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4. ÁNÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
4.1. Introdução
Há muitos problemas de interesse no campo da mecânica dos fluidos, no mundo real dos projetos, que não podem ser resolvidos usando apenas as equações diferenciais e integrais.
Muitas vezes é necessário apelar aos métodos experimentais, para estabelecer relações entre as variáveis de interesse.
Como os experimentos são geralmente muito caros, é necessário manter o número de ensaios em um nível mínimo.
Isso é feito usando uma técnica chamada análise dimensional a qual é baseada na noção de homogeneidade dimensional - todos os termos em uma equação devem ter a mesma dimensão.
nota-se que a dimensão de cada termo é o de comprimento.
Além disso, fatorando z1 do lado esquerdo e z2 do lado direito, vem:
1
2
2
2
2
22
1
1
1
21
z
z1
z
p
gz2
V1
z
p
gz2
V
Quando escrita nessa forma, todos os termos da equação de Bernoulli são adimensionais.
Neste caso, a equação é escrita como uma combinação de parâmetros adimensionais.
Esta é a idéia básica da análise dimensional, a qual será apresentada na próxima seção.
Tomando como exemplo a Eq. de Bernoulli
22
22
11
21 z
p
g2
Vz
p
g2
V
Muitas vezes é preciso efetuar experimentos envolvendo objetos que são muito grandes para serem manipulados em experiências a um custo razoável.
Exemplo:
• escoamentos em represas;
• interações de ondas com píeres e quebra-mares;
• escoamentos ao redor de submarinos e navios;
• escoamentos subsônicos e supersônicos ao redor de aeronaves;
• escoamentos ao redor de estádios e edifícios;
• escoamentos através de grandes bombas e turbinas e
• escoamentos ao redor de automóveis e caminhões.
Esses escoamentos são geralmente estudados em laboratórios, em modelos reduzidos, os quais são menores que o protótipo, o aparelho em dimensão industrial.
Ver exemplo da Fig. 6.1.
FIGURA 6.1 Modelo em escalade grandes edifícios.
O que reduz substancialmente os custos quando comparados aos estudos em escala natural, permitindo a análise de várias configurações ou condições de escoamento diferentes.
Por outro lado, tem-se também escoamentos de interesse que envolvem dimensões bastante pequenas, tais como:
• o escoamento ao redor de uma pá de turbina;
• escoamento dentro de um tubo capilar;
• escoamento ao redor de um microrganismo;
• escoamento através de uma pequena válvula de controle e
• escoamento em torno e dentro de uma gotícula em queda.
Esses escoamentos demandam que o modelo seja maior que o protótipo, de modo que as observações possam ser efetuadas com um grau de acurácia aceitável.
Semelhança:
é o estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações de modelos.
Ela será apresentada em seguida à análise dimensional.
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional.
4.2. Análise Dimensional
4.2.1 Motivação
No estudo dos fenômenos que envolvem o escoamento de fluidos, tanto analítica quanto experimentalmente, existem, invariavelmente, muitos escoamentos e parâmetros geométricos envolvidos.
Com intuito de economizar tempo e dinheiro, deve ser usado um número mínimo de combinações de parâmetros.
Por exemplo, considere a queda de pressão através da válvula corrediça da Fig. 6.2.
Figura 6.2 Escoamento por uma válvula gaveta
Pode-se supor que a queda de pressão depende de parâmetros tais como:
• a velocidade média na tubulação V;
• a massa específica do fluido ;
• a viscosidade do fluido ;
• o diâmetro da tubulação d; e
• a altura da abertura h.
O resultado pode ser expresso como:
)h,d,,,V(fp
Em um estudo experimental deste problema, considere uma estratégia para encontrar a dependência da queda de pressão em função dos demais parâmetros físicos envolvidos.
Pode-se fixar todos os parâmetros, exceto a velocidade, e investigar a dependência da queda de pressão com a velocidade média.
Figura 6.3 Curvas de queda de pressão versus velocidade
a) , e h fixos b) , e d fixos
Depois o diâmetro poderia ser mudado e a experiência repetida.
Isso levaria ao conjunto de resultados mostrados na Fig. 6.3a.
As grandezas físicas da Eq. anterior, podem ser organizadas em parâmetros adimensionais (os passos necessários para tal serão apresentados em uma seção subseqüente), como segue:
Obviamente essa é uma relação muito mais simples.
Agora, pode-se fazer um experimento com h/d fixo, (h/d = 0,1), variando Vd/ (isso é conseguido simplesmente variando V), resultando em uma curva como mostrada na Figura.
dh
,dV
fV
p2
2V
p
dV
10,0d
h
Figura 6.4 Queda de pressão adimensional versus velocidade adimensional
Em seguida a quantidade h é alterada, de tal forma que h/d = 0,5 e o teste é repetido.
Finalmente o experimento inteiro é apresentado em uma figura, como na Fig. 6.4.
Este artifício reduz em muito o esforço e o custo na determinação da forma real de f(Vd/, h/d); para tanto pode ser usado apenas um tubo e uma válvula, com apenas um fluido.
Todavia, não é sempre claro quais parâmetros devem ser incluídos em uma equação.
A seleção desses parâmetros requer compreensão detalhada da física envolvida.
Deve-se ter em mente que a seleção dos parâmetros apropriados é o primeiro passo crucial na aplicação da análise dimensional.
4.2.2 Revisão de Dimensões
Antes de apresentar a técnica de análise dimensional, as dimensões das quantidades de interesse em um curso introdutório de mecânica dos fluidos serão revisadas.
Todas as quantidades têm alguma combinação de dimensões de comprimento, tempo, massa e força, que são relacionadas pela segunda lei de Newton,
amF
Em termos de dimensões,
2T
MLF
F dimensão de força; M dimensão de massa; L dimensão de comprimento; e T dimensão de tempo.
Caso se considerasse situações de escoamento mais complicadas, tais como aquelas que envolvem interações de campos eletromagnéticos, ou aquelas que envolvem gradientes de temperatura, ter-se-ia que incluir as dimensões adicionais apropriadas.
Porém, neste curso, tais fenômenos não serão apresentados, com exceção do escoamento compressível de um gás ideal; para esse caso uma equação de estado relaciona os efeitos térmicos às dimensões anteriores.
Ou seja:
TRp
em que T representa a temperatura,
]/p[]R[ TM
L
L
F 3
2
2
23
2
2
T
L
M
L
L
T/ML
em que os colchetes representam "a dimensão de".
Note que a equação de estado não introduz dimensões adicionais.
As quantidades de interesse na mecânica dos fluidos estão relacionadas com suas respectivas dimensões na Tab. 6.1.
Referência a essa tabela simplificará a escrita das dimensões das quantidades apresentadas nos problemas.
Tabela 6.1 Símbolos e dimensões usadas na Mec-Flu
Grandeza Símbolo Dimensão
Comprimento L
Tempo t T
Massa m M
Força F ML/T2
Em um determinado problema físico, a variável dependente x1 pode ser expressa em termos das variáveis independentes como:
em que n representa o número total de variáveis.
O teorema de Buckingham [Edgar Buckingham (1867-1940)], afirma que (n - m) grupos de variáveis adimensionais, chamados parâmetros , em que m é o número de dimensões básicas envolvidas nas variáveis físicas, podem ser relacionados por:
onde 1 inclui a variável dependente e os parâmetros remanescentes incluem apenas variáveis independentes
4.2.3 O teorema de Buckingham
)x,,x,x,x(fx n4321
),,,(f mn3211
O procedimento usado na aplicação do teorema é resumido como
segue:
1. Escreva a forma funcional da variável dependente em função das (n -1) variáveis independentes.
Este passo requer conhecimento do fenômeno físico a ser estudado.
Todas as variáveis que afetam a variável dependente devem ser incluídas; estas incluem variáveis geométricas, propriedades do fluido e efeitos externos que influenciam a variável a ser estudada (variáveis de controle).
Quantidades que não têm influência sobre a variável dependente não devem ser incluídas.
Também não devem ser incluídas variáveis que dependam umas das outras; por exemplo, raio e área não devem ser ambos incluídas.
2. Identificar as m variáveis repetitivas, isto é, variáveis que serão combinadas com cada variável restante para formar os parâmetros .
As variáveis repetitivas selecionadas das variáveis independentes devem incluir todas as dimensões básicas, mas não devem formar um parâmetro sozinhas.
Um ângulo não pode ser uma variável repetitiva, já que não tem dimensões, e forma um parâmetro sozinho.
3. Formar os parâmetros combinando as variáveis repetitivas com cada uma das variáveis remanescentes.
4. Escrever a forma funcional dos (n - m) parâmetros adimensionais.
O passo 3 pode ser realizado por meio de um procedimento algébrico relativamente simples, o qual será ilustrado com um exemplo.
Suponha que se deseja combinar as variáveis tensão superficial , velocidade V, massa específica e o comprimento em um parâmetro , isso pode ser escrito como:
O objetivo é determinar a, b, c e d de forma que o monômio seja adimensional.
Em termos de dimensões, fica:
dcbaV
dc
3
ba
2000 L
L
MTL
T
MTLM
Ou,
ba2dc3bca000 TLMTLM
Igualando os expoentes,
ba20:T
dc3b0:L
ca0:M
As três equações algébricas são resolvidas, fornecendo :
cdc2bca
De modo que:
c2V
dc
3
ba
2000 L
L
MTL
T
MTLM
Um parâmetro adimensional elevado a qualquer potência permanece adimensional; conseqüentemente pode-se escolher para “c”, qualquer número, desde que seja diferente de zero.
Geralmente é escolhido como c = 1, dependendo da proporção desejada.
Selecionando c = 1, o parâmetro resulta:
2V
Observação final:
caso resulte em apenas um parâmetro , a forma funcional afirma que o parâmetro deve ser uma constante, já que o lado direito da equação não tem parâmetros adicionais.
Assim, o resultado seria uma expressão incluindo uma constante arbitrária, a qual poderia ser determinada por meio de análise experimental.
Exemplo 6.1
A força de arrasto FA sobre um cilindro de diâmetro d e comprimento deve, ser estudada. Que forma funcional, relaciona as variáveis adimensionais se um fluido com velocidade V escoa na direção normal à do cilindro?
Solução:
Em primeiro lugar as variáveis que têm alguma influência sobre a força de arrasto devem ser identificadas.
Se variáveis que não influenciam a força de arrasto são incluídas, irão resultar parâmetros adicionais, que experimentos demonstrariam não serem importantes.
Por outro lado, se variáveis que influenciem a força de arrasto não forem incluídas, os experimentos também revelarão o problema.
Experiência, é essencial na escolha das variáveis corretas.
Neste exemplo, serão incluídas como variáveis importantes:
V velocidade da corrente livre;
viscosidade;
massa específica do fluido;
d diâmetro; e
comprimento do cilindro.
Assim, uma relação funcional envolvendo as grandezas físicas pode ser escrita.
),,V,,d(fFA
Observando esta relação, nota-se que:
n = 6 variáveis físicas envolvidas, e
m = 3 dimensões incluídas.
Portanto resultarão:
m – n = 6 – 3 = 3 parâmetros .
n = 3
As grandezas de base devem ser escolhidas entre as demais, seguindo a seguinte orientação:
A variável dependente não pode ser tomada como grandeza de base, pois se o for, irá aparecer em todos os s.
É interessante que uma variável envolvendo uma dimensão geométrica o seja (escala geométrica).
A velocidade é importante em vista das escalas cinemáticas.
Outra grandeza importante é a massa específica.
3 variáveis repetitivas (presentes em todos os parâmetros)
ou grandezas de base, serão necessárias.
Com estas observações, tem-se:
3 grandezas de base
Solução pelo método expedito.
Neste método as dimensões devem ser explicitadas em função das grandezas de base.
Assim:
L = d
T = dV-1
M = d3
[d] = [L]
[V] = [LT-1]
[] = [ML-3]
Agora, cada uma das demais grandezas, dará origem a um parâmetro .
A variável dependente dará origem ao parâmetro dependente; para tanto basta verificar sua dimensão, substituindo as dimensões pelas grandezas de base.
Então:
FA 1
[FA] = [MLT-2]
FA = d3d(d-2V2) = d2V2
Portanto, a força de arrasto têm a mesma dimensão do produto de variáveis - d2V2.
Assim, o cociente resultará adimensional.
22A
1 Vd
F
L = d
T = dV-1
M = d3
3
[] = [ML-1T-1]
= d3d-1(d-1V) = dV
Os demais parâmetros são obtidos de modo semelhante:
2
[] = [L]
= d
d2
Vd3
Uma vez que elevar uma parâmetro adimensional a um expoente qualquer, não altera sua condição adimensional, é interessante elevar 3 à -1.
Assim:
ReVd
)(' 133
Finalmente chega-se a seguinte relação funcional.
)',(f 3211 Re),d(f
Vd
F122
A
ou:
Exemplo 6.2
A elevação de um líquido em um tubo capilar será estudada. Foi antecipado que a elevação h dependerá da tensão superficial , do diâmetro do tubo d, do peso específico do líquido e do ângulo de anexação entre o líquido e o tubo. Escreva uma forma funcional das variáveis adimensionais.
Solução:
A expressão que relaciona as variáveis físicas pode ser escrita.
),,d,(fh
n = 5Portanto:
m = 3
Assim, n – m = 5 – 3 = 2 parâmetros .
Contudo, 2 parâmetros são obtidos por simples observação:
d
h1
2
relação entre grandezas de mesma dimensão, e
o ângulo é adimensional.
Como ainda restam duas variáveis físicas independentes, devemos ter ao menos mais um parâmetro .
Analisando as dimensões, vem:
]TM[]LLTM[][ 22
]LTM[]LTLM[][ 2232
A dimensão destas duas grandezas difere apenas no comprimento, presente apenas no peso específico.
Considerando o diâmetro como comprimento característico, vem:
Observa-se que o peso específico tem a mesma dimensão do produto:
]L[]d[
]d[]LTM[][ 222
De modo que:
23 d
E a solução do problema será dado pela relação funcional
),d
(fd
h21
4.2.4. Parâmetros Adimensionais Comuns
Considere uma relação relativamente geral entre a queda da pressão p e um comprimento característico , uma velocidade característica V, a massa específica , a viscosidade , a gravidade g, a tensão superficial , a velocidade do som c e a velocidade angular , escrita como:
),,c,g,,,V,(fp
Observe que:
n = 9
m = 39 – 3 = 6 s.
m = 3 3 grandezas de base
V
[] = [L] L =
[] = [ML-3] M = 3
[V] = [LT-1] T = LV-1
]TLM[]p[ 21 22213 VVp
]TLM[][ 11 VV113
1) 21 V
p
2)V2
]TL[]g[ 23)23 V
g2122 VVg
]TL[]c[ 14)V
c4 VVc 1
]T[][ 15)V5
V1
]TM[][ 26)
26 V2223 VV
EulerdeNúmeroV
pEu
2
ynoldsRedeNúmeroV
Re
FroudedeNúmerog
VFr
MachdeNúmeroc
VM
StrouhaldeNúmeroV
St
WeberdeNúmeroV
We2
21 V
p
V2
23 V
g
V
c4
V5
26 V
O significado físico de cada parâmetro pode ser determinado observando que cada número adimensional pode ser escrito como a relação de duas forças.
Observa-se que:
2V
pEu
inérciadeforça
pressãodeforçaEu
V
Reacosvisforça
inérciadeforçaRe
g
VFr
2
22
g
V
A
A
V
p2
V
VV
gravidadeadforça
inérciadeforçaFr
c
VM
2
2
c
V
c
V
ilidadecompressíbedforça
inérciadeforçaM
V
St
VV 2
3
inérciadeforça
centrífugaforçaSt
2VWe
2V
erfivialsuptensãoedforça
inérciadeforçaWe
Pensar nos parâmetros adimensionais em termos de relações de forças permite antecipar quais parâmetros são significativos em um dado escoamento.
Se forças viscosas são importantes, o número de Reynolds é um parâmetro adimensional significativo.
Por outro lado, se forças de tensão superficial contribuem para alterar o escoamento, como na formação de gotas ou no escoamento em tubos capilares, espera-se que o número de Weber seja importante.
Análises similares podem ser aplicadas a outras situações de escoamentos de fluidos.
A Tab. 6.2 resume esta seção.
Parâmetros Situações importantes
EulerEscoamento no quais a queda de pressão é importante
ReynoldsEscoamentos que são influenciados por efeitos viscosos: esc. internos; esc. na CL
FroudeEscoamentos influenciados pela gravidade: principalmente esc. de superfície livre
MachA compressibilidade é importante nesses escoamento, especialmente se V > 0,30c
StrouhalEscoamentos com uma componente “não permanente” que se repete periodicamente
WeberA tensão superficial influencia o escoamento; um esc. com uma interface pode ser desse tipo
4.3. Semelhança
4.3.1 Informação geral
Como afirmado na introdução, semelhança é o estudo da previsão das condições de um protótipo a partir das observações de modelos.
Quando soluções, sejam elas analíticas ou numéricas não são aplicáveis, ou quando os cálculos são baseados em um esquema simplificado com incertezas, é aconselhável efetuar testes em modelo, caso os ensaios em escala natural não sejam praticáveis.
Se for decidido que deve ser realizado um estudo em um modelo, é necessário desenvolver os meios pelos quais uma quantidade medida no modelo possa ser usada para prever as quantidades associadas no protótipo.
Pode-se desenvolver tais meios se semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo for estabelecida.
Isto é, se as forças que agem nas massas correspondentes do escoamento do modelo e do protótipo estão na mesma razão em toda a extensão dos campos de escoamento.
Suponha que as forças inerciais, forças de pressão, forças viscosas e forças de gravidade estejam presentes; então a semelhança requer que, nos pontos correspondentes dos campos de escoamento,
.const)F(
)F(
)F(
)F(
)F(
)F(
)F(
)F(
pg
mg
p
m
pp
mp
pI
mI
Essas relações podem ser rearranjadas, tornando:
pg
I
mg
I
p
I
m
I
pp
I
mp
I
F
F
F
F;
F
F
F
F;
F
F
F
F
As quais, no item anterior, mostraram ser:
pmpmpm FrFr;ReRe;EuEu
Se as forças acima forem as únicas presentes, pode-se escrever:
)F,F,F(fF gpI
Reconhecendo que há apenas uma dimensão básica, ou seja, força, a análise dimensional permite que se escreva a equação anterior em termos de razões de forças ou seja:
)Fr(Re,fEu
Portanto, pode-se concluir que se o número de Reynolds e o número de Froude são os mesmos no modelo e no protótipo, o número de Euler também deve ser o mesmo.
Assim, a semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo é garantida, igualando o número de Reynolds e o número de Froude do modelo aos do protótipo, respectivamente .
Por outro lado, pode-se escrever a razão da força inercial como:
.constma
ma
)F(
)F(
pp
mm
pI
mI
mostrando que a razão de acelerações entre pontos correspondentes no modelo e no protótipo é uma constante, contanto que a relação de massa dos correspondentes elementos de fluido seja uma constante.
A razão de acelerações pode ser escrita como:
.const/V
/V
a
a
p2p
m2m
p
m
O que mostra que a razão de velocidades entre pontos correspondentes é uma constante, contanto que a razão de comprimentos também o seja.
O fato de a razão de velocidades ser uma constante entre todos os pontos correspondentes dos campos de escoamento, constitui o enunciado da semelhança cinemática.
A semelhança cinemática impõe um padrão de linhas de corrente ao redor do modelo igual àquele em torno do protótipo, exceto por um fator de escala.
A razão de comprimento ser constante entre todos os pontos correspondentes dos campos do escoamento é uma exigência da semelhança geométrica.
A semelhança geométrica impõe que o modelo tenha a mesma forma que o protótipo.
Para garantir semelhança completa entre o modelo e o protótipo é necessário que:
• A semelhança geométrica seja satisfeita.
• A razão de massa dos elementos correspondentes do fluido seja uma constante.
• Os parâmetros adimensionais apropriados sejam iguais.
Supondo que haja completa semelhança entre o modelo e o protótipo, pode-se prever as quantidades de interesse em um protótipo a partir de ensaios no modelo.
Medindo uma força de arrasto (FA), em um modelo e de modo a prever a força de arrasto correspondente no protótipo, pode-se igualar a razão das forças de arrasto às relações de forças de inércia, como:
2p
2pp
2m
2mm
pI
mI
pA
mA
V
V
)F(
)F(
)F(
)F(
Caso se queira prever a demanda de potência do protótipo a partir da potência fornecida ao modelo, deve-se lembrar que potência é força vezes velocidade, de modo que:
p2p
2pp
m2m
2mm
ppI
mmI
p
m
VV
VV
V)F(
V)F(
W
W
Portanto é possível prever uma quantidade do protótipo escolhendo o fluido modelo (que fornece m/p), a razão de escala (que fornece lm/lp) e o número adimensional apropriado (que fornece Vm/Vp).
4.3.2 Escoamentos confinados
Um escoamento confinado é um escoamento que não tem superfícies livres (uma superfície gás-líquido) ou interfaces (dois líquidos inamissíveis formando uma interface).
É colocado a mover-se dentro de uma região específica; tais escoamentos incluem escoamentos externos ao redor de objetos, como aeronaves, edifícios e submarinos, bem como escoamentos internos em tubulações e condutos.
A gravidade não influencia os padrões do escoamento, em escoamentos confinados, ou seja, se a gravidade pudesse sofrer mudanças em magnitude, o padrão de escoamento e as quantidades associadas ao escoamento não mudariam.
O efeito dominante em escoamentos confinados incompressíveis (todos os escoamentos líquidos e gasosos nos quais M < 0,3), é o da viscosidade.
A tensão superficial, obviamente, não é um fator importante como o seria na formação de uma bolha e, para escoamentos permanentes, não haveria efeitos não estacionários devido a oscilações no escoamento.
As três forças relevantes são:
Assim, em escoamentos confinados, a semelhança dinâmica é alcançada quando as relações de forças viscosas, forças inerciais e forças de pressão, entre o modelo e o protótipo, forem as mesmas.
O que leva a concluir que Eu = f (Re).
Ou seja, em um escoamento incompressível confinado o número de Reynolds é o parâmetro adimensional predominante.
Semelhança de Reynolds.
Se os efeitos de compressibilidade são importantes, o número de Mach também o é.
forças de pressão;
forças de inércia; e
forças viscosas.
Exemplo 6.3
Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1,5 m3/s de água através de um rotor, de 40 cm de diâmetro com uma elevação de pressão de 400 kPa. Um modelo com um rotor, de 8 cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada e que elevação de pressão é esperada? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser, bombeada pelo protótipo.
Solução:
Em problema envolvendo escoamento incompressível confinado, a semelhança dinâmica aproximada é conseguida impondo número de Reynolds igual para o modelo e o protótipo. Assim,
p
pp
m
mmdVdV
As temperaturas são iguais, de modo que, m = p, e:
508,0
40,0
d
d
V
V
m
p
p
m
Conhecida a relação de velocidades, a relação de vazões pode ser obtida, a partir da equação da continuidade.
5
1
5
15
dV
dV
Q
Q2
2pp
2mm
p
m
E a vazão no modelo,
s/m30,05
50,1
5
QQ 3p
m
A pressão no modelo é obtida a partir do número de Euler:
p2
m2 V
p
V
p
Portanto, a pressão para o modelo, será:
.kPa0001051400V
Vpp 2
2p
2m
p
mpm
Verificou-se que a velocidade no modelo é igual à velocidade no protótipo multiplicado pela razão de comprimentos.
E que a pressão no modelo é igual à pressão do protótipo multiplicado pela razão de comprimentos ao quadrado.
Se a razão dos comprimentos fosse muito grande, é óbvio que seria muito difícil manter a equivalência do número de Reynolds.
Essa observação será discutida, com mais detalhes, mais à frente.
Um escoamento é dito de superfície livre quando parte do contorno envolve uma condição de pressão constante (superfície livre).
Inclui escoamentos em canais e represas, como mostra a Fig. 6.5, escoamentos em portos, escoamentos envolvendo dois fluidos separados por uma interface, escoamentos ao redor de objetos flutuantes com ondas e em volta de objetos submersos com a presença de cavitação.
4.3.3 Escoamentos de superfície livre
Figura 6.5 Modelo da represa de Bonneville no rio Colúmbia
Em todos esses escoamentos, a localização da superfície livre e a velocidade na superfície livre são desconhecidas; a pressão é que deve ser a mesma na superfície.
Em escoamentos de superfície livre, a gravidade controla a localização e o movimento da superfície.
Nos escoamentos de superfície livre, uma vez que as forças da gravidade são das mais relevantes, o número de Froude passa a ser um dos principais parâmetros.
Se considerarmos escoamentos que não exibem movimentos periódicos, que têm efeitos de tensão superficial e de compressibilidade desprezíveis, podemos ignorar a influência de St, M e We.
Isso deixa apenas os efeitos viscosos a serem considerados.
Existem muitos escoamentos de superfície livre nos quais os efeitos viscosos são significativos.
Considerando que na maioria dos estudos em modelos a água é o único fluido econômico a ser usado e, sendo a água o fluido do protótipo, resulta para semelhança de Froude a seguinte relação.
pp
2p
mm
2m
gl
V
gl
V
2/1
p
m
p
m
V
V
onde se supôs a aceleração da gravidade é a mesma no modelo e protótipo.
No caso da semelhança de Reynolds (Rem = Rep) e com o mesmo fluido no modelo e protótipo, tem-se:
p
pp
m
mmVV
m
p
p
m
V
V
Há, portanto, um conflito.
Caso o mesmo fluido seja usado, tanto no modelo quanto no protótipo, não será possível satisfazer os critérios de semelhança de Froude e de semelhança de Reynolds, simultaneamente.
Havendo necessidade de que ambos os critérios sejam obedecidos, não será possível usar o mesmo fluido para o modelo e para o protótipo (m p).
Neste caso, o fluido a ser utilizado no modelo, deve ser escolhido com uma viscosidade m = p(m/p)3/2.
Decorrente da condição de Froude e Reynolds constantes.
Provavelmente não será possível conseguir um fluido com essa viscosidade ou, pelo menos, não será prático.
Portanto, não sendo possível estabelecer simultaneamente, semelhança de Froude e semelhança de Reynolds em escoamentos de superfície livre, deve-se estabelecer semelhança de Froude, sendo os efeitos viscosos determinados por outras técnicas.
Por exemplo, de modo a prever o arrasto em um navio, o arrasto total sobre o modelo é medido, em seguida o arrasto viscoso é determinado analiticamente e subtraído do arrasto total, determinando o arrasto devido à resistência das ondas.
Por exemplo, de modo a prever o arrasto em um navio, o arrasto total sobre o modelo é medido.
O arrasto viscoso é obtido analiticamente e subtraído do arrasto total, determinando o arrasto devido à resistência das ondas.
O arrasto associado à resistência das ondas é transposto para o protótipo, considerando semelhança de Froude.
A seguir o arrasto viscoso é calculado para o protótipo e somado ao arrasto devido à resistência das ondas, chegando ao arrasto total para o navio.
Exemplo 6.4
Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 30 N é medido no modelo a uma velocidade de 2,50 m/s. A que velocidade isso corresponde no protótipo e que arrasto de onda é esperado para o protótipo? Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no modelo e no protótipo.
Solução:
Trata-se do estudo de modelo de um barco, com efeitos viscosos desprezíveis. Neste caso, para se obter semelhança dinâmica aproximada, basta impor Froude igual no modelo e protótipo (semelhança de Froude).
pm FrFrg
V
g
V
p
p
m
m
p
m
p
m
V
V
Para a mesma aceleração da gravidade, a velocidade no protótipo é determinada.
s/m18,112050,2VVm
pmp
As forças de inércia são sempre de primeira importância (nunca são negligenciadas). Relacionando com as forças de arrasto, vem:
2p
2pp
2m
2mm
pA
mA
V
V
)F(
)F(
3
p
m
3
1
2p
2m
p
m
N0002402030)F()F( 33mApA
Ou,
kN240)F( pA
Em um escoamento confinado, no qual o número de Reynolds é o parâmetro adimensional que garante a semelhança dinâmica, verifica-se que, se o mesmo fluido for usado no modelo e no protótipo, a velocidade no modelo em estudo será Vm = Vpp/m.
Portanto, a velocidade no modelo é a velocidade no protótipo multiplicada pela escala geométrica ( = p/m).
Com Isso, em muitas das vezes, a velocidade no modelo assume valores muito elevados, tornando proibitivo o estudo.
Por outro lado, as pressões encontradas no estudo destes modelos tornam-se grandes, como mostrado no Exemplo 6.3, afetando, inclusive, o consumo de energia.
Por causa desses problemas o número de Reynolds pode não ser alcançado em estudos envolvendo números de Reynolds grandes.
4.3.4 Escoamentos com número de Reynolds alto
Existem, porém, algumas situações nas quais é necessário impor ao modelo, o mesmo número de Reynolds observado no protótipo.
Por exemplo, considere uma típica curva do coeficiente de arrasto CA versus o número de Reynolds, como a da Fig. 6.6.
Figura 6.6 Coeficiente de arrasto versus número de Reynolds
Re103 104 105
O coeficiente de arrasto é definido por:
AV
FC
221
AA
inérciadeForça
arrastodeForça
Observa-se que com um número de Reynolds suficientemente alto, entre 103 e 105, o escoamento é insensível a mudanças do número de Reynolds; note que o coeficiente de arrasto é essencialmente constante e independente de Re.
Neste caso a semelhança de Reynolds é garantida, desde Re = 103 e até Re = 105, independentemente do valor de Reynolds.
Assim, se Rep = 105, é apenas necessário que 103 < Rem < 105 para que os efeitos viscosos sejam equivalentes no modelo e protótipo.
Este fato permite, muitas vezes, que outras condições de semelhança sejam mantidas; tais como semelhança de Froude ou semelhança de Mach.
Existem, porém, escoamentos com número de Reynolds alto nos quais os efeitos de compressibilidade e de superfície livre são desprezíveis, tais que nem o número de Froude nem o número de Mach são importantes.
Exemplos incluem escoamentos ao redor de automóveis, grandes chaminés e dirigíveis.
Para tais escoamentos deve-se apenas garantir que o número de Reynolds esteja dentro do intervalo no qual o coeficiente de arrasto é constante.
Deve-se notar que, para números de Reynolds relativamente grandes (Re > 5·105 na Fig. 6.6), o escoamento também pode ficar independente do número de Reynolds.
Se este é o caso, é apenas necessário que Rem seja grande o suficiente.
Exemplo 6.5
Um modelo em escala de 1:10 de um automóvel é usado para medir o arrasto sobre o design proposto. Ele deve simular o protótipo a uma velocidade de 90 km/h. Que velocidade deve ser usada no túnel de vento se os números de Reynolds são igualados? Para essa condição, qual é a razão das forças de arrasto?
Solução:
Para o mesmo fluido escoando tanto no modelo como no protótipo e impondo a condição de semelhança de Reynolds (Re = Cte.), vem:
pm ReRep
pp
m
mmVV
h/km9001090VVm
ppm
Essa velocidade introduziria, naturalmente, efeitos de compressibilidade; efeitos esses que não estão presentes no protótipo.
Portanto, o escoamento no modelo não seria apropriado.
Caso essa velocidade fosse usada no modelo, a razão da força de arrasto seria:
1V
V
)F(
)F(2m
2p
2p
2m
2m
2mm
2p
2pp
mA
pA
Observa-se assim, que quando o mesmo fluido é usado no modelo e protótipo e se impõe semelhança de Reynolds, a força de arrasto sobre o modelo é a mesma que a força de arrasto no protótipo.
Exemplo 6.6
No Exemplo 6.5, caso em que os números de Reynolds foram igualados, observou-se que a velocidade no modelo em estudo estava no regime de escoamento compressível (ou seja, M > 0,3 ou Vm > 360 km/h). Para conduzir um estudo de modelo aceitável, pode-se usar uma velocidade de 90 km/h em um modelo com comprimento característico de 10 cm? Suponha que o coeficiente de arrasto ( , em que A é a área projetada) é independente de Re, para Re > 105. Nestas condições, que força de arrasto no protótipo corresponde a uma força de arrasto de 1,2 N medida no modelo?
AV/FC 221
AA
Solução:
O estudo em túnel de vento proposto para o modelo deve ser conduzido com Vm =90 km/h e m = 0,1 m.
Usando = 1,6 x,l0-5 m2/s, o número de Reynolds será de
55
m
mmm 1056,1
1060,1
10,03600100090
VRe
O número de Reynolds é maior que 105, portanto, a velocidade 90 km/h é alta o suficiente para garantir semelhança entre o modelo e o protótipo.
A força de arrasto no protótipo viajando a 90 km/h, que corresponde a 1,2 N no modelo, é encontrada a partir de
.N1201020,1V
V)F()F( 2
2
m
p
2m
2p
m
pmApA
2m
2mm
2p
2pp
mA
pA
V
V
)F(
)F(
= 1 = 1
Neste exemplo foi suposto que o coeficiente de arrasto é independente de Re, para Re > 105 (CA = Cte.)
Caso o coeficiente de arrasto continuasse variando, para valores de Re > 105 (o que seria evidente a partir dos dados experimentais), a hipótese de CA = Cte. não seria válida.
A análise experimental subseqüente, teria de ser modificada de modo a atender este fato relevante.
Re103 104 105
Na maioria das situações de escoamentos compressíveis, o número de Reynolds é tão grande (vide Fig. 6.6) que não é um parâmetro significativo.
4.3.5 Escoamentos compressíveis
Figura 6.6 Coeficiente de arrasto versus número de Reynolds
Os efeitos da compressibilidade levam ao número de Mach a ser o principal parâmetro adimensional para estudos de modelos.
Assim, o estudo de um modelo particular, requer
pm MM p
p
m
m
c
V
c
Vou
Se o estudo do modelo é feito em túnel de vento e o fluido do protótipo é o ar, pode-se assumir que cm = cp, se a temperatura é a mesma em ambos os escoamentos.
Para tal caso a velocidade no estudo do modelo é igual à velocidade associada ao protótipo.
E claro que, se as velocidades do som são diferentes, a razão de velocidades será diferente da unidade.
Exemplo 6.7
A medida da elevação da pressão desde a corrente livre e até o nariz de uma seção da fuselagem de uma aeronave é 34 kPa, em um túnel de vento a 20º C com velocidade do vento de 900 km/h. Se o teste deve simular o vôo a uma altitude de 12 km, qual é a velocidade do protótipo e a esperada elevação da pressão no nariz?
Solução:
Do apêndice B, tem-se:
Ar a 20º C, logo m = 1,204 kg/m3.
Ar a 12 km de altitude, logo Tp = 216,7 K e p = 0,3116 kg/m3.
Considerando semelhança de Mach, vem:
pm MM .h/kn0,77427320
7,216900
TRk
TRkVV
m
pmp
O correspondente aumento de pressão no nariz do protótipo é obtido à partir do número de Euler.
2pp
p
2mm
m
V
p
V
p
.kPa514,6900
774
204,1
3119,034
V
Vpp
2
2m
2p
m
pmp
Explicitando a pressão no protótipo,
Em muitos escoamentos tem-se regiões nas quais ocorrem movimentos periódicos.
Tais escoamentos incluem o movimento periódico do fluido (na Seção 8.3.2, isso é chamado vórtice de fuga) que ocorre quando um fluido escoa passando por um objeto cilíndrico tal como uma ponte, uma torre de TV, um cabo ou um edifício alto, um fluido passando por uma turbina eólica e o escoamento através de máquinas de fluxo (turbomáquinas).
4.3.6 Escoamentos periódicos
Em escoamentos como esses é necessário igualar os números de Strouhal, que podem ser escrito como
pp
p
mm
mVV
de modo que o movimento periódico seja modelado apropriadamente.
Além do número de Strouhal, podem existir parâmetros adimensionais adicionais que devem ser equacionados; em escoamentos viscosos, o número de Reynolds, em escoamentos de superfícies livres, o número de Froude, e, em escoamentos compressíveis, o número de Mach.
Exemplo 6.8
Uma grande turbina de vento, projetada para operar a 50 km/h, deve ser testada em um laboratório, construindo um modelo em escala 1:15. Que velocidade deve ser usada no túnel de vento, que velocidade angular deve ser usada para simular uma velocidade do protótipo de 5 rpm e que potência de saída é esperada do modelo; se o protótipo é projetado para fornecer uma potência de saída de 500 kW?
Dados
V np Pp
50 15 5 500 1,6010-5
km/h rpm kW m/s2
13,89
m/s
Solução:
A velocidade do ar no túnel de vento deve ser uma velocidade acima da necessária para fornecer um número de Reynolds suficientemente grande (105).
Assim, fixando para o modelo a mesma velocidade com a qual o protótipo vai operar, ou seja, 50 km/h, pode-se calcular o comprimento característico mínimo, para o modelo, que um número de Reynolds de 105 exigiria.
VRe .m115,0
89,13
1060,110 55
m
Obviamente que, em um túnel de vento razoavelmente grande, pode-se manter um comprimento característico, ou seja, o comprimento da pá, dessa ordem de grandeza.
A velocidade angular é encontrada igualando os números de Strouhal. Assim,
pp
p
mm
mVV
.rpm75155
V
Vnn
m
p
p
mpm
A potência do modelo é encontrada considerando que potência é força vezes velocidade, sendo a força dada pela pressão dinâmica vezes a área.
2p
m2p
2m
2pp
2mm
p
m 1
V
V
V
V
P
P
.kW222,215
5001PP
22pm
