123

6- EDO’s: TEORIA E TRATAMENTO NUMÉRICO

Introdução

Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = m.a . Se u = u(t) é a posição no instante t de uma partícula de massa m submetida a uma força F, temos

=

dtdu

utFdt

udm ,,

2

2

(1)

onde a força F pode ser função de t, u, e da velocidade dtdu

. A fim de determinar o movimento da

partícula sob a ação da força F é necessário encontrar a função u que obedeça (1). O nosso objetivo é discutir propriedades de soluções de equações diferenciais ordinárias e descrever alguns métodos que se mostram eficientes para encontrar as soluções do ponto de vista analítico e numérico. 6.1- CONCEITOS BÁSICOS

6.1.1 – Definições e Classificação das Equações Diferenciais

Definição 6.1.1.1: Uma das classificações mais evidentes se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável independente ou de diversas variáveis independentes. No primeiro caso, na equação diferencial só aparecem derivadas ordinárias e a equação é a equação diferencial ordinária (E.D.O.). No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial (E.D.P.). Um exemplo de uma E.D.O. é dado pela equação

)()(1)()(

2

2

tEtQCdt

tdQR

dttQd

L =++ , (2)

enquanto que um exemplo de e.d.p. é uma equação do tipo potencial

0),(),(

2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

yyxu

xyxu

. (3)

Definição 6.1.1.2: Uma outra classificação é a que depende do número de funções desconhecidas que estão envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma função, basta uma equação. Quando forem duas ou mais as funções desconhecidas, é necessário ter um sistema de equações diferenciais. Por exemplo, as equações de Lotka-Volterra (ou predador-presa), importantes modelos de ecologia, têm a forma:

yxycdtdy

yxxadtdx

...

...

γ

α

+−=

−= , (4)

onde x(t) e y(t) são as populações da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, c, α , γ estão baseadas em observações empíricas e dependem das espécies particulares que estão sendo estudadas.

124

Definição 6.1.1.3: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Neste sentido, uma equação da forma

F[t, u(t), u’(t), u’’(t), ...., u(n)(t)] = 0 (5) é uma equação diferencial ordinária de ordem n. Observação: É conveniente denotar u(t) por y e conseqüentemente suas derivadas ficam escritas em função de y. Geralmente consideramos equações diferenciais que se apresentam na forma

),...,,,,( )1(''')( −= nn yyyyxfy (6) Definição 6.1.1.4: Uma solução de uma equação diferencial ordinária do tipo (6), no intervalo

βα << t , é uma função φ tal que 'φ , ''φ , ..., )(nφ existem e satisfazem a )](),...,(),(),(,[)( )1(''')( tttttft nn −= φφφφφ (7)

para todo t em βα << t . A menos que se faça afirmação em contrário, vamos admitir que a função f da equação (6) é uma função real, e estaremos interessados em obter soluções reais y = )(tφ . Exemplo 6.1.1:

1. Mostre que R(t) = ce-kt é solução da equação kRdtdR

−= , para ∞<<∞− t .

2. As funções )cos()(1 tty = e )sen()(2 tty = são soluções da equação .0'' =+ yy Definição 6.1.1.5: Uma E.D.O. do tipo F[t, y, y’, y’’, ...., y(n)] = 0 é linear se F for uma função linear das variáveis y, y’, y’’, ...., y(n), ou seja, uma E.D.O. linear de ordem n, é

)()(...)()( )1(1

)(0 tgytaytayta n

nn =+++ − (8) Uma equação que não tenha a forma (8), será uma E.D.O. não linear.

Exemplo 6.1.2: A E.D.O. do tipo 4'''''' 2 tyyyey t =++ é não linear. Definição 6.1.1.6: O Problema de encontrar uma solução )(xy φ= para uma equação diferencial

),...,,,,( )1(''')( −= nn yyyyxfy sujeito a uma condição inicial 00 )( yxy = , isto é, 00 )( yx =φ , é chamado de Problema de Valor Inicial(P.V.I.). 6.1.2– Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções

Embora sejamos capazes de verificar que certas funções simples são soluções, em geral não dispomos prontamente de uma solução. A pergunta que se faz é a seguinte:

Uma equação da forma (6) sempre terá solução? A resposta é não e a justificativa segue.

Como saber quando existe tal solução? Podem haver três questões envolvidas nesta resposta. A questão da Existência: Se um determinado problema é expresso por uma equação

diferencial ordinária (ou sistema de E.D.O.), pode ter ou não solução, pois pode haver erro na formulação do problema.

A questão da Unicidade: admitindo que uma E.D.O. tenha solução, seria única ? Uma terceira questão estaria ligada ao caráter mais prático: como encontrar uma solução?

Caso exista, respondeu-se ao problema de existência. No entanto, pode existir mas não ser possível de expressar como função ou ainda, combinação de funções conhecidas.

125

Teorema 6.1.2.1: (de Existência e Unicidade de Solução para uma E.D.O. Linear de Ordem Um):

Seja uma E.D.O. da forma ),(' yxfy = (9)

onde a função f(x, y) está definida em um domínio D do plano xy que contém o ponto ( 00 , yx ). Se a função f(x, y) satisfaz as condições:

• f(x, y) é uma função contínua de duas variáveis em D;

• f(x, y) admite derivada parcial yf

∂∂

contínua com relação a x e y em D.

Então existe uma, e somente uma solução )(xy ϕ= da equação que satisfaz a condição

00 )( yxy = . Exemplo 6.1.3: Considere a E.D.O. de 1a ordem

y' = x.y +e-y.

O segundo membro da equação f(x, y) = x.y + e-y e sua derivada parcial yexyf −−=

∂∂

são contínuas

com relação a x e a y em todos os pontos do plano xy . Em virtude do teorema de existência e unicidade, o conjunto em que a equação tem solução única é todo o plano xy .

6.2- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM E 2A ORDEM

6.2.1– Equações de 1a Ordem a Variáveis Separáveis

Às vezes é conveniente usar como variável x em vez de t para designar a variável independente de uma equação diferencial. Neste caso, a equação geral de primeira ordem assume a forma

),( yxfdxdy

= . (1)

Se a equação (1) é não-linear, isto é, se f não é uma função linear da variável dependente y, não existe um método geral para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo direto de integração pode ser usado.

Em primeiro lugar, reescrevemos a equação (1) na forma

M(x,y)+N(x,y)dxdy

= 0 . (2)

É sempre possível conseguir isto fazendo M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y, a equação (2) se torna

M(x) + N(y) dxdy

= 0 . (3)

Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial M(x) dx + N(y)dy = 0 (4)

na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada variável podem ser separados pelo sinal de igualdade. Exemplo 6.1.4:

Mostrar que a equação 2

2

1 yx

dxdy

−= é de variável separável e encontre sua solução.

126

Exemplo 6.1.5: Mostre que a solução da E.D.O. com condição inicial

−=−

++=

1)0()1(2

243 2

yy

xxdxdy

é dada por 4221)( 23 +++−= xxxxy . Exemplo 6.1.6:

Achar a solução do problema de valor inicial

=+

=

1)0(21

cos2

yyxy

dxdy

.

Resposta.: )1||(lnarcsen)( 2 −+= yyyx .

6.2.2- Exercícios

6.2.2.1) xy

dxdy

= Sol.: y = c.x

6.2.2.2) (1 + y) dx – (1-x) dy = 0 Sol.: xxc

y−+

=1

6.2.2.3) 3'. yyyx =− Sol.: 21 ycxy +=

6.2.2.4) 0).(cot)(cos.sen)( 22 =+ dyygxdxyxtg . Sol.: cxy += 22 secseccos

6.2.2.5)

=

=+

1)0(

)1(

y

edxdy

ye xx

Sol.: )2

1ln(

212 xey +

=−

6.2.2.6) yx

dxdy 2

= Sol.: cxy =− 32 23

6.2.2.7) 0)sen(2 =+ xydxdy

Sol.: 0)cos(1

≠=+ yseCxy

; y = 0.

6.2.2.8) )2(cos).(cos 22 yxdxdy

= Sol.:

+±=

≠=−−

4

)12(0)2cos(

)2sen(2)2(2

ny

yseCxxytg

π

6.2.2.9) y

x

eyex

dxdy

+−

=−

Sol.: Ceexy xy =−+− − )(222

6.2.2.10) )1( 3

2'

xyx

y+

= Sol.: Cxy =+− 32 1ln23

6.2.2.11) 212' )1(. yyx −= Sol.: 1];sen[ln ±=+= yCxy

6.2.2.12)

==+

3/)2/(0 cos(3y)dy dx sen(2x)

ππy; Sol.: 3)2cos(3)3sen(2 += xy

127

6.2.2.13)

−=

+=

21

)0(

4)1(

3

2'

y

yxx

y Sol.:

212 +

−=x

y

6.2.2.14)

=+−

=

0)0(23

2'

yy

ey

x

Sol.: 01232 =−−++ xeyy x

6.2.3– Equações de 1a Ordem Homogêneas Definição 6.2.3.1: Uma função f(x,y) diz-se homogênea de grau n nas variáveis x e y se para todo

ℜ∈λ , 0>λ , temos: ),(),( yxfyxf nλλλ = ,

onde n = grau de homogeneidade. Exemplo 6.2.1:

a) Se 3 33),( yxyxf += então,

temos, ⇒=+=+= ),()(()((),( 3 333 33 yxfyxyxyxf λλλλλλ f é homogênea de grau 1.

b) 2

33

.),(

yxyx

yxf−

= é homogênea de grau zero.

Definição 6.2.3.2: Também podemos chamar uma E.D.O. de homogênea se f(x,y) é uma função homogênea de grau zero ou se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, onde M e N são funções homogêneas de mesmo grau. 6.2.3.1- Método de Resolução

Impõe-se uma solução do tipo y = u(x). x, sendo que a equação diferencial antes escrita na forma:

),( yxfdxdy

= ,

onde dxdu

xudxdy

.+= e ),(),( yxfyxf λλ= (hipótese), tomamos x1=λ , ficando

),1(),( xyfyxf = e como

xy

u = , temos que f(x,y) = f(1,u).

A E.D.O. passa a ser escrita como:

uufdxdu

xufdxdu

xu −=⇒=+ ),1(.),1(. , que é uma E.D.O. de variáveis separáveis. Assim,

integrando chegamos à:

∫ ∫ +=−

Cxdx

uufdu

),1(.

Substituindo u por xy

, após a integração, obtém-se a solução da E.D.O. original.

128

6.2.3.2 Exercícios

6.2.3.2.1) 22 yx

xydxdy

−= Solução: ||ln2 cyyx −=

6.2.3.2.2)

==−+

0)4(0..2)( 22

yydyxdxyx

Solução: x

xy4

1. −=

6.2.3.2.3) 0)()( =−−+ dyxydxyx Solução: 2

2 1)(2)(xC

xy

xy

=++−

6.2.3.2.4) 0)()32( =−++ dyxydxyx Solução: ||ln|2

2|ln

2

2

Cxuu

uu=

+

+

6.2.3.2.5) 03)( 233 =++ dyxydxyx Solução: 32 )

)(1

1(21

)(cx

xxy −=

6.2.3.2.6) 0))cos(.())cos(.( =+− dyxy

xdxxy

yx Solução: ||ln)sen( xCxy −=

6.2.4- Equações de 1a Ordem Lineares com Coeficientes Variáveis Definição 6.2.4.1: Uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação da forma

)()(' xQyxPy =+ , onde P(x) e Q(x) são funções contínuas. Se, na definição anterior, assumirmos Q(x) = 0 para todo x, podemos separar as variáveis e integrar então como segue (desde que y≠ 0):

∫ +−=⇒−=⇒−=⇒=+ CdxxPydxxPdyy

xPdxdy

yyxP

dxdy

ln)(ln)(1

)(1

0)(

Expressamos a constante de integração sob a forma ln|C|a fim de modificar, como a seguir, a forma da última equação:

CeyeCy

dxxPCy

dxxPCydxxPdxxP

=∫⇒∫=⇒−=⇒−=− ∫∫− )()(

.)(ln)(||ln||ln .

Observemos em seguida que, pela regra do produto, ∫+=∫+∫=∫+∫=∫ dxxPdxxPdxxPdxxP

x

dxxP

x

dxxP

x eyxPyexyPeyeDyeyDyeD)(')()(')()()(

))(()()()()( .

Conseqüentemente, multiplicando ambos os membros de )()(' xQyxPy =+ por ∫ dxxPe

)(, a

equação resultante pode ser escrita como ∫=∫ dxxPdxxP

x exQyeD)()(

)()( . Integrando ambos os membros, obtemos a seguinte solução implícita da E.D.O. de a1 ordem :

∫ +∫=∫ KdxexQeydxxPdxxP )()(

).(. ,

para uma constante K. Resolvendo esta equação em relação a y, somos levados a uma solução

explícita. A expressão ∫ dxxPe

)( é um fator integrante da equação diferencial.

Exemplo 6.2.2:

129

Resolva a E.D.O. 223 xyxdxdy

=− .

Como P(x) = -3x2, calculamos o fator integrante 323 xdxx

ee −−=∫ .

Multiplicando ambos os membros da E.D.O. obtém-se: 33333 222 ).(3 xx

xxxx exyeDexyex

dxdy

e −−−−− =⇒=− .

Integrando ambos os lados, obtemos

∫ +−=⇒+−== −−− 3333

.31

)(31

. 2 xxxx eCxyCedxexey .

Exemplo 6.2.3: Resolva a E.D.O. 03..5 5'2 =++ xyxyx , com x≠ 0. Dividindo ambos os membros por x2, obtemos:

3' 35

xyx

y −=+ .

O fator integrante é dado por 5|ln|5

5

|| xee xdxx ==∫

. Se x > 0, então |x|5 = x5. Se x < 0, |x|5 = - x5. Em qualquer caso, a multiplicação por |x|5 de ambos os membros da forma padronizada dá

8584'5 3)(35. xyxDxyxyx x −=⇒−=+ . Integrando ambos os membros da igualdade acima, obtemos como solução:

∫ +−=⇒+−=−=5

4985

3)(

33.

xCx

xyCx

dxxyx .

Exemplo 6.2.4: Resolva a equação diferencial )cos(..2)sec()(.' xxxxtgyy +=+ .

Cálculo do fator integrante: |)sec(|)|sec(|ln xee xtgxdx==∫ .

Desprezando o valor absoluto e multiplicando por ambos os lados, chegamos à xxxyDxxxxxtgxyxy x .2)(sec))sec(.()sec().cos(2)(sec)().sec(.)sec( 22' +=⇒+=+ .

Integrando ambos os membros, obtém-se: )cos()()sen()()()sec(. 22 xCxxxyCxxtgxy ++=⇒++= .

6.2.4.1- Técnica Alternativa Para Resolução de uma E.D.O. Linear De 1A Ordem

Suponha que y(x) = u(x).v(x), onde v(x) é uma solução particular da E.D.O. .0)(' =+ yxPy

Derivando y com relação à x, obtém-se:

...dxdu

vdxdv

udxdy

+=

Considerando a E.D.O. )().( xQyxPdxdy

=+ e substituindo a derivada de y com relação a x,

obtemos:

)(.).(. xQvuxPdxdu

vdxdv

u =++

)(.).( xQdxdu

vvxPdxdv

u =+

+

130

Determinação de v(x): Imponha que a expressão entre colchetes seja zero, isto é:

dxxPv

dvvxP

dxdv

).(0).( −=⇒=+

Substitua a expressão de v(x) encontrada na equação:

)(. xQdxdu

v =

e determine u(x). Finalizando, obtemos y(x) = u(x).v(x). 6.2.4.2- Exercícios

6.2.4.2.1) )cos(.5)(cot. xexgydxdy

=+ Solução: ]).[sec(cos)( cos cexxy x +−=

6.2.4.2.2) 0.3..5. 5'2 =++ xyxyx Solução: 5

4

3)(

xcx

xy +−=

6.2.4.2.3) )ln(' xyxy =+ Solução; 1ln)( −+=xc

xxy

6.2.4.2.4) 0))cos(.( 2 =−+ xdydxyxx Solução; cxxxxy += sen)(

6.2.4.2.5) 0).3.2( 323 =−−+ dxxyxydyx Solução: 21

33

..2

)( xexcx

xy +=

6.2.4.2.6) xxxydxdy

x 23. 23 −++= Solução: xcxxxx

xy .)ln(.2.32

)( 23

+−+=

6.2.4.2.7) 0).2(.2 =−=− dxexydxxdy x Solução: 2

.)( xx ecexy +=

6.2.4.2.8) xeyy 2' 2 =+ Sol.: xx

cee

xy 22

4)( −+=

6.2.4.2.9) 23' =− yy Sol.: xcexy 3

32

)( +−=

6.2.4.2.10) 5' 3. xyyx =− Sol.: 35

2)( cx

xxy +=

6.2.4.2.11) )sec(cos)(cot' xxgyy =+ Sol.: )sen(

)(xcx

xy+

=

6.2.4.2.12) xexyyx =++'. Sol.: xcx

xe

xyx

+−=2

)(

6.2.4.2.13) 0).2(2 =−+ dxeyxdyx x Sol.:2

)(x

cexy

x +=

6.2.4.2.14) )sen()(.' xxtgyy =+ Sol.: ])sec(|)[lncos()( cxxxy += 6.2.4.2.15) 0))cos(.( 2 =−+ xdydxyxx Sol.: cxxxxy += )sen(.)(

6.2.4.2.1) xexyxyx 3' .)32(. −=++ Sol.: xexcx

xy 323

)( −

+=

6.2.4.2.16) 0)sen(().( =−+ dxxydyxtg Sol.:)sen(

)sen(21

)(x

cxxy +=

6.2.4.2.17) 322' .3 xexyxy −+=+ Sol.:

3

)(31

)( xecxxy −++=

6.2.4.2.18)

=+=−

2)1(. 2'

yxxyyx

Sol.: )1)ln(.()( ++= xxxxy

131

6.2.4.2.19)

==++ −

0)1(.. '

yeyxyyx x

Sol.: )1

1()(x

exy x −= −

6.2.4.2.20) A equação diferencial dt

dVCI

dtdI

R =+ descreve um circuito elétrico que consiste em

uma força eletromotriz V com uma resistência R e capacitância C ligadas em série. Se V é constante e se I(0) = I0, expresse I como função de t.

Resp.: RCt

eItI−

= .)( 0 6.2.5 – Equações de 1a Ordem Exatas e Fatores Integrantes

Considere a equação diferencial de a1 ordem do tipo 022 '2 =++ xyyyx . (1) Esta equação não é separável. No entanto observe que a função 22 .),( yxxyx +=ϕ satisfaz a propriedade que:

xyx

∂∂

=+ϕ22 e xy

y2=

∂∂ϕ

. (2)

Assim a E.D.O. pode ser escrita como

0)()( 2222 =+∂∂

++∂∂

dxdy

xyxy

xyxx

. (3)

Admitindo que y seja função de x (utilizando a Regra da Cadeia), pode-se escrever a (3) na forma

0)( 22 =+ xyxdxd

. (4)

Portanto, cxyx =+ 22 , (5)

onde c é uma constante arbitrária, é uma expressão implícita (solução) de (1). Ao resolver (1), a etapa principal foi o reconhecimento da existência de uma função

),( yxϕ que obedecia (2). De modo mais geral, considere a equação diferencial

M(x,y)+N(x,y) 'y = 0. (6) Suponha que se possa identificar uma função ),( yxϕ tal que

),(),( yxMyxx

=∂∂ϕ

e ),(),( yxNyxy

=∂∂ϕ

, (7)

de modo que ),( yxϕ = c obedeça a equação y = )(xφ , como uma função derivável de x. Então:

M(x,y)+N(x,y) 'y = )](,[ xxdxd

dxdy

yxφϕ

ϕϕ=

∂∂

+∂∂

,

sendo que (6) pode ser reescrita como:

0)](,[ =xxdxd

φϕ . (8)

Neste caso, (6) é uma equação diferencial exata. A solução de (6) ou de sua equivalente (8) é dada implicitamente por cyx =),(ϕ , (9) onde c é uma constante arbitrária.

132

No exemplo estudado, foi fácil encontrar a sua solução, devido ao reconhecimento da função desejada ϕ . Para os casos em que isto não é possível, existe um teorema para verificação desta condição: Teorema 6.2.5.1: Sejam M, N, My, Nx funções contínuas no domínio retangular (conexo) R:

βα << x , δγ << y , então a equação

M(x,y)+N(x,y) 'y =0 é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,

),(),( yxNyxM xy = (10) em cada ponto de R. Isto é, existe uma função ϕ , que satisfaça

),(),( yxMyxx

=∂∂ϕ

e ),(),( yxNyxy

=∂∂ϕ

,

se, e somente se, M e N satisfizerem (10). Exemplo 6.2.5: a) Resolver a equação diferencial 0)1)(sen(2)cos(. '2 =−+++ yexxxexy yy . É fácil ver que

),(.2)cos(),( yxNexxyxM xy

y =+= , de modo que a equação é exata. Assim, há uma função ),( yxϕ tal que:

yx xexyyx 2)cos(.),( +=ϕ

1)sen(),( 2 −+= yy exxyxϕ .

Integrando a primeira equação, obtemos: ).(.)sen(),( 2 yhexxyyx y ++=ϕ

Derivando ϕ em relação a y e utilizando a segunda equação, obtemos:

1)sen()(.)sen(),( 2'2 −+=++= yyy exxyhexxyxϕ

Assim, yyhyh −=⇒−= )(1)(' . A constante de integração pode ser omitida, pois qualquer solução da equação diferencial é satisfatória e não precisamos de uma solução geral. Sendo assim, obtemos como solução

yexxyyx y −+= .)sen(),( 2ϕ , que é uma solução do tipo implícita.

b) Resolver a equação diferencial 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy .

Neste caso yxyxM y 23),( += e yxyxN x += 2),( .

Portanto xy NM ≠ e a equação não é exata. Para ver que não é possível resolvê-la pelo método

anterior, procuremos uma ϕ tal que 23 yxyx +=ϕ e xyxy += 2ϕ . Integrando xϕ em relação à x vem:

)(23

),( 22 yhxyyxyx ++=ϕ (*)

onde h é uma função arbitrária de y. Afim de satisfazer yϕ , calculamos a derivada de (*) com relação à y e comparamos. Assim

xyxyhxyx +=++ 2'2 )(223

,

133

ou xyxyh −−= 2'

21

)( . Como o 2o membro depende de x e y, é impossível encontrar h(y). Portanto

não há uma função ),( yxϕ que satisfaça as derivadas parciais. Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial que não seja exata numa exata, multiplicando-a por um fator integrante apropriado. Multipliquemos a equação

0),(),( =+ dyyxNdxyxM (11) por uma função µ e tentemos encontrá-la de modo que

0),().,(),().,( =+ dyyxNyxdxyxMyx µµ (12) seja exata. Sabe-se, de antemão, que a equação acima será exata se, e somente se,

xy NM )()( µµ = , (13)

isto é, µ deverá obedecer à seguinte equação diferencial de a1 ordem 0)( =−+− µµµ xyxy NMNM . (14)

Se uma função µ satisfizer à (14), então (12) será exata. A solução de (12) poderá então ser obtida pelo método anteriormente descrito. A solução encontrada satisfaz (11) pois o fator integrante µ será cancelado. Supondo que µ dependa somente de x e do fato que xy NM )()( µµ = , obtém-se

µµ

N

NM

dxd xy−=

que é o fator integrante procurado. Exemplo 6.2.6:

Encontre o fator integrante e resolva a equação 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy . (*)

Já sabemos que esta equação não é exata. Determinamos um fator integrante que dependa exclusivamente de x. Ao determinar a expressão

xxyxyxyx

yxN

yxNyxM xy 1)2(23),(

),(),(2

=+

+−+=

−,

observamos que o fator integrante depende exclusivamente de x e para encontrá-lo basta resolver a equação diferencial

xxxdx

d=⇒= )(µ

µµ.

Multiplicando (*) por )(xµ , obtém-se:

0)()3( '2322 =+++ yyxxxyyx que é exata e, após sua resolução, encontra-se

cyxyx =+ 223

21

.

6.2.5.1- Exercícios

Determinar se as equações são exatas ou não. Para as equações exatas, encontre a solução: 6.2.5.1.1) 0)22()32( ' =−++ yyx Sol.: Cyyxx =−++ 23 22 6.2.5.1.2) 0)22()42( ' =−++ yyxyx Sol.: Não é exata 6.2.5.1.3) 0)36()223( 222 =+−++− dyxydxxyx Sol.: Cyyxyxx =+++− 322 323 6.2.5.1.4) 0)22()22( '22 =+++ yxyxyxy Sol.: Cxyyx =+ 222 6.2.5.1.5) 0))cos(2)cos(())sen(2)sen(( =++− dyxyedxxyye xx

134

Sol.: Cxyye x =+ )cos(2)sen( ; y = 0. 6.2.5.1.6) 0))sen(3()3)sen(( =−−+ dyyexdxyye xx Sol.: Não é exata 6.2.5.1.7) 0)3)2cos(()2)2sen(2)2cos(( =−++− dyxxedxxxexye xyxyxy Sol.: Cyxxe xy =−+ 3)2cos( 2

6.2.5.1.8) 0)2(ln)6( =−++ dyxdxxxy

, x > 0 Sol.: Cyxxy =−+ 23ln. 2

6.2.5.1.9) 0)ln())ln(( =+++ dyxyxydxxyyx , x > 0, y > 0 Sol.: Não é exata

6.2.5.1.10) 0)( 2

322=

+

+

yx

ydyxdx Sol.: Cyx =+ 22

Encontre o valor de b para o qual a equação é exata e resolver cada equação com o valor

encontrado: 6.2.5.1.11) 0)()( 222 =+++ dyxyxdxybxxy Sol.: b=3; Cyxyx =+ 322 2 6.2.5.1.12) 0)( 22 =++ dybxedxxye xyxy Sol.: b=1; Cxe xy =+ 22 6.2.6– Equações de 2a Ordem Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Definição 6.2.6.1: Uma equação diferencial ordinária de 2a ordem tem a forma

),,(2

2

dxdy

yxfdx

yd= (1)

onde f é uma função conhecida. Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f é linear em y e suas derivadas, isto é, quando

yxqdxdy

xpxgdxdy

yxf )()()(),,( −−= , (2)

onde g, p e q são funções da variável independente x. Neste caso, a equação (1) fica )()()( '" xgyxqyxpy =++ (3)

Definição 6.2.6.2: Se a equação (1) não tem a forma (3), então ela é denominada não linear. Para uma E.D.O. de 2a ordem, um problema de valor inicial é constituído por um par de condições iniciais

00 )( yxy = e 10' )( yxy = (4)

onde 0y e 1y são números dados. Observação: Note que são necessárias duas condições iniciais para uma equação de segunda ordem, pois falando em termos gerais, são necessárias duas integrações para se chegar a solução. Um exemplo de ocorrência de uma equação linear de 2a ordem é dado pelo movimento de um corpo ligado a uma mola, e muitos outros sistemas oscilantes simples, que é descrito por uma equação da forma:

)(2

2

tFkudtdu

dtud

m =++ γ , (5)

onde m, γ e k são constantes e F é uma função.

135

Definição 6.2.6.3: Uma E.D.O. linear de 2a ordem é homogênea se o termo g(x) em (3) for nulo para todo x. Não sendo assim, a equação é não-homogênea. Observação: O termo g(x) é denominado não-homogêneo. Consideremos a E.D.O. linear homogênea de 2a ordem

0'" =++ qypyy (*) Propriedades 6.2.6.4: 1. Se y1 e y2 são soluções particulares da E.D.O. linear homogênea de 2a ordem (*) então y1 + y2 também é solução da equação. 2. Se y1 é uma solução de (*) e C é uma constante, o produto Cy1 é também solução desta equação.

6.2.6.1- A Independência Linear e o Wronskiano

Definição 6.2.6.1.1: Duas soluções y1 e y2 de (*) denominam-se linearmente independentes (L.I.)

no intervalo [a,b] se sua razão teconsyy

tan2

1 ≠ . Em caso contrário, as soluções chamam

linearmente dependentes (L.D.). Em outras palavras, duas soluções y1 e y2 são L.D. se λ∃ tal que

λ=2

1

yy

quando x ∈ [a,b].

Exemplo 6.2.7:

A equação 0" =− yy admite como soluções ex , e-x , 3.ex e 5.e-x. As funções ex e e-x são L.I.

em todo o domínio e por esta razão xx

x

eee 2=− que varia com x ℜ∈ . Ao passo que xe e 3 xe são L.D.

pois 33

=x

x

ee

(constante).

Definição 6.2.6.1.2: Se 21 yey são funções de x, então o determinante

W( '2

'1

2121 ),

yyyy

yy =

denomina-se determinante do Wronski ou Wronskiano das funções dadas. Propriedades: 1. Se as funções y1 e y2 são L.D. em [a,b], então o Wronskiano em [a,b] é zero. De fato, se 12 yy λ= donde λ é constante, então '

1'2 yy λ= e

0),( '1

'1

11'1

'1

11'2

'1

2121 ====

yyyy

yyyy

yyyy

yyW λλλ

.

2. Se o Wronskiano W(y1,y2) das soluções y1 e y2 da equação homogênea não se anula em um ponto x = x0 de [a, b], então ele não se anula para qualquer valor de x neste intervalo.

136

Observação: Se o Wronskiano é nulo para certo valor de x = x0, então este determinante também é igual a zero para qualquer valor de x no intervalo considerado. 3. Se as soluções y1 e y2 de (*) são L.I. em [a,b], então o Wronskiano formado por estas soluções não se anulará em nenhum ponto do intervalo. 4. Se y1 e y2 são soluções de (*), então

2211 ycycy += , onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, é uma solução geral de (*).

6.2.6.2– Raízes da Equação Característica – Tipos de Soluções

Neste momento, vamos dirigir nossas atenções para o caso em que os termos que

acompanham yyy ,, '" de (*) são constantes, ou seja, estaremos interessados em resolver uma E.D.O. de 2a ordem do tipo

0. '" =++ cybyya , (6) onde a, b, c são constantes dadas. Antes de mostrarmos a forma de solução, consideremos o seguinte exemplo:

0" =− yy (7) Para esta equação, têm-se a=1, b=0 e c=-1. Com um pouco de meditação, observamos que

uma função que satisfaz (7) é y(t) = et. Seguindo o mesmo raciocínio, observamos que y(t) = e-t também satisfaz (7). Com o tempo, veremos que a combinação destas duas soluções também satisfaz (7). Com isto, verifica-se que soluções do tipo )()()( 2211 tyctycty += apresentam uma solução de (7) na forma geral. Observação: Para determinar os valores das constantes são necessárias duas condições iniciais. Voltando à equação (6), já vimos que soluções do tipo exponencial, são válidas. Suponhamos que rtey = , onde r é o parâmetro a ser determinado. Temos que rtrey =' e

rtery 2" = . Levando as expressões de y, y’ e y” em (6), obtém-se:

( ) 0 0 202 =++ →=++ ≠ cbrarecbrarrtert

(8) A equação (8) é denominada equação característica. A solução desta equação característica

envolve um estudo do sinal do “delta” da equação. Caso 1: ⇒>∆ 0 raízes reais e distintas. Suponha r1 e r2 as duas raízes. Neste caso tem-se como solução trety 1)(1 = e trety 2)(2 = e portanto, a solução geral fica

trtr ecectyctycty 21212211 )()()( +=+= . (9)

Observação: Verifique que (9) satisfaz (6). Exemplos 6.2.8: a) Encontre a solução da E.D.O. 065 '" =++ yyy , sujeita às condições iniciais:

3)0(2)0( ' == yey .

137

b) Encontre a solução do P.V.I.

=

=

=+−

21

)0(

2)0(

0384

'

'"

y

y

yyy

Solução: 223

25

21

)(tt

eety +−= .

Caso 2: ⇒=∆ 0 raízes reais e iguais. Neste caso. Tem-se que acb 42 = e então a

brr

221 −== .

Assim, obtemos como solução, para a E.D.O. do tipo xrexy =)(1 . A solução rxexxy .)(2 = também satisfaz. Portanto a solução geral para este caso é:

rxexccxy ).()( 21 += . (10) Caso 3: ⇒<∆ 0 raízes complexas. Neste caso, observamos que uma das raízes terá a forma

βα ir +=1 (a outra raiz será βα ir −=−

1 ), onde ℜ∈βα , . Assim teremos como solução:

)].sen()()cos()[()]sen()(cos())sen()(cos([

][

212121

21)(

2)(

1

xccixccexixcxixce

ececeececyxx

xixixxixi

ββββββ αα

ββαβαβα

−++=−+−++=

+=+= −−+

Como 21 cc + e )( 21 cci − devem ser reais, impomos que 21 cc + 1C= e i 221 )( Ccc =− e então

)]sen()cos([)( 21 xCxCexy x ββα += , (11) deve ser a solução para o caso em que 0<∆ . 6.2.6.3- Exercícios

Resolva as E.D.O.’s lineares de 2a ordem abaixo: 6.2.6.3.1) 034 '" =+− yyy

6.2.6.3.2)

==

=++

1)0(0)0(

052

'

'"

yy

yyy

6.2.6.3.3) 0=− yy IV

138

6.2.6.3.4) 032 '" =−+ yyy 6.2.6.3.5) 023 '" =++ yyy 6.2.6.3.6) 06 '" =−− yyy 6.2.6.3.7) 032 '" =+− yyy 6.2.6.3.8) 05 '" =+ yy 6.2.6.3.9) 0994 '" =+− yyy 6.2.6.3.10) 022 '" =−− yyy

Nos problemas abaixo, encontrar a solução das E.D.O. de 2a ordem:

6.2.6.3.11) 022 '" =+− yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcety t +=

6.2.6.3.12) 062 '" =+− yyy Sol. )]5sen()5cos([)( 21 tctcety t += 6.2.6.3.13) 082 '" =−+ yyy Sol. tt ececty 4

22

1)( −+= 6.2.6.3.14) 022 '" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcety t += − 6.2.6.3.15) 0136 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 21

3 tctcety t += −

6.2.6.3.16) 094 " =+ yy Sol. )23

sen()23

cos()( 21t

ct

cty +=

6.2.6.3.17) 025,12 '" =++ yyy Sol. )]2

sen()2

cos([)( 21t

ct

cety t += −

6.2.6.3.18) 0499 '" =−+ yyy Sol. 34

23

1)(tt

ececty−

+=

6.2.6.3.19) 025,1'" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 212 tctcety

t+= −

6.2.6.3.20) 025,64 '" =++ yyy Sol. )]23

sen()23

cos([)( 212 t

ct

cety t += −

6.2.6.3.21)

===+

1)0(;0)0(04

'

"

yyyy

Sol. )2sen(21

)( tty =

6.2.6.3.22)

===++

0)0(;1)0(054

'

'"

yyyyy

Sol. )]sen(2)[cos()( 2 ttety t += −

6.2.6.3.23)

===+−

2)2(;0)2(052

'

'"

ππ yyyyy

Sol. )2sen()( 2 tety t π−−=

6.2.6.3.24)

−===+

4)3(;2)3(0

'

"

ππ yyyy

Sol. )sen()32()cos()321()( ttty −−+=

6.2.6.3.25)

===++

1)0(;3)0(025,1

'

'"

yyyyy

Sol. )]sen(25

)cos(3[)( 2 ttetyt

+=−

6.2.6.3.26)

−===++

2)4(;2)4(022

'

'"

ππ yyyyy

Sol. )sen(2)cos(2)( )4()4( tetety tt −− +=ππ

6.2.6.3.27) 02 '" =+− yyy Sol. ][)( 21 tccety t +=

6.2.6.3.28) 069 '" =++ yyy Sol. ][)( 213 tccetyt

+=−

6.2.6.3.29) 0344 '" =−− yyy Sol. 23

22

1)(tt

ececty +=−

139

6.2.6.3.30) 09124 '" =++ yyy Sol. ][)( 212

3tccety

t+=

−

6.2.6.3.31) 0102 '" =+− yyy Sol. )]3sen()3cos([)( 21 tctcety t += 6.2.6.3.32) 096 '" =+− yyy Sol. ][)( 21

3 tccety t +=

6.2.6.3.33) 04174 '" =++ yyy Sol. tt

eccety 421

4)( −−

+=

6.2.6.3.34) 092416 '" =++ yyy Sol. ][)( 214

3tccety

t+=

−

6.2.6.3.35) 042025 '" =+− yyy Sol. ][)( 215

2tccety

t+=

6.2.6.3.36) 022 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 212 tctcety

t+=

−

6.2.7– Equações de 2a Ordem Lineares Não Homogêneas com Coeficientes Constantes 6.2.7.1 - Método dos Coeficientes Indeterminados

A forma geral da equação é )('" tgqypyy =++ .

Suponhamos que g(t) seja produto de uma função exponencial por um polinômio, tendo a forma

tn etPtg α)()( = , (1)

onde )(tPn é um polinômio de grau n. Alguns casos podem ocorrer: 1. O número α não é uma raíz da equação característica 02 =++ qprr . Então se torna necessário encontrar uma solução particular da forma:

tn

nnp eAtAtAty α)...()( 1

10 +++= − = tn etQ α)( (2)

O trabalho agora se concentra em determinar os coeficientes do polinômio. Esta tarefa consiste em substituir py na equação original, ou seja, deriva-se tantas vezes quanto for a ordem da derivada e iguala-se com o lado direito da E.D.O. lembrando uma regra fundamental: “Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes são iguais termo a termo”. 2. O número α é uma raíz simples da equação característica. Para esta situação, a solução que deve satisfazer a E.D.O.terá a forma: t

nnn

p eAtAtAtty α)....()( 110 +++= − = t

n etQt α)( (3) Novamente, o trabalho concentra-se em derivar a expressão (3) de modo a determinar seus coeficientes, impondo como solução da E.D.O.. 3. O número α é uma raíz dupla da equação característica. Nesta situação, a solução que deve satisfazer a E.D.O. terá a forma: t

nnn

p eAtAtAtty α)....()( 110

2 +++= − = tn etQt α)(2 (4)

Na tabela abaixo, encontram-se resumidos as soluções particulares para o caso não homogêneo:

140

g(t) Raíz Solução Particular ( )(ty p ) t

nnn eatata α)...( 1

10 +++ − α≠21 rer tn

nn eAtAtA α)...( 110 +++ −

αα == 21 rour tn

nn eAtAtAt α)...( 110 +++ −

α=r (α é raíz dupla) tn

nn eAtAtAt α)...( 110

2 +++ − Suponhamos agora que g(t) seja da forma ]sen)(cos)([ xxQxxPe x ββα + onde P(x) e Q(x) são polinômios. Deve-se encontrar uma solução para o caso particular onde a forma desta solução depende da raiz do polinômio característico. O problema é que, como temos na função f(t) que é produto de uma exponencial por uma função trigonométrica do tipo sen xβ ou cos xβ , a raiz a ser considerada deverá necessariamente ter a forma βα i+ , sendo que α deverá ser comparada à parte real ou o coeficiente da exponencial e β deverá ser comparado com o argumento do ângulo. Por exemplo, se tivermos uma função, para o caso não homogêneo, da forma

)4cos()( 5 tetg t= e as raízes do polinômio característico forem da forma 5 ± 4i, obteremos como solução particular uma função da forma:

))]4sen()4cos(([)( 5 tBtAetty t += , que será determinada quando descobrirmos o valor das constantes A e B. Agora considere por exemplo a situação, para o caso não homogêneo, onde )3(cos)( ttf = e as raízes do polinômio característico são da forma 2± 3i. Neste caso, teremos uma solução, para o caso particular, da forma

)3sen()3cos()( tBtAty += , onde novamente, basta determinar os valores de A e B. Observação: Se aparecer polinômios multiplicando as funções trigonométricas, será necessário impor na solução particular, polinômios de mesmo grau que do caso não homogêneo, e compará-los a fim de determinar o valor dos coeficientes. Resumindo, para este caso temos os seguintes resultados: g (t)

Raízes −−

+ βα i Solução Particular ( )(ty p )

]sen)(cos)([ ttQttPe t ββα + βαβα ii +=+−−

]sen)(cos)([ ttQttPte t ββα−−

+

βαβα ii +≠+−−

]sen)(cos)([ ttQttPe t ββα−−

+ 6.2.7.2- Exercícios

Resolva as equações abaixo:

6.2.7.2.1) xyyy =++ 34 '" Sol.: 94

31)( 3

21 −++= −− xececxy xx

6.2.7.2.2) xexyy 32" )1(9 +=+ Sol.: xexxxcxcxy 3221 )

815

271

181

()3sen()3cos()( +−++=

6.2.7.2.3) xexyyy )2(67 '" −=+− Sol.: xxx exxececxy )259

101

()( 621 +−++=

141

6.2.7.2.4) xeyyy 265 '" =+− Sol.: xxx eececxy ++= 32

21)(

6.2.7.2.5) teyyy −=−− 22'" Sol.: ttt teececty −− −+=32

)( 22

1

6.2.7.2.6) 3" xkyy =+ Sol.: xk

xk

xKcxKcxy2

321

61)sen()cos()( −++=

6.2.7.2.7) )cos(252 '" xyyy =++

Sol.: )sen(51

)cos(52

)2sen()2cos([)( 21 xxxcxcexy x +++= −

6.2.7.2.8) )2cos(4" xyy =+ Sol.: )2sen(41

)2sen()2cos()( 21 xxxcxcxy ++=

6.2.7.2.9) )cos(3 2" xeyy x=− Sol.: ]sen53

cos103

[)( 221 xxeececxy xxx +++= −

6.2.7.3 - Método da Variação dos Parâmetros

A forma geral da equação é )('" tgqypyy =++ .

Objetivo: Determinar uma solução particular de uma equação não homogênea. Vantagem: é um método geral, ou seja, não exige hipóteses detalhadas sobre a forma da solução. Idéia Básica: Substituir os coeficientes da solução encontrada no caso homogêneo por funções

)(1 tu e )(2 tu de modo que a solução reescrita, seja solução da não homogênea. Exemplo 6.2.9:

Considere a E.D.O. )sec(cos34" tyy =+ , (1)

cuja solução para o caso homogêneo ( 04" =+ yy ), (2)

tem a forma )2sen()2cos()( 21 tctcty += . (3)

A idéia do método é impor como solução, para o caso particular, uma equação da forma )2sen()()2cos()()( 21 ttuttuty += , (4)

de modo que esta torne solução para o caso não homogêneo. Derivando (4) uma vez, obtém-se:

)2sen()()2cos()()2cos()(2)2sen()(2)( '2

'121

' ttuttuttuttuty +++−= . (5) Imponha que

0)2sen()()2cos()( '2

'1 =+ ttuttu (6)

De (5), obtemos )2cos()(2)2sen()(2)( 21

' ttuttuty +−= (7) Derivando (7), obtemos:

)2cos()(2)2sen()(2)2sen()(4)2cos()(4)( '2

'121

" ttuttuttuttuty +−−−= . (8) Introduzindo as equações (8) e (4) em (1), obtém-se:

)sec(cos3)2cos()(2)2sen()(2 '2

'1 tttuttu =+− (9)

Neste ponto, queremos escolher u1(t) e u2(t) de modo a satisfazer (6) e (9) simultaneamente. De (6),

142

)2sen()2cos(

)()( '1

'2 t

ttutu −= (10)

Levando (10) em (9), chegamos à:

)cos(32

)2sen()sec(cos3)('

1 ttt

tu −=−= (11)

Retornando em (10), com )('1 tu , obtém-se para )('

2 tu :

)sen(3)sec(cos23

)sen(2))(sen21(3

)2sen()2cos()cos(3

)(2

'2 tt

tt

ttt

tu −=−

== (12)

Integrando (11) e (12), obtém-se: 11 )sen(3)( cttu +−= (13)

22 )cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

)( cttgttu ++−= (14)

Assim,

)2sen()2cos()2sen()]cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

[)2cos()sen(3)( 21 tctctttgtttty +++−+−= (15)

A expressão (15) é uma solução geral para a equação (1). Pensando agora no caso geral, consideremos a equação:

)('" tgqypyy =++ (16) Admitindo que a solução da equação homogênea tem a forma:

)()()( 2211 tyctyctyh += (17) e levando em conta que o M.V.P. impõe como solução para o caso não homogêneo uma solução do tipo

)()()()()( 2211 tytutytuty p += , (18)

devemos determinar )(1 tu e )(2 tu . Derivando (18) em relação a t, obtém-se:

)()()()()()()()()( '22

'112

'21

'1

' tytutytutytutytuty p +++= . (19)

Como no exemplo anterior, consideramos nula a soma que envolve os termos )('1 tu e )('

2 tu , ou seja, 0)()()()( 2

'21

'1 =+ tytutytu . (20)

Derivando a expressão (19), levando em consideração (20), obtém-se:

)()()()()()()()()( "22

"11

'2

'2

'1

'1

" tytutytutytutytuty p +++= . (21) Levando em conta as expressões (18), (19) e (21), chegamos à: )()()()()()]()()()[()]()()()[( '

2'2

'1

'12

'2

"221

'1

"11 tgtytutytutqytpytytutqytpytytu =+++++++ (22)

Cada expressão entre colchetes de (22) é nula, pois y1 e y2 são soluções da equação homogênea. Portanto, a equação (22) se reduz à

)()()()()( '2

'2

'1

'1 tgtytutytu =+ . (23)

De modo a determinar as expressões de u1(t) e u2(t), devemos resolver o sistema:

=+=+

)()()()()(0)()()()(

'2

'2

'1

'1

2'21

'1

tgtytutytutytutytu

. (24)

Observe que o determinante deste sistema é

),( 21'2

'1

21 yyWyyyy

= ,

que é o Wronskiano das soluções y1 e y2.

143

Observação: Lembre-se que para que o sistema tenha solução única, devemos ter W(y1,y2) ≠ 0. Resolvendo este sistema, chegamos facilmente às expressões:

),()()(

21

2'1 yyW

tgtyu −= e

),()()(

21

1'2 yyW

tgtyu = (25)

Integrando estas expressões, chegamos à:

∫−=),()()(

)(21

21 yyW

tgtytu e ∫=

),()()(

)(21

12 yyW

tgtytu (26)

que substituindo em (18) determinam a solução para o caso particular de (16). 6.2.7.4- Exercícios

Resolva as equações abaixo: 6.2.7.4.1) )(cot" xgyy =+ Sol.: xxgxxcxcxy sen|)(cot)sec(cos|lnsencos)( 21 −++= . 6.2.7.4.2) )(" xtgyy =+ Sol.: xxtgxxcxcxy cos|)()sec(|lnsencos)( 21 +−+= . 6.2.7.4.3) )3(sec99 2" tyy =+ Sol.: )3sen()3cos()3sen(|)3()3sec(|ln1)( 21 tctctttgtty ++++−= 6.2.7.4.4) tetyyy 22'" 44 −−=++ Sol.: |]|ln[)( 21

2 ttccety t −+= −

6.2.7.4.5) )2

sec(2"4t

yy =+

Sol.: )2

sen(.4)2

cos(.|)2

cos(|ln8)2

sen()2

cos()( 21t

tttt

ct

cty +++=

6.3- Redução de um Sistema de Equações à uma Equação de Ordem n Um modo fácil de integrar o sistema de n equações diferenciais

)(1

tfxadtdx

ij

n

jij

i += ∑=

para i = 1, 2, 3, ..., n. (1)

consiste em reduzi-lo a uma equação de ordem n. Este método conduz a resolução do sistema para uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o sistema de duas equações abaixo:

++=

++=

)2.1( )(

)1.1( )(

tgdycxdtdy

tfbyaxdtdx

Aqui, a, b, c, d são coeficientes constantes; f(t), g(t) são funções dadas. De (1.1), vemos que

))((1

tfaxdtdx

by −−= (2)

Introduzindo y na segunda equação do sistema e dtdy

pela derivada do segundo membro de

(1), obtemos uma equação diferencial de 2a ordem em x(t):

144

0)(2

2

=+++ tPCxdtdx

Bdt

xdA , (3)

onde A, B, C são constantes.

Observação: ),,( 21 CCtxx = e, introduzindo em (1) o valor encontrado de x, assim como dtdx

,

encontramos y. Exemplo 6.3.1:

Resolva o sistema de equações:

+=

+=

)( 1

)( 1

IIxdtdy

Iydtdx

.

De (I), tira-se

1−=dtdx

y (III)

Derivando (III) e substituindo em (II), resulta em uma equação diferencial linear de a2 ordem com coeficientes constantes:

012

2

=−− xdt

xd, (IV)

cuja solução geral tem a forma: 1)( 21 −+= − tt eCeCtx ,

sendo que de (III), obtém-se para y a seguinte expressão: 1)( 21 −−= −tt eCeCty ,

obtendo assim tanto x(t), quanto y(t). Exemplo 6.3.2:

Consideremos a E.D.O. linear de segunda ordem: 2''' −=+ xyxy , para x > 0.

Fazendo a substituição z = y’, obtemos a E.D.O. linear de a1 ordem: x.z’ + z = x – 2,

cuja solução geral (que utiliza o método do fator integrante) é:

−+∫= ∫

∫−dxe

xCexz

dxxdx

x12

1)(1

,

onde um cálculo simples nos fornece z (x) = 22

−+x

xC

e portanto,

∫ ++−== 1

2

ln.24

)()( CxCxx

dxxzxy .