GEOMETRIA FRACTAL: EXPERIÊNCIAS PEDAGÓGICAS E ?· todo o fractal numa escala menor, ou seja, quanto…

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    GEOMETRIA FRACTAL: EXPERINCIAS PEDAGGICAS E APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MATEMTICOS

    Jefferson Pantoja Ferreira1, Alan Gonalves Lacerda2

    RESUMO Esse artigo aborda uma apresentao sucinta do surgimento dos fractais e a importncia da sua descoberta para cincia, arte e tecnologia, bem como a realizao de uma oficina sobre fractal realizado pelo primeiro autor deste artigo sob a orientao do segundo. Estas aes integram o projeto do Programa Institucional de Bolsas de Iniciao Docncia (PIBID/UFPA). Dentre os tericos utilizados destacamos Barbosa (2002), Almeida (2007), Fuzzo (2009), Rabay (2013) para o ensino de matemtica e quanto a abordagem histrica e propriedades dos fractais destacamos Carreira (2015), Mandelbrot (1989), Feder (1988) e Dauben (1979). Participaram desta oficina 25 alunos dos Cursos de Matemtica e Cincias Naturais. Propomos como atividades o uso de cartes de papel para criar fractais, na qual os prprios alunos fizeram as construes, com isso exploramos as inmeras possibilidades de desenvolver vrios ramos da matemtica, destacando um deles a disciplina Progresso Geomtrica (P.G). Os resultados apontaram: (a) que a abordagem de geometrias no euclidianas pode viabilizar a motivao para os alunos em formao; (b) o uso de demonstraes para aquisio da linguagem matemtica e do contedo de progresso geomtrica. PALAVRAS-CHAVES: Fractal. Matemtica. Oficinas. PIBID.

    1 Licenciando em Matemtica pela Universidade Federal do Par (UFPA) Campus Universitrio Maraj-Breves. E-mail: guitarjeffinho@gmail.com. 2 Doutorando em Educao em Cincias e Matemticas pela UFMT/UFPA/UEA - REAMEC. Mestre em Educao em Cincias e Matemtica pela UFPA. Professor da UFPA Campus Breves. E-mail: alanlacerda@ufpa.br.

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    Comunicao I JEM, Marab, Brasil, 2015.

    Geometria Fractal: experincias pedaggicas e aprendizagem de conceitos matemticos

    1 Introduo

    Apresentamos a seguir os estudos que integram o projeto intitulado

    Pesquisas em Educao Matemtica na Formao de Professores: Metodologias e

    Perspectivas para o Maraj/Breves do PIBID/UFPa (Programa Institucional de Bolsa

    de Iniciao Docncia). Na ocasio foram realizadas oficinas juntos aos alunos do

    curso de matemtica e cincias naturais sobre a geometria fractal. A fim de se

    convencer que tal geometria merece os debates nas salas de aulas, que esto

    presumidamente admitidos ao cotidiano dos alunos. Neste sentido, temos como

    problemtica: como a geometria fractal pode auxiliar o ensino e aprendizagem de

    conceitos matemticos? Como as demonstraes em matemtica podem viabilizar

    as construes do conhecimento matemtico? Os nicos recursos disponveis

    sempre alvo de imagens que servem mais como ilustrao do que poderia ser

    interpretado ou apontado sobre as construes sob os signos escritos, que no caso

    especifico ser abordado pela confeco de papel A4 para explorar conceitos de

    progresso geomtrica. H uma dificuldade recproca com as demonstraes em

    matemtica. Para tanto objetivamos, contrastar demonstraes que poderiam ser

    articuladas ao educar matematicamente, da qual entendemos como o caminho para

    as produes escritas. Isso corresponde viso da linguagem na atualidade que

    vem sendo implementada a educao matemtica como a busca de novas prticas

    metodolgicas para o ensino e aprendizagem de matemtica.

    2 Um breve histrico da geometria fractal

    A partir metade do sculo XIX e XX percebeu-se que no era possvel utilizar

    a geometria Euclidiana para descrever toda natureza, da surgiram os primeiros

    anncios dessa nova geometria no-euclidiana. Certos fenmenos da natureza ou

    objetos que no possuem forma definida foram vistos como monstros matemticos

    ou patologias que desafiava as noes comuns de infinito (ALMEIDA, 2007).

    Transformar algo como Galileu Galilei definiu com tanta veemncia dizendo que o

    alfabeto da natureza eram os crculos, tringulos e demais figuras euclidianas, foi

    uma mudana bastante significativa para o ensino da matemtica.

    Segundo Lesmoir-gordon et al, (2000, p.9):

    As formas que Euclides linhas diretas e crculos provaram to prspera explicao do universo que os cientistas ficaram cegos s limitaes deles,

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    classificando as formas que no se encaixavam dentro do esquema de Euclides como no intuitivas e at patolgicas (traduo nossa).

    A geometria clssica so as linhas e os planos, os crculos e as esferas, os

    tringulos e os cones que representam uma poderosa abstrao da realidade,

    servindo as correntes filosficas de aspiraes formalistas e platnicas.

    O matemtico Jnos Bolyai (1802-1860) publicou em 1832 os resultados de sua pesquisa sobre geometrias no-euclidianas como um apndice a um trabalho volumoso de seu pai, o matemtico Farkas Bolyai. E Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) publicou em russo o primeiro artigo sobre geometria no-euclidiana no Karzain Bulletin. Com intuito de provar Quinto Postulado de Euclides admitiu que isto seria impossvel, surgindo assim uma nova geometria, hoje conhecida como geometria hiperblica. (CRUZ, 2015, p.2).

    Da surgiu os primeiros fenmenos como: poeira de Cantor, curva de Peano

    curva de Koch, tringulo de Sierpinski e etc., cada um intitulado com o nome do seu

    criador. Mas apenas em 1975 o emprego do termo fractal pode ser encontrado

    quando o matemtico polons Benoit Mandelbrot pela primeira vez dele fez uso,

    quando na iminncia da completude da sua primeira grande obra sobre o assunto

    The Fractal Geometry of Nature foi catalogada (MANDELBROT, 1975). Vale

    ressaltar que Mandelbrot no criou essa geometria, apenas nomeou, sendo na

    atualidade considerado por muitos cientistas com o Pai da Geometria Fractal, pois

    criou o Conjunto de Mandelbrot considerado pelos matemticos o conjunto mais

    complexo da matemtica. Segundo Barbosa (2002) se referindo a Mandelbrot, a

    definio da palavra fractal do latim fractus, cujo verbo frangere corresponde a

    quebrar; criar fragmentos irregulares, fragmentar. Em relao definio de fractal

    esclarece Mandelbrot (1989) que a figura real deva se assemelhar com a figura

    geomtrica que constitui o todo. Para Feder (1988) um fractal uma forma cujas

    partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos. As principais propriedades

    que definem um fractal, so auto-semelhana, a complexidade infinita e a sua

    dimenso.

    Para Carreira, (2015) auto-semelhana a simetria atravs das escalas.

    Consiste em cada pequena poro do fractal poder ser vista como uma rplica de

    todo o fractal numa escala menor, ou seja, quanto mais diminuir o fractal ele no

    perde a sua simetria. Em relao dimenso dos fractais ao contrrio do que

    sucede na geometria euclidiana, no necessariamente uma quantidade inteira.

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    Com efeito, ela uma quantidade fracionria. A dimenso de um fractal representa o

    grau de ocupao deste no espao, que tem a ver com o seu grau de irregularidade

    (CARREIRA, 2015).

    Portanto, a ideia de dimenso dada por Poincar com base nos fundamentos

    euclidianos, em que ponto tem dimenso 0, a reta tem dimenso 1, a superfcie tem

    dimenso 2 e uma poro no espao tem dimenso 3, agora j no aceita pelo

    fractais, pois a dimenso fragmentada, na qual satisfaz os nmeros no inteiros e

    irracionais.

    Niels Fabian Helge von Koch matemtico sueco, descreveu um dos primeiros

    fractais denominado Floco de Neve de Koch ou curva de Koch. A sua construo se

    inicia substituindo o tero central de cada um dos lados, supostos cada um de

    comprimento unitrio, por outros dois segmentos com comprimentos de 1/3,

    formando-se uma estrutura triangular equiltera, sem a base que justamente

    corresponderia poro removida (ASSIS, 2008). Algumas propriedades que

    versam os fractais do Floco de Neve de Koch:

    I. No limite, a curva no apresenta tangente em ponto algum.

    II. Embora ela se inicie a partir de uma reta de comprimento L, seu comprimento

    infinito.

    III. Note que uma curva de comprimento infinito pode ser colocada em uma rea

    finita.

    Observe a sua construo pelo processo interativo feito em computador.

    Figura 1 Floco de neve

    Fonte: Imagem extrada de Almeida (2007)

    O Tringulo de Sierpinski foi descrito por Waclav Sierpinski matemtico

    polons, uma curiosidade sobre Waclav que ele teve uma enorme reputao, a

    ponto de ter seu nome em uma das crateras lunares (BARBOSA, 2002 p. 41).

    Ele uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar

    algumas propriedades tais como:

    I. Ter tantos pontos como o conjunto dos nmeros reais;

    II. Ter rea igual zero;

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    III. Ser auto-semelhante;

    IV. No perde a sua definio inicial medida que ampliado.

    A sua construo d-se por processo recursivo. Segue os procedimentos por

    RABAY (2013).

    I. Considere um tringulo equiltero;

    II. Ligue os pontos centrais de cada lado. Dividindo o tringulo em quatro

    tringulos iguais, retire o tringulo central;

    Considere os tringulos restantes e retorne para o Passo 2.

    Figura 2 Tringulo de Sierpinski

    Fonte: Imagem extrada de Rabay (2013)