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5. O CRCULO TRIGONOMTRICO E A FUNO DE

EULER

Um crculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles escolhido e

denominado positivo dizemos que o crculo est orientado. Tradicionalmente, em

Matemtica, escolhemos o sentido anti-horriocomopositivo.

Consideremos no sistema de coordenadas cartesianas o crculo com centro em

(0,0) e raio 1, tambm chamado de crculo unitrio, orientado. Fixemos no crculo

unitrio o ponto A(1,0), que ser chamado de origem dos arcos. O crculo definido acima

chamado de crculotrigonomtricoe ser designado por S1.

Figura 1

Definimos a medida algbrica de um arco AB de S1como sendo o comprimento

deste arco associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for o anti-horrio e

negativo em caso contrrio. Esta medida ser representada por AB.


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Figura 2

Observe que como S1 tem raio unitrio o mdulo da medida algbrica de AB

corresponde medida do arco em radiano, ou seja, AB = |m AB|rad.

Vamos agora definir uma aplicao E de R em S1, chamada defuno de Euler,

que associa a cada nmero real t um ponto P de S1, chamado de imagem de t no

crculo, da seguinte maneira:

E: R S1t E(t) = P = (x,y)

Tal que,

1) Se t = 0 ento P = A, isto , E(0) = A.

2) Se t > 0 realizamos um percurso de comprimento t a partir de A, no sentido anti-

horrio e marcamos P = E(t) como ponto final deste percurso , isto m AP = t.

3) Se t < 0 ento realizamos a partir de A um percurso de comprimento | t|no sentido

horrio e marcamos P = E(t) como ponto final deste percurso, isto mAP = t.


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Figura 3

Exemplo:

Dado o crculo trigonomtrico abaixo (Figura 4), temos :

E(0) = A , E(/2) = B, E() = A' e E(-/2) = E(3/2) = B'

Figura 4

A funo de Euler consiste em envolver a reta R,

pensada como um fio inextensvel, sobre o crculo S1

(imaginado como um carretel) de modo que o ponto 0 R

coincida com o ponto A de S1.


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Da correspondncia feita at aqui entre os nmeros reais e os pontos do crculo

trigonomtrico, se considerarmos o arco AP at uma volta, temos que mAP = t e -2t

-2. Podemos , no entanto, estender a noo de medida para arcos com mais de uma

volta, considerando |t |> 2.

Seja P = E(t) com t R, o arco AP e conseqentemente o ngulo A $OP mede t

radianos (Figura 5).

Figura 5

A funo de Euler no uma funo injetora, isto , a nmeros reais distintos

podem estar associados ao mesmo ponto no crculo trigonomtrico. Por exemplo,

E(-/2) = E(3/2). Mais geralmente, tomando t1 > 0 e mAP = t1 , associados a P

existem dois arcos com medidas e sentidos diferentes. Se mAP = t1 (no sentido anti-

horrio) e mAP = t2 (no sentido horrio), ou seja t2< 0, temos que : t1- t2= 2e E(t1) =

E(t2) = P.


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Figura 6

Se P a imagem de to, P ser tambm a imagem de to2, to4, etc..., ou

seja, P a imagem de todos os elementos do conjunto {t R ; t = to+ 2k, k Z }.

Dizemos, neste caso, que to+ 2k so as vrias "determinaes" do arco AP, ou

seja, todos os arco da forma to+ 2k so cngruos, isto , a diferena entre eles um

mltiplo de 2. De fato:

t t 2k e t 2k k , k Z1 o 1 2 o 2 1 2= + = + t tm a mesma imagem em S1 se e

somente se t1- t2 = 2k, (k = k1- k2)

As vezes para facilitar a linguagem dizemos que t (nmero real) pertence ao 1o

Quadrante. Estamos querendo dizer com isso que a extremidade P do arco AP tal que

mAP = t que pertence ao 1oQuadrante .

Finalmente, observando as figuras a seguir, obteremos diversas simetrias da

funo de Euler. Estas simetrias sero utilizadas para mostrar vrias propriedades das

funes seno e cosseno.

Dado t R, seja P = E(t) = (x,y)


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y)x,()E(t =+ x)y,()2

E(t =+

y)(x,t)E( = x)(y,t)

E( =

y)x,(t)E( =

Figura 7


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