ENGC33: Sinais e Sistemas II - dee.eng.ufba.br · Estabilidade entrada-sa´ıda (externa). ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Eletrica - DEE´ Universidade Federal

Estabilidade entrada-saıda (externa).

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

03 de dezembro de 2014

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 39

Sumario

1 Apresentacao

2 BIBO estabilidade - tempo contınuo

3 BIBO estabilidade - tempo discreto

4 Observacoes

5 Criterios de Estabilidade Estrada-Saıda

6 Comentarios Finais


Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




Apresentacao

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar o conceito de estabilidade entrada-saıda (BIBO -

Bounded-Input Bounded-Output ).


Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




BIBO estabilidade - tempo contınuoDefinicao

Definicao

Diz-se que um sistema e BIBO estavel se uma entrada limitada (finitaem amplitude) produz uma saıda limitada.

Seja g(t) a resposta ao impulso de uma dado sistema.

O sistema representado por g(t) e BIBO estavel se

|y(t)| =

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(t − τ)u(τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

< ∞, ∀t ≥ 0

dada uma entrada limitada

|u(t)| ≤ um < ∞, ∀t ≥ 0.


BIBO estabilidade - tempo contınuoDefinicao

Definicao

Diz-se que um sistema e BIBO estavel se uma entrada limitada (finitaem amplitude) produz uma saıda limitada.

Seja g(t) a resposta ao impulso de uma dado sistema.

O sistema representado por g(t) e BIBO estavel se

|y(t)| =

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(t − τ)u(τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

< ∞, ∀t ≥ 0


|u(t)| ≤ um < ∞, ∀t ≥ 0.


BIBO estabilidade - tempo contınuoTeoremas

Teorema 1.

Um sistema SISO (Single-Input Single-Output) relaxado com a saıdadescrita por

y(t) =

ˆ t

0

g(t − τ)u(τ)dτ

e BIBO estavel se e somente se g(t) for absolutamente integravel, ouseja,

ˆ

∞

0

|g(t)| ≤ M < ∞

Prova (condicao suficiente).

Note que

|y(t)| =

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

≤

ˆ t

0

|g(τ)||u(t − τ)|dτ

≤ um

ˆ t

0

|g(τ)|dτ ≤ umM < ∞.Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 39


Teorema 1.


y(t) =

ˆ t

0

g(t − τ)u(τ)dτ


ˆ

∞

0

|g(t)| ≤ M < ∞


Note que

|y(t)| =

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

≤

ˆ t

0

|g(τ)||u(t − τ)|dτ

≤ um

ˆ t

0

|g(τ)|dτ ≤ umM < ∞.Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 39


Teorema 1.


y(t) =

ˆ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ


ˆ

∞

0

|g(t)| ≤ M < ∞

Prova (condicao necessaria).

Se g(t) nao for absolutamente integravel, existe um t1 tal que´ t1

0|g(τ)| = ∞.

Neste caso temos y(t1) = ∞ para o sinal

u(t1 − τ) =

{

1, g(τ) ≥ 0−1, g(τ) < 0

.



Teorema 2.

Um sistema SISO com funcao de transferencia racional propria G(s) e

BIBO estavel se e somente se todos os polos de G(s) tem parte realnegativa ou, equivalentemente, estao no semi-plano esquerdo do plano

complexo.

Prova.

Note que G(s) = L−1{g(t)}.

Sabemos que

G(s) =an

(s + a)n+

an−1

(s + a)n−1+ ...+

a1

(s + a)

+bm

(s + b)m+

bm−1

(s + b)m−1+ ...+

b1

(s + b)+ ...

Para g(t) = antn−1e−at + an−1tn−2e−at + a1e−at + ... ser

absolutamente integravel: polos de G(s) devem ter partes reaisnegativas.



Teorema 2.

Um sistema SISO com funcao de transferencia racional propria G(s) e

BIBO estavel se e somente se todos os polos de G(s) tem parte realnegativa ou, equivalentemente, estao no semi-plano esquerdo do plano

complexo.

Prova.

Note que G(s) = L−1{g(t)}.

Sabemos que

G(s) =an

(s + a)n+

an−1

(s + a)n−1+ ...+

a1

(s + a)

+bm

(s + b)m+

bm−1

(s + b)m−1+ ...+

b1

(s + b)+ ...

Para g(t) = antn−1e−at + an−1tn−2e−at + a1e−at + ... ser

absolutamente integravel: polos de G(s) devem ter partes reaisnegativas.


Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




BIBO estabilidade - tempo discretoDefinicao

Definicao

Diz-se que um sistema e BIBO estavel se uma entrada limitada (finita

em amplitude) produz uma saıda limitada.

Seja g[n] a resposta ao impulso de uma dado sistema.

O sistema representado por g[n] e BIBO estavel se

|y [n]| =

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

0

g[n − k ]u[k ]

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

0

g[k ]u[n − k ]

∣

∣

∣

∣

∣

< ∞, ∀k ≥ 0


|u[n]| ≤ um < ∞, ∀n ≥ 0.


BIBO estabilidade - tempo discretoDefinicao

Definicao

Diz-se que um sistema e BIBO estavel se uma entrada limitada (finita

em amplitude) produz uma saıda limitada.

Seja g[n] a resposta ao impulso de uma dado sistema.

O sistema representado por g[n] e BIBO estavel se

|y [n]| =

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

0

g[n − k ]u[k ]

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

0

g[k ]u[n − k ]

∣

∣

∣

∣

∣

< ∞, ∀k ≥ 0


|u[n]| ≤ um < ∞, ∀n ≥ 0.


BIBO estabilidade - tempo discretoTeoremas

Teorema 1.


y [n] =

n∑

k=0

g[n − k ]u[k ]

e BIBO estavel se e somente se g[n] for absolutamente somavel, ouseja,

∞∑

k=0

|g[k ]| ≤ M < ∞


|y [n]| =

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

g[k ]u[n − k ]

∣

∣

∣

∣

∣

≤

n∑

k=0

|g[k ]||u[n − k ]|

≤ um

n∑

k=0

|g[k ]| ≤ umM < ∞.



Teorema 1.


y [n] =

n∑

k=0

g[n − k ]u[k ]

e BIBO estavel se e somente se g[n] for absolutamente somavel, ouseja,

∞∑

k=0

|g[k ]| ≤ M < ∞


|y [n]| =

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=0

g[k ]u[n − k ]

∣

∣

∣

∣

∣

≤

n∑

k=0

|g[k ]||u[n − k ]|

≤ um

n∑

k=0

|g[k ]| ≤ umM < ∞.



Teorema 1.

Um sistema SISO (Single-Input Single-Output) relaxado com a saıda descrita

por

y[n] =

n∑

k=0

g[k]u[n − k]

e BIBO estavel se e somente se g[n] for absolutamente somavel, ou seja,

∞∑

k=0

|g[k]| ≤ M < ∞

Prova (condicao necessaria).

Se g[n] nao for absolutamente somavel, existe um k1 tal que∑k1

k=0 |g[k]| = ∞.

Neste caso temos y[k1] → ∞ para o sinal

u[k1 − k] =

{

1, g[k] ≥ 0

−1, g[k] < 0.



Teorema 2.

Um sistema SISO com funcao de transferencia pulsada racional propria

G(z) e BIBO estavel se e somente se todos os polos de G(z) temmodulo menor do que 1 ou, equivalentemente, estao no interior do

cırculo unitario do plano complexo.

Prova.

Note que G[z] = Z−1{g[n]}.

Sabemos que

G(z) =aqz

(z − a)q+

aq−1z

(z − a)q−1+ ...+

a1z

(z − a)

+bmz

(z − b)m+

bm−1z

(z − b)m−1+ ...+

b1z

(z − b)+ ...

Neste caso, g[n] tera fatores na forma “an”, “nan−1”,... (polos

relacionados a “a”); “bn”, “nbn−1”, ..., (polos relacionados a “b”)...

Assim, g[n] e absolutamente somavel se |a| < 1, |b| < 1, ...Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 39


Teorema 2.

Um sistema SISO com funcao de transferencia pulsada racional propria

G(z) e BIBO estavel se e somente se todos os polos de G(z) temmodulo menor do que 1 ou, equivalentemente, estao no interior do

cırculo unitario do plano complexo.

Prova.

Note que G[z] = Z−1{g[n]}.

Sabemos que

G(z) =aqz

(z − a)q+

aq−1z

(z − a)q−1+ ...+

a1z

(z − a)

+bmz

(z − b)m+

bm−1z

(z − b)m−1+ ...+

b1z

(z − b)+ ...

Neste caso, g[n] tera fatores na forma “an”, “nan−1”,... (polos

relacionados a “a”); “bn”, “nbn−1”, ..., (polos relacionados a “b”)...

Assim, g[n] e absolutamente somavel se |a| < 1, |b| < 1, ...Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 39

Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




ObservacoesCaso MIMO

Teorema 3.

Um sistema MIMO com uma matriz de transferencia G(s) e BIBO estavelse e somente se todos os polos de G(s) tem tem parte real negativa.

Teorema 4.

Um sistema MIMO com uma matriz de transferencia pulsada G(z) e

BIBO estavel se e somente se todos os polos de G(z) tem modulomenor do que 1.


ObservacoesRelacao autovalores - polos

Dado um sistema na forma

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

sabemos que

G(s) = C(sI − A)−1B + D =1

det(sI − A)C[Adj(sI − A)]B + D.

Todos polos de G(s) sao autovalores de A.

Os autovalores de A nao sao necessariamente polos de G(s)(podem ocorrer cancelamentos).


ObservacoesRelacao autovalores - polos

Dado um sistema na forma

x [k + 1] = Ax [k ] + Bu[k ]

y [k ] = Cx [k ] + Du[k ]

sabemos que

G(z) = C(zI − A)−1B + D =1

det(zI − A)C[Adj(zI − A)]B + D.

Todos polos de G(z) sao autovalores de A.

Os autovalores de A nao sao necessariamente polos de G(z)(podem ocorrer cancelamentos).


Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




Criterios de Estabilidade Estrada-SaıdaCriterio de Routh

Considere um sistema descrito por:

G(s) =b0sm + b1sm−1 + ...+ bm−1s + bm

a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an.

Para verificar a estabilidade, devemos saber se as raızes da

equacao

a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0

possuem parte real negativa.

Sem perda de generalidade, vamos assumir que an 6= 0 e a0 6= 0.

Deve-se notar que e necessario atender a0 > 0, a1 > 0, ..., an > 0

(mesmo sinal).



Partindo do polinomio a seguir:

a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0

vamos utilizar a tabela abaixo.

sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

b1 =a1a2 − a0a3

a1




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

b1 =a1a2 − a0a3

a1, b2 =

a1a4 − a0a5

a1




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

b1 =a1a2 − a0a3

a1, b2 =

a1a4 − a0a5

a1, b3 =

a1a6 − a0a7

a1




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

c1 =b1a3 − a1b2

b1




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

c1 =b1a3 − a1b2

b1, c2 =

b1a5 − a1b3

b1




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

c1 =b1a3 − a1b2

b1, c2 =

b1a5 − a1b3

b1c3 =

b1a7 − a1b4

b1




a0sn + a1s

n−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

O numero de raızes com parte real positiva corresponde ao numero

de mudanca de sinais da primeira coluna.

Pode-se multiplicar uma linha por uma constante real positiva.




a0sn + a1s

n−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0


de mudanca de sinais da primeira coluna.

Pode-se multiplicar uma linha por uma constante real positiva.




a0sn + a1sn−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0

O numero de raızes com parte real positiva corresponde ao numerode mudancas de sinais da primeira coluna.

Raızes complexas puras → linha nula (deriva-se o polinomio dalinha anterior).




a0sn + a1s

n−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0


de sinais da primeira coluna.

Zero na primeira coluna → utiliza-se um elemento infinitesimal (ǫ).




a0sn + a1s

n−1 + ...+ an−1s + an = 0


sn a0 a2 a4 a6 ...

sn−1 a1 a3 a5 a7 ...

sn−2 b1 b2 b3 b4 ...

sn−3 c1 c2 c3 c4 ......

......

s2 e1 e2

s1 f1s0 g0


de sinais da primeira coluna.

Para verificar a estabilidade relativa fazemos s = s + σ (s = s − σ ).


Criterios de Estabilidade Estrada-SaıdaCriterio de Jury-Blanchard


P(z) = αnzn + αn−1zn−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0




P(z) = αnzn + αn−1zn−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0

βk = det

[

α0 αn−k

αn αk

]

γk = det

[

β0 βn−1−k

βn−1 βk

]

ρi = det

[

θ0 θ3−i

θ3 θi

]




P(z) = αnzn + αn−1z

n−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0

Regra 1: P(1) > 0.





n−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0

Regra 2: (−1)nP(−1) > 0.





n−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0

Regra 3: |αN | > |α0|.





n−1 + ...+ α1z + α0 = 0


z0 z1 ... zk ... zn

1 α0 α1 ... αn−k ... αn

2 αn αn−1 ... αk ... α0

3 β0 β1 ... βn−k ... βn

4 βn βn−1 ... βk ... β0

......

......

...

2n − 5 γ0 γ1 γ2 γ3

2n − 4 γ3 γ2 γ1 γ0

2n − 3 ρ0 ρ1 ρ2

2n − 2 ρ2 ρ1 ρ0

Regra 4: |β0| > |βn−1|, |γ0| > |γn−1|, ..., |ρ0| > ρ2|.


Sumario

1 Apresentacao



4 Observacoes




Comentarios Finais

Nesta aula discutiu-se sobre os conceitos de estabilidade

entrada-saıda.

Na proxima aula:

Discutiremos sobre estabilidade interna.


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