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POLÍGONOS TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS
Nuno Marreiros
7º ANO
Áreas de alguns quadriláteros
Para todo e qualquer retângulo de base (b) e altura (h), pode-se escrever:
Área do Retângulo = medida da base (b) x medida da altura (h)
Exemplo: Determina a área e o perímetro de uma cozinha que tem 4m de comprimento e 2m de largura.
A = 4 x 2 P = 4 + 4 + 2 + 2
A = 8m² P = 12m
Recorda … Área do retângulo
A = b x h
O quadrado é um retângulo cuja base e altura têm medidas iguais.
Área do Quadrado = medida da base (l) x medida da altura (l)
Exemplo: Determina a área e o perímetro de uma praça quadrada sabendo que seu lado mede 45m.
A = 45 x 45 P = 45 + 45 + 45 + 45
A = 2025 m² P = 180 m
Recorda … Área do quadrado
A = l x l = l2
Área do Paralelogramo - Base
• Um paralelogramo é um quadrilátero, onde os lados opostos são congruentes e paralelos.
• Um retângulo é um paralelogramo, mas nem todos os paralelogramos são retângulos (paralelogramos sem ângulos retos).
• Qualquer um dos pares de lados paralelos de um paralelogramo são chamados as bases do paralelogramo.
base
base
A altura de um paralelogramo
• A distância mais curta (distância perpendicular) entre as bases de um paralelogramo é chamado a altura do paralelogramo.
• A altura (height) do paralelogramo é sempre perpendicular às
bases.
Área do Paralelogramo - Altura
A altura pode estar dentro do paralelogramo
A altura pode estar fora do paralelogramo
Qual é a área deste paralelogramo?
b=base
h=height
Área do Paralelogramo
Qual é a área deste paralelogramo?
Corta aqui!
b=base
h=height
Área do Paralelogramo
Qual é a área deste paralelogramo?
Move para aqui!
b=base
h=height
Área do Paralelogramo
É o mesmo que a área deste retângulo!
h=height
b=base
Área do Paralelogramo
Árearetângulo= base x altura h=height
Área do Paralelogramo
b=base
Áreaparalelogramo = base x altura
b=base
h=height
Área do Paralelogramo
Um paralelogramo pode ser decomposto para compor um retângulo.
Área do Paralelogramo = medida da base (b) x medida da altura (h)
Exemplo:
Calcula a área de um paralelogramo com 5cm de base e 1,5cm de altura.
A = 5 x 1,5
A = 7,5 cm²
Área do Paralelogramo
A = b x h
Muito importante: A altura é sempre perpendicular à base.
b=Base superior (base menor)
B=Base inferior (Base maior)
Comprimento da diagonal
h=height (altura)
What is the area of this triangle? Qual é a área deste
trapézio?
Área do Trapézio - Legenda
Começemos por fazer uma copiar do trapézio!
h
B
b
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
PASSAR PARA AQUI!
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
h
B
b
VIRAR VERTICALMENTE!
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
h
B
b
VIRAR HORIZONTALMENTE!
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
h
B
b
MOVER PARA AQUI!
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
h
B
b
REPARA NAS MEDIDAS!
b
Qual é a área deste trapézio?
Área do Trapézio
h
B
b
A área do trapézio é metade (½) da
área deste paralelogramo.
Área do Trapézio
h
B
b
b
Área do Trapézio
h
B
b
b
Áreaparalelogramo = (B + b) x h
Área do Trapézio
h
B
b
b
Áreatrapézio
2
B b h
Área do Trapézio
h
B
b
Áreatrapézio
2
B bh
Dois trapézios congruentes “formam” um paralelogramo. A área de dois trapézios juntos correspondem à área de um paralelogramo que tem dois lados paralelos com medidas iguais a (B + b), e altura igual à do trapézio, do qual se pretende determinar a área.
Como a medida encontrada corresponde a dois trapézios congruentes, basta dividir a área por 2.
Área do Trapézio
2
B bA h
Exemplo: Num trapézio, as bases medem 20cm e 12cm, e a altura mede 6cm. Determina a área do trapézio. A = (20 + 12) x 6 = 96 cm² 2
b=base
Comprimento da diagonal h=height
(altura)
Qual é a área deste triângulo?
Não é um quadrilátero mas vai ser necessário recordar …
Área do Triângulo - Legenda
h
b
Qual é a área deste triângulo?
Começemos por fazer uma copiar do triângulo!
Área do Triângulo
h
b
Qual é a área deste triângulo?
PASSAR PARA AQUI!
Área do Triângulo
h
b
Qual é a área deste triângulo?
VIRAR VERTICALMENTE!
Área do Triângulo
h
b
Qual é a área deste triângulo?
VIRAR HORIZONTALMENTE!
Área do Triângulo
h
b
Qual é a área deste triângulo?
MOVER PARA AQUI!
Área do Triângulo
h
b
A área do triângulo é metade (½) da
área deste paralelogramo.
Área do Triângulo
h
b
Área do Triângulo
Áreaparalelogramo = b x h
h
b
Áreatriângulo 2
b h
Área do Triângulo
h
b
Áreatriângulo 2
b h
Área do Triângulo
A área de um triângulo qualquer, de base (b) e altura (h) pode ser determinada da seguinte forma:
2
b hA
Exemplo: Determina a área de um triângulo com 14 cm de base e 7 cm de altura. A = 14 x 7 = 49 cm² 2
Área do triângulo = medida da base (b) x medida da altura (h) 2
Área do Triângulo
• O losango é um quadrilátero que tem os quatro lados com a mesma medida.
• O losango, como todo o quadrilátero, tem duas diagonais, uma diagonal de medida D e outra de medida d, e as suas diagonais são perpendiculares entre si.
Área do Losango - Legenda
M
Q
N
P
Área do Losango
A superfície limitada por um losango pode ser “dividida” em dois triângulos congruentes (de acordo com os critérios estudados).
[MNP] [MQP]
M
Q
N
P
2
d
D
Área[MNPQ] = 2 A[MNP]
[MNPQ]22
2
dD
A
2
D dA
Área do Losango
2
d
d
2 2
d D dD
Área do Losango
Outra demonstração …
ÁreaLosango = ÁreaRetângulo
2
Inscrever um losango num retângulo e reparar que os triângulos azuis são congruentes com os do losango.
= D × d
2
D
d
Obs. Dos 8 triângulos congruentes (4 azuis + 4 brancos) que representam o retângulo, apenas os 4 brancos constituem o losango, ou seja, metade dos triângulos!
Área do Losango
Um exemplo específico … …uma outra maneira de determinar a área do losango!
• As diagonais dividem um losango em quatro triângulos congruentes.
• Então, a área do losango é quatro vezes a área de um dos triângulos.
• Área de 1 triângulo
• Área dos 4 triângulos = 4 6 = 24
• Área do losango = 24
• Usando diretamente a fórmula demonstrada anteriormente…
= b × h
2 =
3 × 4
2 = 6
A = D × d
2 =
8 × 6
2 = 24
Área do Papagaio
De modo análogo ao losango, a superfície limitada por um papagaio pode ser “dividida” em dois triângulos congruentes (de acordo com os critérios estudados).
2
D dA
Aplica-se a mesma expressão do cálculo da área do losango para o cálculo da área do papagaio.
Em que D e d são os comprimentos das suas diagonais.
Retângulo
Quadrado
Paralelogramo
Trapézio
Triângulo
Losango
Papagaio
Quadro resumo
2
D dA
2
D dA
2
b hA
2
B bA h
A = b x h
A = l x l = l2
A = b x h
Páginas Exercícios
30 9
39 12 e 13
42 Todos
43 Todos