HIDRÁULICA I – 1

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA

SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS

HIDRÁULICA I

Resoluções dos problemas

HIDRÁULICA I – 2

7 – LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO

PROBLEMA 7.1

Pretende-se elevar o caudal de 14 ls− de um reservatório A para um reservatório B, por uma

conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um

óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática 4 2 13 10v m s− −= × . A

potência da bomba é de ,2 2 kW e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes

dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m .

Calcular a pressão do ar no reservatório B.

RESOLUÇÃO

� A t BH H J H+ − =�

� , 3 10 004Q m s−=

( ),

Re ,,2 4

4 4 4 0 004113 2

0 15 3 10

U D Q D Q

DD−

× × ×= = = = =

ν Π νΠ × ×ν Π × × ×

Re ,113 2= ⇒ escoamento laminar

� ( ) ( )

,,

, , ,

4

2 2 2

3 10 4 0 00432 32 0 0098

9 8 0 15 0 15

UJ J m m

g D

−ν × ×= ⇒ = × × =

Π × ×

� ,30 9 9800 8820tQ H

P Nm−γ

= γ = × =η

,,

,

8820 0 0042200 43 65

0 7t

t

HH m

× ×= ⇒ =

HIDRÁULICA I – 3

� , , , ,0 0 43 65 0 0098 250 41 20BH m= + − × =

� 2

2B

B B

UpBH z

g= + + α

γ

( ), ,

2

0 41 20 8 33 202

BU pB pBm m

gα = ⇒ = − ⇒ =

γ γ

� 8820γ = ⇒ , 52 93 10Bp Pa= ×

PROBLEMA 7.2

Numa conduta circular com ,1 0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta ,0 5k mm= escoa-

se o caudal de 3 13 m s− . Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= , determine a

perda de carga unitária.

RESOLUÇÃO

,

,?3 1

5 2 1

1 0

0 5

3

10

D m

k mmJ

Q m s

m s

−

− −

= =

==

ν =

,,

,

,

,

, ,Re ,

22

1

55

0 00050 0005

1 0

0 7854

3 82

3 82 1 03 82 10

10

k

D

DA m

QU ms

A

U D

−

−

= =

Π

= = = =

× = = = × ν

� Recorrendo à utilização do ábaco de Moody

,

Re ,5

0 0005

3 82 10

k

D

=

⇒= ×

Ábaco de Moody ⇒ ,0 018f �

� 2

2

12

2

J D Uf J f

g DU

g

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ,0 0134J m m=

� Recorrendo à fórmula de Colebrook-White

HIDRÁULICA I – 4

,log

, Re

1 2 512

3 7k

Df f

= − +

,log

, Re

2

1 2 512

3 7k

f D f

= − +

,log

, Re

2

1

2 512

3 7

f

k

D f

= − +

( ),

log,

Re

2 2

2

1

2 512 23 7 2

J D

U

kg

DJ D U g

= − +

( ),

log,

Re

2

2

2

12

2 512

3 7 2

UJ

g D

k

DJ D U g

= − +

,

,log ,

26

4

10 7444

5 66968 102 1 35 10

J

J

−−

= ×− × +

,

,log ,

1 26

4

0 7444

5 66968 102 1 35 10

n

n

J

J

+−

−

= × − × +

(substituições sucessivas)

nJ 1nJ +

0,0010 0,0152

0,0152 0,0133

0,0133 0,0133

,0 0133J =

HIDRÁULICA I – 5

PROBLEMA 7.3

Numa conduta circular com a rugosidade absoluta ,1 5K mm= , escoa-se o caudal de 3 12 m s− .

Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= e a perda de carga unitária ,0 008J = ,

determine o diâmetro da conduta.

RESOLUÇÃO

,

?

,

3 1

6 2 1

0 0015

2

10

0 008

k m

Q m sD

m s

J

−

− −

=

= =

ν = =

� resolução por tentativas recorrendo ao Ábaco de Moody

( )D m ( )U m s 2

2J D gf

U

×= Re

U D=

ν

k

D

f (ábaco)

0,90 3,144 0,0143 ,62 83 10× 0,00167 0,00220

1,00 2,546 0,0242 ,62 55 10× 0,00150 0,00218

0,98 2,651 ,0 0219 ,62 60 10× 0,00153 ,0 00219

,0 98D m�

� resolução recorrendo à fórmula de Colebrook-White

,log

,

2 25 5

12 512

3 7 22n

n n

Q kD

D g JDg J

−

+

ν = + Π

Quintela, p. 151

Neste caso

,,log

,, , , ,

22 55

1 6

2 514 0 00153 719 6 0 008 10 19 6 0 008

n

n n n

DD D D

−

+

= +

Π × ×

,,, log

25

64

13

6 339 104 054 101 5955n

nn

DD D

−−−

+

×× = +

HIDRÁULICA I – 6

nD 1nD +

0,9000 0,9850

0,9850 0,9804

0,9804 0,9806

0,9806 0,9806

,0 98D m�

PROBLEMA 7.4

Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com

fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta ,6 5K mm= .

Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u , exibido na figura 1 e

resumido na tabela 1.

Tabela 1 ( )y m ( )/Ln y k u ( 1

ms− )

0,0076 0,156346 0,3619 0,0096 0,389961 0,3917 0,0126 0,661895 0,4120 0,0156 0,875469 0,4364 0,0236 1,289445 0,4805

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

u (m/s)

y (

m)

Figura 1 – Perfil da velocidade longitudinal média no tempo

HIDRÁULICA I – 7

a) Determine o valor da velocidade de atrito, * 0u = τ ρ , e do coeficiente B da expressão

do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de

transição

*

( ) 1ln = + κ

u y yB

u k (1)

em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán.

b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e

sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como

2*8

=

uf

U, determine a lei

de resistência válida para este escoamento. Note que ( )0

lim ln 0ε→

ε ε = .

c) Calcule a perda de carga unitária quando ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = e ,0 4B m= .

RESOLUÇÃO

Procura-se uma lei de resistência, ou uma relação entre o factor de Darcy-Weisbach, f , as

propriedades do fluido ( ρ e µ ) as características do escoamento ( h e U ) e as características

do leito (a rugosidade da fronteira sólida ( k ). A dimensional é

( , , , , )= ρ µf f h U k

Aplicando o teorema de Vaschy-Buckingham escolhendo como variáveis de base h , U e µ

obtém-se

, ρ

= µ

k Uhf f

h

Como se admite que a fronteira é hidraulicamente rugosa, a resistência ao escoamento não

depende do número de Reynolds ρ

µUh

. Assim, procurar-se-á uma expressão na forma

=

kf f

h

Sendo

2*8

=

uf

U

HIDRÁULICA I – 8

procurar-se-á integrar o perfil de velocidades para encontrar uma expressão para a velocidade

média do escoamento, U . Assim, tem-se

0 0*

( ) 1lim d lim ln 8,47 d

0,4ε→ ε→ε ε

= + ∫ ∫

h hu y y

y yu k

0*

1lim ln 8, 47 d

0, 4ε→ε

= + ∫

hUh y

yu k

( ) ( ){ }0*

lim 2,5ln 2,5ln 8,47 dε→

ε

= + +∫h

Uhy k y

u

( ) ( )( )( )0 0*

2,5 lim ln d lim 2,5ln 8,47ε→ ε→

ε

= + + − ε∫h

Uhy y k h

u

( )( ) ( )( )( )0 0*

lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47εε→ ε→

= − + + − εhUh

y y y k hu

( )( ) ( )( ) ( )( )( )0 0*

2,5 ln lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47Uh

h h h k hu ε→ ε→

= − − ε ε − ε + + − ε

( ) ( )*

2,5 ln 2,5 ln 8,47 2,5= + + −Uh

h h h k h hu

*

2,5ln 5,97 = +

U h

u k

82,5ln 5,97

= +

h

f k

A expressão acima responde ao enunciado.

(Os desenvolvimentos seguintes são opcionais e visam uma expressão de acordo com os

cânones da Mecânica dos Fluidos.)

Na Mecânica dos Fluidos clássica era usual exprimir os logaritmos em base 10. Assim, tem-se

( ) ( )5,97/2,5

*

2,5ln 2.5ln 2,5ln 2,5ln 10,89 = + = +

U h he

u k k

HIDRÁULICA I – 9

*

2,5ln 10,89 =

U h

u k

*

2,5ln10,89

= −

U k

u h

( )*

2,5log ln 1010,89

= −

U k

u h

*

5,76log10,89

= −

U k

u h

Usando a definição do diâmetro hidráulico

*

5,76log2,72

= −

h

U k

u D

1 5,76log

2,728

= −

h

k

f D

12log

2,72

≈ −

h

k

f D

d) Calcule a perda de carga unitária sabendo que, nas condições da figura 1, ,0 0745h m= ,

,13 2l/sQ = e ,0 4B m= .

RESPOSTA:

Sendo

2*8

=

uf

U

e, em escoamentos com superfície livre,

*4

= = hDu ghJ gJ ,

obtém-se

HIDRÁULICA I – 10

2

48=

hDgJ

fU

2 2= hJD

fU g

Como

12log

2,72

≈ −

h

k

f D

fica

2

2

1log

4 2,722

− =

h

h

JD k

DU g

22log

8 2,72h h

U kJ

gD D

− =

Sendo ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = , ,0 4B m= e ,0 0065k = , obtém-se

2

2

0,0132

0, 4 0,0745 0,0065log

8 9,8 4 0,0745 2,72 4 0,0745J

−

× = × × × × ×

0,0019=J

PROBLEMA 7.5

A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de

uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning:

/ /, 2 3 1 21 486U R J

n=

em que,

U – velocidade média do escoamento;

n – coeficiente que depende do material da tubagem;

R – raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado);

J – perda de carga unitária.

HIDRÁULICA I – 11

Os valores de n , dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo,

para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas.

Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as

unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t , continuando a utilizar os

valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e

o segundo.

RESOLUÇÃO

[ ] 1U L T

−=

[ ]2

A LR R L

P L= ⇒ = =

[ ] 0 0J L T=

•••• [ ] [ ], 2 2 113 3 32

1

1 486 1n R J n L n L T

U LT

−−

= ⇒ = ⇒ =

•••• em unidades inglesas tem-se

[ ] 13n ft s

−=

•••• num sistema genérico, continuando a utilizar a mesma tabela:

( ) ( )− −= �n ft n t1 13 3

1

1

ft x

seg y t

→

→

�

( ) ( ) ( )1 1 1 1 13 3 3 3 3n ft s n x yt x y n t

− − − − −= =� �

•••• equação de Manning num sistema genérico � , t

, 2 13 2

13

1 486U R J

x y n−

=

•••• sendo m=� ; t s= ⇒ ,1 0 3048

1 1

ft m

seg seg

=

=

,0 3048

1

x

y

=

=

( ), ,

,,

2 21 13 32 2

13

1 486 1 4861 4860 3048 1

U R J U R Jnn

−= ⇒ =

× ×

HIDRÁULICA I – 12

2 13 2

1U R J

n= ∴

2 13 2

1U R J

K=

1K

n=

n – coeficiente de Manning

K – coeficiente de Strickler

PROBLEMA 7.6

Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na

figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as

irregularidades.

RESOLUÇÃO

HIDRÁULICA I – 13

•••• Trecho 1–2

− A perda de carga à entrada da conduta é 21

1 2

UH K

g∆ = , em que 1U é a velocidade na

conduta e ,0 5K = se a transição for em aresta viva. O termo cinético é 21

2

U

gα com

,1 1α = se o escoamento for turbulento.

•••• Trecho 2–3

− A perda de carga na curva é 21

2 2

UH K

g∆ = , em que K depende da geometria da

curva e do número de Reynolds do escoamento para números de Reynolds

pequenos.

− O declive da linha de energia é superior ao da do trecho 1–2 pelo facto de a conduta

ser inclinada.

•••• Trecho 3–4

− Devido ao alargamento brusco, ocorre na secção 3 uma perda de carga singular dada

por ( )2

1 2

2

U UH

g

−∆ = .

Consequentemente, a linha piezométrica sobe:

( )2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 22 2

22 2 2 2 2 2 2

U U U U U U U U U U U U

g g g g g g g

− − ++ = + = − +

Como 2

1 2 21 2

22

2 2

U U UU U

g g> ⇒ > ⇒

( )2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 12

22 2 2 2 2 2

U U U U U U U U

g g g g g g

−⇒ + = − + <

HIDRÁULICA I – 14

Como ( )22 2

1 21 2

2 2 2

U UU U

g g g

−> + ⇒ a piezométrica sobe.

•••• Trecho 4–5

− A perda de carga no estreitamento é 21

2

UK

g com ,0 5K < .

O declive da linha de energia é igual ao do trecho 2–3.

•••• Trecho 5–6

− Em 5, a turbina aproveita uma queda uH . Entre 5 e 6, a perda de carga unitária e o

termo cinético decrescem gradualmente para jusante. Como a área da secção vai

aumentando, a velocidade vai diminuindo, ( )U U x= , e J é sucessivamente menor.

Em 6, ocorre uma perda de carga dada por:

( )2 26 res. 6

2 2

U U UH

g g

−∆ = = com res. 0U �

porque a tubagem termina em aresta viva.

PROBLEMA 7.7

Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de ,0 45 m escoa-se água, em regime uniforme,

com a perda de carga unitária de 0,003. Calcular o caudal transportado, supondo a conduta nova

e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi.

RESOLUÇÃO

•••• Dados: – tubagem de fibrocimento

,0 45D m=

,0 003J m m=

Calcular Q

•••• A fórmula de Chézy é a seguinte: Q C A R J= em que 87 R

CR

=γ +

– fórmula de Bazin

•••• Como se trata de fibrocimento, o valor de γ da fórmula de Bazin varia entre ,120 00 m e

,120 06 m . Adopta-se o valor intermédio ,

120 03 mγ =

HIDRÁULICA I – 15

•••• , ,,

,

, ,

1 1243 5 0 4587 43 5

79 804 1 10 03 0 45

2 2

R DDR C m sR D

−= ⇒ = = = =γ + γ + +

•••• ( ),

, , ,

20 451

79 86 0 45 0 0032 8

Q C A R J C A D JΠ ×

= = = × × =

, 3 10 233 m s−= 233Q l s=

PROBLEMA 7.8

Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de

cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois

trechos: trecho AB, com um comprimento 1 1000l m= e diâmetro 1D , e trecho BC, com um

comprimento 2 1000l m= e diâmetro 2D tal que ,2 11 1D D= .

Determinar os diâmetros 1D e 2D de modo que o caudal escoado seja −ls 1200 . Usar a fórmula

de Manning-Strickler ( 1 3 195K m s−= ).

RESOLUÇÃO

a)

•••• Resolução pela fórmula de Manning-Strickler

2 13 2Q K A R J=

•••• Desprezando perdas de carga em singularidades vem:

( ) ,1 1 2 2 1 2 1 220 0 02H J J J J m J J m m∆ = + = + = ⇒ + =� � �

•••• ( )

( )

, ,

,,,

222

2 2 16422 43 332 3

0 2 0 041

2304 095 0 15750 6169

4 4

Q QJ

K A R DD DD DK

= = = = × × Π

HIDRÁULICA I – 16

( )

,1 16

31

0 04

2304J

D

= ( )

,

,2 16

31

0 04

2304 1 1J

D

=

( ) ( )

,,

,1 2 16 16

3 31 1

0 04 1 10 02

2304 1 1J J

D D

+ = + =

( )

( ) ( )

, , ,

,, ,

163

16 163 3

1 1

1 1 1 0 02 2304 2 66251152

0 041 1 1 1D D

+ ×= ⇒ =

( ) , ,16

31 10 0014 0 291D D m= ⇒ =

•••• 1 291D mm= e ,2 11 1 320D D mm= =

b)

•••• Resolução pelo ábaco de Scimemi

( )1D mm ( )2D mm 1J 2J 1 2J J+

350 385 0,0085 0,0050 0,0135

325 358 0,0120 0,0075 0,0195 ≅ 0,020

PROBLEMA 7.9

Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta

um ponto alto B cuja cota é 105 m .

Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de , 3 10 1m s− (rendimento, ,0 85η = ).

HIDRÁULICA I – 17

Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a

1m . Qual é a potência da turbina.

RESOLUÇÃO

a) Determinação do diâmetro mínimo da conduta

•••• desprezando perdas de carga em singularidades

110A AH z m= =

2

105 12B

UH

g= + + α =

,

,

2

22

0 1106

19 64

BH

D

+ = Π

×

( )1α =

1000A BH J H− =

•••• tubagem em ferro fundido ⇒ , ,2 625 0 53535Q D J=

(QUINTELA 1981, p. 154)

,

,

10 535

2 62535

QJ

D

=

••••

,

,

,

,

10 535 2

2 625 22

0 1110 1000 106

3519 6

4

Q

D D

− = +

Π×

,

, ,4 907 4

0 01757 0 000827110 106

D D− = +

,

, ,4 907 4

0 01757 0 0008274

D D= − ⇒

,

,

,

14 907

1

4

0 01757

0 0008274

n

n

D

D

+

=

−

nD 1nD +

0,5 0,331

0,331 0,332

0,332 0,332 ⇒ min ,0 332D m=

HIDRÁULICA I – 18

b) Potência da turbina

( )A AB BD DC u CH J L L L H H− + + − =

3200u A CH H H J= − − 100 3200uH J= −

( )

,

,

,,

,

10 535

32 625

0 13 93 10

35 0 332J m m−

= = ×

, ,3100 3200 3 93 10 87 42uH m−= − × × =

, , , ,9800 0 1 87 42 0 85 72826 7uP Q H W= γ η = × × × =

,72 8P kW=

PROBLEMA 7.10

Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao

reservatório D chega um caudal de 1250 ls− . Sabendo que as cotas dos reservatórios e as

dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é

,0 75η = e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da

bomba.

HIDRÁULICA I – 19

RESOLUÇÃO

Desprezando perdas de carga em singularidades, CH é dada por:

C D CD CDH H J= + �

A perda de carga unitária no trecho CD pode ser calculada pela fórmula de Scimemi para ferro

fundido:

( ) ,, , ,, ,

2 6252 65 0 535 0 53535 0 25 35 0 5 CDQ D J J= ⇒ = ⇒

,0 00292CDJ m m⇒ =

pelo que a carga hidráulica no nó C vem:

, ,30 2000 0 00292 35 84CH m= + × =

Para calcular o caudal que se escoa no trecho EC , de C para E , é necessário calcular

( ),,

35 84 350 00056

1500CEJ m m−

= =

O caudal CEQ é então:

( ) ( ), ,, , ,

2 625 0 535 3 135 0 6 0 00056 0 167CEQ m s−= =

O caudal que sai do reservatório A e se escoa até ao nó C é

, , , 3 10 250 0 167 0 417AC CD CEQ Q Q m s−= + = + = . O caudal elevado é

, 3 10 417ACQ m s−=

HIDRÁULICA I – 20

A potência da bomba é dada por uQ HP

γ=

η, em que uH satisfaz a equação

A u AC AC CH H J H+ − =� . Importa, por isso, calcular ACJ . Sabe-se que

( ) ( ) ,,, ,

0 5352 6250 417 35 0 6 CDJ= × , ou seja, ,0 0031CDJ m m= . Então,

, ,10 0 0031 1800 35 84uH+ − × = , isto é, ,31 43uH m= . A potência da bomba vem

( ), ,

,,

9800 0 417 31 43171269 171 3

0 75

xP W kW

×= = ≅

bomba ,171 3P kW=

PROBLEMA 7.11

Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a

atmosfera na extremidade D. A secção 0S em D tem o valor de , 20 02 m .

Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das

condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no

orifício de saída

RESOLUÇÃO

•••• Sistema de equações

,

,

2

0 0215

19 6

CD

D

Q

H

= +

D A AC AC CD CDH H J J= − −� �

D B BC BC CD CDH H J J= − −� �

CD AC BCQ Q Q= +

HIDRÁULICA I – 21

Fibrocimento ⇒ ,

,,

10 56

2 6848 3

QJ

D

=

, ,

, ,

,

, , , , ,

2

1 10 56 0 56

2 68 2 68

0 0215 40 800 1250

19 6 48 3 0 35 48 3 0 40

CD

AC CD

Q

Q Q

+ = − × − × × ×

(1)

, ,

, ,

,

, , , , ,

2

1 10 56 0 56

2 68 2 68

0 0215 50 900 1250

19 6 48 3 0 40 48 3 0 40

CD

CD AC CD

Q

Q Q Q

− + = − × − × × ×

(2)

•••• Resolução por tentativas

1) arbitra-se CDQ

2) calcula-se ACQ pela equação (1)

3) substitui-se ACQ na equação (2) e calcula-se 'CDQ

4) se 'CD CDQ Q≅ a solução foi encontrada e pode calcular-se BCQ ; se '

CD CDQ Q≠

CDQ ACQ 'CDQ

0,300 0,102 0,472

0,320 − 0,067 0,248

0,3142 − 0,016 0,3155

Solução ⇒ ,0 332BCQ =

HIDRÁULICA I – 22

•••• Procedimento alternativo

PROBLEMA 7.12

Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta

de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com ,0 60 m de diâmetro.

A relação entre a altura de elevação ( )tH e o caudal ( )Q da bomba, acoplada a um motor de

velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime-

se por:

228 20tH Q= −

HIDRÁULICA I – 23

com tH expresso em m e Q em 3 1m s− . Desprezando as perdas de carga localizadas,

determinar o caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento ,0 70η = ):

a) nas condições indicadas;

b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira;

c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira.

RESOLUÇÃO

a) Caudal e potência da bomba nas condições indicadas

Sistema de equações

15 35tH J+ − =� ∴ 20tH J= + � − curva característica da instalação

228 20tH Q= − − curva característica

•••• ,

,, ,

10 53

22 67

28 20 20 100038 77 0 6

QQ

− = + × ×

betão liso

•••• ,,

11 20 53

18 13 196

20n

n

QQ +

− =

HIDRÁULICA I – 24

nQ 1nQ +

0,1 0,6256

. .

. .

. .

0,4828 0,4827

, 3 10 483Q m s−≅

•••• Potência da bomba:

,228 20 23 33tH Q m= − =

, ,,

,

9800 0 483 23 33157786 157 8

0 7t

b

Q HP W kW

γ × ×= = = =

η

b) potência de cada bomba quando há duas bombas instaladas em paralelo

•••• Neste caso, cada bomba leva metade do caudal

2228 20 28 5

2t

QH Q

= − = −

Q – caudal total

,

,, ,

10 53

22 67

28 5 20 100038 77 0 6

QQ

x

− = + × ⇒

, 3 10 652Q m s−≅

•••• Potência da bomba:

( ), ,2228 5 28 5 0 652 25 87tH Q m= − = − × =

, ,

,2bombas

9800 0 652 25 87236182

0 7tQ H

P Wγ × ×

= = =η

,1bombas 118 1P kW=

c) Quando há duas bombas instaladas em série

•••• Neste caso, a altura de elevação total é dupla

( )2 22 28 20 56 40tH Q Q= × − = −

,,1

2 0 5356 40 20 13 196Q Q− = + ⇒ , 3 10 820Q m s−=

HIDRÁULICA I – 25

( ), ,2 bombas

256 40 0 820 29 1tH m= − × =

, ,,

,1bomba 1bomba9800 0 32 14 55

14 55 1670 7tH m P kW

× ×= ⇒ = =

1bomba 167P kW=

PROBLEMA 7.13

A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B

onde se colocou um tubo piezométrico.

A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de ,0 50 m e a sua extremidade C está equipa da

com um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m . Supondo nulas a contracção no obturador e

as perdas de carga em singularidades.

a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de , 20 01m .

b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a

abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior

das condutas?

c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento

indicados.

RESOLUÇÃO

O sistema de equações resolventes é o seguinte

C AH H J= − �

( );

,

22

220 1 0

2 2 0 01C

p Q pUH z m

g g= + + α = + α = =

γ γ

com2 11 13 32 85Q K A R J K m s−= =

HIDRÁULICA I – 26

a) A determinação do caudal escoado nas condições da alínea a) implica a resolução do

sistema de equações anterior. Tendo presente que ( ), ,

223 1

20 5 0 5

854 4

Q J Π = × ⋅

,

vem ,

2

4 172Q

J

=

ou seja ,

2

60 20004 172C

QH

= − ×

( ), ,

2

220

19 6 0 01C

QH = +

×

Donde

( ), , ,

2 2

260 2000 20

4 172 19 6 0 01

Q Q − × = +

, , , ,2 2 2 3 160 114 88 20 510 2 0 40 625 08 0 253Q Q Q Q m s−− − − = ⇒ = ⇒ =

•••• Se a cota piezométrica em B for superior a 55 m , o caudal escoado será

, 3 10 253Q m s−= . Importa verificar se assim é. Então

,,

2

60 1000 56 324 172B

QH m

= − × =

como ( )

,2

256 32

2B

p QH p z m

g A= + + =

γ e

( ) ( )( )

, ,, , , ,

, ,

2 22

2

0 5 0 2530 196 56 32 56 23 55 0

4 19 6 0 196B

pA m z m m

Π × = = ⇒ + = − = > γ ×

A hipótese está verificada e , 3 10 253Q m s−=

b) Desprezando a altura cinética nas condutas, o caudal máximo que se pode escoar

implica que, em B , se tenha uma carga igual a 55 m . Para menores valores de H em

B , o escoamento seria interrompido pela entrada de ar pelo piezómetro. Assim,

( ),

60 550 005

1000ABJ m m−

= = e

( )( )max

, ,, ,

223 1 3 12

0 5 0 585 0 005 0 295

4 4Q Q m s

−Π × = = × × × =

.

HIDRÁULICA I – 27

Por outro lado ,60 2000 0 005 50CH m= − × = e

( )( )

( )( )

( ), ,,

,,

2 222 2

2 2

0 295 0 29520 20 50 0 012

19 6 302 19 6C C C

C C

QH A A m

g A A= + + = ⇒ = ⇒ =

××

•••• Nas condições da alínea b) tem-se , 3 10 295Q m s−= e , 20 012A m= .

PROBLEMA 7.14

O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço

soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e

diâmetros das tubagens são os indicados.

a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a

bomba a potência de 1700 kW e o rendimento de 0,70.

b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o

caudal admitido em B igual a , 3 12 0 m s− . Calcule também a potência da bomba admitindo

que tem o rendimento de 0,70.

c) Para 100X m= e funcionando a bomba com a potência de 5000 kW e o rendimento de

0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C.

d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas

correspondentes às alíneas b) e c).

NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em

singularidades, são independentes.

Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva.

HIDRÁULICA I – 28

RESOLUÇÃO

a) Supondo a tubagem EC obturada, qual é o caudal que se escoa de A para B

•••• Sistema de equações para o cálculo do caudal:

A t DE DE EB EB BH H J J H+ − − =� � 20AH m=

( )2 1

3 2DEQ K A R J J f Q= ⇒ = 80BH m=

( )'EBJ f Q=

tt

Q H PP H

Q

γ η= ⇒ =

η γ (com as unidades adequadas)

•••• determinação de DEJ e EBJ (com 1 1385K m s−= )

( )( ) ( ),

,

2 22 13 2

185 0 25

4 701 89DE DE

QQ J J

Π ×= × × ⇒ =

( )( ) ( )

,,

,

2 22 13 2

0 885 0 20

4 213 51EB EB

QQ J J

Π ×= × × ⇒ =

•••• determinação de tH :

, ,1700000 0 70 121 42869800tH

Q Q

×= =

×

•••• cálculo do caudal:

,

, ,

2 2121 428620 1500 1400 80

701 89 213 51Q Q

Q+ − × − × =

,,

2 121 42868 6942 60 0Q

Q− + =

A equação anterior pode ser escrita na forma

, ,+ − =Q Q38 6942 60 121 4286 0

Este polinómio pode ser resolvido pelo método de iteração de Newton:

( )( )'

1i

i i

i

p xx x

p x+ = − em que

( ) 11 0

n ni n np x a x a x a−

−= + + e

HIDRÁULICA I – 29

( )( )

'i

i

dp xp x

dx=

No caso em análise:

, ,

,

3

1 2

8 6942 60 121 4286

26 0826 60i i

i i

i

Q QQ Q

Q+

+ −= −

+

iQ 1iQ +

1,0000 1,6126

1,6126 1,5204

1,5204 1,5175

1,5175 1,5175 , 3 11 52Q m s−≅

•••• , 3 11 52ABQ m s−≅

b) Nas condições da alínea b) tem-se

80 1400E EBH J= + ×

,, ,

2 40 0187

213 51 213 51EB

QJ m m= = =

, ,80 1400 0 0187 106 23EH m= + × =

•••• para que não haja escoamento de E para C é necessário que EH x= pelo que a

resposta é

,106 23x m=

•••• Por outro lado, ,,

40 0057

701 89DEJ m m= =

•••• Como , , ,106 23 106 23 20 0 0057 1500E A t DE DE tH H H J H= + − ⇒ = = + − ×�

,94 78tH m⇒ =

•••• A potência da bomba será

,,

,

9800 2 94 782653 8

0 70P W kW

× ×= ≅

HIDRÁULICA I – 30

c) 100x m= 5000bP kW= ,0 70η =

Sistema de equações:

E A t AE AEH H H J= + − � ①

E B BE BEH H J= + � ②

E C CE CEH H J= + � ③

, ,35000 10 0 7 357 1439800t

AE AE

HQ Q

× ×= =

× ④

AE BE CEQ Q Q= + ⑤

,

2

26 493AE

AE

QJ

=

⑥

,,

21214 612

14 612BE

BE EB BE

QJ Q J

= ⇒ =

⑦

,,

2126 785

6 785CE

CE EC EC

QJ Q J

= ⇒ =

⑧

Esquema resolvente

•••• Resolução (por tentativas)

AEQ (arbitrado)

AEJ

⑥

tH

④

EH

①

EBJ

②

ECJ

③

EBQ

⑦

ECQ

⑧

AEQ

⑤ (calc.)

3,0 0,0128 119,05 119,85 0,0285 0,0199 2,465 0,956 3,421

3,1 0,0137 115,21 114,66 0,0248 0,0147 2,299 0,821 3,121

d) Resolve-se na aula.

HIDRÁULICA I – 31

PROBLEMA 7.15

Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e ,0 20 m de diâmetro, de

fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de

38640 m por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior

em 30 m ao nível da água no reservatório.

Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na

extremidade B da conduta uma bomba com 30 kW de potência e o rendimento de 0,75. A

bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A.

Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se

regista a cota piezométrica mínima.

NOTAS: – Estabeleça primeiro o sistema resolvente;

– Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética.

RESOLUÇÃO

•••• Procede-se, em primeiro lugar, à análise da situação inicial.

Nesse caso: dia3 18640Q m −=

só consumo de percurso

sem bomba

•••• dia ,3 1 3 18640 0 1Q m m s− −= =

•••• O caudal de percurso é 0 1P Q Q= − . Como 1 0Q = , então 0P Q= , caudal na secção de

entrada. O consumo uniforme de percurso é, por sua vez,

HIDRÁULICA I – 32

, 5 3 1 10 15 10

2000P

p m s mL

− − −= = = × .

•••• A perda de carga contínua é ( )( )

( )2

23

x

Q xJ x Q

K A R

= = β

.

Como a tubagem é de fibrocimento, 1 1390K m s−= e

( )( )

,,

,

2

2

2 23 2

3

1 16 7908

0 290 0 05

4K A R

β = = = Π × × ×

•••• O caudal equivalente é , , 3 10 55 0 055eQ P m s−= = e a perda de carga unitária é

( ) ,2 22 054 10e eJ Q m m

−= β = × .

•••• A perda de carga total, nestas circunstâncias, seria

, ,22000 2 054 10 41 08eH J m−∆ = = × × =� podendo concluir-se que esta solução é

fisicamente impossível.

•••• De facto, ter-se-ia, na extremidade de jusante, uma pressão dada por

( ) atm, ,30 41 08 11 08p

m− = − < −γ

o que não pode acontecer.

•••• Esquematicamente ter-se-ia:

•••• Tendo a bomba instalada, a situação passa a ser a seguinte:

HIDRÁULICA I – 33

As equações para o trecho ① da conduta são as seguintes:

, . 1 10 0 t eX H J= + �

21 1e eJ Q= β

,1 10 55eQ P=

1

1

t t bb t

Q H P H PP H

P

γ γ × η= = ⇒ =

η η γ

51 1 15 10P p −= = ×� �

Por substituição obtém-se (com 30 000bP W= e ,0 75η = ):

( ) ( ),, , ,

251 15

1

30 000 0 750 0 6 7908 0 55 5 10

9800 5 10X

−

−

×= + − × × ×

× ×� �

�

,,

9 31

1

45918 375 1355 10X

−= − × ��

①

As equações para o trecho ② da conduta são:

2 230 eX J= − �

( ), , ,

225 5

2 2 20 55 5 10 6 7908 0 55 5 10

e

e

Q

J− −

= β × × = × × ×

� ��������������

HIDRÁULICA I – 34

2 12000= −� �

•••• Substituindo vem:

, 9 3230 5 1355 10X −= − × =� ( ),

39130 5 1355 10 2000 X

−− × − =� ②

•••• 1� deve ser tal que X seja igual pelas duas equações obtidas e pode calcular-se, por

exemplo, por tentativas

1�

( )m

X

①

X

②

1000 40,78 24,86

1200 29,31 27,37

1300 24,04 28,24

1250 26,70 27,83

1240 27,24 27,75

1230 27,78 27,66

1231 27,72 27,66

1232 27,67 27,67

Pretende-se a melhoria da pressão no ponto de cota mínima (relativamente à situação

inicial). Como 5 3 1 15 10p m s m− − −= × , no trecho ②, situação inicial, o valor de 0Q e

, 3 10 0 1Q m s−= e o de ,5 3 1 3 1

1 1232 5 10 0 0616Q m s m s− − −= × × = . Consequentemente, o

caudal equivalente é , , , , ,5

3 1 3 11

768 5 10

0 55 0 0616 0 55 0 0384 0 08272eQ Q P m s m s−

− −

× ×

= + = + × =

������

•••• A perda de carga unitária equivalente é

( ), , ,22 26 7908 0 08272 4 6467 10e eJ Q m m

−= β = × = × e a perda de carga total é

,2 35 69eH J m∆ = =� .

•••• Na situação inicial, a energia (ou a cota piezométrica) disponível na secção em análise é

inicial , ,30 35 69 5 69X m= − = − .

HIDRÁULICA I – 35

•••• Consequentemente, a melhoria é ( ), , ,

final

26 67 5 69 32 36inicialX X m

↑

− = − − =�����

. Em termos de

pressão vem ,317 1p k Pa∆ ≅ .