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Matemática

Tema 3 – Função do Segundo Grau

Ivonete Melo de Carvalho, MSc

Conteúdo da Aula

• Função de Segundo Grau.

Objetivos:

• Estudar a função do segundo grau, suascaracterísticas e a suas aplicações.

• Construir e analisar o gráfico da função desegundo grau.

• Determinar o vértice,identificando-o comoponto de máximo oude mínimo, e osintervalos de crescimentoe decrescimento.

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Objetivos (continua)

• Analisar, por meio de situações práticasaplicadas às áreas administrativas, os conceitosde receita, custos, lucro, ponto de equilíbrio(break-even point), além de outras situações,cujos modelos podem serdeterminados por umafunção do segundo grau.

Função do Segundo Grau

Toda expressão do tipo y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais, e a ≠ 0.

Exemplo: • y = 3x2 + 4x + 3• y = –5x2 + 6• y = 0,5x 2

• y = 2x2 – 3x

Características Principais

• O gráfico é sempre uma parábola.• Apresenta intervalos de crescimento e

decrescimento.• Possui, no máximo, duas raízes (ou zeros).• Possui um ponto de inflexão

chamado de vértice.

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Um exemplo:

Seja a função y = x2 – 5x + 6.

• Calcule as raízes,• Calcule o vértice,• Calcule o valor de y para o qual x = 0. • Por último, desenhe o gráfico

da função.

As Raízes (por Báskara)

2x3x

x

215

224255

x

1*26*1*4)5()5(

a2ac4bb

x

24

215

1

26

215

1

22

Valor de y para x = 0

y = x2 – 5x + 6y = 02 – 5*0 + 6y = 6

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O Vértice

25,041

1*41

a4y

5,225

1*2)5(

a2b

x

V

V

Observe

• Que se trata de uma parábola côncava para cima, pois, em y = x2 – 5x + 6, o coeficiente a > 0.

O gráfico

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Livro Texto, Página 45, Exercício 5

O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = –2q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita “R” é dada pela relação R = p*q:

(a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico.

(b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima?

(c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?

Livro Texto, Página 45, Exercício 5

Respondendo...

(a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico.

q400q2R

q*)400q2(Rq*pR2

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Respondendo...

(b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima?

000.20R000.40000.20R

100*400100*2R

1004

400)2(*2

400q

V

V

2V

V

Respondendo...

(c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?

A receita será crescente pela venda de até 100 garrafas.

A receita será decrescente a partir da venda de mais de 100 garrafas.

Matemática

Tema 4 – Funções Exponencial e Logarítmica

Ivonete Melo de Carvalho, MSc

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Conteúdo

• Função exponencial.• Função logarítmica.

Objetivos:

• Diferenciar função exponencial de função logarítmica.

• Aplicar as funções exponencial e logarítmica e esboçar/interpretar seus o gráficos.

• Utilizar o logaritmo como oinverso da potenciação.

• Utilizar o logaritmo para asimplificação de cálculos por meio de suas propriedades operatórias.

Função Exponencial

Toda expressão do tipo y = af(x), com a > 0 e a ≠ 1.

Exemplo: • y = 3x

• y = –5x + 6• y = 1 – 0,5x

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Características Principais

• O gráfico é sempre uma curva suave.• Pode ser: crescente, decrescente ou apresentar

intervalos de crescimento e decrescimento.• Pode, ou não, possuir raízes (ou zeros).

Um exemplo:

Seja a função y = –5x + 0,2.

• Desenhe o gráfico da função.• Calcule as raízes, se houver.• Calcule o valor de y para o qual x = 0.• Determine se a função é

crescente ou decrescente.

O GráficoValor de x Valor de y Cálculo de y

-1 0 y = –5x + 0,2 = –5-1 + 0,2 = 00 –0,8 y = –5x + 0,2 = –50 + 0,2 = –0,81 –4,8 y = –5x + 0,2 = –51 + 0,2 = –4,82 –24,8 y = –5x + 0,2 = –52 + 0,2 = –24,8

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As raízes:

1x5551

5

102

50

2,05y

1x

x

x

x

Valor de y para x = 0

8,0y

2,01y2,05y

2,05y

:então,0xSe

0

x

Crescente ou decrescente?

• Observe que conforme aumenta o valor de x, diminui o valor de y. Portanto, a função é decrescente.

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Livro texto, página 72, exercício 8

Uma cidade, no ano 2000, tem 1.350.000 habitantes e, a partir de então, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.

(a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).

(b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010.

(c)Esboce o gráfico de P(t).

(d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?

Livro texto, página 72, exercício 8

Respondendo...

(a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).

t

t

0126,1*000.350.1P

)0126,01(*000.350.1P

)t(fP

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Respondendo...

(b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010.

076.530.10126,1*000.350.1)2010(P

221.437.10126,1*000.350.1)2005(P

010.367.10126,1*000.350.1)2001(P

000.350.10126,1*000.350.1)2000(P

10

5

1

0

Respondendo...

(c) Esboce o gráfico de P(t).

Respondendo...

(d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?

%338962,13

1076.530.1172.734.1a

%338962,131000.350.1076.530.1

a

a

a

2

1

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Pessoal, é importante que vocês façam os exercícios do caderno de atividades, a ATPS e os exercícios do PLT.Bom trabalho!

Obrigada

Centro de Educação a DistânciaUniversidade Anhanguera–Uniderp