8/18/2019 8 - Regra Da Cadeia e Teorema de Schwarz

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  Disciplina: Cálculo 2 (C2)

Professor: Valério Matos

 Assunto(s): Regra da cadeia e teorema de Schwarz

Regra da cadeia e teorema de Schwarz 1/1

REGRA DA CADEIA E TEOREMA DE SCHWARZ 

Teorema (regra da cadeia): Sejam RR   2:  D f   uma função definida num conjunto aberto  D  

e t  yt  xt  ;  ,  I t   , tal que   D I       sendo  I t t  yt  x I    ;; 2R  . Se  édiferenciável em 0t   e  f   é diferenciável em 000 ; y xt       então a função composta t  f t  z     ,

 I t   , é diferenciável em 0t   e

0000000 ;;   t dt 

dyt  yt  x

dy

df t 

dt 

dxt  yt  x

dx

df t 

dt 

dz  

Notação simplificada:dt 

dy

dy

df 

dt 

dx

dx

df 

dt 

dz .

Teorema (Schwarz): Sejam RR   2:  D f   e   D y x   00; . Suponha que  f   tenha derivadas

parciais até segunda ordem na bola aberta  ;00;y x B . Se as derivadas parciais mistas  x y f 

2

 e y x

 f 

2

 são

contínuas em 00; y x  então elas coincidem neste ponto, ou seja, 000022

;y x;y x y x

 f 

 x y

 f 

.

Definição: Uma função RR   2: D f   é dita de classe k C   em  D  se, e somente se as derivadas

parciais de  f   até a ordem k  são funções contínuas em D . Se  f   é de classe k C  , para todo Nk  ,

dizemos que  f   é de classe C  .