Universidade Estadual de Maringa-CCE-DMA
7250-CalculoII-Engenharia de Producao
Lista de Exerccios
Professor: Saulo Rodrigo Medrado
2.5 Criterios de convergencia
2.5.1 Teste do n-esimo termo
2.5.2 Teste da comparacao
2.5.3 A serie p
2.5.4 Comparacao no limite
18. Determine se a serie dada e convergente ou di-vergente.
(a)+k=1
1
2n
(b)+k=1
12n+ 1
(c)+k=1
1
nn
(d)
+k=1
n2
4n3 + 1
(e)+k=1
3n+ 1
2n2 + 5
(f)+k=1
3n3 + n
(g)+k=1
cos2(n)
3n
(h)+k=1
1
ln(n+ 1)
(i)+k=1
| sin(n)|n2
(j)+k=1
n!
(n+ 2)!
(k)+k=1
n!
(2n)!
(l)
+k=1
sin
(1
n
)
(m)+k=1
1
n+n
(n)+k=1
1
nn2 + 1
(o)+k=1
1
nn2 1
(p)+k=1
2n
n!
19. Suponha que f seja uma funcao tal que f(n) >0, para todo
n inteiro positivo. Alem disso,suponha que se p for um numero
positivoqualquer, lim
n+npf(n) exista e seja positivo.
Prove que a serie:
+n=1
f(n)
e convergente se p > 1, e e divergente se0 < p 1.
20. Se+n=1
an e+n=1
bn sao duas series convergentes
de termos positivos, use o teste de comparacao
com limite para provar que a serie+n=1
anbn
tambem converge.
2.5.5 Criterio da integral
21. Use o teste da integral para determinar se aserie converge
ou diverge.
(a)
+k=1
1
2k + 1
(b)+k=1
1
(k + 2)3
2
(c)
+k=1
4
(k2 4)
(d)+k=2
e5k
22. Determine se a serie e convergente ou diver-gente.
(a)+k=1
ln(k)
k
(b)
+k=1
kek2
(c)+k=2
ln(k)
k3
(d)
+k=1
ln
(k + 3
k
)
23. Prove que a serie+k=2
1
k(ln(k))pe convergente
se e somente se p > 1.
2.5.6 Criterio das series alternadas
24. Determine se a serie alternada dada e conver-gente ou
divergente
(a)+k=1
(1)k+1 3k2 + 1
(b)+k=2
(1)k 1ln(k)
(c)+k=1
(1)k+1 12k
(d)+k=1
(1)k 43k 2
5
(e)
+k=1
(1)k+1 sin((pik
)
(f)+k=1
(1)k+1 k2
k3 + 2
(g)
+k=1
(1)k+1 ln(k)k2
(h)+k=1
(1)k 3k
k2
2.5.7 Convergencia absoluta e con-
vergencia condicional
2.5.8 Criterio da Razao
2.5.9 Criterio da raiz
25. Determine se a serie e absolutamente conver-gente,
condicionalmente convergente ou diver-gente. Prove sua
resposta.
(a)
+k=1
(23
)k
(b)+k=1
(1)k+1 2k
k!
(c)+k=1
k2
k!
(d)+k=1
(1)k k!2k+1
(e)+k=1
1 sin(k)k3
(f)
+k=1
(1)k+1 3k
k!
(g)
+k=1
sin(kpi)
k
(h)+k=2
1
(ln(k))k
(i)+k=2
kk
k!
(j)+k=2
(1)k+1k(ln(k))2
(k)+k=1
(1)k 2k
k3
(l)
+k=1
cos(k)
k2
26. Dada a serie+k=1
1
2k+1+(1)k. Mostre que o
teste da razao falha para esta serie. Use o testeda raiz para
determinar se a serie e convergenteou divergente.
27. A trajetoria de cada oscilacao de um penduloapos a primeira
e 80% da trajetoria da os-cilacao anterior de um lado ate outro. Se
atrajetoria da primeira oscilacao mede 18cm decomprimento e se a
resistencia do ar leva opendulo ao repouso, quanto mede a
trajetoriatotal do pendulo ate que ele pare?
3 Series de Potencias
3.1 Definicao
3.2 Intervalo de Convergencia
28. Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias
dada.
(a)
+n=0
xn
n+ 1
(b)+n=0
xn
n2 3
(c)
+n=1
2nxn
n2
(d)+n=1
(1)n+1 x2n1
(2n 1)!
(e)
+n=0
(x+ 3)n
2n
(f)+n=1
n2
5n(x 1)n
Bibliografia
(a) Leithold, L.;Calculo com geometria analtica. Sao Paulo:
Harbra. 3a Ed., Volume 2.
6
