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Curso de Nivelamento de MatemáticaCentro Universitário Leonardo da Vinci

OrganizaçãoCristiane Bonatti

Reitor da UNIASSELVIProf. Malcon Anderson Tafner

Pró-Reitor de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Janes Fidélis Tomelin

Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Hermínio Kloch

Diagramação e CapaDavi Schaefer Pasold

Revisão:Diógenes Schweigert

José RodriguesMarina Luciani Garcia

Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVIFone/Fax: (47) 3281-9000/ 3281-9090

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Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.

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NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Números racionais podem ser apresentados na forma fracionária , na forma decimal (0,5) ou percentual (50%).

Iniciaremos os estudos na forma fracionária. Números Fracionários são todos os números resultantes

da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27, 35, , ..., podemos observar que dentro dos números racionais

estão os números inteiros.

Isso nos mostra de onde surgiram as frações. As frações são representadas por um número fracionário, ou seja, a parte de um todo, cada parte da fração representa o todo em diversas partes iguais.

Fração como parte de um todo

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Analisando o quadro anterior, ele foi dividido em 8 partes iguais e três dessas partes estão pintadas. Dizemos que este quadro todo representa um inteiro. Se representarmos sua parte pintada, temos , ou seja, três oitavos do quadro estão

pintadas e

(cinco oitavos) não.

Na representação da fração , temos que o número 3

representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traço de fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO E VICE-VERSA

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO

1ª maneira

Observe a representação gráfi ca anterior, o número de vezes em que o todo está dividido é representado pelo

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denominador, por este motivo, mesmo na forma de número misto, o denominador não se altera.

2ª maneira

Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número inteiro que a fração representa, o divisor continua sendo o denominador e o resto é o numerador.

Então:

Transformação de número misto em fração

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1ª maneira

2ª maneira

AtençãoObserve que foi efetuada a operação inversa da divisão

do caso anterior, pois antes se dividia denominador por numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agora multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos o numerador; lembrando que o denominador não se altera, pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.

Novamente observe que o denominador não se altera, pois a quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.

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FRAÇÕES EQUIVALENTES

Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em relação a uma fração para a outra, só que representada de forma equivalente (igual, mesmo valor).

Exemplo:

, essas frações são frações equivalentes, pois todas

equivalem à metade.

Vejamos isso em uma representação gráfi ca, cada parte representa uma parte de um todo.

Assim:

Para podermos entender um pouco melhor essa situação, vamos conhecer a simplifi cação de fração.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO

Simplifi car uma fração é poder dividir o numerador e o

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denominador por um mesmo número natural, diferente de zero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração já está na sua forma mais simples e percebermos que não é mais possível dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.

Exemplo:

(b) , a fração não pode ser simplifi cada, pois não existe um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente. Sendo assim, é uma fração irredutível.

NÚMERO RACIONAL (Q)

Número Racional é todo número que pode ser representado por uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão por zero).

O símbolo dos números racionais Q vem da inicial da palavra quociente, que signifi ca razão ou fração.

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Exemplo:3 é um número racional, pois 3 = etc.

13 ,

39 ,

26

-12,75 é um número racional, pois -12,75 =

Todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma dízima periódica.

Exemplo:

= 0,333...

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

O conjunto formado pelos números racionais é indicado pela letra Q:

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Então, para ser um número racional, deve ser um valor de x tal que x seja igual a uma fração com numerador e denominador inteiro e que o denominador seja diferente de zero.

A RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS

Observe através do diagrama a relação entre conjuntos

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos números inteiros;

Q =

∈∈= *Z b e Za|

ba Q , indica o conjunto dos números

racionais.

Com isso podemos dizer que todo número natural é também um número inteiro e todo número inteiro é um número racional, ou ainda, que N está contido em Z e que N e Z estão contidos em Q.

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COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS

Comparar dois números racionais signifi ca dizer se o primeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo.

Exemplo:

, pois todo número negativo é menor que um número

positivo.

, pois 0 é maior do que qualquer número negativo.

, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número

negativo.

A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

Como todo número racional pode ser representado na sua forma decimal, existe uma relação de ordem em Q e, portanto, podemos localizá-lo na reta real.

Lembrando que primeiramente precisamos localizar o ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os números inteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.

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Depois de marcados os números inteiros na reta, podemos localizar os números racionais.

Exemplo:(a)

é um número racional entre 1 e 2, pois = 0,75

(b)- 0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27

= -

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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL

Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para relembrar: módulo é a distância do ponto que representa esse número até a origem.

Exemplo:

A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada por

que é de da unidade.

A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é representada por

que é de da unidade.

Então:

é um número racional, pois

= – 1

= – 1,125

é um número racional, pois

= 1

= 1,125

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NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Nesse mesmo exemplo, podemos identifi car também os números opostos ou simétricos, que são representados por dois pontos que estão à mesma distância da origem.

INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL

De todos os números racionais, o único que não tem inverso é o zero.

Exemplo:

, o inverso de .

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

A adição de números inteiros pode ser realizada pela redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela soma dos numeradores, conservando o denominador.

Exemplo:

No entanto, se observarmos a fração , é uma fração equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por

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2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e, então, podemos fazer a soma dos numeradores, conservando o denominador.

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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

COMUTATIVANuma adição de números racionais, a ordem das

parcelas não altera seu resultado.

Exemplo:

ASSOCIATIVANa adição de mais de dois números racionais, não

importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.

Exemplo:

ou

ELEMENTO NEUTRO

Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta nele mesmo.

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ou

OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Qualquer número racional somado ao seu oposto resulta em zero.

Exemplo:

ou

SUBTRAÇÃO

A subtração dos números racionais pode ser realizada somando o primeiro número com o oposto do segundo, desse modo resolvemos pelo mesmo método da adição.

Exemplo:

21 1

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OPERAÇÕES DE NÚMEROS RACIONAIS COM DECIMAIS

Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar entre duas formas de resolução:

1ª maneira

Transformar todos os valores em fração

Exemplo:

Utiliza-se a simplifi cação de frações para tornar as operações mais fáceis.

2ª maneira

Transformar todos os valores em decimal (usamos a regra do arredondamento no caso dos números decimais.

Exemplo:

Observe:

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Toda fração é uma divisão, então transformar uma fração em número decimal é dividir o seu numerador pelo seu denominador.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação de números racionais, multiplicamos os numeradores e os denominadores da seguinte forma. Numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.

Exemplo:

ou

ou

Para multiplicação de números racionais na forma decimal, basta multiplicar seus valores absolutos.

Exemplo:

(-0,876) . (-0,87) = +0,76212 ou (0,87) . (0,876) = + 0,76212

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(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

COMUTATIVA

Na multiplicação de números racionais, a ordem dos fatores não altera o produto

Exemplo:(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212

ASSOCIATIVA

Na multiplicação de números racionais com mais de dois fatores, não importa a ordem em que efetuamos as multiplicações.

Exemplo:

DISTRIBUTIVA

O produto de um número racional por uma soma

ou

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de racionais é igual à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das parcelas.

Exemplo:

ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO

Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já na multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.

Exemplo:

ou 35 . 1 = 35

INVERSO

Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.

Exemplo:

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Através da multiplicação de fração, multiplicamos o numerador pelo numerador. Assim, obtemos o produto do numerador e, multiplicando denominador pelo denominador, obtemos o produto do denominador, ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja os exemplos a seguir:

Exemplo:

Divisão com sinais iguais, o quociente será positivo.

ou

Divisão com sinais diferentes, o quociente será negativo.

, para cada fração pertencente aos números

inteiros, representamos seu inverso por = 1

DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação inversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão, como vou resolver uma multiplicação?

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ou

POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.

Exemplo:

RADICIAÇÃO

A palavra Radical vem do latim radix, que signifi ca raiz. O símbolo √ de radical foi introduzido em 1525, por Christoff Rudolff.

Raiz enésima de um número

Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima desse número será representada da seguinte maneira:

Índice radicando

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QUANDO O ÍNDICE FOR PAR

Exemplo:

, pois 9.9 = 9² = 81 e (-9) . (-9) = 81

, pois 3.3.3.3 = 34 = 81 e ( -34) = 81

, pois 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 e ( -28) = 256

A raiz quadrada dos números negativos não existe. Isto também se estende a todas as raízes pares. Qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo.

Exemplo:

( é o oposto de ) e não existe PARA ÍNDICES PARES!

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QUANDO O ÍNDICE FOR ÍMPAR

Exemplo:

= 3, pois 3.3.3 = 3³ = 27

= 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128

= -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)³ = - 27

, pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-27)= - 128

Qualquer raiz de índice ímpar com radicando positivo ou negativo existe.

RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO

Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o resultado sempre será zero.

Exemplo:

, pois 0 . 0 = 0

POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma de uma potência com expoente fracionário.

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Exemplo:

ou ou

Todos os números racionais podem ser representados na forma de fração , em que a é o numerador e b o denominador; b ≠ 0

Assim, podemos reescrever 3,75 como .

Os números inteiros também são racionais, por isso as propriedades estudadas para expoentes inteiros devem ser preservadas quando se amplia o campo do expoente para os racionais.

Exemplo:, ou seja,

27


Propriedades das potências com expoente fracionário

Multiplicação de potências de mesma base; conserva a base e soma os expoentes.

Exemplo:

Divisão de potências de mesma base; conserva a base e subtrai os expoentes.

Exemplo:

Potência de potência

Exemplo:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

No conjunto dos números reais existem expressões que apresentam um radical no denominador, nesse caso

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precisamos racionalizar os denominadores. Para racionalizar, precisamos transformar o denominador em um denominador racional, mantendo o valor da expressão. Lembre que uma expressão em forma de fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número, diferente de zero.

Exemplo:(a)

=

(b)

=

Potência de um produto

Exemplo:

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REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE

Reduzir ao mesmo índice signifi ca descobrir dois radicais, de mesmo índice, de tal forma que o primeiro seja equivalente ao segundo.

Exemplo:

Ou seja,

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

1ª PropriedadeSe um radical tem o índice igual ao expoente do

radicando, seu valor é igual à base do radicando.

Exemplos:

= 9, pois 9.9.9 = 9³ = 729 e a = 9

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= 3, pois .3.3.3 = 3³ = 27 e a = 3

Não se esqueça, porém, das condições impostas à existência dos radicais envolvidos.

Exemplo:

não é igual a -1, (-1)4 = 1, ou seja, = 1 pois

2ª PropriedadeO valor do radical não se altera quando multiplicamos

ou dividimos o índice e o expoente do radicando pelo mesmo número.

Exemplos:(a)

(b)

(c)

1 3

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3ª PropriedadeUm radical que tem um produto no radicando pode ser

decomposto em um produto de radicais de mesmo índice, com cada fator do primeiro produto em um radical.

Exemplo:

4ª PropriedadeSe um radical tem um quociente em seu radicando, ele

pode ser decomposto em um quociente de dois radicais com o mesmo índice.

Exemplo:

32


OPERAÇÕES COM RADICAIS

SIMPLIFICANDO RADICAISSe o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor

do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos.

Exemplo:

737².37.9 ==

555².5³5 ==

Lembrando também que um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.

Exemplo:

7.97².373 ==


Na adição e subtração de radicais, só podemos escrever o resultado num só radical se os termos forem semelhantes, pois, então, podemos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração.

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Exemplo:

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Exemplo:Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª

propriedades.

Se os índices forem diferentes, devemos inicialmente reduzir os radicais ao mesmo índice para depois resolver.

RESUMO DO TÓPICO

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Número Racional é todo número que pode ser

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representado por uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão por zero).

Q =

∈∈= *Z b e Za|

ba Q

FRAÇÕES EQUIVALENTESFrações equivalentes são as que têm o mesmo valor

em relação a uma fração, só que representada de forma equivalente (igual, mesmo valor).

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃOSimplifi car uma fração é poder dividir o numerador e o

denominador por um mesmo número natural, diferente de zero e de um, tornando-a na sua forma irredutível.

COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAISComparar dois números racionais signifi ca dizer se o

primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao segundo.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS


A adição de números inteiros pode ser realizada pela redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela soma dos numeradores, conservando o denominador.

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PROPRIEDADES DA ADIÇÃOComutativa: a ordem das parcelas não altera seu

resultado.Associativa: não importa a ordem em que forem feitas

as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.

Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta nele mesmo.

Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somado a seu oposto resulta em zero.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Na multiplicação de números racionais, multiplicamos os numeradores e os denominadores da seguinte forma: numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.Associativa: não importa a ordem em que efetuamos as

multiplicações.Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual

à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das parcelas.

Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele

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mesmo.Inverso: todo número multiplicado pelo seu inverso resulta

em 1.

RADICIAÇÃO

Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima desse número será representada da seguinte maneira:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Para racionalizar, precisamos transformar o denominador em um denominador racional, mantendo o valor da expressão.

OPERAÇÕES COM RADICAIS

SIMPLIFICANDO RADICAIS: quando o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: só podemos escrever o resultado num só radical se os termos forem semelhantes.

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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:

a) Seu valor será b) Seu valor será c) Seu valor será -3 d) Seu valor será 3

2. São dadas as igualdades:

I.

II.

III.

IV.

De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:( ) Todas as igualdades são verdadeiras.( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.( ) Somente as igualdades II são verdadeiras.( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.

3. O resultado de )64).(46( +− é:a) 0b)

A UTOATIVIDADE

38


c) 2

d) 2

4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:

a)

b)

c)

d)

5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:

a)

b)

c)

d)

39


6. Se você dividir por , obterá:

a)

b)

c)

d)

7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opção correta:

a)

b)

c)

d)

8. O número racional fi ca entre quais os inteiros consecutivos?

40


a) Entre os consecutivos -4 e -3. b) Entre os consecutivos -4 e -5.c) Entre os consecutivos 4 e 3.d) Entre os consecutivos 4 e 5.

9. A expressão numérica , pode ser simplifi cada por qual expressão?

a)

b)

c)

d)

10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:

a)

b)

c)

d)

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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:

a) Seu valor será

b) Seu valor será c) Seu valor será d) Seu valor será 3

2. São dadas as igualdades:

I.

II.

III.

IV.

De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:( ) Todas as igualdades são verdadeiras.( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.( ) Somente a igualdade II é verdadeira.( x ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.

G ABARITO

42


3. O resultado de )64).(46( +− é:

a) 0

b)

c) 2

d) 2

4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:

a)

b)

c)

43


d)

5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:

a)

b)

c)

d)

44


6. Se você dividir por , obterá:

a)

b)

c)

d)

45


7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opção correta:

a)

b)

c)

d)

8. O número racional fi ca entre quais os inteiros consecutivos?

a) Entre os consecutivos -4 e -3. b) Entre os consecutivos -4 e -5.c) Entre os consecutivos 4 e 3.d) Entre os consecutivos 4 e 5.

9. A expressão numérica , pode ser simplifi cada, assinale a sentença verdadeira:

46


a)

b)

c)

d)

10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:

a)

b)

c)

d)

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