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6/Maio/2015 – Aula 18
8/Maio/2015 – Aula 19
Aplicações: - nanotecnologias;- microscópio por efeito de túnel.
Equação de Schrödinger a 3 dimensões.
Conclusão da aula anterior3º – oscilador harmónico simples4º – barreira de potencial, probabilidade de
transmissão.Efeito de túnel quântico: decaimento alfa.
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3º – oscilador harmónico simples
Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x .
x é o deslocamento relativamente à posição de equilíbrio (x = 0) e k é uma constante.
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede cristalina).
Aula anterior
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A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a
Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia imediatamente abaixo, vai perder um quantum de energia– exactamente a quantidade de energia de um fotão.
Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação hhhhωωωω ) e o estado fundamental tem energia E0 = hhhhωωωω /2
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
En- E
n-1= h ω =h ν
Aula anterior
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Curvas a azul
Probabilidades clássicascorrespondentes às mesmas energias.
Classicamente, a partícula está mais tempo nas amplitudes extremas (maior probabilidade).
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Curvas a vermelho
Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e 2.
Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo x , a probabilidadede encontrar a partícula é nula.
Aula anterior
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En
erg
ia
4º – barreira de potencial
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes.
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa barreira de potencial suficientemente fina.
A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula.
Aula anterior
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4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.)
O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira.
Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por:
, com eα =2m U - E( )
h
( )
( )
2
1 2
2
1 2
k - kR
k k
=+
T R 1+ =
2 LT e
α−=
Aula anterior
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Efeito de túnel quântico: decaimento alfa
Um exemplo (natural) do efeito de túnel quântico é o decaimento(radioactivo) das partículas alfa.
Este tipo de decaimento radioactivo (decaimento alfa) acontece quando um núcleo radioactivo (por ex, urânio 238) emite uma partícula alfa ( constituída por 2 protões + 2 neutrões ).
O potencial nuclear é uma combinação dum poço de potencial(causado pela força atractiva nuclear) e duma barreira de potencial (causada pela repulsão de Coulomb).
A partícula alfa é “apanhada” no poço com uma energia de cerca de 5 MeV.
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Para o Urânio 238, o tempo médio para que uma partícula alfa ligada ao núcleo possa escapar por efeito de túnel é de ≈≈≈≈ 4,5.10 9
anos …
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa (cont.)
Dentro do núcleo
Fora do núcleo
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Aplicação: nanotecnologias
Nanotecnologias
Desenvolvimento e aplicação de dispositivos com dimensões entre 1 e 100 nm.
As nanotecnologias utilizam o confinamento de partículas em poços de potencial.
Por exemplo: quantum dot .É uma pequena região que cresce num cristal de silício que actua como um poço de potencial.
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Contacto metálico
Substrato
Contacto metálico
“Canal de electrões”(AsGa)
(AsAl)
Aplicação: nanotecnologias (cont.)
Exemplo
Os electrões movem-se no semicondutor de AsGa.
Atingem a barreira criada pelo quantum dot.
Os electrões podem atravessar a barreira (por efeito de túnel) e, assim, produz-se uma corrente eléctrica no dispositivo.
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Diagrama de um microscópio de efeito de
túnel
Uma ponta de prova ( “tip” ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( ≈≈≈≈ 1 nm) da superfície que se pretende analisar.
Aplicação: microscópio por efeito de túnel
Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 αααα L .
Se os sensores piezoeléctricosreceberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante.
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Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Se a ponta de prova percorrer toda a superfície, mantendo a corrente constante, então a ponta de prova vai traçar o perfil atómico da superfície.
O movimento da ponta de prova pode então ser transformado numa imagem (topográfica) da superfície.
Amostra
Electrões “de túnel”
Amostra
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Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0,001.10-9 m, ≈≈≈≈ 1/100 dodiâmetro atómico típico.
Imagem topográfica por efeito de túnel
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Imagem topográfica de uma superfície de Si
Um átomo de Xenon numa superfície de níquel (IBM) – sobreposição de duas imagens: sem e com o átomo
de Xe.
Aplicação: microscópio por efeito de túnel - imagens
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Superfície de cobre (IBM)Átomos de Xe implantados numa superfície
de níquel para formar a palavra ‘IBM’
Átomos de ferro em cobre (IBM)
Átomos de ferro em cobre(“átomo”) - IBM
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
“A boy and his atom”, IBM 2013
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Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Imagens de grafite(resolução atómica)
19
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Microscópio por efeitode túnel
Primeiro microscópio STM (1985, IBM)
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Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões
Ecin
=p
x
2 + py
2 + pz
2
2m→ E
cinψ( x,y,z) = -
h2
2m
∂2ψ
∂x2+
∂2ψ
∂y2+
∂2ψ
∂z2
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-U( )Ψ
∂2Ψ
∂x2+
∂2Ψ
∂y2+
∂2Ψ
∂z2
= -
2m
h2
E-U( )Ψ x, y, z( )
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = ∞∞∞∞ no exterior:
Partícula confinadaTem-se ψψψψ (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo:
x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L.
ψ x,y,z( ) = A sennxπ x
L
sen
nyπ y
L
sen
nzπ z
L
A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: x
y
z
LL
L
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Níveis de energia permitidos:
h2π 2
2m L2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) =
h2
8mL2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) = E
En1,n2 ,n3
=h
2π 2
2m L2n
12 + n
22 + n
32( ) = E
1n
12 + n
22 + n
32( )
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
O nível de energia mais baixo para o poço cúbico ocorre para n1 = n2 = n3 = 1 e tem o valor
E1,1,1
=3 h
2 π 2
2m L2= 3E
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O primeiro nível de energia excitado pode ser obtido de três maneiras diferentes:
n1 = 2, n2 = n3 = 1
n2 = 2, n1 = n3 = 1
n3 = 2, n1 = n2 = 1
A cada uma destas configurações corresponde uma equação de onda diferente.
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Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado.
a) b)
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Neste caso, para o 1º nível excitado:
E211 = E 121 = E 112 = 6 E1
(grau de degeneração = 3).
Diagrama de níveis de energiaa) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico
Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados .
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Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 . Determine:a) os números quânticos n1, n2 e n3 que correspondem aos 10 estados de menor energia;b) os estados degenerados.
a) As energias são dadas por En1,n2 ,n3=h
2π 2
2m
n12
L12
+n2
2
L22
+n3
2
L32
Para uma caixa de lados L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 tem-se:
En1,n2 ,n3=h
2π 2
2m
n12
L12
+n2
2
4L12
+n3
2
16L12
=h2
8mL12
n12 +
n22
4+
n32
16
=
=h2
128mL12
16n12 + 4n2
2 + n32( )
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Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 . Determine: a) os números quânticos n1, n2 e n3 que correspondem aos 10 estados de menor energia; b) os estados degenerados.
b)h2
128mL12
As energias, em unidades de são as seguintes:
n1 n2 n3 E
1 1 1 21
1 1 2 24
1 1 3 29
1 2 1 33
1 1 4 36
1 2 2 36
1 2 3 41
1 1 5 45
1 2 4 48
1 3 1 53
1 1 6 56
1 3 2 56
( ) ( )1 1 4 e 1,2,2, ,
( ) ( )1 1 6 e 1,3,2, ,
Estados degenerados:
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