Estabilidade segundo Lyapunov - dee.eng.ufba.br · Objetivos da aula de hoje: Apresentar o conceito de estabilidade de Lyapunov para sistemas ... Estabilidade do ponto de equil´ıbrio

Estabilidade segundo Lyapunov

ENGC65: Sistemas de controle III

Departamento de Engenharia Eletrica - DEE

Universidade Federal da Bahia - UFBA

07 de julho de 2014

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 20

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes

4 Funcao de Lyapunov

5 Comentarios Finais


Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes




IntroducaoEstudo de sistemas nao-lineares de segunda ordem

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar o conceito de estabilidade de Lyapunov para sistemasnao-lineares autonomos.

Apresentar conceitos como estabilidade local, estabilidade global eestabilidade assintotica.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes




RevisaoAula passada

Avaliamos alguns comportamentos de sistemas nao-lineares como ciclolimite e bifurcacoes.

Estudamos as possıveis caracterısticas de um ponto de equilıbrio linear.

Discutimos a respeito da possibilidade de existencia de multiplos pontosde equilıbrio;


Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes




DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio

Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir

x = f (x), (1)

sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz contınuo e D → R

n um domınioem R

n, possui um ponto de equilıbrio na origem (0 = f (0)).

Definicao 1

O ponto de equilıbrio x = 0 do sistema (1) e:

estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;

instavel se nao estavel;

assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que

||x(0)|| < δ ⇒ limt→∞

x(t) = 0.



Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir

x = f (x), (1)

sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz contınuo e D → R

n um domınioem R

n, possui um ponto de equilıbrio na origem (0 = f (0)).

Definicao 1

O ponto de equilıbrio x = 0 do sistema (1) e:

estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;

instavel se nao estavel;

assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que

||x(0)|| < δ ⇒ limt→∞

x(t) = 0.



Estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;

Instavel se nao for estavel.

δ

ǫ

Globalmente estavel se δ = ∞.



Estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que

||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;

Instavel se nao for estavel.

δ

ǫ

Globalmente estavel se δ = ∞.



Assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que

• ||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0

• limt→∞

x(t) = 0

δ

ǫ


DefinicoesPendulo simples

Exemplo - pendulo simples:

[

x1

x2

]

=

[

x2

− glsen(x1)−

bmsen(x1)

]

.

Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre e possıvel achar umavizinhanca da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Nao eestabilidade assintotica).

Para o caso com amortecimento b 6= 0:

O ponto de equilıbrio x = 0 e assintoticamente estavel.O ponto de equilıbrio x = π e instavel.(Qualquer ǫ > 0, nao existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)

Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?




[

x1

x2

]

=

[

x2

− glsen(x1)−

bmsen(x1)

]

.








[

x1

x2

]

=

[

x2

− glsen(x1)−

bmsen(x1)

]

.








[

x1

x2

]

=

[

x2

− glsen(x1)−

bmsen(x1)

]

.






Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes




Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes

Uma funcao V (x) e:

Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;

Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;

Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;

Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;

Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;

Se vale para todo domınio Rn, diz-se que a funcao e globalmente

definida (semi-definida) positiva (negativa).

Se vale para um domınio D ⊂ Rn, diz-se que a funcao e localmente




Uma funcao V (x) e:












Uma funcao V (x) e:











Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes exemplos

Exemplos:

V (x1, x2) = 2x21 + 3x22 - GDP

V (x1, x2) = −2x21 − 3x22 - GDN

V (x1, x2) = (x1 − x2)2 - GSDP

V (x1, x2) = −(x1 − x2)2 - GSDN

V (x1, x2) = x21 - GSDP

V (x1, x2) = −x22 - GSDN

V (x1, x2) = 1− (x21 + x22 ) - LDP

V (x1, x2) = x1x2 - Indefinida


Funcao de LyapunovFuncao candidata de Lyapunov

Seja V (x) uma funcao continuamente diferenciavel dos estados tal queV : D → R sendo D ⊂ R

n que contem a origem.

A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetorias dos estados,representada por V (x), e dada por

V (x) =n∑

i=1

∂V (x)

∂xixi =

n∑

i=1

∂V (x)

∂xifi (x).

Seja φ(t, x0) a solucao de x = f (x) para uma condicao inicial x0, entaotemos que

V (x) =d

dtV (φ(t, x0)).

Notar que se V (x) e definida negativa, entao V (x) decresce ao longo dotempo.






V (x) =n∑

i=1

∂V (x)

∂xixi =

n∑

i=1

∂V (x)

∂xifi (x).


V (x) =d

dtV (φ(t, x0)).







V (x) =n∑

i=1

∂V (x)

∂xixi =

n∑

i=1

∂V (x)

∂xifi (x).


V (x) =d

dtV (φ(t, x0)).



Funcao de LyapunovTeorema de Lyapunov

Teorema 1

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel nos estados tal que V : D → R , sendoD ⊂ R

n um domınio que contem a origem (x ∈ D).

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio estavel.

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio assintoticamente estavel.

Condicao suficiente !!



Teorema 1

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel nos estados tal que V : D → R , sendoD ⊂ R

n um domınio que contem a origem (x ∈ D).

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio estavel.

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio assintoticamente estavel.

Condicao suficiente !!



Exemplo - ponto de equilıbrio nao hiperbolico:

[

x1

x2

]

=

[

−x2 − x31

x1 − x32

]


Funcao de LyapunovTeorema de Barbashin-Krasovskii

Teorema 1

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x). SejaV : Rn → R uma funcao continuamente diferenciavel nos estados.

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0, V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0 e||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞ entao x = 0 e um ponto de equilıbrioglobalmente estavel.

Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞, entao x = 0 e um ponto de equilıbrioglobalmente assintoticamente estavel.

Nao e valido apenas para um domınio local.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Definicoes




Comentarios Finais

Nesta aula apresentou-se o criterio de estabilidade de Lyapunov.

Na proxima aula discutiremos sobre:

Estabilidade de Lyapunov - particularizacao para o caso linear;Discussao sobre o princıpio da invariancia.


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