49350919-Matematica-1-3o-EM

Apostila de Exercícios Extras de Matemática - 3o EM

1

PirâmidesPirâmidesPirâmidesPirâmides

1) (UFPR) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O seu volume é: a) 1152 m3

b)288 m3

c)96 m3

d)384 m3

e)48 m3

2) (UECE) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 6 cm e sua altura, 8 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

3) Uma pirâmide quadrangular regular possui a base circunscrita a um circulo de 10 m2 de área e a altura é igual ao apótema da base. A área lateral do solido vale:

a) 40

b)400

c)50

d)50

e) nda

4) (CEFET - PR) Qual a altura de uma pirâmide hexagonal regular de volume

unitário e raio da base ?

a)

b)


2

c)

d)

e)

5) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais e a área da base igual a 16 cm2. Qual é a sua altura ? a) 4 cm

b) cm

c)2 cm

d)3 cm e) NDA

6) (UF OURO PRETO) O volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo eqüilátero de lado 2 dm e cuja altura mede 3 dm, em dm3, é igual a:

a)

b)2

c)3

d)4

e) 5

7) (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64 m2 vale: a) 8m2

b) 64 m2

c)60 m2

d)32 ( + 1 ) m2 e)135 m2

8) (UEPG - PR) Calcule a área de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm.

a) 4 cm2

b) 8 cm2


3

c)12 cm2

d)16 cm2 e)nda

9) (CEFET - PR) A área total de um tetraedro regular de aresta a é:

a) a2

b)

c)2 a2

d) 3 a2 e)3 a2

10) (ACAFE - SC) Um tetraedro de 6 cm de aresta tem altura igual a:

a) 2 cm

b)3 cm

c)2 cm

d)6 cm e)24 cm

11) A área total de uma pirâmide regular, de altura 30 mm e base quadrada de

lado 80 mm, mede, em mm2 : a) 44 000

b)56 000

c)60 000

d)65 000

e)14 400

12) A base de uma pirâmide é um quadrado cujo lado mede 8 cm . Se as arestas laterais da pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em cm2, é: a) 520 b)640 c) 680 d)750 e)780


4

13) Uma barraca em forma de pirâmide de base quadrada de 8m de lado esta coberta com 4 lonas triangulares de 5 m de altura. Quantos litros de ar cabem na barraca? a) 16000 b)64000 c)32000 d)8000 e)4000

14) A base de uma pirâmide regular é um quadrado de 6 m de lado, e sua área lateral é 10 vezes a área da base. Sua altura, em m, é um número entre a) 0 e 10 b)10 e 20 c)20 e 30 d)30 e 40 e)40 e 50

15) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de 2 cm de diagonal.

Se a reata lateral também mede 2 cm, então o volume da pirâmide é: a) 6 cm3

b) 12 cm3

c)8 cm3

d) 4 cm3 e)12 cm3

16) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 4 cm. Sendo a altura da pirâmide igual a altura do triângulo da base, o volume da pirâmide, em cm3 , é: a) 4 b) 6 c) 8 d)10 e)12

17) A área lateral de uma pirâmide quadrada regular de altura 4 m e de área da base 64 m2 vale em m2 : a) 128

b) 64 c)135

d)32( + 1 )


5

e)60

18) Uma tenda indígena tem o formato de uma pirâmide hexagonal regular de altura 3 m e aresta de base igual a 2 m. Considerando que o índio construtor deixou uma das faces laterais como porta( sem fechamento de tecido ), a quantidade de tecido necessária para a cobertura da tenda é de aproximadamente, em m2 :

a) 10

b)12 c)18 d)15

e)18

19) A base de uma pirâmide triangular é um triângulo eqüilátero. Sendo aaaa3333 o volume da pirâmide e aaaa , a altura, qual a medida da aresta da base?

a) 2 a

b) 2 a

c) a

d)a e) nda

20) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a

aresta da base mede 2 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3 , é:

a) 24

b) 36

c) 48

d)72

e)144

21) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de diagonal 6 e a altura é igual a 2/3 do lado da base, tem a área total em cm2 :

a) 96

b) 252

c)288


6

d)84

e)576

22) O volume de uma pirâmide regular quadrada cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros de 4 cm de lado vale em centímetros cúbicos:

a)

b)

c)16

d)

e)32

23) O volume de um tetraedro de arestas 1 cm tem em cm3:

a)

b)

c)

d) e) nda

24) Qual o volume em centímetros cúbicos de um tetraedro regular de 10 cm de altura:

a) 125

b) 125

c) 250

d) 375

e) 375

25) A área total de um octaedro regular é 6 cm2. O seu volume é em cm3:

a) 3


7

b)

c)2 d) 6 e)nda

26) 26. O volume de um tetraedro regular é 1/3 m3. Sua aresta mede em m :

a)

b)

c)

d)

e)

CilindroCilindroCilindroCilindro

1) Calcule a área lateral de um cilindro de raio da base igual a 10 m e cuja altura é o raio da base. a) 200 m2 b) 100 m2 c) 400 m2 d) 50 m2 e) nda

2) A área lateral e o volume de um cilindro eqüilátero cuja secção meridiana tem 400 m2 de área, são, respectivamente em m2 e m3 é: a) 200 e 1 000 b) 100 e 500 c) 400 e 2 000 d) 200 e 2 000 e) 150 e 1 500


8

3) Qual é a área total de um cilindro eqüilátero, cuja secção meridiana tem área A?

4) Um cubo inscrito num cilindro circular reto tem volume igual a 16 m3. Determine em m2 a área total deste cilindro.

5) (CEFET - PR) O volume do cilindro eqüilátero, cujo comprimento do circulo da base é C, é:

a)

b)

c)

d)

e)

6) (UDESC - SC) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura. A área lateral desse cilindro é: a) h2 /4

b) h2 /4

c) h2 /2

d) h2 e) 2 h2.

7) ( UFRS ) Um cubo de lado a é inscrito em um cilindro. A área lateral do cilindro é:

a)

b)

c)

d) a2 e) 2 a2.


9

8) Um cilindro de revolução está inscrito em um paralelepípedo reto

retângulo. Se representarmos por V1 o volume do cilindro e por V2 o volume do paralelepípedo, podemos escrever que: a) V2 = 4 V1 b) 4 V2 = V1

c) V1 = V2

d) V1 = V2

e) V2 = 2 V1.

9) (ITA - SP) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números x, h, r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6 . Qual é a área total desse cilindro?

10) (FATEC - SP) Um cilindro reto tem volume igual a 64 de3 e área lateral de 400 cm2. Qual é a medida do raio da base?

11) (MACK - SP) A área total de um cilindro vale 48 m2 e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a 8 m. Qual é seu volume, em m3?

12) (MACK - SP) Um cilindro de revolução tem 16 m2 de área total. Sabendo que o raio é a terça parte da altura, qual é a área lateral, em m2?

13) (UFRN) Se um cilindro eqüilátero mede 12 m de altura, então qual é o seu volume, em m3?

14) Um cilindro circular reto tem raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Qual é a sua superfície lateral mede em cm2?

15) (UFPA) O reservatório "tubinho de tinta" de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5 mm3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará quantos dias?

ConeConeConeCone

1) O volume de um cone circular reto é de 27 dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4 dm b) 9 dm c) 2 dm


10

d) 5 dm e) 3 dm

2) Um cone eqüilátero tem área lateral igual a 18 dm2. Calcule, em dm3, o

valor do seu volume:

a) 6

b) 9

c) 12

d) 18

e) 18

3) (UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a

área total vale: a) 52 b) 36 c) 20 d) 16 e) nda

4) (UEMA) O volume de um cone eqüilátero, que tem como área da base S = 12 m2, é: a) 72 m3 b) 24 m3 c) 36 m3 d) 28 m3 e) 40 m3

5) Dois cones retos tem a mesma base, e a altura de um é o triplo da altura do outro. Então, a relação entre os volumes do menor e maior é: a) ½

b) c) 1/3 d) ¼ e) nda


11

6) (FEMPAR - PR) Se a base de um cone de revolução de raio igual a 2 cm for equivalente a secção meridiana, a sua altura medirá, em cm: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) nda

7) ( CEFET - PR ) A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de sua base. Se a geratriz mede 15 cm, o seu volume é, em cm2, igual a :

a) 270

b) 27

c) 540

d) 90 e) nda

8) ( PUC - PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, gira em torno de um de seus catetos. Qual é o volume do solido de revolução gerado?

a) 3 cm3 b) 9 cm3 c) 18 cm3 d) 27 cm3

e) nda

9) ( UFPR ) A geratriz de um cone mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm3 é: a) 100 b) 200 c) 400

d)

e)

10) (UFOP - MG) Se o raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm, então seu volume, em cm3, mede: a) 15


12

b) 10 c) 9 d) 12 e) 14

11) (MACK - SP) A planificação da superfície lateral de um cone é um

semicírculo de raio 10 . O volume do cone é : a) 357 b) 573 c) 375 d) 537 e) 735

12) (ITA - SP) Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e 15 dm2 de área lateral, o valor de seu volume em dm3 é: a) 9 b) 15 c) 12 d) 36 e) 20

13) ( PUC - RS ) Num cone de revolução, a área da base é 36 m2 e a área total 96 m2 . A altura do cone, em m, é igual a: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

14) ( UFOP - MG ) Um cone circular reto tem por base uma circunferência de comprimento igual a 6 cm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Posto isto, sua área lateral é em cm2: a) 5 b) 9 c) 12 d) 15 e) 36

15) ( UFPA ) Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da base a 6 cm e de geratriz 5 cm?


13

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 96

EsferaEsferaEsferaEsfera 1) (SANTA CASA) A razão entre o volume e a área de uma mesma esfera é igual

a 3. Pode-se dizer, então, que esta esfera: a) tem o volume duas vezes maior que a área b) tem o volume igual a 2916 c) tem área de 324 d) tem o circulo máximo com área de 81 e) tem raio de 3

2) (UFP) Considere os dois sólidos: I. Uma esfera de diâmetro 10 dm

II. II. Um cilindro de diâmetro 10 dm e altura 8 dm. A respeito deles, é correto afirmar que:

a) possuem a mesma capacidade volumétrica em litros b) o volume da esfera é maior que o volume do cilindro c) a área da superfície esférica é igual a área lateral do cilindro d) o volume da esfera é menor que o volume do cilindro e) possuem a mesma superfície externa

3) (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro esta completamente

cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa é: a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e)100

4) (UEL - PR) Uma esfera tem centro O Uma plano , contendo O intercepta a

esfera. A intersecção é um circulo de área 16 centímetros quadrados. O volume da esfera, em centímetros cúbicos, é igual a:

a)


14

b)

c) d) 64 e) 32

5) (FUVEST - SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano

situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

6) (UFMG) A regia delimitada por uma esfera é interceptada por uma plano a 3

cm do centro dessa esfera. Se a área dessa intersecção é de 9 cm2 , o volume da região delimitada pela esfera, em cm3 é:

a) 18

b) 36

c) 72

d) 144

e) 216 7) (CEFET - PR) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volume

aumentará 252 cm3. O raio da esfera original mede, em cm: a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7

8) Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes. Se o raio da esfera e

o raio da base do cilindro tem medida 1, a área lateral desse cilindro é:

a)

b)


15

c)

d)

e)

9) Um cilindro eqüilátero de altura 2 m esta inscrito numa esfera. O volume dessa esfera é

a) b) 32 c) 20 d) 5 e) nda

10) (UEPG - PR) Duas bolas de chumbo, com diâmetro de 3 cm e 6 cm, são

fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto de 3,24 cm de altura. O raio desse cilindro mede:

a)

b) 10 c) 100

d)

e) 100 11) Parte de uma esfera limitada por uma calota esférica e por sua base é:

a) cunha esférica b) anel esférico c) setor esférico d) segmento esférico de duas esferas e) segmento esférico de uma base

12) (CEFET - PR) Um cone e um cilindro eqüilátero circunscrevem a mesma

esfera. Se a área total do cilindro medir 150 cm2 , o volume do cone medirá, em cm3 : a) 130 b) 375 c) 225


16

d) 185 e) 310

TrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometria

1) Dê a medida em graus e em radianos de cada um dos seguintes arcos:

2) Exprima em radianos: a) 36º b) 135º c) 300º d) 320º e) 1º

3) Exprima em graus:

a) rad6

π

b) rad4

π

c) rad3

π

d) rad4

7π

e) rad9

4π

4) Mostre que um arco de 1 rad mede aproximadamente 57º.

5) Qual é o comprimento de uma circunferência de raio 5cm?

6) Quantos quilômetrso percorre um atleta ao dar 20 voltas numa pista

circular de diâmetro 144m?


17

7) Dê a medida em radianos dos seguintes arcos:

a) arco de comprimento 10cm, numa circunferência de raio 4cm; b) arco de comprimento 25 mm, numa circunferência de raio 5cm.

8) Calcule α e l: 9) Um móvel faz um percurso de meio quilômetro numa pista circular de

diâmetro 200 metros. Qual a medida do Ângulo central correspondente ao percurso?

10) Quantos graus descrevem o ponteiro dos minutos no tempo de 1 min? E o

ponteiro das horas? 11) Calcule o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes

instantes: a) 10h30min b) 2h15min c) 13h35min

12) Calcule a soma dos ângulos A = 30º 30´, B = 52º50´ e C = 17º 20´. 13) Divida o ciclo em seis partes iguais, a partir de A, e sejam os pontos M1,

M2, M3, M4 e M5 os demais pontos encontrados. Calcule o comprimento dos arcos AM1, ..., AM5 (meça partindo de A no sentido anti-horário)

14) Repita o exercício anterior dividindo em 13 partes. 15) Localize no ciclo trigonométrico:

Seqüência I

a) 3

π b)

3

5π c)

6

π d)

6

7π e)

4

3π

Seqüência II

a) 2

π− b) π4− c)

3

2π− d)

6

7π−


18

Seqüência III

a) π70 b) 2

17π c)

3

19π d)

4

25π e)

2

23π f)

4

47π

16) Determine o ângulo, em radianos, de cada ponto indicado nas figuras: 17) Represente a imagem dos números, Zk ∈ : a) x = kπ

b) x = ππ

k23

+

c) x = ππ

k+6

d) x = ππ

k+4

3

e) x = 2

πk

18) Se x = ππ

k+4

, Zk ∈ , quantos valores de x estão no intervalo π20 ≤≤ x .

19) Observando a figura, dê os valores de:

a) sen x b) sen α c) sen β d) sen γ

20) Dê os valores de:

a) 4

πsen b)

4

3πsen c)

4

5πsen d)

4

7πsen


19

e) 3

πsen f)

3

2πsen g)

3

4πsen h)

3

5πsen

i) π2sen j) 2

3πsen k)

2

5πsen l) π4sen

21) Calcule y = 4sen x – 1 para:

a) x = 90º b) x = 390º

22) Calcule y = sen2 x – 2sen x + 2 para x = 6

π.

23) Calcule y = sen 2x + sen x para x = 60º.

24) Faça uma figura e responda qual é o maior:

a) Sen 40º ou sen 160º b) Sen 200º ou sen 350º

25) Qual é o sinal do número sem 2000º?

26) Para que valores de x, π20 ≤≤ x , tem – se sen x = 0?

27) Construa o gráfico; dê o domínio, a imagem e o período das funções:

a) y = - sen x b) y = sen 4x c) y = sen 2

x d) y = sen(x - 45º)

28) Dê acordo com a figura do exercício 1 calcule: a) cos x b) cos α c) cos β d) cosγ

29) Dê os valores de:

a) 4

cosπ b)

4

3cos

π c) 4

5cos

π d) 4

7cos

π

e) 3

cosπ f)

3

2cos

π g)

3

4cos

π h)

6

5cos

π

i) π2cos j) 2

3cos

π k) 6

7cos

π l) π100cos

30) Calcule y = 2cos x + 1 para:

a) x = 60º b) x = 90º c) x = 180º

31) Se x= 6

π , quanto vale cos 12x?


20

32) Calcule y = cos 2x – cos2 x para x = 2

π.

33) Uma escada está encostada na parte superior de um prédio de 60m de

altura e forma com o solo um ângulo de 600. Determine o comprimento da escada:

a) 40 3 ;

b) 40 2 ; c) 40 5 ; d) 40; e) 30.

34) Num triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 600 e a hipotenusa mede 10dm. Calcule as medidas dos catetos desse triângulo, em dm:

a) 5 e 5; b) 25 e 25 ; c) 35 e 25 ;

d) 35 e 35 ; e) 35 e 5.

35) Um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo mede 30º e sua hipotenusa te 15cm. Calcule:

a) a medida da mediana relativa a hipotenusa; b) a medida do ângulo formado por essa mediana e a altura relativa à

hipotenusa.

36) (FAAP-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30cm. A base maior mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30º.

37) (FUVEST-SP) Calcule x indicado na figura. C CÂB = 30º x CÊB = 60º A 100 E B


21

38) A figura abaixo mostra várias situações de um dispositivo formado por uma mola, um corpo e um plano horizontal de apoio. A mola tem uma das extremidades fixa e a outra presa a um corpo que executa um movimento de vaivém sobre o plano.

Estamos supondo que seja desprezível a força de resistência do ar e a força de atrito entre o corpo e o plano. O dispositivo descrito acima recebe, em Física, o nome de oscilador harmônico e o movimento de vaivém do corpo é chamado de movimento harmônico simples. Deduz-se que a abscissa x e o tempo t (instante t) relacionam – se de acordo com a função horária definida pela sentença matemática:

x = a.cos(ϕ + ω.t) na qual a é chamado de amplitude do movimento, ϕ é uma constante chamada de fase inicial do movimento(essa constante tem dimensão angular) e depende da posição em que o corpo é abandonado inicialmente, e ω é uma constante, com dimensão de velocidade angular, chamada de pulsação do movimento(costuma ser expressa em rad/s).

Responda: a) Qual deve ser o valor da amplitude para que a função acima citada

tenha imagem [-1,1]? b) Qual deve ser o valor da pulsação do movimento para que o período

da função seja 4Π. c) Construa a tabela e o gráfico da função sabendo que a = 2, ϕ = Π e ω

= 1. d) Dê o domínio, período e imagem do gráfico construído no item c).

39) (Engenharia MAUÁ – 92) Para que valores de K é válida a relação

sen(x) = 2K - 5.


22

3 40) Qual a 1ª determinação positiva dos ângulos:

a) – 900º

b)

41) Determine o valor da expressão . 42) Sabe-se que senx=-3/5 e x é um arco do 4º quadrante. Então, é verdade

que: a) tgx=-3/4 b) tgx=1/2 c) tgx=-4/5 d) tgx=3/4 e) tgx=4/5

43) (UECE) Quantas raízes tem a equação cos2x – sen2x = 0 no intervalo

0≤x≤360º? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) mais que 4

44) Resolva a equação em ℜ: a) senx = ½ b) cosx = -½

45) Obtenha m, de modo que sen x = m e cos x = m + 1 .

5 5

46) Sendo cos x = 5/13 e 270º < x < 360º. Calcule o valor das demais funções trigonométricas.

47) Resolva as equações: a) cos x + sen x = 0 b) 4cos2 x + 5senx – 5 = 0 c) tg x = - √3

3


23

48) Resolva as inequações:

a) 1 < tgx < √3 b) 2cos2 x + 5sen x – 8 < 0 c) 2sen2 x – sen x < 0 d) cos x < -1

49) Simplifique a expressão: E = ( sec2 x – 1)(cossec2 x – 1) 1 + tg2 x

50) Prove a identidade (sen x + cos x)2 – 2 . sen x . cos x – cos 2 x = sen2 x.

51) Calcule o valor de a, sabendo que cos x = a e tg x = a + 1 .

2 2

52) Prove que (tg x).(cossec x) + (cotg x).(sec x) = sec x + cossec x

53) Considerando sen x = 3/5, qual o valor da expressão y = sec x – cos x ? tg x + cotg x

54) Resolva em R: a) 2.sen2x ≥ sen x b) 2.cos2x + cos x – 1 < 0 c) 4.cos x + 3.sec x = 8 d) tg2x = 3

55) Sabe-se que sen a = 4/5 e sen b = 12/13, com 0 < a < 90º e 0 < b < 90º.

Determine, então, sen(a + b), cos(a – b) e tg(a + b).

56) São dados tg a = 1 e sen b = -4/5, com 0 < a < 90º e 180º < b < 270º. Calcule cos(a + b).

57) (FUVEST) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta C um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com velocidade constante de 50Km/h. Após 3 horas de percurso, a distância que o móvel se encontra da reta AC é: a) 75Km b) 75√3Km c) 50√3Km


24

d) 50√2Km e) 50Km

58) (FUVEST) Se cos = , então cos x vale: a) –3/8 b) 3/8 c) √14/4 d) √34/4 e) 1/8

59) (PUC-SP) Determine x, de modo que se verifique que senθ = 3

1.2 −x.

60) Construa o gráfico das funções, dando o domínio, imagem e período. a) y = 3.senx; b) y = sen(x - π/2); c) y= cos(x - π/3); d) y = 5 + cosx; e) y = tg(x - π/2); f) y = tg(3.x - π/5); g) y = cotg(5.x/2); h) y = sec(x + π/8); i) y = cossecx

61) Simplifique as expressões:

a) sen(x + 900º) + cos(x – 540º); b) tg(x + 540º) – tg(7π + x); c) y = sen(π + x).cos(π/2 – x).tg(15π/2 + x)

sen(5π + x).sen(7π/2 + x).tg(4π - x) 62) (ITA) Sabendo que cosθ = -3/7 e tgθ < 0, calcule o valor da expressão:

x= 2 . tgθ 1-tg2θ

63) Resolva as equações no intervalo [0, 2π]: a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0; b) 2sen2x + 5senx – 4 = 0; c) 3cosx = 3 – sen2x; d) cos2x = 1 – senx; e) senx – cosx = 1; f) (Cesgranrio) (senx + cosx)2 = ½; g) 2|senx|2 + 5|senx| + 2 = 0


25

64) Resolva as equações em ℜ:

a) (FUVEST) cosx.sen2x = senx(1 + cos2x); b) (Mack-SP) cosx + cos3x + cos5x + cos7x = 0; c) 2senx – cossecx = 1; d) tg2x = cotgx; e) cossecx = - 2 ; f) sen2x + cos2x = 1.

65) (FUVEST) Se tg x = e 180º < x < 270º, então o valor de cos x – sen x é: a) 7/5 b) -7/5 c) -2/5 d)1/5 e) -1/5

66) (FUVEST) Sendo cos x – sen x = m

a) ache todas as soluções reais dessa equação para m = 0. b) Determine todos os valores de m para os quais essa equação possui

solução real.

67) (FUVEST) Resolva: a) Expresse sen 3x em função de sen x b) Resolva a inequação sen 3x > 2.sen x para 0 < x < 180º.

68) (FUVEST) Sendo sen x = 9/10, com 0 < x < 90º, tem-se: a) sen x < sen 60º < sen 2x b) sen 60º < sen x < sen 2x c) sen x < sen 2x < sen 60º d) sen 2x < sen 60º < sen x e) sen 2x < sen x < sen 60º

69) (FUVEST) Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) =

x/100, para x no intervalo [0, 360º]. O número de pontos comuns aos dois gráficos é: a)16 b)8 c)4


26

d)2 e) 1

70) (FUVEST) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) sen 210º < cos 210º < tg 210º b) cos 210º < sen 210º < tg 210º c) tg 210º < sen 210º < cos 210º d) tg 210º < cos 210º < sen 210º e) sen 210º < tg 210º < cos 210º

71) (FUVEST) a) Calcule sen 15º

b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito num círculo de raio 1.

72) Resolva no intervalo [0, 2π]:

a) 2cos2x > cos x b) sen x + cos x = 1

73) Sabendo que sen x = 4/5, cos y = 12/13 e que x e y tem extremidades no 1º

quadrante, calcule tg (x + y). 74) Demostre a identidade trigonométrica:

(tg x).(cotg x).(sec x).(cossec x).(sen x).(cos x) =1

GeomGeomGeomGeometria Analíticaetria Analíticaetria Analíticaetria Analítica 1) (EEMSP) Determine as coordenadas das vértices de um triângulo,

sabendo que o ponto médio de lados do triângulo são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3).

2) (UFSC) Dados os pontos A(-1, -1), B(5, -7) e C(x, 2), determine x, sabendo que o ponto C é eqüidistante de A e B.

3) (UFMG) Sabendo-se que a distância entre os pontos A(0, 1) e B(t, 2t) é

13 , o valor positivo de t é:

a) 5

611+

b) 2


27

c) 2

612 +

d) 3 e) nda

4) (CESGRANRIO) Os pontos M, N, P e Q do 2ℜ são vértices de um paralelogramo situado no primeiro quadrante. Se M(3, 5), N(1, 2) e P(5, 1), então o vértice Q é: a) (7, 4) b) (6, 5) c) ( 9, 8) d) (8, 6) e) (6,3)

5) (UFUMG) São dados os pontos A(2,y), B(1,-4) e C(3,-1). Qual de vê ser o

valor de y para que o triângulo seja retângulo em B?

6) Num triângulo isósceles, a altura, a mediana e as bissetrizes são segmentos coincidentes. Calcule a altura relativa ao lado BC de um triângulo isósceles de vértices A(5,8), B(2,2) e C(8,2).

7) (FGV) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) estão alinhados. Qual é o valor de k?

8) (MED ABC) Qual é a equação reduzida da reta determinada pelos pontos

(-2,0) e (0,-3)?

9) (FGV) Qual é a área do triângulo de vértices (-3,3), (-1,1) e (5,2)? 10) Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos

A(2,7) e (1,-5). 11) Escreva na forma geral a equação da reta que forma 135º com o eixo

das abscissas(X) e passa pelo ponto (1,-2). 12) Dada a equação da reta 3x + 4y – 4 = 0, determine:

a) a paralela a reta dada que passa pelo ponto (4,3) b) a perpendicular a reta dada que passa pelo ponto (4,3)

13) Seja r a reta que passa pelo ponto P(3,2) e é perpendicular à reta s, de

equação y = -x + 1. Qual é a distância entre o ponto A(3,0) e a reta r?


28

14) As retas y + 2x + 3 = 0 e 2y – x + 3 = 0 são: a) paralelas b) concorrentes c) perpendiculares d) distintas e) paramétricas

15) Sabe-se que o segmento de extremos A(-2, -3) e B(3, 2) é diâmetro de uma circunferência. Escreva sua equação.

16) Obtenha a equação geral de uma circunferência sabendo que A(3, 1) e B(1, 4) são dois de seus pontos e que o centro pertence ‘a reta de equação x + y – 3 = 0.

17) Dado o ponto P(k + 1, -2) e a circunferência de equação x2 +y2 – 6x – 2y + 1 = 0 determine os valores de k para que o ponto P: a) Pertença a circunferência b) Seja exterior a circunferência c) Seja interior a circunferência

18) Diga qual é a posição relativa das retas de equação x + 5 = 0, y + 2 = 0, y + 4 = 0, x + y = 0 e x – y = 0, em relação à circunferência x2 + y2 + 6x + 8y + 21 = 0. Faça a representação gráfica.

Números ComplexosNúmeros ComplexosNúmeros ComplexosNúmeros Complexos 1) Resolva as equações e classifique as respostas encontradas como real

puro, imaginário puro e imaginário misto:

a) 15

13

6

57

3

25 +=

−−

− xxx

b) x2 – 14x + 45 = 0 c) 4x2 + 256 = 0 d) 7x2 + 42x - 70 = 0

2) Simplifique as expressões:

a) -2i24 - 3i30 + 3i75 + 2i81 b) 8i(1-7i) + (1+7i)(1-7i) – 8i(1-7i)

c) i

i

15

83 −

3) Dados z1 = 5 + 4i, z2 = -1 + 8i e z3 = -2 - 2i . Determine:


29

a) z1 – z2 + 2.z3 b) z1.z2.z3

c) 2

1

z

z

4) Ache o número complexo z de modo que ( 2 + z )( 1 – i ) – ( i.z – 1 )(1 + i ) =

4 – i 5) (FEI-SP) Ache o conjugado do número complexo z2, em que z = a( cosµ +

isenµ ), com a = 2 e µ = π/8. 6) (MAPOFEI-SP)

a) Encontre o número complexo z, tal que i*z + 2 * z + 1 –i = 0, em que i é a parte imaginária e z o conjugado de z.

b) Qual o módulo e o argumento desse complexo?

7) Sendo i

iBiA

24

39

−

−=+ , onde A e B são reais e i é a unidade imaginária,

calcule A + B.

8) Se f(z) = z2 – z + 1, calcule f(1 – i). 9) O número complexo (1 + i)11 pode ser posto na forma a + bi, onde a e b são

números inteiros, neste caso qual é o valor de b?

10) Determine dois números complexos z1 e z2, tais que 1z = 1, 2z = 1 e z1 + z2

= 1.

11) Seja x = 1 + 2i e y = x

x1

+ , determine o módulo de y.

12) Simplifique ( ) ( )

( ) ( )49100

50101

22

22

−−−

−+

ii

ii

13) Sendo z = iii −

−+

+− 1

5

1

3

1

4, calcule zz .2 .

14) Determine o valor das expressões:

a) i.i2.i3.i4. ... .i50 b) i + i2 + i3 + ... + i50


30

c) 5219

3813

3

3.4

ii

iii

−

+−

15) Determine o módulo de Z, sabendo que izz 223 −=+ .

16) Seja i a unidade imaginária. Dada a matriz

−

+ −

x

y

i

i

2__

2

)1(1

com det = 3i. qual

é o valor de x + y?

PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios 1) Dado o polinômio x3 +6x2 + 8x –10. A única afirmação correta é:

a) é um polinômio incompleto; b) tem grau dois; c) x = 0 é raíz do polinômio; d) é divisível por ( x – 1 ); e) para x = -2 o valor do polinômio é –10.

2) Sobre o polinômio x4 – 10x2 + 9 é correto afirmar que:

a) seu grau é 10; b) é um polinômio incompleto; c) o número 4 é raiz do polinômio; d) possui cinco raízes; e) pode ser fatorado utilizando o caso da diferença de dois quadrados.

3) Efetue 5x 3 + 2x 2 – 7x + 5 – ( - x 3 + 10x 2 + 5x + 1). A seguir divida o

resultado pelo polinômio 2x – 6.

4) Calcule o valor da expressão: [ ( 12a 2 + 9a ) : 3a ] . ( 2a – 5 ). 5) Resolva os problemas:

a) O quociente de um polinômio P por ( x + 2 ) é ( 2x + 2 )e a divisão é exata. Determine o polinômio P.

b) O quociente de um polinômio P por ( x + 1) é ( - x 3 + 2x – 1 ), e a divisão é exata. Determine o polinômio P.

c) Calcule o quociente de ( 6x2 – 17x – 14 ) por ( 3x + 2 ). A seguir determine o valor numérico desse quociente para x = 4,5.


31

6) Do quadrado de a2 + 3b subtraia a 4 + 5a 2 b + 9b 2 e encontre o valor numérico para o resultando para a = - ¼ e b = ½ .

7) A= 3x + 2y e B= 3x – 2y. Calcule A 2 – B 2 e o valor numérico para x= -2 e y= -3.

8) Se a 2 + b 2 = 85 e ab = 18, quanto vale ( a + b ) 2 ?

9) Se a 2 + b 2 = 106 e ( a - b ) 2 = 16, quanto vale ab?

10) Determine o resultado de x 2 + 3a e do resultado subtraia x 4 + 5ax2 + 9.

11) Se xy = 1 , qual é o valor numérico de ( 2x + y ) 2 - ( 2x - y ) 2? 16 12) Sendo P1 = ( 1 + a )

2 P2 = ( 1 + a )( 1 – a ) P3 =( 1 - a )

2 Determine P1 - P2 + P3 . 13) Seja a e b medidas dos lados de um retângulo de área 30 cm2.

a.b = 30 Assim, calcule a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre a e b.

14) Se a 2 + b 2 = 89 e ( a + b ) 2 = 169, quanto vale ab?

15) Que monômio devemos subtrair de 9,61x 2 + 36y 2 para obter o

quadrado de 3,1x – 6y? 16) (PUC-SP) Se p e q são polinômios de graus 4 e 5, respectivamente, então

o grau de: a) p + q é 5 b) pq é 20 c) p + q é 9 d) pq é 10 e) q – p é 4

17) (UC-MG) A Soma doas valores A, B e C tal que é:

b

a

a


32

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18) (FGV-SP) O valor do produto m.n para que o polinômio x3 – 6x2 + mx + n

seja divisível por (x – 1)(x – 2): a) 66 b) 33 c) 0 d) – 33 e) – 66

19) Se você efetuar a divisão do polinômio 2x3 – 21x2 + 5x – 1 pelo binômio x + 1: a) O quociente não possui termo independente. b) Os coeficientes dos termos do quociente serão 2, - 23 e 28. c) O resto será 29. d) O quociente será de 1º grau. e) Não é possível efetuar a divisão

20) Dividindo-se o polinômio f por x2 – 1, obtém-se quociente x + 2 e resto x – 3. Determine: a) o polinômio f. b) o resto da divisão de f por x – 1

21) Determine m e n em cada caso:

a) P(x) = x3 – 10x2 + mx + n é divisível por (x – 2)(x - 1) b) m + m = 3x - 5 .

x – 3 x + 1 x2 – 2x – 3 22) Determine o valor de a, b e c para que as polinômios (x – 2)2 e ax3 – (a +

c)x2 + (a + b)x + 1, sejam iguais.

23) Dados os polinômios A(x) = x3 – 6x2 + 12x – 8 e B(x) = x2 – 4x + 4. Determine: a) O quociente da divisão de A por B. b) Qual a relação entre A e B?


33

24) Dado o polinômio P(x) = x2n - xn e Q(x) = x + 1. Determine o resto da divisão de P por Q quando: a) n for par b) n for ímpar

25) Um camelô tinha, pela manhã, 25 relógios do tipo A, 18 relógios do tipo B

e 35 relógios do tipo C. Durante o dia vendeu 6 relógios do tipo A, 9 relógios do tipo B e 10 relógios do tipo C. Escreva: a) A expressão algébrica que representa o total em mercadoria que o

camelô possuía pela manhã. b) A expressão algébrica que representa a venda do dia.

26) Dados os polinômios A = x2 + 3x – 2, B = x + 2 e C = x – 3, determine: a. a forma reduzida de: i. I) A .B.C II) A.B – C III) (A + B).C b. Faça a ordenação, dê o grau e complete os polinômios I, II e III se for

necessário.

27) Dada a expressão a.(6a3 – 9a2 – 42a):3a – (2a2 – 4): a) simplifique-a b) calcule seu valor numérico para a= 5.

28) Dados A = 15x2 – 29x +10 e B = - 3x + 4, determine: a) o quociente de A por B. b) O valor numérico do quociente para x = 3 c) O polinômio A é divisível por B? Por quê?

29) Dividindo um polinômio por (-2x + 9), obtém-se quociente (5x2 – 3x – 6) e resto 40. Qual é o polinômio?

30) Quantos termos obtemos ao realizarmos a seguinte multiplicação (2x + 3u + 9c)(8s – 9f – u)? a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

31) Dado o polinômio P(x) = xn + xn – 1 + .... + x2 + x + 3, sabendo que n é ímpar, determine o valor de P(-1).


34

32) (FEI) Determinar m e n sabendo que P(x) = x4 + mx3 + nx2- 17x + 6 seja divisível por (x - 1)2.

33) (FUVEST) Determinar m e na equação x3 + mx2 + 2x + n = 0sabendo que 1 + i é uma de suas raízes.

34) (MAUÁ) Determinar todas as raízes de p(x) = 9x3 – 36x2 + 29x – 6, sabendo que o polinômio é divisível por (x – 3).

35) Considerando o polinômio p(x) = 2x3 – 6x2 + mx + n. Se p(2) = 0 e p( - 1)= -

6, calcule os valores m e n.

36) Determine os valores reais de a e b para que o binômio 2x2 + 17 seja igual

ao polinômio (a - b)x2 + (a + b).

37) Usando o método das chaves efetue a divisão de x4 – 10x3 + 24x2 + 10x –

25 por x2 – 6x + 5.

38) Calcule o valor de a a fim de que o polinômio x2 – ax + 2 seja divisível por

x – 4.

39) O número 2 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 20 = 0. Calcule os valores

de a e b.

40) Determine o conjunto solução da equação x3 – ix2 + 4x – 4i = 0, sabendo

que 2i é uma de suas raízes.

EstatísticaEstatísticaEstatísticaEstatística 1) Uma amostra de vinte empresas, de porte médio, foi escolhida para o

estudo sobre o nível educacional dos funcionários do setor de vendas. Os


35

dados coletados, quanto ao número de empregados com curso superior completo, são apresentados abaixo.

EmpresaEmpresaEmpresaEmpresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº de Funcionários 1 0 0 3 0 1 1 2 2 2 Empresa 1

1 12

13

14

15

16

17

18

19

20

Nºde Funcionários 0 2 0 2 0 1 1 2 3 2

a) Organize uma tabela de freqüência e calcule média, mediana e moda.

b) Determine o desvio padrão. c) As empresas pretendem incentivar o estudo dos seus funcionários

oferecendo um estudo adicional de 2 salários mínimos para cada funcionário com curso superior. Qual será a despesa média adicional nessas empresas?

2) As notas finais de estatística de um curso de Administração foram as

seguintes: 7, 5, 4, 5, 6, 3, 8, 4, 5, 4, 6, 4, 5, 6, 4, 6, 6, 3, 8, 4, 5, 4, 5, 5 e 6. a) Determine a mediana e a média. b) Separe o conjunto de dados em dois grupos denominados aprovados ,

com nota pelo menos igual a 5, e reprovados para as demais. Compare a variância dos dois grupos.

3) O tempo, em horas, necessário para um certo medicamento fazer efeito é

apresentado abaixo: 0,21 – 2,71 – 2,12 – 2,81 – 3,30 – 0,15 – 0,54 – 3,12 – 0,80 – 1,76 1,14 – 0,16 – 0,31 – 0,91 – 0,18 – 0,04 – 1,16 – 2,16 – 1,48 – 0,63

a) Calcule a média e a variância para este conjunto de dados. b) Construa uma tabela de freqüência para classes com amplitude 0,5

horas, começando do zero. c) Suponha que o conjunto original de dados foi perdido e só dispomos da

tabela construída em b). Utilizando alguma suposição conveniente, recalcule a média e a variância e comente as possíveis diferenças.

4) Numa linha de produção de uma grande montadora de veículos, existem 7

verificações de controle de qualidade. Sorteamos alguns dias do mês e anotamos os números de “OK’s” recebidos pelos veículos produzidos nesses dias, isto é, em quantos dos controles mencionados o automóvel foi aprovado.


36

AprovaçõesAprovaçõesAprovaçõesAprovações Freqüência 4 126 5 359 6 1685 7 4764

total 6934

a) Determine média, mediana e a moda do número de aprovações por automóvel produzido.

b) Calcule a variância. c) Crie uma nova variável reprovações, indicando o número de

verificações não “OK’s” no veículo. Determine média, mediana, moda e variância dessa variável.

d) Cada reprovação implica um custo adicional para a montadora, tendo em vista a necessidade de corrigir o defeito apontado. Admitindo um valor básico de R$200 por cada item reprovado num veículo, calcule a média e a variância da despesa adicional.

5) O sindicato dos Engenheiros do Estado de São Paulo está estudando o

impacto do estágio na obtenção de bons empregos. Dentre os engenheiros recém formados e com empregos considerados bons, foi sorteada uma amostra e observado o número de anos de estágio anteriores à formatura. Calcule a média e a variância.

Anos de EstágioAnos de EstágioAnos de EstágioAnos de Estágio Freqüência 0 25 1 58 2 147 3 105 4 72 5 45 6 10

total 462 6) Um certo cruzamento tem um alto índice de acidentes de trânsito,

conforme pode ser constatado em uma amostra dos últimos 12 meses: 5, 4, 7, 8, 5, 6, 4, 7, 9, 7, 6 e 8. Determine a média e a variância do número de acidentes mensais nesse local.

7) Você está indeciso em comprar uma televisão e decide avaliar algumas informações estatísticas, fornecidas pelo fabricante, sobre a duração (em horas) do tubo de imagem:


37

Marca da TV GA FB HW Média 8000 8200 8000 Mediana 8000 9000 7000 Desvio Padrão

600 1500 2500

Com que marca você ficaria? Justifique. 8) A pulsação de 10 estudantes no início de uma prova de estatística foram

as seguintes( em batimentos por minuto): 80, 91, 84, 86, 93, 88, 89, 85 e 86. calcule a média e a variância desse conjunto de dados.

9) Num estudo sobre consumo de combustível, 200 automóveis do mesmo ano e modelo tiveram seu consumo observado durante 1000 quilômetros. A informação obtida é apresentada na tabela abaixo em Km/litro:

FaixasFaixasFaixasFaixas Freqüências 7 ├ 8 27 8 ├ 9 29 9 ├ 10 46 10 ├ 11 43 11 ├ 12 55

Determine o desvio padrão do consumo.

10) Determine: a) Um exemplo de variável qualitativa e um exemplo de quantitativa

dentro de uma pesquisa. b) Quais são os tipos de gráfico utilizados em Estatística.

Documents

49350919-Matematica-1-3o-EM