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Geometria Fractal
Professor Rodrigo Pasti
Aula de Hoje
•Fractais•Geometria Fractal
Introdução
• Nos últimos anos houve um grande avanço no poder de processamento dos sistemas computacionais.• Grande parte aos avanços se deve técnicas e
hardwares de computação paralela. • Este cenário abriu uma vasta possibilidade para
a computação gráfica.▫ Permitiu criar mundos virtuais inteiros no
computador.▫ Dentre os quais podemos destacar aqueles que
recriam sistemas naturais completos.
Introdução
Introdução
• Se vamos recriar mundos naturais então faz-se necessário entender como é a geometria destes mundos.• Representar o mundo natural pode parecer
bastante complexo!• Como recriar suas formas exatamente como
elas são?• Existem várias técnicas de Computação Natural
para recriar mundos naturais e veremos algumas delas na aula de hoje.
Introdução
• Desenhar formas naturais requer um entendimento das “formas” da natureza.• Um fundamento importante a respeito do
processo de modelagem e síntese de padrões naturais é considerar que a natureza é fractal .• Geometria fractal é a base para o
entendimento de fractais.• De forma simplificada, a geometria fractal pode
ser vista como a geometria da natureza, com toda a sua irregularidade e estruturas complexas e fragmentadas.
Geometria FractalGeometria Fractal
Geometria Fractal
• A geometria Euclidiana descreve formas ideais, como pontos, círculos, retas, esferas, quadrados, cubos, etc.• Entretanto, estas formas Euclidianas são
geralmente encontradas apenas em objetos produzidos por seres humanos.• A natureza não possui formas suaves e
uniformes e muitos padrões são irregulares e fragmentados.• Qual a forma de um floco de neve? E de uma
montanha?
Geometria Fractal
• Genericamente, os fractais são caracterizados por: ▫ Detalhes infinitos;▫ Comprimento infinito;▫ Auto-similaridade;▫ Dimensões fractais;▫ Ausência de suavidade ou derivadas. ▫ Irregularidades em todas as escalas;
Geometria Fractal
• O termo fractal foi cunhado por Mandelbrot(1983) para identificar uma família de formas que apresenta padrões irregulares e fragmentados. • A geometria fractal é a geometria das formas
irregulares encontradas na natureza.
Geometria Fractal
Auto-SimilaridadeAuto-Similaridade
Auto-Similaridade
• O conceito de auto-similaridade é essencial para a geometria fractal.• O termo auto-similaridade dispensa muitas
explicações.
Auto-Similaridade
• O conceito fundamental é que dividindo um objeto em partes menores, estas se parecem com a parte maior.• Repita novamente com as partes menores
obtidas e irá encontrar partes menores ainda e similares.• A auto-similaridade se repete então através das
divisões.• Portanto, a propriedade de auto-similaridade
pode se manter em infinitos estágios.
Auto-Similaridade
• Apesar da aparente simplicidade em entender o conceito por trás da auto-similaridade, uma definição matemática precisa não é fácil de ser obtida.• Alguns objetos podem apresentar:▫ Auto-similaridade estatística▫ Auto-similiaridade estrita.▫ Auto-afinidade.
Auto-Similaridade
Fractais PioneirosFractais Pioneiros
Fractais Pioneiros
• OS fractais por muito tempo foram considerados monstros da matemática devido as suas propriedades não intuitivas.• O primeiro fractal foi descoberto por K.
Weierstrass em 1861:▫ Uma função contínua que não é diferenciável em
ponto algum, ou seja, uma curva constituída somente por “cantos”.
• Outros fractais pioneiros foram descobertos por G. Cantor, H. von Koch, W. Sierpinski e outros
Curva de Koch
Curva de Koch
• Propriedades:• No limite, a curva de Koch não possui segmento algum de
reta; a curva é inteiramente constituída por cantos. • Portanto a curva não apresenta derivada (tangente) em
ponto algum. ponto algum. • Embora ela se inicie a partir de uma reta de comprimento
L, seu comprimento é infinito.• No passo t a curva possui 4t segmentos, cada qual com
comprimento 1/3t
• Portanto, o comprimento total da curva é (4/3)t
• Note que uma curva de comprimento infinito pode ser colocada em uma área finita.
Curva de Koch
Curva de Koch
Triângulo de Sierpinski
Dimensão e Dimensão FractalDimensão e Dimensão Fractal
Dimensão Fractal
• Pontos possuem dimensão 0, linhas e curvas possuem dimensão 1, planos e superfícies possuem dimensão 2, sólidos possuem dimensão 3, etc. • De forma simplificada, um conjunto possui
dimensão d se d variáveis independentes (coordenadas) são necessárias para descrever a vizinhança de cada ponto. • Esta noção de dimensão é denominada de
dimensão topológica.
Dimensão Fractal• Por exemplo, a curva de Koch possui dimensão
topológica 1.• Mas não pode ser considerada uma curva sob a
perspectiva da geometria euclidiana:▫ O comprimento entre quaisquer dois pontos da ▫ O comprimento entre quaisquer dois pontos da
curva é infinito.▫ Nenhuma de suas partes é uma linha ou um
plano. ▫ De certa forma, é possível dizer que ela é muito
grande para ser unidimensional e, ao mesmo tempo, muito pequena para ser bidimensional. Logo, sua dimensão deve ser um número entre 1 e 2.
Dimensão Fractal
• No final do século 19, alguns matemáticos perceberam que um bom entendimento da irregularidade ou fragmentação de algumas formas não pode ser alcançado definindo-se dimensão como sendo um número de dimensão como sendo um número de coordenadas.• Vamos olhar um cenário parecido em um
problema bem comum.
Dimensão Fractal
• Qual o comprimento da costa de um país?
Dimensão Fractal
• Este fenômeno foi identificado pelo meteorologista inglês L. Richardson em 1961 ▫ Em sua tentativa de medir o comprimento de
várias costas marítimas. • Ele percebeu que o comprimento aparente da • Ele percebeu que o comprimento aparente da
costa parecia crescer sempre que o comprimento do instrumento de medida era reduzido. • Isso ocorria, pois quanto menor o comprimento
do medidor maior a amplificação dos detalhes.
Dimensão Fractal
• A Richardson concluiu que o comprimento da costa não é bem definido!• Propôs uma lei empírica relacionando este
aumento no comprimento da unidade de medida com a quantidade de detalhes percebidos. • Logaritmo do comprimento do instrumento de
em função do logaritmo do comprimento total da costa, produz pontos que tendem a distribuir em torno de uma linha reta. • A inclinação da reta resultante o grau de
fragmentação da costa.
Dimensão Fractal
Dimensão Fractal
• Mandelbrot (1983) encontrou o trabalho de Richardson e verificou que os fractais poderiam ser classificados de forma similar.• E também concluiu que o trabalho dele estava
relacionado com o trabalho de Hausdorff de 1919, a respeito de fractais.• Com isso cunho os termos fractais e dimensão
fractal para designar objetos que possuem relação de auto-similiaridade e dimensão não-inteira.
Dimensão Fractal
• O cálculo da dimensão fractal é definido como:
m
Nd
/1log
log=m
d/1log
=
• Onde N é número de cópias do objeto original e m é o fator de resolução
Dimensão Fractal
• Exemplo: quadrado
m = 1/2 ⇒ N = 4 m = 1/3 ⇒ N = 9
2)3/1/(1log
9log
)2/1/(1log
2log
/1log
log ====m
Nd
Dimensão Fractal
• Fazendo o mesmo para a curva de Koch▫ A cada iteração: 4 cópias da linha original com
uma redução de 1/3 de tamanho logo...
1.2618)3/1/(1log
4log
/1log
log ===m
Nd
Dimensão Fractal
• Neste caso, quanto maior a dimensão tendendo a dois, maior é a complexidade do fractal.• O espaço Rn possui dimensão fractal n.• A seguir alguns exemplos de fractais e suas • A seguir alguns exemplos de fractais e suas
dimensões respectivas.
Sierpinski Triangle
• d = 1,5849
Cantor Dust em 3D
• d = 1,8928
Greek Cross em 3D
• d = 2,5849
Fractais e AplicaçõesFractais e Aplicações
Fractais e Aplicações
• Estamos estudando propriedades de elementos naturais no espaço.• Os quais são fundamentados na geometria fractal.• Estudar a geometria de elementos naturais leva a
várias aplicações:várias aplicações:▫ Entendimento da natureza;▫ Entendimento e criação de fractais artificiais;▫ Criação e manutenção de mundos naturais virtuais;▫ Melhor entendimento de sistemas artificiais que
apresentam características de fractais.▫ Etc...
Fractais e Aplicações
• Peguemos a reprodução de mundos naturais em mundos artificiais.• Certos elementos naturais são muito complexos
e possuem muitos detalhes.• Reproduzir isso em mundos virtuais pode não
ser uma tarefa fácil se pensarmos em reproduzir parte por parte.• Imagine os seguintes casos...
Fractais e Aplicações
Fractais e Aplicações
• Faz sentido desenhar folha por folha?• Galho por galho?• Árvore por árvore?• Cada detalhe da montanha?• Cada detalhe da montanha?• Tudo isso junto?
Movimento BrownianoMovimento Browniano
Movimento Browniano
• Em 1827 R. Brown observou que pequenas partículas suspensas em um fluído se comportam de uma maneira contínua e errática,• As partículas se movem aleatoriamente porque
o fluído acerta ela em todas as direções.
Movimento Browniano
• Através de movimentos brownianos é possível recriar certos padrões naturais com simples algoritmos.• O resultado é a obtenção de fractais que
representam:▫ Montanhas.▫ Raios.▫ Movimento de partículas em líquidos e gases.▫ Etc...
Movimento Browniano
• Uma caminhada aleatória (random walk) é um caminho que pode ser gerado por um processo aleatório.▫ x(t+1) = x(t) + ∆x
∆▫ y(t+1) = y(t) + ∆y• onde ∆x e ∆y pode ser distribuições Gaussianas
de média zero e desvio padrão 1.• Essa caminhada aleatória está intimamente
relacionada com o movimento Browniano.
Movimento Browniano
Movimento Browniano
• Em uma dimensão, o movimento browniano é caracterizado por um processo aleatório X(t), que corresponde a uma função X de uma variável real t(tempo), cujos valores são variáveis aleatórias X(t1), X(t2),…X(t2),…• Em geral é representada por uma distribuição
Gaussiana.• Um método popular para gerar movimento browniano é
conhecido como algoritmo recursivo da subdivisão (recursive subdivision algorithm), ▫ Também conhecido como algoritmo do deslocamento
aleatório do ponto médio (random midpointdisplacement algorithm – RMD).
Algoritmo RMD• Se o processo X(t) deve ser computado para o tempo t ∈ [0,
1], então comece definindo X(0) = 0 e escolhendo X(1) como uma amostra de um valor gaussiano de média 0 e variância σ2
• No primeiro passo, o ponto médio entre t = 0 e t = 1 é dado pela média entre X(0) e X(1), mais um desvio D de média pela média entre X(0) e X(1), mais um desvio D1 de média zero e variância ∆2 : ▫ ½(X(1) − X(0)) + D1
Algoritmo RMD• A
Algoritmo RMD
• Depois de várias iterações
Algoritmo RMD
• Mandelbrot e van Ness introduziram em 1968 uma versão de movimento Browniano guiado por diferenets famílias de gaussianas, denominaram movimento browniano fracionário .fracionário .• Estes conjuntos de diferentes distribuições
podem ser aplicadas ao algoritmo RMD.• O que resulta em diferentes comportamentos
para os movimentos, tornando esta versão uma generalização da anterior.
Algoritmo RMD
• Através de diferentes gaussianas obtém-se diferentes níveis de rugosidade:
Algoritmo RMD
• É possível estender o algoritmo RMD para três ou mais dimensões.
Algoritmo RMD
• Sendo possível simular terrenos irregulares e portanto modelar montanhas e terrenos em geral.• A rugosidade do terreno é controlada através de
diferentes gaussianas.
Algoritmo RMD
Por hoje é só!Por hoje é só!
Referências
• Aulas baseadas em:▫ Notas de aula do Prof. Fernando Von Zuben▫ http://www.dca.fee.unicamp.br/~vonzuben/▫ Notas de aula do Prof. Leandro Nunes de Castro.