28/Fev/2018 – Aula 4

5/Mar/2018 – Aula 5

5.1 Movimento circular 5.1.1 Movimento circular uniforme 5.1.2 Velocidade angular 5.1.3 Força e aceleração centrípetas 5.1.4 Aceleração tangencial 5.1.5 Coordenadas radial e tangencial 5.2 Movimento em referenciais acelerados 5.2.1 Força de inércia 5.2.2 Peso aparente 5.2.3 Força centrífuga

4. Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos

1

Aula anterior

2

O chamado atrito cinético surge quando um objeto desliza numa superfície. Esta força opõe-se ao movimento e aponta sempre no sentido contrário ao da velocidade.

O atrito estático f é uma força que tende a manter um objeto em repouso numa superfície e aponta na direção que “impede” o movimento.

F0 = µkNF0 = µkN

Coeficiente de atrito cinético: µk

!f

4.1 Força de atrito

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Exemplo:

Aula anterior 4.1 Força de atrito

Aula anterior

4

Coeficiente de atrito estático:

mg

F

N

Fa

N mg=

Fa = µN

!a

µs

0 = F − Fa ⇒ Fa = F

Coeficiente de atrito dinâmico: µk

ma = F − Fa = F −µkmg

se F ≤ µsN ⇒ Fa = F ⇒ não há movimento

se F>µsN ⇒ Fa = µkN ⇒ há movimento, na presença de atrito

⎡

⎣

⎢⎢

4.1 Força de atrito

5

A força de arrastamento opõe-se ao movimento de um objeto num líquido ou num gás. Tal como o atrito cinético, manifesta-se no sentido contrário ao do movimento.

Aula anterior 4.2 Força de arrastamento

6

A força de arrastamento depende da forma do objeto, das propriedades mecânicas do fluido e da velocidade do objeto, relativamente ao fluido.

Normalmente, quando a velocidade é pequena, a força de arrastamento é proporcional à velocidade. Quando a velocidade aumenta, torna-se proporcional ao quadrado da velocidade:

Fd = bvn

mg −bvn =ma ⇒ a = g − bmvn

b é uma constante e n é um inteiro.

Se a→ 0 ⇒ vterminal =mgb

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 n

Aula anterior 4.2 Força de arrastamento

bvn =mgbvn <mg

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A velocidade terminal (velocidade constante) será eventualmente atingida quando a força de arrastamento for igual ao peso do objeto.

Efeito da força de arrastamento na trajetória de um projétil:

Aula anterior

Força de arrastamento Simulação

4.2 Força de arrastamento

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a) Fx∑ =max

a1x= a2x= a e T’=T :

2.9 2ª e 3ª leis Dois objetos, de massas m1 e m2, estão ligados por um fio inextensível, como é mos-trado na figura. Despreze o atrito entre os objetos e o plano inclinado e determine: a)  a aceleração de cada objeto; b) a tensão no fio; c) a relação entre as massas m1 e m2 para que o sistema fique em equilíbrio.

T −m1g sen40° =m1a1x Newton’s Laws

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Picture the Problem The magnitude of the accelerations of the two blocks are the

same. Choose a coordinate system in which up the incline is the +x direction for

the 8.0-kg object and downward is the +x direction for the 10-kg object. The peg

changes the direction the tension in the rope acts. Draw free-body diagrams for

each object, apply Newton’s second law of motion to both of them, and solve the

resulting equations simultaneously.

n,8F�

n,10F�

gm�

10

gm�

8

T�

'T�

x

x

yy

q40q50

(a) Apply ¦ xx maF to the 8.0-kg

block:

xamgmT88

40sin q� (1)

Noting that T = T c, apply ¦ xx maF

to the 10-kg block:

xamTgm1010

50sin �q (2)

Add equations (1) and (2) to obtain:

� � xammgmgm

810

81040sin50sin

� q�q

Solving for ax yields: � �108

81040sin50sin

mmmmg

ax �q�q

Substitute numerical values and evaluate ax:

� � � � � �� � 22

2

m/s4.1m/s37.1kg 10kg 0.8

40sinkg 0.850sinkg 10m/s 81.9

�q�q

xa

Solving the first of the two force

equations for T yields:

� �xagmT �q 40sin8

Substitute numerical values and evaluate T:

� � � �> @ N61m/s37.140sinm/s81.9kg0.822 �q T

(b) Because the system is in

equilibrium, ax = 0, and equations (1)

and (2) become:

040sin1

q� gmT (3)

and

050sin2

�q Tgm (4)

−T '+m2g sen50° =m2a2x

⇒ a =g m2 sen50°−m1sen40°( )

m1+m2=1,37m/s2

b) T =m1 g sen40°+ a( ) = 61Nc) Equilíbrio

Massa m1: T −m1g sen40° = 0

⇒ Fx∑ = 0

Massa m2: −T '+m2g sen50° = 0Como T’=T : m1 m2 = sen50° sen40° =1,2

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5.1.1 Movimento circular uniforme

Trajetória circular. O vetor velocidade tem sempre o mesmo módulo, mas a sua direção muda constantemente. Para que o vetor velocidade mude, é necessário que exista uma aceleração.

Posição : !r = constante

Rapidez : !v = constante

O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula efetue uma rotação completa.

v = 1 circunferência1 período

=2πrT

Movimento curvo Simulação

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s = r θ ; θ = s/r A posição angular θ (em radianos) da partícula, relativamente ao eixo x, é θ = s/r, em que s é o comprimento do arco definido pela trajetória da partícula, entre o eixo x e a sua posição em cada instante, com 0 ≤ |θ| ≤ 2π.

1° = (π/180°) rad = 0,0174533 rad; 1 rad = 180°/π = 57,296°

5.1.1 Movimento circular uniforme

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Por convenção, θ é positivo se aumentar no sentido anti-horário. Se ω descrever uma rotação no sentido anti-horário, é positiva.

5.1.2 Velocidade angular

A velocidade angular ω (em radianos/s = rad/s) mede a rapidez com que o ângulo θ varia, ao longo da trajetória da partícula.

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A força (e a aceleração) apontam para o centro da circunferência

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

Para que um objeto se mova com velocidade constante ao longo de uma circunferência, é preciso que exista uma força a agir sobre ele. Se não, mover-se-ia ao longo de uma linha reta.

!amédia =!v2 −!v1

Δt=−2vsenθ2rθ / v

y = − v2

rsenθθ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ y

!a = − v2

rlimθ→0

senθθ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ y = −

v2

ry fc =mac =m

v2

r=mω2r

Movimento circular Simulação

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A força centrípeta pode ser criada pela tensão numa corda, pela força normal, pelo atrito, etc.

Exemplo: um carro, de massa m = 1200 kg, efetua uma trajetória circular, de raio r = 45 m. Se µk = 0,82, qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para não derrapar?

Fx∑ = fk = µkN =mac =mv2

rFy∑ = 0 = N −W = N −mg

µkmg =mvr

2⇒ v = µkrg

v = (0,82)(45,0 m)(9,81 m/s2)=19,0 m/s= 68,4 km/h

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

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Exemplo: se uma curva tiver uma inclinação de ângulo θ, é possível que um carro a descreva sem derrapar e sem que exista atrito. Se a curva tiver um raio r = 85 m e o carro tiver m = 900 kg e se deslocar a 20,5 m/s, qual deve ser o valor de θ para que o carro não derrape?

N senθN cosθ

= tgθ =m v

2

rmg

=v2

grθ = arctg v

2

gr

= arctg (20,5 m/s)2

(9,81 m/s2)(85 m)= 26,7°

Fx∑ = N senθ =mac =mv2

rFy∑ = 0 = N cosθ −W = N cosθ −mg

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

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5.1.4 Aceleração tangencial

Se o módulo da velocidade não for constante, existe uma aceleração no sentido do movimento. Nesse caso, trata-se de uma aceleração tangencial (tangente à trajetória).

A aceleração total será a soma vetorial das duas acelerações.

Centrípeta

Tangencial Tangencial

!v4!v1 Componentes

centrípeta e tangencial

vt =2πrT

Velocidade tangencial:

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5.1.5 Coordenadas radial e tangencial

O eixo r (radial) é definido do centro de rotação para a posição da partícula. O eixo t (tangencial) é a tangente à circunferência, no sentido anti-horário. O eixo z (axial) é a a perpendicular ao plano de rotação.

O vetor !A pode ser escrito nas

componentes radial e tangencial: Ar = Acosφ; At = AsenφComponentes

radial e tangencial animação

5.2.1 Força de inércia

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m

!aM

!Fi =ma

Num referencial acelerado, a 2ª lei de Newton não é válida.

Neste exemplo, o bloco de massa M adquire uma aceleração a para a direita, devido à força F. Como os blocos estão em contacto, o bloco de massa m sofre uma força de inércia Fi, para a esquerda.

!Fi =ma

A força de inércia que m sofre é igual ao produto da sua massa pela aceleração do referencial acelerado. Tem sempre o sentido contrário ao do movimento do referencial, como num par ação-reação.

5.2.2 Peso aparente

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Dentro do elevador, de massa M, há um peixe de massa m.

•  Quando o elevador se deslocar com velocidade constante, o peixe tem peso mg e não sofre força de inércia.

•  Quando o elevador subir, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia Fi = ma. A força lida na balança é F = mg + ma.

•  Quando o elevador descer, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia Fi = ma. A força lida na balança é F = mg - ma.

!Fi =ma

5.2.3 Força centrífuga

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No referencial do passageiro (figura b), uma força aparente empurra-o para a porta do automóvel. No referencial da Terra (figura c), o carro exerce uma força sobre o passageiro, para a esquerda, para que este acompanhe o movimento do carro. A força dirigida para a direita é uma força fictícia, a que se dá o nome de força centrífuga, e é devida à aceleração centrípeta associada à mudança de direção do carro. Na prática, as forças de atrito são suficientes para que o passageiro se mova solidariamente com o carro.

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5.2.3 Força centrífuga

O observador no referencial de inércia (a) vê a esfera a sofrer a ação de uma força horizontal: No referencial acelerado (b), o observador vê a esfera como uma partícula em equilíbrio: As duas formulações são equivalentes se

Fx∑ =T senθ =ma

Fy∑ =T cosθ −mg = 0

Fx'∑ =T senθ − Ffictícia =ma

Fy'∑ =T cosθ −mg = 0

Ffictícia =ma