UFF – Universidade Federal Fluminense

Curso de Pós Graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Disciplina: Informática Educativa I

Aluna: Alessandra Muniz da Silva

A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE

POTÊNCIA COM A GEOMETRIA

FRACTAL

Introdução

Grande parte dos elementos naturais não pode ser representada por figuras costumeiramente

estudadas como retângulos, quadrados entre outros. No entanto, a construção manual de muitos

fractais pode ser uma atividade trabalhosa, exigindo tempo e precisão de medidas, processo que

pode ser facilitado com a utilização de um recurso computacional.

Propomos a realização de uma intervenção pedagógica que faz uma abordagem alternativa da

construção de fractais com uso de um recurso computacional o software Geogebra , explorando

conteúdos geométricos e algébricos.

Objetivos

Propor uma abordagem alternativa da construção de fractais usando como principal

ferramenta de apoio o software Geogebra de modo a propiciar o desenvolvimento de

conteúdos geométricos e conceitos de potência.

Público alvo:

Alunos do 6º ano

Pré-requisitos

Conceitos de triângulo equilátero, ponto médio, segmentos de reta, circunferência,

multiplicação dos números naturais.

Tempo previsto para as atividades

Tempo previsto em duas horas aula.

Desenvolvimento: na sala de aula e na sala de computadores.

1ª aula

Na sala de aula

Sugere-se uma breve revisão sobre um problema que induziria os alunos a construírem o conceito

de potência.

Atividade proposta 1

Breve introdução sobre o Triângulo de Sierpinsky.

O Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construir

a partir de um triângulo inicial e uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte

central. A cada triângulo restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:

Deixe os alunos observarem os desenhos por alguns minutos. Após essa observação, induzir

os alunos a perceberem que o triângulo da fase 1 possui todos os lados iguais, ou seja, que é

um triângulo equilátero. Induzir, também, a notarem o triângulo da fase 2 como sendo

formado por três triângulos equiláteros, uma vez que o triângulo central foi “retirado”.

Nesse momento propor comentários sobre as figuras.

Atividade proposta 2

Solicitar aos alunos que construam o triângulo de Sierpinsky até a fase quatro, ou seja, que os

alunos desenham triângulos equiláteros dentro de triângulos equiláteros e retirarem a parte central

até formar triângulos em que um dos seus lados fosse a oitava parte do lado do triângulo original

que eles haviam desenhado. Utilizando régua, lápis e folha A4 .

Sugestão: pedir aos alunos que pintem com o próprio lápis os triângulos que estão formando.

Com os alunos em sala após essa atividade, o professor lança a seguinte pergunta:

Quantos triângulos estão pintados?

A contagem será igual para todos, porém eles irão perceber que essa atividade facilitou a

interpretação do conteúdo.

Atividade proposta 3

Pedir aos alunos para preencher a tabela abaixo.

Nesta atividade o professor pode intervir ao surgir dificuldades.

Na sala de computadores

2ª aula

Preparação

Organizar os alunos em grupos conforme o número de computadores no laboratório.

Recomenda-se que o trabalho seja realizado em duplas de alunos, para que ocorra a troca de

ideias e de estratégias.

Requerimentos técnicos

Software Geogebra

Apresentam-se aos alunos os passos operacionais de acesso ao software Geogebra.

* Acessando o Geogebra pela área de trabalho

* Conhecendo o Geogebra

A Barra de Ferramentas está dividida em 12 janelas como a que apresentamos na Figura 2.

Figura 2 – Janelas do Geogebra

Fonte: Interface do software Geogebra (2014).

Cada janela possui várias ferramentas que podem ser visualizadas com um clique na

parte inferior do ícone. Assim, o programa abrirá as opções referentes à janela. Cada ícone tem

um desenho e um nome para ajudar a lembrar o que a ferramenta faz.

O Campo de Entrada fica no rodapé da janela do Geogebra. Por meio dele é possível operar o

programa usando comandos escritos, que desempenham praticamente as mesmas funções da

Barra de Ferramenta. Dependendo do objetivo que se tem, este recurso pode apresentar

algumas vantagens como, por exemplo, a precisão de um ponto ao digitarmos suas

coordenadas, que com um clique no mouse pode não sair no local desejado.

A Janela da Álgebra, que geralmente aparece quando iniciado o Geogebra, pode ser

ocultada a partir da Barra de Menu, em exibir e marcando a opção janela de

álgebra. Uma das funções desta Janela é exibir as informações algébricas dos objetos que estão

na Janela de Visualização, sendo possível editar as suas respectivas propriedades. Para tanto, é

preciso clicar com o botão direito do mouse sobre a informação algébrica do objeto e escolher

a opção propriedades, ou então, fazer essa edição com um duplo clique sobre a informação

algébrica.

Depois de apresentado o software aos alunos, deixa um tempo livre para que possam se

familiarizar com as funções e possibilidades de trabalho com uso o programa.

Atividade proposta 4: Construção da Curva de Koch com o software Geogebra

A Curva de Koch, foi proposta para ser construída no Geogebra com o objetivo de identificar a

regra de construção do referido fractal e em seguida mobilizar conhecimentos acerca de

segmentos de reta e circunferência para a sua construção. Também objetiva-se fazer uso da

potenciação para representar os comprimentos dos segmentos em cada iteração.

Abaixo estão os passos para a construção da Curva de Koch.

Abrir uma janela no Geogebra e ocultar os eixos caso esteja visível clicando com o botão direito

dentro da janela de visualização e no menu rápido selecionar a opção eixos .

Primeira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, A e B.

Segunda iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, C e D.

Digita-se no campo de entrada E=(2C+D)/3, enter e também F=(C+2D)/3 e enter, assim

dividimos o segmento CD em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta

círculo dados centro e um se seus pontos e clica-se primeiro no ponto E e depois no ponto F,

originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando F como

centro e E o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta interseção

de dois objetos, clica-se nas circunferências c e d, obtendo os pontos G e H. Ocultar as

circunferências e o ponto H, clicando com o botão direito sobre as circunferências e escolha

opção exibir objeto e depois no ponto H, clique novamente com o botão direito e escolha a opção

exibir objeto. Para obter o estágio final basta selecionar a ferramenta segmento, e traçar os

segmentos CE, EG, GF e FD.

Criar uma ferramenta: Selecionar o menu Ferramentas, criar uma nova ferramenta

Ferramenta 1:

Objetos finais: pontos E, G e F e segmentos CE, EG, GF e FD.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch

Ferramenta 2:

Objetos finais: pontos E, G e F.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch 2

Terceira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento IJ. Selecione a ferramenta 2 criada(curva de

Koch 2) e clique sobre os dois pontos, obtendo os pontos K, L e M. Em seguida seleciona a ferramenta 1 (curva de

Koch 1) criada e clique sobre os pontos I e K, K e L, L e M, M e J; obtendo a terceira iteração da Curva de Koch..

Material necessário

Régua, lápis e papel A4

Sequência de atividades

1ª aula:

Trabalho individual em sala de aula – revisão sobre os conceitos de potencia e atividades propostas. (Uma hora

aula).

2ª aula:

Construção da Curva de Koch no laboratório de informática e exercícios de aplicação sugeridos. (Uma hora aula)

Avaliação

Analisar os conceitos construídos e/ou aprimorados pelos alunos após a realização da atividade, esclarecendo

dúvidas ainda existentes.

Durante toda a atividade o professor poderá avaliar o empenho dos alunos na medida em que observa e interage

com os grupos e no momento de discussão analisar as diferentes estratégias, bem como, solicitar um relatório

por escrito da atividade, que também pode ser orientado a partir das questões sugeridas anteriormente, ou outras

que o professor julgar interessante para avaliação da mesma.

Ainda no laboratório de informática, poderá propor as seguintes atividades para complementar a avaliação.

Abaixo, apresentamos dois exercícios.

A construção da Curva de Koch realizada no software Geogebra, podemos observar a sequência de figuras

fractais. Quantas linhas formam cada uma das figuras?

Expresse os números do primeiro exercício na forma de potências, indicando a que figura correspondem.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

http://lounge.obviousmag.org/por_tras_do_espelho/2012/07/os-fractais-da-natureza---a-perfeicao-no-caos.html.

Acesso em: 25 de junho de 2014

Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. s/d. Disponível em:

<http://www.leoakio.com/cariboost_files/fractais_20no_20ensino_20fundamental.pdf>. Acesso em: 15 de fev.

2012.