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matemática 12º teste 4
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Internet: www.xkmat.pt.to
Escola Bsica e Secundria Dr. ngelo Augusto da Silva Teste de MATEMTICA A 12 Ano
1 PARTE Para cada uma das seguintes questes de escolha mltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe so apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questo ser anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambgua.
1. Seja m a funo, real de varivel real, definida em IR por 1
( )ex
m xb
, com 0b .
Sabendo que (2) 7m , qual o valor de ln(b) ?
(A) 7
e (B) 7 e (C) ln7e (D) 1 ln 7
2. A reta t, de equao 2 3y x , uma assntota do grfico de uma funo h quando x tende para
.
Qual o valor de lim ( ) 2x
h x x
?
(A) 3 (B) (C) 0 (D) 3
3. Na figura encontram-se partes das representaes
grficas das funes f e g.
O grfico de f uma reta tangente ao grfico de g no
ponto C, de coordenadas (3, 1) .
Seja j a funo tal que ( )( )( ) e f g xj x .
O valor de '(3)j , derivada de j, :
(A) 4
3e (B) e (C) 1 (D)
2
3e
4. Seja a um nmero real no nulo. Qual o valor de 2 2
1lim
eax
x o ax a x
?
(A) 1
a (B)
1
2a (C) 0 (D)
Durao: 90 minutos Maro/ 2014
Nome ________________________ N ___ T: __
Classificao
____________
O Prof.__________________ (Lus Abreu)
c
O x
y
1
-1
3
f
g
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5. De uma funo h, de domnio IR, definida por 2( ) ex
h x k , IRk , sabe-se que:
2
( ) (2)lim
2 2
ex
h x h
x
Ento o valor de k :
(A) e (B) 1 (C) 2e (D) 2
4
e
2 PARTE
Apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando os clculos efectuados e as justificaes necessrias. Quando no indicada a aproximao que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. O nmero de utentes que utilizam transporte pblico numa
determinada localidade, em milhares, pode ser dado, t anos
aps o incio da contagem, pela funo definida por:
0,4( )
1 2e tA
U t
, sendo A uma constante positiva.
Suponha que a contagem iniciou-se a 1 de janeiro de 2006 e que
nessa data foram contabilizados cinco mil utentes.
1.1. Mostre que 15A .
1.2. De acordo com este modelo, qual ser o nmero de utentes em janeiro de 2014?
Apresente o resultado em milhares arredondado s milsimas.
1.3. Calcule lim ( )t
U t
e interprete esse resultado no contexto da situao descrita.
2. Colocaram-se venda, na Internet, os bilhetes para um espetculo
musical. Ao fim de seis horas a venda de bilhetes esgotou.
Admita que, t horas aps o incio da venda, o nmero de bilhetes
vendidos, em centenas, dado aproximadamente por:
3
3 3( ) 6log (2 1) 6log (2 1)N t t t , [0,6]t .
Recorrendo a processos exclusivamente analticos resolva as alneas seguintes.
2.1. Mostre que 3( ) 12log (2 1)N t t , [0,6]t .
2.2. Determine quanto tempo foi necessrio para vender 2500 bilhetes. Apresente o resultado em
horas e minutos, minutos aproximados s unidades.
Se utilizar a calculadora para eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arredondamentos, use trs casas
decimais.
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3. Considere a funo h, de domnio , definida por:
2
0
( ) 1 0
1 ln(3 1)- 0
2 2
x xe ese x
x
h x se x
xse x
x
Recorrendo a processos exclusivamente analticos resolva as alneas seguintes.
3.1. Estude a funo h quanto continuidade.
3.2. Mostre, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que o grfico da funo h interseta a reta de
equao 1y x no intervalo 1,2 .
4. Considere a funo g, real de varivel real, tal que:
2
( )1 ln( )
g xx
4.1. Mostre que o domnio da funo 1
\e
.
4.2. Determine uma equao da reta tangente ao grfico de g no ponto de abcissa 1.
4.3. Estude a funo g quanto existncia de assntotas do seu grfico.
Indique uma equao para cada uma das assntotas encontradas.
5. Seja f uma funo contnua em ,a b e tal que ( ) 2ef a e ( ) ln(0,5)f b .
Justifique que o domnio da funo h, definida por 1
( )( )
h xf x
, no pode ser ,a b .
Fim Cotaes:
1 Parte
Questes10 pontos cada
questo. Total :1.1 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. 4.3. 5. Total
Pontos 50 15 15 10 10 10 20 15 5 15 20 15 200
2 Parte
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Formulrio
Comprimento de um arco de circunferncia
. (r amplitude, em radianos, do ngulo ao
centro; r raio)
reas de figuras planas
Losango:
2
Diagonal maior Diagonal menor
Trapzio:
2
Base maior Base menorAltura
Polgono regular: SemipermetroAptema
Sector circular:
2
2
r ( amplitude, em radianos,
do ngulo ao centro; r raio) reas de superfcies
rea lateral de um cone: rg (r raio da base; g geratriz)
rea de uma superfcie esfrica: 24 r
(r raio)
Volumes
Pirmide:1
3rea da baseAltura
Cone: 1
3rea da baseAltura
Esfera: 34
3r (r raio)
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b sen a. sen b
tg (a + b) = 1 .
tga tgb
tga tgb
Complexos
( ) ( . )n ncis cis n
2
, k 0,...,n-1n nk
cis cisn
Probabilidades
1 1 ... n nx p x p
2 2
1 1( ) ... ( )n nx p x p
Se X N(,) , ento:
( ) 0,6827P X
( 2 2 ) 0,9545P X
( 3 3 ) 0,9973P X
Regras de Derivao
'u v u v
uv u v uv
2
u u v uv
v v
1( ) (n )n nu nu u
cos sen u u u
cos u u sen u
2
cos
utg u
u
u ue u e
( ) lnu ua u a a ( \{1})a
ln u
uu
(log )ln
a
uu
u a
( \{1})a
Limites notveis
1lim 1
n
en
0
lim 1
xx
sen x
0
1lim 1
x
x
e
x
0
ln( 1)lim 1x
x
x
lnlim 0
x
x
x
lim (p )
x
px
e
x
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Solues
1. Parte
1 2 3 4 5
D D A A B
2. Parte
1.2. 13,869 1.3. 15 Com o passar do tempo o nmero de utentes que utilizam o transporte pblico
aproxima-se dos 15 mil.
2.2. 4 horas e 26 minutos
3.1. h contnua em
4.2. 2 4y x
4.3. Assintota vertical 1
xe
, assintota horizontal 0y
5. f(a) positivo e f(b) negativo, como a funo contnua em ,a b pelo Teorema de Bolzano tem pelo menos
um zero em .a b . Assim o domnio da funo h dado por : ( ) 0x f x .