15
8QLYHUVLGDGH)HGHUDOGR3DUDQi )tVLFD([SHULPHQWDO$–7XUPD$ 5RGULJR+MRUW–5$ 5HODWyULRGH([SHULrQFLD/HLGH6WRNHV5RGULJR+MRUW–)tVLFD’LXUQR7XUPD$3iJLQD 9 P D D = r iJXD VXEVW UHO r r r = 7tWXOR Lei de Stokes 2EMHWLYR Estudar o movimento de uma esfera no interior de um fluido viscoso. Verificação da Lei de Stokes. 0DWHULDO Tubo transparente com líquido (glicerina), cronômetro, régua, conjunto de esferas, ímã. )XQGDPHQWDomR )OXLGR O fluido é definido como uma VXEVWkQFLD TXH SRGH HVFRDU H RFXSD VHPSUH R YROXPHGHTXDOTXHUUHFLSLHQWHTXHRFRQWpP. Isso acontece porque, embora possa exercer uma força normal à sua superfície, ele não pode sustentar nenhuma força tangencial a esta, chamada tensão de cisalhamento. ’HQVLGDGH Densidade ou massa específica de um material é definida como a UD]mR GH VXD PDVVD SHOR VHX YROXPH. A unidade no SI é kg/m 3 e, mais comumente utilizada, no sistema CGS é g/cm 3 . ’HQVLGDGH5HODWLYD Densidade relativa é definida como a razão entre a densidade de uma substância e a densidade da água. É uma grandeza adimensional.

7tWXOR 0DWHULDO )XQGDPHQWDomR - geocities.ws filePor outro lado, no caso de um fluido, a deformação cresce sem limite, enquanto se aplica a tensão, e verifica-se experimentalmente

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8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

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��7tWXOR�Lei de Stokes

���2EMHWLYR� �Estudar o movimento de uma esfera no interior de um fluido viscoso. Verificação da Lei de Stokes.

���0DWHULDO�Tubo transparente com líquido (glicerina), cronômetro, régua, conjunto de esferas, ímã.

����)XQGDPHQWDomR������)OXLGR��

O fluido é definido como uma VXEVWkQFLD� TXH� SRGH� HVFRDU� H� RFXSD� VHPSUH� R�YROXPH�GH�TXDOTXHU�UHFLSLHQWH�TXH�R�FRQWpP. Isso acontece porque, embora possa exercer uma força normal à sua superfície, ele não pode sustentar nenhuma força tangencial a esta, chamada tensão de cisalhamento.

����'HQVLGDGH��

Densidade ou massa específica de um material é definida como a UD]mR� GH� VXD�PDVVD� SHOR� VHX� YROXPH. A unidade no SI é kg/m3 e, mais comumente utilizada, no sistema CGS é g/cm3.

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Densidade relativa é definida como a razão entre a densidade de uma substância e a densidade da água. É uma grandeza adimensional.

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

JP( OLT=OLT

OLTOLT 9

P=r J9( OLTOLTr=

����(PSX[R��3ULQFtSLR�GH�$UTXLPHGHV���

O princípio de Arquimedes define que XP�FRUSR�WRWDO�RX�SDUFLDOPHQWH�LPHUVR�QXP�IOXLGR�UHFHEH�GHVWH�XPD�IRUoD�GLULJLGD�YHUWLFDOPHQWH�GH�EDL[R�SDUD�FLPD��FXMR�PyGXOR�p�LJXDO�DR�SHVR�GR�IOXLGR�GHVORFDGR. Esta força é chamada de empuxo.

Como a massa do líquido deslocado pode ser definida como o produto entre sua

densidade e o seu volume deslocado, substitui-se na primeira fórmula. Assim, o empuxo pode ser tratado como o produto entre a densidade do líquido, o volume deslocado (correspondente à parte imersa do corpo) e a aceleração gravitacional.

����9LVFRVLGDGH��

A viscosidade pode ser entendida como uma extensão do conceito de atrito para sistemas fluido-fluido e fluido-sólido. Pode também ser encarada como o DWULWR� LQWHUQR�GH�XP�IOXLGR. Devido à esta propriedade, deve-se exercer uma força para fazer uma camada do fluido deslizar sobre outra, ou uma superfície escorregar sobre outra, se entre ambas houver uma camada de fluido. Líquidos e gases são viscosos, entretanto estes últimos em menor intensidade.

Para verificar as equações referentes à viscosidade, tem-se o exemplo do fluxo entre duas placas paralelas, como na figura abaixo. A placa do fundo é estacionária, enquanto a de cima se move com velocidade constante Y. Observa-se que o fluido em contato com cada superfície tem a mesma velocidade que esta; então, na superfície de cima, o fluido tem velocidade Y, enquanto o em contato com a superfície inferior tem velocidade nula. As velocidades das camadas intermediárias do fluido crescem uniformemente de uma parede para outra, como indicado pelas setas.

Um escoamento deste tipo é chamado ODPHODU. As camadas do líquido deslizam umas sobre as outras, como o fazem as folhas de um livro colocado sobre uma mesa quando se aplica uma força à sua capa superior. Como conseqüência desse movimento, uma porção do líquido que, num

dado instante, tem a forma DEFG, num instante posterior apresenta uma forma DEFG, deformando-se cada vez mais, à medida que o movimento prossegue. Isto é, o líquido está num estado de aumento contínuo de deformação de cisalhamento.

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

A fim de manter o movimento, é necessário exercer continuamente uma força para a direita, sobre a placa superior móvel e, assim, indiretamente, sobre a superfície superior do líquido. Esta força tende a arrastar o líquido e a placa inferior, para a direita. Assim, é preciso exercer uma força igual para a esquerda, sobre a placa inferior, a fim de mantê-la estacionária. Estas forças estão representadas por )�na figura. Sendo $�a área do líquido sobre a qual estas forças estão aplicadas, a relação )�$�é a tensão de cisalhamento exercida sobre o líquido.

Quando é um sólido que está sujeito a uma tensão cisalhante, o efeito produzido é um

deslocamento, tal como GG. A deformação correspondente é definida como a razão entre este deslocamento e a dimensão transversal O� e, dentro do limite de elasticidade, a tensão e a deformação de cisalhamento são proporcionais. Por outro lado, no caso de um fluido, a deformação cresce sem limite, enquanto se aplica a tensão, e verifica-se experimentalmente que esta depende não da deformação de cisalhamento, mas de sua taxa de variação. A deformação da figura (no instante em que o volume do fluido tem a forma DEFG) é GG�DG�ou GG�O. Como O� é constante, a taxa de variação da deformação é igual a ��O vezes a taxa de variação de GG. Mas esta é simplesmente a velocidade do ponto G, ou a velocidade Y da parede móvel. Assim,

7D[D�GH�YDULDomR�GD�GHIRUPDomR�GH�FLVDOKDPHQWR� �Y�O� Define-se coeficiente de viscosidade ou simplesmente viscosidade de um fluido, como

a relação entre a tensão de cisalhamento )�$ e a taxa de variação de deformação correspondente:

�h� � WHQVmR�GH�FLVDOKDPHQWR� � )�$�� WD[D�GH�YDULDomR�GD�GHIRUPDomR�GH�FLVDOKDPHQWR� � Y�O�

�ou )� �h�$�Y���O�

Para os líquidos que escoam facilmente, como a água ou querosene, a tensão de

cisalhamento é relativamente pequena para certa taxa de variação de deformação e, consequentemente, a viscosidade é menor. O contrário acontece à glicerina e ao melaço, pois a viscosidade é correspondentemente maior. Para os gases esta é ainda muito menor que para os líquidos. O coeficiente de viscosidade depende de maneira acentuada da temperatura, crescendo para os gases e diminuindo para os líquidos, à medida que a temperatura aumenta.

A dimensão de viscosidade é de força vezes a distância, dividida por área vezes a

velocidade. No SI a unidade é 1 N.s.m-2. A unidade correspondente no sistema CGS, 1 din.s.cm-2 = 10-1 N.s.m-2, é mais usada e é chamada de 1 poise, em homenagem ao cientista francês Poiseuille.

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

UY) ph6=

����/HL�GH�6WRNHV��

Quando um fluido com certa viscosidade escoa passando por uma esfera, ou quando esta se desloca através do fluido (sem turbulência), haverá uma força de arrastamento viscoso sobre ele. Esta força ocorre seja qual o formato do corpo, mas, no caso da esfera, é mais facilmente calculável. Para velocidades relativamente pequenas, uma boa aproximação para esta força de arrasto é dada pela Lei de Stokes, deduzida por Sir George Stokes, em 1845.

Onde h é o coeficiente de viscosidade do fluido, U o raio da esfera e Y a velocidade.

����$OJXQV�YDORUHV�GH�YLVFRVLGDGH��

Nas tabelas a seguir estão alguns valores típicos de viscosidade, comparando com substâncias líquidas e gasosas, em diversas temperaturas. 7HPSHUDWXUD��

�&�9LVFRVLGDGH�GR�yOHR�

GH�ULFtQLR��SRLVH�

9LVFRVLGDGH�GD�iJXD��

FHQWLSRLVH�9LVFRVLGDGH�GR�DU��

PLFURSRLVH�0 53 1,792 171

20 9,86 1,005 181 40 2,31 0,656 190 60 0,80 0,469 200 80 0,30 0,357 209 100 0,17 0,284 218

)OXLGR� 7HPSHUDWXUD���&� 9LVFRVLGDGH��FHQWLSRLVH�Água 0 1,8 20 1,00 60 0,65 Sangue (integral) 37 4,0 Óleo de motor (SAE 10) 30 200 Glicerina 0 10.000 20 1.410 60 81 Ar 20 0,018

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

����*UiILFR�GH�YLVFRVLGDGH�FRQWUD�WHPSHUDWXUD��

O gráfico a seguir ilustra como é a variação da viscosidade em relação à temperatura, para substâncias líquidas e gasosas.

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���0pWRGR��

Para determinar a viscosidade de um certo fluido, utilizando a Lei de Stokes, mede-se a massa e o raio de diversas esferas distintas. Num tubo transparente cheio de glicerina são feitas duas marcas a alturas diferentes. Em seguida, soltam-se, uma a uma, as esferas no tubo e os respectivos intervalos de tempo entre as duas marcas registradas. Com isso podem ser medidas as velocidades terminais em cada caso.

De acordo com a Lei de Stokes, a velocidade de queda varia conforme o raio das esferas ao quadrado. Fazendo o gráfico destes dados (já linearizado), pode-se obter o coeficiente angular da reta e, com isso, o coeficiente de viscosidade do líquido. Finalmente, compara-se a viscosidade obtida à temperatura local com a de dados existentes em tabelas.

���3URFHGLPHQWR�H[SHULPHQWDO� 1. Determinar o valor da temperatura ambiente. 2. Determinar a massa específica das esferas utilizadas. 3. Determinar a massa específica do fluido usando um densímetro. 4. Soltar a esfera de uma certa altura em relação a superfície do líquido, de modo que sua

velocidade ao entrar no fluido seja aproximadamente igual a velocidade terminal. 5. Fazer duas marcas a alturas diferentes para a determinação do tempo de percurso. A

velocidade deve ser constante entre as marcas. 6. Soltar as esferas de diferentes diâmetros, repetindo-o pelo menos cinco vezes para obter

uma boa amostragem. 7. Organizar os dados em forma de tabela.

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���5HVXOWDGRV�

����$QiOLVH�GRV�GDGRV�

A temperatura ambiente era de 23,4ºC, e a massa específica do fluido (glicerina) utilizando um densímetro era de 1,25 g/cm3. A distância entre as marcas, feitas com elástico, era de 20,0 cm. A aceleração gravitacional local era de 9,79 m/s2 ou 9,79.102 cm/s2.

Com um paquímetro e a balança de precisão foram adquiridas as propriedades físicas

de 4 esferas distintas e os dados organizados na tabela:

(VIHUD� U��FP�� 9��FP � �� P��J�� r��J�FP � ���� 1,0 . 10-1 4,19 . 10-3 4,0 . 10-2 9,54 �� 1,5 . 10-1 1,41 . 10-2 1,1 . 10-1 7,80 �� 2,0 . 10-1 3,35 . 10-2 2,6 . 10-1 7,76 �� 2,5 . 10-1 6,54 . 10-2 5,1 . 10-1 7,80

Ao soltar as diferentes esferas, conforme o item 4 do procedimento experimental, obteve-se o tempo de percurso entre as marcas. Para cada esfera foram feitas 5 medidas e W � corresponde à média dessas.

(VIHUD� W � ��V�� Y��FP�V�� U � ��FP � ���� 9,0 2,22 1,00 . 10-2 �� 4,1 4,88 2,25 . 10-2 �� 2,4 8,33 4,00 . 10-2 �� 1,8 11,1 6,25 . 10-2

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD���

UY) ph6=0)( =+-=Ê ()3)\ ()3 +=

3

34 U9 p= 9

PH =r 9P r=

9JUYPJ Orph += 6

9JPJUY Orph -=6

9J9JUY OH rrph -=6

2)(92 JUY OH

hrr -=

)(6 OH9JUY rrph -=

)(34

6 3OHJUUY rrpph -=

)(32

3 2OHJUY rrh -=

����9HORFLGDGH�WHUPLQDO�HP�IXQomR�GR�UDLR��

Uma esfera caindo num fluido viscoso atinge uma velocidade terminal Y, em que a força viscosa retardadora, somada ao empuxo, igualam o peso da esfera. Isto é, o somatório das forças verticais é nulo. Sejam r� e r � as densidades da esfera e do fluido, respectivamente. Quando a velocidade terminal é alcançada, tem-se:

Com os dados do volume e massa da esfera, temos a densidade desta:

Substituindo nas primeiras equações:

Deixando 9 e J em evidência e substituindo o volume da esfera:

Isolando a velocidade Y, a equação fica: Com isto, com exceção das variáveis Y e U, todos os termos

são constantes (densidade da esfera e do líquido e coeficiente de viscosidade do líquido).

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����*UiILFRV�GRV�GDGRV�REWLGRV��

Utilizando o raio das esferas e suas respectivas velocidades contidos nas tabelas da seção 7.1, foi feito um gráfico a partir das observações. Para uma melhor análise, foi preciso fazer a linearização dos dados. Sendo assim, utiliza-se a medida do raio ao quadrado, e o gráfico assim fica:

� �������������

Como agora é representado por uma reta, a equação tem a forma \� �D[���E, com D o

coeficiente angular, o qual pode ser obtido através de �\ � �±�\ � ���[ � �±�[ � �.

UDLR�GD�HVIHUD�DR�TXDGUDGR�[�YHORFLGDGH�WHUPLQDO

0

2

4

6

8

10

12

0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

UDLR�GD�HVIHUD�DR�TXDGUDGR���� ��FP

YHORF

LGDGH

�WHUP

LQDO��F

P�V�

8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD����

2)(92 JUY OH

hrr -= D[\ =

JDOH )(

92 rrh -=

JD OHhrr )(

92 -=

����9LVFRVLGDGH�D�SDUWLU�GR�JUiILFR� Comparando o coeficiente angular da reta do gráfico linearizado com a parte constante

da equação obtida em 7.2, tem-se:

Sendo assim, pode ser feita a seguinte relação:

Deste modo, o coeficiente de viscosidade do líquido pode ser obtido, uma vez que as densidades da esfera e do líquido são conhecidas. 8P�JUiILFR�PDQXDO�HQFRQWUD�VH�HP�DQH[R�QR�ILQDO�GR�UHODWyULR� Com o gráfico manual feito, mediu-se o coeficiente angular da reta D = 168. Substituindo-o na equação acima, com r� = 8,23 g/cm3, r � = 1,25 g/cm3 e aceleração gravitacional local de 9,79.102 cm/s2, a viscosidade da glicerina encontrada foi de 9,03 poise.

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5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD����

hrYU15

2=

���&RQFOXV}HV������2EWHQomR�GR�FRHILFLHQWH�GH�YLVFRVLGDGH��

Na temperatura ambiente de 23,4ºC, a partir do gráfico, o coeficiente de viscosidade da glicerina obtido foi de 9,03 poise. O valor dado pela segunda tabela em 4.7 é de 1,410 poise, mas a 20ºC. No gráfico em 4.8, o valor está em torno de 10 poise, na temperatura de 23,4ºC. Sendo assim, o valor do coeficiente de viscosidade está dentro dos limites esperados, levando em consideração as fontes de erros.

����3RVVtYHLV�IRQWHV�GH�HUUR� As medidas da menor esfera, 4,0.10-2 g de massa e 1,0.10-1 de raio, resultaram numa densidade bem diferente das outras (vide tabela em 7.1). E, como a densidade da esfera está contida na equação final da obtenção da viscosidade (em 7.4), foi utilizada a média das quatro densidades. Deste modo, o gráfico, mesmo linearizado, não apresentou-se como uma reta perfeita. Na obtenção do intervalo de tempo de percurso entre as duas marcas no tubo, após atingida a velocidade terminal da esfera, foi utilizado cronômetro manual digital, o que pode ter causado pequenos erros.

����2EVHUYDo}HV�GR�H[SHULPHQWR� � $�/HL�GH�6WRNHV�p�YiOLGD�VRPHQWH�SDUD�YHORFLGDGHV�UHODWLYDPHQWH�SHTXHQDV�H�HP�PHLRV�QmR� WXUEXOHQWRV��$� IRUPD�GR�REMHWR�GHYH� VHU� HVIpULFD� H�R� VHX�UDLR� UHODWLYDPHQWH�SHTXHQR�HP�UHODomR�DR�UDLR�GR�WXER��

Para a verificação de turbulência num tubo, é utilizado o Número de Reynolds, uma razão adimensional, definida por:

Onde U é o raio do tubo, r a densidade do fluido, Y é a velocidade média do fluido e h a viscosidade deste.

Se este número for maior que 3000, o escoamento será turbulento. Se for menor que 2000, este será lamelar. Entre estes dois valores há uma região de transição em que o escoamento torna-se instável e pode mudar de um tipo para outro.

8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

5HODWyULR�GH�([SHULrQFLD��/HL�GH�6WRNHV���5RGULJR�+MRUW�±�)tVLFD�'LXUQR���7XUPD�$���3iJLQD����

���%LEOLRJUDILD� 9.1 Física; Tipler, Paul; 4ª edição, volume 1 9.2 As Faces da Física; Carron, Wilson e Guimarães, Osvaldo; 1ª edição, volume único 9.3 Física; Sears, Zemansky e Young; 2ª edição, volume 2 9.4 Fundamentos de Física; Halliday e Resnick, 2ª edição, volume 2 9.5 Mécanique Expérimentale des Fluides; Comolet e Bonnin, 1973, pp. 123-125 9.6 Fundamentals of Fluid Mechanics; Munson e Young, 1974, pp. 417, 598

����$QRWDo}HV�GR�SURIHVVRU�

8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 5(/$7Ï5,2�'(�(;3(5,Ç1&,$���

/(,�'(�672.(6�

RODRIGO HJORT – TURMA A

CURITIBA, julho de 2004

8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 5(/$7Ï5,2�'(�(;3(5,Ç1&,$��

/(,�'(�672.(6�

5HODWyULR� VREUH� D� /HL� GH� 6WRNHV�� GHVHQYROYLGR� SRU�5RGULJR�+MRUW�SDUD�D�GLVFLSOLQD�GH�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�� &XUVR� GH� )tVLFD� 'LXUQR�� VRE� D� RULHQWDomR� GD�3URIHVVRUD�6LOYLD�+HOHQD�6FKZDE��

CURITIBA, julho de 2004

8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�GR�3DUDQi�)tVLFD�([SHULPHQWDO�$�±�7XUPD�$�5RGULJR�+MRUW�±�5�$���������������

��7Ë78/2 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����2%-(7,92 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����0$7(5,$/������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������)81'$0(17$d­2 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

4.1 FLUIDO........................................................................................................................................................... 1 4.2 DENSIDADE .................................................................................................................................................... 1 4.3 DENSIDADE RELATIVA ................................................................................................................................... 1 4.4 EMPUXO (PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES) .......................................................................................................... 2 4.5 VISCOSIDADE ................................................................................................................................................. 2 4.6 LEI DE STOKES ............................................................................................................................................... 4 4.7 ALGUNS VALORES DE VISCOSIDADE ............................................................................................................... 4 4.8 GRÁFICO DE VISCOSIDADE CONTRA TEMPERATURA ....................................................................................... 5

���0e72'2����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����352&(',0(172�(;3(5,0(17$/ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����5(68/7$'26�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

7.1 ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................................................................................... 7 7.2 VELOCIDADE TERMINAL EM FUNÇÃO DO RAIO ............................................................................................... 8 7.3 GRÁFICOS DOS DADOS OBTIDOS ..................................................................................................................... 9 7.4 VISCOSIDADE A PARTIR DO GRÁFICO ............................................................................................................ 10

���&21&/86®(6 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���8.1 OBTENÇÃO DO COEFICIENTE DE VISCOSIDADE ............................................................................................. 11 8.2 POSSÍVEIS FONTES DE ERRO.......................................................................................................................... 11 8.3 OBSERVAÇÕES DO EXPERIMENTO................................................................................................................. 11

���%,%/,2*5$),$ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������$127$d®(6�'2�352)(6625���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���