A DIDÁTICA DA MATEMÁTICA FUNDAMENTADA NA TEORIA DE

FORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN1

Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado (UERR)

tintorer@bol.com.br

Prof. Dr. Héctor José García Mendoza (UFRR)

hector.mendoza@ufrr.br

RESUMO

Na atualidade é frequente encontrar professores de Matemática ministrando aulas de

forma empírica na Educação Básica, ainda que nos cursos de formação de professores

exista a disciplina Didática da Matemática. Por outro lado se tem professores de

Matemática que atuam no Ensino Superior, por exemplo o bacharel em Matemática, que

não teve uma formação para ser professor e com frequência desconhecem os princípios

básicos da Didática da Matemática. Fundamentado nos trabalhos de Leóntiev toda

atividade de estudo está composta por ações, com suas respectivas operações, para

alcançar o objetivo de ensino. Então no processo de aprendizagem as ações devem

transformar-se de material à mental, de não generalizada à generalizada, de detalhada à

abreviada, de compartilhada à independente e de consciente à automatizada. Este

processo de transformação se conhece como a teoria de formação por etapas das ações

mentais de Galperin, que é resultado da evolução da teoria histórico cultural de

Vygotsky e da teoria da atividade de Leóntiev. O objetivo deste capítulo é propor um

sistema de ações para desenvolver a Didática da Matemática fundamentada na teoria de

Galperin, centrada na resolução de problemas e guiada pela teoria geral de direção do

processo de estudo, com o fim de melhorar a preparação dos professores de Matemática

na elaboração das disciplinas específicas ao que se denominou A Atividade de Situações

Problema da Didática. Fundamenta-se a proposta em desenvolver três momentos:

identificar o problema, planejar e construir a atividade de situações problema em

Matemática.

1.- INTRODUÇÃO.

O trabalho do professor é caracterizado por constantes desafios didáticos no ato de

ensinar, seja para atender diferenças individuais ou coletivas associadas à aprendizagem

1 Livro em fase de publicação em: NÚÑEZ, Isauro Beltrán; RAMALHO, Betânia Leite. Ya. Galperin e e

Teoria da Assimilação mental por etapas: pesquisas e experiências para um ensino inovador.

Editora Mercado de Letras

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de novos conhecimentos ou aprimoramento de habilidades e hábitos na formação

intelectual e moral de seus estudantes.

A necessidade de formar um cidadão, seja profissional ou não, para viver num

mundo cada vez mais complexo exige dos professores buscar estratégias didáticas cada

vez mais eficientes; mas com frequência essa busca se faz de maneira empírica sem

considerar como o estudante aprende e quais as exigências da teoria geral da direção. O

professor assim não está devidamente preparado para organizar o processo de ensino

aprendizagem, o que leva a construir mais fracassos que sucessos e, por conseguinte

muitas vezes chega até a frustração profissional.

Outra maneira de enfrentar esses desafios é tratar de resolvê-los como se resolve

um problema, utilizando a resolução de situações problema como uma metodologia de

ensino, isto é, o problema é meio e fim do trabalho docente para alcançar qualidade na

aprendizagem de seus estudantes, o que significa que aqueles adquiram conhecimentos

mais duradouros e com maiores possibilidades de transferi-los para novas situações.

No caso da disciplina didática da matemática os conteúdos abrangem aspectos

pedagógicos e matemáticos que devem ser mobilizados de maneira interdisciplinar para

resolver as situações que se apresentam no processo ensino aprendizagem.

Em alguns cursos de licenciatura em Matemática a disciplina Didática é

ministrada ainda por profissionais não matemáticos, freqüentemente por pedagogos que

apresentam os aspectos mais gerais sem ter em conta as necessidades dos conteúdos

matemáticos que o futuro professor deve saber ensinar. É preciso acabar com essa

anomalia e aceitar a responsabilidade de assumir as didáticas específicas pelos próprios

matemáticos. Com frequência nos cursos de graduação as disciplinas de conteúdos

matemáticos são ministradas por profissionais que não tem formação pedagógica, pelo

seria necessário incluir em sua formação continuada aspetos essenciais de didática da

Matemática.

Deve-se prover condições para que os estudantes da disciplina didática assimilem

os conhecimentos, o que significa estimular a transformação de suas ações mentais

através de um processo de direção que oriente de maneira completa respeitando cada

etapa.

Os autores deste capítulo organizaram uma atividade de estudo com base na teoria

da formação por etapas das ações mentais de Galperin para resolver problemas

matemáticos que aplicaram com sucesso para o caso particular de sistemas de equações

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lineares com quatro ações invariantes e suas respectivas operações. (MENDOZA,

2009).

A partir dessa experiência se analisou a possibilidade de organizar e executar a

tarefa docente como uma atividade para resolver problemas didáticos, que pode ser

utilizada para ministrar a disciplina Didática da Matemática nos cursos de licenciatura e

na preparação das disciplinas específicas de Matemática.

O objetivo deste capítulo é propor um sistema de ações para desenvolver a

Didática da Matemática fundamentada na teoria de Galperin, centrada na resolução de

problemas e guiada pela teoria geral de direção do processo de estudo, com o fim de

melhorar a preparação dos professores de Matemática na elaboração das disciplinas

específicas que se denominou A Atividade de Situações Problema da Didática.

Também se discutirá o conceito de Didática da Matemática para logo propor uma

atividade, com suas respetivas ações e operações, com base na resolução de problemas

didáticos e a teoria de formação por etapas das ações mentais, com um exemplo de uma

situação problema em limite na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.

2.- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE DE

SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA EM MATEMÁTICA.

D’Amore (2007) coloca duas maneiras de compreender a didática: primeiro

como divulgador de ideias, fixando a atenção na fase do ensino, ou seja, o professor é

um especialista em didática onde o centro de sua atenção é o conteúdo. A segunda

interpretação é como pesquisa empírica, concentrando sua atenção na aprendizagem,

mas do ponto de vista dos fundamentos não aceitando um modelo único de teoria de

aprendizagem.

Para os autores deste trabalho é necessário avançar num processo complexo de

integração dos aspectos didáticos relacionados como os conteúdos matemáticos e os

associados à aprendizagem dos estudantes, portanto, não deve-se reduzir apenas a uma

compreensão.

Talízina (1984, 1988, 1992) coloca que o processo ensino aprendizagem deve

estar fundamentado sob base da Psicologia da Educação e uma metodologia que permita

ao professor organizar e dirigir o processo de estudo, respondendo as particularidades

de dito processo com o apoio dos meios técnicos.

2.1.- FORMAÇÃO DAS AÇÕES MENTAIS NA DIDÁTICA.

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Na teoria histórica cultural de Vygotsky, o processo de assimilação do homem

está dado pela experiência social. Vygotsky, Leóntiev e Galperin entre outros

reconhecem a natureza social da atividade interna (psíquica) do homem e sua unidade

com a atividade externa, prática ou material (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994;

VYGOTSKY, 2001, 2003a, 2003b).

Na teoria da atividade de Leóntiev (2004) o estudante se relaciona com o mundo

através da atividade que está formada por ações com suas respectivas operações para

alcançar um objetivo. As ações constituem a unidade principal, o objetivo e a motivação

devem estar próximos para constituir uma atividade de estudo. Leóntiev reconhece nos

trabalhos de Vygotsky que a atividade interna ou mental é reflexo da atividade externa

ou material, mas não indica como é esta transformação.

Posteriormente Galperin indica o caminho para a transformação, não resolvida por

Leóntiev, ao colocar que a atividade antes de ser mental deve passar por cinco etapas

qualitativas, que são: primeira etapa, formação da base orientadora da ação; segunda

etapa, formação da ação em forma material ou materializada; terceira etapa, formação

da ação verbal externa; quarta etapa, formação da linguagem interna para si e a quinta

etapa, formação da linguagem interna. Isto se conhece como a teoria de formação por

etapas das ações mentais de Galperin (GALPERIN; TALÍZINA, 1967, TALÍZINA,

1984, 1988). Os autores deste trabalho sugerem a utilização do ensino centrado na

resolução de problema como elemento motivador para os estudantes.

O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor

seguindo os princípios da teoria geral de direção, constituída por: o objetivo de ensino

(D1), o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes (D2), o processo de

assimilação (D3), a retroalimentação (D4) e a correção (D5). Este processo deve ser

cíclico e transparente visando, como elemento principal, o processo de transformação da

atividade externa à atividade interna (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994).

Se representará a direção da atividade a partir da figura 1, onde E1, E2 até E5

significa as cinco etapas de formação das ações mentais.

D1 D2

D3

D5

D4 Atividade

D3

D5

D4 Atividade

E1 E5

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Figura 1: Direção da Atividade de Estudo

Segundo Pais (2001) a didática da Matemática é uma tendência da educação

matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam

compatíveis com a especificidade do saber matemático, tanto no nível teórico como na

prática pedagógica experimental. Por isso a didática da Matemática que se propõe tem

abordagem cognitiva, considerando-se o estudante como ser ativo, respondendo as

particularidades do contéudo que se ensina, articulando objetivos, técnicas, métodos,

recursos didáticos e avaliação.

O processo de ensino aprendizagem é realizado através da atuação conjunta de

professores e estudantes, organizado sob a direção do professor, com a finalidade de

prover as condições e meios pelos quais os estudantes assimilam ativamente

conhecimentos, habilidades, atitudes e convicções (LIBÂNEO, 1994).

Dentro da perspectiva da teoria adotada, segundo Talízina (1988), para a

construção do sistema de ações nas soluções de problemas didáticos devem realizar-se

os seguintes atos: definir o objetivo de ensino da atividade de estudo, determinar o nível

de partida na atividade cognoscitiva, formar a base orientadora da ação, selecionar as

tarefas do processo de assimilação e os instrumentos de controle, executar a

retroalimentação e correção. A seguir será detalhado cada ato.

Sendo o objetivo de ensino o aspecto hierárquico, deve definir-se a atividade em

função do mesmo que responda a dito objetivo, ou seja, selecionar um sistema

invariante de ações, com suas respectivas operações. Podendo consistir na formação de

uma nova atividade ou elevação da qualidade da atividade existente segundo algumas

características.

Um elemento muito importante no processo de ensino aprendizagem é o nível de

partida dos estudantes em relação à atividade cognitiva que se deseja formar e está

constituído pelo sistema de conceitos, os métodos e a etapa mental da atividade. É

impossível planejar e dirigir o processo com sucesso sem ter em conta este elemento.

Segundo a função do método da atividade, ela deve permitir analisar

independentemente todos os elementos da atividade de estudo ou restabelecer um

conjunto de fenômenos particulares com relação a um aspecto dado.

Quando o objetivo de ensino é formar uma nova atividade devem-se planejar

todas as etapas de formação das ações mentais, o que não é necessário quando o

objetivo é elevar o nível de uma atividade existente.

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Para determinar a etapa que se encontra os estudantes tem que recorrer às

características primárias e secundárias das ações. As primárias são: a forma, o caráter

generalizado, explanado e assimilado e as secundárias são: o caráter razoável,

consciente, abstrato e a solidez (TALÍZINA, 1998)

A base orientadora da ação deve assegurar a execução correta da ação, assim

como a seleção racional pelo menos de um método de solução. Para ser eficaz ela

necessita ser completa, geral e obtida de forma independente pelos estudantes.

Com freqüência os professores ao orientar as ações direcionam a solução de casos

particulares e os estudantes obtêm as ações preparadas pelo professor, sendo pouco

efetivo na transferência dos conhecimentos para novas situações. Isto pode ser agravada

em ocasiões quando as orientações não são completas (TINTORER; MENDOZA;

CASTAÑEDA, 2009; MENDOZA; TINTORER, 2010).

Depois de formada a base orientadora da ação deve-se apresentar para os

estudantes o conjunto de tarefas do processo de assimilação que está constituído pelo

objetivo de ensino, a atividade, o conteúdo da base orientadora e a ordem de seu

cumprimento. Tudo isso permite iniciar de forma plena o processo de ensino

aprendizagem.

Os instrumentos de controle devem permitir avaliar o nível alcançado na atividade

formada correspondente ao objetivo de ensino, segundo o conteúdo e as etapas de

formação das ações mentais dos estudantes.

A partir dos instrumentos de controle são coletadas as informações do retorno

sistemático (retroalimentação) através de indicadores como: se o estudante realiza a

ação programada, e a realiza corretamente, se a forma da ação corresponde à etapa

planejada.

A correção do processo deve ser realizada, considerando a retroalimentação e pela

lógica interna do processo de assimilação. Não deve ser realizada considerando somente

o descumprimento dos elementos da ação, senão as causas que a suscitaram como:

deficiência no nível de partida na atividade cognitiva, ou na etapa anterior do processo

de assimilação ou causas eventuais. Também, se necessário, dar atendimento de reforço

ou passar o estudante para uma etapa posterior antes do previsto, assim como avaliar o

próprio programa de ensino.

2.2.- O QUE É A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA

EM MATEMÁTICA?

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O processo ensino aprendizagem deve estar centrado na resolução de problemas

através da Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, que está formada

pelo sistema de quatro ações invariantes: compreender o problema, construir o modelo

matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução (MENDOZA,

2009; MENDOZA et al., 2009; MENDOZA; TINTORER; CASTAÑEDA, 2009;

MENDOZA; TINTORER, 2010).

As situações problema da Didática da Matemática está orientada para a solução

de problemas do processo ensino aprendizagem na zona desenvolvimento atual e

proximal, onde existe uma interação entre o estudante e a situação problema, orientada

pelo professor considerando um objetivo de ensino vinculando a conteúdos de

Matemática, num contexto de aprendizagem, utilizando métodos, recursos didáticos e

técnicas para colocar em prática as estratégias metodológicas.

A ASP da Didática Matemática está fundamentada pela teoria de formação das

ações mentais de Galperin, pela direção do processo ensino aprendizagem e pela ASP

em Matemática. O objeto de estudo está constituído por um sistema invariante de ações,

com suas respectivas operações, com o objetivo de contribuir na formação da teoria

científica prática do professor de Matemática para resolver problemas de ensino

aprendizagem no planejamento e exposição de aulas (TINTORER; MENDOZA, 2010).

A estratégia para a solução de problemas didáticos é divido em três momentos:

identificar o problema da ASP da Didática da Matemática, planejar e construir a ASP

em Matemática que a seguir será descrito com suas ações e operações correspondentes.

Momento nº1: Identificar o problema ASP da Didática da Matemática.

1ª-Ação: Compreender a situação problema.

• Identificar o problema e extrair todos os elementos desconhecidos;

• Estudar e compreender os elementos desconhecidos;

• Determinar os dados e suas condições, tais como as principais propostas do

projeto pedagógico no contexto em que se desenvolve o processo de ensino

aprendizagem da Matemática e as características dos estudantes, professores e

recursos didáticos referidas à atividade;

• Identificar o(s) objetivo(s) do problema.

2ª-Ação: Identificar a atividade cognoscitiva.

• Determinar o(s) objetivo(s) de ensino do conteúdo matemático;

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• Identificar a existência de um sistema invariante de ações com suas operações

para alcançar o objetivo anterior (atividade);

• Identificar a existência de métodos para executar a atividade;

• Identificar se deseja formar uma nova atividade ou elevar a existente por

meio de determinadas características.

3ª-Ação: Determinar o nível de partida da atividade cognitiva dos estudantes.

• Determinar o nível dos conhecimentos matemáticos referido ao objetivo de

ensino;

• Determinar o nível dos estudantes em relação ao sistema de ações da

atividade que se deseja formar;

• Verificar o nível dos estudantes relacionada à métodos para executar a

atividade;

• Determinar a etapa mental dos estudantes;

• Verificar a atitude e motivação dos estudantes diante da atividade;

No primeiro momento se deve identificar a situação problema que vai ser

enfrentada pelo professor. A primeira ação compreender a situação problema sem

dúvida é primária, pois ela permite iniciar a atividade na direção certa. Com frequência

a situação didática é apenas reconhecida como determinada pelo estudante e/ou a

carência de recursos didáticos na escola, o que leva a que o professor não se sinta

responsável pela solução e, por conseguinte espere que a direção da escola ou as

famílias dos estudantes tratem de resolver o problema. É tarefa do professor como

profissional da educação compreender em sua plenitude a situação e as condições em

que este se apresenta, incluindo os elementos desconhecidos. O que não significa que

deva atuar sozinho.

Quando o problema já foi compreendido e está ainda em via de solução podem

aparecer novos elementos que modifiquem parcial ou totalmente o problema.

Os projetos pedagógicos devem servir sempre de referência, pois a Matemática

não é a única disciplina do currículo e ela deve contribuir de forma harmônica, junto às

outras disciplinas, para a formação do estudante. No projeto pedagógico podem

aparecer diretrizes específicas para a Matemática para ser atendidas pelo professor, mas

também esta primeira ação pode contribuir para o aperfeiçoamento do Projeto quando

algumas diretrizes ou metas não são coerentes com as condições reais do processo de

ensino, como podem ser as características dos estudantes, dos professores ou a

existência de recursos didáticos.

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Sem dúvida o objetivo do problema didático estará sempre relacionado com

aprendizagem, o que levará ao professor a executar a ação dois.

Na segunda ação identificar a atividade cognitiva, o domínio pelo professor dos

conteúdos matemáticos, de como organizar o sistema de ações e como utilizar os

métodos mais adequados são essenciais para tratar de atingir os objetivos de ensino.

Deve-se reconhecer que em muitas ocasiões esta ação necessitará de entender

profundamente experiências já realizadas ou realizar pesquisas próprias, sobre tudo

quando se deseja desenvolver uma nova atividade. No caso que se deseje elevar o nível

de alguma característica de uma atividade que já vem sendo trabalhada, então o foco

será apenas essa característica.

Por exemplo, quando se está trabalhando com a resolução de problemas utilizando

as quatro operações básicas da matemática como uma atividade, no quinto ano do

Ensino Fundamental, é possível que não tenha sido devidamente atendida didaticamente

a interpretação dos resultados dos problemas então, essa será a ação que deve ser

melhorada na identificação da atividade cognitiva. Observe que neste exemplo o sistema

de ações invariantes e suas operações já estão identificados, assim como o método que é

a resolução de problemas matemáticos.

Na terceira ação determinar o nível de partida da atividade cognitiva dos

estudantes se precisa saber se os estudantes, que devem participar do processo de

ensino, tem os requisitos intelectuais mínimos necessários para alcançar os objetivos de

ensino.

Aqui não basta identificar os conhecimentos matemáticos prévios relacionados

com os novos conteúdos a serem trabalhados, se precisa também determinar as

capacidades para executar as ações e os métodos. A não consideração desses outros

elementos pode explicar a situação frequente de que os estudantes dominando os

conteúdos matemáticos não consegue aplicá-los a problemas porque, por exemplo, não

sabem interpretar a situação problema, sendo esta uma ação invariante dessa atividade.

Considerando que para assimilar o conhecimento se deve passar pelas etapas

proposta por Galperin, então é necessário determinar em que etapa mental se encontra o

estudante para iniciar a atividade ou continuá-la.

Para realizar as operações desta ação podem-se utilizar diversos instrumentos de

diagnóstico que a sua vez devem ser avaliados com vista a seu aperfeiçoamento para

futuras determinações do nível de partida dos estudantes.

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Determinar a atitude e motivação dos estudantes para a atividade deve manter-se

durante todo o processo e não apenas neste primeiro momento, pois uma atividade nova

pode ser atrativa inicialmente, mas com o tempo os estudantes podem perder motivação,

e sem motivação a atividade se converte em ação apenas.

Fazendo um resumo, as ações até aqui representa o momento prévio ao

planejamento considerando principalmente os objetivos de ensino, o nível inicial dos

estudantes e as condições gerais da escola.

Este trabalho deve ser feito para um tempo longo de pelo menos um bimestre,

sendo recomendável usar metodologias que por sua generalidade possam ser usadas

durante vários períodos ou ainda durante toda a Educação Básica. Isso produz maior

eficiência no processo de ensino aprendizagem, porque o tempo consumido neste

momento pode ser recuperado em outras situações.

Momento nº2: Planejar a ASP em Matemática.

4ª-Ação: Formular o sistema invariante das ações.

• Propor a ponte necessária entre o nível de partida dos estudantes e a

atividade, que inclui conteúdos e método, que se deseja formar;

• Constituir o sistema invariante de ações com suas respectivas operações.

5ª-Ação: Formular a base orientadora da ação (1ª Etapa);

• Selecionar a estratégia do sistema de ações considerando sua generalidade

(invariante), plenitude e a forma de obtenção pelos estudantes de acordo com

o objetivo de ensino;

• Estabelecer a parte orientadora, executora e de controle do sistema de ações.

6ª-Ação: Selecionar os recursos didáticos.

• Verificar os recursos didáticos disponível no contexto de aprendizagem;

• Analisar os recursos didáticos tomando sua contribuição de todas as etapas da

transformação;

• Selecionar os recursos didáticos, visando o tipo de base orientadora da ação.

7ª-Ação Selecionar o sistema de avaliação

• Analisar o tipo de avaliação considerando a etapa mental a formar;

• Analisar os possíveis instrumentos a ser utilizado em cada tipo de avaliação.

Agora se está no momento para planejar a ASP em Matemática. Na quarta ação

formular o sistema invariante das ações é um momento de decisões para o professor

logo de analisar os resultados das ações anteriores. Deve decidir como levar aos

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estudantes da zona de desenvolvimento real à potencial. É o momento de construir a

zona de desenvolvimento proximal.

Não se descarta atendimento diferenciado para alguns estudantes que dado seu

nível de partida estão muito longe das necessidades impostas pelos objetivos de ensino e

podem colocar em risco o desenvolvimento do resto dos estudantes. É bom lembrar que

um ensino que apenas trabalhe com os estudantes na zona de desenvolvimento real não

os desenvolve.

A construção do sistema de ações invariantes é uma ação complexa que dependem

dos objetivos de ensino dirigidas a aumentar a eficiências do processo de aprendizagem,

pois os estudantes estarão melhor preparados para resolver maiores números de

situações. Talízina (1988) explica várias situações de ensino pesquisadas em condições

reais que permitem entender como construir este sistema, ainda que se precisa de

professores bem preparados tecnicamente e pedagogicamente e com alguma experiência

na execução desta ação. Para os iniciantes se recomenda aproveitar experiências

relatadas na literatura que podem ser avaliadas após sua execução para seu

aperfeiçoamento. O trabalho coletivo pode ajudar a diminuir a dificuldade para executar

a ação.

Na quinta ação formular a base orientadora da ação (BOA) é necessário

considerar os objetivos de ensino e o nível de partida dos estudantes. É necessário

selecionar as estratégias concretas para orientar as ações da atividade, que deve ser

sempre plena e a mais geral possível ainda que em alguns casos possa ser preparada

pelo professor ou com maior participação dos estudantes.

Recomenda-se utilizar como critério para decidir o modo de obtenção da BOA o

caráter essencial da atividade dentro dos objetivos gerais do sistema de ensino, pois uma

BOA obtida independentemente pelos estudantes deve consumir mais tempo que uma

preparada pelo professor. Sem dúvidas outros critérios podem ser utilizados como a

preparação do professor e os recursos disponíveis na escola para a execução da ação.

Ainda é apropriado lembrar que em quaisquer das situações didáticas planejar a

obtenção da BOA de forma independente pelos estudantes pode contribuir para

desenvolver nos mesmos a capacidade de ser cidadãos críticos. Portanto utilizar uma

BOA geral, completa e construída de forma independente pelos estudantes é a mais

eficiente, ainda que possa construir-se BOA concreta para resolver situações

particulares e também preparada.

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Com a sexta ação, selecionar os recursos didáticos, se busca um auxiliar para

garantir um processo de ensino mais eficiente, sempre que selecionados coerentemente

com a teoria de aprendizagem adequada e as exigências da teoria geral da direção.

Recursos didáticos que não garantam, por exemplo, a etapa material ou

materializada não devem ser utilizados, mas esses mesmos recursos podem ser úteis nas

etapas de generalização e automatização. Por exemplo, o uso do computador na

resolução de problemas que envolvem sistema de equações lineares pode influenciar

negativamente quando o estudante se está apropriando dos procedimentos matemáticos

para a solução do sistema aplicando matrizes. Quando assimilados esses procedimentos

é recomendável utilizar o computador para realizar os numerosos cálculos mecânicos na

resolução de sistema de equações lineares e aproveitar o tempo disponível para

aprimorar a ação de interpretar os resultados do problema assim como, trabalhar

problemas mais complexos, ou seja, potencializar a generalização.

Na sétima ação selecionar o sistema de avaliação é importante considerar a etapa

de formação das ações mentais em que se encontra o estudante. A avaliação deve ser

sistemática combinada com uma inicial e final, mas a mais efetiva é a sistemática que

permite realizar a correção do processo de ensino aprendizagem.

Primeiramente deve-se realizar um diagnóstico inicial relacionado com objetivo

de ensino para conhecer o nível de partida dos estudantes, com estas informações se

elabora a BOA. Na etapa material e verbal o controle das ações deve ser detalhadas

através da interação estudante - professor na sala aula, provas de lápis e papel ou de

forma que seja adequada. Na etapa verbal externa para si o controle deve ser esporádico

ao pedido do estudante. Deve-se realizar uma avaliação final para verificar o

cumprimento do objetivo de ensino

O sistema de avaliação deve servir como forma de controle de todo o processo de

ensino e de aprendizagem para poder realizar os ajustes necessários durante todo o

processo e não apenas ao final. A variável fundamental é a etapa mental do estudante.

Assim na BOA (etapa inicial) a avaliação deve ser dirigida para a compreensão das

orientações. Se a BOA, quando executada não satisfaz as exigências propostas deve ser

corrigida até que seja assimilada pelos estudantes; pois para garantir a aprendizagem o

estudante deve passar por todas as etapas. Sendo que as etapas de generalização e

automatização ficam limitadas pelos objetivos de ensino.

Talízina (1988) considerando um conjunto de pesquisas realizadas chega as

seguintes conclusões sobre a forma de organizar a avaliação: nas primeiras etapas do

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processo de assimilação o controle deve realizar-se por operações e de forma

sistemática. Nas duas últimas etapas deve ser esporádico e a pedido do estudante. O

controle mútuo entre estudantes contribui para incentivar a motivação positiva entre

eles.

Em resumo, neste momento se planeja a atividade, preferencialmente com ações

invariantes, incluindo os recursos didáticos e o sistema de avaliação.

Momento nº3: Construir a ASP em Matemática.

8ª-Ação: Preparar o plano de ensino das etapas seguintes;

• Estabelecer as ações com suas respectivas operações centradas na resolução

de problema;

• Elaborar o plano de ensino, segundo o objetivo de ensino guiado pelas etapas

de formação das ações mentais com suas características primárias e

secundárias.

9ª-Ação: Fazer os planos de aulas;

• Selecionar as tarefas seguindo a lógica do processo de aprendizagem;

• Elaborar as situações problema que devem guiar os planos de aulas.

10ª-Ação: Preparar os instrumentos do sistema de avaliação.

• Organizar os instrumentos para saber quanto e como os estudantes aprendem

através das etapas de formação das ações mentais que permitam verificar as

características primárias e secundárias do sistema invariante.

Entra-se no momento de construir a ASP em Matemática e se começa com a

oitava ação que é preparar o plano de ensino, como havia sido comentado o processo

de ensino e aprendizagem deve ser centrado na resolução de problema, ou seja, ela é

considerada como o ponto inicial para a assimilação dos conteúdos matemáticos. Para

realizar o plano de ensino deve ser considerado a lógica e características dos conteúdos

matemáticos e as etapas mentais. Sugerem-se para sua construção analisar os seguintes

elementos: conteúdos, objetivos, tipo de aulas, horas aulas e etapas mentais.

Na nona ação fazer os planos de aulas deve-se manter a coerência com os

princípios teóricos expostos enquanto a formação das etapas mentais e a direção da ASP

em Matemática. Portanto, propõe-se uma estrutura a continuação para o planejamento

da aula proposta.

Plano de Aula

Elementos de identificação: Disciplina, unidade, assunto e tempo.

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Objetivos

Definir as habilidades dos estudantes que devem alcançar em relação aos

conteúdos.

Determinar a(s) meta(s) dos procedimentos lógicos e psicológicos do processo

de assimilação dos conteúdos dos estudantes.

Método de Ensino

Selecionar a Base Orientadora da Ação.

Eleger o tipo de aula. (Aula Expositiva, Aula Mista, Aula Prática, Seminário,

Prática de Laboratórios, entre outras)

Escolher a(s) estratégia(s) de ensino. (Resolução de Problema, Modelação

Matemática, Jogos, História da Matemática, entre outras)

Definir a estratégia de direção do processo de ensino aprendizagem

Introdução

Motivar os estudantes a partir dos objetivos de ensino.

Avaliar nos estudantes os elementos prévios dos conteúdos e a etapa mental em

relação com objetivos de ensino.

Explicar os objetivos de ensino.

Desenvolvimento

Explicar a atividade de estudo com suas ações e operações através da Base

Orientadora da Ação selecionada.

Manter a lógica durante as explicações, isso servirá de modelo para o estudante.

Introduzir as ideias e conceitos mais simples para logo aos mais complexos.

Utilizar os recursos didáticos que possam fazer a aula mais atraente e eficiente.

Avaliar em vários momentos o cumprimento dos objetivos de ensino e se é

preciso realizar as correções pertinentes. Verificar através de perguntas se os

estudantes estão aprendendo.

Analisar o planejamento dos principais recursos e metodologia usada, incluindo

o tempo que está sendo dedicado aos objetivos essenciais da aula.

Conclusões

Avaliar o cumprimento dos objetivos de ensino.

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Corrigir os erros mais significativos dos estudantes.

Sintetizar as ideias centrais, reforçando os objetivos propostos.

Orientar o trabalho extraclasse que possa ser avaliado em aulas posteriores.

Motivar o conteúdo da próxima aula.

Indicar a Referência Bibliográfica

Na última e décima ação preparar os instrumentos do sistema de avaliação como

na ação anterior, tem-se que considerar a etapa de formação das ações mentais e os

conteúdos matemáticos.

As provas de lápis e papel podem ser utilizadas em todas as etapas, devem ser

questões subjetivas onde tenham com frequência a pergunta “Justifique sua resposta”,

ou seja, é importante a argumentação das respostas. Outra prova muito interessante são

as provas orais, sugere-se preferencialmente na etapa verbal externa.

A observação direta na sala de aula será um instrumento muito valioso para

compreender o processo de aprendizagem dos estudantes, o que poderá produzir

mudanças posteriores nos instrumentos a serem definidamente utilizados.

Na formação inicial, o ciclo de formação didática não fica completo considerando

apenas a disciplina Didática, o qual precisa de outras disciplinas, como por exemplo,

estágio supervisionado, o que leva a assumir a teoria de formação por etapas das ações

mentais como parte fundamental do projeto pedagógico do curso em detrimento de

outras teorias e/ou metodologia de ensino. Considerando que em muitos casos o

professor de Matemática assume a sala de aula apenas com a formação inicial

(graduação), pode ser recomendável garantir o domínio de um método didático,

fundamentado teoricamente, a partir de um trabalho integrado e priorizado por várias

disciplinas do curso. Na formação continuada a referida metodologia seria um

complemento de muitas outras que o profissional vá assimilando durante sua formação.

2.3.- UM EXEMPLO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA

DIDÁTICA EM MATEMÁTICA.

A continuação será colocada uma situação problema simplificada para

exemplificar o ante exposto.

Um professor com formação em licenciatura em Matemática é indicado pelo

colegiado para ministrar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral no semestre onde

estão incluído na ementa os temas de limite, derivada e integral de funções reais de uma

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variável. Ele percebe que o conceito de limite é essencial para os temas subsequentes,

portanto, em seu planejamento decide começar com a formação do conceito de limite de

funções reais de uma variável num ponto. Como deve atuar o professor?

Momento nº1: Identificar o problema da Didática da Atividade de Situações Problema

em Limite.

O professor deve analisar o contexto de aprendizagem com os seguintes

elementos: a) estudar o projeto pedagógico, analisando a ementa da disciplina de

Cálculo Diferencial e Integral, disciplinas precedentes e bibliografias; b) buscar

informações sobre os estudantes nos resultados nas disciplinas anteriores nos registros

acadêmicos e com os professores que ministraram aulas nas disciplinas precedentes; c)

Identificar os recursos didáticos como os livros de textos disponíveis na biblioteca,

laboratório de informática com um sistema de computação algébrica, entre outros e d)

analisar qualquer elemento que esteja relacionado com o contexto de aprendizagem.

Se deseja que os estudantes assimilem o conceito de limite de funções reais de

uma variável, o conteúdo matemático a ser assimilado pelos estudantes é novo. Será

utilizada a resolução de problema como metodologia de ensino, por tanto, deve-se

analisar quais atividades prévias devem dominar os estudantes. Assim, a atividade nova

a formar se denominará Atividade de Situações Problema (ASP) em Limite.

Dita atividade tem como objetivo a formação de habilidade nos estudantes na

resolução de problemas (objeto de estudo ou de assimilação) que tenha como modelo

matemático o cálculo de limites. Portanto, está implícito que é necessário a formação do

conceito e habilidade no cálculo de limites.

Entre os conhecimentos prévios principais são: conceito de função real de uma

variável e suas aplicações, estratégias ou métodos para a resolução de problemas

matemáticos e ações lógicas para a inclusão de conceito. Ao sistema de ações

mencionado se chamará Atividade de Situações Problema (ASP) em Funções.

Devem-se aplicar avaliações diagnósticas através de provas de lápis e papel e a

observação direta na sala de aula visando os domínios das habilidades (incluída as

lógicas) na formação do conceito de função. Necessita-se verificar as habilidades na

resolução de problema onde se inclua o tema de função, também se devem buscar

informações sobre as ações da ASP em Funções como: compreender o problema,

construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução.

17

Na elaboração das avaliações diagnósticas há que incluir elementos que permitam

determinar a etapa mental que estão às ações relacionadas às habilidades das ASP em

Função, uma sugestão é incluir nas perguntas “justifique sua resposta”. Na aplicação das

provas de lápis e papel e nas primeiras aulas se deve verificar a atitude e motivação dos

estudantes.

Momento nº2: Planejar a Atividade de Situações Problema em Limite.

A partir da avaliação diagnóstica na Atividade de Resolução Problema em Função

se deve planejar a ASP em Limite (ver Tabela 01). Se não existem os conhecimentos

prévios se devem organizar atividades para criar o enlace, estas atividades podem estar

incluídas em diferentes momentos da ASP em Limite. Dita atividade está formada pelo

sistema de ações: compreender o problema, construir o modelo matemático (o limite),

solucionar o modelo matemático (solucionar o limite) e interpretar a solução.

O inicio do processo de ensino aprendizagem deve ser as situações problema, mas

quando os estudantes não possuem estratégias para a resolução de problemas pode ser

colocado problemas do tipo heurísticos. A seleção dos problemas deve estar

condicionada a solução do modelo matemático que está relacionada com as

propriedades essenciais do conceito de limite e seu calculo.

A propriedade essencial do conceito é que uma função f(x) estará tão próximo de

um valor L (limite), quanto desejamos, tomando-se a x suficientemente próximo de um

ponto a mas não igual a a. A partir desta ideia inicial (forma material) deve realizar-se

um trabalho por etapas de formação de ações para a construção do conceito na

linguagem (forma verbal e interna). Por tanto, o professor deve planejar o sistema

invariante de ações considerando os conhecimentos prévios.

Para obter uma assimilação e retenção maior se sugere utilizar a base orientadora

da ação do tipo geral formada pelo sistema de ações da ASP em Limite, todas as

orientações (completa) para que o estudante construa junto com o professor

(independente). O professor deve utilizar uma direção da ASP em Limite do tipo cíclica,

para estabelecer a relação da orientação, execução e controle do sistema de ações para

garantir o objetivo de ensino.

Tabela 01: Plano de Ensino da ASP em Limite

nº Conteúdo Objetivos TA H/A Etapa mental

1

Comportamento

de função quando

a variável inde-

pendente se apro-

Compreender a ideia que

uma função estará tão

próximo de um valor L

(limite) quanto dese-

AE 2

Orientação do sistema de ações da

ASP em limite a partir de

problemas padrões de tangente e

velocidades (etapa de formação da

18

Para obter uma efetividade na aprendizagem da ASP em Limite se faz

imprescindível a utilização de um programa de computação algébrica, porque através

deles se pode fazer longos cálculos que às vezes é quase impossível o estudante fazer e

assim poder dedicar mais tempo ao raciocínio lógico na resolução de problema. Hoje se

podem encontrar sistemas de computação algébrica livres com boa qualidade.

Momento nº3: Construir a Atividade de Situações Problema em Limite.

Deve-se elaborar o plano de ensino seguindo a formação por etapas do sistema de

ações da ASP em limite e características dos conteúdos matemáticos, ou seja, pode-se

fazer um planejamento considerando os elementos: conteúdos, objetivos, tipo de aula

(TA), quantidade de hora (H/A) e caraterização da etapa mental.

Será exposto algumas ideias como construir o conceito de limite utilizando a

resolução como metodologia de ensino a partir da ASP em Limite. Foi selecionado três

problemas padrões para a orientação do sistema de ações da ASP em Limite. A solução

dos problemas está orientada para compreender a ideia quanto uma função f(x) estará

xima a um ponto.

Problema da

tangente e da

velocidade

jamos, tomando-se a

variável independente

suficientemente próximo

de um ponto a, mas não

igual a a

BOA)

A ação solucionar o modelo está

vinculado com o objetivo do

problema

2

Resolver problemas que

tenham como solução o

comportamento da fun-

ção quando variável se

aproxima a um ponto.

AP 8

O estudante deve realizar (etapa

material) detalhadamente o sistema

de ações tomando como bases os

problemas padrão.

O professor deve controlar os sis-

tema de ações e corrigir se é neces-

sário

As ações são consciente, comparti-

lhadas, detalhada e não generaliza-

das.

3

Definição de

limites na lingua-

gem de Ɛ - δ

Saber aplicar a definição

de limites na linguagem

de Ɛ – δ na resolução de

problema

AM 2 O estudante deve explicar (etapa

verbal) o sistema de ações sem

ajuda de objetos externos.

As ações são consciente,

compartilhadas, detalhadas e

operações são automatizadas.

4 S 2

5

Saber aplicar a definição

de limites na linguagem

de Ɛ – δ na resolução de

problema em novos

contextos

(transferências)

AP 6

O estudante deve saber aplicar o

sistema de ASP em limite ante

novas situações (etapa verbal

externa para si)

As ações são, independente,

comprimidas, automatizadas e

generalizadas.

Legenda: AE: Aula Expositiva, AP: Aula Prática, AM: Aula Mista, S: Seminário.

Fonte: Elaborado pelos autores

19

tão próxima de um valor L (limite), quanto desejarmos, tomando-se a x suficientemente

próximo de um ponto a, mas não igual à a. Se faz imprescindível a utilização de um

programa do tipo sistema de computação algébrica como o Maxima. Este programa é

livre permite realizar cálculos simbólicos (limite, derivada, entre muitos outros),

numéricos e gráficos em dois e três dimensões e permite programar.

Algumas simbologias utilizada pelo programa máxima é (%i1) significa entrada

nº1 e (%o1) a saída relacionada a sua entrada respetivamente. Continuação se estará

fazendo comentário em letra itálica para explicar algumas instruções didáticas e do

programa.

Problema padrão # 1

A que valor 2)( xxf se aproximará, quando x estará próximo de 2 quanto quiser, mas

não é 2?

(%i1) f(x):=x^2;

Pode-se obeservar que f(x) é uma função definida para todos os reais.

A continuação será realizado o gráfico da função f(x), utilizando “wxplotd2”, que

permite no “Maxima” realizar gráficos de duas dimensões.

(%i2) wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$

O comando “makelist(f(x),x,xi,xf,p)” permite criar uma lista de dados, f(x) é função

onde será avaliado para construir a tabela de dados; x indica a variável independente

de f(x),xi valor inicial; xf valor final e p o passo. Vejamos o exemplo a continuação.

(%i3) makelist(f(x), x, 3, 2.1,-0.1);

20

A tabela de dados é:

x 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1

f(x) 9.00 8.41 7.84 7.29 6.76 6.25 5.76 5.29 4.84 4.41

Que significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4,4

(%i4) makelist(f(x), x, 1, 1.9,0.1);

Significa que quando x se aproxima a 2 pela esquerda então f(x) se aproxima de 3,61

Refinando a aproximação pela direita a partir de 2.01 encontramos que:

(%i5) makelist(f(x), x, 2.01, 2.001,-0.001);

Significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4

Refinando a aproximação pela esquerda a partir de 1.99 encontramos que:

(%i6) makelist(f(x), x, 1.99, 1.999,0.001);

Significa que quando x se aproxima a 2 pela esquerda então f(x) se aproxima de 4

Pode-se concluir f(x) se aproxima de 4, quando x se aproxima de 2 pela esquerda

e direita, mas não igual a 2.

Utilizando o sistema de computação gráfica “Maxima” pode-se dar solução aos

problemas da tangente (padrão 2) e da velocidade (padrão 3)

Problema Padrão # 2: Encontre uma equação da reta tangente à parábola 2)( xxf no

ponto x=2.

21

Problema Padrão # 3: Seja uma partícula que executa um movimento retilíneo

uniformemente acelerado, com aceleração 2/2 sm , partindo de posição e velocidade

inicial nula. Determine a velocidade para 2 segundos após iniciado o movimento.

Nos três problemas analisados tem em comum que a solução do modelo

matemático é o mesmo, ou seja, a que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima a a,

mas não igual a a.

As próximas oitos horas aulas (etapa material) tem por objetivo saber solucionar

problemas que tenham como solução do modelo o comportamento de função f(x)

quando se aproxima a um ponto. O professor deve colocar outros problemas e

estudantes tomam como referências os problemas padrões, a complexidade deve ir

aumentando.

Neste momento se dá uma definição provisória de limite ainda com apoio dos

problemas resolvidos que é:

“Escrevemos Lxfax

)(lim e dizemos ‘o limite de f(x), quando x tende a, é igual

L’, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximo de L (tão próximo de

L quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos lados), mas

não igual a a”

Deve-se colocar na etapa verbal problemas que entre em conflito com os

anteriores, demostrando que a definição dada até agora não é geral. A continuação se

colocará um exemplo2.

“Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular

com área de 1000 cm2. Se ao torneiro é permitido uma tolerância de ±5 cm2 de área do

disco, então qual será a tolerância do raio?”

Assim podem-se colocar outros problemas que tenham como elemento principal o

analisado anteriormente. O sistema de computação algébrica “Maxima” pode ser

utilizado nesta etapa. Portanto, agora se pode enunciar a definição na linguagem Ɛ-δ

Definição: Seja f(x) uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém

o número a, exceto possivelmente no próprio a, então dizemos que o limite de f(x)

quando x tende a a é L, e escrevemos:

LxfentãoaxquetalLxfax

)(00,0)(lim que

representa em forma simbólica o conceito para funções de uma variável.

2 Exemplo extraído e modificado de Stewart (2010, p. 105).

22

Agora o estudante deve transferir e aplicar a definição de limite em novos

contextos não trabalhado. Entre as novas situações problema pode ser a construção do

conceito de limite infinito e no infinito.

3.- CONCLUSÕES

A Atividade de Situações Problema da Didática da Matemática institui uma

metodologia baseada na teoria de formação por etapas das ações mentais para preparar

os estudantes de Licenciatura em Matemática no planejamento das disciplinas

específicas e também a professores que ministram aulas de matemática nas instituições

de ensino superior.

Esta metodologia exige do professor organizar todo o processo a partir de

situações problemas, o mais próximo da realidade escolar, onde é possível analisar

casos de diversas complexidades em função do objetivo de ensino.

A disciplina está fundamentada na atividade de situações problemas em

Matemática e organizada pelas etapas identificar o problema, planejar e construir a

Atividade de Situações Problema.

A proposta permite desenvolver e acompanhar o processo de assimilação da

atividade em cada uma de suas etapas.

A realização de atividades didáticas que asseguram uma aprendizagem com

qualidade é um processo complexo, portanto seu planejamento não pode ser

simplificado. Mas é importante considerar que a atividade didática, com base nesta

proposta, pode ser construída como uma sucessão de aproximações que permitem cada

vez mais melhorar a formação dos estudantes.

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Oscar Tintorer Delgado

Físico pela Universidad de la Habana, doutor em Ciência e Técnica pela Universidad

24

Central de las Villa, ambas em Cuba. Coordenador da licenciatura em física e professor

permanente do mestrado profissionalizante em Ensino de Ciência na Universidade

Estadual de Roraima.

Héctor José García Mendoza

Matemático pela Universidad Central de las Villas, mestre em Informática Educativa

pela Universidad de Matanzas ambas em Cuba, Doutor em Psicopedagogía pela

Universidad de Jaén, Espanha. Professor de Educação Matemática na Universidade

Federal de Roraima e do mestrado profissionalizante em Ensino de Ciência na

Universidade Estadual de Roraima.