1 Metodologia do Ensino de Matemática, Orientação Educacional, Ciências-Matemática, Pedagogia,

Col. Est. José de Anchieta- EFM e Col. Est. Padre Sigismundo-EFMPN, Matemática, professora.

2 Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia, UNICENTRO, Matemática, professora.

O ENSINO DE GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DA UTILIZAÇÃO

DO SOFTWARE GEOGEBRA: descobertas e construções.

Autora: Adriana Fernandes de Matto1

Orientadora: Maria Regina C. M. Lopes2

Resumo

O Projeto de Intervenção Pedagógica proposto buscou verificar junto aos professores de Matemática e áreas afins a viabilidade do estudo da Geometria Fractal na Educação Básica, utilizando o software de geometria dinâmica Geogebra. Este conteúdo recente, faz parte das geometrias não-euclidianas e está previsto nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica, para ser trabalhado nas salas de aula, com embasamento no Ensino Fundamental e aprofundamento no Ensino Médio. Nesse sentido, foi proposta uma oficina pedagógica no laboratório de informática do Colégio Estadual José de Anchieta - Ensino Fundamental e Médio, localizado em Quedas do Iguaçu, para um público alvo de aproximadamente 20 professores, totalizando 32h/a, onde foram abordados os fundamentos da Geometria Fractal; as ferramentas do software Geogebra; as construções das primeiras iterações dos fractais: Conjunto de Cantor, Curva de Peano, Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo de Sierpinski e Tapete de Sierpinski; explorados os cálculos relacionados à dimensão, perímetro e área de cada figura fractal. E como atividade prática foi proposta a construção de mandalas fractais usando figuras geométricas, associadas à arte dos mosaicos, utilizando para isso diferentes materiais manipuláveis.

Palavras-chave: Geometria Fractal; Conteúdos Matemáticos; Geogebra.

1 Introdução

No final do século XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico foi

expandido pelos estudos de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss, surgiram

então, as geometrias não-euclidianas, entre elas a geometria dos fractais (PARANÁ,

2008, p.56). Essa nova geometria surgiu para representar formas da natureza que

não se enquadram nos padrões da geometria clássica, possibilitando a

compreensão dessas formas em termos de dimensão e complexidade. Fractais são

objetos geométricos que podem ser divididos em partes, cada uma das quais

semelhantes ao objeto original.

A Geometria Fractal surgiu nas escolas como conteúdo da disciplina de

matemática no documento das Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57), foi previsto

que o aluno deva compreender a noção de Geometria Fractal desde o Ensino

Fundamental, aprofundando os estudos das noções de geometrias não-euclidianas

no Ensino Médio. De acordo com o documento, recomenda-se que sejam

explorados: “ o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski,

conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades

geométricas, estendendo para as suas propriedades,... ”

Entretanto, segundo os estudos de Gaiowski (2007) esse tema permanece

ausente das salas de aula paranaense. De acordo com o autor

A inserção do conteúdo de noções básicas de geometrias não euclidianas ainda não aconteceu nas escolas da rede pública do Estado do Paraná. É possível que ela seja dificultada pelo não conhecimento do seu conteúdo, pelo desconhecimento de linhas metodológicas por parte de grande parcela de professores ou, ainda, pela ausência de textos nos livros didáticos que contemplem o assunto. (GAIOWSKI, 2007, p.2).

Nesse sentido, o presente trabalho teve a finalidade de fornecer subsídios

teóricos e metodológicos sobre o tema, por meio de uma oficina pedagógica de 32

horas realizada no Colégio Estadual José de Anchieta. O público alvo foram

professores de matemática e áreas afins da educação básica de Quedas do Iguaçu.

No desenvolvimento das atividades foi utilizado um software de geometria dinâmica,

geogebra, com a finalidade de dinamizar as aulas de matemática, em especial no

que se refere às geometrias não-euclidianas, de forma a melhorar a qualidade de

ensino e aprendizagem.

1.1 O QUE SÃO FRACTAIS?

Enquanto a geometria euclidiana se atém a formas geométricas construídas

pelo homem, a Geometria Fractal estuda os fenômenos que envolvem a natureza e

busca definir padrões em meio a irregularidades fragmentadas para calcular as

medidas dessas figuras que não se enquadram na dimensão topológica tradicional.

Wegner e Tyler complementam sobre essa relação entre a humanidade e o

mundo natural, no sentido de que

... a geometria fractal pode frequentemente fornecer uma “cópia” melhor da natureza, e pode descrever com grande exatidão a estrutura de nuvens, montanhas, rios, arbustos, cachoeiras, campos de girassóis, e até mesmo o clima. Pode também nos falar mais sobre como o clima funciona, segredos de bioquímica, ou ideias sobre como as pessoas pensam. O que é de crucial importância não é o sucesso da teoria, mas sim a reorientação do pensamento fundamental. Essa visão emergente da natureza é mais humilde, menos arrogante. A maravilha mais profunda, pertence à natureza, e não a nossa tentativa de modelá-la e entendê-la. (WEGNER e TYLER, 1995, p.26)

Nesse sentido, os estudos de Barbosa (2005, p.9) reafirmam que a

Geometria Fractal está intimamente ligada a uma nova ciência conhecida como

CAOS, que busca padrões definidos e regulares em sistemas a princípio aleatórios e

caóticos, como é o caso das estruturas fractais. E o rápido aprimoramento das

técnicas computacionais impulsionaram os estudos de Benoit Mandelbrot nessa

área e o levaram em 1975 a publicar seu livro intitulado “Les objects fractals, forme,

hassard et dimension” considerado o marco inicial para essa teoria. As figuras

complexas de suas pesquisas, conhecidas até então por “monstros matemáticos”

passaram a se chamar fractais, “... baseando-se no latim, do adjetivo fractus, cujo

verbo frangere correspondente significa quebrar, criar fragmentos irregulares,

fragmentar”. (BARBOSA, 2005, p.9)

Entre os fractais mais famosos estão o Conjunto de Cantor, Curva de Peano,

Curva de Hilbert , Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch,

Triângulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski e os Conjuntos de Julia e Mandelbrot.

1.2 PROPRIEDADES FRACTAIS E APLICABILIDADE CIENTÍFICA

Os fractais possuem três particularidades própria, a primeira e mais

importante é a da auto-similaridade, ou seja, cada ínfima parte que forma o fractal é

semelhante ao todo, são repetições de si próprio. De modo análogo Carvalho; Silva;

Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.10) denotam que “Uma forma que se repete dentro

de si mesma de maneira semelhante e independente de proporção ou escala é

denominada auto-similar”.

Para Almeida; Martinelli; Rodrigues; Silva (p.3) “A auto-similaridade

aproximada ou estatística refere-se principalmente a objetos da natureza que não

são fractais exatos, mas podem ser muito bem descrito por eles, como por exemplo,

a estrutura da couve-flor”.

A segunda propriedade de acordo com o Guia do Professor – Fractais é que

“A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não

é necessariamente uma quantidade inteira. Com efeito, ela pode ser uma

quantidade fracionária.” (PARANÁ, 2010, p.4) e está relacionada a questões como

“...aspereza, espessura, densidade, textura etc.”(BARBOSA, 2005, p.66),

diferenciando-se da classificação euclidiana onde a dimensão espacial é sempre

igual à topológica.

Quanto à terceira propriedade, a da complexidade dos fractais, Serra e Karas

(1997, p.19-20) apontam que esta se acha intrincada com a ideia de caos. Quando

um objeto denota a princípio um padrão de desordem e irregularidade, dizemos que

é caótico, parecendo que não há lógica na formação da estrutura observada, como

ocorre com os fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos. Na verdade,

estes são totalmente determinísticos, pois suas órbitas provêm primeiro, de uma

função que governa o sistema e segundo, do valor inicial que a variável assume.

As estruturas fractais devido às propriedades estudadas, importância e

aplicabilidade em diversas ciências se tornaram amplamente difundidas. Por

exemplo, as aplicações dos fractais na área da Educação Matemática vão desde a

simples apreciação das magníficas estruturas, motivando assim a busca pelo

conhecimento inerente a elas, até o desenvolvimento do raciocínio lógico, através da

exploração dos conceitos básicos da Geometria Euclidiana, do cálculo de dimensão,

perímetro e área, logaritmos, números complexos, sequências, porcentagem,

utilização de fórmulas e funções, noção de intervalos e conjuntos, entre outros. Os

autores, Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.7) referenciam as

aplicações dos fractais em outras ciências, como por exemplo, na meteorologia para

previsão de tempo; em mineralogia – prospecção de petróleo; na cristalografia; na

metalurgia para melhoramento das ligas; na fisiologia para detecção de problemas

cardíacos, intestinais, pulmonares; na geografia para estudo dos litorais, correção de

fronteiras entre países; na hidrologia – bifurcação de rios; nas artes, podendo ser no

cinema, através de efeitos especiais ou, na música como recurso para composição e

análise de peças eruditas.

Outra aplicabilidade na área da medicina é quanto ao prognóstico do câncer,

o que pode ser analisado pelo método de contagem de caixas, como demonstra a

amostra de tecido bucal da figura 12. De acordo com Fernandes (2007), “sua

dimensão fractal será maior que 1 o que pode ser considerado um tumor malígno,

pois a fronteira é mais tortuosa e ocupa um número grande de caixas”.

Fonte: Monografia “Fractais: Uma nova visão da Matemática”, de Jaqueline Aparecida Fernandes.

O trabalho do Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ), Matemática, beleza e

aplicações: “A ordem na desordem”, acrescenta contribuições para a importância

dos fractais: na computação gráfica para representar elementos da natureza e criar

efeitos especiais para filmes; na biologia para o estudo da influência da superfície

irregular das proteínas nas iterações moleculares; na geografia é usado para

descrição e caracterização de falhas sísmicas, estudo sobre terremotos e vulcões e

usados para criação de modelos de crescimento demográficos; na computação são

usados para geração de terrenos e atmosfera com modeladores gráficos e criação

de softwares de compactação de imagens (zipadores), criptografia, codificação e

decodificação de áudio e vídeo.

Figura 12: Contagem de caixas utilizado no prognóstico do câncer de boca

1.3 O USO DA BELEZA ESTÉTICA DOS FRACTAIS NA PRÁTICA PEDAGÓGICA

USANDO MÍDIAS TECNOLÓGICAS

“Os fractais são pedagógicos porque ilustram visualmente muitos conceitos

matemáticos básicos e são um veículo ideal para desafiar pessoas visualmente

orientadas com estes conceitos”. (WEGNER e TYLER, 1995, p. 22)

A apreciação das figuras fractais deve contribuir para motivar os alunos a

aprofundarem seus estudos com relação aos conceitos matemáticos contidos nelas.

De forma a unir a beleza exótica das figuras com sua simetria perfeita, no sentido de

despertar e aprofundar esse senso estético contido nas estruturas fractais, “... quer

apreciando o belo irradiante, quer observando a regularidade harmoniosa nas suas

próprias irregularidades.” (BARBOSA, 2005, p.14)

Nesse contexto, uma forma de dinamizar as aulas de matemática e promover

a investigação geométrica pela experimentação é mediante o uso das mídias

tecnológicas. De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica “Os

recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos

da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e

potencializado formas de resolução de problemas.” (PARANÁ, 2008, p.65).

A geometria dinâmica representada pelos softwares na área é um recurso

interessante para o aprendizado da geometria dedutiva. Nas construções, podem-se

levantar conjecturas, verificar propriedades, demonstrar teoremas, tudo pela

experimentação e criação de objetos geométricos. Sobre o programa geogebra que

será utilizado para as construções fractais, Geraldes (2006) citado por Macedo

reforça que

...foi criado por Markus Hohenwarter, com o objetivo educacional e que

possibilita o trabalho com a geometria, álgebra e cálculo. Este programa

registra os procedimentos realizados durante a construção, mostra

representações que seriam impossíveis pelo método tradicional utilizando o

quadro e o giz. É um instrumento muito rico e deve ser explorado pelos

professores de Matemática uma vez que já o temos implantado nos

computadores das Escolas Públicas do Paraná. (MACEDO, 2008, p.3)

No ensino de geometria, a sua utilização facilita a construção e visualização

das imagens e traz o aluno para o centro do processo educativo. No caso dos

fractais, é um aliado importante porque possibilita a realização de sucessivas

iterações, o que facilita o processo de construção das figuras e utiliza a Geometria

Euclidiana como base no processo. Pelos motivos expostos, o presente trabalho

pretende explorar a geometria baseada no estudo dos fractais utilizando o software

geogebra. Espera-se com isso efetivar mudanças metodológicas que viabilizem

transformações positivas nas aulas de matemática.

1.3 IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Este trabalho envolveu 16 professores de Matemática e áreas afins em uma

oficina pedagógica realizada no laboratório de informática do Colégio Estadual José

de Anchieta- Ens. Fund. e Médio, na cidade de Quedas do Iguaçu. Como parte do

programa PDE, houve um momento de interação online chamado GTR (Grupo de

Trabalho em Rede) com 12 professores de Matemática da rede estadual de ensino,

os quais tiveram contato com o Projeto e a Unidade Didática. Puderam aplicar

algumas das atividades sugeridas no material em suas escolas e contribuir de forma

teórica e prática com o aprimoramento do trabalho proposto.

Outro momento desenvolvido na implementação foi a aplicação de algumas

atividades propostas com 7 (sete) alunos do 3º ano do Ensino Médio, para verificar

junto aos mesmos a viabilidade da proposta de trabalho e ter subsídios práticos para

argumentar com os professores participantes, tanto, da Oficina Pedagógica, quanto,

do GTR(Grupo de Trabalho em Rede) .

Para os professores participantes da oficina pedagógica, na atividade inicial

foi solicitado que respondessem a um questionário investigativo para coleta de

dados como demonstra a tabela 1:

Tabela 1: Questionário Investigativo sobre Geogebra e Geometrias

Questões apresentadas Respostas sim Respostas não

1. Conhece o programa Geogebra? 7 9

2. Utiliza em sala o programa Geogebra? 1 15

3. Trabalha com as geometrias: projetiva e topológica?

7 9

4. Tem conhecimento sobre Geometria Fractal? 10 6

5. Trabalha com Geometria Fractal em sala de aula? 1 15

Fonte: professores participantes da Oficina Pedagógica

A segunda atividade da oficina pedagógica proposta aos professores

tratou da introdução ao tema Geometria Fractal, por meio do vídeo selecionado no

Portal Dia a Dia Educação “Fractales y Caos” (Adicionado em 28/04/2009) com

duração de 11min46seg, o vídeo original é em espanhol, porém, em 2008 foi feita a

narração em língua portuguesa pelo acadêmico do curso de Licenciatura em

Matemática Alexandre Pereira Salgueirinho. O link para acesso do vídeo é

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=13047.

Esse vídeo despertou muito interessante nos professores, porque apresenta a

Geometria Fractal de forma clara e atrativa para o aluno.

Na sequência, foi abordado o conteúdo sobre Geometria Fractal, seu

processo histórico, definições, características, exemplos de fractais primitivos e

aplicação dos fractais no campo científico. Foi usada como metodologia a

apresentação em slides. Os professores ficaram impressionados com o vasto campo

de aplicação dos fractais, pois, como eles mesmos comentaram não tinham noção

que este assunto era tão abrangente e importante para as diferentes ciências,

principalmente na área da medicina.

Na atividade 3 da oficina pedagógica, tratou-se da dimensão fractal. Souza

(2010, p.61) citado por SILVA (2011, p.87), salienta que a dimensão fractal pode ser

obtida por meio de diferentes métodos como: Dimensão de homotetia ou de auto-

similaridade; Dimensão de contagem de caixas ou de cobertura e Dimensão de

Hausdorff-Besicovitch.

Para entendermos a dimensão fractal, precisamos relembrar que na

geometria euclidiana, a dimensão espacial é sempre igual à topológica. Enquanto

que, na estrutura fractal, a dimensão espacial excede a topológica e o número

encontrado é usualmente fracionário.

Foi demonstrado aos professores o processo de cálculo do primeiro método,

Dimensão de homotetia ou de auto-similaridade, embasado nos estudos de SILVA

(2011, p.87), que traz uma metodologia prática para que o aluno entenda o que é

dimensão e seu processo de cálculo e sugere que o encaminhamento seja

demonstrado com a sequência: reta, figura plana, figura espacial e figura fractal,

obtendo-se assim a fórmula da dimensão fractal.

As atividades 4 a 9 da oficina pedagógica referem-se ao passo a passo das

construções fractais realizadas no geogebra. O processo de construção de cada

figura fractal está desenvolvido na unidade didática apresentada ao programa PDE e

algumas iterações podem ser visualizadas nas figuras 13 a 19, na sequência.

Figura 13: 3 primeiros níveis do Conjunto de Cantor Figura 14: Nível 2 da Curva de Peano

Figura 15: Nível 3 da Curva de Koch

D = - log n

log r

Sendo que n (nº de partes que foi dividida a figura)

com nível ≠ 0 e r (razão de semelhança de cada

parte).

Figura 16: Nível 4 do Floco de Neve de Koch

Figura 17: Nível 3 do Quadrado de Koch Figura 18: Nível 5 do Triângulo de Sierpinski

Figura 19: Nível 3 do Tapete de Sierpinski

Após cada construção foram explorados os cálculos matemáticos

relacionados às figuras fractais. Observou-se que na realização das construções do

Conjunto de Cantor e da Curva de Peano, foi preciso explicar de forma clara as

ferramentas do geogebra, a todos os participantes, mesmo os que conheciam o

programa, pois, não dominavam as ferramentas necessárias para as construções. E

25% dos professores que apresentavam dificuldades técnicas quanto ao uso do

computador, tiveram muitas dúvidas em seguir os passos propostos, sendo

necessário refazer algumas vezes as etapas e em certos momentos reiniciar todo o

desenho. Para a construção do Conjunto de Cantor foram necessárias

aproximadamente 1 hora e meia e para a Curva de Peano, o tempo médio girou em

torno de 40 minutos.

Nas construções do Floco de Neve de Koch, Triângulo de Sierpinski e

Tapete de Sierpinski, 75% do grupo realizou as atividades, seguindo o passo a

passo da apostila ou visualizando no data show cada etapa do processo.

A atividade 7 referente ao Quadrado de Koch (figura 17) foi a que exigiu

maior concentração por parte dos professores, por se tratar de uma figura bem

detalhada e exigir precisão quanto as retas e os vértices que formam cada

quadrado menor.

Fizeram parte desse grupo dois professores de Arte e um de Geografia,

ambos, conseguiram realizar os desenhos e entenderam as tabelas referentes aos

cálculos matemáticos de cada um. O comentário da professora de Arte “...é que

através dos desenhos das iterações dos fractais fica muito mais fácil para o aluno

entender a potenciação, pois a Matemática ensinada dessa forma diferenciada se

torna mais atraente”. Destacou-se que o Conjunto de Cantor poderia ser usado para

explicar frações e frações equivalentes.

Os professores foram unânimes em dizer que os alunos iriam gostar de fazer

os desenhos e teriam mais facilidade que os professores por dominarem melhor a

ferramenta “computador”. Dois pontos destacados foram que, a ferramenta que

realiza as macro construções facilita muito as iterações, poupando tempo, e que o

aluno visualizando o processo de construção das figuras, entenderia mais facilmente

os cálculos matemáticos e a generalização das fórmulas, que, quase sempre, é de

difícil compreensão e visualização para o aluno.

Dos cálculos realizados em cada construção um dos que mais se evidenciou

é o Triângulo de Sierpinski, pela riqueza de conteúdos matemáticos que podem ser

explorados nessa figura, como demostram as tabelas 2 e 3. Os professores não

imaginavam que cada iteração possibilitasse a exploração de tantos cálculos, de

uma forma clara e significativa, levando o aluno a rever muitos conceitos e

conteúdos já vistos e outros ainda não trabalhados.

Tabela 2: Cálculos referentes ao perímetro do Triângulo de Sierpinski

Nível do Fractal

Nº de triângulos

válidos

Comprimento de cada lado

Perímetro de cada figura

Perímetro do fractal para

c=1

0 1 ou 30 C P= 3.c P = 3

1

3 ou 31

P= 3. 3.

P =

P =

P = 4,5

2 9 ou 32

P= 9. 3.

P=

P =

P= 6,75

n

3n

P= 3n . 3 .

P = 3 .

. c

P= 3 .

Tabela 3: Cálculos referentes à área do Triângulo de Sierpinski

Nível do Fractal

Nº de triângulos válidos

Área de cada triângulo

Área do fractal Área do fractal para l =1

0 1 ou 30

A = √

A =

√

A =

√

1

3 ou 31

A= . √

A=3. . √

A= . √

A = .

A =

2

9 ou 32

A= . √

A= 9 . . √

A= . √

A = .

A =

n

3n

A= . √

A= .

√

A=

√

√

2

√

√

√

n

Fonte: Cálculos adaptados do livro “Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA.

Fonte: Cálculos adaptados do livro “Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA.

n n

As conclusões destacadas evidenciaram a riqueza dessa figura fractal, e

demostraram uma característica intrigante, uma figura onde o perímetro aumenta, e

a área diminui.

O perímetro do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (50%) maior

que o perímetro do fractal do nível anterior, tendendo ao infinito.

A área do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (75%) menor que a

área do fractal do nível anterior. Portanto, a área tende a zero.

Os fractais representam uma grande descoberta para a Matemática e

nessas poucas décadas de existência se propagaram rapidamente não só pelo

visual excêntrico das suas formas, mas também pela diversidade de aplicações em

inúmeras outras ciências. Nesse enfoque, na atividade 10, foram apresentadas aos

professores algumas aplicações científicas dos fractais através de slides. Os

professores consideraram essa parte essencial porque possibilita que o aluno

compreenda a necessidade de se estudar Geometria Fractal e visualize suas

contribuições para o desenvolvimento da humanidade.

Na atividade 11, foram sugeridas atividades pedagógicas práticas, para se

trabalhar com as séries finais do Ensino Fundamental, propiciando aos alunos a

noção de Geometria Fractal. Sendo, propostos modelos de construção de alguns

fractais famosos com material manipulável, como papel, latas de alumínio, bolas de

isopor, entre outros. E como sugestão de atividade para o Ensino Médio foi realizada

a construção de mandalas fractais com motivos geométricos, usando a arte dos

mosaicos, com colagem de materiais manipuláveis como, vidros, cerâmica,

pastilhas, bijuterias, miçangas, entre outros. Os trabalhos realizados foram expostos

na escola para que os alunos, professores e funcionários visualizassem e se

inteirassem do projeto junto aos professores participantes da oficina pedagógica.

Na atividade 12 foi realizado um questionário com 3 questões abertas para

avaliação dos trabalhos e considerações importantes que os professores

participantes quisessem pontuar.

A primeira questão enfatizou a relevância, metodologias, contribuições,

aplicabilidade e apontamentos referentes à oficina pedagógica proposta, pode-se

observar que 100% dos professores consideraram o trabalho muito interessante e

relevante para aplicação em sala de aula. E comentaram como se demonstra a

seguir que as diferentes metodologias utilizadas permitiram atingir os objetivos

propostos em cada etapa, tornando o curso atrativo e dinâmico.

“A oficina pedagógica é de grande relevância na descoberta de novas

metodologias que podem ser utilizadas com os alunos de qualquer série, tanto, no

Ensino Fundamental como no Ensino Médio, a aplicabilidade envolve vários

conteúdos estruturantes que facilitam o melhor entendimento em menos tempo, com

a construção utilizando o software geogebra.” (Professora 1)

“A realização dessa oficina foi de grande valia, nos proporcionou novos

conhecimentos, nos mostrando que se pode trabalhar Matemática de uma forma

mais dinâmica.” (Professora 2)

A segunda questão verificou se o professor considera possível inserir na sua

prática pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando o software geogebra.

E 100% dos professores participantes consideraram sim, ser possível, como segue:

“...os alunos que já possuem a habilidade com o computador ou com o uso de

outros aplicativos poderão facilmente realizar os “desenhos” e comparar com os

cálculos realizados e as fórmulas utilizadas.” ( Professora 3)

A terceira questão abordou se o estudo da Geometria Fractal em sala de aula

justifica-se e de que forma ela pode contribuir para o enriquecimento da

aprendizagem do aluno, como demonstram as respostas pontuadas:

“Através desta oficina, pode-se visualizar algumas ferramentas que podem ser

utilizadas em sala de aula e deixam o conteúdo que está sendo trabalhado muito

mais interessante. Como por exemplo, o estudo dos números complexos que podem

ser trabalhados de uma forma mais concreta utilizando o Geogebra.” (Professora 4)

“...no decorrer dos encontros,(...)foi possível constatar que é viável aplicar em sala

de aula. Também percebemos que a Geometria Fractal além de sua beleza,

possibilita desenvolver atividades envolvendo conteúdos matemáticos de maneira

diferente, atrativa e interessante. O detalhamento dos passos facilitou a

compreensão e as construções das atividades propostas. A oficina foi muito

produtiva e serviu para provar que com a prática conseguimos superar as

dificuldades inicialmente demonstradas.” (Professora 5)

Na tabela 4, podem-se observar os dados obtidos no Grupo de Trabalho em

Rede desenvolvido pela SEED, que possibilitou que 12 professores estaduais de

diferentes regiões pudessem interagir, de forma a trocar experiências entre si

através da realização das atividades em suas escolas, e por meio de sugestões e

contribuições enriquecessem o material.

Tabela 4: Pesquisa sobre Geometrias e metodologias de ensino

Questões abordadas

Síntese dos comentários Porcentagem de respostas

Metodologias usadas

atualmente para o ensino de Geometria.

Quadro de giz, materiais de desenho, sólidos em acrílico, embalagens, objetos do cotidiano, construção dos sólidos em cartolina.

100%

Uso das TICs: vídeos e TV pendrive. 41,66%

Geometrias não-

euclidianas

Trabalha em sala de aula as geometrias não-euclidianas.

33,33%

Não trabalha em sala de aula. 66,67%

Geometria Fractal

Conhece o assunto. 33,33%

Conhece o assunto e trabalha em sala de aula. 16,66%

Geogebra Conhece o programa 75%

Conhece e utiliza o programa para Geometria Fractal

0%

Fonte: Pesquisa realizada com os professores participantes do GTR-SEED

Algumas atividades da oficina pedagógica foram aplicadas com um grupo de

7 (sete) alunos do 3º ano do Ensino Médio, do Colégio Estadual José de Anchieta

no decorrer de 8 horas aulas. Sendo apresentado, em duas horas aulas a definição

de fractal, seu processo histórico, e os fractais mais famosos, em uma aula as

ferramentas do geogebra e no decorrer de 5 aulas a construção dos fractais, Curva

de Koch, Floco de Neve de Koch, Triângulo de Sierpinski e Tapete de Sierpinski.

Após as construções, foram organizadas tabelas relacionando os cálculos de

perímetro e área das figuras. Segue alguns recortes de comentários dos alunos:

“O programa geogebra é muito interessante e fácil de mexer, tendo a apostila

para nos auxiliar. Aprendemos a fazer muitas figuras e aprendemos que para ser um

fractal a figura tem que ter autossimilaridade para dar certo. ( Aluno A)

“...podemos criar essas figuras de modo fácil, rápido e prático, é um

programa de interface acessível e de fácil compreensão.(...) A Geometria Fractal é

uma “nova” matemática de área, que foi criada a pouco tempo, mudando totalmente

o pensamento geométrico em relação a áreas fragmentadas, importante para chegar

a resultados que antes eram de difícil compreensão, vistos como “monstros”

matemáticos...” (Aluno B)

“Foi uma nova experiência onde tivemos a chance de conhecer o geogebra,

e conseguimos desenhar alguns dos muitos fractais que existem. Tem tudo a ver

com matemática, envolve cálculos e muita concentração onde tudo deve sair

perfeito...”(Aluno C)

Como visto os alunos conseguiram assimilar o conteúdo proposto, realizaram

as construções das figuras no geogebra e perceberam que as figuras fractais trazem

consigo muitos conteúdos matemáticos que podem ser revistos e explorados de

uma forma diferente, unindo-se a eles a beleza extraordinária das imagens.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho realizado propôs estratégias metodológicas diferenciadas para o

estudo da Geometria Fractal, proporcionando ao professor a exploração de

conhecimentos novos, como é o caso do cálculo da dimensão fractal, e uma revisão

dos conceitos básicos da geometria euclidiana e da matemática básica.

Pode-se observar no decorrer das construções a necessidade de detalhar

mais os passos do Conjunto de Cantor e da Curva de Peano, pois, como são as

figuras iniciais propostas na unidade didática, ocorreu muitas dúvidas entre os

professores pela falta de domínio das ferramentas básicas do programa. Nas demais

figuras, com o domínio das ferramentas já adquirido, e com o passo a passo bem

detalhado, as construções transcorrem naturalmente e com rapidez.

Em relação ao programa geogebra, evidenciou-se que as construções das

figuras podem ser realizadas por qualquer professor, independente da disciplina que

trabalha ou da “faixa etária” propriamente dita. O que faz a diferença para o sucesso

das construções fractais e permite ao professor mais facilidade no processo, é o

domínio da ferramenta “computador”.

De acordo com a pesquisa, os maiores empecilhos para o uso do computador

nas escolas é a falta de manutenção dos mesmos, o que ocasiona um número de

computadores funcionando insuficiente para o número de alunos, ou mesmo,

laboratórios sem condições de uso. A dificuldade em conciliar os horários de uso,

pois, são muitas turmas para um único laboratório, no caso das escolas maiores e a

diminuição da carga horária da disciplina de matemática no Ensino Médio.

Nesse sentido, o material propôs também sugestões de aplicações práticas

da Geometria Fractal sem o uso do software, de modo que o professor possa

realizar adaptações em suas aulas, de forma a não prejudicar o cumprimento do

currículo, mas, consequentemente, comprometendo a utilização da informática.

Enfim, concluiu-se que independente da metodologia utilizada, o professor

deve ter domínio do conteúdo a ser ensinado e da ferramenta utilizada como apoio

pedagógico. No caso do geogebra isso é fundamental, pois, quanto mais o professor

usá-lo, mais facilidade terá nas construções, e na interação com os alunos, tornando

suas aulas mais atrativas e dinâmicas. Portanto, de acordo com a problematização

inicial que gerou este trabalho, os professores participantes consideraram possível

aplicar os conteúdos propostos de Geometria Fractal em sala de aula com o uso do

software geogebra, por se tratar de um programa prático, de fácil compreensão, e

que possibilita realizar as construções fractais de forma a tornar o aluno participante

ativo do processo.

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, Theodoro Becker de; MARTINELLI, Rodiane Ouriques; RODRIGUES, Virgínia Maria; SILVA, Ana Maria Marques da. Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. PUCRS. 18p. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. CARVALHO, M.C.C.S.; SILVA, A.A.; BOCCIA, D.C.M.S.; RIBEIRO, J.F.P.; BOGGIO, S.A. Fractais: uma breve introdução. 1 ed. São Paulo: Ed. da Faculdade São Judas, 1986.

FERNANDES, Jaqueline Aparecida. Fractais: Uma nova visão da Matemática. Trabalho de Conclusão de Curso (Matemática). Universidade de Lavras - UNILAVRAS, Minas Gerais, 2007, 46p. GAIOWSKI, Antonio Osny. A inserção das Geometrias Não – Euclidianas no Currículo da Educação Básica no Estado do Paraná, 2007. Disponível em :<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/848-4.pdf> Acesso em: 22 maio de 2009. MACEDO, Julia Satiko Kawamoto. Fractais – Uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos. Universidade Estadual de Maringá. Projeto de Intervenção Pedagógica – PDE, 2008, 27p. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. Curitiba: SEED, 2008. ________. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. “Fractales y Caos”. [Portal dia a dia educação. Adicionado em 28/04/2009]. Disponível em: http:// www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/genre.? enreid=45&lette r=F&start=10. Acesso em: 12 set. de 2012. ________. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Guia do Professor - Fractais. [Portal dia a dia educação. Guia do professor- Conteúdos Digitais. Série matemática ao Pé do Ouvido – Episódio 1, 2010]. Acesso em: 13 abr. de 2012. SILVA, Karolina Barone Ribeiro da. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1. ed. Curitiba, PR: CRV, 2011. SÁ, Ilydio Pereira de. Matemática, beleza e aplicações: “A ordem na desordem”. Disponível em: Os fractais e suas aplicações - A magia da matemática. Acesso em: 08 nov. de 2012. SERRA, Celso Penteado; KARAS, Elizabeth Wegner. Fractais gerados por Sistemas Dinâmicas Complexos. Curitiba: Champagnat, 1997. WEGNER, Tim & TYLER, Bert; tradução (da 2. ed. original) Paulo H. Dupret. Criando Fractais. Rio de Janeiro: Axcel Books, 1995.