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4.4 Banda Lateral Suprimida
Em modulação AM ocorre um desperdício de potência de transmissão (ST) e de largura de banda (BT).
A supressão da portadora reduz a potência de transmissão, e, a supressão total ou parcial de uma das bandas laterais reduz a largura de banda de transmissão, dando origem à modulação com banda lateral única (SSB – Single SideBand) e à modulação com banda lateral vestigial (VSB – Vestigial SideBand).
Aplicações:
Operadores de radio amador (PY – 3 a 30 MHz), faixa do cidadão (PX – 26.965 a 27.605 MHz), serviços militares, marítimos e aeronáuticos, serviços de informações meteorológicas.
SSB também é usado por linhas telefônicas de longa distância, como parte de uma técnica conhecida como multiplexação por divisão de frequência (FDM – Frequency-Division Multiplexing).
Sinais e Espectro SSB
As bandas laterais superior e inferior de DSB estão relacionadas pela simetria em torno da frequência portadora, e então, cada uma delas contém toda a informação da mensagem.
Portanto, a largura de banda de transmissão pode ser reduzida à metade, se uma banda lateral for suprimida em companhia de sua portadora.
Conceitualmente, SSB pode ser constituída a partir de sinal DSB, gerado a partir de um modulador balanceado, e passando-o através de um filtro de banda lateral que suprime uma das bandas.
(ver capítulo 7)
USSB (upper) = o filtro remove a banda lateral inferior.
LSSB (lower) = o filtro remove a banda lateral superior.
O sinal resultante, em ambos os casos, possui largura de banda e potência transmitidas iguais a:
,
SSB pode ser constituída a partir de sinal DSB, gerado a partir de um modulador balanceado, e passando-o através de um filtro de banda lateral que suprime uma das bandas.
Embora SSB seja facilmente visualizada no domínio da frequência, a descrição no domínio do tempo não é tão óbvia, a não ser para o caso especial da modulação de tom.
Neste caso, retornando ao espectro DSB (Fig. 4.2-4a), ou seja:
...observa-se que, removendo uma linha lateral, deixa-se apenas a outra linha:
(+) → USSB(−) → LSSB
Portanto, se o sinal de modulação for um tom na frequência ωm, a modulação SSB simplesmente translada a frequência desse tom, para mais ou para menos, de ωc.
No modulador, entra uma cossenoide (de baixa frequência, fm ) e sai outra cossenoide (de alta frequência, fc ± fm ) . (fm ∼ kHz, fc ∼ MHz)
Para analisar SSB com mensagens arbitrárias x(t), observa-se que o filtro de banda lateral na Fig. 4.4-1a é um sistema passa banda, com uma entrada passa banda DSB:
,
e que a saída passa banda SSB será:
A expressão para xc(t) será obtida aplicando-se o método do equivalente passa baixa.
Como xbp(t) não tem componente em quadratura, o sinal de entrada entrada equivalente passa baixa é definido conforme (4.1-11a), ou seja:
e assim
Uma vez estabelecido o sinal de entrada equivalente passa baixa, torna-se necessário estabelecer o sistema equivalente passa-baixa.
ttxAtx ccbp ωcos)()( =
??)()( == txty cbp
↔
xbp(t)xc(t)
ttvttvtv cqcibp ωω sin)(cos)()( −=Obs: , representação portadora-quadratura de sinal passa-banda.
vi(t)
Figure 4.4-1 Single-sidebandmodulation: (a) modulator;
(continua...)
onde:
A resposta em frequência correspondente para filtro LSSB é plotada na figura abaixo:
onde:
Ambas as respostas em frequência passa baixas podem ser representadas por:
(para USSB)
(para LSSB)
f
Resposta em frequência do filtro passa banda para USSB e seu equivalente passa baixa:
(continua...)
↔
Multiplicando-se por gera-se o espectro equivalente passa baixa, USSB e/ou LSSB:
Relembra-se que:
sendo a transformada de Hilbert de x(t).
Portanto,
e daí:
Finalmente, executa-se a transformação de passa baixa para passa banda:
que constitui a expressão procurada, a qual tem a forma da descrição portadora-quadratura.
As expressões em fase e em quadratura são: e
e a envoltória SSB é:
)( fH p )( fX p
_____________________________________
)(ˆ)}(ˆ{)()sgn( fXtxfXfj =ℑ=−
)(ˆ tx
)(ˆ)}(){(sgn1 txjfXf =ℑ−
})(Re{2)()( tjpbpc
cetytytx ω==
sinal:
sistema:
multiplicar membro a membro por j
Obs: 2/122 )]()([)( tvtvtA qi +=
...conhecido como “analytic signal” de x(t)
Exemplo 4.4-1: Modulação de pulso com SSB
Sempre que o sinal modulado em SSB apresenta transições abruptas, a transformada de Hilbertcontém picos agudos.
Como exemplo, recorde-se do caso x(t)=u(t)−u(t−τ) e sua transformada de Hilbert (Fig. 3.5-2b):
Picos, então, aparecem na envoltória A(t), dando origem ao efeito conhecido como “horns”.
A envoltória SSB exibe picos infinitos em t=0 e t=τ, os instantes quando x(t) tem descontinuidades do tipo degrau.
O transmissor não pode manipular a potência do pico de envoltória necessária para esses horns infinitos.
Nota-se, também, os alargamentos (smears) em A(t), antes e após cada pico.
Portanto, SSB não é apropriada para transmissão por pulsos, dados digitais ou aplicações similares.#
)(ˆ tx
(Figura 3.5-2b)
SSB para sinais com portadora não suprimida:
Pode-se demonstrar que, se em vez de DSB, x(t) for modulado em AM com portadora [trocar x(t) por1+μx(t)] , o sinal modulado em SSB assim gerado torna-se:
no caso de USSB. (Mostrar isto!)
Para geração de LSSB, deve-se trocar o sinal de − por + na expressão acima.
Neste caso (o de AM), contudo, embora a banda de passagem seja reduzida à metade, o consumo de potência pela portadora não modulada ainda é elevado.
}sin)(ˆcos)](1{[21)( ttxttxAtx cccc ωμωμ −+=
_____________________________________________
Obs: A = 0^
Geração de SSB
A geração de SSB descrita anteriormente (a partir de DSB) emprega um filtro de banda lateral ideal.
Contudo, na prática, o filtro passa banda permitirá a passagem de uma porção de banda lateral indesejável ou atenuará uma parte desejável.
Por sorte, muitos sinais de modulação de interesse prático têm pouco ou nenhum conteúdo de baixa frequência, como o mostrado na Fig. 4.4-4a.
Estes espectros são típicos de sinais de áudio (voz e música), por exemplo.
Tipicamente, 300 Hz e W varia entre 4 a 5 kHz. =f(continua...)
lacuna
Método da filtragem da banda lateral
Após a translação por um modulador balanceado, a lacuna em torno da frequência zero aparece como um espaço vazio em torno da frequência da portadora, ao longo do qual a região de transição do filtro de banda lateral prático pode ser ajustada.
fc
Filtro prático, fco ≈ fc+β
Sinal em banda base
Exemplo: SSB com sinal de voz
O filtro passa banda deve ter um fator de qualidade (Q = f0/B−3dB, grande) e um fator de forma (FF = B−60dB−B−6dB, pequeno) adequados para atuar com sua região de transição totalmente dentro do intervalo que separa as duas bandas laterais (≈600 Hz).
X(f)
XDSB(f)
XSSB(f)
fc−4 fc fc+4 f , kHz
600 Hz
fc−0.3 fc+0.3
.3 4 f , kHz
fc f , kHz
fc−0.3 fc+0.3
filtro passa banda
(espectro da mensagem de voz)
(espectro DSB)
(espectro SSB)
Q=f0/B~30M/4k=75000
... Isto não é uma tarefa simples.
Regra prática: a largura 2β da região de transição de um filtro prático não consegue ser muito menor que 1% da frequência nominal de corte, fco.
Isto impõe um limite para a frequência de corte:
Exemplo: Filtragem SSB de sinal de voz.
De 300 Hz fco ≈ fc + ≅ fc , e, como 2β = 2 β = .
Assim, de , tem-se fc ≤ 200 × 300 = 60 kHz.
Ou seja, para uma mensagem de voz poder gerar um SSB através de um filtro prático, a portadora do sinal modulado deveria ser menor que 60 kHz, uma frequência muito baixa.
Deve ser lembrado que as principais aplicações de SSB estão em:
a) Rádio-amadorismo (PY): 3 MHz a 30 MHz.
b) Faixa do cidadão (PX): 26.96 a 27.61 MHz. #
ββ 200100
12 ≤→≥ coco ff
f≅f f
β200≤cof ff c 200≤
co = cutoffc = carrier
2β
fc− fco= fc+ ffffc
f
_________________________________________________________
filtro LC comum
É muito difícil conseguir uma largura de transição muito pequena com uma portadora muito alta.
observação deduzida de experimentos práticos
Portanto, como 2β é restringido pela largura da região de vazio espectral perto da origem, e, fcodeveria ser aproximadamente igual a fc, pode não ser possível obter uma frequência portadora suficientemente elevada para um dado espectro de mensagem.
Nesses casos, o processo de modulação pode ser realizado em dois (ou mais) passos usando o sistema abaixo:
O símbolo ⊗ corresponde a modulador balanceado, enquanto BPF-1 e BPF-2 são filtros passa banda.
Recomenda-se que BPF-1 seja um filtro mecânico: Q ≈ 10000, impedância ≈ 50 Ω, perda por inserção(o filtro carrega a fonte de sinal) inferior a 7 dB.
Problema: opera abaixo de 1 MHz, devido a limitações de oscilação mecânica dos seus elementos.
Frequência típica: f1 = 455 kHz.
Com isto, o filtro BPF-2 poderá ser um simples filtro LC. (por que??) (continua...)
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
no exemplo anterior fc foi de apenas 60 kHz
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
(1) mensagem X(f) (2)455 kHz, sub-portadora = f1
(3) filtro mecânico, BPF-1
(4) (5) portadora SSB = f2
(6) filtro LC, BPF-2
(7)USSB
O primeiro oscilador a cristal opera na sub-portadora de 455 kHz, em torno da qual são fabricados os filtros mecânicos.Utilizando-se f1=455 kHz, se dá uma margem de aproximadamente 2f1=910 kHz para a atuação do filtro LC (região de transição), a qual é mais do que suficiente. (por que??) (continua...)
f2 f2+f1
f1
f1
f2
f2 f2+f1f2−f1
f1
f
ff −1 ff +1
f
f
f
f
f
| |910 kHz
W
__________________________________________________________________________________
Utilizando-se f1=455 kHz, se dá uma margem de aproximadamente 2f1=910 kHz para a atuação do filtro LC (região de transição), a qual é mais do que suficiente!__________________________________________________
Para o filtro obedecer a regra prática: f2 ≤ 200β = 100×2β=100 ×910 f2 ≤ 91 MHz f2 = fc ≤ 91 MHz
e assim, o filtro tem permissão para operar com portadoras até 91 MHz.
Como 3 MHz < fc < 30 MHz em SSB (PY ou PX) está bem abaixo desse limite, não haverá problemas!
fc = f2 f2+f1
f2 f2+f1f2−f1f
f
| |910 kHzFiltro LC
Sinal SSB portadora USSB
(continuação:)
Utilizando-se f1=455 kHz, se dá uma margem de aproximadamente 2f1=910 kHz para a atuação do filtro LC (região de transição), a qual é mais do que suficiente!__________________________________________________
Para o filtro obedecer a regra prática: f2 ≤ 200β = 100×2β=100 ×910 f2 ≤ 91 MHz f2 = fc ≤ 91 MHz
e assim, o filtro tem permissão para operar com portadoras até 91 MHz.
Como 3 MHz < fc < 30 MHz em SSB (PY ou PX) está bem abaixo desse limite, não haverá problemas!
No pior caso, tem-se fc = 30 MHz, e então:
Ou seja, bastariam 300 kHz de banda de transição do filtro LC para se gerar SSB, a qual é muito inferior a 910 kHz. #
kHz300100
M30100
2 ==≥ cfβ
fc = f2 f2+f1
f2 f2+f1f2−f1f
f
| |910 kHzFiltro LC
Sinal SSB portadora USSB
(continuação:)
Método do deslocamento de fase
Outra forma de geração de SSB, válida (em princípio) para x(t) qualquer, mesmo sem região 2β, usa a
equação (4.4-4), ou seja:
a qual expressa que um sinal SSB consiste de duas formas de onda DSB, com portadoras em quadratura e sinais moduladores x(t) e .
Vantagem: dispensa o uso de filtros de banda lateral; as bandas laterais DSB são defasadas de tal forma que se cancelam em um lado de fc e se somam no outro lado. (... filtragem por fase)
Desvantagem: o filtro de Hilbert HQ(f) ideal é uma rede não realizável, podendo apenas ser aproximada; tal imperfeição geralmente causa distorção de sinais de baixa frequência, e o sistema deslocador de fase trabalha melhor com espectros de mensagem do tipo da Fig. 4.4-4a.
)]90cos()(ˆcos)([2
)( 0−= ttxttxAtx ccc
c ωω
)(ˆ tx
Somador:
→+→−
LSSBUSSB
⊗ = Modulador balanceado
defasadorFiltro de Hilbert
Oscilador
Mensagem
mesmo que x(t) contenha baixas frequências
Obs: as bandas laterais DSB são defasadas de tal forma que se cancelam em um lado de fc e se somam no outro lado (????). Explicar!!
________________________________________________________________________________________
Foi mostrado, durante o desenvolvimento matemático no início dessa seção, que a saída passa-baixaequivalente do modulador SSB é dada por:
Assim, no caso de sinal (+):
Geração de USSB
Uma análise semelhante se aplica para a geração de LSSB. #
1 [ ( ) ( 1) ( )], 041( ) [ ( ) (sgn ) ( )]
41 [ ( ) ( 1) ( )], 04
c
p c
c
A X f X f f
Y f A X f f X f
A X f X f f
+ + >
= + = + − <
X(f)+X(f), para f >0X(f)−X(f), para f <0
−W 0 +W f −W 0 +W f
soma
cancelamento
( )pY f ( )pY f
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (modulação de tom)
A análise será realizada para modulação de tom: , com fm < W.A saída será: xc(t)= v1 ± v2.Entrada do LPF1: , impulsos em fm±W/2.
Saída do LPF1: ... o filtro deixa passar apenas a baixa frequência
Saída v1:
tftx mπ2cos)( =
v1
v2
})2
(2cos)2
(2{cos21
22cos2cos tWftWftWtf mmm −++= ππππ
tWf m )2
(2cos21 −π
tfWWftfWWf
tWfWftWfWf
tWftWfv
mcmc
cmcm
cm
)2/2/(2cos41)2/2/(2cos
41
2)2/2/(2cos)2/2/(2cos
21
)2
(2cos)2
(2cos21
1
−+±++−±=
−−+±+−
=
±−=
ππ
ππ
ππ
(continua...)
filtragem para f > 0
_____________________________________________________
Entrada do LPF2:
, impulsos em fm±W/2.
Saída do LPF1:
Saída v2:
})902
(2cos)902
(2{cos21
})2
(2sin)2
(2{sin21
22sin2cos
00 tWftWf
tWftWftWtf
mm
mmm
−−−−+=
−−+=
ππ
ππππ
tWf m )2
(2sin21 −− π
tfWWftfWWf
tWfWftWfWf
tWftWfv
mcmc
cmcm
cm
)2/2/(2cos41)2/2/(2cos
41
2)2/2/(2cos)2/2/(2cos
21
)2
(2sin)2
(2sin21
2
−+±−+−±=
−−−±+−
=
±−−=
ππ
ππ
ππ
(continua...)
v1
v2
tftx mπ2cos)( =
para f > 0
_________________________________________________Tomando-se os sinais superiores (+), tanto em v1 quanto em v2 no somador:
o qual corresponde a USSB.
Similarmente, tomando-se os sinais inferiores (−), tanto em v1 e v2 quanto no somador:
o qual corresponde a LSSB. #
ttfWWfvvtx mcmcc )cos(21)
22(2cos
412)( 21 ωωπ +=+−+=+=
ttfWWfvvtx mcmcc )cos(21)
22(2cos
412)( 21 ωωπ −=−+−=−=
v1
v2
tfWWftfWWfv mcmc )2/2/(2cos41)2/2/(2cos
41
1 −+±++−±= ππ
tfWWftfWWfv mcmc )2/2/(2cos41)2/2/(2cos
41
2 −+±−+−±= ππ
Saída
Saída
Resumo até aqui:
3 1 31( ) ( ) ( ) ( ) cos 2 ( )
2 2 2 2W W Wv t x t v t x t t V f X f X fπ = = ↔ = − + +
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (sinal de modulação arbitrário)
Considere-se o modulador de Weaver para um sinal x(t) arbitrário: ramo de LPF1
, sinal DSB.
, saída do filtro passa-baixa LPF1 ideal.51( )2 2 2
W W fV f X f X fW
= − + + × Π
9 5 9 5 51( ) ( ) cos 2 ( )
2 2 2 2c c cW W Wv t v t f V f V f f V f fπ
= + ↔ = − + + + +
9( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − + − + − + + + + + Π × + + − + + + + continua
Atenção!
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (sinal de modulação arbitrário)
Considere-se o modulador de Weaver para um sinal x(t) arbitrário: ramo de LPF2
, sinal DSB.
, saída do filtro passa-baixa LPF2 ideal.
continua
4 2 4( ) ( ) ( ) ( )sin 2 ( )2 2 2 2 2
W j W j Wv t x t v t x t t V f X f X fπ − = = ↔ = − + +
61( )2 2 2
W W fV f jX f jX fW
= − − + + × Π
10 6 10 6 61( ) ( ) sin 2 ( )
2 2 2 2c c cW W Wv t v t f V f jV f f jV f fπ
= + ↔ = − − + + + +
10( / 2)1( )
2 2 2 2 2 2
( / 2)2 2 2 2 2
cc c
cc c
f f Wj W W W WV f jX f f jX f fW
f f Wj W W W WX f f X f fW
− + − = Π × − − + − + − + + + + + Π × + + − − + + +
Atenção!
continua
10( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − − + − + − + + + + + Π × + + − − + + +
10( / 2)1( )
2 2 2 2 2 2
( / 2)2 2 2 2 2
cc c
cc c
f f Wj W W W WV f jX f f jX f fW
f f Wj W W W WX f f X f fW
− + − = Π × − − + − + − + + + + + Π × + + − − + + + _________________________________________________
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (sinal de modulação arbitrário)
10( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − − + − + − + + + + + Π × + + − − + + + _____________________________________________
No caso de se usar o sinal (+): USSB
9 10 9 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cx t v t v t X f V f V f= + ↔ = +
9( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − + − + − + + + + + Π × + + − + + + +
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (sinal de modulação arbitrário)
continua
10( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − − + − + − + + + + + Π × + + − − + + + _____________________________________________
No caso de se usar o sinal (+): USSB
9 10 9 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cx t v t v t X f V f V f= + ↔ = +
9( / 2)1( )
4 2 2 2 2
( / 2)14 2 2 2 2
cc c
cc c
f f W W W W WV f X f f X f fW
f f W W W W WX f f X f fW
− + = Π × − + − + − + + + + + Π × + + − + + + +
( / 2)1( ) 24 2 2
( / 2)1 24 2 2
cc c
cc
f f W W WX f X f fW
f f W W WX f fW
− + = Π − + − + + + Π + + −
( / 2)1( ) ( )2
( / 2)1 2 ( )4
cc c
cc
f f WX f X f f
Wf f W X f f
W
− + = Π − + + + Π + continua
Exemplo 4.4-2: Modulador SSB de Weaver (sinal de modulação arbitrário)
( / 2)1( ) ( )2
( / 2)1 2 ( )4
cc c
cc
f f WX f X f f
Wf f W X f f
W
− + = Π − + + + Π +
_______________________________________________________________________________X(f)
−W 0 +W f
f
f
f
fc
fc
fc
−fc
− fc
− fc
fc+W
fc+W
fc+W
− fc− W
− fc− W
− fc− W
− fc− W/2 fc+W/2
Xc(f)
( / 2)cf f WW
− + Π
( / 2)cf f WW
+ + Π
1 ( )2 cX f f−1 ( )
2 cX f f+
0
0
0
USSB
Vantagem: dispensa o uso de filtros de Hilbert, usando apenas defasadores de −900.Desvantagem: embora as filtragens passa-baixa sejam realizadas em banda base, e assim, os filtros sejam mais fáceis de implementação, devem possuir características próximas das ideais.
Por exemplo, no caso do filtro LPF1:
O filtro LPF1 deve ser ideal !!
Novamente, o modulador só é adequado para sinais X(f) com lacuna em torno da frequência zero.
X(f)
−W 0 +W f
V3(f)
−W −W/2 0 W/2 W f
3 1
3
( ) ( ) ( ) ( ) cos 22
1( )2 2 2
Wv t x t v t x t t
W WV f X f X f
π = =
= − + +
51( )2 2 2
W W fV f X f X fW
= − + + × Π
V5(f)
−W −W/2 0 W/2 W f
LPF1LPF1
DSBDSB, com aliasing
Sinais e Espectro VSB (Vestigial Side-Band)
A modulação VSB é adequada para sinais de modulação que possuem elevada largura de banda e com conteúdo significativo de baixa frequência como, por exemplo, vídeo de televisão analógica, fac símile(fax) e dados de alta velocidade.
Trata-se de um compromisso entre SSB (que usa menos largura de banda, porém, não opera bem na baixa frequência do sinal de mensagem) e DSB (que trabalha bem na baixa frequência mas utiliza muita largura de banda).
A modulação VSB é constituída pela filtragem de DSB (ou AM), de tal forma que uma banda lateral passa quase que totalmente, enquanto um traço ou vestígio da outra banda é incluído.
A característica da resposta em frequência do filtro de banda lateral é fundamental em VSB: seu formato exato não é fundamental, sendo que o mais importante é que possua simetria ímpar em torno da frequência portadora e uma resposta relativa igual a ½ em fc.
Filtrovestigial
Considerando-se o caso do filtro UVSB, tem-se que sua resposta em frequência é dada por:
sendo: ,
f
f
f
u(f )
u(f)−Hβ (f)
−Hβ (f)
u(f−fc)−Hβ (f−fc) para f > 0
Obs:
11/2
−1/2
hermitiano
fc
0<⏐f⏐< β
O filtro VSB é um filtro de banda lateral prático, com região de transição 2β.
A largura de banda de transmissão será:
pois β << W (a largura do vestígio é pequena em relação à banda de sinal de mensagem).
f
H(f)f
DSB
f
X(f)
f
VSB
−W 0 W fc −W fc fc+W
fc fc+W
•
•
•
•
fcfc −β fc+β
fc −βfc +β
mensagem
filtro vestigial
saída VSB
Para analisar VSB com x(t) arbitrário, relembra-se que a entrada do filtro vestigial é um sinal passa-banda DSB:
a qual não tem componente em quadratura.
O sinal de entrada equivalente passa baixa é:
O sistema equivalente passa-baixa será obtido a partir de (4.4-7a), qual seja:
fazendo: .
Ou seja: .
ttxAtx ccbp ωcos)()( =
↔
(continua...)
0para)()()()]()([)( >−=+−+−−+= ffHfuffufffHfffufH cccccp ββ
)()()( ccp ffuffHfH ++=
f
u(f)−Hβ (f)
f
u(f−fc)−Hβ (f−fc) para f > 0
hermitiano
fc
equivalente passa baixa)( fH p
)( fHesta figura já foi mostrada
anteriormente
______________________________________________________________________________________________________________
O espectro de saída do sistema equivalente passa-baixa será:
É interessante lembrar que:
tal que:
Aplicando-se a TFI, dado que a saída do filtro de Hilbert é: , tem-se
Definindo-se a função:
tem-se:
)]()()[(2
)()()( fHfufXA
fHfXfY cppp β−==
]sgn[22
1]sgn1[21)( fjjffu −+=+=
−−+=
−−+=
)()()()sgn(22
)(2
)()sgn(22
1)(2
)(
fXfHfXfjjfXA
fHfjjfXAfY
c
cp
β
β
)(ˆ)}(sgn{1 txfXfj =−ℑ−
ℑ−+= − )]()([)(ˆ
22)(
2)( 1 fHfXtxjtxAty c
p β
)}()({2
)( 1 fHfXjtx
ββ −
Δℑ=
−
∞
∞−
==β
β
πβ
πββ dfefHfXjdfefHfXjtx ftjftj 22 )()(2)()(2)(
(dividido por 2j ??)
(continua...)
↔
0para)()()()]()([)( >−=+−+−−+= ffHfuffufffHfffufH cccccp ββ
ℑ−+= − )]()([)(ˆ
22)(
2)( 1 fHfXtxjtxAty c
p β
−
∞
∞−
==β
β
πβ
πββ dfefHfXjdfefHfXjtx ftjftj 22 )()(2)()(2)(
_____________________________________________A partir do qual se obtém:
(graças ao fator 2j cria-se mais um termo em quadratura de fase)
Aplicando a transformação de equivalente passa baixa para passa banda, ou seja:
obtém-se:
Ou seja:
sendo
com
{ })()(ˆ)(4
]2
)()(ˆ
22)(
2)( tjxtxjtx
Ajtx
txjtxAty cc
p ββ ++=
−+=
})(Re{2)( 2 tfjpc
petytx π=
}sin)(sin)(ˆcos)({2
)( ttxttxttxAtx cccc
c ωωω β−−=
DSBSSB
VSB
)}()({2
)( 1 fHfXjtx
ββ −
Δℑ=
descrição de portadora-quadratura
*Quando β<<W (o que geralmente é verdadeiro), o espectro VSB se parece essencialmente com o espectro SSB (a similaridade também se mantém no domínio do tempo).
Neste caso .
*Por outro lado, se β>>W , VSB se aproxima de DSB, e, .
0)( ≈txβ
fc−W fc fc+W
fc−W fc fc+W
)(ˆ)(0)()(ˆ)( txtxtxtxtxq −=≈+= ββ
(espectro semelhante a DSB)
(filtro vestigial)
fc−W fc fc+W
fc−β fc+ β
•
•
•
•
•
•
f
f
ffc fc+W
(espectro semelhante a SSB)
(filtro vestigial)
(mensagem)
fc−β fc+ β•
•
•
}sin)(sin)(ˆcos)({2
)( ttxttxttxAtx cccc
c ωωω β−−=
DSBSSB
VSB
≈ 0
Potência VSB transmitida:
A potência VSB transmitida, ST , não é determinada facilmente, uma vez que depende da largura vestigial β, mas deve estar limitada em:
ou seja, entre a potência SSB e a potência DSB.
Largura de banda VSB:
Modulação VSB+C (VSB com portadora)
Analisa-se a seguir o caso em que um sinal AM é aplicado a um filtro de banda lateral vestigial.
Tal sistema é usado em transmissão de vídeo de televisão.
A portadora não suprimida permite a detecção de envoltória, enquanto ainda mantém a pequena largura de banda VSB.
Pode-se mostrar que, se o sinal VSB for gerado a partir de AM, ocorre (mostrar isto!):
Recorrendo a descrição de portadora-quadratura:
observa-se que e
Com isso, a envoltória será:
ou seja:
Portanto, se μ for pequeno e β não tão pequeno (VSB→DSB, xq(t)→0), ocorre |μxq(t)|<<1, e, neste caso:
... pode usar detecção de envoltória!
ttxttxtx ccqccic ωω sin)(cos)()( −=
ˆ( ) ( ) ( )qx t x t jx t= +
Espectro de sinal de vídeo de televisão
A mensagem de TV deve conter informações sobre varredura de tela, linhas ativas, retraço horizontal, luminância, crominância e áudio em FM stéreo.
Espectro VSB+C
inserção da portadora
β não tão pequeno
espectro transmitido
•
•
2βfiltro VSB no receptor
0−0.75 0 0.75 4.5 4.75
f, MHz
Ver capítulo 7
vídeo DSB
áudio DSB
