92

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96

Anexo A

Análise de Incertezas

97

Análise da propagação de incerteza nos cálculos

O efeito sobre um erro na medição, tratando de forma individual, pode ser

estimado por analogia com a derivada de uma função. (Fox, W.R., 2004).

δRi = ∂R∂xiδxi(A1)

A variação relativa em R é

δRi

R= 1

R∂R∂xiδxi = xi

R∂R∂xi

δxixi

(A2)

Introduzindo a notação de incerteza relativa temos

uRi = xiR∂R∂xi

uxi (A3)

Onde o melhor resultado para esta incerteza é

uR = ± ��x1R

∂R∂x1

ux1

2� + �x2

R∂R∂x2

ux2

2� + ⋯+ �xn

R∂R∂xn

uxn

2��

1/2(A4)

A.1. Incerteza na vazão mássica

A vazão mássica esta em função de

m = m(Cd, d,ρ,∆P) = (cte. )xCdxd2x�2xρx∆P(A5)

As derivadas parciais são

∂m∂Cd

= (cte. )xd2x�2xρx∆P

∂m∂d = (cte. )xCdx2xdx�2xρx∆P

∂m∂ρ = (cte. )xCd xd2�2xρx∆Px

12 xρ−1/2

98

∂m∂∆P = (cte. )xCdxd2�2xρ x

12 x∆P−1/2

Onde obtemos as incertezas relativas

um Cd =δmCd

m =Cd

m∂m∂Cd

uCd = uCd

umd =δmd

m =dm∂m∂Cd

uCd = 2udCd

um,ρ =δmρ

m =ρm∂m∂ρ uCd =

12 uρ

um,∆P =δm∆P

m =ρm∂m∂∆P u∆P =

12 u∆P

A equação da incerteza no cálculo da vazão é

um = ± ��uCd �2

+ (2ud)2 + �uρ2�

2+ (u∆P)2�

1/2(A6)

Onde, para o Cp (Bean 1971) é ± 2%, e a incerteza do diâmetro é estimada

em ± 0,05/d.

A massa específica está em função de

ρ = ρ(P, R, T) = PRxT

(A8)

Diferenciando e considerando as incertezas dos termopares de ( ± 0,75)

obtemos

uρ = ±[(uP)2 + (−uT)2]1/2 = ±[(±0,001)2 + (±0,0075)2]1/2 = ±0,76%

Onde obtemos a equação válida para as incertezas de ar úmido e gás natural

uρ = ± �(0,02)2 + �0,1d�

2+ (0,00762) + (0,00052)�

1/2(A9)

99

A.2. Incerteza na vazão de ar seco

A vazão mássica de ar seco é dada a partir da seguinte equação

mar _s = mar _s�mar _u , w� = m ar _u1+w

(A10)

Diferenciando

dmar _s = ∂m ar _s∂m ar _u

dmar _u + ∂mar _s∂w

dw(A11)

Temos que

∂mar _s

∂mar _u=

11 + w

∂mar _s

∂w = −mar _u

(1 + w)2

Calculando as incertezas relativas

um ar _s ,m ar _u =mar _u

mar _s

∂mar _s

∂mar _uum ar _s = um ar _s ,

um ar _s ,w =w

mar _s

∂mar _s

∂w uw =w

1 + w uw

Onde obtemos que a equação para o cálculo de ar seco é

um ar _s = ± ��um ar _s�2

+ �− w1+w

uw�2�

1/2(A12)

A equação da umidade é

w = w(Ur, Psat , Par ) =0,622x U r

100 xPsat

Par −�U r100 xPsat �

(A13)

Diferenciamos e desprezamos a incerteza relativa Psat

100

uw = ± �� Par

Par −�U r100 xPsat �

uUr�2

+ � Par

Par −�U r100 xPsat �

uPsat �2

�1/2

(A14)

Substituindo as incertezas da umidade relativa ( ± 2%) e da pressão

barométrica ( ± 0,1) obtemos

uw = ±� 0,145Par

Par −�U r100 xPsat �

�(A15)

Finalmente

um ar _s = ± �(0,0215)2 + � 0,145 Par

(1+w)�Par −�U r

100 xPsat ���

2

�1/2

(A16)

A.3 Incerteza na taxa de substituição

Na equação:

TS = TS�mD_O , mD� = 100 �mD _O−m DmD _O

�(A17)

Diferenciamos

TS = TS�mD_O , mD� = 100�mD_O − mD

mD_O�dTS =

∂TS∂mD_O

dmD,O +∂TS∂mD

dmD

= �100mD

m2D_O

�dmD_O + �−100

mD_O�dmD

Onde resultam as incertezas relativas

uTS .mD _O =mD_O

TS∂TS∂mD_O

umD_O =mD

�mD_O − mD�um D _O

uTS .m D =mD_O

TS∂TS∂mD

umD = −mD

�mD_O − mD�um D

A incerteza do medidor de vazão é ± 0,1, depois temos que a incerteza

relativa é

101

uTS = ± 0,0028 m Dm D _O−m D

(A18)

A.4. Incerteza na razão de equivalência

Na operação Diesel-Gás a relação de equivalência é calculada por

RET = RET�mar _s , mD,mg� = 14,99xm D +16,99xm g

m ar _s (A20)

Diferenciando e calculando as incertezas relativas

dRET =∂RET

∂mar _sdmar _s +

∂RET

∂mDdmD +

∂RET

∂mgdmg

= �14,99xmD + 16,99xmg

m2 ar _s� dmar _s + �

14,99mar _s

�dmD

+ �16,99mar _s

�dmg

uRE T ,m ar _s =mar ,s

RET

∂RET

∂mar _sumar _s = −umar _s

uRE T ,m D =mar ,s

RET

∂RET

∂mar _sum ar _s = −umar _s

Onde a equação da incerteza da razão de equivalência é

uRE T = ± ��−um ar _s�2

+ � 0,02998 m D14,99xm D +16,99x m g

�2

+ � 0,400964 m g

14,99xm D +16,99x m g�

2�

1/2

(A21)

Na operação de diesel puro, a razão de equivalência, junto à incerteza

relativa é

RET = RET�mar _s , mD� =14,99xmD

mar _s

RET = ± �(0,002)2 + �−umar _s�2�

1/2(A22)

102

A.5 Incertezas nas emissões específicas de CO, HC e NO2

Na operação Diesel- Gás, as emissões são calculadas em função de

(exemplo medida de CO)

(CO)s = (CO)s�COC_S , mD , mg , mar _ s , mar ,_u , P�

= �P−1x0,000966. COC_Sx �1 − 1.85x�mD

mar _s�

− 3.82x�mg

mar _s�� �mar _u + mD + mg��

Diferenciamos

d(CO)s =∂s(CO)s∂COC_S

dCOC_S +∂s(CO)s∂mD COC_S

dmD +∂s(CO)s∂mD COC_S

dmg

+∂s(CO)s∂mD COC_S

dmar _ s +∂s(CO)s∂mD COC_S

dmar _u +∂s(CO)s∂mD COC_S

dP

u(CO )s.CO C _S =COC_S

(CO)s∂(CO)s∂COC_S

uCO C _S = uCO C _S

Onde as incertezas relativas são

u(CO )s.m g = m g

(CO )s∂(CO )s∂m g

umg =

��

m gm ar _s

��m ar _s−3,82mar _u —5,67m D−7,64m g �

�1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m gásm ar _s

���m ar _u +m D +m g ��umg (A24)

u(CO )s.m ar _s =mar _s

(CO)s∂(CO)s∂mar _s

um ar _s

=

⎩⎨

⎧ � 1mar _s

� �1,85mD − 3,82mg�

�1 − 1,85x � mDmar _s

� − 3,82x �mg

mar _s��⎭⎬

⎫um ar _s

u(CO )s.mar _u =mar _u

(CO)s∂(CO)s∂mar _u

um ar _u = �mar _u

mar _u + mD + mg�umar _s

103

u(CO )s.P = P(CO )s

∂(CO )s∂P

uP = −uP(A25)

O cálculo da incerteza da potência relativa, onde leva-se em conta as

incertezas do voltímetro e amperímetro (uV= ± 0,0016 e uI= ± 0,0021), potência

em kW, temos a equação em função de

P = P(V, I) = V × I × √3(A26)

Onde as incertezas das leituras dos aparelhos de medição são

uP = uI + uV = 0,0037

Logo, para termos a equação das incertezas relativas para a medição de

emissões (incerteza de concentrações ± 5% PPM) obtemos a incerteza parcial

para emissões específicas de CO

u(CO )s =

��0,002 � m D

m a rs��ma rs−1,85m aru− 3,7m D−5,67m g �

�1−1,85x� m Dm a rs

�−3,82x�m gsm a rs

���m aru +mD +mg ��

2

+

�0,0236 �

m gm a rs

��m ars−3,82m aru− 5,67m D−7,64m g �

�1−1,85x� m Dm a rs

�−3,82x�m gsm a rs

���m aru +mD +m g ��

2

+ �� 1

m ars��1,85m D +3,82m g �

1−1,85x� m Dm a rs

�−3,82x�m g

m ars�

um ars�

2

+

� 0,0215 m a rum aru +m D +mg

�2

+ [0,05]2 + [1 + 0,015V + 0,02I]2�

12

(A28)

Analogamente, temos para ES emissões específicas de HC e NO2

(concentrações de HC= ± 10% PPM, e NO2= ± 5%PPM) onde

u(HC )s =

±��0,002� m D

m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D−5,67m g �

�1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m g

m ar _s���mar _u +m D +m g �

�2

+

104

�0,0236 �

m gm ar _s

��m ar _s−3,82m ar _u− 5,67m D−7,64mg �

�1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m gásm ar _s

���m ar _u +m D +m g ��

2

+

�� 1

m ar _s��1,85m D +3,82mg �

1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m g

m ar _s�

umar _s �2

+ � 0,0215 m ar _um ar _u +m D +m g

�2

+ [0,1]2 + [1 + 0,015V +

0,02I]2�

1/2

(A29)

u(NO 2)s =

±��0,002� m D

m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D−5,67m g �

�1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m gásm ar _s

���mar _u +m D +m g ��

2

+

�0,0236 �

m gásm ar _s

��m ar _s−3,82m ar _u− 5,67m D−7,64mg �

�1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m g

m ar _s���m ar _u +m D +m g �

�

2

+

�� 1

m ar _s��1,85m D +3,82mg �

1−1,85x� m Dm ar _s

�−3,82x�m g

m ar _s�

umar _s �2

+ � 0,0215 m ar _um ar _u +m D +m g

�2

+ [0,05]2 + [1 +

0,015V + 0,02I]2�

1/2

(A30)

Agora, para a operação diesel, repetimos o cálculo para calcular as emissões

específicas, tendo em vista que a vazão de gás natural = 0.

u(CO _D)s = ±��0,002� m D

m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �

�1−1,85x� m Dm ar _s

���m ar _u +m D ��

2

+ �0,0215 m ar _um ar _u mD

�2

+

��1,85m D

m ar _s�

1−1,85x� m Dm ar _s

�umar _s �

2

+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�

2�

1/2

(A31)

u(HC _D)s = ±��0,002� m D

m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �

�1−1,85x� m Dm ar _s

���m ar _u +m D ��

2

+ �0,0215 m ar _um ar _u mD

�2

+

��1,85m D

m ar _s�

1−1,85x� m Dm ar _s

�umar _s �

2

+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�

2�

1/2

(A32)

105

u(NO 2D )s = ±��0,002 � m D

m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �

�1−1,85x� m Dm ar _s

���m ar _u +mD ��

2

+ �0,0215 m ar _um ar _u m D

�2

+

��1,85m D

m ar _s�

1−1,85x� m Dm ar _s

�umar _s �

2

+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�

2�

1/2

(A33)

106

Anexo B

Planilhas de Medições

106

107

108

109

110

111

113

Anexo C

Planilhas de Incertezas

114

115

116

117

118