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CENTRO UNIVERSITÁRIO CESMAC
VICTOR MATHEUS OLIVEIRA SARMENTO FARIAS
A INFLUÊNCIA DA MESA NO COMPORTAMENTO
ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS UNIDIRECIONAIS
MACEIÓ-ALAGOAS
2018/2
VICTOR MATHEUS OLIVEIRA SARMENTO FARIAS
A INFLUÊNCIA DA MESA NO COMPORTAMENTO
ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS UNIDIRECIONAIS
Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito final para conclusão do curso de Engenharia Civil no Centro Universitário CESMAC, sob orientação do professor Msc. Daniel Almeida Tenório
MACEIÓ-ALAGOAS
2018/2
REDE DE BIBLIOTECAS CESMAC
SETOR DE TRATAMENTO TÉCNICO
Farias, Victor Matheus Oliveira Sarmento
A influência da mesa no comportamento estrutural de lajes
nervuradas unidirecionais / Victor Matheus Oliveira Sarmento Farias .- 2018.
58 p.: il.
TCC (Graduação em Engenharia Civil) – Centro Universitário CESMAC, Maceió – AL, 2018.
Orientador: Daniel Almeida Tenório 1. Métodos dos elementos finitos. 2. Laje nervurado unidirecional. 3. SAP 2000. 5. Software.
I. Tenório, Daniel Almeida. II. Título.
CDU:624.012.45
Evandro Santos Cavalcante Bibliotecário CRB/4 1700
F224i
AGRADECIMENTOS
A Deus por me presentear o privilégio da vida.
Em segundo lugar, um eterno agradecimento aos meus queridos pais, Suely
de Oliveira Sarmento e Gesaias Sarmento Farias, seres humanos maravilhosos que
sempre prezaram pelo desenvolvimento e bem-estar dos filhos, estando presentes
nas alegrias e nas tristezas. A vocês dedico tudo em minha vida.
Um agradecimento especial a minha Mãe Suely, pelo seu infindável Amor aos
filhos e a família.
O eterno agradecimento ao meu amigo, mestre e orientador, Professor Daniel
Almeida Tenório, pelos ensinamentos técnicos e pessoais e também pela paciência,
esforço e dedicação despendidos a mim e ao trabalho. A você mestre, dedico este
trabalho, pois sem seu incansável apoio, este não se faria possível.
A minha namorada, Iana Dorta Moura Rabelo, pelo seu companheirismo, por
sua imensurável compreensão, apoio e incentivo em momentos delicados, muito
obrigado por sua presença, sem a qual a vida se faria mais opaca.
Aos professores do CESMAC, pelos ensinamentos e contribuição que tiveram
em minha formação profissional e pessoal, em especial aos professores, Rafael
Araújo Guillou e ao Ricardo Sampaio Romão Filho, pela sua contribuição ao trabalho.
Aos amigos, pela paciência e pela compreensão em momentos que estive
ausente.
A todos que passaram em minha vida, e contribuíram direta e indiretamente
para minha evolução.
RESUMO
Devido à complexidade da geometria de lajes nervuradas, torna-se mais difícil de
determinar as solicitações e deslocamentos que o sistema estrutural apresenta.
O presente trabalho fez o estudo da colaboração da mesa, em regime elástico-linear
na distribuição de momentos fletores e deslocamentos em lajes nervuradas
unidirecionais.
Para tal, foi feita uma comparação utilizando o software SAP 2000, entre as
simulações numéricas de uma laje nervurada unidirecional, utilizando o método dos
elementos finitos, onde um modelo composto apenas por elementos de barras teve a
capa considerada atuando como seção “T” para as nervuras, e o outro modelo
composto apenas por elementos de casca para discretizar tanto a mesa como as
nervuras. O foco da análise foi em determinar o comportamento da mesa, quando
submetida a um carregamento distribuído, na distribuição de momentos e
deslocamentos às nervuras da laje.
Os resultados das análises mostram que a mesa quando discretizada por elemento
de casca, apresenta um aprimoramento nos resultados.
Palavras Chave: Método dos Elementos Finitos. Laje nervurada unidirecional, SAP 2000.
ABSTRACT
Due to complex geometry of waffle slabs, it’s harder to determine the bending moments
and deflections that it’s structural system presents.
The present work, studied the floor slab behavior, in a linear elastic regime, by
distribuing bending moments and deflections of a one-way waffle slab.
For such, has done a comparison, using the SAP 2000 software, between the numeric
simulations of a one-way waffle slab, utilizing the finite element method, where one
model was composed only by frame elements, with the floor slab considered acting as
a “T” section for the ribs, and the other was modeled only by shell elements, to
discretize the floor slab and the ribs also.
The analisys focus was to determine the floor slab behaviour when submited to a
distributed load, on the distribution of bending moments and displacements to the ribs.
The results shown that when the floor slab is discretized as shell elements, it presents
better results.
Keywords: Finite Element Method. One-way Waffle Slab, SAP 2000.
Lista de Figuras Figura 1 - Laje retangular .......................................................................................... 12 Figura 2 - Comportamento de lajes como placas e chapas ...................................... 13 Figura 3 - Corte transversal de uma laje nervurada sem material de enchimento .... 15 Figura 4 - Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada de concreto armado (VC) .................................................................................................................... 16 Figura 5 - Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada de concreto protendido (VP) .......................................................................................... 16 Figura 6 - Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada treliçada (VT) ........................................................................................................................... 16 Figura 7 - a) Tipos de vigotas b) Tipos de elementos de enchimento ....................... 17 Figura 8 - Laje nervurada com material de enchimento ............................................ 20 Figura 9 - Laje nervurada sem material de enchimento ............................................ 20 Figura 10 - Laje nervurada unidirecional ................................................................... 21 Figura 11 - Laje nervurada bidirecional ..................................................................... 22 Figura 12 - Seção transversal do elemento que representa as nervuras na grelha equivalente ................................................................................................................ 28 Figura 13 - Grelha equivalente de um pavimento de laje nervurada bidirecional ...... 30 Figura 14 - Pavimento de edifício em modelo de elementos finitos .......................... 32 Figura 15 - Relação entre eixos locais e globais ....................................................... 35 Figura 16 - Esforços internos de um elemento de barra ........................................... 36 Figura 17 - Relação dos eixos locais e globais do elemento de casca ..................... 37 Figura 18 - Geometria dos elementos de casca ........................................................ 38 Figura 19 - Forças internas de um elemento de placa homogêneo .......................... 39 Figura 20 - Seção transversal de uma viga “T” ......................................................... 40 Figura 21 - Viga “T” discretizada por elemento de barra ........................................... 41 Figura 22 - Dimensões da viga de seção “T” utilizada no exemplo de barra ............. 41 Figura 23 - Dimensões dos elementos de casca da mesa e alma ............................ 42 Figura 24 - Dimensões da viga “T” com área superposta hachurada ........................ 43 Figura 25 - Viga “T” discretizada por elementos de casca ........................................ 43 Figura 26 - Estudo de convergência entre Número de Elementos e Momento para exemplo de viga “T” ................................................................................................... 44 Figura 27 - Estudo de convergência entre Número de Elementos e Flecha para exemplo de viga “T” ................................................................................................... 45 Figura 28 - Geometria da laje analisada ................................................................... 46 Figura 29 - Representação do modelo de barras ...................................................... 46 Figura 30 - Dimensões das vigas de borda ............................................................... 47 Figura 31 - Vista “extruded” do modelo formado por elementos de barra ................. 47 Figura 32 - Detalhe dos apoios das nervuras ............................................................ 48 Figura 33 - Vista “extruded” do modelo formado por elementos de casca ................ 49 Figura 34 - Estudo de convergência entre Número de Elementos e Momento para exemplo de laje nervurada unidirecional ................................................................... 50 Figura 35 - Estudo de convergência entre Número de Elementos e Flecha para exemplo de laje nervurada unidirecional ................................................................... 50
Lista de tabelas Tabela 1 - Altura mínima existente para as alturas totais padronizadas ................... 18 Tabela 2 - Resultados do modelo de viga “T” feito por elementos de casca, com a variação do número de elementos ............................................................................ 44 Tabela 3 - Resultados do modelo de laje nervurada unidirecional feito por elementos de casca, com a variação do número de elementos ................................................. 49 Tabela 4 - Informações de geometria e propriedades dos materiais dos modelos adotados ................................................................................................................... 51 Tabela 5 - Resultados das flechas ............................................................................ 53 Tabela 6 - Resultados dos momentos ...................................................................... 53
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 9 1.1 Considerações iniciais ....................................................................................... 9 1.2 Objetivos ........................................................................................................... 11 1.2.1 Objetivos gerais ............................................................................................... 11 1.2.1 Objetivos específicos ...................................................................................... 11 1.3 Descrição dos capítulos ................................................................................... 11 2 REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................... 12 2.1 Lajes .................................................................................................................. 12 2.2 Conceitos iniciais de lajes nervuradas ........................................................... 14 2.3 Lajes nervuradas com nervuras pré-fabricadas ............................................ 15 2.3.1 Prescrições da norma NBR 14859: 2014 a respeito da capa e distâncias entre nervuras .................................................................................................................... 17 2.3.2 Características, vantagens e desvantagens das lajes pré-fabricadas .............. 18 2.4 Lajes nervuradas moldadas no local (in loco) ................................................ 20 2.4.1 Prescrições da norma NBR 6118: 2014 ........................................................... 22 2.5 Considerações iniciais sobre os processos de cálculo ................................ 24 2.5.1 Teoria das placas delgadas .............................................................................. 24 2.5.2 Processo de grelha .......................................................................................... 27 2.5.3 Método dos elementos finitos ........................................................................... 31 2.5.4 Teoria das cascas ............................................................................................ 33 3 METODOLOGIA ................................................................................................... 34 3.1 Considerações iniciais ...................................................................................... 34 3.2 Ferramenta de cálculo e análise numérica ..................................................... 34 3.2.1 Descrição do software SAP2000 ...................................................................... 34 3.2.2 Elemento de barra ............................................................................................ 34 3.2.3 Elemento de casca ........................................................................................... 36 3.3 Validação do modelo proposto ........................................................................ 39 3.3.1 Validação dos exemplos de viga “T” biapoiadas .............................................. 40 3.3.1.1 Modelagem e resultados do exemplo de barra ............................................. 41 3.3.1.2 Modelagem e resultados do exemplo de casca ............................................ 42 3.3.2 Validação dos exemplos de laje nervurada unidirecional ................................. 45 3.3.2.1 Modelagem e resultados do exemplo de laje nervurada discretizada por elementos de barra ................................................................................................... 46 3.3.2.2 Modelagem e resultados do exemplo de laje nervurada discretizada por elementos de casca .................................................................................................. 48 3.4 Estudo da influência da mesa ............................................................................. 51 4 RESULTADOS ....................................................................................................... 53 4.1 Flechas ............................................................................................................... 53 4.2 Momentos fletores ............................................................................................ 53 5 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 55 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 56
9
1 INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Iniciais
O concreto é um material composto, formado por agregado miúdo (areia),
agregado graúdo (pedra, brita), cimento e água. É um material altamente resistente à
compressão, o que o torna um material extremamente interessante para ser utilizado
em elementos estruturais submetidos a compressão, porém é ineficiente quando se
trata de resistir à tração, o que restringe o uso isolado desse material para construção
de elementos submetidos a tração, como vigas, lajes e demais elementos fletidos.
Visando contornar tais limitações do concreto, o aço é adicionado em conjunto com o
concreto, distribuído na peça de forma a resistir à tração. O Concreto Armado é o
conjunto de barras de aço (armadura) envolto pelo concreto que alia as características
do aço (resistência a tração, ductibilidade) com as do concreto (resistência à
compressão, durabilidade, resistência à água), permitindo a construção de elementos
estruturais, de diversas formas e volumes, com facilidade e rapidez (BASTOS, 2014a).
Os avanços da ciência dos materiais, em paralelo com o das tecnologias
construtivas e de análises estruturais, ofereceram e continuam oferecendo recursos
para evolução da Engenharia e da Arquitetura. A aparição do cimento armado
(nomenclatura dada ao concreto armado, na época, até o ano de 1920) se deu em
meados de 1850, com o francês Joseph Louis Lambot, e desde então o
desenvolvimento do concreto armado permitiu uma enorme evolução (KAEFER,
1998).
Segundo a definição da NBR 6118:2014, elementos de concreto armado são
“aqueles cujo comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e
armadura, e nos quais não se aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da
materialização dessa aderência”.
As estruturas de concreto são formadas por diversos elementos, tais como
lajes, vigas, pilares e fundações. As vigas são elementos lineares, onde predomina a
flexão. Sua função é de vencer vãos e distribuir os carregamentos para apoios. As
lajes apresentam comportamento semelhante ao das vigas, sendo suportadas pelas
mesmas ou às vezes diretamente pelos pilares. Já os pilares são elementos de eixo
reto, onde predomina a compressão, têm função de distribuir os carregamentos que
recebem de vigas ou lajes para as estruturas de fundação, que têm a finalidade de
10
suportar a carga das edificações, transmitida pelos pilares, e distribuí-la ao solo
(BASTOS, 2014b).
Existem atualmente no mercado diversos tipos de lajes disponíveis, tais como
laje cogumelo, laje maciça, laje lisa e laje nervurada. Devido a esse fato, a escolha do
tipo de laje mais eficiente se torna um grande problema na vida do projetista, pois,
segundo Dias (2003), as lajes representam um elevado consumo de concreto numa
edificação, e em casos de laje maciça chegam a quase dois terços do volume total de
concreto da estrutura.
Spohr (2008) argumentou que devido ao crescimento dos vãos e ao fato das
alvenarias estarem sendo apoiadas diretamente sobre as lajes, o emprego de lajes
maciças se tornou antieconômico em algumas situações, levando ao surgimento de
novas tecnologias, como lajes nervuradas, protendidas e pré-moldadas, entre outras.
Segundo Tenório (2011), para lajes maciças com vão superior a 4m, existe
uma pequena faixa de concreto trabalhando a compressão (acima da linha neutra),
gerando um grande desperdício de material, visto que não se considera que o
concreto trabalhe a tração.
O sistema de laje nervurada unidirecional contém uma laje oca, com uma altura
maior que a de lajes maciças. Esse tipo de laje é viável para grandes vãos e pequenas
cargas. Devido ao fato da resistência do concreto à tração ser baixa, a utilização de
concreto em partes tracionadas é ineficaz. Portanto, em lajes nervuradas, a área entre
as nervuras é deixada em vazio ou preenchida com material leve, resultando em
redução no custo da laje (KAVEH; BEHNAM, 2012).
Considerando o fato de as lajes nervuradas estarem sendo amplamente
utilizadas em diversos tipos de empreendimento, como solução para grandes vãos e
ainda como garantia de retorno econômico – a exemplo das lajes de residências, lajes
de edifícios, lajes de garagem, dentre outros –, e devido ao fato de existirem diversos
modelos de cálculo que não consideram a mesa como sendo um elemento monolítico
em relação à laje, faz-se necessário uma melhor análise desse aspecto, visando
informações que permitam simulações numéricas rápidas e com maior aproximação
representativa com o modelo real da estrutura.
11
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo geral
O objetivo deste trabalho é fornecer uma análise da influência que a mesa terá
no comportamento estrutural de uma laje nervurada unidirecional, visando contribuir
para o aprimoramento do cálculo estrutural.
1.2.2 Objetivos específicos
● Analisar analiticamente os momentos e as flechas geradas pelo estudo;
● Apresentar resultados que possibilitem informações técnicas para mensurar a
diferença dos esforços de modelo com a mesa e sem a mesa;
● Apresentar resultados que possibilitem uma redução de custos aos
profissionais da engenharia.
1.3 Descrição dos capítulos
O capítulo 1 apresenta o conceito de concreto e concreto armado e define os
elementos estruturais do concreto armado.
O capítulo 2 apresenta conceitos de placa, laje como placa, laje como chapa,
comenta sobre as teorias de cálculo de placas e comenta processos de cálculo.
O capítulo 3 apresenta informações sobre o software e os elementos que foram
utilizados, além de descrever como foi feita a validação do modelo e, ao fim, como foi
descrita a situação à qual o modelo se submeteria.
O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos da análise da situação descrita
no capítulo anterior.
O capítulo 5 apresenta as conclusões feitas a partir da análise dos dados.
12
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Lajes
As lajes podem ser consideradas como elementos planares, pois duas de suas
dimensões (largura e comprimento) são muito superiores à sua outra dimensão
(espessura). Têm diversas funções, sendo uma delas a função arquitetônica de servir
como pavimento para a estrutura, além de isolação térmica e acústica, bem como sua
principal função, que é a estrutural. A Figura 1 mostra um exemplo de laje atuando
como pavimento.
Figura 1 – Laje retangular Fonte: Silva (2005)
Lajes são elementos estruturais que podem ser utilizados em diversos tipos de
construções, tais como edifícios do tipo residencial, comercial ou industrial, como
também em obras de pontes, de contenção de terra, de pavimentos rodoviários, entre
outras.
As lajes, em relação ao seu comportamento global na estrutura, trabalham de
duas maneiras. Quando recebem ações verticais, perpendiculares à superfície média,
e as transmitem para apoios (vigas ou pilares) comportam-se como placas. Quando
atuam como diafragmas rígidos, distribuindo carregamentos horizontais entre as
estruturas de contraventamento, comportam-se como chapas. Conclui-se, portanto,
que as lajes têm dupla função estrutural, suportando cargas verticais e paralelas a seu
plano de superfície.
13
Silva e Souto (2003) apud Donin (2007) definem que outra importante função
das lajes é que quando construídas ligadas monoliticamente com as vigas, atuam
como mesa de compressão da seção “T”, contribuindo com o processo de
enrijecimento.
Segundo a NBR 6118:2014, define-se placa como elementos de superfície
plana que estão submetidos principalmente a ações normais a seu plano, e chapa
como elementos de superfície plana que estão submetidos principalmente a ações em
seu próprio plano. A Figura 2 mostra o comportamento das lajes.
Figura 2 – Comportamento de lajes como placas e chapas Fonte: Lopes (2012)
Tenório (2011) comenta que existem diversos métodos construtivos para lajes,
porém os mais utilizados nas construções de edifícios de concreto armado são os
métodos de lajes maciça e de lajes nervuradas. O método de lajes nervuradas
apresenta ainda variações construtivas, dependendo de fatores como custos
operacionais e dimensão dos vãos.
Sussekind (1984), Resinor (1988), Souza; Cunha (1998), Araújo (2003); Dutra
(2005) apud Donin (2007) classificam as lajes de concreto armado de acordo com seu
sistema construtivo e sua forma e quanto ao tipo de apoio e de armação:
• Forma
a) Poligonais (quadrada, retangular, etc.);
b) Elípticas (circulares e anelares).
• Sistema construtivo
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As lajes, de acordo com os materiais utilizados em sua construção e execução,
podem ser divididas em
a) Lajes maciças
b) Lajes nervuradas
c) Lajes cogumelo
d) Lajes pré-fabricadas
e) Lajes mistas
f) Lajes duplas
g) Lajes em grelha
h) Lajes lisas
• Tipo de apoio
Quanto aos tipos de apoio, as lajes podem ter
a) Apoio contínuo: quando são apoiadas em uma faixa contínua, tais como
paredes de alvenaria, vigas e paredes de concreto.
b) Apoio discreto: quando são apoiadas diretamente sobre pilares. Podem ser
chamadas de lajes cogumelo ou lajes lisas.
• Tipo de armação
As lajes podem ser classificadas de acordo com a distribuição de armaduras
a) Armadas em uma direção (unidirecionais)
b) Armadas em duas direções (bidirecionais)
2.2 Conceitos inicias de lajes nervuradas
Lajes nervuradas, como descreve a NBR 6118 (2014, p. 97),
[...] são as lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras, entre as quais pode ser colocado material inerte.
Em vãos de 4m ou mais as lajes maciças apresentam uma pequena faixa de
concreto acima da linha neutra (comprimido), e, consequentemente, uma grande faixa
de concreto localizado abaixo da linha neutra (tracionado). Em virtude da baixa
resistência à tração do concreto, a faixa de concreto abaixo da linha neutra não é
considerada pelas teorias de cálculo na resistência à tração, tendo função apenas de
proteção da armadura, gerando um gasto excessivo de concreto e aumentando o peso
próprio da estrutura (PP). Dessa forma, é conveniente limitar o uso do concreto
15
apenas ao mínimo necessário, visando um melhor aproveitamento do material e
redução de custos. Por essa razão, torna-se evidente substituir o concreto tracionado
por material inerte, ou simplesmente deixar o espaço vazio, proporcionando um
modelo de laje eficiente denominado de laje nervurada (TENÓRIO, 2011). A Figura 3
mostra o corte transversal de uma laje nervurada.
Figura 3 – Corte transversal de uma laje nervurada sem material de enchimento Fonte: Schwetz (2005)
A necessidade de diminuir o volume excessivo de concreto resultou no
desenvolvimento do conceito de lajes nervuradas. Uma concepção estrutural que foi
derivada das lajes cogumelos (lajes maciças apoiadas diretamente sobre pilares). São
projetadas como um conjunto de vigas T pouco espaçadas que se apoiam diretamente
sobre os pilares. Devido ao fato de ter um braço de alavanca (distância entre as
resultantes de compressão e tração) maior que as lajes maciças, as lajes nervuradas
proporcionam uma maior rigidez e um menor consumo de aço e concreto (SCHWETZ,
2005).
2.3 Lajes nervuradas com nervuras pré-fabricadas
A NBR 14859: 2002 define parâmetros de recebimento e utilização de lajes
pré-fabricadas. A norma classifica as lajes pré-fabricadas como lajes pré-fabricadas
unidirecionais, que são lajes nervuradas formadas por nervuras principais em uma
direção, e lajes pré-fabricadas bidirecionais, lajes nervuradas compostas por nervuras
principais nas duas direções.
Ainda de acordo com a NBR 14859: 2002, tais lajes são compostas por:
16
• Vigotas pré-fabricadas - fabricadas fora do local onde serão instaladas em
definitivo, são formadas por concreto estrutural (com resistência característica
à compressão mínima C20) e aço CA-50 ou CA-60. Podem ser classificadas
em três tipos:
a) Concreto armado (VC)
Figura 4 – Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada de concreto armado (VC)
Fonte: NBR 14859: 2002
b) Concreto protendido (VP)
Figura 5 – Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada de concreto protendido (VP)
Fonte: NBR 14859: 2002
c) Treliçadas (VT)
Figura 6 – Corte transversal de uma laje nervurada com vigota pré-fabricada treliçada (VT)
Fonte: NBR 14859: 2002
17
• Elemento de enchimento – são materiais pré-fabricados com material inerte de
diversos tipos (blocos de cerâmica, EPS, concreto celular), comumente
chamados de lajotas, podendo ser maciços ou vazados, e têm a finalidade de
ocupar o volume de concreto submetido à tração, reduzindo, de consequência,
o peso próprio da laje (PP) e os custos construtivos, além de servir de fôrma
para a concretagem da capa. São desconsiderados no cálculo de resistência e
rigidez da laje. Devem ter resistência característica à carga de ruptura mínima
de 1,0 kN para resistir aos esforços da concretagem e ao trabalho de
montagem.
A Figura 7 mostra alguns tipos de nervuras pré-moldadas e elementos de
enchimento.
Figura 7– a) Tipos de vigotas b) Tipos de elementos de enchimento Fonte: Silva (2005)
• Capa – placa superior da laje, formada por concreto estrutural (com resistência
característica à compressão mínima, a classe C20), sua espessura é medida
da face superior do material de enchimento. É considerada como parte
resistente quando possui espessura acima de 3,0 cm. É necessário adicionar
uma armadura de distribuição de no mínimo 3 barras por metro, de seções de
no mínimo 0,9 cm²/m para aços CA-25, e 0,6 cm²/m para aços CA-50 e CA-60.
2.3.1 Prescrições da norma NBR 14859: 2002 a respeito da altura da capa e distâncias
entre nervuras
A norma NBR 14859: 2002 define os intereixos mínimos a serem adotados para
diferentes tipos de vigotas e as alturas mínimas de capas de concreto.
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• Vigota pré-moldada de concreto armado (VC) – intereixo mínimo, 33 cm
• Vigota pré-moldada de concreto protendido (VP) – intereixo mínimo, 40 cm
• Vigota pré-moldada treliçada – intereixo mínimo, 42 cm
• Alturas mínimas das espessuras da capa de concreto
Tabela 1 - Altura mínima existente para as alturas totais padronizadas
Altura total da laje 10 11 12 13 14 16 17 20 21 24 25 29 30 34
Espessura mínima da capa resistente
3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
Fonte: NBR 14859: 2002
2.3.2 Características, vantagens e desvantagens das lajes pré-fabricadas
Segundo Silva (2012), esse sistema de lajes tem o mesmo comportamento
estrutural que as lajes nervuradas moldadas no local. O arranjo estrutural para esse
tipo de laje é feito pela combinação das vigotas com os materiais de enchimento, e
sua seção transversal é considerada como sendo em forma de “T” invertido ou um “I”.
A capa de concreto, moldada no local sobre os elementos citados, confere
uniformidade ao sistema. Também fazem parte do sistema as armaduras de aço
presentes nas vigotas pré-fabricadas e a armadura de distribuição presente na capa.
As vigotas, durante o processo de montagem e concretagem, são os elementos que
suportarão as cargas envolvidas no processo, como seu peso próprio, o peso dos
materiais de enchimento, o peso do concreto da capa, e uma sobrecarga adicional
gerada pelo trabalho de construção.
Flório (2004) descreve algumas vantagens e desvantagens em comparação
com os sistemas de lajes maciças e lajes nervuradas moldadas no local.
• Vantagens
a) Facilidade de execução
São lajes de fácil manuseio e podem ser executadas com segurança por
operários minimamente capacitados.
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b) Versatilidade
Possuem uma grande variedade de aplicações, seja em obras complexas,
como pontes e viadutos, ou em obras mais simples, como pavimentos de
prédios residenciais, comerciais ou industriais.
c) Redução de escoramentos
Há redução no número de escoras devido ao fato das nervuras possuírem
uma rigidez que, dependendo de sua altura, consegue vencer vãos de 1 a 2m,
além desse sistema possuir um peso próprio menor que o de lajes maciças e
nervuradas moldadas no local.
d) Eliminação das fôrmas
Os blocos de enchimento, quando apoiados sobre as nervuras, geram um
plano que serve como fôrma para concretagem da capa de concreto,
eliminando o uso de fôrmas.
e) Redução do desperdício de materiais
Devido ao fato de a maioria dos materiais que compõem esse sistema ser
industrializada (nervura, material de enchimento), existe um desperdício menor
de material.
• Desvantagens
a) Dificuldade de execução de instalações prediais
Apresenta dificuldade de execução das instalações, principalmente em
nervuras do tipo trilho (vigotas de concreto armado e protendido).
b) Deslocamento vertical elevado
Apresenta deslocamento vertical mais acentuado que o de lajes maciças e
nervuradas moldadas no local.
c) Restrição no tamanho dos vãos
Apresenta restrição limitada pelo comprimento das vigotas pré-moldadas.
20
2.4 Lajes nervuradas moldadas no local (in loco)
As lajes nervuradas moldadas no local são constituídas por uma ou duas
mesas e por nervuras, que podem ser distribuídas em uma direção (unidirecional) ou
duas direções (bidirecional). Nas nervuras são posicionadas as armaduras de tração
(armaduras longitudinais principais). Os espaçamentos entre as nervuras podem ser
preenchidos por elementos de enchimento ou podem ser deixados vazios (SILVA,
2005). As Figuras 8 e 9 representam a diferença entre os tipos de laje moldada in loco.
Figura 8 – Laje nervurada com material de enchimento Fonte: Araújo (2010)
Figura 9 – Laje nervurada sem material de enchimento Fonte: Araújo (2010)
De acordo com Tenório (2011), lajes nervuradas podem ser classificadas em
dois tipos: laje nervurada unidirecional (LNU) e laje nervurada bidirecional (LNB).
21
Um estudo feito por Tenório et al. (2009) demonstrou que para λ ≥ 1.4 (maior
lado da laje/ menor lado da laje) as lajes nervuradas unidirecionais (LNU) apresentam
um rendimento econômico melhor que as lajes nervuradas bidirecionais (LNB), sendo
λ o número que corresponde à divisão do maior vão pelo menor vão da laje.
As LNU, conforme mostra a Figura 10, apresentam sistema composto de
nervuras principais e secundárias. As principais são dispostas na direção do menor
vão, e as secundárias na direção do maior vão. As distâncias entre eixos de nervuras
são diferentes entre as duas direções, sendo maiores para as nervuras secundárias e
menores para as nervuras principais. As LNB, mostradas na Figura 11, apresentam
sistema composto de nervuras paralelas às bordas de contorno e ortogonais entre si,
com a mesma distância entre eixos nas duas direções. O recomendável é serem
utilizadas quando a relação entre o maior e o menor vão não for superior a 2
(TENÓRIO, 2011).
Figura 10 – Laje nervurada unidirecional Fonte: Silva (2005)
22
Figura 11 – Laje nervurada bidirecional Fonte: Silva (2005)
A utilização de moldes reaproveitáveis diminui o custo da laje, pois evita a
confecção de fôrmas para as nervuras. Moldes de plástico reforçado (cubetas) que
suportam o peso do concreto, da armadura e dos trabalhadores e servem de fôrma,
necessitando apenas de uma estrutura de cimbramento.
2.4.1 Prescrições da norma NBR 6118: 2014
A norma NBR 6118: 2014 prescreve as seguintes recomendações em relação
as espessuras das nervuras e da mesa
• Quando não houver tubulação horizontal embutida, a espessura da mesa deve
ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras e nunca
maior que 4cm.
• O valor mínimo da espessura da mesa deve ser 5cm quando houver tubulação
embutida com diâmetro menor ou igual a 10mm.
• No caso de tubulação maior igual a 10mm, a mesa deve ter espessura mínima
de 4cm mais o diâmetro da tubulação embutida, ou 4cm mais 2 vezes o
diâmetro da tubulação embutida quando houver cruzamento das tubulações.
• Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem possuir armadura de
compressão.
23
• Para espaçamentos entre eixos de nervuras menores ou iguais a 65cm, a
verificação de flexão da mesa pode ser desconsiderada, e para verificação de
cisalhamento da região das nervuras podem ser considerados critérios de laje.
• Para espaçamentos entre eixos de nervuras entre 65 a 110cm, é necessário a
verificação de flexão da mesa. A verificação do cisalhamento das nervuras
deve ser feita como viga, e para casos onde o espaçamento entre eixos de
nervuras for de até 90cm e a altura média das nervuras for maior que 12cm, é
permitido que a verificação do cisalhamento das nervuras seja feita como laje.
• Para espaçamentos entre eixos de nervura maior que 110cm, a mesa deve ser
projetada como laje maciça apoiada em grelha de vigas, respeitando-se limites
de espessura.
2.5 Considerações iniciais sobre os processos de cálculo
Conforme comenta Stramandinoli (2003), a laje nervurada apresenta
comportamento intermediário entre placa e grelha, dependendo da espessura da
mesa e do espaçamento das nervuras. Dito isso, os cálculos de esforços e
deslocamentos têm sido feitos por métodos de analogia de grelhas e da teoria das
placas. Quanto menor o espaçamento das nervuras, mais o comportamento da
laje se aproxima ao de placa, e quanto maior o espaçamento das nervuras, mais
o comportamento da laje se aproxima ao de grelha.
De acordo com Silva (2005), os processos utilizados para cálculo de esforços
solicitantes e deslocamentos transversais em lajes se baseiam no método elástico,
designado pela teoria clássica das placas delgadas ou pela Teoria de Kirchhoff.
A Teoria de Kirchhoff não leva em conta a fissuração do concreto. O método
tem base na análise do comportamento do elemento sob ações de serviço e
concreto não fissurado, ou seja, admite-se que os materiais possuam
comportamento elástico linear.
Entre os processos de cálculo que têm por base essa teoria, destacam-se o
método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) e o
processo de resolução de placas elásticas por meio de séries. Tais processos,
junto do processo por análise de grelha equivalente, são os mais utilizados para
análise de lajes de pavimento (TENÓRIO, 2011).
24
Timoshenko e Woinowsky (1959), apontam que a teoria das placas delgadas
descreve bem o comportamento de placas que apresentam relação entre a espessura
e o menor vão entre 1/5 e 1/100. Tendo em vista que lajes usuais de edifícios
apresentam relação entre 1/40 e 1/60, pode-se afirmar que a Teoria de Kirchhoff é
adequada para análise do comportamento das mesmas.
2.5.1 Teoria das placas delgadas
Timoshenko e Woinowsky (1959) apontam que a Teoria de Kirchhoff se baseia nas
equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e em suas relações de
compatibilidade de deformações. Afirma ainda que a teoria das placas delgadas se
baseia nas seguintes hipóteses simplificadoras:
• A placa pode ser representada por seu plano médio (ou superfície média);
• O material da placa é linear e elástico (obedece à Lei de Hooke), homogêneo
e isótropo
• A placa é inicialmente plana
• A espessura da placa é pequena em relação às outras dimensões, menor que
1/10 do menor vão
• As deformações angulares da superfície média são pequenas comparadas à
unidade
• Os deslocamentos dos pontos da superfície média são pequenos comparados
com a espessura da placa
• As ações dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à
superfície da placa
• As retas normais à superfície média permanecem normais e retas após as
deformações, ou seja, desprezam-se as deformações por força cortante
(hipótese de Kirchhoff, similar à de Bernoulli-Navier no estudo da flexão de
vigas). Segundo Tenório (2011), algumas simplificações ainda podem ser
consideradas para facilitar o emprego das condições de contorno no problema
de determinar os esforços
• A ação das placas nas vigas de contorno é feita apenas por forças verticais,
não havendo transmissão de momentos para as vigas
25
• As ações das placas nas vigas são uniformemente distribuídas e não há
transmissão de força diretamente para os pilares. A ação nas placas vai para
as vigas e daí para os pilares
• As vigas de contorno não se deslocam na direção vertical
• A rotação das placas no contorno é livre (apoio simples) ou totalmente impedida
(engastada).
Segundo Tenório (2011), a Equação diferencial da linha elástica de uma viga
(2.1)
𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒙𝟐 =𝑴(𝒙)
𝑬∗𝑰 (2.1)
pode ser expressa em função de uma carga p(x), carga distribuída por unidade de
comprimento, aplicada pela Equação (2.2)
𝒅𝟒𝒘
𝒅𝒙𝟒 =𝒑(𝒙)
𝑬∗𝑰 (2.2)
A Equação diferencial correspondente a uma placa (2.3) é mais complexa, pois
inclui termos para os momentos nas direções x e y, assim como os momentos
torsores, que também estão presentes nas placas:
𝒅𝟐𝑴𝒙
𝒅𝒙𝟐 +∗𝒅𝟐𝑴𝒙𝒚
𝒅𝒙𝒅𝒚+
𝒅𝟐𝑴𝒚
𝒅𝒚𝟐 = 𝒒(𝒙, 𝒚) (2.3)
A Equação (2.3) é a equação diferencial de equilíbrio das placas. Essa equação
independe de a placa estar em regime elástico ou plástico, do coeficiente de Poisson
e do fato de a placa ser isótropa ou ortótropa.
Conforme Silva (2005), essa Equação relaciona apenas os momentos (fletores
e torsor) com a ação q(x,y) aplicada. É também interessante relacionar os
deslocamentos com a ação.
As expressões que relacionam os momentos com as curvaturas da placa são:
26
𝑴𝒙 = −𝑫 (𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒙𝟐 + 𝒗 ∗𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒚𝟐 ) (2.4)
𝑴𝒚 = −𝑫 (𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒚𝟐 + 𝒗 ∗𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒙𝟐 ) (2.5)
𝑴𝒙𝒚 = −𝑫(𝟏 − 𝒗) ∗𝒅𝟐𝒘
𝒅𝒙𝒅𝒚 (2.6)
𝑫 =𝑬∗𝑯𝟑
[𝟏𝟐∗(𝟏−𝒗𝟐)] (2.7)
onde
“D” é a rigidez à flexão da placa,
“E” é o módulo de deformação longitudinal do material,
“H” é a espessura da placa e
“v” é o coeficiente de Poisson.
As expressões que relacionam as forças cortantes com as curvaturas da placa
são:
𝑸𝒙 = −𝑫 ∗ (𝒅𝟑𝒘
𝒅𝒙𝟑 + 𝒗 ∗𝒅𝟑𝒘
𝒅𝒙𝒅𝒚𝟐) (2.8)
𝑸𝒚 = −𝑫 ∗ (𝒅𝟑𝒘
𝒅𝒚𝟑 + 𝒗 ∗𝒅𝟑𝒘
𝒅𝒙𝟐𝒅𝒚) (2.9)
Segundo Silva (2005), ao substituir as Equações (2.4), (2.5) e (2.6) na Equação
(2.3), obtém-se a equação diferencial de Lagrange (equação diferencial fundamental
das placas), em coordenadas cartesianas retangulares, relacionando deslocamentos
com a ação q(x,y) na placa:
𝒅𝟒𝒘
𝒅𝒙𝟒 + 𝟐 ∗𝒅𝟒𝒘
𝒅𝒙𝟐𝒅𝒚𝟐 +𝒅𝟒
𝒅𝒚𝟒 =𝒒(𝒙,𝒚)
𝑫 (2.10)
27
Integrando essa Equação diferencial de acordo com as condições de contorno
do problema, obtém-se a função w=w(x,y) da superfície média deformada, a partir da
qual, utilizando as Equações (2.4) a (2.9), determinam-se os esforços solicitantes
(momentos fletores, torçores e forças cortantes). A Equação das placas delgadas
resolve por completo o problema da placa.
Porém, usualmente não é fácil encontrar uma função w=w(x,y) que satisfaça
simultaneamente a equação diferencial de Lagrange e atenda às condições de
contorno. A solução exata obtida pela integração direta da equação de Lagrange é
restringida a poucos casos de formas de placas, cargas e condições de apoio.
A maioria dos formatos de placas, mesmo as retangulares e as poligonais, os
mais utilizados em estruturas de concreto armado, não possuem solução pela
integração direta dessa equação, acarretando em que esse processo tenha pouca
finalidade prática.
Por isso, o processo é utilizado para encontrar soluções aproximadas, por meio
de alguns métodos: dos elementos finitos, das diferenças finitas, séries simples e
duplas, e grelha equivalente (TENÓRIO, 2011).
2.5.2 Processo de grelha
De acordo com Silva (2005), para aplicação do processo de grelha equivalente
em lajes nervuradas unidirecionais é preciso que as nervuras sejam substituídas por
elementos estruturais de barras, exatamente nos seus eixos, obtendo assim uma
grelha equivalente que representa o pavimento.
Devem ser considerados dois tipos de características geométricas para as
barras da grelha equivalente. Adotam-se a seção “T” para os elementos que
representam as nervuras e a seção retangular para os elementos que representam as
vigas do pavimento.
Para cálculo das características geométricas do elemento que representa as
nervuras no estádio I, desprezando a presença da armadura longitudinal e com base
na Figura 12, podem ser empregadas as seguintes expressões:
28
Figura 12 – Seção transversal do elemento que representa as nervuras na grelha equivalente
Fonte: Silva (2005)
• Momento de inércia à flexão:
𝑰𝒇 =(𝒃𝒇−𝒃𝒘)∗𝒉𝒇
𝟑
𝟏𝟐+
𝒃𝒘∗𝒉𝟑
𝟏𝟐+ (𝒃𝒇 − 𝒃𝒘) ∗ 𝒉𝒇 ∗ (𝒚𝒄𝒈 −
𝒉𝒇
𝟐)
𝟐
+ 𝒃𝒘 ∗ 𝒉 ∗
(𝒚𝒄𝒈 −𝒉
𝟐)
𝟐 (2.11)
• Momento de inércia à torção:
𝑰𝒕 =𝒃𝒇∗𝒉𝒇
𝟑
𝟑+
(𝒉−𝒉𝒇)+𝒃𝒘𝟑
𝟑 (2.12)
• Área da seção transversal:
𝑨 = (𝒃𝒇 ∗ 𝒉𝒇) + (𝒉 − 𝒉𝒇) ∗ 𝒃𝒘 (2.13)
Conforme Tenório (2011), as expressões a seguir podem ser utilizadas para o
cálculo das características geométricas do elemento que representa as vigas do
pavimento, no estádio I, desprezando a presença da armadura longitudinal e
desconsiderando a contribuição da laje adjacente:
29
• Momento de inércia à flexão:
𝑰𝒇 =𝒃∗𝒉𝟑
𝟏𝟐 (2.14)
• Momento de inércia à torção:
𝑰𝒕 =𝒉∗𝒃𝟑
𝟑 (2.15)
• Área da seção transversal:
𝑨 = 𝒃 ∗ 𝒉 (2.16)
Carvalho (1994) recomenda, no estádio II, considerar o valor da inércia à torção
do elemento que representa as vigas do pavimento como sendo 10% daquele dado
pela Resistência dos Materiais; Sussekind (1985), recomenda considerar 20%. Assim:
𝑰𝒕 =𝒉∗𝒃𝟑
𝟑𝟎 segundo Carvalho (1994) (2.17)
𝑰𝒕 =𝒉∗𝒃𝟑
𝟏𝟓 segundo Sussekind (1985) (2.18)
A NBR 6118: 2014 prescreve valores para o módulo de elasticidade do concreto
(Eci), módulo de deformação secante do concreto (Ecs), coeficiente de Poisson (v) e
módulo de elasticidade transversal do concreto (Gc):
𝑬𝒄𝒊 = 𝜶𝑬 ∗ 𝟓𝟔𝟎𝟎 ∗ √𝒇𝒄𝒌 para fck de 20-50 MPa (2.19)
𝑬𝒄𝒊 = 𝟐𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝜶𝑬 ∗ (𝒇𝒄𝒌
𝟏𝟎+ 𝟏. 𝟐𝟓)
𝟏/𝟑
para fck de 55-90 MPa (2.20)
onde:
30
αE=1.2 para basalto e dibásio,
αE=1.0 para granito e gnaisse,
αE=0.9 para calcário,
αE=0.7 para granito.
“Eci” e “fck” são dados em megapascal (MPa)
𝑬𝒄𝒔 = 𝜶𝒊 ∗ 𝑬𝒄𝒊 (2.21)
Onde 𝜶𝒊 = 𝟎. 𝟖 + 𝟎. 𝟐 ∗ (𝒇𝒄𝒌
𝟖𝟎) ≤ 𝟏. 𝟎 (2.22)
𝒗 = 𝟎. 𝟐 (2.23)
𝑮𝒄 =𝑬𝒄𝒔
𝟐.𝟒 (2.24)
Figura 13- Grelha equivalente de um pavimento de laje nervurada bidirecional Fonte: Silva (2005)
2.5.3 Método dos elementos finitos
31
De acordo com Rezende (1990), o método dos elementos finitos pode ser
definido como uma técnica geral de discretização de problemas contínuos, definidos
por expressões determinadas matematicamente. O processo de discretização do
problema é concebido da seguinte maneira: o meio contínuo é dividido em um número
finito de partes (elementos), cujo comportamento se especifica em função de um
número finito de parâmetros.
Este modelo pode ser empregado para qualquer geometria de placa, desde
que seja aplicado um número suficiente de elementos. Portanto é caracterizado como
uma das melhores técnicas para análise de estrutura de pavimento de edifício,
simulando-a de forma mais realista (SILVA, 2012).
Como comenta Tenório (2011), o princípio básico do MEF é dividir o corpo em
elementos finitos, usualmente chamados de elementos, conectados por nós, e obter
uma solução aproximada. O MEF fornece uma lógica sistemática com a qual pode-
se determinar a solução por meio de um programa de computador. Para problemas
lineares, a solução é determinada pela resolução de um sistema de equações
lineares, onde, no caso da análise de comportamento estrutural, o número de
incógnitas, que representa os nodais, é igual ao número nodal.
O método dos elementos finitos segue os seguintes cincos passos:
1. Pré-processamento: subdivisão do domínio do problema em elementos finitos;
2. Formulação dos elementos: desenvolvimento de equações para os elementos;
3. Montagem: obtenção do sistema global de equações para os elementos;
4. Resolução das equações;
5. Pós-processamento: definição de valores de interesse, assim como tensões e
deformações, e a obtenção da visualização das respostas.
32
A Figura 14 mostra um exemplo de malha de elementos finitos.
Figura 14- Pavimento de edifício em modelo de elementos finitos Fonte: Silva (2005)
Após os cinco passos é possível obter a seguinte Equação (2.25), que rege o
problema linear:
F = K ∗ d (2.25)
onde
F é a matriz das forças externas,
K é a matriz de rigidez global e
d é a matriz de deslocamento nodal.
2.5.4 Teoria das cascas
Conforme Timoshenko e Woinowsky-krieger (1959), a espessura das cascas
deve ser sempre considerada pequena em relação às suas outras duas dimensões e
em relação ao raio de curvatura. A superfície que divide na metade a espessura da
casca é denominada de superfície média, e estabelecendo a forma da superfície
média e a espessura em cada ponto, uma casca pode ser definida geometricamente.
33
De acordo com Baker et al. (1968), para a teoria das cascas lineares, a teoria
de pequenos deslocamentos de cascas finas é considerada, e as relações que
governam o comportamento desse tipo de material são baseadas nas equações da
teoria matemática da elasticidade linear. Apesar da consideração das equações
elásticas completas incapacitar a solução prática de cascas, devido ao fato de levar a
grandes equações, por sorte a análise precisa de cascas finas pode ser obtida através
da simplificação das equações elásticas, resumindo o problema das cascas à análise
das deformações da superfície média da casca.
Como afirma Tenório (2011), cascas apresentam todas as características de
placas, com adição de uma curvatura, e o comportamento da casca carregada é
principalmente definido pela sua curvatura. A curvatura de uma casca pode ser
definida como:
𝑲 =𝟏
𝑹 (2.26)
34
3 METODOLOGIA
3.1 Considerações Iniciais
No presente trabalho foi feita uma pesquisa quantitativa, comparando dois
modelos de lajes nervuradas unidirecionais, onde, em um modelo, a nervura e a capa
são discriminadas por elementos de barra com seção T, e, no segundo modelo, a
nervura e a capa como elemento de casca.
Na primeira etapa, foram definidos os elementos que formariam os dois
modelos de laje.
Na segunda etapa, foram definidos a geometria, o carregamento e os vãos da
laje e em seguida foram lançados os modelos de estrutura no software “SAP2000”.
3.2 Ferramenta de cálculo e análise numérica
O cálculo estrutural foi executado pelo software de análise estrutural SAP2000
versão 16, que emprega o método dos elementos finitos.
3.2.1 Descrição do software SAP2000
O programa computacional SAP2000 é desenvolvido e licenciado pela empresa
Computers & Structures, Inc. O software executa análises estáticas lineares e não
lineares, como também análises dinâmicas para diversos tipos de estruturas. Para o
presente trabalho, apenas foram feitas análises lineares estáticas. O programa possui
uma vasta biblioteca de elementos finitos, dentre os quais alguns foram utilizados
neste trabalho e serão descritos abaixo.
3.2.2 Elemento de barra
Os elementos de barra possuem seis graus de liberdade em cada nó, sendo
três graus de liberdade de translação (U1, U2, U3) e três graus de liberdade de rotação
(R1, R2, R3). Utilizam uma formulação geral, tridimensional, de viga-coluna, que inclui
os efeitos de flexão biaxial, torsão, deformação axial e deformações cortantes biaxiais.
Os elementos são modelados como uma linha reta conectando dois pontos e
35
cada elemento possui seu próprio sistema de coordenadas locais para definição de
propriedades da seção e de carregamentos e para análise de resultados de saída.
Cada elemento pode ser carregado pela gravidade, em qualquer direção,
múltiplas cargas concentradas, múltiplas cargas distribuídas, cargas de tensão e
deformação, além de cargas devido à ação da temperatura.
Os eixos locais possuem relação com os eixos globais, como mostra a Figura
15.
Figura 15- Relação entre eixos locais e globais Fonte: Schwetz (2011)
Os esforços internos do elemento de barra, conforme mostrados na Figura 16,
são as forças e momentos presentes no interior do elemento, e são obtidos pela
integração dos esforços ao longo da seção transversal. Tais esforços estão presentes
em toda a seção transversal e também na extremidade dos elementos.
São eles:
• A força de deformação axial (P)
• A força cortante no plano 1-2 (V2)
• A força cortante no plano 1-3 (V3)
• A torção (T)
• Os esforços de flexão axial no plano 1-3 (M2)
• Os esforços de flexão axial no plano 1-2 (M3)
36
Figura 16- Esforços internos de um elemento de barra Fonte: (Computers ; Structures Inc., 2013)
3.2.3 Elemento de casca O elemento de casca pode ser utilizado para modelar membranas, placas e
comportamento de cascas em estruturas planares e tridimensionais. Tal elemento
possui de três a quatro nós, e sua formulação combina o comportamento de
membrana com o comportamento de placas flexíveis.
A Figura 17 mostra a relação entre os eixos locais e globais deste elemento.
37
.
Figura 17- Relação dos eixos locais e globais do elemento de casca Fonte: (Schwetz., 2011)
Cada elemento pode ser carregado por cargas uniformes em qualquer direção
e também pela gravidade. Com este tipo de elemento podem ser modelados sistemas
de piso, de parede, decks de ponte, além de domos tridimensionais e modelos
detalhados de vigas, colunas e diversos elementos estruturais.
O programa fornece dois tipos de elementos de casca, os homogêneos
(Homogeneous), que apenas permitem análises lineares, e os de camada (Layered),
que permitem análises não-lineares. Como o foco do estudo será o elemento de casca
homogêneo (Homogeneous), será ignorado o comportamento não-linear das
estruturas.
Os elementos de casca homogêneos podem ser de placas finas – nos quais é
utilizada a formulação de Kirchhoff, que não leva em consideração as deformações
cortantes – ou de placas espessas, onde é utilizada a formulação de Minslin/Reissner,
que inclui a deformação cortante.
Possui seis graus de liberdade, sendo três de translação (U1, U2, U3) e três de
rotação (R1, R2, R3). Possui seu próprio sistema de coordenadas locais, para que
sejam definidas as propriedades dos materiais, os carregamentos e para interpretação
38
dos dados de saída. Tais coordenadas locais mantém relação com as coordenadas
globais.
Cada elemento de casca pode ter dois dos seguintes tipos de geometria,
conforme mostra a Figura 18.
• Triangular, definida por 3 nós.
• Quadricular, definida por 4 nós.
Figura 18- Geometria dos elementos de casca
Fonte: (Computers ; Structures Inc., 2013)
As forças internas do elemento de casca homogêneo, conforme dispostas na
Figura 19, são forças e momentos resultantes da integração dos esforços ao longo da
espessura do elemento. São elas:
• Forças de membrana: F11 e F22
• Força de membrana por força cortante: F12
• Momentos fletores de placa: M11
• Momento torsor de placa: M12
39
• Forças cortantes transversais da placa: V12 e V23
Figura 19- Forças internas de um elemento de placa homogêneo Fonte: (Computers; Structures Inc., 2013)
3.3 Validação do modelo proposto A fim de realizar o estudo do presente trabalho, fez-se necessário validar os
modelos que seriam utilizados, através da comparação dos momentos fletores
resultantes e dos deslocamentos. Devido à complexidade do comportamento de uma
laje nervurada unidirecional, discretizada inteiramente por elementos de casca, foi
feita então a comparação entre exemplos mais simples, e, subsequentemente, a
comparação entre modelos mais complexos.
A princípio foi feita uma comparação entre dois exemplos de viga “T”
biapoiadas. Em ambos os exemplos o comprimento da viga foi de 297cm, onde um
modelo foi discretizado inteiramente por elementos de barra e o outro modelo
discretizado inteiramente por elementos de casca.
Em seguida foi feita a comparação entre dois exemplos de laje nervurada
unidirecional, sem a presença de nervuras transversais, com as dimensões de 297cm
e 594cm para o menor e o maior vão, respectivamente, onde novamente um modelo
foi discretizado inteiramente por elementos de barra, e o outro modelo discretizado
inteiramente por elementos de casca.
Feito isso, ficou comprovado o comportamento do modelo de laje nervurada
unidirecional, discretizada inteiramente por elementos de casca, através dos
resultados obtidos.
40
3.3.1 Validação dos exemplos de viga “T” biapoiadas
Foram analisados dois exemplos de vigas biapoiadas com seção transversal
em forma de T, conforme se apresenta na Figura 20.
Figura 20- Seção transversal de uma viga “T” Fonte: (Autor, 2018)
Sendo:
• ht = altura total
• hf = altura da mesa
• h = altura da alma
• bf = largura da mesa
• bw = largura da alma
O primeiro modelo foi discretizado apenas por elementos de barra e o segundo
discretizado apenas por elementos de casca.
Para ambos os exemplos, foi utilizado o mesmo material, com as seguintes
propriedades:
• Módulo de deformação longitudinal (E) = 3604,9965 Kn/cm2
• Coeficiente de Poisson (U) = 0,2
41
3.3.1.1 Modelagem e resultados do exemplo de barra
As considerações quanto às restrições dos apoios foram feitas da seguinte
maneira: no apoio utilizado no lado esquerdo da viga foi restringido o deslocamento
na direção “Z” e na direção “X”, e no apoio utilizado no lado direito, foi restringido o
deslocamento na direção “Z”.
Os apoios foram considerados como concêntricos aos nós onde a barra foi
inserida, conforme mostra a Figura 21.
Figura 21- Viga “T” discretizada por elemento de barra
Fonte: (Autor, 2018)
A viga de seção transversal “T” foi modelada com as seguintes dimensões:
ht = 13cm; hf = 5cm; h= 8cm; bf = 33cm; bw = 9cm, conforme mostra a Figura 22.
Figura 22- Dimensões da viga de seção “T” utilizada no exemplo de barra Fonte: (Autor, 2018)
Foi observado que mesmo havendo uma divisão do elemento em elementos
menores os valores relacionados ao momento fletor e ao deslocamento não se
42
alteravam, portanto não foi necessário subdividir o elemento de barra em elementos
menores.
O modelo apresentado, submetido apenas às ações do peso próprio,
apresentou os seguintes valores para momento fletor e flecha, no meio do vão:
• Momento fletor = 61,57kN*cm
• Flecha = 0,05544cm
3.3.1.2 Modelagem e resultados do exemplo de casca
As considerações acerca das restrições dos apoios foram feitas de maneira
análoga ao exemplo anterior, ocasião em que, para o apoio utilizado no lado esquerdo
da viga, foram restringidos os deslocamentos na direção “Z” e na direção “X”, e, para
o apoio utilizado no lado direito, foi restringido o deslocamento na direção “Z”.
A fim de fazer esse modelo de viga, foram inseridos dois elementos de casca,
um referente à nervura, e outro referente à mesa.
Os elementos tiveram as seguintes dimensões, de acordo com a Figura 23:
Figura 23- Dimensões dos elementos de casca da mesa e alma Fonte: (Autor, 2018)
Neste exemplo, comparado com o anterior, a diferença na altura da alma se
deve ao fato da dificuldade de fazer com que, ao introduzir os elementos, os mesmos
coincidissem com a parte final da área um do outro. Essa foi, portanto, a alternativa
adotada, e com a utilização de um corretor no valor de área, tanto para os elementos
da alma como da mesa, pode-se corrigir o problema.
A Figura 24 mostra como ficou a viga “T”, após serem introduzidos os
elementos mostrados na Figura 23.
43
Figura 24- Dimensões da viga “T” com área superposta hachurada Fonte: (Autor, 2018)
O fator de correção utilizado foi obtido da seguinte maneira: sabendo-se ser a
área do elemento que representa a alma igual a 94,5cm2 e a que representa a mesa
igual a 165cm2, temos uma área total de 259,5cm2. Porém, como existe uma área
superposta de 22,5cm2, a área real é calculada em 237cm2, resultante da diferença
entre a área total e a área superposta. Portanto, para encontrar o fator de redução da
área, equivalente a 0,91329, basta dividir a área real pela área total.
O apoio foi considerado no nó de encontro entre a mesa e alma, como mostra
a Figura 25. Conforme afirma Stramandinoli (2003), há pouca diferença na flecha em
relação à altura onde se localiza o nó do apoio.
Figura 25- Viga “T” discretizada por elementos de casca
Fonte: (Autor, 2018)
O estudo da convergência de resultados foi feito comparando a discretização
da laje, mediante o aumento do número de elementos, e a variação nos momentos
44
fletores e na flecha, para as nervuras situadas no meio do vão, e pode ser verificado
na Tabela 2.
Tabela 2- Resultados do modelo de viga “T” feito por elementos de casca, com
a variação do número de elementos
Resultados
Nº Elementos Flecha (cm) Momento (kN*cm)
32 0,05013 46,18
72 0,05306 54,73
128 0,05408 57,73
200 0,05456 59,11
288 0,05482 59,86
392 0,05497 60,32
512 0,05508 60,61
1152 0,05527 61,15
2592 0,05536 61,38
5000 0,05539 61,48 Fonte: (Autor, 2018)
Analisando os dados, ficou claro que os valores tenderam a convergir para os
resultados do modelo de barra, de acordo com o aumento dos números de elementos,
conforme mostram as Figuras 26 e 27.
Figura 26- Estudo de convergência entre Número de Elementos e Momento para exemplo de viga “T”
Fonte: (Autor, 2018)
45
Figura 27- Estudo de convergência entre Número de Elementos e Flecha para exemplo de viga “T”
Fonte: (Autor, 2018)
3.3.2 Validação dos exemplos de laje nervurada unidirecional Para a segunda etapa de validação, foi proposta uma comparação entre os
modelos de laje nervurada unidirecional, sem as nervuras secundárias, onde um
modelo seria discretizado apenas com elementos de barra e o outro apenas por
elementos de casca.
As propriedades utilizadas para o material, bem como as dimensões das
nervuras e da mesa, foram as mesmas consideradas para os exemplos do item 3.3.1.
Foram utilizadas apenas vigas de borda perpendiculares às nervuras na
elaboração do modelo de barras, tendo em vista que, no caso de laje nervurada
unidirecional, as nervuras se apoiariam somente nas duas vigas perpendiculares a
elas, ao passo que no modelo de casca, em razão da dificuldade técnica de se fazer
zerar tanto o deslocamento das vigas de borda como o momento negativo nos apoios,
adotou-se, como solução, a colocação de apoios nas extremidades de todas as
nervuras.
A geometria da laje, para ambos os modelos, é mostrada na Figura 28,
conforme as seguintes dimensões:
• Menor vão = 297cm
• Maior vão = 594cm
• Intereixo entre nervuras = 33cm
• Nervura = 9cm
• Distância entre o fim da viga de borda e a primeira nervura = 12cm
46
Figura 28- Geometria da laje analisada Fonte: (Autor, 2018)
3.3.2.1 Modelagem e resultados do exemplo de laje nervurada discretizada por
elementos de barra
Todas as vigas de seção “T” foram modeladas de acordo com o item 3.3.1.1.
Mediante utilização da geometria proposta no item anterior, o modelo se apresentaria
conforme a Figura 29.
Figura 29- Representação do modelo de barras Fonte: (Autor, 2018)
47
Os apoios foram considerados apenas nas extremidades das vigas de borda,
e apenas foram restringidos os deslocamentos na direção “Z”.
A Figura 30 mostra as dimensões de um novo elemento de barra, relacionado
à viga de borda, com dimensões de uma viga quadrada de 10 x10 (cm).
Figura 30- Dimensões das vigas de borda
Fonte: (Autor, 2018)
Com o intuito de tornar as vigas de borda indeformáveis a esforços fletores na
direção global “Z” foi utilizado um majorador de 9000 para o momento de inércia em
relação ao eixo global “Z”, e, para desconsiderar o efeito de torsão das vigas de borda,
foi utilizado um redutor de 1000 para a constante de torção.
A fim de facilitar a visualização do modelo proposto, a Figura 31 traz uma
representação das barras com as geometrias utilizadas para discretizá-las.
Figura 31- Vista “extruded” do modelo formado por elementos de barra Fonte: (Autor, 2018)
Devido à geometria do modelo apresentado, não existe uma nervura situada
exatamente no meio do vão, porém as duas nervuras situadas próximas ao meio
mostram resultados iguais.
48
Tais nervuras, submetidas às ações do peso próprio, replicaram os seguintes
valores para momento fletor e flecha:
• Momento fletor = 61,57kN*cm
• Flecha = 0,55443cm
3.3.2.2 Modelagem e resultados do exemplo de laje nervurada discretizada por
elementos de casca
Os elementos de casca que representaram as nervuras e a capa neste
exemplo tiveram as mesmas dimensões trazidas no item 3.3.1.2.
Conforme descrito no item 3.3.2, a laje não foi apoiada em vigas de borda, e
em seu lugar foram introduzidos apoios nas extremidades de todas as nervuras. A
Figura 32 mostra os detalhes de como ficaram os apoios.
Figura 32- Detalhe dos apoios das nervuras Fonte: (Autor, 2018)
No apoio com formato de triângulo foram restringidos os deslocamentos para
os eixos globais “X”, “Y” e “Z”, ao passo que no apoio com formato de círculo apenas
foi restringido o deslocamento em relação ao eixo global “Z”.
Assim como no modelo de barras, devido à geometria do modelo apresentado,
também não existirá uma nervura exatamente no meio do vão, porém as duas
nervuras situadas adjacentes ao meio mostram iguais resultados.
49
Para melhor visualização do modelo, a Figura 33 apresenta o modelo na vista
“extruded”, onde as áreas vermelhas representam as nervuras e as áreas rosas
representam a mesa.
Figura 33- Vista “extruded” do modelo formado por elementos de casca
Fonte: (Autor, 2018)
Os resultados obtidos através do estudo de convergência, feito conforme o item
3.3.1.2 para as nervuras que se situam adjacentes ao meio do vão, estão
apresentados na Tabela 3.
Tabela 3- Resultados do modelo de laje nervurada unidirecional feito por
elementos de casca, com a variação do número de elementos
Resultados
Nº Elementos Flecha (cm) Momento (kN*cm)
144 0,03381 -0,42
576 0,04965 46,04
1296 0,05255 54,67
2304 0,05357 57,69
3600 0,05405 59,09
5184 0,05431 59,85
7056 0,05446 60,31
20736 0,05476 61,16
24336 0,05478 61,22
32400 0,05452 61,32 Fonte: (Autor, 2018)
50
Plotando os dados da tabela, observamos, nas curvas mostradas pelas Figuras
34 e 35, que os dados tendem a convergir para os resultados obtidos pelo modelo de
lajes nervuradas unidirecional, discretizadas por elementos de barra, que validam este
modelo, portanto.
Figura 34- Estudo de convergência entre Número de Elementos e Momento para exemplo de laje nervurada unidirecional
Fonte: (Autor, 2018)
Figura 35- Estudo de convergência entre Número de Elementos e Flecha para
exemplo de laje nervurada unidirecional Fonte: (Autor, 2018)
51
3.4 Estudo da influência da mesa O presente trabalho tem o intuito de estudar o comportamento da mesa,
quando discretizada por elementos de casca, na distribuição de momentos e
deformações, para o caso de lajes nervuradas unidirecionais, em uma dada situação
em que a estrutura está submetida à ação do peso próprio de uma alvenaria que se
estende ao longo do comprimento da nervura.
A análise se apoia no fato de que, quando a estrutura se apresenta na situação
ora reportada, os modelos descritos apenas por elementos de barra não representam
adequadamente a distribuição de momentos e deformações das nervuras adjacentes,
resultando em valores conservadores no referente a momentos fletores e flecha e,
consequentemente, resultando num custo mais elevado, devido à maior quantidade
de armadura utilizada.
Em um primeiro momento, o objetivo desse estudo é ter uma noção de como
se dá o espraiamento dos momentos e das deformações para as nervuras adjacentes,
através da comparação de dois modelos de laje nervurada unidirecional utilizando da
mesma geometria de laje, um com barra e o outro com cascas.
Por fim de praticidade, os modelos, as propriedades dos materiais e também a
geometria utilizada para a elaboração dessa pesquisa, serão iguais às utilizadas nos
modelos de laje nervurada unidirecional descritos no capítulo anterior, os quais estão
dispostos na Tabela 4.
Tabela 4- Informações de geometria e propriedades dos materiais dos modelos adotados
Informações dos modelos
Peso Específico (ϒ) 2,356*10-5 kN/cm3
Módulo de Deformação Longitudinal (E) 3604,9965 kN/cm2
Coeficiente de Poisson (U) 0,2
Menor Vão(l) 297 cm
Maior Vão(L) 594 cm Fonte: (Autor, 2018)
Em ambos modelos, foram adicionados um carregamento distribuído referente
à alvenaria na nervura adjacente ao meio do vão. No modelo de barra, foi adicionado
um carregamento distribuído linearmente ao comprimento da barra, de 0,05 kN/cm.
No modelo de cascas, devido ao fato da casca ser um elemento de área, o
carregamento inserido foi um carregamento distribuído por área, referentes aos
52
0,05kN/cm distribuídos ao longo dos 33 cm que representa a largura da mesa sob a
nervura, resultando num carregamento de 0,00151515kN/cm2 adicionado nos
elementos de casca referentes a região da mesa localizada imediatamente acima da
nervura.
No modelo de casca, a mesa foi discretizada numa malha de elementos de
4,125 x 6,1875 cm, enquanto a nervura foi discretizada numa malha de elementos de
6,1785 x 1,3125 cm, totalizando um número total de 13824 elementos.
Nas análises, apenas foi considerado o carregamento da alvenaria, não
levando em consideração os efeitos do peso próprio.
53
4 RESULTADOS
Neste capítulo, são demonstrados os resultados dos modelos propostos no
item 3.4, de forma a gerar dados para as conclusões dessa pesquisa.
4.1 Flechas A fim de possibilitar a comparação entre os modelos utilizados, os dados
obtidos para a flecha estão sintetizados na Tabela 5, onde estão representados os
dados referentes à flecha da nervura onde foi aplicado o carregamento distribuído, e
das nervuras que se situam a múltiplos de 33 cm de sua posição.
Tabela 5- Resultados das flechas
Flecha (cm)
Localização Modelo de barra Modelo de casca
Nervura com carregamento aplicado 0,495674 0,07428
Nervura a 33 cm 0,000365 0,06618
Nervura a 66 cm 3,38*10^-7 0,05031
Nervura a 99 cm 3,13*10^-10 0,035
Nervura a 132 cm 2,9*10^-13 0,02302
Nervura a 165 cm 2,69*10^-16 0,01459
Nervura a 198 cm 8,67*10^-16 0,00902
Nervura a 231 cm 4,33*10^-19 0,00546 Fonte: (Autor, 2018)
A flecha máxima obtida pelo modelo de casca foi aproximadamente de 15% da
flecha obtida pelo modelo de barras.
As flechas do modelo de barra ficam concentrada apenas na nervura onde a
alvenaria se concentra, conforme o que havia sido comentado previamente, visto que
as nervuras não apresentam união pela mesa. Diferentemente do modelo de casca,
onde a flecha apresenta dissipação entre as mesmas, com uma suavização de 7 a
9% entre nervuras adjacentes.
4.2 Momentos fletores Na Tabela 6, encontram-se os resultados para os momentos fletores, dos
modelos analisados, os dados dispostos nesta tabela, seguem a mesma lógica do
descrito no ítem 4.1
54
Tabela 6- Resultados dos momentos
Momento (kN*cm)
Localização Modelo de barra Modelo de casca
Nervura com carregamento aplicado 550,63 79,88
Nervura a 33 cm 0,34 71,82
Nervura a 66 cm 3,14*10^-4 56,09
Nervura a 99 cm 2,91*10^-7 40,07
Nervura a 132 cm 2,7*10^-10 26,99
Nervura a 165 cm 2,52*10^-13 17,47
Nervura a 198 cm 8,88*10^-16 10,97
Nervura a 231 cm -2,22E-16 6,64 Fonte: (Autor, 2018)
O momento fletor máximo obtido pelo modelo de casca foi aproximadamente
de 14,5% da flecha obtida pelo modelo de barras.
Os momentos do modelo de barra, conforme o esperado, ficam concentrados
apenas na nervura onde a alvenaria se concentra, visto que as nervuras não
apresentam união pela mesa. Diferentemente do modelo de casca, onde se apresenta
dissipação do mesmo, à medida que se distancia da nervura onde está sendo aplicado
o carregamento.
A dissipação entre as nervuras apresenta uma variação de aproximadamente
10% para as nervuras que se encontram a 33 cm de distância na nervura carregada
e entre as demais nervuras existe uma dissipação de cerca de 15 a 20%.
55
5 CONCLUSÕES
O Objetivo principal do trabalho foi investigar, de forma qualitativa, a
variabilidade dos esforços de momento e flecha para lajes nervuradas unidirecionais,
por intermédio de vigotas pré-moldadas, sendo essa análise feita com modelos
utilizando elementos de barras e modelos utilizando elementos casca.
Os resultados foram satisfatórios, onde se percebeu de forma clara e esperada,
que o modelo por casca apresenta uma suavização dos esforços para as situações
de utilização dessas lajes com alvenaria na mesma direção da nervura, em
comparação com o mesmo modelo utilizando elementos de barra.
Os resultados foram melhores que o esperado, visto que a diferença dos
momentos entre os modelos foi tal, que modelo de casca apresentou momento da
ordem de 15% em relação ao de barra, referente a nervura onde o carregamento foi
distribuído.
Outros estudos são necessários para se obter um melhor entendimento e
consequentemente no futuro, ter uma aplicação mais eficiente de lajes nervuradas
unidirecionais, sendo elas moldadas in loco ou não, pois a mesa tem grande
participação no comportamento e espraiamento das cargas entre as nervuras.
Esses estudos são necessários para melhor compreensão da estrutura, como:
a) Uma maior variação dos vãos das lajes.
b) Utilizando uma nervura secundaria ao modelo (técnica bastante difundida).
c) Utilização de outra modelagem dos elementos, como a utilização de barras
para as nervuras e casca para as mesas.
d) Validação dos resultados através de dados experimentais, além de
determinar o real comportamento das mesas e a sua adequada armação.
e) Como proposta final, definir algum fator de divisão das cargas de alvenaria
entre as nervuras adjacentes para modelo de barras, a fim de propiciar uma
análise mais próxima com o modelo de casca, visto que esse deve ser o
que mais se aproxima de uma situação real. Tais propostas podem ser
feitas com algum fator paramétrico que seja válido para lajes pré-moldadas
e moldadas in loco.
56
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![5. Freqüências Fundamentais e Modos de Vibração das Lajes … · Os modelos estruturais apresentados nesta seção são para as lajes nervuradas REDUZCON [21] reais para os vãos](https://img.document.onl/doc/110x75/5bfe2eb009d3f295268baebf/5-frequeencias-fundamentais-e-modos-de-vibracao-das-lajes-os-modelos-estruturais.jpg)
