações

37

21

21

21

21 NenFnFnFnF

nnnnn

××

=××

= (2.85)

consequentemente:

( ) 2121 sdsdxAd nnn = e ( ) 2121 sdsdxAd nFnFN =∗ (2.86)

É possível relacionar a quantidade ∗AdN com a quantidade Adn , tendo em

conta que:

( ) 2121TT sdsdxAd nFnFFNF =∗ (2.87)

ou seja

( ) AddetAdT nFNF =∗

donde se infere que

( ) AddetAd1T nFFN

−=∗ (2.88)

ou

( ) nFFdetAdAd T−∗ =

Esta transformação é designada por Transformação de Piola.

BIBLIOGRAFIA

[1] - W. Michael Lai, David Rubin and Erhard Krempl. "Introduction to Continuum

Mechanics", Pergamon Press, 1993.

[2] - Y. C. Fung. "Foundations of Solid Mechanics", Prentice Hall, Englewood Cliffs,

N.Y., 1965.