Identificação de um Sistema Físico sem EDO’s Através do Expoente de

Lyapunov Aplicado em Dados de Sísmica Passiva

Cleiton K. Pavan, Eder C. Molina,

Depto de Geofísica, IAG, USP

05508-090, São Paulo, SP

E-mail: cleiton@iag.usp.br

Resumo: O projeto consiste em identificar o Sistema Físico que rege as anomalias espectrais

observadas em Sísmica Passiva, pois até o momento a Sísmica Passiva é somente um método

Geofísico de exploração de hidrocarbonetos empírico. Para encontrarmos o Sistema Físico

usamos o método expoente de Lyapunov aplicados nas séries temporais obtidas a partir de 18

estações sismográficas localizadas em uma região de petróleo ativa, localizada na cidade de

Mossoró, Rio Grande do Norte, Norte do Brasil. O expoente de Lyapunov identificou que o

Sistema Físico da Sísmica Passiva é provavelmente um Sistema Determinístico Estável.

Introdução Nos dias de hoje a grande valorização do meio ambiente gera diversas dificuldades para o

licenciamento ambiental necessário para a realização de levantamentos sísmicos convencionais,

pois os mesmos utilizam explosivos, dessa forma induzindo o avanço da Sísmica Passiva. Este

método não gera impactos ambientais, por não utilizar fontes sísmicas artificiais e sim as

vibrações sísmicas naturais da Terra. Nesta técnica, o que antes era visto como ruído sísmico,

agora é o dado a ser processado e interpretado, ou seja, o levantamento de dados da Sísmica

Passiva consiste basicamente na instalação de uma rede de estações sismográficas para medir o

“ruído” local continuamente.

A Sísmica Passiva é um método geofísico emergente. O grande desenvolvimento desta

tecnologia ocorreu após a descoberta da relação entre as anomalias na banda de 3 Hz e

reservatórios de hidrocarbonetos [1], no qual foi mostrado que em áreas sobre reservatórios de

hidrocarbonetos o espectro das vibrações sísmicas ambientais possui uma anomalia positiva nas

frequências próximas de 3 Hz (Figura 1). Esse método por enquanto é empírico e nenhum dos

modelos teóricos sugeridos obteve sucesso.

Segundo [2], a liberação de energia que produz as vibrações sísmicas ambientais

características de reservatórios de petróleo, amplamente conhecida como hydrocarbon-

microtremor, possui um comportamento dinâmico, e a energia absorvida pelo reservatório

depende de vibrações externas ao mesmo, e a frequência de liberação da energia sísmica pode ser

associada ao volume do reservatório, ou de forma mais simplista, a espessura do mesmo.

Como na maioria das vezes os hidrocarbonetos ocorrem junto com água, no mesmo

reservatório, e ambos os fluidos possuem frequências características distintas, [2] associam de

forma genérica as anomalias entre 2,0 e 3,5 Hz, a chamada janela de hidrocarbonetos, e entre 4,5

e 8 Hz, a chamada janela da água.

Os autores [8] mostraram que a anomalia relacionada à presença de reservatório de

hidrocarboneto, apresenta comportamento dinâmico.

Então como a Sísmica Passiva até o momento é empírica e aparenta ser um Sistema

Dinâmico Não-Linear, nosso principal objetivo é determinar o Sistema Físico que represente o

comportamento das séries temporais da Sísmica Passiva (sismograma), pois esta é uma etapa

fundamental para a formulação de um modelo matemático para o método e consequentemente a

utilização do método de forma eficiente. Então para alcançar esse objetivo apresentaremos a

análise dos dados de Sísmica Passiva, através do método expoente de Lyapunov, pois o método é

uma ferramenta usada em análise de Sistemas Dinâmicos e é capaz de indicar se uma série

temporal pertence a:

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Sistema Determinístico (Estável ou Periódico);

Sistema Caótico Determinístico; ou

Se nossa série se comporta como ruído/hipercaótico.

Figura 1: Ilustração simplificada sobre o método de análise de anomalia espectral das vibrações

sísmicas ambientais para se identificar reservatórios hidrocarbonetos. No canto esquerdo superior

é apresentado o espectro do sinal adquirido em uma região onde não há reservatório de petróleo, e

ao lado é apresentado o espectro adquirido sobre um reservatório de petróleo. Note que há uma

amplificação do sinal nas frequências próximas de 3 Hz. (Figura adaptada de [3]).

O método clássico para o cálculo do expoente de Lyapunov [14] necessita das EDOs do

Sistema estudado, porém, como a Sísmica Passiva ainda é empírica, não conhecemos as EDOs

que representam o comportamento das anomalias espectrais. Sendo assim, o algoritmo que

usaremos [12] fará uma estimativa local da linearização da dinâmica que rege o crescimento de

perturbações infinitesimais.

Aquisição de dados Os sismogramas foram gravados com o sismômetro Guralp CMG-6TD com velocidade de

resposta de 0.03 a 100Hz, uma sensitividade de 1600V/m/s e taxa de 100 amostras por segundo.

Os dados foram coletados por 18 estações sismográficas triaxias (eixos X, Y e Z ortogonais),

com duração entre 0,4-3,1 horas contínuas, esses pontos foram denominados MS (e.g., MS01 a

MS18). A localização dos dados trata-se de uma área de produção ativa de óleo, localizada na

cidade de Mossoró, Rio Grande do Norte, Norte do Brasil (Figura 2). Os mesmos dados foram

discutidos por [9] que utilizaram o método FFT para identificar a presença de anomalias

espectrais.

Metodologia Nosso trabalho foi dividido em duas partes, a primeira o objetivo é identificar, anomalias

espectrais na banda de 2 a 8 Hz, e a segunda apresentar uma análise do Sistema Físico das séries

temporais. A identificação será feita com o método espectrograma calculado com o método MEM

(Maximum Entropy Method), e a análise do Sistema Físico com o método expoente de Lyapunov.

Nós utilizamos o software SAC - Seismic Analysis Code (SAC, [5]) para o cálculo do

espectrograma. O expoente de Lyapunov foi calculado com algoritmo computacional escrito por

[12] no software MATLAB.

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Figura 2: Mapa ampliado da área de estudo com a localização e numeração de cada estação

sismográfica. As áreas em cinza são as regiões de reservatórios de hidrocarbonetos conhecidas.

Os triângulos são as estações sismográficas (adaptado de [9]).

O SAC é um programa interativo de análise de dados sismológicos, projetado para o estudo

de dados sequenciais, especialmente os dados de séries temporais. O mesmo tem capacidade de

incluir operações aritméticas, transformadas de Fourier, métodos de estimativas espectrais,

espectrograma, filtragem, empilhamento de sinal, interpolação, correlação e etc.

O MATLAB (MATrix LABoratory - e.g., [4]), é um software desenvolvido pela Mathworks

com o propósito de fazer cálculos com matrizes. O software apresenta alta desempenho na

análise numérica, processamento de sinais, criação de gráficos 2D e 3D, implementação de

algoritmos e interface com programas escritos em outras linguagens (C, C++, Java e Fortran).

O espectrograma nada mais é do que a apresentação do comportamento do espectro durante o

tempo. Diferentemente dos métodos de estimativas espectrais FFT (Fast Fourier Transform),

PSD (Power Spectral Densities), MLM (Maximum Likelihood Method) e MEM (Maximum

Entropy Method), os quais fazem uma estimativa espectral para o sinal inteiro, o espectrograma

faz estimativas espectrais da série temporal para curtos intervalos de tempo e com isso

percorrendo todo o sismograma, "plotando" uma estimativa espectral ao lado da outra,

permitindo dessa forma ver as flutuações do espectro e sua variação dentro do período de

registro. O cálculo e o gráfico do método são elaborados com a rotina SPECTROGRAM do

programa SAC. A rotina ainda permite calcular o espectrograma por meio dos métodos MEM,

MLM e PDS. No presente trabalho calculamos o espectrograma com a técnica MEM, pois o

mesmo apresenta uma alta resolução com uma quantidade relativamente pequena de dados [5].

Na Sísmica Passiva a aplicação do sismograma é importante, pois a anomalia associada a

reservatórios de hidrocarbonetos aparentemente não é continua no tempo [8].

A principal característica de um Sistema Caótico é a sensibilidade às condições iniciais. [10]

demonstrou que a dinâmica gerada pelo modelo de previsão do tempo exibia uma característica

singular: Dois pontos localizados a uma distância muito próxima seguiam rotas temporais

bastante divergentes.

O expoente de Lyapunov fornece a taxa média de divergência de rotas temporais, então

usamos este expoente para caracterizar a dinâmica de uma determinada série temporal, seu

conceito foi introduzido por [11] ao estudar a estabilidade das soluções não estacionárias de

equações diferenciais ordinárias (EDOs), e tem sido amplamente utilizada no estudo de Sistemas

Dinâmicos desde então.

Seja a evolução temporal de um Sistema Dinâmico a partir de duas condições iniciais muitos

próximas, xo e xo + ε0. Decorrido um intervalo de tempo t (eq. 1) tem-se:

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(eq. 1)

Em que λ é o expoente de Lyapunov.

Os expoentes de Lyapunov são os autovalores da matriz Jacobiana calculados nas equações

diferenciais do Sistema Dinâmico. Séries temporais que não se têm as EDOs, podemos obter as

matrizes Jacobianas, através de uma estimativa local da linearização da dinâmica que governa o

crescimento de perturbações infinitesimais.

O método clássico do cálculo do expoente de Lyapunov é [14], porém precisa-se das EDOs e

das matrizes Jacobianas do Sistema estudado. Como o comportamento da anomalia espectral

ainda não foi explicado, não temos essas EDOs e matrizes, então neste trabalho usaremos uma

metodologia de cálculo do expoente de Lyapunov que faz estimativas das EDOs e das matrizes

Jacobianas para a série temporal, esta técnica consiste de um algoritmo [12] que calcula o

expoente de Lyapunov através da expansão de Volterra.

O cálculo do expoente de Lyapunov através da expansão de Volterra é feito de acordo com o

procedimento descrito em [7] o qual aplica o método dos mínimos quadrados na série temporal

para encontrar a ordem e grau corretos a serem aplicados em uma série de Volterra AR não-

linear, uma vez que qualquer Sistema Não-Linear pode ser representado como uma série de

Volterra AR não-linear de ordem infinita [6]. Essa série de Volterra será a representação da

dinâmica da série temporal e com ela é feito uma estimativa da matriz Jacobiana, e para finalizar

o expoente de Lyapunov são os autovalores da matriz Jacobiana.

O expoente de Lyapunov trás a seguinte interpretação dos dados, se:

λ < 0 Sistema Determinístico (Estável), S.D.E.;

λ = 0 Sistema Determinístico (Periódico), S.D.P.;

0 < λ < ∞ Sistema Caótico Determinístico (Caos), S.C.D.; ou

λ → ∞ Sistema Probabilístico (Ruído ou hipercaótioco), S.P..

De acordo com [13], em um Sistema de três dimensões (X, Y e Z), temos três expoentes de

Lyapunov, um para cada eixo. A interpretação para o Sistema Físico que rege a série temporal é

dada pelo maior expoente Lyapunov encontrado.

Resultados

Pré-processamento e qualidade dos dados O pré-processamento dos dados foi realizado no software SAC, da seguinte forma: Os dados

foram adquiridos no formato GCF e os mesmos foram convertidos para o formato SAC. Em

seguida, as partes inicial e final foram removidas dos sismogramas para extrair a influência da

instalação e desinstalação da estação sismográfica. Os arquivos em seguida tiveram a escala

modificada de counts para deslocamento do chão em m, e posteriormente esse dado foi filtrado

com um filtro passa alta de frequência 0.03 Hz.

Após o processamento acima, todos os sismogramas tiveram a média e as tendências

retiradas. Para finalizar o pré-processamento, os arquivos finais obtidos dos procedimentos

acima, foram convertidos do formato SAC para o formato XY, que é o formato que usamos no

software MATLAB.

Identificação das anomalias espectrais e expoente de Lyapunov

A Tabela 1 proporciona o resumo simplificado da identificação da anomalia espectral, nela

devemos conferir que a anomalia é identificada em 15 estações sismográficas com a presença de

alta amplitude espectral entre 2 e 8 Hz. Ainda nesta tabela verificamos os expoentes de Lyapunov

de cada estação sismográfica e sua possível interpretação.

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Ponto Componente Z Componente N Componente E Anomalia

espectral Interpretação do λ

λ Erro λ Erro λ Erro

MS01 -0,88 0,01 -1,23 0,04 -0,97 0,01 Sim S.D.E

MS02 -0,68 0,00 -0,68 0,00 -0,36 0,00 Sim S.D.E

MS03 -2,10 0,13 -4,24 1,12 -1,78 0,05 Não S.D.E

MS04 -0,26 0,04 -0,35 0,02 -0,32 0,03 Não S.D.E

MS05 -1,84 0,00 -1,29 0,00 -1,36 0,00 Sim S.D.E

MS06 -0,61 0,01 -0,58 0,01 -0,62 0,01 Sim S.D.E

MS07 -0,95 0,00 -1,01 0,00 -0,94 0,00 Sim S.D.E

MS08 -1,00 0,01 -0,76 0,01 -0,76 0,00 Sim S.D.E

MS09 -0,22 0,19 -0,35 0,29 -0,21 0,18 Sim S.D.E

MS10 -0,05 0,01 -0,07 0,01 -0,06 0,01 Sim S.D.E

MS11 -0,07 0,04 -0,15 0,10 -0,14 0,10 Sim S.D.E

MS12 -0,11 0,06 -0,13 0,06 -0,11 0,05 Sim S.D.E

MS13 -0,01 0,01 -0,01 0,01 -0,01 0,01 Sim S.D.E., S.D.P

MS14 -0,09 0,04 -0,08 0,03 -0,07 0,04 Sim S.D.E

MS15 -0,06 0,03 -0,17 0,12 -0,14 0,11 Sim S.D.E

MS16 -0,04 0,04 -0,03 0,05 -0,01 0,02 Não S.D.E., S.D.P ou S.C.D

MS17 -1,50 0,01 -1,68 0,05 -1,12 0,00 Sim S.D.E

MS18 -0,02 0,01 -0,05 0,02 -0,03 0,01 Sim S.D.E

Tabela 1: Resumo simplificado da identificação espectral para as três componentes de cada

estação sismográfica, contendo as informações se existe anomalia espectral identificada com o

espectrograma, e também os valores dos expoentes de Lyapunov de cada componente das

estações estudadas e uma possível interpretação dos resultados obtidos, (S.C.D. - Sistema

Caótico Determinístico, S.D.E. - Sistema Determinístico Estável e S.D.P. - Sistema

Determinístico Periódico).

Todas as séries temporais apresentaram valores negativos, ou seja, nossos sismogramas

pertencem a um S.D.E., e avaliando com o erro associado ao algoritmo, o ponto MS13 exibe a

possibilidade de pertencer aos Sistemas S.D.E. ou S.D.P, e o ponto MS16 exibe a probabilidade

de pertencer aos Sistemas S.D.E., S.D.P ou S.C.D..

Considerações finais Os resultados do expoente de Lyapunov sugerem que todos os nossos sismogramas

provavelmente pertencem a Sistemas Determinísticos Estáveis, porém é importante ressaltar que

o ponto MS16 é o ponto com maior probabilidade de pertencer a um Sistema Caótico

Determinístico e o mesmo não apresentou anomalia espectral. Da mesma forma, podemos

interpretar que todos os sismogramas que apresentam anomalia espectral certamente pertencem a

um S.D.E, com exceção do ponto MS13, o qual apresenta um pequena probabilidade de

pertencer a um S.D.P.

Deste modo, espera-se que os resultados aqui obtidos contribuirão para o desenvolvimento de

um modelo matemático capaz de explicar o comportamento das anomalias espectrais observadas

na Sísmica Passiva. Com esse intuito, outros estudos estão em andamento, nos quais resultados

do expoente de Lyapunov serão concatenados com outros métodos, tais como, reconstrução do

espaço de estados, atrator, dimensão fractal, expoente de Hurst e etc.

Agradecimentos Os autores agradecem à CNPq e CAPES pelo suporte financeiro.

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