Força elétrica e Campo Elétrico

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Massas e Campo Gravitacional

Antes de Física III, um pouco de Física I ....

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Força Gravitacional:

Força radial agindo entre duas

massas, m1 e m2.

: vetor unitário (versor)

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Vetor posição:

Vetor unitário (ou versor):

4

tal que:

Coordenadas esféricas:

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1. Força atuando em m1: 2. Força atuando em m2:

: apontando de m2 para m1. : apontando de m1 para m2. 6

Campo Gravitacional gerado por uma massa M:

M : Massa da Terra

Por exemplo, o campo gravitacional terrestre:

Na superfície, fazendo r igual

ao raio da Terra, obtemos o

módulo de g aproximadamente

igual a 9,81 m/s2 . 7

Campo Gravitacional:

Criado por M Sentida por m

Força Gravitacional:

Força gravitacional

entre as massas m e M.

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Princípio da Superposição

O Campo Gravitacional líquido no ponto P é igual à soma

vetorial dos campos produzidos por m1 e m2 .

De uma forma geral:

Exemplo:

1

2

9

1

2

10

1

2

11

Princípio da Superposição

Vamos supor que uma massa m3 é colocada no ponto P. A

Força Gravitacional líquida sentida por m3 em

consequência da presença de m1 e m2 será:

1

2

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Cargas elétricas e Campo Elétrico

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Carga Elétrica

Em 600 a.C., os gregos descobriram que, atritado com a lã, o

âmbar adquiria a propriedade de atrair outros objetos.

âmbar

Hoje, podemos afirmar que o âmbar adquiria uma carga

elétrica ou se tornava carregado. O termo “elétrico” deriva-se

da palavra grega elektron, que significa âmbar.

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Experimento com bastões de plástico e vidro, atritados com

pele e seda.

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Esse tipo de experimento mostra que existem dois tipos de

carga elétrica:

O tipo de carga elétrica

acumulada no bastão de

plástico atritado com pele.

O tipo de carga elétrica

acumulada no bastão de

vidro atritado com seda.

-

+

Benjamin Franklin (1706 –

1790) sugeriu denominar de

cargas negativas e positivas.

Perceba! Existe uma força de repulsão elétrica entre cargas

do mesmo tipo e uma força de atração elétrica entre

cargas opostas. 16

17

Fonte: http://www.rc.unesp.br/showdefisica/99_Explor_Eletrizacao/paginas%20htmls/S%C3%A9rie%20Triboel%C3%A9trica.htm

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Processos de eletrização:

Havendo contato:

Não Havendo contato – por indução:

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em que e, a carga elementar, tem o seguinte valor:

Na época de Benjamin Franklin, a carga elétrica era considerada

como um fluido contínuo. Entretanto, sabemos agora que mesmo os

fluidos, como a água e o ar, não são contínuos, mas sim formados

de átomos: a matéria é discreta.

q = n e n = ±1, ±2, ±3, …

e = 1,6 x 10-19 C

Unidade SI de carga: Coulomb – C.

A carga é quantizada: a experiência mostra que o “fluido

elétrico” também não é contínuo, mas constituído de

múltiplos de uma certa carga elementar. Isto é, qualquer carga

positiva ou negativa q que possa ser detectada pode ser escrita

como:

20

Estrutura dos átomos:

1. elétron, que possui carga elétrica negativa igual a -e;

2. próton, de carga elétrica positiva igual a +e;

3. nêutron, que não possui carga elétrica.

Os elétrons são mantidos no interior de um átomo pela força de

atração elétrica entre o núcleo positivo e os elétrons negativos. 21

Lei de Coulomb

O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é

diretamente proporcional ao produto das cargas e

inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as

cargas.

Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806):

22

Força radial:

23

1. Força atuando em q1: 2. Força atuando em q2:

: apontando de q2 para q1. : apontando de q1 para q2. 24

1. Força atuando em q1: 2. Força atuando em q2:

: apontando de q2 para q1. : apontando de q1 para q2. 25

M

m

2ˆ

g

MmG

r F r

Lembram da Força Gravitacional??

Portanto, a Força Elétrica (Lei de Coulomb) apresenta a mesma

dependência com a distância que a Força Gravitacional: são leis

de força simétricas!!

Apenas trocamos as massas pelas cargas e a constante G pela

constante k.

Uma distinção importante: massas sempre se atraem. Cargas, não:

de sinais opostos se atraem e de mesmo sinal se repelem. 26

Magnitudes: Força elétrica x Força Gravitacional

Exemplo1 : considere duas partículas alfa separadas por uma distância r.

Isso explica porque a força gravitacional é praticamente

desprezível na descrição de elétrons orbitando um núcleo! 27

Exemplo 2: sistema Terra - Lua

Entre dois corpos do tamanho de uma pessoa ou de um planeta, em

geral a carga líquida positiva é aproximadamente igual à carga

líquida negativa, tal que a Força Elétrica é muito menor do que a Força

Gravitacional.

28

29

Superposição de forças – determinando forças resultantes.

Exemplo 1: três cargas. Determinar a força elétrica resultante na carga q3

30

31

Lembram do exemplo da Força Gravitacional?

1

2

32

33

Mas, a força líquida sobre q3 é nula, então:

Essa é outra posição em que as magnitudes

das forças sobre q3 são iguais, porém,

apontam no mesmo sentido nessa posição

(da esquerda para a direita), não podendo ter

resultante nula. 34

Carga da esquerda:

35

36

Campo Gravitacional x Campo elétrico

Campo gravitacional criado por uma massa M :

M : Massa da Terra

Por exemplo, o campo gravitacional

terrestre:

Força Gravitacional sentida por uma massa m, como consequência do

campo gravitacional gerado por M:

37

Campo Elétrico gerado por uma carga puntiforme Q:

Campo elétrico: simetria!

38

Cargas positivas: Cargas negativas:

Linhas de Campo Elétrico:

39

Linhas de Campo Elétrico para configurações com duas

cargas (de mesmo módulo):

A cada ponto no espaço, o vetor do campo elétrico é tangente à

linha de campo que passa pelo ponto considerado. 40

41

Força Elétrica sentida por uma carga q, como consequência do

campo elétrico gerado por Q:

Unidade de Campo Elétrico: Newton/Coulomb = N/C

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Exemplo: Campo elétrico resultante no ponto 3, como consequência das

cargas q1 e q2 .

Vimos que se posicionarmos uma carga

q3 no ponto 3, a força resultante sobre

ela será:

Portanto, o campo elétrico gerado pelas cargas q1 e q2 no ponto 3 será:

3

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Elétron em um Campo Elétrico uniforme:

Um elétron é lançado horizontalmente no interior de um campo elétrico

uniforme, com velocidade inicial v0 . Determine a equação da trajetória

do elétron (despreze qualquer ação da gravidade).

Devido ao campo elétrico, o elétron sofrerá a ação de uma força

exclusivamente na vertical, dando origem a uma aceleração constante

para baixo, cujo módulo é escrito como:

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Assim, as equações de movimento serão:

em que admitimos que o elétron parte da origem e não possui velocidade

inicial na vertical.

Portanto:

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Campo Elétrico de distribuições contínuas de carga

Para uma carga Q puntiforme, sabemos que o campo elétrico é dado por:

Mas, como determinar o campo elétrico, por exemplo, de uma barra

carregada com carga Q?

Dois exemplos: (a) determinar o

campo elétrico em um ponto P ao

longo da horizontal; (b) determinar

o campo elétrico em um ponto P ao

longo de uma linha na vertical

cortando o centro da barra.

Carga Q uniformemente distribuída ao

longo de uma barra de comprimento L. 46

Indroduzimos a densidade linear de carga :

Caso do tipo (a): determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha

horizontal ao longo da barra, a uma distância b. Uma carga positiva Q está

uniformemente distribuída ao longo da barra.

Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo da barra de comprimento L,

teremos:

47

Situação limite:

Carga Q puntiforme a uma

distância .

Assim:

48

Caso do tipo (b): determinar o campo elétrico no ponto P, passando por

uma linha na vertical cortando o centro da barra de comprimento L. Uma

carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo da barra.

49

50

51

Situação limite:

Carga Q puntiforme a uma

distância . 52

Caso geral:

53

54

Situação particular 1:

55

Situação particular 2:

56

Determinar o campo elétrico no ponto P, posicionado no centro de um

semicírculo de raio R. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída

ao longo do semicírculo.

Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo do anel, teremos:

57

58

Determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha na

vertical cortando o centro de um anel de raio R. Uma carga positiva Q

está uniformemente distribuída ao longo do anel.

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Situações limite:

Carga Q puntiforme a uma distância .

Podemos utilizar a simetria do problema! Semelhante ao que observamos no caso da barra de

comprimento L, aqui ocorrerá o cancelamento mútuo dos campos elétricos nas direções x e y (ou

seja, no plano do anel). Assim, restará apenas a componente ao longo da direção z.

Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo do anel, teremos:

Campo no centro (no plano do anel) 60

Considere que o anel de raio R do exemplo anterior é mantido fixo e está

positivamente carregado (carga uniformemente distribuída). Uma

partícula de carga negativa –q é colocada no centro do anel (posição

x=y=z=0). A partícula, ajustada para ser restrita a se mover ao longo do

eixo z, é então deslocada por uma pequena distância z (com z<<R).

Mostre que a partícula descreverá um movimento harmônico simples

com frequência de oscilação dada por:

O campo elétrico em uma posição z é dado por:

Portanto, a partícula estará submetida a uma força dada por:

61

\\\

62

Determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha na vertical cortando

o centro de um disco de raio R. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída

ao longo do disco.

63

Mais uma vez, utilizando a simetria do problema, restará apenas a componente ao longo

da direção z:

Indroduzimos a densidade superficial de carga :

Se a carga Q estiver uniformemente distribuída, teremos:

64

65

Situação limite:

Carga Q puntiforme a uma

distância .

Série de Taylor em torno de x=a:

Portanto, considerando a expansão em torno de x=0:

66

Indroduzimos a densidade superficial de carga :

Alternativamente, como ponto de partida, podemos utilizar o resultado do caso

anterior, de um anel carregado. Assim, o campo elétrico resultante para o disco será a

soma dos campos elétricos de anéis infinitesimais de raio r. Campo elétrico de um

anel infinitesimal de raio r, carregado com uma carga dq:

67

Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico:

Denomina-se Dipolo Elétrico um conjunto de duas cargas iguais, porém

de sinais contrários, separadas por uma distância d.

68

Módulo do Momento de Dipolo Elétrico.

Situação limite:

Perceba a dependência com !! Motivo: cargas de sinais contrários. 69

70

Para um sistema com duas cargas idênticas e positivas (o que não

pode ser chamado de dipolo elétrico), teríamos:

71

72

E se as cargas não tiverem o mesmo módulo (o que também não

pode ser chamado de dipolo elétrico) ...

73

Torque sobre um dipolo elétrico

: vetor orientado da carga negativa para a positiva. 74

Trabalho associado:

Torque atua diminuindo .

Energia potencial para um dipolo

em um campo elétrico

75

Problema: considere duas barras idênticas de comprimento L. Uma

carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo de cada

barra. As barras estão sobre o eixo x e seus centros são separados

por uma distância b > L. Determine a força elétrica que a barra da

esquerda exerce sobre a barra da direita.

Como já vimos, o campo elétrico gerado pela barra da esquerda a uma

distância x de sua extremidade direita é dado por:

76

A força elétrica sobre um elemento diferencial de carga dq da barra à

direita será então dada por:

77

A barra da direita exercerá uma força de mesmo módulo sobre a

barra da esquerda, porém, com sentido contrário. 78

Situação limite: b >> L

Força entre duas cargas Q puntiformes

separadas por uma distância b.

Série de Taylor em torno de x=a:

Portanto, considerando a expansão em torno de x=0:

79

O resultado anterior pode ser reescrito como: