14-11-2014

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FUNÇÕES

Nuno Marreiros

7º ANO

Correspondências. Definição de função

Antes de começar

Na nossa vida quotidiana temos muitos exemplos de expressões usando “depende de” ou equivalentemente “é função de” …

• O tempo de viagem é função (depende), entre outras coisas, da distância percorrida.

• O consumo de combustível é função (depende), entre outras coisas, da velocidade.

• Perímetro de um triângulo é função (depende) da medida de seus lados.

• O preço a pagar pela energia elétrica utilizada, varia em função (depende) do consumo.

Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções.

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Um pouco de história …

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a

Matemática. Foi sendo construído e aperfeiçoado ao longo de vários séculos.

É possível detetar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função. São conhecidas tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por este povo na Antiguidade.

Um pouco de história …

Leibniz (1646 –1716)

Euler (1707 – 1783)

Em 1673, foi usado pela primeira vez o termo matemático “função” pelo matemático alemão Gottfried Leibniz, muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos.

No entanto, a definição de função surge mais tarde, com Leonard Euler, matemático suíço que escreveu “Se x é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável”. Ele é o matemático que utiliza pela primeira vez a notação f(x).

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POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

POTÊNCIAS E RAÍZES

TIAGO

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POTÊNCIAS E RAÍZES

TOMÉ

POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta.

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente-Porto

x

x

Beira-mar-Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo x

x

x

Arouca-Braga

x

Estoril-Sporting

x

x

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente- Porto

x

Beira-mar- Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo

x

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting

x

Boletim do Tiago Boletim do Tomé

x

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POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente-Porto

x

x

Beira-mar-Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo x

x

x

Arouca-Braga

x

Estoril-Sporting

x

x

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente- Porto

x

Beira-mar- Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo

x

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting

x

Boletim do Tiago Boletim do Tomé

x

Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: 1. no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta; 2. no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta.

Assim podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma função, enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.

Dizemos que, no 1º caso, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2º caso, não existe correspondência unívoca.

POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Boletim do Tiago

Correspondência unívoca.

Representa uma

função.

Nº 1

Nº 3

Nº 4

Nº 5

Nº 6

Nº 2 • 1

• 2

• X

Nº 1

Nº 3

Nº 4

Nº 5

Nº 6

Nº 2

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente- Porto

x

Beira-mar- Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo

x

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting

x

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POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Boletim do Tomé

A correspondência neste boletim não é

unívoca.

Não representa uma função

Nº 1

Nº 3

Nº 4

Nº 5

Nº 6

Nº 2 • 1

• 2

• X Nem todas as

correspondências são funções.

Jogos

Apostas

1

X

2

Gil Vicente-Porto

x

x

Beira-mar-Nacional

x

Aves-Benfica

x

Olhanense-Marítimo x

x

x

Arouca-Braga

x

Estoril-Sporting

x

x

Nº 1

Nº 3

Nº 4

Nº 5

Nº 6

Nº 2

POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca, quando a cada elemento do 1º conjunto corresponde um e um só elemento do 2º conjunto.

Por exemplo, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula, pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira.

Função é toda a correspondência unívoca, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1º conjunto corresponde um e um só elemento do 2º conjunto.

Observação: Podem ficar cadeiras vazias mas um aluno não pode ficar sem cadeira nem se pode sentar, ao mesmo tempo, em duas cadeiras distintas.

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POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

Uma definição de função mais formal …

Dados dois conjuntos A e B (o conjunto de partida e o conjunto de chegada, respetivamente), fica definida uma função f (ou aplicação) de A em B quando a cada x de A se associa um e um só elemento de B, representado por f(x).

A

x

B

f(x) f

Obs: Escrever f(x) é o

mesmo que escrever y.

POTÊNCIAS E RAÍZES Correspondências. Noção de função

O diagrama sagital, dada a sua simplicidade e eficácia na transmissão da informação, é uma das formas mais usadas para representar correspondências (funções ou não). Curiosidade:

O adjetivo “sagital” significa que tem a forma de uma seta, e é por esse motivo que estes diagramas se chamam diagramas sagitais.

A

x

B

f(x) f

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POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar …

Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica.

É FUNÇÃO

Esta correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B).

POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar …

Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica.

NÃO É FUNÇÃO

Esta correspondência não é uma função porque existem elementos do conjunto de partida (A) com mais do que um correspondente no conjunto de chegada (B).

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POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar …

Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica.

NÃO É FUNÇÃO

Esta correspondência não é uma função porque existem elementos do conjunto de partida (A) ao qual não correspondente nenhum elemento do conjunto de chegada (B).

POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar …

Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica.

É FUNÇÃO

Esta correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B).

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POTÊNCIAS E RAÍZES Praticando e Resumindo …

Os seguintes diagramas sagitais representam funções.

POTÊNCIAS E RAÍZES Praticando e Resumindo …

Já os seguintes diagramas sagitais não representam funções.

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Páginas Exercícios

97 1. 2. 3.

125 1. 2.

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