Geometria fractal, distribuição de partículas,distribuição de poros e condutividade hidráulica

em solos

• Conceituação básica de geometria fractal

• Aplicação do conceito na análise das relações entre textura, porosidade e condutividade hidráulica de solos

Bibliografia recomendada:

ARYA, L.M., J.F. PARIS. 1981. A physicoempirical model to predict the soil moisture characteristic from particle-size distribution and bulk density data. Soil Sci. Soc. Am. J. 45:1023-1030.

PERFECT, E.; KAY, B.D. 1995. Applications of fractals in soil and tillage research: a review. Soil & Tillage Research 36:1-20.

PUCKETT, W.E.; DANE, J.H.; HAJEK, B.F. 1985. Physical and Mineralogical Data to Determine Soil Hydraulic Properties. Soil Sci. Soc. Am. J. 49(4) 831-836.

TURCOTTE, D.L. 1986. Fractals and fragmentation. Journal of Geophysics Research, p.91, n.b2, p.1921-1926.

TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT.1989. Application of fractal mathematics to soil water retention estimation. Soil Science Society of America Journal, v.3, p.987-996.

TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT. 1990. Fractal Processes in soil water retention. Water Resources Research, v.26, n.5, p.1047-1054.

TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT. 1992. Fractal Scaling of Soil Particle-SizeDistributions: Analysis and Limitations, Soil Science Society of America Journal, v.56, p.362-369.

BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K. 1993. Geometria fractal em física do soloSci. Agric., Piracicaba, 50(2):321-325, jun/set.

BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K., VILLA NOVA, N.A. 1996. Fractal scalingof particle and pore size distributions and its relation to soil hydraulicconductivity. Sci. Agric., Piracicaba, 53(2/3):356-361.

MANDELBROT, B.B. The fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Co., New York, 1982 Barnsley,M.F.; Devaney, R.L; Mandelbrot, B.B., Peitgen, H.O., Saupe, D., Voss, R.F. The Science of Fractal Images. Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe Ed., Springer-Verlag, New York, 1988.

O termo fractal é definido em Mandelbrot,1982, e vem do adjetivo em latin fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos irregulares. Etimologicamente, o termo fractal é o oposto do termo algebra ( do árabe jabara) que significa juntar, ligar as partes.

Fractal

Segundo Mandelbrot, fractais são objetos não topológicos, ou seja, objetos para os quais a dimensão de Hausdorff Besicovitch é um número real não inteiro que excede o valor da dimensão topológica.

Objeto topológica e objeto fractal

Objeto topológico = formas geométricas Euclideanas

Dimensões topológicas inteiras

Ponto = 0Linha = 1Superfície = 2Volume = 3

Objeto fractal = formas geométricas não Euclideanas

Dimensões fracionárias maiores que as dasformas geométricas Euclideanas

A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto a escala de medida diminui.

Auto-similaridade ou escalonamento:

• Cada parte de um objeto fractal é geometricamentesemelhante ao todo

• A geometria do objeto é semelhante para qualquer escala

de observação do objeto

a)

L1=4/3Lo ; N=4

b)

c)

Lo=1 ; No=1

L2=16/9Lo ; N=16

d)Próximo estágio L3 = 64/27Lo ; N=64

N.rD=1

..26,127log64log

9log16log

3log4log

(1/r)logNlog

D

r1 =Lo/3

r2=Lo/9

r3=Lo/27

y = -1.2619x - 1E-15

R2 = 10

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0

log r

log

N

constante. DrNF

127

1.64

9

1.16

3

1.4.

26,126,126,1

DrNF

N.rD=1

L=1L=1 N=1

L=1N=2

N=3

r=1/2

r=1/3

13log

3log

2log

2log

)/1log(

log

r

NDL

Generalização da relação

Formas geométricas Euclideanas, ou de dimensões topológicas inteiras são casos particulares

N.r1=1

1) Objetos unidimensionais

r(linear) =1/2r(área) =1/4

N=1A=1

N=4A=1/4

r(linear) =1/4r(área) =1/16

N=16A=1/16

24log

16log

2log

4log

)/1log(

log

r

NDA

1 AL DD

A=1/4

N.r2=1

Nr

1

2) Objetos bidimensionais

L

L/2

N=1V=1

N=8V=1/4r(linear) =1/2

r(volume)=1/4

r(linear) =1/4r(volume)=1/16

N=64V=1/16

34log

64log

2log

8log

)/1log(

log

r

NDv

2 VL DD

N.r3=1

3

1

Nr

3) Objetos tridimensionais

N=8r=1/3

N=64r=1/9

8928,19log

64log

3log

8log

)/1log(

log

r

NDA

N.r1,8928 =1

Objetos “D dimensionais”

rNrL .)(

Dimensão fractal e retenção de água no solo

r

Poro capilar delineado por partículasde solo de diferentes tamanhos

comprimento L do poro depende da escalar de medida

Na geometria Euclideana constante.)( 1 rNrL

Da geometria fractal constante. DrNF1

.

DrFN

(1)

(2)

Substituindo (2) em (1)1)..()( rrFrL

D

Se D > 1, (linha tortuosa) L(r) aumenta mais que proporcionalmente adiminuição de r

1)..()(26,1

rrFrL

27/64)(27/1

9/16)(9/1

3/4)(3/1

33

22

11

rLr

rLr

rLr

Escala de medida

L medir para snecessária (r) de unidades de número

).(26,1

rF

Comprimento do poro em função da escala

Fazendo r = (2.Ri) = diâmetro de partículas na escala r

DiRFL

i

1* )2.(

constante DiRNF )2.(

Tomando-se em (2) um comprimento de poro Li = 2Ri

o número N de partículas envolvidas será N=1

(1)

(2)

DiLF )(

Portanto (1) será: Di

Di RLL

i

1* )2.(

iii NRL .2Como:D

ii NRLi

2*

(i) escala na poro do ocompriment *

iL

(i) escala na partículas de ráio iR

iR ráio de partículas de número iN

capilar do fractal dimensãoD

Volume de partículas e de poros em função da escala

iP NRVii..

3

4 3

iV LrVii.. 2

partículas de ráioR

partículas de volume

i

iPV

poros de ráior

poros de volume

i

iVV

Void ratio

ii

i

P

V

NR

Lr

V

Ve i

i

i

..34

..

3

2

Como: Diii NRL 2

212 ..2

3 iDii

P

V RNrV

Ve

i

i

2/11 )..3

2.( D

iii NeRr

Potencial da água no solo em função da escala

im rgi ..

cos..2

(1)

(2)

Subst. (1) em (2):

2/11

3

2

..

cos..2

D

ii

m eNRgi

Potencial mátrico do solo em função de R, N ( textura) e D (dimensão fractal dos capilares) ??

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0

log R

log

N

Determinação da dimensão fractal

N = número de partículasR = ráio de partículasDV= dimensão fractal “volumétrica”

RDaN V log.log

Dificuldade prática de se avaliar N(R)

)(log.)3()(

logl

iV

t

i

R

RDa

M

RRM

(Tyler & Wheatcraft, 1992)

(Tyler & Wheatcraft, 1989)

1) Pela distribuição de tamanho de partículas

2) Pela distribuição de massa de partículas

3) Pela distribuição de volume de poros

l

iV

s

i

R

RDa

RRlog.)3(

)(log

(Bacchi et al. 1996)

Um teste prático de avaliação dos modelos

Deve refletir a tortuosidade dos capilares

Reflexo na condutividade hidráulica do solo

Dimensão fractal dos capilares

)(log.)3()(

logl

iV

t

i

R

RDa

M

RRM

Pela distribuição de massa de partículas

Solos % areia % limo % argila % areia fina DV(m) Ks (m.s-1)1.0 70.9 17.3 11.8 36.4 2.7 7.94E-062.0 60.1 19.0 20.9 35.1 2.8 1.49E-053.0 58.2 18.6 23.6 33.5 2.8 1.43E-054.0 58.7 18.5 22.8 33.3 2.8 1.29E-065.0 62.9 16.3 20.8 38.7 2.8 1.42E-066.0 68.1 15.8 16.1 37.2 2.7 3.50E-067.0 74.7 15.4 10.2 25.8 2.7 2.54E-068.0 59.7 13.7 26.6 19.8 2.8 3.11E-079.0 54.7 11.9 33.4 18.4 2.8 7.11E-08

10.0 49.9 8.8 41.3 15.9 2.9 3.58E-0811.0 50.5 7.4 42.1 17.0 2.9 2.44E-0712.0 54.5 8.4 37.2 17.4 2.9 2.44E-0813.0 51.1 35.8 13.1 23.1 2.7 1.84E-0614.0 57.3 24.9 17.8 28.4 2.8 6.47E-0715.0 51.4 23.2 25.4 25.3 2.8 1.84E-0616.0 48.9 23.0 28.1 23.5 2.8 2.72E-0717.0 48.1 21.7 30.2 23.8 2.8 2.46E-0718.0 49.4 20.6 30.2 25.8 2.8 7.67E-0819.0 62.6 29.6 7.8 31.8 2.6 4.50E-0620.0 58.5 28.3 13.2 30.0 2.7 5.81E-0621.0 56.2 27.7 16.1 28.2 2.7 4.58E-0622.0 51.9 25.9 22.2 25.8 2.8 3.67E-0823.0 48.1 26.1 25.8 22.9 2.8 3.47E-0824.0 34.6 33.6 31.8 16.3 2.8 1.56E-0725.0 55.4 30.8 13.8 27.3 2.7 1.94E-0526.0 42.9 26.7 30.4 20.9 2.8 1.56E-0727.0 43.3 24.2 32.5 20.3 2.8 3.92E-0828.0 42.8 23.6 33.6 20.9 2.8 9.69E-0829.0 44.5 20.7 34.8 20.9 2.8 6.58E-0830.0 46.2 19.1 34.7 20.8 2.8 6.78E-0831.0 85.6 8.7 5.7 31.2 2.6 1.84E-0532.0 71.7 14.2 14.1 23.9 2.7 1.62E-0633.0 60.1 12.3 27.6 20.8 2.8 1.28E-0634.0 54.7 10.1 35.2 18.1 2.9 8.33E-1035.0 53.9 8.1 38.0 17.6 2.9 5.83E-0936.0 57.6 7.5 34.9 18.3 2.9 6.00E-0737.0 84.8 12.4 2.8 45.8 2.5 1.94E-0538.0 83.2 14.4 2.4 43.8 2.5 3.94E-0539.0 81.8 15.9 2.3 47.6 2.4 3.06E-0540.0 86.1 12.1 1.8 46.2 2.4 2.27E-0541.0 88.5 10.1 1.4 48.0 2.4 3.22E-0542.0 77.8 11.4 10.8 43.1 2.7 1.08E-06

l

iV

s

i

R

RDa

RRlog.)3(

)(log

Pela distribuição de volume de poros

Solos % areia % limo % argila % areia fina DV() Ks (m.s-1)1.0 70.9 17.3 11.8 36.4 2.9 7.94E-062.0 60.1 19.0 20.9 35.1 2.9 1.49E-053.0 58.2 18.6 23.6 33.5 2.9 1.43E-054.0 58.7 18.5 22.8 33.3 3.0 1.29E-065.0 62.9 16.3 20.8 38.7 3.0 1.42E-066.0 68.1 15.8 16.1 37.2 2.9 3.50E-067.0 74.7 15.4 10.2 25.8 2.9 2.54E-068.0 59.7 13.7 26.6 19.8 3.0 3.11E-079.0 54.7 11.9 33.4 18.4 3.0 7.11E-08

10.0 49.9 8.8 41.3 15.9 3.0 3.58E-0811.0 50.5 7.4 42.1 17.0 3.0 2.44E-0712.0 54.5 8.4 37.2 17.4 3.0 2.44E-0813.0 51.1 35.8 13.1 23.1 2.9 1.84E-0614.0 57.3 24.9 17.8 28.4 3.0 6.47E-0715.0 51.4 23.2 25.4 25.3 2.9 1.84E-0616.0 48.9 23.0 28.1 23.5 3.0 2.72E-0717.0 48.1 21.7 30.2 23.8 3.0 2.46E-0718.0 49.4 20.6 30.2 25.8 3.0 7.67E-0819.0 62.6 29.6 7.8 31.8 2.9 4.50E-0620.0 58.5 28.3 13.2 30.0 2.9 5.81E-0621.0 56.2 27.7 16.1 28.2 3.0 4.58E-0622.0 51.9 25.9 22.2 25.8 3.0 3.67E-0823.0 48.1 26.1 25.8 22.9 3.0 3.47E-0824.0 34.6 33.6 31.8 16.3 3.0 1.56E-0725.0 55.4 30.8 13.8 27.3 2.9 1.94E-0526.0 42.9 26.7 30.4 20.9 3.0 1.56E-0727.0 43.3 24.2 32.5 20.3 3.0 3.92E-0828.0 42.8 23.6 33.6 20.9 3.0 9.69E-0829.0 44.5 20.7 34.8 20.9 3.0 6.58E-0830.0 46.2 19.1 34.7 20.8 3.0 6.78E-0831.0 85.6 8.7 5.7 31.2 2.8 1.84E-0532.0 71.7 14.2 14.1 23.9 2.9 1.62E-0633.0 60.1 12.3 27.6 20.8 3.0 1.28E-0634.0 54.7 10.1 35.2 18.1 3.0 8.33E-1035.0 53.9 8.1 38.0 17.6 3.0 5.83E-0936.0 57.6 7.5 34.9 18.3 3.0 6.00E-0737.0 84.8 12.4 2.8 45.8 2.9 1.94E-0538.0 83.2 14.4 2.4 43.8 2.8 3.94E-0539.0 81.8 15.9 2.3 47.6 2.8 3.06E-0540.0 86.1 12.1 1.8 46.2 2.8 2.27E-0541.0 88.5 10.1 1.4 48.0 2.8 3.22E-0542.0 77.8 11.4 10.8 43.1 2.9 1.08E-06

y = -11637x + 2.812

R2 = 0.7439

2.8

2.9

2.9

3.0

3.0

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

3.50E-05

4.00E-05

4.50E-05

K (solo saturado)

DV

(m)

y = -4771.6x + 2.9706

R2 = 0.8957

2.8

2.8

2.9

2.9

3.0

3.0

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

3.50E-05

4.00E-05

4.50E-05

K(solo saturado)

DV

()

)(log.)3()(

logl

iV

t

i

R

RDa

M

RRM

l

iV

s

i

R

RDa

RRlog.)3(

)(log

y = 0.3401x + 2.0085

R2 = 0.7785

2.8

2.82

2.84

2.86

2.88

2.9

2.92

2.94

2.96

2.98

2.3 2.5 2.7 2.9

DV(m)

DV

()

Grupo de solos arenosos

y = 0.3426x + 2.0028

R2 = 0.2759

2.9

2.91

2.92

2.93

2.94

2.95

2.96

2.97

2.98

2.99

2.78 2.8 2.82 2.84 2.86 2.88 2.9DV(m)

DV

()

Grupo de solos argilosos

Outras aplicações

Avaliação de rugosidades no solo

Simulações da matriz do solo