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4aedio

abril de 2000

LAJES DE EDIFCIOSDE CONCRETO ARMADO

Henrique Innecco Longoemail: [email protected]


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Lajes de Edifcios de Concreto Armado

1 - Introduo

As lajes so elementos planos horizontais que suportam as cargas verticais atuantes nopavimento. Elas podem ser macias, nervuradas, mistas ou pr-moldadas. Quanto ao tipo de apoio,elas podem estar apoiadas em vigas ou diretamente nos pilares, no caso de lajes lisas. No presente

trabalho, sero estudadas apenas as lajes diretamente apoiadas em vigas.

O pavimento pode ser modelado de diversas maneiras, tais como: modelo de elementos finitos de placa representando as lajes e elementos lineares as vigas modelo simplificado de lajes isoladasNa prtica, pode-se tambm adotar modelos combinados, ou seja, um modelo de elementos

finitos em determinadas regies do piso mais crticas e um modelo simplificado de lajes isoladas emoutros trechos.

2 - Classificao das lajes isoladas

Se o modelo simplificado for adotado no projeto, as lajes isoladas apoiadas em vigas podemser classificadas de acordo com a relao entre vos (fig.1):

lajes armadas em uma direo - quando l1 / l2 > 2 lajes armadas em duas direes - quando 0,5 l1 / l2 2Na prtica, os vos tericos das lajes podem ser considerados como a distncia entre os eixos

das vigas dos bordos.

fig.1 - Lajes armadas em uma e duas direes

Nas lajes armadas em uma direo, a flexo predominante em um plano paralelo ao menorlado. Neste caso a armadura principal da laje colocada nesta direo. J nas armadas em duasdirees, a laje se deforma sem que haja uma direo predominante e as armaduras so colocadasnas duas direes.

Quando houver um bordo livre, possvel calcular a laje armada em duas direes pelastabelas de Czerny quando 0,25 l1 / l2 1,5 sendo l1 o vo paralelo ao bordo livre.

Como devem ser armadas as lajes das varandas dos edifcios?

l1

l2

l1

l2


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3 - Tipos de apoios das lajes isoladas

As lajes isoladas podem ter os bordos apoiados, engastados ou livres. A laje ser consideradaapoiada quando ela estiver apoiada em uma viga e no existir continuidade com a laje vizinha. Obordo considerado livre quando no houver viga de apoio neste lado. O engastamento secaracteriza pela continuidade com a laje vizinha. A figura 2 est mostrando uma laje engastada nolado A, apoiada nos lados B e C e com um bordo livre no bordo D.

fig.2 - Laje com bordo livre com 2 apoios e 1 engaste

Para saber se a laje est ou no engastada com a sua vizinha, pode-se utilizado o critrio deROCHA. Se houver continuidade de mais de 2/3 do bordo, a laje considerada engastada navizinha. Se no, a laje considerada apoiada. Este critrio tambm poderia ser utilizado se, em vezde uma abertura, houvesse uma laje vizinha rebaixada.

A fig.3 est mostrando um painel com duas lajes vizinhas e uma abertura. Entre as lajes L1 eL2 (fig.3a) haver um engaste no bordo comum pois a abertura relativamente pequena. Na fig.3b,apenas a laje L4 est engastada na L3, mas a L3 ser considerada apoiada em todo o bordo, j que aabertura grande.

fig.3 - Critrio de continuidade entre lajes vizinhas

importante observar que se na fig.3 no houvesse a abertura, todas as lajes estariamengastadas nos bordos comuns.

Qual a simplificao que est sendo feita quando se considera o engaste em uma lajeisolada?

A

B

C

D

L1

L2

l

< 2l / 3

L1

L2l> 2l / 3


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4 - Estimativa da espessura das lajes

A altura til das lajes pode ser inicialmente estimada pelo critrio da NBR-6118:

ld ------------ 2 3

sendo l - menor vo da laje d - altura til da laje (h = d+ d')

d' - distncia entre o centro de gravidade da armadura e a face da laje 2 - coeficiente que depende dos apoios e da relao entre os vos da laje

3 - coeficientes que depende da tenso no ao

De acordo com a NBR-6118, " para as lajes com mais de 4m de vo terico, que suportaremparedes na direo do vo suscetveis de fissurao, as alturas teis mnimas calculadas por este itemdevero ser multiplicada por l/4 (lem metros)".

Para as lajes macias armadas em duas direes e sem bordos livre, o coeficiente 2 varia de1,1 a 2,2 e se o ao for CA-50, o coeficiente 3 igual a 25.

Para lajes armadas em uma direo, o coeficiente 2 vale: 2

simplesmente apoiada 1,0contnuas 1,2duplamente engastadas 1,7em balano 0,5

importante salientar que as espessuras das lajes, obtidas por este critrio da NBR-6118,

so geralmente maiores do que a necessria e servem apenas como uma estimativa inicial edispensam o clculo das flechas. Alm disso, estes valores no dependem do carregamento atuantena laje e, se a sobrecarga for muito elevada, necessrio verificar a flecha admissvel para cargas delonga durao. De qualquer maneira, no se deve adotar lajes muito esbeltas para evitar problemascom os moradores do apartamento inferior.

As espessuras das lajes devem tambm obedecer aos valores mnimos da NBR-6118:

5cm - lajes de cobertura no em balano 7cm - lajes de piso e lajes em balano 12cm - lajes destinadas a passagens de veculos

De acordo com a norma, em lajes cogumelos, esses limites devem ser elevados,respectivamente, para 12cm , 15cm e 15cm. Para as lajes nervuradas, devem ser observadas asindicaes do tem 6.1.1.3 da norma.

possvel adotar uma espessura menor do que a recomendada pela frmula da normaNBR-6118? Como calcular as flechas nas lajes?


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5 - Cargas nas lajes

As cargas atuantes nas lajes podem ser as seguintes: peso prprio da laje, sobrecarga,revestimento, paredes sobre a laje, peso de equipamentos apoiados diretamente nas lajes e outrascargas especficas (veculos, sobrecargas adicionais etc.)

peso prpri oO peso prprio da laje macia considerado uniformemente distribudo e calculado por:

g = h . C Asendo C A= 25 kN/m

3 peso especfico do concreto armado e h - espessura da laje

revestimentoEsta carga vai depender do tipo de revestimento que vai ser usado no piso (taco, mrmore

etc.). Nos pisos usuais, pode-se considerar esta carga como sendo igual a 0,5 kN/m2.

sobrecargasDe acordo com a NBR-6120, a sobrecarga em edifcios residenciais tambm considerada

uniformemente distribuda:

1,5 kN/m2- dormitrios, sala, copa, cozinha e banheiro2,0 kN/m2- dispensa, rea de servio e lavanderia

Em pavimentos de garagens e estacionamentos para veculos de passageiros (com cargamxima de 25kN por veculo), a sobrecarga deve ser de 3 kN/m2 . Neste caso, o coeficiente demajorao das cargas acidentais deve ser igual a:

= 1,0 quando l lo= lo/ l 1,43 quando llo

sendo lvo menor da laje ou o vo de uma vigalo = 3m para lajes e lo = 5m para vigas

Em caso de sobrecargas elevadas, necessrio uma anlise das suas posies maisdesfavorveis para o clculo dos elementos estruturais.

Em terraos, a sobrecarga deve ser de 2 a 3 kN/m2, dependendo se o piso for sem ou comacesso ao pblico. Nos pavimentos de lojas, a sobrecarga deve ser de 4 kN/m2. A NBR-6120 fornecetambm os valores das cargas acidentais para outras tipos de edificaes (hospitais, escolas, teatrosetc.).

cargas de paredesSe as lajes forem analisadas isoladamente, as cargas das paredes sobre a laje podem ser

calculadas dividindo-se o peso total das paredes PPARpela rea da laje (fig.4):

p = PPAR / rea da laje

sendo PPAR = VPAR . MVPAR- volume de todas as paredes sobre a lajeM peso especfico do material das paredes.M = 13 kN/m

3 para tijolo furado M = 18 kN/m

3 para tijolo macio


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fig. 4 - Parede sobre uma laje armada em duas direes

A carga da parede distribuda na laje da figura 4, por exemplo, ser:

(p1 + p2) . e. H . Mp = ----------------------- sendo H a altura da parede

a . b

Se houver aberturas nas paredes (portas, janelas etc.) pode-se descontar o peso destasaberturas, desde que se tenha absoluta certeza de que tais aberturas iro permanecer durante toda avida til da edificao. Na prtica de projeto de edificaes residenciais, no necessrio descontaras aberturas de portas ou outras pequenas aberturas.

Quando o pavimento for analisado com elementos finitos, as cargas das paredes podem serconsideradas atuando em sua posio verdadeira e as demais cargas como uniformementedistribudas. Neste caso, conveniente ajustar a malha de elementos finitos de modo que a paredeatue sobre determinados elementos finitos.

Na determinao das cargas das paredes, importante no esquecer que as plantas dearquitetura correspondem ao piso de um determinado pavimento, enquanto que as plantas defrmas se referem ao teto. Desta maneira, as paredes de um certo piso esto carregando o teto dopavimento inferior.

Quando forem previstas paredes divisrias, cuja posio no esteja definida no projeto, a

norma NBR-6120 permite que se tome uma carga de parede igual a uma carga uniformementedistribuda por metro quadrado no menor do que um tero do peso por metro linear de paredepronta, observando o valor mnimo de 1 kN/m2.

Como considerar no projeto as cargas das paredes sobre as vigas?

Nas lajes armadas em apenas uma direo, a parede considerada distribuda em uma faixalimitada, caso a parede esteja na direo do menor vo (fig. 5a). Se a parede estiver na direo dolado maior da laje, a carga da parede considerada linear, conforme a figura 5b.

PAREDEb

a

e

p1

p2


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fig.5 - Carga de parede em lajes armadas em uma direo

Nas lajes das varandas e das marquises devem ser colocadas, alm das cargas usuais, umasobrecarga adicional na extremidade da laje. De acordo com a NBR-6120, ao longo dos parapeitose balces devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimoe uma carga vertical mnima de 2kN/m (fig.6).

fig. 6 - Cargas os bordos de uma laje de varanda ou de uma marquise

Por que aparece um momento distribudo no bordo livre da laje da fig. 6?

lX lY/ 2

lY

q = PPAR-------- l

PPAR-------------l / 2 . l q =

(a) (b)

2 kN/m

0,8 kN/m

2 kN/m + peso da

mureta


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6 - Verificao das flechas

As espessuras das lajes podem ser inicialmente definidas pelo critrio da NBR-6118,embora este critrio fornea espessuras geralmente maiores do que as necessrias. Estes valorespodem ser modificados posteriormente, aps a verificao das flechas admissveis.

Se as lajes forem calculadas isoladamente, pode-se calcular a flecha imediata fo nas lajesretangulares macias pela expresso:

q . lX4

fo= --------------- . k EC . h

3

sendo k um coeficiente dado nas Tabelas de Czerny que depende da relao entre os vos da laje eas suas condies de bordo.

Se a laje for armada em uma s direo, a flecha na laje calculada como se fosse uma vigade largura unitria.

O mdulo de deformao longitudinal (em MPa) do concreto para as aes de curta durao(deformao lenta nula ou desprezvel) o mdulo secante, considerado igual a 0,9 do mdulotangente na origem, e dado pela NBR-6118 por:

__________EC= 0,9 . 6.600 fck + 3,5 (MPa)

Para aes de longa durao em que se deve considerar a deformao lenta (fluncia doconcreto), a flecha final f que pode ser estimada pela seguinte expresso da NBR-6118:

(1/r) f= fo --------------- (1/r)o

sendo (1/r)o e (1/r) as curvaturas inicial e final que podem ser calculadas em funo dasdeformaes especficas no concreto e no ao:

|C| + S(1/r)o = ---------------- d

(1+) |C| + S(1/r) = --------------------- d

o coeficiente de fluncia sendo que, de acordo com a NBR-6118, pode-se adotar:

(1+) = 3 quando as aes so aplicadas logo aps o trmino da construo(1+) = 2 quando as aes so aplicadas pelo menos 6 meses aps a concretagem

Por que a flecha na laje aumenta ao longo do tempo?


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Ce S so as deformaes especficas no concreto e no ao que podem ser relacionadas pelaseguinte expresso:

(d - x)S = ----------- |C| x

Considerando todos estes valores, obtemos:

(2 x a x) + df= fo ----------------- d

Considerando o valor da posio da linha neutra x 0,4 d para o caso de flexo simples, aflecha final pode ser estimada em f = 1,8 a 1,4 fo. Assim, podemos adotar na prtica o valormximo da flecha:

f 2 fo

Para a verificao das flechas das lajes, a NBR-6118 recomenda os seguintes valoresadmissveis:

todas as aes atuando l / 300 (lajes no em balano) l / 150 (lajes em balano)

cargas acidentais atuando l / 500 (lajes no em balano) l / 250 (lajes em balano)

sendo lo vo terico da laje

O engenheiro deve tentar utilizar uma espessura nica em todo o pavimento para facilitar aexecuo ou ento adotar uma espessura diferente em determinados trechos do painel.

7 - Momentos fletores nas lajes isoladas armadas em uma direo

Os momentos nas lajes armadas em uma direo so calculadas em uma faixa de 1 metro delargura, como uma viga. Na figura 7, por exemplo, est mostrada uma laje com apenas um engaste.

fig.7 - Faixa para o clculo de momentos fletores na laje armada em uma direo


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Os momentos fletores mximos nas lajes armadas em uma s direo esto mostrados nafig.8 para os diversos tipos de apoios.

fig.8 - Momentos fletores mximos nas lajes armadas em uma s direo

Qual o valor do momento mximo em uma laje em balano com uma carga distribuda euma carga linear na extremidade?

8 - Momentos fletores nas lajes contnuas armadas em uma direo

Nas lajes contnuas armadas em uma direo, os momentos so calculados em uma faixacontnua de 1 metro (fig.9 ), como se fosse uma viga contnua.

fig.9 - Lajes contnuas armadas em uma direo

Como seria feito o clculo destas lajes da fig.9 se a laje L3 fosse armada em duas direes?

- q. l2/12

+q l2/ 24

- q. l2 /12- q. l2/ 8

+q. l2/14,22+q l2/ 8

1 m

L1 L2 L3


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9 - Momentos fletores nas lajes isoladas armadas em duas direes

As lajes armadas em duas direes, consideradas como isoladas, foram calculadas durantemuito tempo por tabelas baseadas no Processo de Marcus. Atualmente so utilizados programas decomputador que calculam os momentos fletores pelo Mtodo dos Elementos Finitos, pela Teoriadas Linhas de Ruptura ou pela Teoria da Elasticidade.

De acordo com as tabelas de Czerny, baseadas na Teoria da Elasticidade, os momentosfletores so dados pela seguinte equao:

q . lX2

M = ------------ m

sendo m um coeficiente da tabela em funo da relao entre os vos e do tipo de apoio da laje.

Os momentos fletores positivos e negativos em todas as lajes so assinalados no Esquema deMomentos do pavimento (fig.10).

fig.10 - Esquema de momentos do pavimento

No bordo comum de duas lajes vizinhas contnuas, aparecem dois momentos negativos tendoem vista que as lajes foram calculadas isoladamente. Neste caso, o momento no engaste pode serconsiderado igual a:

XENG 0,8 XMAX XMED

X1+ X2sendo XMED= -------------- o valor mdio e XMAX o maior valor entre os momentos X1e X2 2

Nos casos em que os momentos negativos nas lajes vizinhas forem grandes e muitodiferentes entre si, os momentos positivos devem ser corrigidos.

Como feita a correo dos momentos das lajes? Este procedimento pode ser consideradosatisfatrio no projeto?10- Reaes de apoio das lajes

L1 L2

M1X M2X

M1Y M2Y

X1 X2


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As reaes de apoios das lajes geralmente so considerada uniformemente distribudas epodem ser calculadas pelo mtodo dos quinhes de cargas da NBR-6118. Segundo este mtodo,para cada apoio da laje vai um quinho de carga correspondente a uma rea de tringulos outrapzios (fig.11) obtida traando-se linhas a partir do vrtice da laje, formando um ngulo de acordocom as condies dos bordos adjacentes:

bordos adjacentes: ngulo:

apoio - apoio 45o

engaste-engaste 45o engaste-apoio 60o a partir do engaste

fig.11 - Quinhes de carga para o clculo das reaes das lajes

A reao da laje na viga qV pode ser considerada uniformemente distribuda:

q . AqV = --------------

lV

sendo q - carga distribuda na lajeA - rea do trapzio ou do tringulo da rea do quinho de cargalV- vo da viga no trecho considerado

Este mtodo bem simples e pode ser usado at graficamente. At mesmo quando a laje forem L, este critrio pode ser empregado (fig.12).

fig.12- reas para o clculo das reaes de apoio em lajes em forma de L11 - Verificao das tenses de cisalhamento nas lajes

45o

45o

45o

45o 60o

60o45o

45o

45o

45o


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Nas lajes com cargas muito elevadas, preciso verificar as tenses de cisalhamento mximase a necessidade do uso de armadura transversal. A tenso convencional de cisalhamento wd dadapor:

Vdwd = ------------ bwd

sendo Vdcortante de clculo (reao de apoio da laje)bwlargura (1m para o caso de lajes)d altura til da laje

Para que no seja necessrio a colocao de armadura transversal nas lajes, esta tenso limitada pelo valor da tenso ltima wu1:

____wu1 = 4 fck (MPa)

4__sendo 4 = 0,60 1 para h 15cm

4___4 = 0,45 1 para h 60cm

1 - menor taxa de armadura longitudinal de trao no trecho de comprimento 2h a partir da face do apoio, sendo que 1deve ficar entre: 0,001 1 0,015

12- Armaduras das lajes

Antes do clculo das sees de ferro, deve-se verificar se o momento mximo do pavimento

ir necessitar de armadura dupla, o que seria inconveniente para o caso de lajes. 1,4 . MMAXkmd = ----------------- kmdMAX sendo kmdmax = 0,256 para o ao CA-50B b. d2. fcd

sendo MMAX o maior momento do pavimento b = 1m (largura) d = h - h' sendo h' = 1 a 2 cm

Nesta etapa do projeto, pode-se tambm fazer uma estimativa do momento correspondente armadura mnima:

MMIN = AsMIN . kz. d. fyd / 1,4

sendo MMIN o momento correspondente a armadura mnima e kzum valor estimado da tabela

Todos os momentos do pavimento menores do que o valor MMIN devem ser armados para aarmadura mnima da NBR-6118.

ASMIN= 0,15% bh (aos CA-40,50 e 60)ASMIN= 0,25% bh (aos CA-25 e 32)Nas lajes armadas em uma s direo, a armadura mnima de distribuio deve ser igual a:


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ASMINde distribuio = AS /5 ou 0,9 cm2/m

sendo AS a armadura principal da laje

As sees de ferro das armaduras so calculadas pela tabela de dimensionamento. Com ovalor de kmd, obtm-se kzda tabela para o clculo de As:

Md

As = ----------- (cm2

/ m) kzd fyd

Com feita a escolha das barras das armaduras longitudinais?

Escolha das barras

A escolha das barras feita considerando-se os espaamentos entre elas e as condiespara se evitar as fissuras nocivas. A NBR-6118 recomenda que o dimetro da barra escolhidodeve atender a:

h / 10 sendo h a espessura da laje

A tabela 1 mostra os dimetros das bitolas padronizadas em milmetros e em polegadas,bem como os valores nominais para clculo das sees de ferro As(cm

2) da norma EB-3/1980:

(mm) (pol) As(cm2)

5 3/16 0,2006,3 1/4 0,3158 5/16 0,5

10 3/8 0,812,5 1/2 1,2516 5/8 2,020 3/4 3,15

Tabela 1 - Sees de ferro (valores nominais) para as bitolas padronizadas

Espaamentos

O espaamento por metro das barras pode ser obtido por e = 100cm / n, sendo n o nmerode barras em cada metro. A NBR-6118 recomenda que os espaamentos entre as barras deve ser:

lajes armadas em duas direes e 20 cm ou 2h lajes armadas em uma direo armadura principal e 20 cm ou 2h

armadura de distribuio e 33 cm

Para facilitar a colocao das barras, deve-se empregar na prtica espaamentos das barrasmltiplos de 2,5 para as lajes: 7,5cm - 10cm - 12,5cm - 15cm - 17,5cm - 20cm

As barras so especificadas na planta de armadura pelo seu nmero, quantidade, bitola,espaamento e comprimento. Na fig.13 esto mostradas as barras inferiores de um pequeno painel


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com apenas duas lajes. Neste caso, as barras foram colocadas sem qualquer reduo em seutamanho.

Se tivermos, por exemplo, as seguintes sees de ferro para as armaduras inferiores (direoX) das lajes L1 e L2 da fig.13, teremos:

Laje L1 As= 6 cm2/ m 8 10 /m = 10 mm cada 12,5cm 10 c 12,5

Laje L2 As= 4,5 cm2/ m 6 10 /m = 10 mm cada 15cm 10 c 15

fig.13 - Armadura inferior de um pavimento

As barras superiores so representadas por um trao pontilhado, conforme mostrado nafig.14, sendo que o comprimento de cada barra superior dada em funo dos vos das lajesvizinhas:

lm = 1 / 4 do maior dos menores vos das lajes vizinhas

sendo lm metade do comprimento da barra superior

Na figura 14, por exemplo, os menores vos das lajes vizinhas so ae c, sendo que a omaior e desta maneira, o comprimento lmser igual ao seguinte valor:

lm = a / 4

L1

L2

N1- 28 10 c12,5 - 390

N2- 22 10 c15 - 280

N3N4


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fig.14 - Armadura superior de um pavimento

Quando houver cruzamento de barras superiores em bordos perpendiculares de lajes vizinhas,pode-se colocar a armadura mais forte sobre a armadura mais fraca para evitar interferncia dasbarras.

Na figura 15 est indicada esquematicamente a planta de armadura inferior e na fig.16 aarmadura superior do pavimento tipo do Projeto Piloto.

Por que as barras inferiores so representadas por uma linha com trao cheio e as barrassuperiores com trao pontilhado?

L1 L2

lm

N1- 22 12,5 c15 - 210 a

b c

L2


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fig. 15 - Armadura inferior do pavimento tipo do Projeto Piloto


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fig. 16 - Armadura superior do pavimento tipo do Projeto PilotoBibliografia

L1 L2

L3

L4 L5


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[1] CUNHA, A.J.P., Souza,V.C., "Lajes de Concreto Armado e Concreto Protendido, Ed. UFF.

[2] FUSCO Pricles B., Martins A .R., Ishitani H., Construes de Concreto, 1990, apostila USP.

[3] FUSCO Pricles B., "Tcnicas de Armar as Estruturas de Concreto", 1994, Ed. Pini.

[4] ROCHA, Aderson Moreira da - "Concreto Armado" vol.1, ed. Nobel, 20 aedio, 1984.

[5] LONGO, H.I., Projeto Estrutural de uma Edificao de Concreto Armado, apostila, UFRJ, 3a

ed., 1999.

[6] Tabelas para Lajes Retangulares, F. Czerny, Beton Kalender, 1974, Verlag Von Wilhelm Ernst eSohn

[7] Tabelas de Dimensionamento de Seo Retangular, B. Ernani Diaz

[8] Norma NBR-6118/78 - "Projeto e Execuo de Obras de Concreto Armado", ABNT, 1978.

[9] Norma NBR-6120/80 - "Cargas para o Clculo de Edificaes", ABNT, nov.1980.

[10] Projeto de Reviso da NBR-6118, " Projeto de Estruturas de Concreto", jan. 2000.

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