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MARGARIDA MARIA PORTELLA MIRANDA
INTRODUÇÃO DA GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO
FUNDAMENTAL E MÉDIO
EVATA/FAVAP
VIÇOSA – MG2011
MARGARIDA MARIA PORTELLA MIRANDA
INTRODUÇÃO DA GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO
FUNDAMENTAL E MÉDIO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à EVATA – Educação Avançada Ltda., como parte das exigências para a conclusão do curso de Pós-Graduação Lato Sensu em Matemática
Orientador: Alex da Silva Temoteo
VIÇOSA - MG2011
TERMO DE APROVAÇÃO
Trabalho de Conclusão de Curso intitulado “A introdução da Geometria Fractal no Ensino Fundamental”, de autoria de Margarida Maria Portella Miranda, aprovada pela banca avaliadora constituída por:
______________________________________
Orientador: Alex da Silva Temoteo
______________________________________
FAVAP
______________________________________
Diretora: Graziella Thierney Andrade
Trabalho de Conclusão de Curso aprovado em ____de ___________ de 20___
Parecer: ____________
Viçosa, _______de __________de 200___
INTRODUÇÃO DA GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO FUNDAMENTAL E
MÉDIO
Margarida Maria Portella Miranda1
Alex da Silva Temoteo2
RESUMO
Durante muito tempo, tentou-se relacionar as formas da natureza às figuras planas da Geometria Euclidiana. Contudo, essas formas não são tão regulares como polígonos e circunferências. Este estudo tem como objetivo principal mostrar que é possível introduzir o estudo dos fractais e suas aplicações, citando a importância de trabalhar esse conteúdo, ainda não muito explorado pelos livros didáticos de matemática no Ensino Fundamental e médio, tornando as aulas de matemática mais interativas e prazerosas. Com o desenvolvimento da Geometria Fractal, aliada à informática, ficou mais fácil mostrar aos nossos alunos que existe uma geometria chamada não euclidiana que tenta “matematizar” o lado irregular e descontínuo da natureza. Para este trabalho, foi feito, além de uma ampla pesquisa sobre o assunto, um projeto em sala de aula atraindo assim a curiosidade e o interesse dos alunos.
PALAVRAS-CHAVE: Matemática; Geometria Fractal, Fractais.
ABSTRACT
For a long time, it has been tried to relate forms from nature to plan shapes from Euclidian Geometry. However, these shapes are not as regular as polygon and circumferences. This study has, as the main aim, to show that it is possible to introduce the study of fractais and its applications, showing the importance of working this subject still not very developed for mathematics didactic books in primary and medium, making mathematic classes much more interactive and pleasant. With the development of the Fractal Geometry, associated to informatics, it has been easier to show students that it does exist a sort of Geometry named non-Euclidian, which tries to “mathematize” the irregular and discontinuous side of nature. To conclude this work, it was made, besides an extensive research about the subject, a project in classroom attracting, thus, the curiosity and interest of students.
PALAVRAS-CHAVE: Matemática; Geometria Fractal, Fractais.
11 Miranda, Margarida Maria Portella. Graduada em Matemática pela UFMG. Atua como professora de matemática desde 1987.22Temoteo, Alex da Silva. Formado pela UFV. Mestre em Estatística aplicada e biometria.
1. Introdução
Durante muitos séculos, a Geometria Euclidiana foi usada para
descrever as coisas da natureza, mas ela abrangia somente estudos sobre as
formas dos objetos planos. Sabe-se que as figuras irregulares como flores,
árvores, montanhas e rios não têm formas planas. A teoria do caos veio para
tentar explicar essas formas irregulares e suas dimensões não inteiras. A
geometria fractal tenta descrever alguns desses fenômenos caóticos da
natureza.
Mandelbrot (1986), com o auxílio de computadores, desenvolveu e
aperfeiçoou a teoria dos fractais.
Este trabalho tem como objetivo a exposição desta teoria, ainda não
muito utilizada em livros didáticos, mostrando algumas definições, o processo
de construção de alguns fractais, exemplos de aplicações e importâncias de
trabalhar inovando em sala de aula, com aulas mais criativas, utilizando
recursos como laboratório de informática, simultaneamente, trabalhando a
interdisciplinaridade.
2. Desenvolvimento
2.1. Definição de Fractais
Fractal surgiu do latim fractus, que significa irregular ou quebrado, como ele
próprio disse:
Eu cunhei a palavra fractal do aditivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente a frangere, que significa quebrar, criar fragmentos irregulares. É contudo sabido – e como isto é apropriado para os nossos propósitos! – que, além de significar quebrado ou partido, fractus também significa irregular. Os dois significados estão preservados em fragmento. (MANDELBROT, 1986).
Fractal é uma forma geométrica abstrata de rara beleza, com padrões
que se repetem infinitamente. Mandelbrot (1986) descobriu que todas essas
formas e padrões possuíam características comuns e que havia uma curiosa e
interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes
simples, mas que, aplicada de forma iterativa, através da tecnologia da
informática, produz resultados interessantes.
Existem duas categorias de fractais:
• os geométricos, que se repetem continuamente no mesmo padrão.
FIGURA 1 - Etapas de criação do Triangulo de SierpinkyFonte: Adaptado de Schmidtke (2007)
• os aleatórios, que são feitos por computadores.
FIGURA 2 – Fractais aleatóriosFonte: L. (2009)
Um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob
alguns aspectos. (FEDER apud BARBOSA, 2002). Segundo Falconer apud
Barbosa (2002), um conjunto F é fractal se:
• F possuir alguma forma de “autossimilaridade” ainda que aproximada
ou estatística;
• A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua
dimensão topológica;
• O conjunto F pode ser expresso por meio de um procedimento
recursivo ou iterativo.
As principais características dos fractais, de acordo com Borssoi (2005,
p.11), são:
Autossimilaridade: Ao tomarmos um trecho do fractal, percebemos que tal trecho é semelhante ao fractal, apenas com uma redução na escala, do tamanho original. Esta característica permanece em qualquer nível de construção do fractal.
Estrutura fina: O grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinarmos uma porção arbitrariamente pequena dele. O fractal possui detalhes em partes tão pequenas quanto possamos imaginar.
Simplicidade da lei de formação: O alto grau de detalhamento e a complexidade da estrutura de um fractal não impedem que ele seja formado por processos simples. Assim, é possível construirmos fractais, aplicando algoritmos.
2.1.1. Passos para a construção de uma curva fractal
Floco de Neve – Curva de Koch
a) Tem-se, inicialmente, um triângulo equilátero.
FIGURA 3 – Triangulo equiláteroFonte: FIGURA... (2011)
b) Sobrepondo-se a esse triângulo, outro triângulo equilátero, de mesma área,
obtêm-se uma estrela de seis pontas. Cada uma destas pontas é um novo
triângulo equilátero.
FIGURA 4 – Estrela de seis pontasFonte: FIGURA... (2011)
c) Repetindo o procedimento com cada um dos triângulos, tem-se a seguinte
figura:
FIGURA 5 – Nova sobreposição de imagemFonte: FIGURA... (2011)
d) Repetindo, sucessivamente, o procedimento inicial, mais complexa fica a
curva.
FIGURA 6– Complexidade após sobreposições sucessivasFonte: FIGURA... (2011)
Fractais na Natureza
Os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até a distribuição das galáxias, assim como na arte e na matemática.(SANTOS; OLIVEIRA, 2004)
A simetria da natureza é também muitas vezes imperfeita, existindo
outra categoria de padrões naturais, padrões que existem onde pensávamos
que tudo era aleatório e sem forma, estes padrões também são chamados de
fractais. Os fractais da natureza estão à nossa volta, basta observarmos as
nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos
sanguíneos, etc.
Muitas conchas formam espirais.
FIGURA 7– Alguns fractais criados pelos alunos no laboratório de Informática usando o software "Ultra Fractal"
Fonte: Portella (2010)
Pode-se considerar que alguns objetos da natureza, como montanhas,
árvores e plantas, têm propriedades fractais. O reino vegetal é uma das fontes
mais ricas de estruturas fractais. Observam-se algumas delas:
FIGURA 8 – Objetos da natureza com propriedades fractaisFonte: Portella (2010)
Os relâmpagos são exemplos de fractais na natureza que são
conhecidos como fractais aleatórios, pois sua forma é indeterminada e deve-se
ainda lembrar que estes tipos específicos de fractais não são verdadeiros por
seu tamanho limitado.
FIGURA 9 – Relâmpagos como exemplos de fractais aleatóriosFonte: Portella (2010)
2.2. Uso da geometria fractal na sala de aula
O ensino da matemática tem passado por mudanças significativas nas
últimas décadas, apesar da resistência de alguns profissionais com relação ao
avanço tecnológico e ao uso dessa tecnologia para tornar as aulas mais
agradáveis. Os professores contam com muitos softwares, cursos e oficinas
que propõem aulas mais interativas. Os Parâmetros Curriculares Nacionais -
PCNs, vêm para dar uma ajuda nesse sentido, fazendo com que o professor
repense sua prática pedagógica. “É importante destacar que a Matemática
deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o
desenvolvimento do seu raciocínio, de sua sensibilidade expressiva, de sua
sensibilidade estética e de sua imaginação'' (PCNs,1997 apud BLUMENTHAL,
2007, p.1)
Os PCNs sugerem mudanças, não somente de conteúdo, mas de
filosofia de ensinar.
...é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho
e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. (SECRETARIA DE EDUCAÇÃO,1997,p.29).
Apesar da geometria fractal não ser disciplina obrigatória e não constar
ainda nos livros didáticos, é um conteúdo superinteressante que, bem
trabalhado em sala de aula, traz resultados bastante satisfatórios. Os estudos
sobre Geometria Fractal deverão ser iniciados logo após o estudo da
Geometria Euclidiana, chamando-se a atenção dos alunos com relação à
semelhança com a natureza, frisando que nem todas as formas da natureza se
encaixam em figuras da Geometria Euclidiana. O pai da Geometria Fractal, o
Francês Benoit Mandelbrot, em sua principal obra, Fractal Geometry of Nature,
A geometria fractal da Natureza, disse:
Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, cascas de árvores não são suaves e nem o raio se propaga em linha reta. (MOREIRA, 1999, p. 51)
Com o desenvolvimento da Geometria Fractal, aliada à informática,
podemos mostrar a nossos alunos a beleza dos fractais e suas semelhanças
com o lado irregular e descontínuo da natureza, além de proporcionar aulas
mais prazerosas e criativas.
2.3. Etapas a serem seguidas
2.3.1. O Projeto
Todo projeto, para ser bem sucedido, deve ser bem planejado, bem
definido, observando-se todas as suas etapas, como objetivos, cronologia,
desenvolvimento, conclusão e avaliação. Alunos e professores deverão ter uma
ideia clara de tudo o que vai acontecer durante seu desenvolvimento. E é a
ideia básica de um projeto que determina o seu sucesso.
2.3.2. Proposta de trabalho
O desenvolvimento do projeto deve contar com as opiniões dos alunos
e pode ser modificado, ao longo de sua aplicação, para que o aluno aprenda a
tomar decisões e colocar em prática o que foi proposto no projeto. Todas as
decisões propostas pelo professor devem ser explicadas e justificadas.
2.3.3. Pesquisa teórica e apresentação de trabalhos
Nessa etapa do projeto, os alunos deverão fazer uma pesquisa teórica,
sendo orientados pelo professor, seguindo todas as etapas de uma pesquisa
bem feita.
2.3.4. Construção de cartão fractal tridimensional
A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais, por meio
de dobraduras, é uma forma diferente e prazerosa de apresentar a geometria
dos fractais para os estudantes de Ensino Fundamental, especificamente para
aqueles dos últimos anos do ensino fundamental.
O objetivo dessa etapa, além de explorar a geometria dos fractais, é
mostrar as características e propriedades dos fractais a partir da construção de
cartões fractais tridimensionais feitos com dobraduras.
Por ser um trabalho diferente, uma “quebra” da rotina das aulas de
matemática, motiva e envolve os alunos.
O objetivo principal da construção dos cartões é mostrar, ludicamente,
as propriedades principais dos fractais que são: autossimilaridade e dimensão
decimal.
O modelo do cartão fractal, Figura 10, é uma adaptação do projeto
Gestar II do MEC.
FIGURA 10 – Cartão FractalFonte: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (2011)
Nota: Adaptação do modelo proposto pelo MEC através do projeto Gestar II
Nesta etapa do projeto, o professor poderá usar as áreas ao ar livre da
escola, assim as aulas ficarão mais descontraídas. Os alunos poderão usar a
criatividade para colorir cada polígono do modelo.
A dobradura é feita cortando todas as linhas verticais e dobrando as
horizontais. Assim, o cartão tomará a forma expressa na Figura 12.
FIGURA 11 - Construção do cartão fractal realizada pelos alunos do 8º ano da E.M. José Maria da Fonseca – Ponte Nova – MG
Fonte: desenvolvido pela autora.Outros cartões poderão ser confeccionados pelo professor como os da
Figura 13, mostrando as iterações do triângulo de Sierpinsky.
FIGURA 12 – Cartões FractaisFonte: Desenvolvido pela autora.
FIGURA 13 – cartão Fractal desenvolvido pelo professorFonte: Portella (2010)
2.3.5.Construção de fractais em laboratório de informática com uso de
softwares disponíveis na Internet
Para finalizar o projeto, o professor deverá instalar no laboratório de
Informática softwares que gerem fractais.
Alguns softwares disponíveis na rede como o Win fract, o Fractint, Ultra
fractal 5 e o Fractree podem ser bem úteis. Esses softwares são bem simples
de serem manipulados, apesar de em inglês. O aluno deverá escolher uma
curva fractal inicialmente. Selecionando uma parte desse fractal, ele verá que
as figuras são semelhantes à curva inicial, ficando clara a propriedade de
autossimilaridade. Ele poderá escolher a fração da curva que achar mais
interessante, mudar as dimensões e cores e também relacionar a figura
selecionada a algo encontrado no nosso meio ambiente, o que não é tarefa
difícil, pois, entre as geometrias estudadas, a que mais se aproxima das coisas
da natureza é a Fractal. Ainda poderá, depois de escolhidas as figuras, revelar
em papel fotográfico e promover uma exposição de “fotografias Fractais”.
O Software Ultra Fractal 5 tem uma versão free disponível na internet e
é de fácil manuseio.
Na tela inicial do software temos a curva de Mandelbrott.
Selecionando-se um pequeno espaço da curva tem-se uma nova curva
onde, ao ampliar a seleção, observa-se a autossimilaridade, propriedade dos
fractais.
FIGURA 14 – Uso do Software Ultra Fractal 5: Estágio 1Fonte: Desenvolvido pela autora.
Ampliando-se a seleção, obtêm-se:
FIGURA 15 – Uso do Software Ultra Fractal 5: Estágio 2Fonte: Desenvolvido pela autora.
Depois de várias iterações, escolhem-se uma figura e pode-se mudar
sua cor, usando o aplicativo “Gradiente”
FIGURA 16 – Uso do Software Ultra Fractal 5: Estágio 3Fonte: Desenvolvido pela autora.
3. CONCLUSÃO
Esta é uma proposta de exploração da geometria dos fractais pela
construção de cartões fractais tridimensionais e uso do computador, através de
softwares geradores de figuras fractais.
Por ser um tema atual e amplo, a exploração da geometria dos fractais
permite tornar a aula de matemática um espaço propício para aprendizagem,
unindo aspectos lúdicos da manipulação do cartão com a abordagem de
conceitos matemáticos.
Não se deve esperar que os alunos aprendam as fórmulas e toda
complexidade dos fractais, mas que entendam suas características, sua
semelhança às coisas da natureza e sua parte estética e artística, suas
aplicações nos ramos da física, biologia, medicina, entre outros.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002.
BORSSOI, J. A. Geometria fractal: alguns conceitos e aplicações. 2005. 39f.Trabalho de Conclusão de Curso (Matemática) - Universidade Estadual do Oeste do Paraná
BLUMENTHAL, Gladis. Os PCN'S e o Ensino Fundamental em Matemática: um Avanço ou um Retrocesso? Só Matemática. 2007. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/artigos/a3/. Acesso em: 17 mai. 2011.
FIGURA. Disponível em: <http://i54.tinypic.com/34eq739.gif>. Acesso em: 22 mai. 2011.
L., Luísa. Fractais. Arte e Manhas: Olhar o Mundo numa Obra de Arte... fev. 2009. Disponível em: <http://arte-e-manhas-arte.blogspot.com/2008/01/fractais.html>. Acesso em 10 abr. 2011.
MANDELBROT, Benoit. Comment j’ai découvert les fractales. La Recherche, França, n. 175, p. 420 - 424, mar. 1986.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Gestar II - Programa “Para a educação melhorar, todos devem participar”. Disponivel em:<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12380&Itemid=642>. Acesso em 20 fev. 2011.
MOREIRA, Ildeu de Castro. Fractais. In: NUSSENZVEIG, H. Moysés. Complexidade e Caos. Rio de Janeiro: Editora UFRJ/COPEA, 1999. P. 51-82.
PORTELLA, Margarida. De tudo um pouco. Jun. 2010. Disponível em: <http://www.deumtudo2.blogspot.com/>. Acesso em 18 abr. 2011.
SANTOS, C; OLIVEIRA, A. A. O que são Factrais. Universidade Federal de São Carlos, São carlos, 2004. Disponivel em:
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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª a 4ª série): Matemática. Educação Fundamental. Brasília: MEC/ SEF, 1997.
