ENGC33: Sinais e Sistemas II - dee.eng.ufba.br · Filtros FIR: Os coeﬁcientes sao determinados para aproximar a magnitude

Filtros de tempo discreto

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

19 de dezembro de 2016

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 28

Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao

4 Comportamentos dos filtros FIR

5 Projeto via aproximacao

6 Comentarios Finais


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





Apresentacao

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar os filtros de resposta ao impulso infinita (IIR) eresposta impulso finita (FIR).

Discutir a respeito das principais caracterısticas dos filtros IIRe FIR.


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





RevisaoEquacoes a diferencas com coeficientes constantes

A resposta em frequencia caracteriza o comportamento de umsistema.

Por definicao H(ejΩ) = Fh[n].

Para o sistema a seguir:

a0y [n]+a1y [n−1]+...+aNy [n−N] = b0x [n]+b1x [n−1]+...+bMx [n−M]

temos

H(ejΩ) =Y (ejΩ)

X (ejΩ)=

∑Mk=0 bk e−jkΩ∑Nk=0 ak e−jkΩ

.







temos

H(ejΩ) =Y (ejΩ)

X (ejΩ)=


.







temos

H(ejΩ) =Y (ejΩ)

X (ejΩ)=


.


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





IntroducaoFiltro seletores de sinais (passa-baixas ideal).

Para um filtro passa-baixas ideal:

H(ejΩ) =

1, |Ω| ≤ Ωc0, |Ω| > Ωc

.

Assim temos

h[n] =1

2π

∫ π

−πH(ejΩ)ejΩndΩ =

12π

∫ Ωc

−Ωc

ejΩndΩ =sen(Ωcn)

πn.

Resposta ao impulso infinita, nao-causal e oscilatoria.

Para evitar distorcao do sinal no tempo, e desejavelcomportamento de fase linear.




H(ejΩ) =

1, |Ω| ≤ Ωc0, |Ω| > Ωc

.

Assim temos

h[n] =1

2π

∫ π


12π

∫ Ωc

−Ωc

ejΩndΩ =sen(Ωcn)

πn.






H(ejΩ) =

1, |Ω| ≤ Ωc0, |Ω| > Ωc

.

Assim temos

h[n] =1

2π

∫ π


12π

∫ Ωc

−Ωc

ejΩndΩ =sen(Ωcn)

πn.






H(ejΩ) =

1, |Ω| ≤ Ωc0, |Ω| > Ωc

.

Assim temos

h[n] =1

2π

∫ π


12π

∫ Ωc

−Ωc

ejΩndΩ =sen(Ωcn)

πn.




IntroducaoFiltros lineares invariante no tempo (tempo discreto).

Existem duas grandes classes de filtros de tempo discreto:

Filtros recursivos ou de resposta ao impulso infinita (IIR):

y [n] =N∑

k=1

ak y [n − k ] +M∑

k=0

bk x [n − k ].

Filtros nao-recursivos ou de resposta ao impulso finita (FIR):

y [n] =M∑

k=−N

bk x [n − k ].


IntroducaoDiscussao via equacoes a diferencas (filtro IIR).

Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequencia desistemas de sistemas do tipo:

a0y [n]+a1y [n−1]+...+aNy [n−N] = b0x [n]+b1x [n−1]+...+bMx [n−M].

No caso de um filtro IIR,

y [n] = −a1

a0y [n−1]−...− aN

a0y [n−N]+

b0

a0x [n]+

b1

a0x [n−1]+...+

bM

a0x [n−M].

Assim temos

y [n] =N∑

k=1

ak y [n − k ] +M∑

k=0

bk x [n − k ].

com ak = −ak/a0 e bk = bk/a0.

Devido a recursao em y [n], h[n]→ 0 quando n→∞.






y [n] = −a1

a0y [n−1]−...− aN

a0y [n−N]+

b0

a0x [n]+

b1

a0x [n−1]+...+

bM

a0x [n−M].

Assim temos

y [n] =N∑

k=1

ak y [n − k ] +M∑

k=0

bk x [n − k ].








y [n] = −a1

a0y [n−1]−...− aN

a0y [n−N]+

b0

a0x [n]+

b1

a0x [n−1]+...+

bM

a0x [n−M].

Assim temos

y [n] =N∑

k=1

ak y [n − k ] +M∑

k=0

bk x [n − k ].




IntroducaoDiscussao via equacoes a diferencas (filtro FIR).



No caso de um filtro FIR temos a1 = 0, a2 = 0, ..., aN = 0, ou seja:

y [n] =b0

a0x [n] +

b1

a0x [n − 1] + ...+

bM

a0x [n −M].

Assim chegamos ao filtro abaixo

Assim temos

y [n] =M∑

k=0

bk x [n − k ].

com bk = bk/a0.

Como nao ha recursao em y [n], h[n] = 0 para n > M.


IntroducaoDiscussao via equacoes a diferencas (filtro FIR).



No caso de um filtro FIR temos a1 = 0, a2 = 0, ..., aN = 0, ou seja:

y [n] =b0

a0x [n] +

b1

a0x [n − 1] + ...+

bM

a0x [n −M].

Assim chegamos ao filtro abaixo

Assim temos

y [n] =M∑

k=0

bk x [n − k ].

com bk = bk/a0.

Como nao ha recursao em y [n], h[n] = 0 para n > M.


IntroducaoProjeto de filtros em tempo discreto.

Filtros IIR:

Aproximacao de um filtro de tempo contınuo;Projeto a partir da nocao da resposta em frequencia de filtrosde baixa ordem.

Filtros FIR:

Os coeficientes sao determinados para aproximar a magnitudede uma resposta em frequencia desejada.

Observacao: filtro FIR sao sempre BIBO estaveis (reposta aoimpulso absolutamente somavel).


IntroducaoProjeto de filtros em tempo discreto.

Filtros IIR:

Aproximacao de um filtro de tempo contınuo;Projeto a partir da nocao da resposta em frequencia de filtrosde baixa ordem.

Filtros FIR:

Os coeficientes sao determinados para aproximar a magnitudede uma resposta em frequencia desejada.

Observacao: filtro FIR sao sempre BIBO estaveis (reposta aoimpulso absolutamente somavel).


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





Comportamentos dos filtros FIRFiltro media movel - caso mais simples

Filtro media movel:

y [n] =12

(x [n] + x [n − 1]).

Resposta em frequencia

H(ejΩ) =12

[1 + e−jΩ].

Alternativamente

H(ejΩ) = e−jΩ/2 cos(Ω/2).

Filtro passa-baixas com resposta de fase linear.



Filtro media movel:

y [n] =12

(x [n] + x [n − 1]).


H(ejΩ) =12

[1 + e−jΩ].

Alternativamente





Filtro media movel:

y [n] =12

(x [n] + x [n − 1]).


H(ejΩ) =12

[1 + e−jΩ].

Alternativamente





Filtro media movel:

y [n] =12

(x [n] + x [n − 1]).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Magnitude

|H(e

jω)|

ω (rad/s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0Fase

/_ H

(ejω

) (g

raus

)

ω (rad/s)


Comportamentos dos filtros FIRFiltro media movel - caso completo (nao-causal)

Filtro media movel:

y [n] =1

N + M + 1

M∑k=−N

x [n − k ].


H(ejΩ) =ejΩ(N−M)/2

N + M + 1sen[Ω(M + N + 1)/2]

sen(Ω/2).


Se (N −M)/2 = m com m um inteiro negativo. Entao m e umsimples atraso temporal.



Filtro media movel:

y [n] =1

N + M + 1

M∑k=−N

x [n − k ].


H(ejΩ) =ejΩ(N−M)/2

N + M + 1sen[Ω(M + N + 1)/2]

sen(Ω/2).


Se (N −M)/2 = m com m um inteiro negativo. Entao m e umsimples atraso temporal.



Filtro media movel:

y [n] =1

N + M + 1

M∑k=−N

x [n − k ].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Magnitude (N=M=1)

|H(e

jω)|

ω (rad/s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Magnitude (N=M=10)

|H(e

jω)|

ω (rad/s)


Comportamentos dos filtros FIRTransformacao passa-baixas / passa-altas

Exemplo 5.7 (Oppenheim)

Considere um filtro passa baixas com resposta em frequenciaHpb(ejΩ).

Neste caso, Hpa(ejΩ) = Hpb(ej(Ω−π)) e a resposta em frequencia deum filtro passa-altas.

Usando a propriedade de deslocamento na frequencia, chegamosa seguinte relacao:

hpa[n] = ejπnhpb[n] = (−1)nhpb[n],

sendo hpa[n] a resposta ao impulso do filtro passa-altas e hpb[n] aresposta ao impulso do filtro passa-baixas.


Comportamentos dos filtros FIRFiltro passa altas

Considere:y [n] =

12

(x [n]− x [n − 1]).


H(ejΩ) =12

[1− e−jΩ].

Alternativamente

H(ejΩ) = je−jΩ/2sen(Ω/2).




Considere:y [n] =

12

(x [n]− x [n − 1]).


H(ejΩ) =12

[1− e−jΩ].

Alternativamente





Considere:y [n] =

12

(x [n]− x [n − 1]).


H(ejΩ) =12

[1− e−jΩ].

Alternativamente





Considere:y [n] =

12

(x [n]− x [n − 1]).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Magnitude

|H(e

jω)|

ω (rad/s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90Fase

/_ H

(ejω

) (g

raus

)

ω (rad/s)


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





Projeto via aproximacaoJanela quadrada

E comum aproximar multiplicar hd [n] = sen(Ωcn)πn por uma janela finita

rectN [n] a exemplo de

rectN [n] =

1, |n| ≤ N0, |n| > N .

O filtro de resposta ao impulso h[n] = hd [n]rectN [n] tende ao idealcom N →∞.

O filtro de resposta ao impulso h[n] = hd [n]rectN [n] e nao causal.

Como hd [n] = sen(Ωcn)πn e h[n] sao do tipo e par e real, entao H(ejΩ)

e real.

Caso seja necessario um filtro causal, utiliza-de h[n − N].

O atraso N implica numa resposta de fase linear.





rectN [n] =

1, |n| ≤ N0, |n| > N .




e real.







rectN [n] =

1, |n| ≤ N0, |n| > N .




e real.







rectN [n] =

1, |n| ≤ N0, |n| > N .




e real.





Resposta o impulso de

rectN [n] = sen[2πn/33]

πn , |n| ≤ 320, |n| > 32

.


ExemploFiltro media movel


ExemploFiltro diferenciador


ExemploFiltro diferenciador

Introdução

Texto em ImagensCaracterísticas TextuaisDescrição do ProblemaSistema de Extração da Informação Textual - TIE

Estrutura Geral de um Sistema TIE

Localização

Verificação

Extração

OCR

Imagem

Complexa

Texto

Plano

SIS

TE

MA

TIE

André P. N. Tahim Localização e Extração Automática de Textos em Imagens Complexas

Etapa de Localização

Classificação dos Métodos de LocalizaçãoIdentificação Textual PropostaObjetivos do Método de Localização PropostoArquitetura do Método de Localização PropostoComentários

4a Etapa - Geração das Regiões Candidatas a Texto

Localização

Verificação

Extração

OCR

Imagem

Complexa

Texto

Plano

SIS

TE

MA

TIE

Contornos candidatos atexto

Regiões candidatas a texto

André P. N. Tahim Localização e Extração Automática de Textos em Imagens Complexas


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Introducao





Comentarios Finais

Nesta aula foram apresentados alguns conceitos de filtragem.


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